Intégration sur un intervalle quelconque

Toutes les intégrales rencontrées jusqu'ici portaient sur un segment $[a,b]$. Ce cadre est confortable, et il l'est pour une raison précise : une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée, le domaine d'intégration est de longueur finie, et l'aire sous la courbe est donc automatiquement un nombre. Rien à vérifier, jamais : le symbole ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ a toujours un sens. Ce chapitre lève cette double restriction, et c'est en la levant qu'apparaît la question centrale de toute l'analyse de deuxième année : une aire infiniment étendue peut-elle rester finie ?

Deux situations sortent du cadre des segments, et une seule idée les traite toutes les deux. Ou bien l'intervalle est non borné, comme dans ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, et l'on somme sur une longueur infinie. Ou bien la fonction n'est pas bornée au voisinage d'une borne, comme dans ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$, et l'on somme des valeurs qui explosent. Dans les deux cas, le produit « hauteur $\times$ largeur » comporte un facteur infini, et le résultat n'est pas décidable a priori : les deux intégrales que je viens d'écrire convergent toutes les deux, alors que ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t}$ et ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t}$ divergent toutes les deux. La finitude d'une aire infiniment étendue est une affaire de vitesse, et tout le chapitre consiste à mesurer cette vitesse.

La méthode ne demande aucune construction nouvelle. On n'invente pas une nouvelle intégrale : on intègre sur un segment, ce qu'on sait faire depuis la première année, puis on fait tendre la borne vers l'endroit qui pose problème. L'intégrale généralisée est donc une limite, et rien d'autre. Toute la théorie du chapitre est la théorie des limites appliquée à la fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$, et vous verrez que le parallèle avec les séries numériques est presque parfait : le rôle de la somme partielle ${\sum }_{k=0}^n{u}_k$ est tenu par l'intégrale partielle ${\int }_a^{x}f$, celui de la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{\alpha }}$ par l'intégrale de Riemann ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$, et les critères de comparaison des séries à termes positifs se transposent mot pour mot aux fonctions positives.

Deux questions se posent alors, qu'il ne faut jamais confondre. La première est celle de la nature : l'intégrale converge-t-elle, oui ou non ? La seconde est celle de la valeur : que vaut-elle ? Ces deux questions sont indépendantes, et la première est de très loin la plus fréquente. La plupart des intégrales convergentes que vous croiserez n'ont pas de valeur exprimable avec les fonctions usuelles, ce qui n'empêche nullement de les manipuler, de les majorer, de les dériver par rapport à un paramètre. Retenez dès maintenant l'ordre canonique, qui est aussi celui des séries : d'abord la nature, ensuite la valeur. Écrire ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t=\dots$ avant d'avoir établi la convergence, c'est manipuler un symbole vide.

Une notion va rapidement prendre le pas sur celle de convergence : celle de fonction intégrable, c'est-à-dire de fonction dont la valeur absolue a une intégrale convergente. C'est une exigence plus forte que la simple convergence, et elle est délibérée : c'est elle, et elle seule, qui rend valides les trois grands théorèmes de la fin du chapitre. Le programme de PC est d'ailleurs explicite sur ce point, les intégrales qui convergent sans être absolument convergentes ne sont pas un objectif du cours. Dans tout ce qui suit, ou presque, convergence et intégrabilité se confondront.

Car le vrai but du chapitre n'est pas de décider du sort de ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$. Il est d'obtenir trois théorèmes qui autorisent à échanger l'intégrale avec un autre passage à la limite : le théorème de convergence dominée, qui permet d'écrire ${\lim }_n{\int }_I{f}_n={\int }_I{\lim }_n{f}_n$ ; le théorème d'intégration terme à terme, qui permet d'écrire ${\int }_I{\sum }_n{f}_n={\sum }_n{\int }_I{f}_n$ ; et les théorèmes de régularité des intégrales à paramètre, qui permettent de dériver sous le signe intégrale. Ces trois outils sont admis ou presque, ils tiennent chacun en trois hypothèses, et ils sont d'une efficacité redoutable. Ce sont eux qui définissent et étudient la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler, la transformée de Fourier, la transformée de Laplace, et l'immense majorité des fonctions spéciales de la physique. Le reste du chapitre est, littéralement, la préparation de leurs hypothèses.

Une remarque de méthode enfin, propre à la filière. Le programme demande d'éviter « tout excès de rigueur dans la rédaction » et de se limiter « à la vérification des hypothèses cruciales ». Cela ne signifie pas qu'on bâcle : cela signifie qu'on sait où est le nerf. Vérifier qu'une fonction est continue sur son intervalle prend une demi-ligne ; trouver une domination indépendante du paramètre prend cinq lignes et vaut la moitié des points. Rédigez court là où c'est facile, et développez là où c'est difficile.

Notations valables dans tout le chapitre. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point. Une fonction est dite continue par morceaux sur $I$, en abrégé « cpm », si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans $I$ ; toutes les fonctions de ce chapitre sont supposées continues par morceaux, à valeurs dans $\mathbb{K}$, sans que ce soit toujours répété. Les bornes d'un intervalle sont notées $a$ et $b$ avec $a<b$, la borne $a$ pouvant valoir $-\mathrm{\infty }$ et la borne $b$ valoir $+\mathrm{\infty }$. La notation ${\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t$ désigne l'intégrale sur l'intervalle $I$, sans référence à l'ordre des bornes, et ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ la même intégrale orientée de $a$ vers $b$. Les fonctions circulaires réciproques sont notées $\mathrm{Arctan}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$. Enfin, $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

L'intégrale généralisée sur un intervalle

Deux façons de sortir du cadre des segments

Regardons de près ce qui empêche d'appliquer la définition de première année. Elle exige un segment $[a,b]$, avec $a$ et $b$ réels, et une fonction continue par morceaux sur ce segment tout entier, bornes comprises. Deux obstacles peuvent se présenter.

Le premier est un intervalle non borné. Dans ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, la borne supérieure n'est pas un nombre réel : il n'existe aucune subdivision finie de $[0,+\mathrm{\infty }[$, et la définition de première année ne s'applique tout simplement pas.

Le second est une fonction non bornée au voisinage d'une borne. Dans ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$, l'intervalle est borné, mais la fonction $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ n'est pas définie en $0$, et surtout elle n'y est pas prolongeable par une valeur finie : elle tend vers $+\mathrm{\infty }$. Une fonction continue par morceaux sur un segment est nécessairement bornée, donc celle-ci ne l'est pas, quoi qu'on décide de poser en $0$.

Ces deux obstacles peuvent se cumuler, et ils peuvent apparaître aux deux bornes à la fois. L'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{3\mathrm{/}2}}$, par exemple, pose un problème en $0$ et un problème en $+\mathrm{\infty }$, et il faudra les traiter séparément. C'est une source d'erreurs considérable : un étudiant qui n'a vu qu'un seul des deux problèmes conclura tranquillement à une convergence qui n'a pas lieu.

Un troisième cas, enfin, ressemble à un obstacle sans en être un. La fonction $t\mapsto \frac{\ln (1+t)}{t}$ n'est pas définie en $0$, mais elle y tend vers $1$ : elle se prolonge par continuité en une fonction continue sur $[0,1]$, et l'intégrale ${\int }_0^1\frac{\ln (1+t)}{t}\mathrm{d}t$ ne pose aucune difficulté. On dit qu'elle est faussement généralisée, ou faussement impropre. Signalez-le en une phrase le jour où vous le rencontrez, et passez à la suite : il n'y a rien à démontrer.

Définition sur un intervalle semi-ouvert $[a,b[$

Voici la définition centrale du chapitre. Elle est courte, et elle dit exactement ce qu'annonçait l'introduction : on intègre sur un segment, puis on pousse la borne.

Trois précisions de vocabulaire, toutes utiles. On dit indifféremment que l'intégrale est généralisée ou impropre en $b$ ; les deux mots signifient « la borne $b$ pose problème ». On dit qu'on étudie la nature de l'intégrale quand on cherche à savoir si elle converge ou diverge. Et l'on prendra garde à ce que la phrase « l'intégrale converge » porte sur le couple formé par la fonction et l'intervalle : ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge alors que ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ diverge, pour la même fonction.

La divergence recouvre deux comportements très différents, et il est bon de les distinguer dès maintenant. Ou bien $F(x)$ tend vers $\pm \mathrm{\infty }$, c'est la divergence par explosion, la seule possible pour une fonction de signe constant comme on le verra en partie 4. Ou bien $F(x)$ n'a pas de limite du tout, c'est la divergence par oscillation : ainsi ${\int }_0^x\cos t\mathrm{d}t=\sin x$ n'a aucune limite quand $x\to +\mathrm{\infty }$, sans jamais dépasser $1$ en valeur absolue. L'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\cos t\mathrm{d}t$ diverge, bien que l'aire ne « parte pas à l'infini ».

