MPSI · Chapitre 18 · Second semestre

Espaces préhilbertiens réels

Produit scalaire, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Depuis le collège, la géométrie repose sur trois mots : longueur, angle droit, distance. On mesure un segment, on reconnaît un angle droit au théorème de Pythagore, on calcule la distance d'un point à une droite. Tout cela vit dans le plan ou dans l'espace, où les coordonnées fournissent des formules explicites. Mais l'algèbre linéaire de première année a construit des espaces vectoriels où ces trois mots n'ont, en l'état, aucun sens. Quelle est la « longueur » du polynôme $X^{2} - 3 X + 1$ ? Quel « angle » séparent les fonctions $t \mapsto t$ et $t \mapsto t^{2}$ sur $[0, 1]$ ? À quelle « distance » la matrice $(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array})$ se trouve-t-elle de l'ensemble des matrices symétriques ? Ces questions n'ont pas de réponse tant qu'on n'a rien ajouté à la structure d'espace vectoriel : la structure linéaire seule ne sait ni mesurer, ni comparer.

Ce chapitre installe une géométrie dans un espace vectoriel réel quelconque, et il le fait avec une seule donnée supplémentaire : un produit scalaire, c'est-à-dire une façon de multiplier deux vecteurs pour obtenir un nombre, soumise à quatre exigences. C'est peu, et pourtant tout en découle. La norme se lit sur le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, la distance sur la norme de la différence, l'orthogonalité sur l'annulation du produit scalaire, et le théorème de Pythagore devient un calcul de deux lignes. Le fait remarquable, et c'est la leçon du chapitre, est que le vocabulaire géométrique reste pertinent bien au-delà du plan et de l'espace : on parlera sans rougir de la projection orthogonale d'une fonction sur l'espace des polynômes de degré au plus $1$ .

Trois résultats dominent, et ils sont tous les trois d'un usage constant. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une machine à fabriquer des inégalités : appliquée aux sommes finies, aux intégrales ou aux matrices, elle produit en une ligne des majorations qu'aucun calcul direct n'atteindrait, et son cas d'égalité fournit en prime l'information « les deux vecteurs sont colinéaires ». Le procédé de Gram-Schmidt est une fabrique de repères : partant d'une base quelconque, il construit mécaniquement une base orthonormée, dans laquelle tous les calculs se simplifient — les coordonnées d'un vecteur s'y lisent par un simple produit scalaire, et le produit scalaire y reprend sa forme canonique. La projection orthogonale, enfin, répond à la question « quel est le point le plus proche ? » : parmi tous les vecteurs d'un sous-espace $F$ , il en existe un et un seul qui minimise la distance à un vecteur donné $x$ , et c'est le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ . C'est le principe des moindres carrés : ajuster une droite à un nuage de points, approcher une fonction compliquée par un polynôme de petit degré, ce sont des problèmes de projection orthogonale déguisés, et le théorème de la meilleure approximation les résout tous d'un coup.

Le plan suit cet ordre. On définit d'abord le produit scalaire et l'on traite en détail les quatre exemples fondamentaux qui reviendront sans cesse : $R^{n}$ , les matrices, les fonctions continues sur un segment, les polynômes. On en déduit la norme et ses identités de calcul, puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz et ses conséquences, dont l'inégalité triangulaire. Vient ensuite l'orthogonalité : Pythagore, familles orthogonales, orthogonal d'une partie. Les bases orthonormées et le procédé de Gram-Schmidt occupent la cinquième section, la projection orthogonale et la distance à un sous-espace la sixième, les hyperplans la septième. Une synthèse des méthodes clôt le chapitre.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. La lettre $E$ désigne un espace vectoriel sur $R$ ; tous les espaces de ce chapitre sont réels, sans aucune exception. Le produit scalaire de deux vecteurs $x$ et $y$ se note $⟨ x, y ⟩$ (la notation $(x ∣ y)$ , courante dans d'autres ouvrages, désigne exactement la même chose ; nous ne l'emploierons pas). La norme associée se note $∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ , la distance $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ , et la distance d'un vecteur à un sous-espace $d (x, F)$ . L'orthogonal d'une partie $A$ se note $A^{⊥}$ , et le projeté orthogonal sur un sous-espace $F$ se note $p_{F}$ . Les familles de vecteurs sont écrites $(u_{1}, \dots, u_{p})$ lorsqu'elles sont quelconques, et $(e_{1}, \dots, e_{p})$ lorsqu'elles sont orthonormées : cette convention typographique sera respectée partout, et elle évite bien des erreurs. Enfin, $Vect (A)$ désigne le sous-espace engendré par $A$ , $M_{n} (R)$ l'espace des matrices carrées réelles d'ordre $n$ , $^{t} A$ la transposée de $A$ , $tr (A)$ sa trace, et $C ([a, b], R)$ l'espace des fonctions continues de $[a, b]$ dans $R$ .

Produit scalaire

Formes bilinéaires symétriques définies positives

Un produit scalaire est une application qui à deux vecteurs associe un nombre réel, en respectant quatre exigences. Détaillons-les une à une, car chacune joue un rôle précis dans la suite.

Définition

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Une application $φ : E \times E \to R$ est appelée produit scalaire sur $E$ lorsqu'elle vérifie les quatre propriétés suivantes.

Bilinéarité. Pour tout $y \in E$ , l'application $x \mapsto φ (x, y)$ est linéaire, et pour tout $x \in E$ , l'application $y \mapsto φ (x, y)$ est linéaire.
Symétrie. Pour tous $x, y \in E$ , $φ (x, y) = φ (y, x)$ .
Positivité. Pour tout $x \in E$ , $φ (x, x) ⩾ 0$ .
Caractère défini. Pour tout $x \in E$ , si $φ (x, x) = 0$ alors $x = 0_{E}$ .

On note alors $φ (x, y) = ⟨ x, y ⟩$ .

Remarque

Ce que dit chaque axiome.

La bilinéarité est la compatibilité avec la structure d'espace vectoriel : elle permet de développer $⟨ λ x + μ x^{'}, y ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + μ ⟨ x^{'}, y ⟩$ exactement comme on développe un produit de nombres. C'est elle qui rend tous les calculs du chapitre possibles. Attention : bilinéaire ne veut pas dire linéaire sur $E \times E$ ; l'application $(x, y) \mapsto ⟨ x, y ⟩$ n'est pas linéaire, elle est linéaire en chaque variable, l'autre étant figée.
La symétrie dit qu'il n'y a pas d'ordre privilégié entre les deux arguments. Combinée à la bilinéarité, elle divise le travail par deux : la linéarité à gauche entraîne la linéarité à droite, puisque $⟨ x, λ y + μ y^{'} ⟩ = ⟨ λ y + μ y^{'}, x ⟩ = λ ⟨ y, x ⟩ + μ ⟨ y^{'}, x ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + μ ⟨ x, y^{'} ⟩$ .
La positivité est ce qui autorise à poser $∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ : sans elle, la racine carrée n'aurait pas de sens.
Le caractère défini est ce qui empêche un vecteur non nul d'être de longueur nulle. C'est l'axiome le plus délicat à vérifier en pratique, et c'est presque toujours celui que l'on oublie.

