Procédés sommatoires discrets

Depuis le début de l'année, la limite d'une suite est un objet familier : on sait ce que signifie $u_n\to \mathrm{\ell }$, on sait le démontrer, on sait s'en servir. Additionner une infinité de nombres, en revanche, n'a aucun sens a priori. L'addition est une opération à deux termes ; par associativité, on sait l'étendre à trois, à quatre, à un nombre fini quelconque de termes, mais rien dans cette construction ne dit ce que vaudrait $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+\cdots$, et rien ne dit non plus que la question soit légitime. Le fait que l'intuition suggère $2$ pour cette somme-là n'est pas une démonstration, et l'intuition se trompe : à la question « que vaut $1-1+1-1+1-\cdots$ ? », on peut répondre $0$ en groupant les termes deux par deux à partir du premier, ou $1$ en les groupant à partir du second. Une écriture qui autorise deux réponses est une écriture qui n'a pas de sens.

Ce chapitre donne à ce geste un sens précis, et il n'y a qu'une seule façon raisonnable de procéder : ramener l'infini au fini, puis passer à la limite. On additionne les $n+1$ premiers termes, ce qui est licite, on obtient un nombre $S_n$, et l'on regarde si la suite $(S_n)$ converge. Si oui, sa limite est ce qu'on appellera la somme ; si non, la somme n'existe pas, et l'écriture reste interdite. Toute la théorie des séries tient dans ce déplacement : une série n'est pas une addition infinie, c'est une suite — celle de ses sommes partielles — regardée sous un angle particulier.

Il faut prendre acte tout de suite d'un changement d'objectif. La question centrale du chapitre n'est presque jamais « combien vaut la somme ? », mais « la somme existe-t-elle ? ». On dira qu'on étudie la nature de la série : convergente ou divergente. Cela peut surprendre, mais c'est exactement ce que l'on fait déjà pour les suites : le théorème de la limite monotone affirme qu'une suite croissante majorée converge, sans livrer sa limite ; les suites adjacentes encadrent un nombre qu'on ne sait pas nommer. De même ici, on décidera de la convergence de $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ sans être capable, avec les outils de MPSI, de démontrer que sa somme vaut ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$. Les séries dont on sait calculer la somme se comptent sur les doigts de deux mains : les géométriques, les télescopiques, l'exponentielle, et quelques cas obtenus par astuce. Toutes les autres, on les classe.

L'outil décisif pour classer est déjà en main : c'est l'analyse asymptotique du chapitre précédent. L'idée est simple et elle gouverne tout ce qui suit. Une série converge quand son terme général devient petit assez vite ; le mot important est « assez vite », car ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ tend vers $0$ sans que $\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ converge, tandis que ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ tend vers $0$ et que $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ converge. Pour trancher, on ne calcule rien : on compare le terme général à celui d'une série dont la nature est connue, à l'aide d'un $O$ ou d'un équivalent. Les développements limités, les croissances comparées, la formule de Stirling deviennent ainsi des instruments de décision, et l'on comprendra rétrospectivement pourquoi le chapitre précédent insistait tant sur la notion de vitesse.

Le chapitre est bâti à deux étages. Le premier étage est celui des séries : les termes y sont indexés par les entiers, et l'ordre dans lequel on les additionne est imposé par l'indice. C'est un cadre confortable, mais rigide, et cette rigidité a un prix — sur certaines séries, changer l'ordre des termes change la somme. Le second étage lève cette contrainte : les familles sommables permettent de sommer « en vrac » une famille indexée par un ensemble quelconque, sans ordre privilégié, à condition de payer un droit d'entrée qui s'appelle la sommabilité. On y gagne deux outils considérables, la sommation par paquets et l'interversion de deux sommations, qui serviront massivement en deuxième année et, dès cette année, en probabilités.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes, et la première est la plus importante. La série de terme général $u_n$ se note $\sum u_n$ : c'est un objet, pas un nombre. Ses sommes partielles sont les $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ (ou ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ lorsque la série démarre à l'indice $1$, ce qui sera toujours précisé). Lorsque la série converge, et seulement dans ce cas, on note ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ sa somme, qui est un nombre, et $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ son reste d'ordre $n$. La lettre $\mathbb{K}$ désigne indifféremment $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On écrit $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$ pour la somme harmonique. Retenez dès maintenant l'interdit qui structure toute la rédaction du chapitre : l'écriture ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ n'a de sens qu'après que la convergence a été prouvée. Écrire cette somme pour démontrer ensuite qu'elle existe, c'est se servir d'un objet dont on ignore s'il existe ; c'est la faute la plus fréquente du chapitre, et elle invalide une copie.

Séries numériques

Définitions

Tout part d'une suite. On ne fabrique pas un objet nouveau : on regarde une suite donnée à travers ses sommes cumulées.

Trois conséquences immédiates de cette définition doivent être comprises avant d'aller plus loin.

D'abord, une série est une suite. Il n'y a pas d'objet nouveau dans ce chapitre : $\sum u_n$ désigne la suite $(S_n)$, et tous les théorèmes sur les suites — limite monotone, suites adjacentes, opérations sur les limites, suites extraites — s'appliquent donc sans réserve. C'est même la seule source de démonstrations dont nous disposions.

Ensuite, il y a deux suites en présence, et il ne faut jamais les confondre : la suite $(u_n)$ des termes, et la suite $(S_n)$ des sommes partielles. Dire « la série $\sum u_n$ converge » est une affirmation sur $(S_n)$, pas sur $(u_n)$.

Enfin, une série peut parfaitement démarrer à un autre indice que $0$ : si $(u_n{)}_{n⩾n_0}$ n'est définie qu'à partir du rang $n_0$ — c'est le cas de ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ à partir de $1$, de ${\displaystyle \frac{1}{\ln n}}$ à partir de $2$ — on note ${\sum }_{n⩾n_0}{u}_n$ la série correspondante et $S_n={\displaystyle \sum _{k=n_0}^n{u}_k}$ ses sommes partielles. Tout ce qui suit s'y transpose mot pour mot.

L'écriture $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ est légitime : la série ${\sum }_{k⩾n+1}{u}_k$ converge, puisqu'elle ne diffère de $\sum u_k$ que par ses premiers termes, et sa somme vaut bien $S-S_n$. On lit la relation $S=S_n+R_n$ ainsi : $S_n$ est ce que l'on a calculé, $R_n$ est ce que l'on a laissé de côté, autrement dit l'erreur commise en arrêtant le calcul au rang $n$. Estimer un reste, c'est estimer une erreur d'approximation, et c'est pour cela que les restes occupent une place importante dans le chapitre.

Démonstration. Notons $S$ la somme de la série. Par définition de la convergence, $S_n\to S$. Or $R_n=S-S_n$ pour tout $n$, donc, par différence de limites,

$$R_n=S-S_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}S-S=0.\mathrm{\square }$$

Démonstration. Notons $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$, $T_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{v}_k}$ et $W_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n(\lambda u_k+\mu v_k)}$ les sommes partielles des trois séries. La somme portant sur un nombre fini de termes, la linéarité de la somme finie donne, pour tout $n$,

$$W_n=\lambda S_n+\mu T_n\mathrm{.}$$

Par hypothèse, $(S_n)$ converge vers $S={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ et $(T_n)$ converge vers $T={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n}$. Les opérations sur les limites donnent alors $W_n\to \lambda S+\mu T$. La suite $(W_n)$ converge : la série $\sum (\lambda u_n+\mu v_n)$ converge, et sa somme vaut $\lambda S+\mu T$. $\mathrm{\square }$

La condition nécessaire de convergence

Voici le premier théorème du chapitre, le plus simple à démontrer et le plus utile en pratique, à condition de ne pas se tromper sur son sens.

