Espaces vectoriels normés

En première année, toute l'analyse reposait sur un unique nombre : $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. C'est lui qui donnait un sens à « la suite $(u_n)$ tend vers $\mathrm{\ell }$ », à « $f$ est continue en $a$ », à « $f$ atteint son maximum sur le segment $[a,b]$ ». Sans exception, chaque énoncé d'analyse de PCSI se ramenait à la majoration d'une valeur absolue ou d'un module. Or les objets que vous manipulez maintenant ne sont plus des nombres : ce sont des vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$, des matrices, des polynômes, des fonctions. La question qui ouvre ce chapitre est donc élémentaire, et redoutable : que veut dire « ces deux matrices sont proches » ? que veut dire « cette suite de fonctions converge » ?

La réponse tient en un mot : une norme. Une norme est une application qui associe à un vecteur sa « longueur », en ne conservant de la valeur absolue que les trois propriétés dont l'analyse se servait vraiment : elle ne s'annule qu'en $0$, elle se comporte bien vis-à-vis de la multiplication par un scalaire, et elle vérifie l'inégalité triangulaire. Dès qu'un espace vectoriel est muni d'une norme, tout le vocabulaire de l'analyse se reconstruit mécaniquement : la distance $d(x,y)=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, les boules, les suites convergentes, les parties ouvertes, les parties fermées, l'adhérence, la limite, la continuité. Ce chapitre n'est rien d'autre que le déroulé patient de cette unique définition, et vous n'y verrez apparaître aucun outil nouveau : il n'y a que la norme et l'inégalité triangulaire, utilisées quelques centaines de fois.

Une nouveauté déroutante attend cependant le lecteur de première année. Sur $\mathbb{R}$, la valeur absolue s'impose ; sur un espace vectoriel quelconque, il existe une infinité de normes, et le choix de la norme peut changer les résultats. La suite de fonctions $f_n(t)=t^n$ tend vers la fonction nulle si l'on mesure les écarts par ${\int }_0^1\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t$, et ne tend pas vers elle si on les mesure par ${\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$. Deux normes décrivent donc parfois deux mondes différents sur le même espace vectoriel. D'où une section entière consacrée à la comparaison des normes, et un réflexe à prendre dès aujourd'hui : on ne dit jamais « la suite converge » sans dire pour quelle norme, tant que l'on n'est pas en dimension finie.

Car la dimension finie est un monde à part, et c'est le premier des deux théorèmes moteurs du chapitre : sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ce résultat est admis, sa démonstration n'étant pas au programme. Sa conséquence est spectaculaire : dans ${\mathbb{K}}^n$, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, dans ${\mathbb{K}}_n[X]$, la convergence des suites, les parties ouvertes, les parties fermées, la continuité ne dépendent pas de la norme choisie. On raisonne donc avec la norme la plus commode, et l'on cesse de la préciser. Toute la vigilance du chapitre se concentre alors sur les espaces de dimension infinie, essentiellement les espaces de fonctions.

Le second théorème moteur, admis lui aussi, est le théorème des bornes atteintes : une fonction réelle continue sur une partie non vide, fermée et bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie y est bornée et atteint ses bornes. C'est la généralisation exacte de l'énoncé de PCSI sur un segment, et c'est l'outil qui permet d'affirmer qu'un maximum ou un minimum existe avant même de savoir le calculer : en physique comme en chimie, c'est souvent tout ce que l'on demande. Les quatre hypothèses de ce théorème (non vide, fermée, bornée, dimension finie) doivent être vérifiées une par une, et chacune est indispensable.

Les notations suivantes valent partout. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; les lettres $E$ et $F$ désignent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, munis de normes toutes notées $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ lorsque aucune confusion n'est possible, et $N$, $N^{\mathrm{\prime }}$ lorsqu'on compare deux normes sur un même espace. La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ est notée $B(a,r)$, la boule fermée $B_f(a,r)$, la sphère $S(a,r)$. Les normes usuelles de ${\mathbb{K}}^n$ sont $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ ; celles de $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ portent les mêmes indices. L'intérieur d'une partie $A$ est noté $\mathring{A}$, son adhérence $\bar{A}$ ; la distance d'un point à une partie non vide est $d(x,A)={\inf }_{a\in A}\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$. Les notations d'algèbre linéaire de l'an dernier sont conservées : ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$, ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{t}\mathrm{r}$, $\mathrm{r}\mathrm{g}$, $\det$, ${\mathbb{K}}_n[X]$, et ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ pour la transposée de $A$.