Propriété

Soit $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ un produit scalaire sur $E$ . Alors, pour tout $x \in E$ , $⟨ x, 0_{E} ⟩ = ⟨ 0_{E}, x ⟩ = 0$ . De plus, la propriété 4 se renforce en une équivalence :

⟨ x, x ⟩ = 0 ⟺ x = 0_{E} .

Démonstration. L'application $y \mapsto ⟨ x, y ⟩$ est linéaire, donc elle envoie le vecteur nul sur le réel $0$ : $⟨ x, 0_{E} ⟩ = 0$ , et la symétrie donne l'autre égalité.

Pour l'équivalence, le sens direct est l'axiome 4. Réciproquement, si $x = 0_{E}$ , ce que l'on vient d'écrire donne $⟨ 0_{E}, 0_{E} ⟩ = 0$ . $□$

Remarque

Une conséquence utilisée en permanence. Si $x \in E$ vérifie $⟨ x, y ⟩ = 0$ pour tout $y \in E$ , alors $x = 0_{E}$ : il suffit de prendre $y = x$ . Autrement dit, le seul vecteur orthogonal à tout le monde est le vecteur nul. C'est la méthode standard pour prouver qu'un vecteur est nul dans ce chapitre, et nous l'affinerons en section 4 : il suffira de tester sur une famille génératrice.

Espaces préhilbertiens et espaces euclidiens

Définition

On appelle espace préhilbertien réel tout couple $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ formé d'un espace vectoriel réel $E$ et d'un produit scalaire sur $E$ .

Lorsque, de plus, $E$ est de dimension finie, on dit que $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ est un espace euclidien.

Remarque

Trois précisions de vocabulaire.

Un espace euclidien est donc un espace préhilbertien réel de dimension finie : tout ce qui est démontré pour les préhilbertiens vaut pour les euclidiens, mais pas l'inverse. Dans les énoncés ci-dessous, il faudra faire très attention à l'hypothèse de dimension : plusieurs résultats de la section 6 sont faux en dimension infinie.
Un même espace vectoriel peut être muni de plusieurs produits scalaires différents, qui donnent des géométries différentes. Parler de « l'espace euclidien $R^{n}$ » sans autre précision signifie qu'on l'a muni du produit scalaire canonique décrit ci-dessous ; toute autre convention doit être annoncée.
L'espace nul ${0}$ est euclidien (de dimension $0$ ), avec l'unique application $φ (0, 0) = 0$ . Ce cas dégénéré n'a aucun intérêt, mais il évite des exceptions dans les énoncés.

Propriété

Soient $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors la restriction de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ à $F \times F$ est un produit scalaire sur $F$ . En particulier, si $F$ est de dimension finie, $(F, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ est un espace euclidien.

Démonstration. Les quatre axiomes sont des propriétés vérifiées pour tous les vecteurs de $E$ ; elles restent donc vraies lorsqu'on se restreint aux vecteurs de $F$ . La bilinéarité et la symétrie s'héritent immédiatement, la positivité aussi, et si $x \in F$ vérifie $⟨ x, x ⟩ = 0$ , alors $x = 0_{E}$ , qui appartient bien à $F$ et en est le vecteur nul. $□$

Remarque

Pourquoi cette remarque anodine est capitale. Elle permet de dire : « soit $F$ un sous-espace de dimension finie d'un préhilbertien $E$ ; $F$ est un espace euclidien, donc il possède une base orthonormée ». C'est l'articulation exacte de toute la section 6, où $E$ pourra être de dimension infinie (un espace de fonctions, par exemple) alors que $F$ sera de dimension finie (un espace de polynômes de degré borné).

Les quatre exemples fondamentaux

Ces quatre exemples reviendront dans chaque exercice du chapitre. Il faut savoir les énoncer sans hésiter et refaire la vérification des axiomes.

Exemple

Le produit scalaire canonique de $R^{n}$ . Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ et $y = (y_{1}, \dots, y_{n})$ dans $R^{n}$ , on pose

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} .

Bilinéarité. Fixons $y$ . Pour $x, x^{'} \in R^{n}$ et $λ, μ \in R$ , la $i$ -ième coordonnée de $λ x + μ x^{'}$ vaut $λ x_{i} + μ x_{i}^{'}$ , donc

⟨ λ x + μ x^{'}, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} (λ x_{i} + μ x_{i}^{'}) y_{i} = λ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} + μ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{'} y_{i} = λ ⟨ x, y ⟩ + μ ⟨ x^{'}, y ⟩ .

La linéarité à droite s'en déduit par symétrie.

Symétrie. Le produit de deux réels est commutatif : $x_{i} y_{i} = y_{i} x_{i}$ pour tout $i$ , donc les deux sommes coïncident.

Positivité et caractère défini. On a $⟨ x, x ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} ⩾ 0$ comme somme de carrés. Et si cette somme est nulle, chacun de ses termes, qui sont tous positifs ou nuls, est nul : $x_{i}^{2} = 0$ pour tout $i$ , donc $x_{i} = 0$ pour tout $i$ , c'est-à-dire $x = 0$ .

En identifiant $R^{n}$ à $M_{n, 1} (R)$ par les matrices colonnes, ce produit scalaire s'écrit $⟨ x, y ⟩ =^{t} X Y$ , où l'on identifie la matrice $1 \times 1$ obtenue à son unique coefficient.

Exemple

Le produit scalaire canonique de $M_{n} (R)$ . Pour $A = (a_{i j})$ et $B = (b_{i j})$ dans $M_{n} (R)$ , on pose

⟨ A, B ⟩ = tr (^{t} A B) .

Le calcul décisif. Le coefficient diagonal d'indice $j$ de la matrice $^{t} A B$ vaut

{(^{t} A B)}_{j j} = \sum_{i = 1}^{n} {(^{t} A)}_{j i} b_{i j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} b_{i j},

donc, en sommant sur $j$ ,

⟨ A, B ⟩ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} b_{i j} = \sum_{1 ⩽ i, j ⩽ n} a_{i j} b_{i j} .

Autrement dit, c'est le produit scalaire canonique de $R^{n^{2}}$ lu sur les coefficients des matrices. Les quatre axiomes s'en déduisent aussitôt : bilinéarité et symétrie par le même calcul que dans $R^{n}$ , puis

⟨ A, A ⟩ = \sum_{1 ⩽ i, j ⩽ n} a_{i j}^{2} ⩾ 0,

avec nullité si et seulement si tous les $a_{i j}$ sont nuls, c'est-à-dire $A = 0$ .

Une autre preuve de la symétrie. Une matrice et sa transposée ont même trace, donc

⟨ A, B ⟩ = tr (^{t} A B) = tr (^{t} (^{t} A B)) = tr (^{t} B A) = ⟨ B, A ⟩ .

Norme associée. $∥ A ∥ = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i j}^{2}}$ : c'est la racine de la somme des carrés de tous les coefficients.