Démonstration. Supposons $\sum u_n$ convergente et notons $S$ sa somme, c'est-à-dire $S_n\to S$. Pour tout $n⩾1$,

$$u_n=\sum _{k=0}^n{u}_k-\sum _{k=0}^{n-1}{u}_k=S_n-S_{n-1}\mathrm{.}$$

La suite $(S_{n-1}{)}_{n⩾1}$ est extraite de $(S_n)$ — plus simplement, c'est la même suite décalée d'un rang — donc elle converge également vers $S$. Par différence de limites,

$$u_n=S_n-S_{n-1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}S-S=0.\mathrm{\square }$$

Lien suite-série et séries télescopiques

Une série est une suite ; réciproquement, toute suite peut être vue comme une série. Ce va-et-vient est le sujet de la présente section, et c'est l'un des outils théoriques les plus utiles du chapitre.

Démonstration. Notons $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$. Le calcul est immédiat, car la somme se télescope : chaque terme $u_{k+1}$ écrit dans le crochet $k$ est effacé par le terme $-u_{k+1}$ du crochet $k+1$. Précisément, en séparant la somme en deux et en décalant l'indice dans la première,

$$S_n=\sum _{k=0}^n(u_{k+1}-u_k)=\sum _{k=0}^n{u}_{k+1}-\sum _{k=0}^n{u}_k=\sum _{j=1}^{n+1}{u}_j-\sum _{k=0}^n{u}_k=u_{n+1}-u_0\mathrm{.}$$

La conclusion se lit sur cette égalité. La suite $(S_n)$ converge si et seulement si la suite $(u_{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge, puisque $S_n$ et $u_{n+1}$ ne diffèrent que de la constante $u_0$. Or $(u_{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge si et seulement si $(u_n)$ converge, et vers la même limite : les deux suites sont identiques à un décalage d'indice près. La série et la suite sont donc bien de même nature.

En cas de convergence, avec $u_n\to \mathrm{\ell }$, le passage à la limite dans $S_n=u_{n+1}-u_0$ donne $S_n\to \mathrm{\ell }-u_0$, c'est-à-dire l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Séries de référence : géométriques et exponentielle

Comparer suppose d'avoir des étalons. Voici les deux premiers, auxquels s'ajouteront les séries de Riemann à la section 2.3. Ce sont aussi, avec les télescopiques, les seules séries dont nous saurons calculer la somme.

Démonstration. Cas $\mid q\mid ⩾1$. Alors $\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n⩾1$ pour tout $n$, donc la suite $(q^n)$ ne tend pas vers $0$. La série diverge grossièrement.

Cas $\mid q\mid <1$. On a en particulier $q\mathrm{\ne }1$, ce qui autorise la formule de la somme géométrique finie :

$$S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\mathrm{.}$$

Comme $\mid q\mid <1$, on a $\mid q^{n+1}\mid =\mid q{\mid }^{n+1}\to 0$, donc $q^{n+1}\to 0$. Par opérations sur les limites,

$$S_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\displaystyle \frac{1-0}{1-q}}={\displaystyle \frac{1}{1-q}}\mathrm{.}$$

La série converge et sa somme vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$.

Somme à partir du rang $p$. Toujours pour $\mid q\mid <1$, factorisons $q^p$ dans les sommes partielles : pour $n⩾p$,

$$\sum _{k=p}^n{q}^k=q^p\sum _{j=0}^{n-p}{q}^j\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{q}^p\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-q}}={\displaystyle \frac{q^p}{1-q}}\mathrm{.}$$

Reste. Il suffit d'appliquer ce qui précède avec $p=n+1$ :

$$R_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{q}^k={\displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration de la convergence. Cette démonstration utilise deux résultats des sections suivantes : le théorème de comparaison des séries à termes positifs (section 2.2) et le théorème « absolue convergence entraîne convergence » (section 3.1). Nous l'écrivons ici pour garder ensemble les séries de référence, et rien n'y est circulaire : aucun de ces deux théorèmes ne fait appel à la série exponentielle.

Si $z=0$, tous les termes sont nuls sauf celui d'indice $0$ : la série converge trivialement, de somme $1=e^0$.

Supposons $z\mathrm{\ne }0$ et posons $a_n={\displaystyle \frac{\mid z{\mid }^n}{n!}}>0$. Choisissons un entier $N⩾1$ tel que $N⩾2\mid z\mid$. Pour tout $n⩾N$,

$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{\mid z{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}}\cdot {\displaystyle \frac{n!}{\mid z{\mid }^n}}={\displaystyle \frac{\mid z\mid }{n+1}}⩽{\displaystyle \frac{\mid z\mid }{N}}⩽{\displaystyle \frac{\mid z\mid }{2\mid z\mid }}={\displaystyle \frac{1}{2}},$$

où l'on a utilisé $n+1>n⩾N$ pour la première inégalité.

Montrons alors par récurrence sur $n⩾N$ que $a_n⩽a_N{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-N}$. L'inégalité est une égalité pour $n=N$. Si elle est vraie au rang $n⩾N$, alors, la majoration du quotient donnant $a_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$,

$$a_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a_N{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-N}=a_N{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1-N},$$

ce qui est l'inégalité au rang $n+1$.

Posons $C=a_N{2}^N>0$. On a donc, pour tout $n⩾N$,

$$0⩽a_n⩽C{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{.}$$

La série $\sum {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, de module strictement inférieur à $1$ : elle converge. Par linéarité, $\sum C{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ converge aussi. Le théorème de comparaison des séries à termes positifs, appliqué à partir du rang $N$, donne la convergence de $\sum a_n$, c'est-à-dire de ${\displaystyle \sum \mid {\displaystyle \frac{z^n}{n!}}\mid }$.

La série ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{n!}}}$ est donc absolument convergente, donc convergente. $\mathrm{\square }$

La série harmonique

C'est le contre-exemple fondateur du chapitre. Il mérite deux démonstrations, parce que chacune enseigne une technique différente.

Première démonstration — les paquets d'Oresme. L'idée, due à Nicole Oresme au quatorzième siècle, consiste à regrouper les termes par paquets dont la somme reste minorée.

Fixons $n⩾1$ et évaluons l'écart entre les rangs $n$ et $2n$ :

$$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}{\displaystyle \frac{1}{k}}\mathrm{.}$$

Cette somme comporte exactement $2n-(n+1)+1=n$ termes. Chacun d'eux vérifie $k⩽2n$, donc ${\displaystyle \frac{1}{k}}⩾{\displaystyle \frac{1}{2n}}$. En minorant les $n$ termes par le plus petit,

$$H_{2n}-H_n⩾n\times {\displaystyle \frac{1}{2n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Cette minoration est valable pour tout $n⩾1$.

Raisonnons maintenant par l'absurde : supposons que la série converge, c'est-à-dire que $(H_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$. La suite $(H_{2n}{)}_{n⩾1}$ est extraite de $(H_n)$, donc elle converge vers la même limite $\mathrm{\ell }$. Par différence de limites,

$$H_{2n}-H_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }-\mathrm{\ell }=0.$$

Or nous venons de voir que $H_{2n}-H_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout $n⩾1$. Le passage à la limite dans une inégalité large conserve celle-ci, donc $0⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$, ce qui est absurde.

