Devoir surveillé — Structures algébriques usuelles

Les cinq exercices sont indépendants les uns des autres et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice $5$ est un problème en deux parties. Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés. Le barème de chaque question est indiqué entre parenthèses. Les résultats des questions précédentes peuvent être utilisés dans la suite même si vous ne les avez pas démontrés, à condition de le signaler. La qualité de la rédaction, la précision des quantificateurs et le soin apporté aux justifications entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies : une réponse juste mais mal justifiée ne rapporte pas tous les points.

On note $\mathcal{S}={\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites réelles, muni de l'addition et de la multiplication terme à terme :

$$(u+v{)}_n=u_n+v_n,(uv{)}_n=u_n{v}_n(n\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

On admet que $(\mathcal{S},+,\times )$ est un anneau commutatif, de neutre additif la suite nulle et de neutre multiplicatif la suite constante égale à $1$, notée $\mathbf{1}$.

Soit $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Une suite $u\in \mathcal{S}$ est dite $p$-périodique lorsque $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On note $P_p$ l'ensemble des suites $p$-périodiques, et

$$P=\bigcup _{p⩾1}{P}_p$$

l'ensemble des suites périodiques. Enfin, on munit ${\mathbb{R}}^p$ des lois définies coordonnée par coordonnée ; on admet que l'on obtient ainsi un anneau commutatif, de neutre multiplicatif $(1,1,\dots ,1)$.

1. (0,75 pt) Montrer que $P_p$ est un sous-anneau de $\mathcal{S}$.

2. (1 pt) Montrer que l'application

$$\mathrm{\Phi }:P_p⟶{\mathbb{R}}^p,u⟼(u_0,u_1,\dots ,u_{p-1})$$

est un isomorphisme d'anneaux. Pour la surjectivité, on pourra associer à $(a_0,\dots ,a_{p-1})$ la suite définie par $u_n=a_r$, où $r$ désigne le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$.

3. (1 pt) Montrer que $P$ est un sous-anneau de $\mathcal{S}$, puis que $P\mathrm{\ne }\mathcal{S}$.

Soit $E$ un ensemble non vide et ${\mathfrak{S}}_E$ le groupe des permutations de $E$, muni de la composition. Soit $A$ une partie de $E$ telle que $A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ et $B=E\setminus A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$. Pour $\sigma \in {\mathfrak{S}}_E$, on note $\sigma (A)=\{\sigma (x);x\in A\}$, et l'on pose

$$G_A=\{\sigma \in {\mathfrak{S}}_E;\sigma (A)=A\},H_A=\{\sigma \in {\mathfrak{S}}_E;\sigma (A)\subset A\}\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Montrer que $G_A$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_E$.

2. (0,75 pt) Soit $\sigma \in G_A$. Montrer que $\sigma (B)=B$. Puis, en considérant $E=\mathbb{Z}$, $A=\mathbb{N}$ et $\sigma :n\mapsto n+1$, montrer que $H_A$ n'est pas toujours un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_E$.

3. (1,25 pt) Pour $\sigma \in G_A$, on note ${\sigma }_A$ et ${\sigma }_B$ les restrictions de $\sigma$ à $A$ et à $B$. Montrer que ${\sigma }_A\in {\mathfrak{S}}_A$ et ${\sigma }_B\in {\mathfrak{S}}_B$, puis que

$$\mathrm{\Psi }:G_A⟶{\mathfrak{S}}_A\times {\mathfrak{S}}_B,\sigma ⟼({\sigma }_A,{\sigma }_B)$$

est un isomorphisme de groupes, ${\mathfrak{S}}_A\times {\mathfrak{S}}_B$ étant muni de la loi produit. Pour la surjectivité, on pourra recoller une permutation de $A$ et une permutation de $B$.

4. (0,5 pt) Application : on prend $E=\{1,2,3,4,5\}$ et $A=\{1,2\}$. Déterminer le cardinal de $G_A$, puis dire si $G_A$ est abélien. On rappelle que le groupe des permutations d'un ensemble à deux éléments en possède deux, et celui d'un ensemble à trois éléments six, et l'on admettra que le cardinal d'un produit de deux ensembles finis est le produit de leurs cardinaux.

On note

$$\mathbb{D}=\{\frac{a}{{10}^n};a\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{Q}\mathrm{.}$$

On admet que $\mathbb{D}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$, résultat déjà établi en exercice. On note ${\mathbb{D}}^{\times }$ son groupe des inversibles, et l'on rappelle que la décomposition d'un entier naturel non nul en produit de nombres premiers est unique.

1. (1,25 pt) Soit $x\in \mathbb{D}$. Montrer que $x$ est inversible dans $\mathbb{D}$ si et seulement s'il existe $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $x=2^{\alpha }{5}^{\beta }$ ou $x=-2^{\alpha }{5}^{\beta }$.

2. (0,75 pt) On munit $\{-1,1\}\times {\mathbb{Z}}^2$ de la loi produit obtenue à partir de $(\{-1,1\},\times )$ et de $({\mathbb{Z}}^2,+)$. Montrer que

$$\psi :\{-1,1\}\times {\mathbb{Z}}^2⟶{\mathbb{D}}^{\times },(\epsilon ,\alpha ,\beta )⟼\epsilon 2^{\alpha }{5}^{\beta }$$

est un isomorphisme de groupes.