Exemple

Le produit scalaire intégral sur $C ([a, b], R)$ . Soit $[a, b]$ un segment avec $a < b$ . Pour $f, g \in C ([a, b], R)$ , on pose

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Bonne définition. Le produit $f g$ est continu sur le segment $[a, b]$ , donc son intégrale existe : l'application est bien à valeurs dans $R$ .

Bilinéarité. C'est la linéarité de l'intégrale : $\int_{a}^{b} (λ f + μ h) g = λ \int_{a}^{b} f g + μ \int_{a}^{b} h g$ .

Symétrie. Immédiate, car $f (t) g (t) = g (t) f (t)$ pour tout $t$ .

Positivité. La fonction $f^{2}$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a < b$ , donc $⟨ f, f ⟩ = \int_{a}^{b} f (t)^{2} d t ⩾ 0$ par positivité de l'intégrale.

Caractère défini. C'est le point délicat, et il repose sur un théorème du chapitre d'intégration : une fonction continue et positive sur un segment, d'intégrale nulle, est identiquement nulle. Ici, $f^{2}$ est continue et positive, et $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ : donc $f^{2}$ est la fonction nulle, puis $f (t)^{2} = 0$ pour tout $t$ , donc $f = 0$ .

Remarque

Pourquoi la continuité est indispensable. Si l'on remplaçait $C ([a, b], R)$ par l'espace des fonctions continues par morceaux, la même formule ne définirait plus un produit scalaire : la fonction $f$ nulle partout sauf en un point, où elle vaut $1$ , est non nulle et vérifie pourtant $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . Le caractère défini tombe. Retenez le mécanisme : c'est toujours l'axiome 4 qui casse en premier, et c'est toujours lui qu'il faut regarder de près.

Exemple

Deux produits scalaires sur les polynômes.

Version intégrale. Sur $R [X]$ tout entier, posons

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Bilinéarité, symétrie et positivité se traitent comme ci-dessus. Le caractère défini demande une étape de plus. Supposons $\int_{0}^{1} P (t)^{2} d t = 0$ . La fonction polynomiale associée à $P^{2}$ est continue et positive sur $[0, 1]$ , donc elle est nulle sur $[0, 1]$ : la fonction $t \mapsto P (t)$ s'annule en tout point de $[0, 1]$ . Le polynôme $P$ a donc une infinité de racines, et un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul. Donc $P = 0$ . On ne peut pas se contenter d'écrire « $P$ est nulle sur $[0, 1]$ donc $P = 0$ » : c'est l'argument sur les racines qui fait passer de la fonction au polynôme.

Version discrète. Fixons $n \in N$ et $n + 1$ réels deux à deux distincts $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ . Sur $R_{n} [X]$ , posons

⟨ P, Q ⟩ = \sum_{i = 0}^{n} P (a_{i}) Q (a_{i}) .

La bilinéarité vient de ce que $P \mapsto P (a_{i})$ est linéaire, la symétrie est évidente, et $⟨ P, P ⟩ = \sum_{i = 0}^{n} P (a_{i})^{2} ⩾ 0$ . Pour le caractère défini : si cette somme de carrés est nulle, alors $P (a_{i}) = 0$ pour tout $i \in {0, \dots, n}$ , donc $P$ admet $n + 1$ racines deux à deux distinctes. Or $\deg P ⩽ n$ : un polynôme de degré au plus $n$ ayant $n + 1$ racines distinctes est nul. Donc $P = 0$ .

Remarque

Le piège de la version discrète. L'hypothèse $\deg P ⩽ n$ est essentielle. Sur $R [X]$ tout entier, la même formule n'est pas un produit scalaire : le polynôme

P = \prod_{i = 0}^{n} (X - a_{i}),

de degré $n + 1$ , est non nul et vérifie $⟨ P, P ⟩ = 0$ . Il faut donc systématiquement vérifier que le nombre de points d'évaluation dépasse strictement le degré maximal autorisé. Avec $n + 1$ points, on travaille sur $R_{n} [X]$ , pas au-delà.

Reconnaître un produit scalaire

Méthode

Montrer qu'une application $φ : E \times E \to R$ est un produit scalaire. Toujours dans cet ordre, pour minimiser le travail.

Vérifier que $φ (x, y)$ est bien un réel défini pour tous $x, y$ : une intégrale doit exister (fonction continue sur un segment), une somme doit être finie, une trace doit porter sur une matrice carrée.
Établir la symétrie en premier. Elle est en général immédiate, et elle divise par deux le travail sur la bilinéarité.
Établir la linéarité par rapport à la première variable, la seconde s'en déduisant par symétrie. Le rédiger avec une combinaison linéaire $λ x + μ x^{'}$ , en une seule fois.
Calculer $φ (x, x)$ et le mettre sous forme de somme de carrés, d'intégrale d'un carré, ou d'une expression manifestement positive. C'est ici qu'un regroupement astucieux est parfois nécessaire.
Traiter le caractère défini, en partant de $φ (x, x) = 0$ et en descendant jusqu'à $x = 0$ . Les trois arguments récurrents sont : une somme de carrés nulle a tous ses termes nuls ; une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle ; un polynôme ayant strictement plus de racines que son degré est nul.

Exemple

Un produit scalaire non canonique sur $R^{2}$ . Posons, pour $x = (x_{1}, x_{2})$ et $y = (y_{1}, y_{2})$ ,

φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} .

La symétrie est claire : l'expression est inchangée quand on échange les rôles de $x$ et $y$ , les deux termes croisés se permutant. La bilinéarité vient de ce que chaque terme est de la forme $c x_{i} y_{j}$ . Reste le point délicat :

φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = x_{1}^{2} + {(x_{1} + x_{2})}^{2} .

Cette écriture, obtenue par mise sous forme canonique, rend la positivité évidente. Et si $φ (x, x) = 0$ , alors $x_{1} = 0$ et $x_{1} + x_{2} = 0$ , d'où $x_{2} = 0$ : le caractère défini est acquis. C'est donc un produit scalaire, différent du produit scalaire canonique.

Exemple

Deux applications qui n'en sont pas.

Défaut de positivité. Sur $R^{2}$ , l'application $φ (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}$ est bilinéaire et symétrique, mais $φ ((0, 1), (0, 1)) = - 1 < 0$ : elle n'est pas positive.

Défaut du caractère défini. Sur $R^{2}$ , l'application $φ (x, y) = x_{1} y_{1}$ est bilinéaire, symétrique et positive, puisque $φ (x, x) = x_{1}^{2} ⩾ 0$ . Mais le vecteur $x = (0, 1)$ est non nul et vérifie $φ (x, x) = 0$ : l'axiome 4 tombe. Géométriquement, cette application « ne voit pas » la seconde coordonnée : elle mesure la longueur de la projection sur le premier axe, pas celle du vecteur.

Défaut de bilinéarité. Sur $R^{2}$ , l'application $φ (x, y) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + 1$ est symétrique et vérifie $φ (x, x) > 0$ pour tout $x$ , mais elle n'est pas linéaire en $x$ : $φ (0, y) = 1 \neq 0$ , alors qu'une application linéaire envoie $0$ sur $0$ .

Norme associée

Norme et distance

Définition

Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel. Pour $x \in E$ , on appelle norme de $x$ le réel positif

∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩} .

Pour $x, y \in E$ , on appelle distance de $x$ à $y$ le réel positif $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ .

La définition a un sens grâce à la positivité du produit scalaire, et elle donne immédiatement l'identité fondamentale $⟨ x, x ⟩ = ∥ x ∥^{2}$ , qu'on utilisera dans les deux sens sans le signaler.

Propriété

Soient $x, y \in E$ et $λ \in R$ .

Séparation. $∥ x ∥ ⩾ 0$ , et $∥ x ∥ = 0$ si et seulement si $x = 0_{E}$ .
Homogénéité. $∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ .
Inégalité triangulaire. $∥ x + y ∥ ⩽ ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ .

Démonstration. Point 1. La positivité de la racine carrée donne $∥ x ∥ ⩾ 0$ . De plus $∥ x ∥ = 0$ équivaut à $⟨ x, x ⟩ = 0$ , c'est-à-dire à $x = 0_{E}$ par le caractère défini.

Point 2. Par bilinéarité, $⟨ λ x, λ x ⟩ = λ^{2} ⟨ x, x ⟩$ , donc

∥ λ x ∥ = \sqrt{λ^{2} ∥ x ∥^{2}} = \sqrt{λ^{2}} ∥ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥,

en n'oubliant pas que $\sqrt{λ^{2}} = ∣ λ ∣$ et non $λ$ .

Point 3. Cette inégalité repose sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz : elle sera démontrée à la section suivante, où elle porte le nom d'inégalité de Minkowski. $□$

Propriété

L'application $d$ vérifie, pour tous $x, y, z \in E$ :

d (x, y) = 0 ⟺ x = y, d (x, y) = d (y, x), d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z) .

Démonstration. La première équivalence est la séparation appliquée à $x - y$ . La symétrie vient de $∥ y - x ∥ = ∥ - (x - y) ∥ = ∣ - 1 ∣ ∥ x - y ∥ = ∥ x - y ∥$ . Enfin, en écrivant $x - z = (x - y) + (y - z)$ et en appliquant l'inégalité triangulaire pour la norme,

d (x, z) = ∥ (x - y) + (y - z) ∥ ⩽ ∥ x - y ∥ + ∥ y - z ∥ = d (x, y) + d (y, z) . □

Définition

Un vecteur $u \in E$ est dit unitaire (ou normé) lorsque $∥ u ∥ = 1$ .

Si $x \neq 0_{E}$ , le vecteur $\frac{x}{∥ x ∥}$ est unitaire : on l'appelle le normalisé de $x$ , et l'opération qui le fabrique s'appelle la normalisation.

Démonstration. Comme $x \neq 0_{E}$ , on a $∥ x ∥ \neq 0$ et l'écriture a un sens. L'homogénéité donne alors

∥ \frac{x}{∥ x ∥} ∥ = \frac{1}{∥ x ∥} ∥ x ∥ = 1. □

Remarque

Le réflexe de la normalisation. Chaque fois qu'un énoncé demande une famille orthonormée, une base orthonormée ou un vecteur normal unitaire, la dernière étape du calcul consiste à diviser par la norme. C'est mécanique, et c'est l'oubli le plus fréquent du chapitre. Notez aussi que $x$ et $\frac{x}{∥ x ∥}$ engendrent la même droite vectorielle : normaliser ne change jamais la direction.

Identités remarquables

Propriété

Pour tous $x, y \in E$ :

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} et ∥ x - y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} - 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} .

Plus généralement, pour une famille finie $(x_{1}, \dots, x_{p})$ de vecteurs de $E$ et des réels $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ :

{∥ \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i} ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i}^{2} ∥ x_{i} ∥^{2} + 2 \sum_{1 ⩽ i < j ⩽ p} λ_{i} λ_{j} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Démonstration. Pour la première identité, la bilinéarité permet de développer comme un produit remarquable :

⟨ x + y, x + y ⟩ = ⟨ x, x ⟩ + ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, x ⟩ + ⟨ y, y ⟩ = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2},

les deux termes croisés étant égaux par symétrie. La seconde s'obtient en remplaçant $y$ par $- y$ , ce qui change $⟨ x, y ⟩$ en $- ⟨ x, y ⟩$ et laisse $∥ - y ∥^{2} = ∥ y ∥^{2}$ inchangé.

Pour le cas général, la bilinéarité donne

⟨ \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i}, \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{p} λ_{i} λ_{j} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Dans cette double somme, on isole les termes diagonaux $i = j$ , qui valent $λ_{i}^{2} ∥ x_{i} ∥^{2}$ , puis on regroupe deux par deux les termes $(i, j)$ et $(j, i)$ avec $i < j$ : par symétrie ils sont égaux, ce qui produit le facteur $2$ . $□$

Méthode

Développer une norme au carré. Le réflexe est toujours le même : ne jamais manipuler $∥ \cdot ∥$ directement, mais passer au carré pour retrouver un produit scalaire, développer par bilinéarité, puis revenir à la norme à la fin. Trois consignes.

Écrire $∥ u ∥^{2} = ⟨ u, u ⟩$ et développer comme un produit de polynômes, en n'oubliant aucun terme croisé.
Utiliser la symétrie pour regrouper $⟨ x, y ⟩$ et $⟨ y, x ⟩$ .
Ne jamais écrire $∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ : c'est faux en général, et c'est précisément ce que l'inégalité triangulaire remplace par une inégalité.

Exemple

Un calcul type. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs unitaires vérifiant $⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{3}$ . Calculons $∥ 2 x - 3 y ∥$ . On développe :

∥ 2 x - 3 y ∥^{2} = 4 ∥ x ∥^{2} - 12 ⟨ x, y ⟩ + 9 ∥ y ∥^{2} = 4 - 12 \times \frac{1}{3} + 9 = 4 - 4 + 9 = 9,

donc $∥ 2 x - 3 y ∥ = 3$ . Le calcul n'utilise que la bilinéarité : à aucun moment on n'a besoin de savoir dans quel espace on travaille.

Polarisation et parallélogramme

Les identités précédentes se lisent aussi dans l'autre sens : elles permettent de reconstituer le produit scalaire à partir de la seule norme.

Propriété

Identités de polarisation. Pour tous $x, y \in E$ :

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) .

Démonstration. Les deux premières formules s'obtiennent en isolant $⟨ x, y ⟩$ dans les deux identités remarquables. Pour la troisième, on soustrait la seconde identité de la première :

∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2} = (∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}) - (∥ x ∥^{2} - 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}) = 4 ⟨ x, y ⟩ . □

Remarque

Ce que disent les identités de polarisation. Le produit scalaire et la norme portent exactement la même information : la norme se calcule à partir du produit scalaire par définition, et réciproquement le produit scalaire se calcule à partir de la norme par polarisation. En pratique, ces identités servent chaque fois qu'un énoncé fournit des normes et demande un produit scalaire, ou impose une condition du type « $∥ x + y ∥ = ∥ x - y ∥$ » : cette dernière égalité équivaut, d'après la troisième formule, à $⟨ x, y ⟩ = 0$ , c'est-à-dire à l'orthogonalité de $x$ et $y$ .