La suite $(H_n)$ ne converge donc pas. Comme elle est croissante ($H_{n+1}-H_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}>0$), le théorème de la limite monotone impose $H_n\to +\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Seconde démonstration — par comparaison logarithmique. Partons de l'inégalité de concavité $\ln (1+x)⩽x$, valable pour tout $x>-1$. Appliquée à $x={\displaystyle \frac{1}{k}}$ avec $k⩾1$, elle donne

$$\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})⩽{\displaystyle \frac{1}{k}},\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}\ln (k+1)-\ln k⩽{\displaystyle \frac{1}{k}}\mathrm{.}$$

Sommons ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$. Le membre de gauche se télescope, comme au paragraphe 1.3 :

$$\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1)\mathrm{.}$$

On obtient donc, pour tout $n⩾1$,

$$\ln (n+1)⩽H_n\mathrm{.}$$

Comme $\ln (n+1)\to +\mathrm{\infty }$, le théorème de minoration donne $H_n\to +\mathrm{\infty }$ : la série diverge. $\mathrm{\square }$

Séries à termes positifs

Lorsque tous les termes sont positifs, la suite des sommes partielles est croissante, et le théorème de la limite monotone s'applique. C'est un avantage énorme : la nature de la série se ramène à une question de majoration, et toute la théorie de la comparaison en découle. Dans toute cette section, les suites considérées sont réelles.

Le critère fondamental

Démonstration. Pour tout $n$,

$$S_{n+1}-S_n=u_{n+1}⩾0,$$

donc la suite $(S_n)$ est croissante. Le théorème de la limite monotone s'applique alors et donne exactement l'alternative annoncée :

• si $(S_n)$ est majorée, elle converge (vers sa borne supérieure), donc la série converge ;
• si $(S_n)$ n'est pas majorée, alors $S_n\to +\mathrm{\infty }$, donc la série diverge.

Réciproquement, une suite convergente étant bornée, la convergence de la série entraîne que $(S_n)$ est majorée. Les deux assertions sont donc équivalentes, et le second cas fournit la précision sur la divergence. $\mathrm{\square }$

Comparaison

Voici le cœur opératoire du chapitre : trois énoncés, de plus en plus souples, qui permettent de transférer la nature d'une série de référence à la série étudiée.

Démonstration. Point 1. Supposons $\sum v_n$ convergente. Comme la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes, il suffit de travailler à partir du rang $n_0$. Pour $n⩾n_0$, posons

$$A_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k\text{et}{B}_n=\sum _{k=n_0}^n{v}_k\mathrm{.}$$

La somme portant sur un nombre fini de termes, la croissance de la somme finie donne $A_n⩽B_n$. Par ailleurs, la suite $(B_n)$ est croissante (les $v_k$ sont positifs pour $k⩾n_0$, car $v_k⩾u_k⩾0$) et convergente, donc elle est majorée par sa limite $B$. Ainsi

$$\mathrm{\forall }n⩾n_0,A_n⩽B_n⩽B\mathrm{.}$$

La suite $(A_n)$ des sommes partielles de la série à termes positifs ${\sum }_{n⩾n_0}{u}_n$ est donc majorée : d'après le critère de majoration, cette série converge, et $\sum u_n$ aussi.

Point 2. C'est la contraposée du point 1. Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ ne peut pas converger, sans quoi le point 1 forcerait la convergence de $\sum u_n$.

Comparaison des sommes. Supposons maintenant $0⩽u_n⩽v_n$ pour tout $n$, et $\sum v_n$ convergente. Les deux séries convergent d'après le point 1, et pour tout $n$ on a ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k⩽\sum _{k=0}^n{v}_k}$. Le passage à la limite dans une inégalité large conserve celle-ci :

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n⩽\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n\mathrm{.}$$

Comparaison des restes. Fixons $n$. Pour tout $N>n$, on a ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^N{u}_k⩽\sum _{k=n+1}^N{v}_k}$ ; en faisant tendre $N$ vers $+\mathrm{\infty }$, les deux membres convergent (vers les restes respectifs) et l'inégalité large passe à la limite. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par caractérisation de la domination, il existe $M⩾0$ et un rang $n_1$ tels que

$$\mathrm{\forall }n⩾n_1,\mid u_n\mid ⩽M\mid v_n\mid \mathrm{.}$$

Soit $n_0⩾n_1$ un rang à partir duquel $u_n⩾0$ et $v_n⩾0$. Pour $n⩾n_0$, les valeurs absolues tombent et

$$0⩽u_n⩽M{v}_n\mathrm{.}$$

La série $\sum M{v}_n$ converge par linéarité, puisque $\sum v_n$ converge. Le théorème de comparaison appliqué au couple $(u_n,M{v}_n)$ à partir du rang $n_0$ donne la convergence de $\sum u_n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par définition de l'équivalence, il existe une suite $({\theta }_n)$ de limite $1$ et un rang $n_1$ tels que $u_n={\theta }_n{v}_n$ pour tout $n⩾n_1$. Appliquons la définition de la limite à ${\theta }_n\to 1$ avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : il existe un rang $n_2$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾n_2,\mid {\theta }_n-1\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}},\text{donc}{\displaystyle \frac{1}{2}}⩽{\theta }_n⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$

Soit enfin $n_3$ un rang à partir duquel $u_n⩾0$ et $v_n⩾0$, et posons $n_0=\max (n_1,n_2,n_3)$. Pour tout $n⩾n_0$, en multipliant l'encadrement de ${\theta }_n$ par le réel positif $v_n$ (ce qui conserve le sens des inégalités) :

$$0⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n⩽u_n⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}{v}_n\mathrm{.}$$

Concluons par double implication.

• Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum {\displaystyle \frac{3}{2}}{v}_n$ converge par linéarité, et l'inégalité de droite jointe au théorème de comparaison donne la convergence de $\sum u_n$.
• Si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum {\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n$ diverge (sinon, par linéarité, $\sum v_n=\sum 2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_n$ convergerait), et l'inégalité de gauche jointe au point 2 du théorème de comparaison donne la divergence de $\sum u_n$.

Les deux séries sont donc de même nature. $\mathrm{\square }$

Comparaison série-intégrale (méthode des rectangles)

Comparer une série à une autre série suppose de disposer d'une référence. Pour construire ces références, il faut un outil d'un autre type : on compare une somme à une intégrale, que l'on sait calculer par primitive. C'est la méthode des rectangles, déjà croisée au chapitre d'analyse asymptotique.

Démonstration. Point 1. Soit $k⩾n_0$ un entier. Pour tout $t\in [k,k+1]$, la décroissance de $f$ donne

$$f(k+1)⩽f(t)⩽f(k)\mathrm{.}$$

Ces trois fonctions de $t$ sont continues par morceaux sur le segment $[k,k+1]$, de longueur $1$. La croissance de l'intégrale sur un segment donne

$${\int }_k^{k+1}f(k+1)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(k)\mathrm{d}t,$$

et les deux intégrales extrêmes, dont l'intégrande est constant sur un intervalle de longueur $1$, valent respectivement $f(k+1)$ et $f(k)$. D'où l'encadrement annoncé.

Point 2. Soit $n>n_0$. Sommons d'abord l'inégalité de gauche du point 1 pour $k$ allant de $n_0$ à $n-1$ : le membre de gauche donne ${\displaystyle \sum _{k=n_0}^{n-1}f(k+1)=\sum _{j=n_0+1}^{n}f(j)}$ après le changement d'indice $j=k+1$, et le membre de droite se recolle par la relation de Chasles :

$$\sum _{k=n_0}^{n-1}{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{n_0}^{n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On obtient ${\displaystyle \sum _{k=n_0+1}^{n}f(k)⩽{\int }_{n_0}^{n}f(t)\mathrm{d}t}$. Sommons ensuite l'inégalité de droite du point 1 pour $k$ allant de $n_0$ à $n-1$ : le même recollement donne ${\displaystyle {\int }_{n_0}^{n}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{k=n_0}^{n-1}f(k)}$.

Point 3. Posons $S_n={\displaystyle \sum _{k=n_0}^{n}f(k)}$ et $I_n={\displaystyle {\int }_{n_0}^{n}f(t)\mathrm{d}t}$ pour $n⩾n_0$. Comme $f⩾0$, la suite $(S_n)$ est croissante et la suite $(I_n)$ l'est aussi (par la relation de Chasles, $I_{n+1}-I_n={\int }_n^{n+1}f⩾0$).