Le fait suivant est constamment utilisé, souvent sans être énoncé : la nature d'une intégrale généralisée en $b$ ne dépend que du comportement de $f$ au voisinage de $b$. C'est l'analogue exact du fait qu'on ne change pas la nature d'une série en modifiant un nombre fini de termes.

Démonstration. Soit $x\in [c,b[$. La relation de Chasles sur le segment $[a,x]$, acquise en première année, donne

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{c}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_c^{x}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le premier terme du membre de droite est une constante : il ne dépend pas de $x$. Les deux fonctions $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ et $x\mapsto {\int }_c^{x}f$ diffèrent donc d'une constante, et l'une admet une limite finie en $b^{-}$ si et seulement si l'autre en admet une. Les deux intégrales ont donc bien la même nature, et le passage à la limite dans l'égalité ci-dessus donne la relation annoncée. $\mathrm{\square }$

En pratique, cette propriété autorise à dire « au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ » ou « pour $t$ assez grand » dans toutes les majorations à venir : ce qui se passe sur un segment initial n'a aucune importance pour la nature.

Le cas symétrique $]a,b]$

Rien de nouveau, la borne problématique passe simplement à gauche.

Toutes les propriétés démontrées pour $[a,b[$ se transposent à $]a,b]$ en changeant $x\to b^{-}$ en $x\to a^{+}$ ; nous ne les redémontrerons jamais. Une façon économique de s'en convaincre est le changement de variable $t\mapsto -t$, qui transforme $]a,b]$ en $[-b,-a[$.

Le cas d'un intervalle ouvert $]a,b[$

Ici, un choix s'impose : les deux bornes posent problème, et il faut décider comment on les traite. La règle est simple et sans appel : on coupe l'intervalle en deux, et l'on exige la convergence des deux morceaux.

Cette définition fait intervenir un point de découpe $c$ arbitraire : il faut vérifier que ni la nature, ni la valeur ne dépendent de ce choix. C'est le cas, et la démonstration est une simple application de la localité.

Démonstration. Soient $c$ et $c^{\mathrm{\prime }}$ deux points de $]a,b[$, que l'on peut supposer tels que $c⩽c^{\mathrm{\prime }}$ quitte à les échanger. D'après la propriété de localité de 1.2, appliquée une fois à gauche et une fois à droite, ${\int }_a^{c}f$ et ${\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f$ sont de même nature, et ${\int }_c^{b}f$ et ${\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f$ également. Les deux intégrales convergent donc pour le choix $c$ si et seulement si elles convergent pour le choix $c^{\mathrm{\prime }}$ : la nature ne dépend pas de la découpe.

Supposons maintenant la convergence, et notons $J_c={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ la valeur obtenue avec le point $c$. La localité donne, sur le morceau de gauche puis sur celui de droite,

$${\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{c^{\mathrm{\prime }}}f\text{et}{\int }_c^{b}f={\int }_c^{c^{\mathrm{\prime }}}f+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f,$$

où ${\int }_c^{c^{\mathrm{\prime }}}f$ est une intégrale ordinaire sur un segment. En additionnant la première égalité à ${\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f$, il vient

$$J_{c^{\mathrm{\prime }}}={\int }_a^{c^{\mathrm{\prime }}}f+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{c^{\mathrm{\prime }}}f+{\int }_{c^{\mathrm{\prime }}}^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f=J_c,$$

la dernière égalité venant de la seconde relation. Donc $J_c=J_{c^{\mathrm{\prime }}}$. $\mathrm{\square }$

Il faut insister sur l'exigence des deux convergences, car c'est un piège classique et coûteux. On ne définit pas ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f$ comme la limite de ${\int }_{-x}^{x}f$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$. Cette limite symétrique peut parfaitement exister alors que l'intégrale diverge.

Le reste d'une intégrale convergente

L'analogie avec les séries se poursuit : une intégrale convergente possède un reste, qui tend vers zéro. Cette quantité sert à quantifier la vitesse de convergence et interviendra dans les majorations.

Démonstration. Notons $L={\int }_a^{b}f$ la valeur de l'intégrale, qui existe par hypothèse. La décomposition ci-dessus s'écrit $R(x)=L-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$. Or, par définition même de la convergence, ${\int }_a^{x}f\to L$ quand $x\to b^{-}$. Donc $R(x)\to L-L=0$. $\mathrm{\square }$

Le cas faussement généralisé

Il arrive souvent qu'une intégrale ait l'air impropre sans l'être. Le résultat suivant règle la question en une ligne, et il faut savoir l'invoquer pour ne pas perdre de temps.

Démonstration. Prolongeons $f$ en posant $\tilde{f}(t)=f(t)$ pour $t\in [a,b[$ et $\tilde{f}(b)=\mathrm{\ell }$. La fonction $\tilde{f}$ est continue sur le segment $[a,b]$ : son intégrale est donc définie au sens de la première année, et la fonction $x\mapsto {\int }_a^x\tilde{f}$ est une primitive de $\tilde{f}$, donc est continue sur $[a,b]$.

Or, pour $x\in [a,b[$, on a ${\int }_a^{x}f={\int }_a^x\tilde{f}$, puisque les deux fonctions coïncident sur $[a,x]$. Par continuité, cette quantité tend vers ${\int }_a^b\tilde{f}$ quand $x\to b^{-}$ : la limite existe et est finie, donc l'intégrale converge, et sa valeur est ${\int }_a^b\tilde{f}$. $\mathrm{\square }$

Les intégrales de référence

Comme pour les séries, tout le travail de comparaison de la partie 4 repose sur un petit nombre d'intégrales dont la nature est connue par calcul direct. Il y en a trois familles, plus une quatrième qu'il est commode d'ajouter. Elles doivent être sues instantanément, et leurs démonstrations sont exigibles : ce sont de simples calculs de primitives, mais ce sont eux qui fondent tout le reste.

Les intégrales de Riemann en $+\mathrm{\infty }$

Démonstration. La fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, seule la borne $+\mathrm{\infty }$ pose problème. Soit $x>1$. Deux cas se présentent, selon que $\alpha$ vaut $1$ ou non.

Si $\alpha \mathrm{\ne }1$, une primitive de $t\mapsto t^{-\alpha }$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, donc

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_1^x=\frac{x^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Le sort de cette expression dépend du signe de l'exposant $1-\alpha$. Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ et $x^{1-\alpha }\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale partielle tend vers ${\displaystyle \frac{-1}{1-\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$, qui est un réel, donc l'intégrale converge et vaut ce nombre. Si $\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et $x^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale partielle tend vers $+\mathrm{\infty }$ et l'intégrale diverge.

Si $\alpha =1$, une primitive est le logarithme et

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },$$

donc l'intégrale diverge. En rassemblant les trois cas, la convergence a lieu exactement pour $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

Le cas $\alpha =1$ mérite qu'on s'y arrête une seconde, car il est la frontière et il est contre-intuitif. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, l'aire sous sa courbe semble donc « se refermer », et pourtant elle est infinie : le logarithme croît vers l'infini, lentement, mais sans borne. Une fonction qui tend vers $0$ peut parfaitement avoir une intégrale divergente. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, exactement comme la série harmonique est l'erreur la plus fréquente du chapitre sur les séries.

Les intégrales de Riemann en $0$

Démonstration. Si $\alpha ⩽0$, la fonction $t\mapsto t^{-\alpha }$ se prolonge par continuité sur $[0,1]$ et l'intégrale est faussement généralisée : elle converge, et la formule du reste de la démonstration s'appliquera aussi. Supposons donc $\alpha >0$ ; la fonction est continue sur $]0,1]$ et la borne $0$ pose problème. Soit $x\in ]0,1]$.

Si $\alpha \mathrm{\ne }1$,

$${\int }_x^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\left[\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]}_x^1=\frac{1-x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Si $\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et $x^{1-\alpha }\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ : l'intégrale converge et vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}$. Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$, donc $x^{1-\alpha }={\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha -1}}}\to +\mathrm{\infty }$ : l'intégrale diverge.

Si $\alpha =1$,

$${\int }_x^1\frac{\mathrm{d}t}{t}=-\ln x\underset{x\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },$$

donc l'intégrale diverge. La convergence a donc lieu exactement pour $\alpha <1$. $\mathrm{\square }$

Les deux résultats sont inversés, et c'est toute la difficulté mnémotechnique. Retenez-les par leur signification plutôt que par la position de l'inégalité.

En $+\mathrm{\infty }$, il faut que la fonction décroisse assez vite pour que la queue infinie ait une aire finie : plus $\alpha$ est grand, mieux c'est, d'où $\alpha >1$. En $0$, il faut que la fonction n'explose pas trop vite pour que le pic ait une aire finie : plus $\alpha$ est petit, mieux c'est, d'où $\alpha <1$. Dans les deux cas, l'exposant critique est $1$, et dans les deux cas le cas critique diverge.