Propriété

Identité du parallélogramme. Pour tous $x, y \in E$ :

∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}) .

Démonstration. Il suffit d'additionner les deux identités remarquables : les termes $\pm 2 ⟨ x, y ⟩$ se compensent, et il reste $2 ∥ x ∥^{2} + 2 ∥ y ∥^{2}$ . $□$

Remarque

Interprétation géométrique. Construisons le parallélogramme de sommets $0$ , $x$ , $x + y$ et $y$ . Ses quatre côtés ont pour longueurs $∥ x ∥$ , $∥ y ∥$ , $∥ x ∥$ et $∥ y ∥$ ; ses deux diagonales ont pour longueurs $∥ x + y ∥$ et $∥ x - y ∥$ . L'identité affirme donc que la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés. Dans le cas particulier du rectangle, où $⟨ x, y ⟩ = 0$ , les deux diagonales ont même longueur et l'on retrouve le théorème de Pythagore.

Cette identité est une contrainte forte, et elle sert à disqualifier des candidats. Sur $R^{2}$ , considérons l'application $N (x) = ∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣$ : avec $x = (1, 0)$ et $y = (0, 1)$ , on obtient $N (x + y)^{2} + N (x - y)^{2} = 4 + 4 = 8$ , alors que $2 (N (x)^{2} + N (y)^{2}) = 2 (1 + 1) = 4$ . L'identité du parallélogramme n'est pas vérifiée : il n'existe aucun produit scalaire sur $R^{2}$ dont $N$ soit la norme associée.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité et son cas d'égalité

C'est le théorème central du chapitre, et l'un des plus utilisés de tout le programme.

Propriété

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel. Pour tous $x, y \in E$ :

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥ .

De plus, il y a égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée, c'est-à-dire si et seulement si l'un des deux vecteurs est multiple de l'autre.

Démonstration. Cas $y = 0_{E}$ . Alors $⟨ x, y ⟩ = 0$ et $∥ y ∥ = 0$ : l'inégalité s'écrit $0 ⩽ 0$ , elle est vraie, avec égalité. Et la famille $(x, 0_{E})$ est liée, puisqu'elle contient le vecteur nul. Les deux membres de l'équivalence sont donc vrais simultanément.

Cas $y \neq 0_{E}$ . Considérons la fonction $P : R \to R$ définie par

P (t) = ∥ x + t y ∥^{2} .

Par positivité de la norme, $P (t) ⩾ 0$ pour tout réel $t$ . En développant par bilinéarité,

P (t) = ∥ y ∥^{2} t^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ t + ∥ x ∥^{2} .

Comme $y \neq 0_{E}$ , on a $∥ y ∥^{2} > 0$ : $P$ est un trinôme du second degré de coefficient dominant strictement positif, qui ne prend que des valeurs positives ou nulles. Un tel trinôme a un discriminant négatif ou nul :

Δ = 4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4 ∥ y ∥^{2} ∥ x ∥^{2} ⩽ 0,

c'est-à-dire $⟨ x, y ⟩^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2}$ . Les deux membres étant positifs, on prend la racine carrée, croissante sur $R^{+}$ , et il vient $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥$ .

Cas d'égalité, sens direct. Supposons $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∥ x ∥ ∥ y ∥$ avec $y \neq 0_{E}$ . Alors $Δ = 0$ , donc le trinôme $P$ admet une racine double $t_{0} = - \frac{⟨ x, y ⟩}{∥ y ∥^{2}}$ . En ce point, $P (t_{0}) = ∥ x + t_{0} y ∥^{2} = 0$ , donc $x + t_{0} y = 0_{E}$ par séparation de la norme, c'est-à-dire $x = - t_{0} y$ : la famille $(x, y)$ est liée.

Cas d'égalité, réciproque. Supposons $(x, y)$ liée avec $y \neq 0_{E}$ . Alors $x = λ y$ pour un réel $λ$ , et

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ ⟨ y, y ⟩ ∣ = ∣ λ ∣ ∥ y ∥^{2} = (∣ λ ∣ ∥ y ∥) ∥ y ∥ = ∥ λ y ∥ ∥ y ∥ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ . □

Remarque

Trois commentaires sur la démonstration.

Le ressort est l'introduction d'un paramètre réel : on ne compare pas $x$ et $y$ directement, on regarde toute la droite ${x + t y, t \in R}$ et l'on exploite le fait que la norme y reste positive. C'est un raisonnement à connaître, car il se réutilise tel quel dans de nombreux exercices.
La positivité de la norme suffit à obtenir l'inégalité ; c'est le caractère défini qui donne le cas d'égalité, via l'implication $∥ u ∥ = 0 \Rightarrow u = 0_{E}$ . Les deux axiomes travaillent à des endroits différents.
Si $x$ et $y$ sont tous deux non nuls, la conclusion du cas d'égalité s'écrit plus simplement : $x$ et $y$ sont colinéaires.

Remarque

Ce que Cauchy-Schwarz autorise à dire. Lorsque $x$ et $y$ sont non nuls, l'inégalité se réécrit

- 1 ⩽ \frac{⟨ x, y ⟩}{∥ x ∥ ∥ y ∥} ⩽ 1.

Ce quotient est donc le cosinus d'un unique réel de $[0, π]$ , ce qui légitime le vocabulaire géométrique employé dans tout le chapitre : dans le plan usuel, on retrouve exactement le cosinus de l'angle géométrique entre les deux vecteurs. La valeur $0$ correspond à l'orthogonalité, les valeurs $\pm 1$ à la colinéarité, c'est-à-dire au cas d'égalité.

Inégalité triangulaire

Propriété

Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire. Pour tous $x, y \in E$ :

∥ x + y ∥ ⩽ ∥ x ∥ + ∥ y ∥,

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont positivement colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si l'un des deux vecteurs est le produit de l'autre par un réel positif ou nul.

Démonstration. Développons le carré du membre de gauche et majorons le terme croisé par Cauchy-Schwarz :

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} + 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ + ∥ y ∥^{2} = {(∥ x ∥ + ∥ y ∥)}^{2},

en utilisant $⟨ x, y ⟩ ⩽ ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥$ . Les deux membres extrêmes étant positifs, la croissance de la racine carrée donne l'inégalité annoncée.

Cas d'égalité. La chaîne de calcul montre que l'égalité $∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ équivaut à

⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥,

c'est-à-dire à la conjonction de deux conditions : $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∥ x ∥ ∥ y ∥$ (cas d'égalité de Cauchy-Schwarz) et $⟨ x, y ⟩ ⩾ 0$ .

Supposons cette égalité réalisée. Si $y = 0_{E}$ , alors $y = 0 \times x$ et la conclusion est acquise. Sinon, le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz fournit $λ \in R$ tel que $x = λ y$ , et alors $⟨ x, y ⟩ = λ ∥ y ∥^{2} ⩾ 0$ impose $λ ⩾ 0$ : les deux vecteurs sont positivement colinéaires.