Supposons $\sum f(n)$ convergente, de somme $S$. La suite croissante $(S_n)$ est majorée par $S$, et le point 2 donne $I_n⩽{\displaystyle \sum _{k=n_0}^{n-1}f(k)=S_{n-1}⩽S}$ pour $n>n_0$ : la suite $(I_n)$ est majorée.

Réciproquement, supposons $(I_n)$ majorée par un réel $M$. Le point 2 donne, pour $n>n_0$,

$$S_n=f(n_0)+\sum _{k=n_0+1}^{n}f(k)⩽f(n_0)+I_n⩽f(n_0)+M\mathrm{.}$$

La suite des sommes partielles de la série à termes positifs ${\sum }_{n⩾n_0}f(n)$ est majorée : d'après le critère de majoration, la série converge. $\mathrm{\square }$

Sur la figure, la courbe décroissante est celle de $f$. Sur la base $[k,k+1]$, le rectangle plein a pour hauteur $f(k+1)$ : il est sous la courbe, donc son aire $f(k+1)$ est inférieure à ${\displaystyle {\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t}$. Le rectangle complété en pointillés monte jusqu'à la hauteur $f(k)$ : il contient la portion sous la courbe, donc ${\displaystyle {\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽f(k)}$. Tout le théorème est dans cette lecture, et il est vivement conseillé de refaire ce dessin au brouillon chaque fois qu'on l'utilise : c'est le moyen le plus sûr de ne pas se tromper de sens ni décaler un indice.

Démonstration. Cas $\alpha ⩽0$. On a ${\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}=n^{-\alpha }$ avec $-\alpha ⩾0$, donc ${\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}⩾1$ pour tout $n⩾1$. Le terme général ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

Cas $\alpha =1$. C'est la série harmonique, dont la divergence a été établie à la section 1.5.

Cas $\alpha >0$, $\alpha \mathrm{\ne }1$. Posons $f(t)={\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}=t^{-\alpha }$ pour $t⩾1$. La fonction $f$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ (sa dérivée $-\alpha t^{-\alpha -1}$ est strictement négative). Le théorème de comparaison série-intégrale s'applique avec $n_0=1$ : la série $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $(I_n)$ est majorée, où

$$I_n={\int }_1^n{t}^{-\alpha }\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right]}_1^n={\displaystyle \frac{n^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}\mathrm{.}$$

• Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$, donc $n^{1-\alpha }\to 0$ et $I_n\to {\displaystyle \frac{-1}{1-\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$. Convergente, la suite $(I_n)$ est majorée : la série converge.
• Si $0<\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$, donc $n^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$ et $I_n\to +\mathrm{\infty }$. La suite $(I_n)$ n'est pas majorée : la série diverge.

Dans tous les cas, la série converge si et seulement si $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

Méthode : déterminer la nature d'une série à termes positifs

Séries à termes quelconques

Les termes ne sont plus supposés positifs, et les suites peuvent être complexes. Tout ce qui reposait sur la croissance des sommes partielles s'effondre : plus de critère de majoration, plus de théorème d'équivalence. Il ne reste que deux portes d'entrée, et le programme s'y tient strictement. La première, la convergence absolue, ramène le problème au cas positif. La seconde, le théorème spécial des séries alternées, traite le cas où les signes alternent régulièrement.

Convergence absolue

L'écriture ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_n\mid <+\mathrm{\infty }}$ est parfaitement licite avant toute preuve de convergence : la série $\sum \mid u_n\mid$ est à termes positifs, sa somme est donc toujours définie dans $[0,+\mathrm{\infty }]$. C'est là tout l'intérêt de la convention posée plus haut. Le mot « sommable » est celui qui survivra à la section 4 : il désignera bientôt la même chose pour une famille indexée par un ensemble quelconque.

Démonstration. Premier cas : $(u_n)$ est réelle. Posons, pour tout $n$,

$$v_n=u_n+\mid u_n\mid \mathrm{.}$$

Encadrons $v_n$. D'une part $u_n⩾-\mid u_n\mid$, donc $v_n⩾0$ ; d'autre part $u_n⩽\mid u_n\mid$, donc $v_n⩽2\mid u_n\mid$. Ainsi

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},0⩽v_n⩽2\mid u_n\mid \mathrm{.}$$

Par hypothèse $\sum \mid u_n\mid$ converge, donc $\sum 2\mid u_n\mid$ converge par linéarité. Le théorème de comparaison des séries à termes positifs, dont les hypothèses viennent d'être vérifiées, donne la convergence de $\sum v_n$.

Il ne reste qu'à revenir à $u_n$ : par construction,

$$u_n=v_n-\mid u_n\mid ,$$

différence de deux suites dont les séries convergent. Par linéarité, $\sum u_n$ converge.

Second cas : $(u_n)$ est complexe. Notons $a_n=\mathrm{R}\mathrm{e}(u_n)$ et $b_n=\mathrm{I}\mathrm{m}(u_n)$, de sorte que $u_n=a_n+i{b}_n$. Les inégalités classiques

$$\mid a_n\mid =\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(u_n)\mid ⩽\mid u_n\mid \text{et}\mid b_n\mid =\mid \mathrm{I}\mathrm{m}(u_n)\mid ⩽\mid u_n\mid$$

jointes à la convergence de $\sum \mid u_n\mid$ et au théorème de comparaison (les suites $(\mid a_n\mid )$, $(\mid b_n\mid )$ et $(\mid u_n\mid )$ sont positives) donnent la convergence de $\sum \mid a_n\mid$ et de $\sum \mid b_n\mid$. Les séries réelles $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont donc absolument convergentes, donc convergentes d'après le premier cas.

Enfin, pour tout $n$,

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=\sum _{k=0}^n{a}_k+i\sum _{k=0}^n{b}_k\mathrm{.}$$

Une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent ; les deux sommes partielles du membre de droite convergent, donc $\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}\right)$ converge : la série $\sum u_n$ converge. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les deux sommes existent : celle de droite par hypothèse, celle de gauche par le théorème précédent. L'inégalité triangulaire, appliquée à une somme finie, donne pour tout $n$

$$\mid \sum _{k=0}^n{u}_k\mid ⩽\sum _{k=0}^n\mid u_k\mid \mathrm{.}$$

Faisons tendre $n$ vers $+\mathrm{\infty }$. À gauche, la suite $\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}\right)$ converge vers ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$, et la fonction module étant continue, le membre de gauche converge vers $\mid {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}\mid$. À droite, le membre converge vers ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_n\mid }$. Le passage à la limite conserve l'inégalité large. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'hypothèse $u_n=O(v_n)$ fournit $M⩾0$ et un rang $n_0$ tels que $\mid u_n\mid ⩽M\mid v_n\mid =M{v}_n$ pour $n⩾n_0$, la dernière égalité venant de la positivité de $v_n$. Les suites $(\mid u_n\mid )$ et $(M{v}_n)$ sont positives et $\sum M{v}_n$ converge par linéarité : le théorème de comparaison donne la convergence de $\sum \mid u_n\mid$. La série $\sum u_n$ est donc absolument convergente, donc convergente d'après le théorème précédent. $\mathrm{\square }$

Le théorème spécial des séries alternées

Démonstration. Posons $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k}$ et considérons les deux suites extraites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$.

La suite $(S_{2n})$ est décroissante. Pour tout $n$,

$$S_{2n+2}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}+(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}=a_{2n+2}-a_{2n+1}⩽0,$$

la dernière inégalité venant de la décroissance de $(a_n)$.

La suite $(S_{2n+1})$ est croissante. Pour tout $n$,

$$S_{2n+3}-S_{2n+1}=(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}+(-1{)}^{2n+3}{a}_{2n+3}=a_{2n+2}-a_{2n+3}⩾0,$$

pour la même raison.