Une conséquence immédiate, et un piège : ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}$ diverge pour toute valeur de $\alpha$. En effet la convergence exigerait à la fois $\alpha <1$ pour le problème en $0$ et $\alpha >1$ pour celui en $+\mathrm{\infty }$, ce qui est impossible. Aucune puissance de $t$ n'est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ tout entier : c'est pourquoi les fonctions de ce chapitre définies sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ combinent toujours une puissance et un facteur d'un autre type, exponentielle ou logarithme.

Les intégrales de Riemann translatées

Les problèmes en $0$ ne se produisent pas toujours en $0$. Le résultat suivant est le précédent déplacé, et il sert constamment quand la fonction explose au bord d'un intervalle borné.

Démonstration. Traitons la seconde, la première étant identique. Pour $\alpha \mathrm{\ne }1$, une primitive de $t\mapsto (b-t{)}^{-\alpha }$ sur $[a,b[$ est $t\mapsto -{\displaystyle \frac{(b-t{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, car la dérivation de la fonction composée fait apparaître le facteur $-1$ qui se simplifie. Donc, pour $x\in [a,b[$,

$${\int }_a^x\frac{\mathrm{d}t}{(b-t{)}^{\alpha }}=\frac{(b-a{)}^{1-\alpha }-(b-x{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Quand $x\to b^{-}$, la quantité $b-x$ tend vers $0^{+}$, donc $(b-x{)}^{1-\alpha }\to 0$ si $1-\alpha >0$ et $(b-x{)}^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ si $1-\alpha <0$. La convergence a donc lieu si et seulement si $\alpha <1$. Pour $\alpha =1$, l'intégrale partielle vaut $\ln (b-a)-\ln (b-x)\to +\mathrm{\infty }$, et il y a divergence. $\mathrm{\square }$

L'intégrale de l'exponentielle

Démonstration. Si $\lambda \mathrm{\ne }0$, pour $x>a$,

$${\int }_a^x{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={\left[\frac{-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}{\lambda }\right]}_a^x=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda a}-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}}{\lambda }\mathrm{.}$$

Si $\lambda >0$, alors $-\lambda x\to -\mathrm{\infty }$ donc ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to 0$ et l'intégrale converge vers ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda a}}{\lambda }}$. Si $\lambda <0$, alors ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}\to +\mathrm{\infty }$ et l'intégrale diverge. Enfin, si $\lambda =0$, l'intégrale partielle vaut $x-a\to +\mathrm{\infty }$ et il y a divergence. $\mathrm{\square }$

Cette référence est de loin la plus puissante des trois : l'exponentielle décroissante écrase toute puissance de $t$, ce qui fait de ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ le majorant universel en $+\mathrm{\infty }$. Nous en ferons un usage constant dans la partie 7, autour de la fonction $\mathrm{\Gamma }$.

L'intégrale du logarithme

Démonstration. La fonction $\ln$ est continue sur $]0,1]$ et tend vers $-\mathrm{\infty }$ en $0$ : la borne $0$ pose problème. Une primitive de $\ln$ est $t\mapsto t\ln t-t$, comme on le vérifie en dérivant : $(t\ln t-t{)}^{\mathrm{\prime }}=\ln t+1-1=\ln t$. Donc, pour $x\in ]0,1]$,

$${\int }_x^1\ln t\mathrm{d}t=[t\ln t-t{]}_x^1=(0-1)-(x\ln x-x)=-1-x\ln x+x\mathrm{.}$$

Par croissances comparées, $x\ln x\to 0$ quand $x\to 0^{+}$, donc l'intégrale partielle tend vers $-1$. L'intégrale converge et vaut $-1$. $\mathrm{\square }$

Notez au passage que $\ln$ n'est pas bornée au voisinage de $0$ et que son intégrale converge tout de même : l'explosion d'une fonction en une borne n'interdit nullement la convergence, tout dépend de la vitesse. Le logarithme explose infiniment plus lentement que n'importe quelle puissance $t^{-\alpha }$ avec $\alpha >0$, ce qui explique tout.

Le tableau à connaître

Voici l'ensemble des références, sous la forme où il faut les avoir en tête.

Deux valeurs supplémentaires reviennent si souvent qu'elles méritent d'être mémorisées, bien qu'elles ne servent pas de référence de comparaison : l'intégrale d'Arctangente et l'intégrale de Gauss.

Les deux premières se calculent directement, la troisième est admise ici : sa valeur ne s'obtient par aucune primitive élémentaire, et elle se démontre dans un problème par des méthodes qui dépassent le cadre de cette leçon.

Les règles de calcul

Toutes les règles de calcul de la première année survivent, mais chacune s'accompagne désormais d'une clause : elles ne s'appliquent qu'à des intégrales dont la convergence a été établie au préalable. Le principe de démonstration est invariablement le même, et il vaut la peine de l'énoncer une fois pour toutes : on écrit la règle sur un segment $[a,x]$, où elle est acquise, puis on fait tendre $x$ vers la borne problématique. La première démonstration sera détaillée, les suivantes iront plus vite.

Linéarité

Démonstration. Soit $x\in [a,b[$. La fonction $\lambda f+\mu g$ est continue par morceaux sur le segment $[a,x]$, et la linéarité de l'intégrale sur un segment donne

$${\int }_a^x(\lambda f+\mu g)(t)\mathrm{d}t=\lambda {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+\mu {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Quand $x\to b^{-}$, les deux intégrales du membre de droite admettent par hypothèse des limites finies, respectivement ${\int }_a^{b}f$ et ${\int }_a^{b}g$. Une combinaison linéaire de fonctions ayant une limite finie a une limite finie, égale à la combinaison linéaire des limites : le membre de gauche converge donc, et vers la valeur annoncée. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse « les deux intégrales convergent » n'est pas décorative. La réciproque est fausse : l'intégrale d'une somme peut converger sans qu'aucune des deux intégrales ne converge, les divergences se compensant.

Relation de Chasles et orientation

Démonstration. C'est exactement le contenu de la propriété de localité de 1.2, complété par la définition sur un intervalle ouvert de 1.4 et l'indépendance du point de découpe qui l'accompagne. $\mathrm{\square }$

Positivité et croissance

Démonstration. Pour la positivité : pour tout $x\in [a,b[$, la positivité de l'intégrale sur le segment $[a,x]$ donne ${\int }_a^{x}f⩾0$. Une inégalité large est conservée par passage à la limite, donc la limite ${\int }_a^{b}f$ est positive.

Pour la croissance : la fonction $g-f$ est positive et son intégrale converge par linéarité, donc ${\int }_a^b(g-f)⩾0$, ce qui s'écrit ${\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f⩾0$ par linéarité à nouveau. $\mathrm{\square }$

Notez que les inégalités strictes ne se conservent pas par passage à la limite : même si $f<g$ partout, on ne peut écrire que $\int f⩽\int g$ à ce stade. Le cas d'égalité fait l'objet du théorème de 5.4, qui est nettement plus fin.

Le calcul par primitive

C'est l'outil de calcul numéro un : dès que l'on connaît une primitive, la nature et la valeur se lisent d'un coup.

Démonstration. Pour $x\in [a,b[$, le théorème fondamental de l'analyse donne ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a)$. Le membre de gauche admet une limite finie en $b^{-}$ si et seulement si le membre de droite en admet une, c'est-à-dire si et seulement si $F$ en admet une, puisque $F(a)$ est une constante. $\mathrm{\square }$

Convention de notation. Dans tout ce chapitre, le crochet $[F(t){]}_a^b$ désigne la différence des limites de $F$ aux deux bornes, ces limites devant exister et être finies pour que l'écriture ait un sens. Écrire un crochet dont l'une des limites est infinie, ou n'existe pas, est une faute.

Intégration par parties

Démonstration. Soit $x\in [a,b[$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[a,x]$, donc l'intégration par parties de première année s'applique sans aucune condition supplémentaire :

$${\int }_a^x{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)\mathrm{d}t=u(x)v(x)-u(a)v(a)-{\int }_a^{x}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par hypothèse, $u(x)v(x)$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ quand $x\to b^{-}$. Notons $A(x)={\int }_a^x{u}^{\mathrm{\prime }}v$ et $B(x)={\int }_a^{x}u{v}^{\mathrm{\prime }}$ : l'égalité ci-dessus s'écrit $A(x)+B(x)=u(x)v(x)-u(a)v(a)$, dont le membre de droite admet la limite finie $\mathrm{\ell }-u(a)v(a)$.