Un dernier mot sur le style attendu. Le programme de PC demande d'éviter tout excès de rigueur et de se limiter à la vérification des hypothèses cruciales : personne ne vous demandera de rédiger trois lignes pour justifier qu'un maximum sur un ensemble fini est bien défini. Le cours qui suit est complet et entièrement démontré, sauf les deux théorèmes explicitement admis, mais il va droit au but, et vos copies doivent faire de même.

Normes et espaces vectoriels normés

La définition

Démonstration. Posons $M(x)=N(u(x))$.

Homogénéité. La linéarité donne $M(\lambda x)=N(u(\lambda x))=N(\lambda u(x))=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }N(u(x))=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }M(x)$.

Inégalité triangulaire. De même, $M(x+y)=N(u(x)+u(y))⩽N(u(x))+N(u(y))=M(x)+M(y)$.

Séparation. Si $M(x)=0$, alors $N(u(x))=0$, donc $u(x)=0_F$ par séparation de $N$, donc $x=0_E$ par injectivité de $u$. C'est le seul endroit où l'injectivité sert, et elle est indispensable : sans elle, $M$ s'annulerait sur $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ tout entier. $\mathrm{\square }$

Deuxième inégalité triangulaire

Démonstration. Écrivons $x=(x-y)+y$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel },\text{donc}\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $x$ et de $y$, on obtient $\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }$, et $\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }-(x-y)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ par homogénéité avec $\lambda =-1$. Le réel $\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ majore donc à la fois $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$ et son opposé : il majore leur maximum, qui vaut exactement $\mid \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }\mid$. $\mathrm{\square }$

Les normes usuelles sur ${\mathbb{K}}^n$

Démonstration. Les axiomes de séparation et d'homogénéité sont immédiats dans les trois cas : par exemple $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=0$ signifie $\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }⩽0$ pour tout $i$, donc $x=0$, et le facteur positif $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ sort d'un maximum comme d'une somme. Traitons l'inégalité triangulaire.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ : par inégalité triangulaire dans $\mathbb{K}$ appliquée terme à terme,

$$\sum _{i=1}^n\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }⩽\sum _{i=1}^n(\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_i\mathrm{\mid })=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_1\mathrm{.}$$

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ : pour tout indice $i$, $\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_i\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Le membre de droite ne dépend pas de $i$ et majore tous les $\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }$, donc il majore leur maximum.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ sur ${\mathbb{R}}^n$ : c'est la norme associée au produit scalaire canonique, cas traité juste après à partir de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, on se ramène au cas réel en passant aux modules : en notant $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=(\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid },\dots ,\mathrm{\mid }{x}_n\mathrm{\mid })\in {\mathbb{R}}^n$, on a $\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_i\mathrm{\mid }$ pour tout $i$, donc

$$\mathrm{\parallel }x+y{\mathrm{\parallel }}_2⩽\parallel \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{\parallel }_2⩽\parallel \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }{\parallel }_2+\parallel \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{\parallel }_2=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_2,$$

la majoration centrale étant l'inégalité triangulaire de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ dans ${\mathbb{R}}^n$, déjà acquise. $\mathrm{\square }$

Norme associée à un produit scalaire

Démonstration. Rappelons l'argument de première année. Si $y=0_E$, les deux membres sont nuls. Sinon, considérons le trinôme

$$P(\lambda )=⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩=⟨x,x⟩+2\lambda ⟨x,y⟩+{\lambda }^2⟨y,y⟩,$$

qui est positif pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ et de coefficient dominant $⟨y,y⟩>0$. Un trinôme de signe constant a un discriminant négatif ou nul :

$$4⟨x,y{⟩}^2-4⟨x,x⟩⟨y,y⟩⩽0,$$

ce qui donne l'inégalité annoncée après passage à la racine carrée.

Montrons maintenant que $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ est une norme. La séparation vient du caractère défini du produit scalaire : $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=0$ entraîne $⟨x,x⟩=0$, donc $x=0_E$. L'homogénéité vient de $\mathrm{\parallel }\lambda x{\mathrm{\parallel }}^2=⟨\lambda x,\lambda x⟩={\lambda }^2\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2$. Pour l'inégalité triangulaire, développons :

$$\mathrm{\parallel }x+y{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2+2⟨x,y⟩+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}^2⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2+2\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}^2=(\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }{)}^2,$$

la majoration centrale étant exactement Cauchy-Schwarz. Les deux membres étant positifs, on prend la racine carrée : $\mathrm{\parallel }x+y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$. $\mathrm{\square }$

Normes sur les espaces de fonctions

Démonstration. Si $f$ et $g$ sont bornées par $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$, alors $\mid (f+\lambda g)(x)\mid ⩽M+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $x\in X$ : la somme et les multiples restent bornés, et $\mathcal{B}(X,\mathbb{K})$ est bien un sous-espace vectoriel, non vide puisqu'il contient la fonction nulle. La borne supérieure qui définit $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ existe : c'est celle d'une partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée.