Leur différence tend vers $0$. Pour tout $n$,

$$S_{2n+1}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}=-a_{2n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

puisque $a_n\to 0$.

Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont donc adjacentes : l'une décroît, l'autre croît, et leur différence tend vers $0$. Le théorème des suites adjacentes affirme qu'elles convergent vers une même limite, que nous notons $S$, et que pour tout $n$

$$S_{2n+1}⩽S⩽S_{2n}\mathrm{.}$$

Convergence de la série. Les deux suites extraites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ convergent vers la même limite $S$, et tout entier est pair ou impair : la suite $(S_n)$ converge donc vers $S$. La série ${\displaystyle \sum (-1{)}^n{a}_n}$ converge, de somme $S$. Le point 1 est démontré, dans sa première forme.

Points 2 et 3 : le reste. Distinguons la parité de $n$.

Si $n=2p$ est pair, l'encadrement $S_{2p+1}⩽S⩽S_{2p}$ donne d'abord $R_{2p}=S-S_{2p}⩽0$. Ensuite, comme $S_{2p+1}=S_{2p}-a_{2p+1}$, l'inégalité de gauche s'écrit $S_{2p}-a_{2p+1}⩽S$, soit $R_{2p}=S-S_{2p}⩾-a_{2p+1}$. Au total

$$-a_{2p+1}⩽R_{2p}⩽0,$$

donc $R_{2p}$ est négatif, ce qui est bien le signe de $(-1{)}^{2p+1}{a}_{2p+1}=-a_{2p+1}$, et $\mid R_{2p}\mid ⩽a_{2p+1}$.

Si $n=2p+1$ est impair, l'encadrement $S_{2p+1}⩽S⩽S_{2p+2}$ donne d'abord $R_{2p+1}=S-S_{2p+1}⩾0$. Ensuite, comme $S_{2p+2}=S_{2p+1}+a_{2p+2}$, l'inégalité de droite s'écrit $S⩽S_{2p+1}+a_{2p+2}$, soit $R_{2p+1}⩽a_{2p+2}$. Au total

$$0⩽R_{2p+1}⩽a_{2p+2},$$

donc $R_{2p+1}$ est positif, ce qui est le signe de $(-1{)}^{2p+2}{a}_{2p+2}=a_{2p+2}$, et $\mid R_{2p+1}\mid ⩽a_{2p+2}$.

Dans les deux cas, $R_n$ est du signe de $(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}$ et $\mid R_n\mid ⩽a_{n+1}$.

Fin du point 1. Les encadrements ci-dessus se relisent ainsi : $S$ est comprise entre $S_{2p}$ et $S_{2p+1}$, et entre $S_{2p+1}$ et $S_{2p+2}$. Autrement dit, pour tout $n$, $S$ est comprise entre $S_n$ et $S_{n+1}$.

Point 4. Prenons $n=0$ dans l'encadrement $S_1⩽S⩽S_0$ : comme $S_0=a_0$ et $S_1=a_0-a_1$, il vient

$$a_0-a_1⩽S⩽a_0\mathrm{.}$$

Or $a_0⩾a_1$ par décroissance, donc $a_0-a_1⩾0$ et finalement $0⩽S⩽a_0$. $\mathrm{\square }$

La figure représente les sommes partielles de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}}$. Les points ronds sont les sommes de rang pair : elles décroissent. Les points carrés sont celles de rang impair : elles croissent. La droite horizontale en pointillés est la somme $S$, prise en tenaille entre les deux suites, qui se resserrent l'une vers l'autre puisque leur écart $S_{2n}-S_{2n+1}=a_{2n+1}$ tend vers $0$. On lit directement sur le dessin les trois informations du théorème : la convergence, l'encadrement de $S$ par deux sommes partielles consécutives, et le fait que l'erreur commise en s'arrêtant au rang $n$ est plus petite que le premier terme négligé.

Familles sommables

Les trois premières sections partagent une hypothèse restée invisible : l'ensemble des indices y est toujours $\mathbb{N}$, et $\mathbb{N}$ est ordonné. Une série n'est rien d'autre qu'un procédé de sommation dans un ordre imposé : on ajoute $u_0$, puis $u_1$, puis $u_2$, et l'on regarde où va la suite des sommes partielles. Tant que les nombres à additionner se présentent comme une suite, ce point de vue suffit. Il devient inopérant dès que ce n'est plus le cas, et c'est très vite le cas.

Première situation : un tableau infini. Considérons les nombres ${\displaystyle \frac{1}{2^i{3}^j}}$, où $i$ et $j$ décrivent $\mathbb{N}$. Ils forment un tableau à double entrée, infini dans les deux directions, indexé par ${\mathbb{N}}^2$. On aimerait parler de « la somme de tous les termes du tableau ». Mais ${\mathbb{N}}^2$ ne porte aucun ordre naturel : on peut parcourir le tableau ligne par ligne, colonne par colonne, diagonale par diagonale, en spirale, et rien ne privilégie l'un de ces parcours. Définir la somme à partir d'un parcours reviendrait à faire un choix arbitraire, qu'il faudrait ensuite justifier.

Deuxième situation : intervertir deux signes somme. Pour un tableau fini de nombres, la somme par lignes et la somme par colonnes coïncident : c'est un théorème du premier semestre, et il est sans hypothèse. Pour deux sommes infinies, l'écriture

$$\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{i,j}\right)=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{i,j}\right)$$

est fausse en général. Nous en construirons plus loin un contre-exemple d'une simplicité déconcertante, où le membre de gauche vaut $0$ et celui de droite vaut $1$. L'interversion est donc un geste qui réclame un théorème, et ce théorème réclame une hypothèse.

Troisième situation : sommer par paquets. Il est souvent commode de regrouper les termes avant de les additionner, en choisissant les paquets pour leur commodité de calcul. Le produit de deux séries en donne l'exemple type : les termes $a_p{b}_q$ sont indexés par ${\mathbb{N}}^2$, et le regroupement utile est celui des diagonales $p+q=n$. Là encore, regrouper les termes d'une somme infinie n'a rien d'automatique.

La théorie qui répond à ces trois besoins se construit en deux temps, et il faut retenir cette architecture avant tout le reste. On traite d'abord les familles de termes positifs. Là, rien ne peut se compenser : la somme se définit sans aucun ordre, comme la borne supérieure des sommes finies, elle existe toujours dans $[0,+\mathrm{\infty }]$, et tous les regroupements sont licites sans la moindre vérification préalable. On transporte ensuite la théorie aux familles de nombres complexes en passant par le module — et là tout repose sur une unique hypothèse, la sommabilité, dont l'oubli fait s'effondrer l'ensemble.

Familles de réels positifs

Dans toute cette section, $I$ désigne un ensemble d'indices. Dans la pratique du programme, $I$ est l'un des ensembles concrets suivants : $\mathbb{N}$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$, $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{N}}^2$, ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$, le « triangle » $\{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2\mid i⩽j\}$, ou une partie de l'un d'eux. Se donner une famille $(u_i{)}_{i\in I}$ d'éléments de $[0,+\mathrm{\infty }]$, c'est se donner, pour chaque indice $i\in I$, un élément $u_i$ de $[0,+\mathrm{\infty }]$. On note $\mathcal{F}(I)$ l'ensemble des parties finies de $I$ ; il n'est jamais vide, puisqu'il contient la partie vide.