Si $A$ admet une limite finie, alors $B=(uv-u(a)v(a))-A$ en admet une aussi, et réciproquement : les deux intégrales sont bien de même nature. En cas de convergence, le passage à la limite dans l'égalité donne la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'intégrale converge, la fonction étant positive et négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ en $+\mathrm{\infty }$ par croissances comparées. Posons $t=\phi (u)=\frac{u}{\lambda }$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, strictement croissante, envoie $0$ sur $0$ et $+\mathrm{\infty }$ sur $+\mathrm{\infty }$, et ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{1}{\lambda }$. Alors

$${\left(\frac{u}{\lambda }\right)}^n{\mathrm{e}}^{-u}\times \frac{1}{\lambda }=\frac{1}{{\lambda }^{n+1}}{u}^n{\mathrm{e}}^{-u},$$

donc l'intégrale vaut $\frac{1}{{\lambda }^{n+1}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{u}^n{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{n!}{{\lambda }^{n+1}}$ d'après l'exemple précédent. $\mathrm{\square }$

C'est le calcul le plus rentable du chapitre : il servira à chaque intégration terme à terme faisant intervenir une exponentielle.

Changement de variable

C'est la règle la plus délicate à énoncer, parce que les bornes ne sont plus des nombres mais des limites. L'hypothèse clé est la stricte monotonie du changement de variable.

Démonstration. Fixons $c\in ]\alpha ,\beta [$ et soit $x\in [c,\beta [$. La fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[c,x]$ et $f$ est continue sur l'image : le changement de variable de première année donne

$${\int }_c^{x}f(\phi (u)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)\mathrm{d}u={\int }_{\phi (c)}^{\phi (x)}f(s)\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

Quand $x\to {\beta }^{-}$, la monotonie de $\phi$ assure que $\phi (x)\to b$ en restant du même côté de $b$. Le membre de gauche admet donc une limite finie si et seulement si $y\mapsto {\int }_{\phi (c)}^{y}f(s)\mathrm{d}s$ en admet une quand $y\to b$, c'est-à-dire si et seulement si ${\int }_{\phi (c)}^{b}f$ converge. Le même raisonnement en ${\alpha }^{+}$ traite l'autre borne, et la propriété de localité permet de recoller les deux moitiés. Les limites étant égales terme à terme, les valeurs coïncident. $\mathrm{\square }$

Fonctions positives : les critères de comparaison

Toute cette partie suppose les fonctions positives, et cette hypothèse n'est pas une commodité : c'est ce qui rend les critères vrais. La raison tient en une phrase, démontrée au paragraphe suivant : pour une fonction positive, l'intégrale partielle est croissante, donc son sort est décidé par une simple question de majoration. Il n'y a que deux comportements possibles, la convergence ou l'explosion vers $+\mathrm{\infty }$, et jamais l'oscillation. C'est exactement la situation des séries à termes positifs, et tous les critères que vous connaissez pour elles se transposent ici mot pour mot.

Le cas général, celui des fonctions de signe quelconque ou à valeurs complexes, ne sera pas traité par ces critères : il sera ramené au cas positif en travaillant sur $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, ce qui est l'objet de la partie 5. Voilà pourquoi cette partie, en apparence restrictive, est en réalité le cœur technique du chapitre.

Le moteur : croissance de l'intégrale partielle

Démonstration. Soient $x$ et $y$ tels que $a⩽x⩽y<b$. La relation de Chasles sur les segments donne

$$F(y)-F(x)={\int }_x^{y}f(t)\mathrm{d}t⩾0,$$

la positivité de cette dernière intégrale venant de celle de $f$ sur le segment $[x,y]$. Donc $F$ est croissante sur $[a,b[$.

Le théorème de la limite monotone s'applique alors à $F$ en $b^{-}$, que $b$ soit fini ou infini : une fonction croissante admet toujours une limite en $b^{-}$, cette limite est finie et égale à $\sup F$ si $F$ est majorée, et vaut $+\mathrm{\infty }$ sinon. Par définition de la convergence, cela donne exactement les deux situations annoncées. $\mathrm{\square }$

Ce résultat, d'apparence anodine, est le moteur de toute la partie. Il transforme une question de limite en une question de majoration, et une majoration, cela se fabrique.

Deux conséquences à retenir. D'abord, pour une fonction positive, il n'y a pas de divergence par oscillation : ou bien l'intégrale converge, ou bien elle vaut $+\mathrm{\infty }$. Ensuite, on se permettra pour une fonction positive l'écriture commode

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t<+\mathrm{\infty }$$

pour dire « l'intégrale converge », l'intégrale d'une fonction positive étant toujours définie comme élément de $[0,+\mathrm{\infty }]$.

Comparaison par inégalité

Démonstration. Quitte à remplacer $a$ par un point $c$ plus proche de $b$, ce qui ne change pas la nature des intégrales d'après la propriété de localité de 1.2, on peut supposer $0⩽f⩽g$ sur $[a,b[$ tout entier.

Supposons ${\int }_a^{b}g$ convergente, et notons $L$ sa valeur. Posons $F(x)={\int }_a^{x}f$ et $G(x)={\int }_a^{x}g$. La croissance de l'intégrale sur le segment $[a,x]$ donne $F(x)⩽G(x)$. Par ailleurs $g$ est positive, donc $G$ est croissante et majorée par sa limite $L$, d'après le critère de majoration. En combinant,

$$\mathrm{\forall }x\in [a,b[,F(x)⩽G(x)⩽L\mathrm{.}$$

Ainsi $F$ est majorée par $L$, et comme $f$ est positive, le critère de majoration conclut à la convergence de ${\int }_a^{b}f$. Le passage à la limite dans $F(x)⩽G(x)$ donne de plus ${\int }_a^{b}f⩽{\int }_a^{b}g$.

Le point 2 est la contraposée du point 1. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse de positivité de $f$ est indispensable, et pas seulement pour la forme. Sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, prenons $f(t)=-\frac{1}{t^2}$ et $g(t)=\frac{1}{t}$ : on a bien $f⩽g$, l'intégrale de $g$ diverge, et pourtant celle de $f$ converge. Sans positivité, une inégalité ne transfère rien du tout.

Comparaison par domination et négligeabilité

Rappelons les notations de première année, au voisinage de la borne $b$. On écrit $f(t)=O(g(t))$ s'il existe un réel $M⩾0$ et un voisinage de $b$ sur lequel $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽M\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$ ; on écrit $f(t)=o(g(t))$ si, pour tout $\epsilon >0$, on a $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽\epsilon \mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$ au voisinage de $b$. Quand $g$ ne s'annule pas, ces conditions équivalent respectivement à « $f\mathrm{/}g$ est bornée » et « $f\mathrm{/}g\to 0$ ». Enfin, $f=o(g)$ entraîne $f=O(g)$, et $f\sim g$ entraîne aussi $f=O(g)$.

Démonstration. Par définition de la domination, il existe $M⩾0$ et $c\in [a,b[$ tels que

$$\mathrm{\forall }t\in [c,b[,\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽M\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les deux fonctions étant positives, cela s'écrit $0⩽f(t)⩽Mg(t)$ sur $[c,b[$.

Supposons ${\int }_a^{b}g$ convergente. Par localité, ${\int }_c^{b}g$ converge, donc ${\int }_c^{b}Mg$ converge par linéarité. Le théorème de comparaison de 4.2, appliqué sur $[c,b[$ aux fonctions $f$ et $Mg$, donne la convergence de ${\int }_c^{b}f$, et la localité redonne celle de ${\int }_a^{b}f$. $\mathrm{\square }$

Attention à ce que ce théorème ne dit pas : la domination transfère la nature, jamais la valeur. De $f=o(g)$ on ne tire aucune information sur $\int f$ en fonction de $\int g$, sinon l'inégalité $\int f⩽M\int g$ si l'on a explicité $M$.

Comparaison par équivalents

C'est le critère le plus utilisé du chapitre, parce qu'un équivalent se calcule presque toujours par développement limité ou par croissances comparées.

Démonstration. Par définition de l'équivalence, on peut écrire $f=g(1+\epsilon )$ avec $\epsilon (t)\to 0$ quand $t\to b$. Appliquons cette convergence avec le seuil $\frac{1}{2}$ : il existe $c\in [a,b[$ tel que

$$\mathrm{\forall }t\in [c,b[,\mathrm{\mid }\epsilon (t)\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{2},$$

et donc, en multipliant par $g(t)⩾0$,

$$\mathrm{\forall }t\in [c,b[,\frac{1}{2}g(t)⩽f(t)⩽\frac{3}{2}g(t)\mathrm{.}$$

Ces trois fonctions sont positives sur $[c,b[$, et l'on peut donc appliquer deux fois le théorème de comparaison.

Si ${\int }_a^{b}g$ converge, l'inégalité de droite donne la convergence de ${\int }_c^{b}f$, donc celle de ${\int }_a^{b}f$ par localité. Réciproquement, si ${\int }_a^{b}f$ converge, l'inégalité de gauche, réécrite $0⩽g⩽2f$, donne la convergence de ${\int }_a^{b}g$. Les deux intégrales ont donc la même nature. $\mathrm{\square }$

Deux mises en garde, l'une et l'autre coûteuses en copie.