Séparation. $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=0$ entraîne $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽0$ pour tout $x$, donc $f=0$.

Homogénéité. ${\sup }_x\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{\sup }_x\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }$, le facteur positif $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ sortant de la borne supérieure.

Inégalité triangulaire. Pour tout $x\in X$, $\mathrm{\mid }f(x)+g(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Le réel $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ majore l'ensemble des $\mid (f+g)(x)\mid$, donc il majore sa borne supérieure. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Traitons $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, le cas de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ venant d'être fait et celui de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ résultant de Cauchy-Schwarz appliqué au produit scalaire intégral.

L'application est bien définie : $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc intégrable. L'homogénéité vient de ${\int }_a^b\mathrm{\mid }\lambda f\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, et l'inégalité triangulaire de la croissance de l'intégrale appliquée à $\mathrm{\mid }f+g\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$.

La séparation est le seul point délicat, et c'est celui que les correcteurs attendent. Supposons ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t=0$. La fonction $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[a,b]$ : elle est donc identiquement nulle, d'après le théorème de première année. Donc $f=0$. L'hypothèse de continuité est cruciale : sur l'espace des fonctions continues par morceaux, la fonction nulle partout sauf en un point est non nulle et d'intégrale nulle, et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ n'y serait pas une norme. $\mathrm{\square }$

Normes sur les matrices et sur les polynômes

Distance associée à une norme

Démonstration. Le premier point est la séparation, le deuxième vient de $\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }-(x-y)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, et le troisième est l'inégalité triangulaire appliquée à $x-z=(x-y)+(y-z)$. $\mathrm{\square }$

Boules et sphères

Les trois normes usuelles du plan se lisent d'un coup d'oeil sur leurs boules unités fermées, c'est-à-dire sur l'ensemble des vecteurs de norme au plus $1$. Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, c'est le carré $[-1,1{]}^2$ ; pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$, c'est le disque unité ; pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, c'est le losange de sommets $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ et $(0,-1)$.

Parties convexes

Démonstration. Traitons la boule fermée $B_f(a,r)$. Soient $x,y\in B_f(a,r)$ et $t\in [0,1]$. Comme $(1-t)+t=1$, on peut écrire

$$(1-t)x+ty-a=(1-t)(x-a)+t(y-a),$$

égalité que l'on vérifie en développant le membre de droite. L'inégalité triangulaire, puis l'homogénéité avec les réels positifs $1-t$ et $t$, donnent

$$\parallel (1-t)x+ty-a\parallel ⩽(1-t)\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }+t\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }⩽(1-t)r+tr=r\mathrm{.}$$

Donc $(1-t)x+ty\in B_f(a,r)$.

Pour la boule ouverte, le calcul est identique : si $t\in ]0,1[$, les deux majorations strictes $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$ et $\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }<r$ donnent une inégalité stricte à l'arrivée, et les cas $t=0$ et $t=1$ sont immédiats. $\mathrm{\square }$

Parties bornées, suites bornées, fonctions bornées

Démonstration. Soient $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ des majorants de la norme sur $A$ et sur $B$. Sur $A\cup B$, la norme est majorée par $\max (M,M^{\mathrm{\prime }})$ ; sur $A\cap B\subseteq A$, par $M$ ; sur $\lambda A$, par $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }M$ grâce à l'homogénéité. Enfin, si $x\in A$ et $y\in B$, alors $\mathrm{\parallel }x+y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽M+M^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Suites d'un espace vectoriel normé

Dans toute cette section, $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ désigne un espace vectoriel normé.

Convergence et divergence

Démonstration. Supposons que $(u_n)$ converge à la fois vers $\mathrm{\ell }$ et vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'inégalité triangulaire donne

$$0⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }=\parallel (\mathrm{\ell }-u_n)+(u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\parallel ⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }{u}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

Le membre de droite tend vers $0+0=0$, tandis que le membre de gauche est une constante positive indépendante de $n$. Par passage à la limite dans l'inégalité, $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽0$, donc $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }=0$, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ par séparation de la norme. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Somme. $\parallel (u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\parallel ⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }{v}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }\to 0$.