3. (0,75 pt) En déduire que $\mathbb{D}$ n'est pas un corps, puis que les anneaux $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Z}$ ne sont pas isomorphes.

Dans tout l'exercice, « morphisme » signifie « morphisme de groupes ». On rappelle que si $f$ est un morphisme d'un groupe $(G,+)$ dans un groupe $(H,+)$, alors $f(nx)=nf(x)$ pour tous $x\in G$ et $n\in \mathbb{Z}$.

1. (1 pt) Soit $f$ un morphisme de $(\mathbb{Q},+)$ dans $(\mathbb{Z},+)$. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{Q}$ et tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'entier $n$ divise $f(x)$. En déduire que $f$ est le morphisme nul.

2. (0,5 pt) On a déjà établi en exercice, par un argument direct, que $(\mathbb{Q},+)$ et $(\mathbb{Z},+)$ ne sont pas isomorphes. Retrouver ce résultat en deux lignes à partir de la question 1., puis montrer que $(\mathbb{Q},+)$ n'est pas non plus isomorphe au groupe produit $({\mathbb{Z}}^2,+)$.

3. (0,5 pt) On admet désormais le résultat suivant, qui s'obtient par la même méthode qu'à la question 1. : tout morphisme $f$ de $(\mathbb{Q},+)$ dans lui-même est de la forme $x\mapsto ax$, où $a=f(1)$. Montrer que $f$ est un automorphisme de $(\mathbb{Q},+)$ si et seulement si $a\mathrm{\ne }0$.

4. (1 pt) On note $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q})$ l'ensemble des automorphismes de $(\mathbb{Q},+)$. Montrer que $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q})$ est un sous-groupe de $({\mathfrak{S}}_{\mathbb{Q}},\circ )$, puis qu'il est isomorphe à $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$.

Ce problème détermine tous les groupes, puis tous les corps, possédant exactement quatre éléments. Les deux parties sont largement indépendantes : la partie B n'utilise de la partie A que les résultats des questions A.2 et A.4.

On notera ${\mathbb{U}}_4=\{1,i,-1,-i\}$ le groupe des racines quatrièmes de l'unité, muni de la multiplication des nombres complexes, et

$$V=\{-1,1\}\times \{-1,1\}$$

le groupe produit de $(\{-1,1\},\times )$ par lui-même, dont le neutre est $(1,1)$.

Partie A — Les groupes à quatre éléments

Soit $(G,\cdot )$ un groupe fini de neutre $e$. On rappelle, et on utilisera librement, que pour tout $a\in G$ les applications $x\mapsto ax$ et $x\mapsto xa$ sont des bijections de $G$ sur $G$. On appelle table de $G$ le tableau à double entrée dont la case située à l'intersection de la ligne $x$ et de la colonne $y$ contient $xy$.

A.1. (0,5 pt) Montrer que chaque élément de $G$ figure exactement une fois dans chaque ligne et exactement une fois dans chaque colonne de la table de $G$.

A.2. (1,5 pt) On suppose désormais que $G$ possède exactement quatre éléments, et on se donne $x\in G$ avec $x\mathrm{\ne }e$. Montrer que $x^2=e$, ou bien que

$$G=\{e,x,x^2,x^3\}\text{avec}{x}^4=e,$$

ces quatre éléments étant deux à deux distincts.

A.3. (1 pt) On suppose qu'il existe $x\in G$ tel que $x^2\mathrm{\ne }e$. Montrer que $G$ est isomorphe à $({\mathbb{U}}_4,\times )$.

A.4. (1,25 pt) On suppose maintenant que $y^2=e$ pour tout $y\in G$, et l'on écrit $G=\{e,a,b,c\}$. Chaque élément est alors son propre symétrique, et le cours établit que $G$ est abélien : on utilisera ces deux faits sans les redémontrer. Montrer que $ab=c$, dresser la table de $G$, puis montrer que $G$ est isomorphe à $V$.

A.5. (0,75 pt) Montrer que $({\mathbb{U}}_4,\times )$ et $V$ ne sont pas isomorphes. Conclure : à isomorphisme près, il existe exactement deux groupes à quatre éléments, et ils sont tous deux abéliens.

Partie B — Le corps à quatre éléments

Soit $(K,+,\times )$ un corps possédant exactement quatre éléments, de neutres $0$ et $1$. On note $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$, et l'on rappelle que tout corps est intègre et que $(K^{\ast },\times )$ est un groupe.

B.1. (0,75 pt) Montrer que $1+1=0$. On pourra appliquer le résultat de la question A.2 au groupe $(K,+)$ et à l'élément $x=1$.

B.2. (0,5 pt) En déduire que $x+x=0$ pour tout $x\in K$, puis que le groupe $(K,+)$ est isomorphe à $V$.

B.3. (0,75 pt) On écrit $K=\{0,1,a,b\}$. Montrer que $ab=1$, puis que $a^2=b$, $a^3=1$ et $b^2=a$.

B.4. (0,25 pt) Montrer que $a+1=b$.

B.5. (1 pt) En déduire que les tables d'addition et de multiplication de $K$ sont entièrement déterminées, et conclure qu'un corps à quatre éléments est unique à isomorphisme près.