Un équivalent donne la nature, jamais la valeur. De $f\sim g$ et de la convergence des deux intégrales, on ne peut absolument pas déduire ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{b}g$, ni même un équivalent entre ces deux nombres. Les intégrales de $\frac{1}{t^2}$ et de $\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ portent sur des fonctions équivalentes en $+\mathrm{\infty }$ et valent respectivement $1$ et $\frac{3}{2}$.

La positivité est essentielle. Un équivalent est une information sur le module, il ne « voit » pas les compensations d'un terme oscillant. Vous connaissez déjà le phénomène sur les séries : les suites $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ et $v_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$ sont équivalentes, la série $\sum u_n$ converge par le critère spécial des séries alternées, et $\sum v_n$ diverge. Le même phénomène existe pour les intégrales. La règle est donc absolue : avant d'invoquer un équivalent, on écrit noir sur blanc que la fonction est positive, ou de signe constant, au voisinage de la borne étudiée. Une fonction dont le signe change indéfiniment doit être traitée par l'intégrabilité de la partie 5, en travaillant sur $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$.

La règle de Riemann

En combinant la comparaison avec les intégrales de référence de la partie 2, on obtient un critère prêt à l'emploi, qui évite d'écrire l'équivalent complet.

Démonstration. Pour le point 1 : dire que $t^{\alpha }f(t)$ est borné au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, c'est exactement dire que $f(t)=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{t^{\alpha }}\right)$. Comme $\alpha >1$, l'intégrale de référence ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge, et la comparaison par domination conclut.

Pour le point 2 : si $\mathrm{\ell }>0$ est fini, il existe $c⩾a$ tel que $t^{\alpha }f(t)⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}$ pour $t⩾c$, c'est-à-dire $f(t)⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}\cdot \frac{1}{t^{\alpha }}$ ; si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$, il existe $c$ tel que $t^{\alpha }f(t)⩾1$ pour $t⩾c$, et la même minoration vaut avec la constante $1$. Dans les deux cas, ${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ diverge puisque $\alpha ⩽1$, donc ${\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f$ diverge par comparaison, et ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$ aussi par localité. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Identique à la précédente, en remplaçant la référence ${\int }^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ par la référence translatée ${\int }_a\frac{\mathrm{d}t}{(t-a{)}^{\alpha }}$ de 2.3, qui converge si et seulement si $\alpha <1$. $\mathrm{\square }$

Le cas $\alpha =2$ en $+\mathrm{\infty }$ et le cas $\alpha =\frac{1}{2}$ en $0$ suffisent à traiter l'écrasante majorité des exercices : « $t^{2}f(t)\to 0$ » est le certificat de convergence en $+\mathrm{\infty }$, et « $\sqrt{t}f(t)\to 0$ » celui en $0$.

La méthode générale

Avant les exemples, un contrôle rapide sur une seule et même fonction, $t\mapsto \frac{1}{t\sqrt{t}}=\frac{1}{t^{3\mathrm{/}2}}$, intégrée sur trois intervalles différents.

L'exposant $\frac{3}{2}$ est supérieur à $1$ : c'est ce qu'il faut en $+\mathrm{\infty }$, c'est exactement ce qu'il ne faut pas en $0$. La fonction est la même dans les trois cas, seul l'intervalle change, et c'est bien le couple formé par la fonction et l'intervalle qui converge ou qui diverge.

Les pièges de la partie

Piège 1 : n'examiner qu'une seule borne. C'est l'erreur la plus fréquente, et la plus chère. Dès que l'intervalle est ouvert aux deux bouts, il y a deux études à mener, et la convergence exige les deux. Souvenez-vous que ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ diverge pour toute valeur de $\alpha$.

Piège 2 : croire que $f(t)\to 0$ suffit. L'intégrale ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t}$ diverge alors que $\frac{1}{t}\to 0$. Décroître vers zéro ne suffit pas, il faut décroître assez vite, et le seuil est la puissance $1$.

Piège 3 : croire que la convergence force $f(t)\to 0$. L'implication réciproque est fausse elle aussi : une fonction peut avoir une intégrale convergente en $+\mathrm{\infty }$ sans tendre vers $0$, en concentrant des pics de plus en plus étroits. Nous ne nous en servirons pas, mais ne postulez jamais cette implication.

Piège 4 : utiliser un équivalent sans vérifier le signe. Rappelé en 4.4, ce piège mérite d'être répété : les théorèmes de comparaison sont faux pour des fonctions de signe non constant. La phrase « la fonction est positive sur l'intervalle considéré » doit figurer dans la copie.

Piège 5 : confondre nature et valeur. Une comparaison, une domination, un équivalent donnent la nature. Aucun ne donne la valeur. Si l'énoncé demande une valeur, il faudra une primitive, une intégration par parties, un changement de variable, ou l'un des théorèmes de la partie 6.

Piège 6 : majorer par une fonction dont l'intégrale diverge. Une majoration ne sert que si le majorant est intégrable. Écrire $\frac{\ln t}{t^2}⩽\frac{\ln t}{t}$ est vrai pour $t⩾1$, et parfaitement inutile. La majoration doit être utile, c'est-à-dire aboutir à une référence convergente.

Les fonctions intégrables

Tous les critères de la partie 4 exigent la positivité. Que faire d'une fonction de signe variable, ou à valeurs complexes ? On pourrait chercher à étendre les critères : c'est impossible, les contre-exemples de 4.4 le montrent. La bonne idée est ailleurs, et elle consiste à renforcer l'exigence : au lieu de demander que ${\int }_a^{b}f$ converge, on va demander que ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ converge. On perd quelques fonctions au passage, mais on gagne trois choses considérables : les critères de la partie 4 redeviennent applicables, puisqu'ils portent sur $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ qui est positive ; l'ensemble des fonctions ainsi retenues est un espace vectoriel ; et surtout, c'est exactement l'hypothèse sous laquelle les grands théorèmes de la partie 6 sont vrais.

Définition

Le point décisif est que $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est positive : toute la partie 4 lui est donc applicable telle quelle. Montrer qu'une fonction est intégrable, c'est exactement étudier la nature de l'intégrale d'une fonction positive, exercice que nous savons faire. C'est pourquoi, en pratique, tous les critères de comparaison s'utilisent sur $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$.

Notez aussi que pour une fonction positive, « intégrable » et « intégrale convergente » sont synonymes, puisque $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }=f$. La distinction ne se pose que pour les fonctions de signe variable ou complexes.

L'intégrabilité entraîne la convergence

Démonstration. Traitons d'abord le cas d'une fonction réelle. Posons

$$f^{+}=\frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+f}{2}\text{et}{f}^{-}=\frac{\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }-f}{2}\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions sont continues par morceaux comme combinaisons linéaires de fonctions continues par morceaux. Elles sont positives, car $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩾f$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩾-f$ en tout point. Elles vérifient enfin

$$0⩽f^{+}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }\text{et}0⩽f^{-}⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid },$$

puisque $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+f⩽2\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }-f⩽2\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$.

L'intégrale ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ converge par hypothèse. Le théorème de comparaison de 4.2, appliqué aux fonctions positives $f^{+}$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ d'une part, $f^{-}$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ d'autre part, donne la convergence de ${\int }_a^b{f}^{+}$ et de ${\int }_a^b{f}^{-}$. Or

$$f=f^{+}-f^{-},$$

comme on le vérifie immédiatement, donc la linéarité de 3.1, applicable puisque les deux intégrales convergent, donne la convergence de ${\int }_a^{b}f$.

Passons au cas complexe. Les fonctions $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$ sont continues par morceaux, réelles, et vérifient $\mathrm{\mid }\mathrm{Re}f\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }\mathrm{Im}f\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. Par comparaison de fonctions positives, elles sont intégrables, donc leurs intégrales convergent d'après le cas réel. La linéarité appliquée à $f=\mathrm{Re}f+\mathrm{i}\mathrm{Im}f$ donne la convergence de ${\int }_a^{b}f$.

Reste l'inégalité. Pour $x\in [a,b[$, l'inégalité triangulaire sur le segment $[a,x]$, acquise en première année, donne

$$\mid {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\mid ⩽{\int }_a^x\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t⩽{\int }_a^b\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t,$$

la seconde inégalité venant de la croissance de $x\mapsto {\int }_a^x\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, qui est croissante puisque $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩾0$. Le module étant continu, le membre de gauche tend vers $\mid {\int }_a^{b}f\mid$ quand $x\to b^{-}$, et l'inégalité large se conserve par passage à la limite. $\mathrm{\square }$

La réciproque est fausse, et le programme s'arrête là. Il existe des fonctions dont l'intégrale converge sans que celle de $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ converge ; on parle alors d'intégrale semi-convergente. L'étude de ces intégrales n'est pas un objectif du programme de PC : aucun théorème, aucune méthode de ce cours ne les concerne. Dans tout ce qui suit, « l'intégrale de $f$ converge » et « $f$ est intégrable » seront donc employés comme synonymes, ce qui est légitime pour toutes les fonctions que vous aurez à traiter.