Multiple. $\mathrm{\parallel }\lambda u_n-\lambda \mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\to 0$.

Norme. L'inégalité triangulaire renversée donne $\mid \mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\mid ⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\to 0$.

Produit par une suite de scalaires. Écrivons

$$\mathrm{\parallel }{\lambda }_n{u}_n-\lambda \mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }=\parallel {\lambda }_n(u_n-\mathrm{\ell })+({\lambda }_n-\lambda )\mathrm{\ell }\parallel ⩽\mathrm{\mid }{\lambda }_n\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\mid }{\lambda }_n-\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

La suite $({\lambda }_n)$ converge, donc elle est bornée : il existe $C⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{\lambda }_n\mathrm{\mid }⩽C$ pour tout $n$. Le majorant est alors inférieur à $C\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\mid }{\lambda }_n-\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }$, qui tend vers $0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(u_n)$ convergeant vers $\mathrm{\ell }$. Appliquons la définition avec $\epsilon =1$ : il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽1$ pour tout $n⩾N$, d'où, pour ces indices, $\mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+1$. Posons

$$M=\max (\mathrm{\parallel }{u}_0\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }{u}_1\mathrm{\parallel },\dots ,\mathrm{\parallel }{u}_{N-1}\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+1),$$

maximum d'un nombre fini de réels, donc bien défini. Alors $\mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Suites extraites

Démonstration. Rappelons d'abord que $\phi (n)⩾n$ pour tout $n$, ce qui se démontre par récurrence : c'est vrai pour $n=0$ puisque $\phi (0)⩾0$, et si $\phi (n)⩾n$, alors $\phi (n+1)>\phi (n)⩾n$, donc $\phi (n+1)⩾n+1$ car ce sont des entiers.

Soit $\epsilon >0$. Il existe $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_k-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$ pour tout $k⩾N$. Pour $n⩾N$, on a $\phi (n)⩾n⩾N$, donc $\parallel u_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Exemples

La convergence dépend de la norme

Comparaison des normes

Normes équivalentes

Ce que l'équivalence préserve

Démonstration. Parties bornées. Si $N(x)⩽M$ pour tout $x\in A$, alors $N^{\mathrm{\prime }}(x)⩽\beta N(x)⩽\beta M$ pour tout $x\in A$ : $A$ est bornée pour $N^{\mathrm{\prime }}$. L'implication inverse s'obtient en échangeant les rôles des deux normes, grâce à la symétrie de la relation.

Suites. Supposons $N(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$. Alors $0⩽N^{\mathrm{\prime }}(u_n-\mathrm{\ell })⩽\beta N(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$, donc $N^{\mathrm{\prime }}(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$ par encadrement. Réciproquement, $N(u_n-\mathrm{\ell })⩽\frac{1}{\alpha }{N}^{\mathrm{\prime }}(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$. $\mathrm{\square }$

Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

Démonstration. Raisonnons par l'absurde. Si les deux normes étaient équivalentes, il existerait $\beta >0$ tel que $N^{\mathrm{\prime }}(x)⩽\beta N(x)$ pour tout $x\in E$. En particulier, pour chaque $n$, comme $x_n\mathrm{\ne }{0}_E$ entraîne $N(x_n)>0$, on pourrait diviser :

$$\frac{N^{\mathrm{\prime }}(x_n)}{N(x_n)}⩽\beta \mathrm{.}$$

Le quotient serait donc majoré, ce qui contredit sa divergence vers $+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Topologie d'un espace vectoriel normé

Dans toute cette section, $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ désigne un espace vectoriel normé et $A$, $U$, $F$ des parties de $E$.

Points intérieurs et parties ouvertes

Démonstration. Soit $x\in B(a,r)$, c'est-à-dire $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$. Posons

$$\rho =r-\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }>0.$$

Montrons que $B(x,\rho )\subseteq B(a,r)$. Soit $y\in B(x,\rho )$ : on a $\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }<\rho$, donc, par inégalité triangulaire,

$$\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<\rho +\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }=r\mathrm{.}$$

Donc $y\in B(a,r)$. Le rayon $\rho$ convient, et ceci pour tout $x\in B(a,r)$ : la boule ouverte est bien un ouvert. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Réunion. Soit $(U_i{)}_{i\in I}$ une famille d'ouverts et $U={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$. Soit $a\in U$ : il existe $i_0\in I$ tel que $a\in U_{i_0}$. Comme $U_{i_0}$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subseteq U_{i_0}\subseteq U$. Donc $U$ est ouvert.