Rappelons les conventions de calcul dans $[0,+\mathrm{\infty }]$, déjà rencontrées à la section 2. L'ordre est prolongé par $x⩽+\mathrm{\infty }$ pour tout $x$ ; l'addition par $x+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ ; la multiplication par $\lambda \times (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ si $\lambda >0$, et $0\times (+\mathrm{\infty })=0$. Le point décisif est le suivant : toute partie non vide de $[0,+\mathrm{\infty }]$ admet une borne supérieure dans $[0,+\mathrm{\infty }]$. En effet, si cette partie est majorée par un réel, elle admet une borne supérieure réelle d'après la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$ ; sinon, sa borne supérieure est $+\mathrm{\infty }$. C'est ce qui va permettre de définir une somme sans jamais avoir à supposer quoi que ce soit.

Un fait élémentaire sera utilisé dans toutes les démonstrations de cette section, et il vaut la peine d'être isolé : si $F$ et $G$ sont deux parties finies de $I$ avec $F\subset G$, alors

$$\sum _{i\in F}{u}_i⩽\sum _{i\in G}{u}_i,$$

puisque ${\sum }_{i\in G}{u}_i={\sum }_{i\in F}{u}_i+{\sum }_{i\in G\setminus F}{u}_i$ et que le second terme est positif. Autrement dit, agrandir la partie finie ne peut qu'augmenter la somme : c'est la positivité des termes qui le garantit, et c'est exactement ce qui rend la borne supérieure pertinente.

Démonstration. Notons $v_j=u_{\sigma (j)}$ pour $j\in J$. Si $F$ est une partie finie de $J$, alors $\sigma (F)$ est une partie finie de $I$, de même cardinal, et le changement d'indice dans une somme finie donne

$$\sum _{j\in F}{v}_j=\sum _{i\in \sigma (F)}{u}_i\mathrm{.}$$

Réciproquement, si $G$ est une partie finie de $I$, alors ${\sigma }^{-1}(G)$ est une partie finie de $J$ et ${\sum }_{j\in {\sigma }^{-1}(G)}{v}_j={\sum }_{i\in G}{u}_i$. Les deux ensembles de sommes finies, celui de la famille $(v_j{)}_{j\in J}$ et celui de la famille $(u_i{)}_{i\in I}$, sont donc le même ensemble de nombres. Ils ont par conséquent la même borne supérieure. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. L'ensemble $I$ est lui-même une partie finie de $I$ : la quantité ${\sum }_{i\in I}{u}_i$, au sens usuel, appartient donc à l'ensemble dont on prend la borne supérieure. Par ailleurs, toute partie finie $F$ de $I$ vérifie $F\subset I$, donc ${\sum }_{i\in F}{u}_i⩽{\sum }_{i\in I}{u}_i$ d'après la remarque de croissance ci-dessus. La borne supérieure est ainsi atteinte en $F=I$, et vaut la somme usuelle.

Point 2. Notons $S={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{N}}{u}_n}$ la somme de la famille et $\mathrm{\Sigma }={\sup }_N{S}_N$. La suite $(S_N)$ est croissante, puisque $S_{N+1}-S_N=u_{N+1}⩾0$ ; le théorème de la limite monotone assure qu'elle converge vers $\mathrm{\Sigma }$ si elle est majorée, et tend vers $+\mathrm{\infty }$ sinon. Dans les deux cas ${\lim }_N{S}_N=\mathrm{\Sigma }$ dans $[0,+\mathrm{\infty }]$, ce qui justifie la deuxième égalité de l'énoncé. Reste à voir que $S=\mathrm{\Sigma }$, et l'on procède par double inégalité.

Inégalité $\mathrm{\Sigma }⩽S$. Pour tout $N$, l'ensemble $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ est une partie finie de $\mathbb{N}$ et $S_N={\sum }_{n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}{u}_n$ est donc l'une des sommes finies intervenant dans la définition de $S$ : ainsi $S_N⩽S$. Comme $S$ majore tous les $S_N$, il majore leur borne supérieure : $\mathrm{\Sigma }⩽S$.

Inégalité $S⩽\mathrm{\Sigma }$. Soit $F$ une partie finie de $\mathbb{N}$. Si $F=\mathrm{\varnothing }$, alors ${\sum }_{n\in F}{u}_n=0⩽\mathrm{\Sigma }$. Sinon, $F$ est une partie finie non vide de $\mathbb{N}$, donc elle admet un plus grand élément $N=\max F$, et $F\subset [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. La croissance des sommes finies donne

$$\sum _{n\in F}{u}_n⩽\sum _{n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}{u}_n=S_N⩽\mathrm{\Sigma }\mathrm{.}$$

Toutes les sommes finies sont donc majorées par $\mathrm{\Sigma }$, et en passant à la borne supérieure, $S⩽\mathrm{\Sigma }$.

Ainsi $S=\mathrm{\Sigma }$. Enfin, la famille est sommable si et seulement si $S<+\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire si et seulement si la suite croissante $(S_N)$ est majorée, c'est-à-dire — critère de majoration des séries à termes positifs, section 2 — si et seulement si la série $\sum u_n$ converge ; sa somme est alors ${\lim }_N{S}_N=S$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Pour toute partie finie $F$ de $I$, la croissance de la somme finie donne ${\sum }_{i\in F}{u}_i⩽{\sum }_{i\in F}{v}_i⩽{\sum }_{i\in I}{v}_i$. Le nombre ${\sum }_{i\in I}{v}_i$ majore donc toutes les sommes finies extraites de $(u_i)$, donc leur borne supérieure.

Point 2. Toute partie finie de $J$ est une partie finie de $I$ : l'ensemble des sommes finies relatif à $J$ est inclus dans celui relatif à $I$, donc sa borne supérieure est plus petite.

Point 3. Pour toute partie finie $F$, ${\sum }_{i\in F}(u_i+v_i)={\sum }_{i\in F}{u}_i+{\sum }_{i\in F}{v}_i⩽{\sum }_{i\in I}{u}_i+{\sum }_{i\in I}{v}_i$, ce qui donne l'inégalité $⩽$ par passage à la borne supérieure. Pour l'inégalité inverse, soient $F$ et $G$ deux parties finies de $I$ et $H=F\cup G$, qui est finie et contient les deux. La croissance des sommes finies donne

$$\sum _{i\in F}{u}_i+\sum _{i\in G}{v}_i⩽\sum _{i\in H}{u}_i+\sum _{i\in H}{v}_i=\sum _{i\in H}(u_i+v_i)⩽\sum _{i\in I}(u_i+v_i)\mathrm{.}(\star )$$

Si l'un des deux nombres ${\sum }_I{u}_i$ ou ${\sum }_I{v}_i$ vaut $+\mathrm{\infty }$ — disons le premier — il suffit de prendre $G=\mathrm{\varnothing }$ dans $(\star )$ : toutes les sommes finies ${\sum }_{i\in F}{u}_i$ sont majorées par ${\sum }_{i\in I}(u_i+v_i)$, qui vaut donc $+\mathrm{\infty }$, et l'égalité annoncée est vraie, les deux membres étant infinis. Sinon les deux sommes sont finies : dans $(\star )$, on fixe $G$ et l'on passe à la borne supérieure sur $F$, puis on passe à la borne supérieure sur $G$, ce qui donne ${\sum }_I{u}_i+{\sum }_I{v}_i⩽{\sum }_I(u_i+v_i)$.

Point 4. Si $\lambda =0$, les deux membres sont nuls avec la convention indiquée. Si $\lambda >0$, l'application $x\mapsto \lambda x$ est une bijection croissante de $[0,+\mathrm{\infty }]$ sur lui-même, donc elle transforme borne supérieure en borne supérieure ; comme ${\sum }_{i\in F}\lambda u_i=\lambda {\sum }_{i\in F}{u}_i$ pour toute partie finie $F$, l'égalité passe au passage à la borne supérieure. $\mathrm{\square }$

Nous arrivons au théorème central de la section : il autorise à regrouper les termes d'une famille positive de la façon que l'on veut. Sa démonstration est explicitement hors programme ; nous l'admettons, en donnant l'idée.