L'espace vectoriel des fonctions intégrables

Démonstration. La fonction nulle est intégrable, donc $L^1(I,\mathbb{K})$ n'est pas vide. Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables et $\lambda ,\mu \in \mathbb{K}$. La fonction $\lambda f+\mu g$ est continue par morceaux, et l'inégalité triangulaire ponctuelle donne

$$\mid \lambda f(t)+\mu g(t)\mid ⩽\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mu \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }\text{pour tout }t\in I\mathrm{.}$$

Le membre de droite est une fonction positive dont l'intégrale converge, par linéarité appliquée aux intégrales convergentes ${\int }_I\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et ${\int }_I\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$. Le théorème de comparaison, licite puisque les deux membres sont positifs, donne la convergence de ${\int }_I\mathrm{\mid }\lambda f+\mu g\mathrm{\mid }$ : la fonction $\lambda f+\mu g$ est intégrable. L'ensemble est donc stable par combinaison linéaire, c'est un sous-espace vectoriel.

Les intégrales étant toutes convergentes, la linéarité de 3.1 s'applique et donne le caractère linéaire de $f\mapsto {\int }_{I}f$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le point 1 est le théorème de comparaison, ou celui de domination, appliqué aux fonctions positives $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$. Pour le point 2, si $\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }⩽M$ sur $I$, alors $\mathrm{\mid }fg\mathrm{\mid }⩽M\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, et $M\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ a une intégrale convergente : la comparaison conclut. $\mathrm{\square }$

Attention, un piège classique : le produit de deux fonctions intégrables n'est pas nécessairement intégrable. Sur $]0,1]$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable, mais son carré $t\mapsto \frac{1}{t}$ ne l'est pas. Cette pathologie n'existait pas sur un segment, où toute fonction continue par morceaux est bornée donc intégrable.

Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle

Démonstration. Raisonnons par contraposée : supposons $f$ non identiquement nulle, et montrons que son intégrale est strictement positive. Il existe donc $x_0\in I$ tel que $f(x_0)\mathrm{\ne }0$, c'est-à-dire $f(x_0)>0$ puisque $f$ est positive.

Posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}>0$. La fonction $f$ étant continue en $x_0$, il existe $\eta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in I\cap [x_0-\eta ,x_0+\eta ],\mathrm{\mid }f(x)-f(x_0)\mathrm{\mid }⩽\epsilon ,$$

et donc, en particulier, $f(x)⩾f(x_0)-\epsilon ={\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}$ sur cet ensemble.

Comme $I$ est un intervalle non réduit à un point, l'ensemble $I\cap [x_0-\eta ,x_0+\eta ]$ contient un segment $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$ : il suffit de prendre un voisinage de $x_0$ dans $I$, en le décalant d'un côté si $x_0$ est une extrémité de $I$. Sur ce segment, la croissance de l'intégrale donne

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t⩾{\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{f(x_0)}{2}\mathrm{d}t=(\beta -\alpha )\frac{f(x_0)}{2}>0.$$

Il reste à comparer cette quantité à l'intégrale sur $I$ tout entier. En découpant $I$ par la relation de Chasles en trois morceaux, la partie à gauche de $\alpha$, le segment $[\alpha ,\beta ]$ et la partie à droite de $\beta$, et en utilisant que $f$ est positive donc que les deux morceaux extrêmes ont une intégrale positive, il vient

$${\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t⩾{\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t>0.$$

L'intégrale de $f$ sur $I$ est donc strictement positive, ce qui achève la contraposée. $\mathrm{\square }$

Deux commentaires. D'abord, l'hypothèse de continuité est indispensable : une fonction continue par morceaux nulle partout sauf en un point a une intégrale nulle sans être la fonction nulle. Ce théorème est l'un des rares du chapitre où l'on exige la continuité et pas seulement la continuité par morceaux.

Ensuite, c'est ce théorème qui permet de fabriquer des produits scalaires intégraux. Sur l'espace des fonctions continues $f:I\to \mathbb{R}$ telles que $f^2$ soit intégrable, l'application

$$(f,g)⟼{\int }_{I}f(t)g(t)\mathrm{d}t$$

est bien définie, car $\mathrm{\mid }fg\mathrm{\mid }⩽\frac{f^2+g^2}{2}$, elle est bilinéaire symétrique et positive, et le théorème ci-dessus lui donne exactement le caractère défini : ${\int }_I{f}^2=0$ entraîne $f^2=0$ donc $f=0$. On retrouve ainsi, sur un intervalle quelconque, les produits scalaires du chapitre sur les espaces préhilbertiens.

La méthode de rédaction

Le passage à la limite sous l'intégrale

Nous arrivons au cœur du chapitre. Les trois parties précédentes n'avaient qu'un but : disposer d'un vocabulaire, l'intégrabilité, et d'une technique, la comparaison, permettant d'énoncer et d'utiliser les théorèmes qui suivent. Ces théorèmes répondent tous à la même question : peut-on échanger l'intégrale et un passage à la limite ?

Pourquoi la convergence uniforme ne suffit plus

Le chapitre sur les suites et séries de fonctions a donné une réponse, mais sur un segment : si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ avec les $f_n$ continues, alors ${\int }_a^b{f}_n\to {\int }_a^{b}f$, avec la majoration

$$\mid {\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}f\mid ⩽(b-a)\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{.}$$

Le facteur $(b-a)$ est la clé, et c'est aussi la limite de l'argument : sur un intervalle de longueur infinie, il ne vaut plus rien.

Ce contre-exemple indique la bonne hypothèse. Il ne faut pas contrôler la hauteur des $f_n$, il faut les enfermer sous un même couvercle d'aire finie, qui empêchera la masse de fuir. Ce couvercle s'appelle une domination.

Le théorème de convergence dominée

Ce théorème est admis en PC ; sa démonstration relève d'une théorie de l'intégration plus élaborée. Il faut en revanche comprendre exactement le rôle de chaque hypothèse.

Sur (H2), l'hypothèse centrale. La fonction $\phi$ ne dépend pas de $n$ : c'est le mot « indépendante de $n$ » qui fait tout le travail, en interdisant à la masse de s'échapper. Elle doit de plus être intégrable, et cette intégrabilité doit être justifiée en copie, avec les outils de la partie 5. Une domination par une fonction non intégrable ne sert à rien.

Un bénéfice gratuit. La domination donne l'intégrabilité de toutes les fonctions en jeu : $\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }⩽\phi$ donne celle des $f_n$, et le passage à la limite ponctuel dans cette inégalité donne $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽\phi$, donc celle de $f$. Il est donc inutile de vérifier séparément que les intégrales existent, le théorème s'en charge. C'est une économie appréciable.

Sur (H1). On demande seulement la convergence simple, ce qui est très peu exigeant : on fixe $t$ et l'on calcule une limite de suite numérique. En contrepartie, il faut vérifier que la limite $f$ est continue par morceaux, contrainte propre au cadre de la filière. En pratique, $f$ est continue, ou continue par morceaux de façon évidente.

Sur la conclusion. Elle porte sur la limite des nombres ${\int }_I{f}_n$. Aucune uniformité n'est supposée, et aucune n'est obtenue.

Démonstration. Posons $g_n=\mathrm{\mid }{f}_n-f\mathrm{\mid }$. Chaque $g_n$ est continue par morceaux et positive sur $I$. D'après (H1), pour tout $t\in I$, $g_n(t)\to 0$ : la suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction nulle, qui est continue par morceaux. Enfin, l'inégalité triangulaire et le passage à la limite dans (H2) donnent

$$g_n(t)⩽\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽2\phi (t),$$

et $2\phi$ est intégrable. Le théorème de convergence dominée, appliqué à la suite $(g_n)$, donne ${\int }_I{g}_n\to {\int }_{I}0=0$. $\mathrm{\square }$

Ce complément est plus fort que la conclusion du théorème, puisque

$$\mid {\int }_I{f}_n-{\int }_{I}f\mid =\mid {\int }_I(f_n-f)\mid ⩽{\int }_I\mathrm{\mid }{f}_n-f\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Le mode d'emploi

L'intégration terme à terme

Voici le pendant du théorème précédent pour les séries de fonctions. Attention à ne pas le confondre avec le théorème d'intégration terme à terme du chapitre sur les séries de fonctions : celui-là exigeait un segment et la convergence uniforme, celui-ci vaut sur un intervalle quelconque, et son hypothèse est la convergence d'une série numérique.

Là encore, le théorème est admis, et le rôle des hypothèses mérite d'être précisé.

(H2) porte sur les valeurs absolues. Ce n'est pas « la série $\sum {\int }_I{f}_n$ converge », c'est « la série $\sum {\int }_I\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }$ converge ». Cette hypothèse est plus forte, et c'est elle qui coûte du travail : c'est presque toujours l'étape décisive de l'exercice.