Intersection finie. Soient $U_1,\dots ,U_p$ des ouverts et $U={\bigcap }_{k=1}^p{U}_k$. Soit $a\in U$. Pour chaque $k$, il existe $r_k>0$ tel que $B(a,r_k)\subseteq U_k$. Posons $r=\min (r_1,\dots ,r_p)$, qui est strictement positif parce que le minimum porte sur un nombre fini de réels strictement positifs. Alors $B(a,r)\subseteq B(a,r_k)\subseteq U_k$ pour chaque $k$, donc $B(a,r)\subseteq U$. $\mathrm{\square }$

Parties fermées

Démonstration. Il suffit de passer au complémentaire dans la propriété correspondante pour les ouverts, à l'aide des lois de De Morgan :

$$E\setminus \bigcap _{i\in I}{F}_i=\bigcup _{i\in I}(E\setminus F_i),E\setminus \bigcup _{k=1}^p{F}_k=\bigcap _{k=1}^p(E\setminus F_k)\mathrm{.}$$

Dans le premier cas, on obtient une réunion quelconque d'ouverts, donc un ouvert ; dans le second, une intersection finie d'ouverts, donc un ouvert. $\mathrm{\square }$

Le tableau suivant résume les quatre énoncés, qu'il faut savoir réciter sans hésitation.

La caractérisation séquentielle des fermés

Démonstration. Sens direct. Supposons $F$ fermée et soit $(x_n)$ une suite de $F$ convergeant vers $\mathrm{\ell }\in E$. Raisonnons par l'absurde en supposant $\mathrm{\ell }\mathrm{\notin }F$. Alors $\mathrm{\ell }$ appartient à l'ouvert $E\setminus F$, donc il existe $r>0$ tel que $B(\mathrm{\ell },r)\subseteq E\setminus F$. Comme $x_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $n_0$ tel que $\mathrm{\parallel }{x}_{n_0}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\frac{r}{2}<r$, donc $x_{n_0}\in B(\mathrm{\ell },r)\subseteq E\setminus F$. Mais $x_{n_0}\in F$ : contradiction. Donc $\mathrm{\ell }\in F$.

Réciproque. Supposons la propriété de stabilité et montrons que $E\setminus F$ est ouvert. Raisonnons encore par l'absurde : si $E\setminus F$ n'était pas ouvert, il existerait $a\in E\setminus F$ tel qu'aucune boule centrée en $a$ ne soit incluse dans $E\setminus F$, c'est-à-dire tel que

$$\mathrm{\forall }r>0,B(a,r)\cap F\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\mathrm{.}$$

Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, choisissons alors $x_n\in B\text{\hspace{0.17em}⁣}(a,\frac{1}{n+1})\cap F$. La suite $(x_n)$ est à valeurs dans $F$ et vérifie $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }<\frac{1}{n+1}\to 0$, donc elle converge vers $a$. Par hypothèse, $a\in F$, ce qui contredit $a\in E\setminus F$. Donc $E\setminus F$ est ouvert et $F$ est fermée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Boule fermée. Soit $(x_n)$ une suite de $B_f(a,r)$ convergeant vers $\mathrm{\ell }$. Pour tout $n$, $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }⩽r$. Or $x_n-a\to \mathrm{\ell }-a$, donc, par continuité de la norme (inégalité triangulaire renversée), $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }\to \mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-a\mathrm{\parallel }$. Le passage à la limite dans l'inégalité large donne $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-a\mathrm{\parallel }⩽r$, c'est-à-dire $\mathrm{\ell }\in B_f(a,r)$.

Sphère. Le raisonnement est identique en remplaçant l'inégalité par une égalité : si $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }=r$ pour tout $n$, alors la suite constante $(r)$ converge vers $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-a\mathrm{\parallel }$, donc $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-a\mathrm{\parallel }=r$ et $\mathrm{\ell }\in S(a,r)$. $\mathrm{\square }$

Points adhérents et adhérence

Avant d'énoncer les définitions, un dessin. Sur la figure ci-dessous, la partie $A$ est la zone grisée. Le point $a$ est le centre d'une petite boule entièrement contenue dans $A$ : il est intérieur à $A$. Le point $b$ est situé sur le bord : aucune boule centrée en $b$ n'est contenue dans $A$, mais toute boule centrée en $b$ rencontre $A$. Le point $c$, lui, est assez loin de $A$ pour qu'une petite boule centrée en $c$ évite complètement $A$.