Réciproquement, si $x = λ y$ avec $λ ⩾ 0$ , alors $⟨ x, y ⟩ = λ ∥ y ∥^{2} = ∥ x ∥ ∥ y ∥$ puisque $∥ x ∥ = λ ∥ y ∥$ ; l'égalité a bien lieu. Le cas où $y$ est un multiple positif de $x$ se traite de même. $□$

Propriété

Inégalité triangulaire renversée. Pour tous $x, y \in E$ :

∣ ∥ x ∥ - ∥ y ∥ ∣ ⩽ ∥ x - y ∥ .

Démonstration. En écrivant $x = (x - y) + y$ et en appliquant l'inégalité triangulaire,

∥ x ∥ ⩽ ∥ x - y ∥ + ∥ y ∥, d’o \overset{ˋ}{u} ∥ x ∥ - ∥ y ∥ ⩽ ∥ x - y ∥ .

En échangeant les rôles de $x$ et $y$ , on obtient de même $∥ y ∥ - ∥ x ∥ ⩽ ∥ y - x ∥ = ∥ x - y ∥$ . Un réel dont l'opposé et lui-même sont majorés par $A$ vérifie $∣ \cdot ∣ ⩽ A$ : c'est la conclusion. $□$

Remarque

À quoi sert la version renversée. Elle minore une norme de différence, là où l'inégalité triangulaire la majore. C'est l'outil des raisonnements du type « si $∥ x ∥$ et $∥ y ∥$ sont très différentes, alors $x$ et $y$ sont loin l'un de l'autre ». On la retrouve à l'identique pour la valeur absolue sur $R$ , qui est la norme associée au produit scalaire $⟨ x, y ⟩ = x y$ sur l'espace préhilbertien $R$ .

Les trois formes concrètes

Appliquée aux trois produits scalaires usuels, l'inégalité de Cauchy-Schwarz prend trois visages qu'il faut savoir écrire de mémoire.

Propriété

Forme discrète. Pour tous réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ :

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} ⩽ (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}),

avec égalité si et seulement si les deux familles $(a_{1}, \dots, a_{n})$ et $(b_{1}, \dots, b_{n})$ sont proportionnelles.

Forme intégrale. Pour toutes fonctions $f, g$ continues sur un segment $[a, b]$ avec $a < b$ :

{(\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t)}^{2} ⩽ (\int_{a}^{b} f (t)^{2} d t) (\int_{a}^{b} g (t)^{2} d t),

avec égalité si et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles.

Forme matricielle. Pour toutes matrices $A, B \in M_{n} (R)$ :

tr {(^{t} A B)}^{2} ⩽ tr (^{t} A A) tr (^{t} B B),

avec égalité si et seulement si $A$ et $B$ sont proportionnelles.

Démonstration. Chacune des trois est l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire correspondant : le produit scalaire canonique de $R^{n}$ , le produit scalaire intégral sur $C ([a, b], R)$ , et le produit scalaire canonique de $M_{n} (R)$ . Dans chaque cas, on a élevé l'inégalité $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥$ au carré, ce qui est licite puisque les deux membres sont positifs, et le cas d'égalité « famille liée » se traduit par « proportionnelles ». $□$

Remarque

Une extension gratuite de la forme intégrale. L'inégalité reste vraie pour des fonctions seulement continues par morceaux : la démonstration par le trinôme n'utilise que la positivité de $\int (f + t g)^{2}$ , qui subsiste. En revanche le cas d'égalité, lui, tombe, exactement pour la même raison qui empêche $\int f g$ d'être un produit scalaire sur cet espace.

Choisir les bons vecteurs

Méthode

Appliquer Cauchy-Schwarz. L'inégalité ne sert à rien tant qu'on n'a pas décidé quels sont les deux vecteurs. Trois stratégies couvrent la quasi-totalité des exercices.

Prendre l'un des deux vecteurs constant. Avec $b = (1, 1, \dots, 1)$ , la forme discrète donne ${(\sum a_{i})}^{2} ⩽ n \sum a_{i}^{2}$ ; avec $g = 1$ , la forme intégrale donne ${(\int_{a}^{b} f)}^{2} ⩽ (b - a) \int_{a}^{b} f^{2}$ . C'est le réflexe dès qu'on veut relier une somme à une somme de carrés.
Couper chaque terme en deux facteurs. Pour faire apparaître $\sum a_{i}$ et $\sum \frac{1}{a_{i}}$ avec des $a_{i} > 0$ , on écrit $1 = \sqrt{a_{i}} \times \frac{1}{\sqrt{a_{i}}}$ et l'on applique l'inégalité aux familles $(\sqrt{a_{i}})$ et $(\frac{1}{\sqrt{a_{i}}})$ . Même idée avec une fonction : $1 = \sqrt{f} \times \frac{1}{\sqrt{f}}$ lorsque $f > 0$ .
Lire la quantité à majorer comme un produit scalaire. Une expression de la forme $\int_{a}^{b} f (t) w (t) d t$ ou $\sum a_{i} b_{i}$ est un produit scalaire : on l'écrit comme tel, puis on majore par le produit des normes, que l'on calcule séparément.

Dans les trois cas, ne pas oublier d'examiner le cas d'égalité lorsque l'énoncé demande quand l'inégalité obtenue est optimale : il s'agit toujours de la proportionnalité des deux familles choisies.

Exemple

Trois inégalités classiques.

Somme et somme de carrés. Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , l'inégalité appliquée à $(a, b, c)$ et $(1, 1, 1)$ donne

(a + b + c)^{2} ⩽ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}),

avec égalité si et seulement si $(a, b, c)$ est proportionnel à $(1, 1, 1)$ , c'est-à-dire si et seulement si $a = b = c$ .

L'inégalité des inverses. Soient $a, b, c > 0$ . Appliquons l'inégalité aux familles $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ et $(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}})$ : leur produit scalaire vaut $1 + 1 + 1 = 3$ , donc

9 ⩽ (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}),

avec égalité si et seulement si $a = b = c$ . En particulier, si $a + b + c = 1$ , alors $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩾ 9$ .

Version intégrale. Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a, b]$ . En écrivant $1 = \sqrt{f} \times \frac{1}{\sqrt{f}}$ , il vient

(b - a)^{2} = {(\int_{a}^{b} \sqrt{f (t)} \frac{1}{\sqrt{f (t)}} d t)}^{2} ⩽ (\int_{a}^{b} f (t) d t) (\int_{a}^{b} \frac{d t}{f (t)}),

avec égalité si et seulement si $\sqrt{f}$ et $\frac{1}{\sqrt{f}}$ sont proportionnelles, c'est-à-dire si et seulement si $f$ est constante.

Exemple

Un problème de minimisation. Cherchons le minimum de $\int_{0}^{1} f (t)^{2} d t$ lorsque $f$ décrit l'ensemble des fonctions continues sur $[0, 1]$ vérifiant $\int_{0}^{1} f (t) d t = 1$ .

L'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à $f$ et à la fonction constante $1$ donne

1 = {(\int_{0}^{1} f (t) d t)}^{2} ⩽ (\int_{0}^{1} f (t)^{2} d t) (\int_{0}^{1} 1 d t) = \int_{0}^{1} f (t)^{2} d t .