Ni convergence uniforme, ni convergence normale. Elles n'apparaissent nulle part, et le contre-exemple de 6.1 montre qu'elles ne serviraient à rien sur un intervalle non borné.

Le cas confortable des fonctions positives. Si toutes les $f_n$ sont positives, alors $\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }=f_n$ et (H2) se lit simplement : « la série $\sum {\int }_I{f}_n$, à termes positifs, converge ». On calcule les intégrales, on regarde la série obtenue, et si elle converge, tout est démontré d'un coup. C'est la situation la plus fréquente en exercice.

L'hypothèse (H2) est suffisante, pas nécessaire. Quand elle tombe en défaut, la conclusion peut rester vraie ; il faut alors changer de méthode, et c'est l'objet de 6.5.

Le cas positif mérite un énoncé à part, car il donne une équivalence et pas seulement une implication.

Démonstration. Si la série $\sum {\int }_I{f}_n$ converge, alors $\sum {\int }_I\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }$ converge aussi puisque $\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }=f_n$ : c'est (H2), et le théorème s'applique.

Réciproquement, supposons $S$ intégrable. Les $f_n$ étant positives, toute somme partielle vérifie ${\sum }_{n=0}^N{f}_n⩽S$ en tout point de $I$, donc, par croissance de l'intégrale,

$$\sum _{n=0}^N{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t={\int }_I(\sum _{n=0}^N{f}_n(t))\mathrm{d}t⩽{\int }_{I}S(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

La série $\sum {\int }_I{f}_n$ est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : elle converge. $\mathrm{\square }$

Quand l'hypothèse (H2) tombe en défaut

Les pièges de la partie

Piège 1 : une dominante qui dépend de $n$. C'est l'erreur fatale. Écrire $\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }⩽n{\mathrm{e}}^{-nt}$ et déclarer la domination établie n'a aucun sens : la fonction $\phi$ doit être une seule fonction, valable pour tous les $n$ à la fois. Relisez toujours votre majoration en vous demandant : le $n$ a-t-il disparu ?

Piège 2 : oublier de justifier l'intégrabilité de la dominante. Une dominante non intégrable ne domine rien du tout. La justification se rédige avec la Méthode 6, en deux lignes.

Piège 3 : confondre $\sum \int f_n$ et $\sum \int \mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }$. L'hypothèse du théorème d'intégration terme à terme porte sur les valeurs absolues. Vérifier la convergence de $\sum {\int }_I{f}_n$ ne prouve rien, sauf si les $f_n$ sont positives, auquel cas les deux séries sont la même.

Piège 4 : garder un intervalle qui dépend de $n$. Le théorème de convergence dominée exige un intervalle $I$ fixe. Une intégrale ${\int }_0^n$ ou ${\int }_{1\mathrm{/}n}^1$ doit d'abord être réécrite sur un intervalle fixe, en prolongeant les fonctions par $0$.

Piège 5 : oublier de vérifier que la limite est continue par morceaux. C'est rapide, mais c'est une hypothèse. Une limite simple de fonctions continues n'a aucune raison d'être continue, et si elle ne l'est pas, il faut au moins qu'elle soit continue par morceaux.

Piège 6 : croire que le théorème donne une convergence uniforme. Il donne la convergence d'une suite de nombres. Rien de plus.

Les intégrales à paramètre

Voici l'aboutissement du chapitre. Une intégrale à paramètre est une fonction définie par une formule du type

$$g(x)={\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t,$$

où $t$ est la variable d'intégration, qui disparaît dans le calcul, et $x$ un paramètre, qui subsiste et devient la variable de la fonction $g$. L'intégrale « avale » la variable $t$ et produit une fonction de $x$ comme une autre : on peut lui demander son domaine, sa continuité, sa dérivée, ses variations, ses limites.

Ce mode de définition n'est pas une curiosité : c'est celui de la quasi-totalité des fonctions spéciales de l'analyse et de la physique. La fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler, la transformée de Laplace $x\mapsto {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t$ qui résout les équations différentielles, la transformée de Fourier qui décrit les spectres, les fonctions de Bessel des problèmes à symétrie cylindrique, toutes sont des intégrales à paramètre. Elles n'ont pas d'expression close, et pourtant on sait tout d'elles, parce que les deux théorèmes qui suivent permettent de les étudier comme des fonctions ordinaires.

Le cadre et le domaine de définition

Le théorème de continuité

Démonstration. Montrons d'abord que $g$ est bien définie. Soit $x\in A$. La fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux par (i), et $\mathrm{\mid }f(x,t)\mathrm{\mid }⩽\phi (t)$ par (iii) avec $\phi$ intégrable : par comparaison de fonctions positives, $t\mapsto \mathrm{\mid }f(x,t)\mathrm{\mid }$ a une intégrale convergente, donc $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$ et $g(x)$ existe.

Montrons maintenant la continuité en un point $x_0\in A$. Nous utilisons la caractérisation séquentielle de la continuité : il suffit d'établir que pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $x_0$, la suite $(g(x_n))$ converge vers $g(x_0)$.

Soit donc $(x_n)$ une telle suite. Posons, pour $n\in \mathbb{N}$,

$$f_n:t⟼f(x_n,t),$$

et vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée sur l'intervalle $I$.

Régularité. Chaque $f_n$ est continue par morceaux sur $I$ d'après (i), appliquée au point $x_n\in A$.

Convergence simple. Fixons $t\in I$. La fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$ d'après (ii), donc continue en $x_0$ ; comme $x_n\to x_0$ avec $x_n\in A$, la caractérisation séquentielle donne

$$f_n(t)=f(x_n,t)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}f(x_0,t)\mathrm{.}$$

La suite $(f_n)$ converge donc simplement sur $I$ vers la fonction $t\mapsto f(x_0,t)$, qui est continue par morceaux sur $I$ d'après (i).

Domination. D'après (iii), pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $t\in I$, $\mathrm{\mid }{f}_n(t)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(x_n,t)\mathrm{\mid }⩽\phi (t)$, où $\phi$ est positive, continue par morceaux et intégrable sur $I$, et ne dépend ni de $n$ ni de $t$ autrement que par $t$.

Les deux hypothèses du théorème de convergence dominée sont réunies. Il donne

$${\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_{I}f(x_0,t)\mathrm{d}t,$$

c'est-à-dire exactement $g(x_n)\to g(x_0)$.

Ceci vaut pour toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $x_0$ : par caractérisation séquentielle, $g$ est continue en $x_0$. Le point $x_0$ étant quelconque dans $A$, $g$ est continue sur $A$. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration mérite d'être relue une fois de plus, car elle contient le mécanisme de tout le reste de la partie : une propriété de $g$ en la variable $x$ se démontre en fabriquant une suite de fonctions de $t$ et en lui appliquant la convergence dominée. La même mécanique donnera les limites au bord en 7.6.

La domination locale, qui est le cas général

L'hypothèse (iii) de domination globale est souvent trop forte pour être vraie. La raison est simple : si $\mathrm{\mid }f(x,t)\mathrm{\mid }⩽\phi (t)$ pour tout $x\in A$, alors

$$\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }⩽{\int }_I\phi (t)\mathrm{d}t\text{pour tout }x\in A,$$

et $g$ est bornée sur $A$. Par contraposée, dès que $g$ n'est pas bornée, aucune domination globale n'existe. C'est le cas de $\mathrm{\Gamma }$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ aux deux bouts de son domaine. Il faut donc une version affaiblie, et c'est elle que l'on utilise dans neuf exercices sur dix.

Démonstration. La continuité est une propriété locale. Soit $x_0\in A$. Comme $A$ est un intervalle, il existe un segment $J\subset A$ qui est un voisinage de $x_0$ dans $A$ : si $x_0$ est intérieur à $A$, on prend $J=[x_0-\eta ,x_0+\eta ]$ avec $\eta >0$ assez petit ; si $x_0$ est une extrémité de $A$ appartenant à $A$, on prend $J=[x_0,x_0+\eta ]$ ou $J=[x_0-\eta ,x_0]$ selon le côté.

Le théorème de continuité à domination globale, appliqué sur $J$ avec la dominante ${\phi }_J$, montre que la restriction de $g$ à $J$ est continue. Comme $J$ est un voisinage de $x_0$ dans $A$, la fonction $g$ est continue en $x_0$. Le point $x_0$ étant quelconque, $g$ est continue sur $A$. $\mathrm{\square }$

Retenez bien que la domination locale n'est pas un pis-aller : c'est la situation normale. On écrit systématiquement « soit $[\alpha ,\beta ]$ un segment inclus dans $A$ », on domine sur ce segment, et l'on conclut.

Le théorème de dérivation

Ce théorème est admis en PC. Trois commentaires sur ses hypothèses, qui expliquent pourquoi il est si maniable.