Autrement dit : $a$ appartient à l'intérieur de $A$, $b$ appartient à l'adhérence de $A$, $c$ n'appartient pas à l'adhérence de $A$.

Démonstration. Sens direct. Supposons $x\in \bar{A}$. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, la boule $B\text{\hspace{0.17em}⁣}(x,\frac{1}{n+1})$ rencontre $A$ : choisissons un élément $a_n$ dans $B\text{\hspace{0.17em}⁣}(x,\frac{1}{n+1})\cap A$. La suite $(a_n)$ est à valeurs dans $A$ et vérifie

$$\mathrm{\parallel }{a}_n-x\mathrm{\parallel }<\frac{1}{n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

donc elle converge vers $x$.

Réciproque. Supposons qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $x$, et soit $r>0$. Par définition de la convergence appliquée à $\epsilon =\frac{r}{2}$, il existe un rang $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{a}_N-x\mathrm{\parallel }⩽\frac{r}{2}<r$. Alors $a_N\in B(x,r)\cap A$, qui est donc non vide. Ceci valant pour tout $r>0$, on a $x\in \bar{A}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens direct. Supposons $A$ fermée. L'inclusion $A\subseteq \bar{A}$ est toujours vraie. Réciproquement, soit $x\in \bar{A}$ : d'après la caractérisation séquentielle, il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $x$ ; comme $A$ est fermée, la caractérisation séquentielle des fermés donne $x\in A$. Donc $\bar{A}\subseteq A$, puis $A=\bar{A}$.

Réciproque. Supposons $A=\bar{A}$ et vérifions la caractérisation séquentielle des fermés. Soit $(a_n)$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\mathrm{\ell }$. D'après la caractérisation séquentielle de l'adhérence, $\mathrm{\ell }\in \bar{A}=A$. Donc $A$ est fermée. $\mathrm{\square }$

Parties denses

Invariance par passage à une norme équivalente

Démonstration. Notons $B_N(a,r)$ et $B_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,r)$ les boules ouvertes relatives à chaque norme, et soient $\alpha ,\beta >0$ tels que $\alpha N⩽N^{\mathrm{\prime }}⩽\beta N$.

Montrons d'abord l'inclusion de boules

$$B_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,\alpha r)\subseteq B_N(a,r)\mathrm{.}$$

En effet, si $N^{\mathrm{\prime }}(x-a)<\alpha r$, alors $\alpha N(x-a)⩽N^{\mathrm{\prime }}(x-a)<\alpha r$, donc $N(x-a)<r$.

Soit maintenant $U$ un ouvert pour $N$ et $a\in U$ : il existe $r>0$ tel que $B_N(a,r)\subseteq U$, donc $B_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,\alpha r)\subseteq U$ avec $\alpha r>0$. Ainsi $U$ est ouvert pour $N^{\mathrm{\prime }}$. L'implication inverse s'obtient en échangeant les rôles des deux normes.

Les fermés s'en déduisent par passage au complémentaire. Pour les points intérieurs et adhérents, l'argument est le même : le critère « il existe une boule incluse » et le critère « toute boule rencontre » se transportent d'une norme à l'autre par l'inclusion de boules ci-dessus. Enfin, la densité s'exprime à l'aide de l'adhérence, donc est également préservée. $\mathrm{\square }$

Limites et continuité

Dans toute cette section, $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ et $(F,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ sont deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f$ une application de $A$ dans $F$.

Limite en un point adhérent

Démonstration. Supposons que $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ soient deux limites de $f$ en $a$, et soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta >0$ et ${\delta }^{\mathrm{\prime }}>0$ tels que, pour $x\in A$, la condition $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$ donne $\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$, et la condition $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽{\delta }^{\mathrm{\prime }}$ donne $\mathrm{\parallel }f(x)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$. Posons $\eta =\min (\delta ,{\delta }^{\mathrm{\prime }})>0$. C'est ici que sert l'hypothèse $a\in \bar{A}$ : la boule $B(a,\eta )$ rencontre $A$, donc il existe $x\in A$ tel que $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<\eta$. Pour ce $x$,

$$\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-f(x)\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }f(x)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽2\epsilon \mathrm{.}$$

Le réel positif $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }$ est donc inférieur à $2\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$ : il est nul, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens direct. Supposons $f(x)\to \mathrm{\ell }$ quand $x\to a$, et soit $(x_n)$ une suite de $A$ convergeant vers $a$. Soit $\epsilon >0$ ; il existe $\delta >0$ tel que $\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$ dès que $x\in A$ et $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$. Comme $x_n\to a$, il existe $n_0$ tel que $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$ pour tout $n⩾n_0$. Pour ces indices, $\mathrm{\parallel }f(x_n)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$. Donc $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$.