Le minimum cherché est donc au moins $1$ . Il vaut exactement $1$ , car la fonction constante $f = 1$ satisfait la contrainte et donne $\int_{0}^{1} f^{2} = 1$ . Le cas d'égalité montre de plus que c'est la seule fonction qui réalise ce minimum : l'égalité impose $f$ proportionnelle à la fonction constante $1$ , donc $f$ constante, et la contrainte force la valeur $1$ .

Exemple

Une majoration avec un poids. Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ . Majorons $\int_{0}^{1} t f (t) d t$ . On lit l'intégrale comme le produit scalaire de $f$ et de $t \mapsto t$ :

∣ \int_{0}^{1} t f (t) d t ∣ ⩽ \sqrt{\int_{0}^{1} t^{2} d t} \sqrt{\int_{0}^{1} f (t)^{2} d t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\int_{0}^{1} f (t)^{2} d t},

puisque $\int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ . La constante $\frac{1}{\sqrt{3}}$ est optimale : elle est atteinte pour $f (t) = t$ , cas où les deux fonctions sont proportionnelles.

Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux et théorème de Pythagore

Définition

Soient $x, y \in E$ . On dit que $x$ et $y$ sont orthogonaux, et l'on note $x ⊥ y$ , lorsque

⟨ x, y ⟩ = 0.

Remarque

Deux observations immédiates. La relation est symétrique : $x ⊥ y$ équivaut à $y ⊥ x$ . Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de $E$ , et c'est le seul vecteur orthogonal à lui-même, puisque $⟨ x, x ⟩ = 0$ entraîne $x = 0_{E}$ .

Attention. L'égalité $⟨ x, y ⟩ = 0$ n'entraîne pas que $x$ ou $y$ soit nul : dans $R^{2}$ , les vecteurs $(1, 0)$ et $(0, 1)$ sont orthogonaux et tous deux non nuls. Le produit scalaire n'est pas un produit de nombres, et la règle « un produit nul entraîne un facteur nul » n'a pas cours ici.

Propriété

Théorème de Pythagore. Soient $x, y \in E$ . Alors

x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} .

Démonstration. L'identité remarquable donne $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ . L'égalité annoncée équivaut donc à $2 ⟨ x, y ⟩ = 0$ , c'est-à-dire à $⟨ x, y ⟩ = 0$ . $□$

Remarque

Une équivalence, pas seulement une implication. Dans le cadre réel, le théorème de Pythagore et sa réciproque sont un seul et même énoncé, obtenu par une équivalence de deux lignes. C'est un cas rare où un théorème célèbre se démontre plus vite que son énoncé ne s'écrit ; toute la difficulté a été absorbée par les axiomes du produit scalaire.

Définition

Une famille finie $(x_{1}, \dots, x_{p})$ de vecteurs de $E$ est dite orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux :

\forall (i, j) \in {1, \dots, p}^{2}, i \neq j ⟹ ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = 0.

Elle est dite orthonormale (ou orthonormée) lorsqu'elle est orthogonale et que tous ses vecteurs sont unitaires, ce qui se résume en

\forall (i, j) \in {1, \dots, p}^{2}, ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i j} = {\begin{cases} 1 & si i = j, \\ 0 & si i \neq j . \end{cases}

Propriété

Théorème de Pythagore, version famille finie. Si $(x_{1}, \dots, x_{p})$ est une famille orthogonale de vecteurs de $E$ , alors

{∥ \sum_{i = 1}^{p} x_{i} ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{p} ∥ x_{i} ∥^{2} .

Démonstration. Reprenons le développement général établi à la section 2, avec tous les $λ_{i}$ égaux à $1$ :

{∥ \sum_{i = 1}^{p} x_{i} ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{p} ∥ x_{i} ∥^{2} + 2 \sum_{1 ⩽ i < j ⩽ p} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

La famille étant orthogonale, chaque terme de la seconde somme est nul, et il ne reste que la première. $□$

Remarque

La réciproque est fausse dès que $p ⩾ 3$ . Dans $R^{2}$ muni du produit scalaire canonique, prenons

x_{1} = (1, 0), x_{2} = (0, 1), x_{3} = (1, - 1) .

Alors $x_{1} + x_{2} + x_{3} = (2, 0)$ , donc $∥ x_{1} + x_{2} + x_{3} ∥^{2} = 4$ , tandis que $∥ x_{1} ∥^{2} + ∥ x_{2} ∥^{2} + ∥ x_{3} ∥^{2} = 1 + 1 + 2 = 4$ . L'égalité de Pythagore est vérifiée, et pourtant la famille n'est pas orthogonale : $⟨ x_{1}, x_{3} ⟩ = 1 \neq 0$ . Ce qui se produit ici est une compensation, $⟨ x_{1}, x_{3} ⟩ + ⟨ x_{2}, x_{3} ⟩ = 1 - 1 = 0$ . Seul le cas $p = 2$ fournit une équivalence.

Familles orthogonales et liberté

Propriété

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, toute famille orthonormale est libre.

Démonstration. Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont non nuls, et soient $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ des réels tels que

\sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i} = 0_{E} .

Fixons $j \in {1, \dots, p}$ et prenons le produit scalaire des deux membres avec $x_{j}$ . Par bilinéarité,

0 = ⟨ \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i}, x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = λ_{j} ∥ x_{j} ∥^{2},

tous les termes d'indice $i \neq j$ étant nuls par orthogonalité. Comme $x_{j} \neq 0_{E}$ , on a $∥ x_{j} ∥^{2} \neq 0$ , d'où $λ_{j} = 0$ . Ceci valant pour tout $j$ , la famille est libre.

Une famille orthonormale est orthogonale et formée de vecteurs de norme $1$ , donc non nuls : elle est libre. $□$

Remarque

L'hypothèse « non nuls » ne peut pas sauter. La famille $((1, 0), (0, 0))$ de $R^{2}$ est orthogonale, car $⟨ (1, 0), (0, 0) ⟩ = 0$ , et pourtant elle est liée : toute famille contenant le vecteur nul est liée. Dans une famille orthonormale, le problème ne se pose pas, la norme $1$ excluant le vecteur nul.

La conséquence pratique. Dans un espace euclidien de dimension $n$ , une famille orthonormale a au plus $n$ vecteurs, et toute famille orthonormale de $n$ vecteurs est une base : c'est une famille libre de cardinal $\dim E$ . On économise ainsi la vérification du caractère générateur, ce qui est un gain considérable.

Méthode

Le geste fondamental : tester par produit scalaire. Devant une relation vectorielle à exploiter (typiquement une combinaison linéaire nulle, ou une décomposition à identifier), le réflexe est de prendre le produit scalaire des deux membres avec un vecteur bien choisi, en général l'un des vecteurs d'une famille orthogonale. Par bilinéarité, tous les termes sauf un disparaissent, et l'on isole le coefficient cherché. Cette technique donne la liberté des familles orthogonales, les coordonnées dans une base orthonormée, la formule du projeté orthogonal, et l'unicité dans Gram-Schmidt : c'est le même geste, répété.