La domination porte sur la dérivée, pas sur $f$. Sur $f$ elle-même, on ne demande que l'intégrabilité à $x$ fixé, c'est-à-dire l'existence de $g(x)$, ce qui est le strict minimum. C'est exactement ce déséquilibre qui rend le théorème utilisable : $f$ peut être aussi peu contrôlée qu'on veut en $x$, tant que sa dérivée est dominée.

La continuité de $g^{\mathrm{\prime }}$ est comprise dans la conclusion. Regardez les hypothèses (iii) et (iv) : ce sont mot pour mot celles du théorème de continuité, appliquées à la fonction $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$. La fonction $x\mapsto {\int }_I\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)\mathrm{d}t$ est donc continue, et c'est bien pourquoi l'on obtient la classe ${\mathcal{C}}^1$, et pas seulement la dérivabilité.

La domination locale suffit, et c'est presque toujours ce dont on dispose, pour la même raison qu'en 7.3.

L'exemple filé : la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler

Deux techniques classiques

La première consiste à obtenir une équation différentielle vérifiée par $g$, en intégrant par parties l'expression de $g^{\mathrm{\prime }}$ pour y faire réapparaître $g$. C'est la méthode reine pour calculer une intégrale à paramètre en forme close.

La seconde technique concerne les limites au bord du domaine. Le théorème de continuité ne dit rien en un point qui n'appartient pas à $A$, ni en $\pm \mathrm{\infty }$. On y retourne à la mécanique de la démonstration de 7.2.

Les pièges de la partie

Piège 1 : une dominante qui dépend du paramètre. C'est l'erreur qui revient dans la moitié des copies. Écrire $\mid \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)\mid ⩽x{\mathrm{e}}^{-xt}$ et conclure est vide de sens : la dominante est une fonction de $t$ seulement. Le travail consiste précisément à éliminer $x$ en le remplaçant par la pire valeur du segment.

Piège 2 : chercher une domination globale à tout prix. Si $g$ n'est pas bornée sur $A$, aucune dominante globale n'existe, et vous chercherez en vain. Le réflexe correct est d'écrire d'emblée « soit $[\alpha ,\beta ]$ un segment de $A$ ».

Piège 3 : dominer $f$ au lieu de $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$. Dans le théorème de dérivation, la domination porte sur la dérivée partielle. Dominer $f$ ne sert qu'à la continuité, et c'est une autre question.

Piège 4 : oublier l'hypothèse d'intégrabilité de $f$. Sans elle, $g(x)$ n'est même pas défini, et il n'y a rien à dériver. Cette hypothèse est en général déjà acquise par l'étude du domaine, mais elle doit être citée.

Piège 5 : confondre la variable et le paramètre. Un équivalent en $t$ se prend à $x$ fixé, quand $t$ tend vers une borne de $I$. Un équivalent en $x$ n'a rien à voir. Le mélange des deux produit des monstres du type « $t^{x-1}\sim x$ ».

Piège 6 : faire tendre le paramètre vers le bord sans domination. Le théorème de continuité s'arrête au domaine. Toute limite au bord passe par une suite et la convergence dominée (Méthode 13).

Récapitulatif : les réflexes du chapitre

Le parallèle avec les séries

Presque tout ce chapitre est la traduction continue de ce que vous savez sur les séries. Ce tableau n'est pas une coïncidence : les deux théories reposent sur le même théorème de la limite monotone.

Quel outil pour quelle question

Les dix réflexes

Les erreurs qui coûtent le plus de points

Erreur 1 : n'étudier qu'une borne. Elle revient chaque année. Le réflexe de protection est mécanique : avant de conclure, compter les bornes problématiques et compter les études menées. Les deux nombres doivent coïncider.

Erreur 2 : une dominante qui dépend de $n$ ou de $x$. Elle rend nulle toute la question, quelle que soit la qualité du reste. Relisez chaque majoration en cherchant les lettres $n$ et $x$ dans le membre de droite : elles ne doivent pas y être.

Erreur 3 : couper une intégrale généralisée en deux morceaux divergents. $\int (f+g)$ peut converger sans que $\int f$ ni $\int g$ ne convergent. On ne scinde qu'après avoir vérifié, et l'on garde les logarithmes groupés dans une seule primitive.

Erreur 4 : un crochet non justifié. Écrire $[uv{]}_a^b$ suppose que les deux limites existent et sont finies. Sans cette vérification, l'égalité d'intégration par parties est une forme indéterminée déguisée.

Erreur 5 : un équivalent sur une fonction de signe variable. Les théorèmes de comparaison exigent la positivité. Pour une fonction qui change de signe indéfiniment, il n'y a qu'une seule route : l'intégrabilité, c'est-à-dire l'étude de $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$.

Erreur 6 : invoquer la convergence uniforme sur un intervalle non borné. Le théorème d'intégration terme à terme du chapitre sur les séries de fonctions exige un segment. Sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, la convergence uniforme ne donne rien, et le contre-exemple de 6.1 le prouve en trois lignes.

Erreur 7 : appliquer la convergence dominée sans vérifier que la limite est continue par morceaux. C'est une hypothèse du théorème, et elle se vérifie en une ligne.

Le formulaire à savoir refaire

Un exercice type entièrement rédigé

Énoncé. Pour $x$ réel, on pose ${\displaystyle g(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}\mathrm{d}t}$. Déterminer le domaine de définition de $g$, montrer qu'elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, étudier ses variations, puis déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

1. Domaine de définition. Soit $x$ réel fixé. La fonction $t\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}$ est continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, le dénominateur ne s'annulant pas : seule la borne $+\mathrm{\infty }$ pose problème.

Si $x>0$, alors $0⩽\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}⩽{\mathrm{e}}^{-xt}$, intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : l'intégrale converge. Si $x=0$, la fonction vaut $\frac{1}{1+t}\sim \frac{1}{t}$ en $+\mathrm{\infty }$, et l'intégrale de Riemann critique diverge. Si $x<0$, alors $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }t}}{1+t}\to +\mathrm{\infty }$ par croissances comparées, donc la fonction est supérieure à $1$ pour $t$ assez grand et l'intégrale diverge.

Le domaine est donc $A=]0,+\mathrm{\infty }[$. La borne $0$ est exclue, et c'est exactement le genre de détail qui distingue une copie sûre d'une copie approximative.

2. Classe ${\mathcal{C}}^1$. Posons $f(x,t)=\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}$ sur $A\times I$ avec $I=[0,+\mathrm{\infty }[$.

Pour tout $x\in A$, $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ : c'est le point 1. La fonction $f$ admet la dérivée partielle

$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)=-\frac{t{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t},$$

continue par morceaux en $t$ à $x$ fixé, et continue en $x$ à $t$ fixé.

Soit $[\alpha ,\beta ]$ un segment de $A$, donc $0<\alpha ⩽\beta$. Pour $x\in [\alpha ,\beta ]$ et $t⩾0$, comme $\frac{t}{1+t}⩽1$ et ${\mathrm{e}}^{-xt}⩽{\mathrm{e}}^{-\alpha t}$,

$$\mid \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)\mid ⩽{\mathrm{e}}^{-\alpha t},$$

et $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-\alpha t}$ est continue, indépendante de $x$ et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ puisque $\alpha >0$. Le théorème de dérivation s'applique donc sur $[\alpha ,\beta ]$, et comme tout point de $A$ est intérieur à un tel segment, $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$ avec

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. Variations. Pour $x>0$, la fonction $t\mapsto \frac{t{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t}$ est continue, positive et non identiquement nulle sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : son intégrale est strictement positive d'après le théorème de 5.4. Donc $g^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ et $g$ est strictement décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Limite en $+\mathrm{\infty }$. Inutile ici de sortir la convergence dominée : une majoration élémentaire suffit. Pour $x>0$ et $t⩾0$, on a $1+t⩾1$, donc

$$0<g(x)⩽{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t=\frac{1}{x},$$

et le théorème d'encadrement donne $g(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

La leçon de cette dernière question. Les grands théorèmes du chapitre ne dispensent jamais de regarder d'abord si une majoration élémentaire ne règle pas la question plus vite. Ici, l'encadrement fournit même une information supplémentaire, la vitesse : $g(x)=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right)$.

Avant de rendre la copie

Devant chaque affirmation du type « l'intégrale converge », « on peut intervertir », « on dérive sous le signe intégrale », posez-vous trois questions. Sur quel intervalle ai-je travaillé, et ai-je traité toutes ses bornes ? Quelle hypothèse de signe ou de domination ai-je réellement établie, et ma dominante est-elle bien indépendante du paramètre ? Quel théorème ai-je invoqué, et l'ai-je nommé ?

Un théorème de ce chapitre correctement appliqué se reconnaît à ce qu'il répond aux trois questions dans le même paragraphe. C'est aussi, très exactement, ce que le programme appelle « se limiter à la vérification des hypothèses cruciales » : peu de mots, mais les bons.