Sur la figure, chaque point du quadrillage représente un indice $(i,j)$ de ${\mathbb{N}}^2$, l'abscisse portant $i$ et l'ordonnée $j$. La bande horizontale en trait plein, notée $I_j$, est le paquet « une ligne » : l'indice $j$ y est fixé et $i$ décrit $\mathbb{N}$. La bande verticale en pointillés, notée $J_i$, est le paquet « une colonne » : l'indice $i$ y est fixé et $j$ décrit $\mathbb{N}$. Les lignes forment une partition de ${\mathbb{N}}^2$, les colonnes en forment une autre : le théorème de sommation par paquets, appliqué successivement à ces deux partitions, donne deux expressions de la même somme. C'est exactement le théorème suivant.

Démonstration. Posons, pour $a\in A$, $L_a=\{a\}\times B$. Ces ensembles sont deux à deux disjoints (deux couples de premières coordonnées différentes ne peuvent être égaux) et leur réunion est $A\times B$ : c'est une partition de l'ensemble d'indices. Le théorème de sommation par paquets donne

$$\sum _{(a,b)\in A\times B}{u}_{a,b}=\sum _{a\in A}\left(\sum _{(a^{\mathrm{\prime }},b)\in L_a}{u}_{a^{\mathrm{\prime }},b}\right)\mathrm{.}$$

Or l'application $b\mapsto (a,b)$ est une bijection de $B$ sur $L_a$, donc l'invariance par permutation donne ${\sum }_{(a^{\mathrm{\prime }},b)\in L_a}{u}_{a^{\mathrm{\prime }},b}={\sum }_{b\in B}{u}_{a,b}$ : c'est la première égalité. La seconde s'obtient de la même façon avec la partition $C_b=A\times \{b\}$, $b\in B$, à seconde coordonnée figée. $\mathrm{\square }$

Familles de nombres complexes

Tout ce qui précède repose sur la positivité : c'est elle qui rend les sommes finies croissantes, donc la borne supérieure pertinente. Dès que les termes peuvent se compenser, la borne supérieure des sommes finies n'a plus aucun sens — pour la famille constante égale à $(-1)$ indexée par $\mathbb{N}$, elle vaudrait $0$, ce qui ne veut rien dire. La stratégie est donc celle de la section 3, transposée : on teste la famille sur ses modules, qui forment une famille positive, et l'on ne définit la somme que dans le cas favorable.

Reste à définir la somme d'une famille sommable. On ne peut plus prendre une borne supérieure ; on se ramène au cas positif en découpant chaque terme en morceaux positifs.

Démonstration. Point 1. Si $u_i⩾0$ pour tout $i$, alors $u_i^{+}=u_i$ et $u_i^{-}=0$ ; la famille nulle a une somme nulle, donc la nouvelle somme vaut ${\sum }_{i\in I}{u}_i$ au sens de la section 4.1.

Point 2, cas réel. Notons $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_n$. Pour tout $N$, la décomposition $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$ et la linéarité de la somme finie donnent

$$S_N=\sum _{n=0}^N{u}_n^{+}-\sum _{n=0}^N{u}_n^{-}\mathrm{.}$$

Les familles $(u_n^{+})$ et $(u_n^{-})$ sont positives et sommables, donc les séries $\sum u_n^{+}$ et $\sum u_n^{-}$ convergent, de sommes respectives ${\sum }_{n\in \mathbb{N}}{u}_n^{+}$ et ${\sum }_{n\in \mathbb{N}}{u}_n^{-}$ (théorème du cas $I=\mathbb{N}$). En passant à la limite quand $N\to +\mathrm{\infty }$,

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n\in \mathbb{N}}{u}_n^{+}-\sum _{n\in \mathbb{N}}{u}_n^{-}=\sum _{n\in \mathbb{N}}{u}_n\mathrm{.}$$

Point 2, cas complexe. Une série complexe converge si et seulement si les séries de ses parties réelle et imaginaire convergent, et sa somme est alors $\sum \mathrm{Re}(u_n)+\mathrm{i}\sum \mathrm{Im}(u_n)$ : on applique le cas réel à chacune des deux. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Points 1 et 2. Ce sont les points 1 et 2 des opérations sur les familles positives, appliqués à la famille $(\mid u_i\mid )$.

Point 3, sommabilité. L'inégalité triangulaire dans $\mathbb{C}$ donne $\mid u_i+\lambda v_i\mid ⩽\mid u_i\mid +\mid \lambda \mid \mid v_i\mid$ ; le membre de droite est le terme général d'une famille positive sommable (somme et multiplication par le réel positif $\mid \lambda \mid$), donc la croissance conclut.

Point 3, additivité, cas réel. Soient $(u_i)$ et $(v_i)$ réelles sommables et $w_i=u_i+v_i$. De $w_i^{+}-w_i^{-}=u_i^{+}-u_i^{-}+v_i^{+}-v_i^{-}$ on tire, en ne gardant que des termes positifs de chaque côté,

$$w_i^{+}+u_i^{-}+v_i^{-}=w_i^{-}+u_i^{+}+v_i^{+}\mathrm{.}$$

Ce sont deux familles positives égales terme à terme ; sommons-les grâce à l'additivité du cas positif :

$$\sum _{i\in I}{w}_i^{+}+\sum _{i\in I}{u}_i^{-}+\sum _{i\in I}{v}_i^{-}=\sum _{i\in I}{w}_i^{-}+\sum _{i\in I}{u}_i^{+}+\sum _{i\in I}{v}_i^{+}\mathrm{.}$$

Les six sommes sont des réels (chaque famille est majorée par $\mid w_i\mid$, $\mid u_i\mid$ ou $\mid v_i\mid$), on peut donc les déplacer d'un membre à l'autre :

$$\sum _{i\in I}{w}_i^{+}-\sum _{i\in I}{w}_i^{-}=(\sum _{i\in I}{u}_i^{+}-\sum _{i\in I}{u}_i^{-})+(\sum _{i\in I}{v}_i^{+}-\sum _{i\in I}{v}_i^{-}),$$

c'est-à-dire ${\sum }_I(u_i+v_i)={\sum }_I{u}_i+{\sum }_I{v}_i$.

Point 3, homogénéité. Pour $\lambda ⩾0$ réel, $(\lambda u{)}^{\pm }=\lambda u^{\pm }$ et l'homogénéité du cas positif conclut ; pour $\lambda =-1$, $(-u{)}^{+}=u^{-}$ et $(-u{)}^{-}=u^{+}$, donc ${\sum }_I(-u_i)=-{\sum }_I{u}_i$. La linéarité réelle en découle. Pour $\lambda =\alpha +\mathrm{i}\beta$ complexe et $u_i=a_i+\mathrm{i}{b}_i$, posons $A={\sum }_I{a}_i$ et $B={\sum }_I{b}_i$. Comme $\lambda u_i=(\alpha a_i-\beta b_i)+\mathrm{i}(\alpha b_i+\beta a_i)$, la définition de la somme complexe et la linéarité réelle donnent

$$\sum _{i\in I}\lambda u_i=(\alpha A-\beta B)+\mathrm{i}(\alpha B+\beta A)=(\alpha +\mathrm{i}\beta )(A+\mathrm{i}B)=\lambda \sum _{i\in I}{u}_i\mathrm{.}$$

Point 4. La famille $(v_i-u_i)$ est positive et sommable, donc sa somme est positive (point 1 de la cohérence) ; la linéarité donne ${\sum }_I{v}_i-{\sum }_I{u}_i⩾0$.