Réciproque, par contraposition. Supposons que $f$ n'admette pas $\mathrm{\ell }$ pour limite en $a$. La négation de la définition s'écrit : il existe ${\epsilon }_0>0$ tel que, pour tout $\delta >0$, il existe $x\in A$ avec $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$ et $\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0$. Appliquons cela à $\delta =\frac{1}{n+1}$ pour chaque $n\in \mathbb{N}$ : on obtient $x_n\in A$ tel que

$$\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{n+1}\text{et}\mathrm{\parallel }f(x_n)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

La suite $(x_n)$ est à valeurs dans $A$ et converge vers $a$, mais $(f(x_n))$ ne converge pas vers $\mathrm{\ell }$. La propriété séquentielle est donc en défaut. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Tout se déduit de la caractérisation séquentielle et des opérations sur les limites de suites, démontrées en section 2. Prenons une suite quelconque $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$ : alors $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$ et $g(x_n)\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, donc $f(x_n)+g(x_n)\to \mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, et ainsi de suite. Comme ceci vaut pour toute suite, la caractérisation séquentielle permet de conclure. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $a$. L'hypothèse sur $f$ donne $f(x_n)\to b$, et les $f(x_n)$ appartiennent à $B$ ; la continuité de $g$ en $b$ donne alors $g(f(x_n))\to g(b)$. Ceci valant pour toute suite $(x_n)$, la caractérisation séquentielle permet de conclure. $\mathrm{\square }$

Continuité

Démonstration. C'est la caractérisation séquentielle de la limite, appliquée avec $\mathrm{\ell }=f(a)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Ce sont les opérations sur les limites, avec $\mathrm{\ell }=f(a)$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=g(a)$. $\mathrm{\square }$

Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé

Démonstration. Cas d'un fermé. Soit $F^{\mathrm{\prime }}$ un fermé de $F$ et posons $A=f^{-1}(F^{\mathrm{\prime }})=\{x\in E;f(x)\in F^{\mathrm{\prime }}\}$. Utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\mathrm{\ell }\in E$. Par continuité de $f$ en $\mathrm{\ell }$, on a $f(x_n)\to f(\mathrm{\ell })$. Or $f(x_n)\in F^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $n$, et $F^{\mathrm{\prime }}$ est fermé, donc $f(\mathrm{\ell })\in F^{\mathrm{\prime }}$, c'est-à-dire $\mathrm{\ell }\in A$. Ainsi $A$ est fermée.

Cas d'un ouvert. Soit $U$ un ouvert de $F$. Son complémentaire $F\setminus U$ est fermé, donc $f^{-1}(F\setminus U)$ est fermé d'après le point précédent. Or

$$f^{-1}(F\setminus U)=E\setminus f^{-1}(U),$$

car dire que $f(x)\mathrm{\notin }U$ revient à dire que $x\mathrm{\notin }{f}^{-1}(U)$. Le complémentaire de $f^{-1}(U)$ est donc fermé, ce qui signifie exactement que $f^{-1}(U)$ est ouvert. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Ces trois ensembles sont respectivement $f^{-1}\left(]0,+\mathrm{\infty }[\right)$, $f^{-1}(\{0\})$ et $f^{-1}\left(]-\mathrm{\infty },0]\right)$. Or $]0,+\mathrm{\infty }[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$, tandis que $\{0\}$ et $]-\mathrm{\infty },0]$ sont des fermés de $\mathbb{R}$ : leurs complémentaires ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et $]0,+\mathrm{\infty }[$ sont ouverts. Le théorème conclut. $\mathrm{\square }$

Applications lipschitziennes

Démonstration. Soit $f$ une application $k$-lipschitzienne de $A$ dans $F$ et $a\in A$. Si $k=0$, alors $f$ est constante, donc continue. Supposons $k>0$ et soit $\epsilon >0$. Posons $\delta =\frac{\epsilon }{k}>0$. Pour $x\in A$ vérifiant $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$, on obtient

$$\mathrm{\parallel }f(x)-f(a)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽k\delta =\epsilon \mathrm{.}$$

C'est exactement la définition de la continuité en $a$, et $a$ était quelconque. $\mathrm{\square }$

Un exemple complet de discontinuité

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Le théorème d'équivalence des normes