Point 5. Posons $S={\sum }_{i\in I}{u}_i$. Si $S=0$, l'inégalité est évidente puisque le membre de droite est positif. Sinon, écrivons $S=r{e}^{\mathrm{i}\theta }$ avec $r=\mid S\mid >0$ et $\theta \in \mathbb{R}$. Par linéarité, $r=e^{-\mathrm{i}\theta }S={\sum }_{i\in I}{e}^{-\mathrm{i}\theta }{u}_i$. Ce nombre étant réel, il est égal à sa partie réelle, et la définition de la somme complexe donne

$$r=\mathrm{Re}\left(\sum _{i\in I}{e}^{-\mathrm{i}\theta }{u}_i\right)=\sum _{i\in I}\mathrm{Re}\left(e^{-\mathrm{i}\theta }{u}_i\right)\mathrm{.}$$

Or $\mathrm{Re}(z)⩽\mid z\mid$ pour tout complexe $z$, et $\mid e^{-\mathrm{i}\theta }{u}_i\mid =\mid u_i\mid$ : la croissance du point 4, appliquée aux deux familles réelles sommables $(\mathrm{Re}(e^{-\mathrm{i}\theta }{u}_i))$ et $(\mid u_i\mid )$, donne $r⩽{\sum }_{i\in I}\mid u_i\mid$.

Point 6. L'invariance par permutation vaut pour les quatre familles positives ${(\mathrm{Re}(u_i))}^{\pm }$ et ${(\mathrm{Im}(u_i))}^{\pm }$ d'après la section 4.1 ; on recompose ensuite par la définition de la somme. $\mathrm{\square }$

Le point 6 mérite d'être traduit dans le langage des séries, où il énonce un fait qui n'a rien d'évident : on peut changer l'ordre des termes d'une série absolument convergente sans changer sa somme.

Démonstration. La série $\sum u_n$ étant absolument convergente, la famille $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable et sa somme coïncide avec celle de la série. L'invariance par permutation, appliquée à la famille positive $(\mid u_n\mid )$, montre que ${\sum }_{n\in \mathbb{N}}\mid u_{\sigma (n)}\mid ={\sum }_{n\in \mathbb{N}}\mid u_n\mid <+\mathrm{\infty }$, donc que la série $\sum u_{\sigma (n)}$ converge absolument ; appliquée à la famille $(u_n)$ elle-même, elle donne l'égalité des sommes. Il ne reste qu'à repasser du langage des familles à celui des séries, ce qu'autorise la propriété de cohérence. $\mathrm{\square }$

C'est un privilège de la convergence absolue, et de rien d'autre : pour une série qui converge sans converger absolument, permuter les termes peut modifier la somme. On ne s'aventurera pas plus loin sur ce terrain, mais retenez que l'énoncé ci-dessus n'est pas une évidence de bon sens — c'est un théorème, avec une hypothèse.

Voici maintenant le théorème qui donne tout son intérêt à la théorie. Sa démonstration est, comme dans le cas positif, hors programme : nous l'admettons.

Démonstration. On applique le théorème de sommation par paquets à la partition $L_a=\{a\}\times B$, $a\in A$, à première coordonnée figée. Son point 1 donne la sommabilité de la sous-famille indexée par $L_a$, qui est celle de $(u_{a,b}{)}_{b\in B}$ après la bijection $b\mapsto (a,b)$ ; son point 2 donne la sommabilité de la famille des sommes de paquets, c'est-à-dire de ${\left({\sum }_{b\in B}{u}_{a,b}\right)}_{a\in A}$ ; son point 3 donne la première égalité. On recommence avec la partition $C_b=A\times \{b\}$, $b\in B$, ce qui donne la seconde. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sommabilité. La famille $(\mid a_i{b}_j\mid )=(\mid a_i\mid \mid b_j\mid )$ est positive : le théorème de Fubini positif s'applique sans hypothèse et donne

$$\sum _{(i,j)\in I\times J}\mid a_i\mid \mid b_j\mid =\sum _{i\in I}(\sum _{j\in J}\mid a_i\mid \mid b_j\mid )=\sum _{i\in I}(\mid a_i\mid \sum _{j\in J}\mid b_j\mid )=(\sum _{i\in I}\mid a_i\mid )(\sum _{j\in J}\mid b_j\mid ),$$

en sortant deux fois une constante positive de la somme (homogénéité du cas positif). Les deux facteurs étant finis par hypothèse, le produit l'est : la famille $(a_i{b}_j)$ est sommable.

Valeur. La sommabilité acquise, le théorème de Fubini s'applique, et la linéarité permet à nouveau de sortir le facteur $a_i$, qui ne dépend pas de $j$ :

$$\sum _{(i,j)\in I\times J}{a}_i{b}_j=\sum _{i\in I}\left(\sum _{j\in J}{a}_i{b}_j\right)=\sum _{i\in I}\left(a_i\sum _{j\in J}{b}_j\right)=\left(\sum _{j\in J}{b}_j\right)\sum _{i\in I}{a}_i\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Produit de Cauchy

Comment multiplier deux séries ? Si l'on développe formellement le produit $\left({\sum }_p{a}_p\right)\left({\sum }_q{b}_q\right)$, on obtient tous les produits $a_p{b}_q$, indexés par ${\mathbb{N}}^2$. Pour les réorganiser en une série, il faut les grouper par paquets finis, et le groupement naturel est celui qui rassemble les termes de même « degré total » $p+q$ : c'est le regroupement que l'on ferait pour multiplier deux polynômes. On obtient ainsi la définition suivante.

Démonstration. Étape 1 : une famille sommable. Les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ étant absolument convergentes, les familles $(a_p{)}_{p\in \mathbb{N}}$ et $(b_q{)}_{q\in \mathbb{N}}$ sont sommables, de sommes respectives $A={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ et $B={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$. D'après le théorème sur le produit de deux familles sommables, la famille ${\left(a_p{b}_q\right)}_{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}$ est sommable, de somme $AB$.

Étape 2 : la partition en diagonales. Pour $n\in \mathbb{N}$, posons $D_n=\{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2\mid p+q=n\}$. Tout couple $(p,q)$ appartient au seul ensemble $D_{p+q}$ : la famille $(D_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une partition de ${\mathbb{N}}^2$, et chaque $D_n$ est fini, formé des couples $(k,n-k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Étape 3 : la sommation par paquets. La famille $(a_p{b}_q)$ étant sommable, le théorème de sommation par paquets s'applique à la partition $(D_n)$. La somme sur le paquet $D_n$ est une somme finie :

$$\sum _{(p,q)\in D_n}{a}_p{b}_q=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=c_n\mathrm{.}$$

Le théorème affirme alors que la famille $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est sommable — c'est-à-dire que la série $\sum c_n$ converge absolument — et que

$$\sum _{n\in \mathbb{N}}{c}_n=\sum _{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}{a}_p{b}_q=AB\mathrm{.}$$

Enfin, la somme de la famille $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ coïncide avec la somme de la série $\sum c_n$, d'où le résultat annoncé. $\mathrm{\square }$

Méthodes

Cette dernière section ne contient aucun résultat nouveau : elle range les précédents dans l'ordre où l'on s'en sert. Une remarque préalable, qui vaut pour tout le chapitre : l'énorme majorité des points perdus vient non pas d'un calcul faux, mais d'un théorème appliqué sans ses hypothèses. Avant chaque geste, demandez-vous de quel signe sont les termes et si la convergence est déjà acquise.

Ce dernier point mérite une insistance. La linéarité affirme que si $\sum v_n$ et $\sum w_n$ convergent, alors $\sum (v_n+w_n)$ converge, de somme la somme des sommes. Elle ne dit rien dans l'autre sens : d'une série convergente on ne peut pas conclure que ses morceaux convergent. Un développement asymptotique se lit donc de la droite vers la gauche, jamais l'inverse.

Une dernière liste, à relire avant chaque devoir. Ces cinq erreurs se retrouvent dans presque toutes les copies, et chacune invalide la question entière, pas seulement une ligne.