Convergence coordonnée par coordonnée

Démonstration. Toutes les normes de $E$ étant équivalentes, on peut choisir celle qui nous arrange : prenons

$$N(x)=\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\text{o}\grave{\text{u}}x=\sum _{i=1}^p{x}_i{e}_i,$$

qui est bien une norme sur $E$ (c'est $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ transportée par l'isomorphisme des coordonnées, application linéaire injective). Alors

$$N(u_n-\mathrm{\ell })=\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mid x_{i,n}-{\lambda }_i\mid \mathrm{.}$$

Si $N(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$, alors pour chaque $i$, $0⩽\mathrm{\mid }{x}_{i,n}-{\lambda }_i\mathrm{\mid }⩽N(u_n-\mathrm{\ell })\to 0$, donc $x_{i,n}\to {\lambda }_i$. Réciproquement, si chacune des $p$ suites $(\mathrm{\mid }{x}_{i,n}-{\lambda }_i\mathrm{\mid }{)}_n$ tend vers $0$, leur maximum aussi, car il s'agit d'un maximum d'un nombre fini de suites : pour $\epsilon >0$, chaque suite est majorée par $\epsilon$ à partir d'un rang $n_i$, et à partir du rang $\max (n_1,\dots ,n_p)$ le maximum l'est aussi. $\mathrm{\square }$

Le théorème des bornes atteintes

Continuité des applications linéaires

Démonstration. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ une base de $E$. Comme toutes les normes de $E$ sont équivalentes et que la continuité ne dépend pas du choix de normes équivalentes, on peut munir $E$ de la norme des coordonnées

$$\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\text{pour}x=\sum _{i=1}^p{x}_i{e}_i\mathrm{.}$$

Par linéarité, $u(x)={\sum }_{i=1}^p{x}_{i}u(e_i)$, donc, par inégalité triangulaire et homogénéité,

$$\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽\sum _{i=1}^p\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel }⩽(\sum _{i=1}^p\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel })\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }=k\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},$$

où $k={\sum }_{i=1}^p\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel }$ est un réel positif qui ne dépend que de $u$ et de la base, pas de $x$.

Il reste à en déduire la continuité. Pour $x,y\in E$, la linéarité donne

$$\mathrm{\parallel }u(x)-u(y)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }u(x-y)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},$$

donc $u$ est $k$-lipschitzienne, donc continue. $\mathrm{\square }$

Applications multilinéaires et polynomiales

Démonstration dans le cas bilinéaire. Traitons $q=2$, le cas général étant identique avec des notations plus lourdes. Soient $(e_1,\dots ,e_p)$ une base de $E_1$, $(f_1,\dots ,f_m)$ une base de $E_2$, et munissons chaque espace de la norme infinie de ses coordonnées. Pour $x={\sum }_i{x}_i{e}_i$ et $y={\sum }_j{y}_j{f}_j$, la bilinéarité donne

$$B(x,y)=\sum _{i=1}^p\sum _{j=1}^m{x}_i{y}_{j}B(e_i,f_j),$$

d'où

$$\mathrm{\parallel }B(x,y)\mathrm{\parallel }⩽\sum _{i,j}\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{y}_j\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }B(e_i,f_j)\mathrm{\parallel }⩽C\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},\text{avec}C=\sum _{i,j}\mathrm{\parallel }B(e_i,f_j)\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

Montrons la continuité en un point $(a,b)$. En écrivant

$$B(x,y)-B(a,b)=B(x-a,y)+B(a,y-b),$$

identité qui se vérifie en développant par bilinéarité, on obtient

$$\mathrm{\parallel }B(x,y)-B(a,b)\mathrm{\parallel }⩽C\mathrm{\parallel }x-a{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+C\mathrm{\parallel }a{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }y-b{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{.}$$

Lorsque $(x,y)\to (a,b)$, les quantités $\mathrm{\parallel }x-a{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et $\mathrm{\parallel }y-b{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ tendent vers $0$, tandis que $\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ reste borné (elle tend vers $\mathrm{\parallel }b{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$). Le majorant tend donc vers $0$, et $B$ est continue en $(a,b)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les applications coordonnées $x\mapsto x_i$ sont linéaires sur un espace de dimension finie, donc continues. Une fonction polynomiale des $x_i$ s'obtient à partir d'elles par sommes et produits en nombre fini, opérations qui préservent la continuité. Chaque coordonnée de $f$ est donc continue, et la convergence coordonnée par coordonnée permet de conclure que $f$ l'est aussi. $\mathrm{\square }$

Méthodes et erreurs classiques