L'orthogonal d'une partie

Définition

Soit $A$ une partie non vide de $E$ . On appelle orthogonal de $A$ l'ensemble

A^{⊥} = {x \in E ∣ \forall a \in A, ⟨ x, a ⟩ = 0},

c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à tous les éléments de $A$ .

Propriété

Pour toute partie non vide $A$ de $E$ , l'ensemble $A^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , y compris lorsque $A$ n'en est pas un.

Démonstration. Pour $a \in E$ , notons $φ_{a} : E \to R$ l'application $x \mapsto ⟨ x, a ⟩$ : c'est une forme linéaire sur $E$ , par linéarité du produit scalaire en sa première variable. Or

A^{⊥} = ⋂_{a \in A} K e r φ_{a},

puisque dire que $x$ est orthogonal à tous les $a \in A$ , c'est dire que $x$ appartient au noyau de chaque $φ_{a}$ . Le noyau d'une forme linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$ , et une intersection quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel : $A^{⊥}$ en est un.

On peut aussi le vérifier directement : $0_{E} \in A^{⊥}$ car $⟨ 0_{E}, a ⟩ = 0$ pour tout $a$ ; et si $x, x^{'} \in A^{⊥}$ et $λ, μ \in R$ , alors pour tout $a \in A$ ,

⟨ λ x + μ x^{'}, a ⟩ = λ ⟨ x, a ⟩ + μ ⟨ x^{'}, a ⟩ = 0,

donc $λ x + μ x^{'} \in A^{⊥}$ . $□$

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$ , et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ .

${0_{E}}^{⊥} = E$ et $E^{⊥} = {0_{E}}$ .
Si $A \subset B$ , alors $B^{⊥} \subset A^{⊥}$ : l'orthogonal décroît pour l'inclusion.
$A \subset {(A^{⊥})}^{⊥}$ .
$Vect (A)^{⊥} = A^{⊥}$ .
$F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ , donc la somme $F + F^{⊥}$ est directe.

Démonstration. Point 1. Tout vecteur est orthogonal à $0_{E}$ , donc ${0_{E}}^{⊥} = E$ . Réciproquement, si $x \in E^{⊥}$ , alors $x$ est orthogonal à tous les vecteurs de $E$ , en particulier à lui-même : $⟨ x, x ⟩ = 0$ , donc $x = 0_{E}$ .

Point 2. Soit $x \in B^{⊥}$ . Alors $x$ est orthogonal à tout élément de $B$ , donc en particulier à tout élément de $A$ , qui est inclus dans $B$ : $x \in A^{⊥}$ .

Point 3. Soit $a \in A$ . Pour tout $x \in A^{⊥}$ , on a $⟨ x, a ⟩ = 0$ , donc $⟨ a, x ⟩ = 0$ par symétrie. Ceci valant pour tout $x \in A^{⊥}$ , le vecteur $a$ appartient à ${(A^{⊥})}^{⊥}$ .

Point 4. L'inclusion $Vect (A)^{⊥} \subset A^{⊥}$ résulte du point 2 appliqué à $A \subset Vect (A)$ . Réciproquement, soit $x \in A^{⊥}$ et soit $v \in Vect (A)$ : il existe des vecteurs $a_{1}, \dots, a_{p}$ de $A$ et des réels $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ tels que $v = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} a_{i}$ . Alors

⟨ x, v ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} ⟨ x, a_{i} ⟩ = 0,

donc $x \in Vect (A)^{⊥}$ .

Point 5. Soit $x \in F \cap F^{⊥}$ . Comme $x \in F^{⊥}$ , il est orthogonal à tout vecteur de $F$ , en particulier à lui-même puisque $x \in F$ . Donc $⟨ x, x ⟩ = 0$ et $x = 0_{E}$ . Une somme de deux sous-espaces d'intersection réduite au vecteur nul est directe. $□$

Méthode

Déterminer un orthogonal en pratique. Le point 4 est l'outil de calcul : pour décrire $F^{⊥}$ lorsque $F = Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ , il suffit d'écrire que $x$ est orthogonal aux générateurs, et non à tous les vecteurs de $F$ . On obtient un système linéaire de $p$ équations :

x \in F^{⊥} ⟺ ⟨ x, u_{1} ⟩ = 0 et \dots et ⟨ x, u_{p} ⟩ = 0.

Sa résolution donne $F^{⊥}$ sous forme paramétrée, donc une base.

Symétriquement, pour prouver qu'un vecteur $x$ est nul, il suffit de montrer qu'il est orthogonal à tous les vecteurs d'une famille génératrice de $E$ : on conclut alors $x \in E^{⊥} = {0_{E}}$ .

Exemple

Un calcul dans $R^{4}$ . Soit $F = Vect (u_{1}, u_{2})$ avec $u_{1} = (1, 1, 0, 0)$ et $u_{2} = (0, 1, 1, 0)$ , dans $R^{4}$ muni du produit scalaire canonique. Un vecteur $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ appartient à $F^{⊥}$ si et seulement si

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{2} + x_{3} = 0 \end{cases}

Ce système donne $x_{1} = - x_{2}$ et $x_{3} = - x_{2}$ , les paramètres libres étant $x_{2}$ et $x_{4}$ :

x = x_{2} (- 1, 1, - 1, 0) + x_{4} (0, 0, 0, 1) .

Donc $F^{⊥} = Vect ((- 1, 1, - 1, 0), (0, 0, 0, 1))$ , de dimension $2$ . On vérifie la cohérence : $\dim F + \dim F^{⊥} = 2 + 2 = 4 = \dim R^{4}$ , conformément au théorème de la section 6.

Remarque

En dimension infinie, tout peut mal se passer. L'inclusion $F \subset {(F^{⊥})}^{⊥}$ du point 3 peut être stricte, et $F^{⊥}$ peut être réduit à ${0_{E}}$ alors que $F \neq E$ .

Voici un exemple entièrement élémentaire. Soit $E$ l'espace des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de $⟨ u, v ⟩ = \sum_{n \in N} u_{n} v_{n}$ : cette somme n'a qu'un nombre fini de termes non nuls, c'est donc une somme finie, et l'on vérifie sans peine que c'est un produit scalaire. Soit

F = {u \in E ∣ \sum_{n \in N} u_{n} = 0},

qui est un hyperplan de $E$ comme noyau d'une forme linéaire non nulle. Soit $x \in F^{⊥}$ . Pour tous entiers $i \neq j$ , la suite $e_{i} - e_{j}$ (où $e_{k}$ vaut $1$ au rang $k$ et $0$ ailleurs) appartient à $F$ , donc $⟨ x, e_{i} - e_{j} ⟩ = x_{i} - x_{j} = 0$ . Tous les termes de $x$ sont donc égaux ; comme $x$ est nulle à partir d'un certain rang, cette valeur commune est $0$ , donc $x = 0$ . Ainsi $F^{⊥} = {0}$ , d'où $F \oplus F^{⊥} = F \neq E$ et ${(F^{⊥})}^{⊥} = E \neq F$ .

La morale. Tous les résultats de la section 6 exigeront une hypothèse de dimension finie sur $F$ . Ce n'est pas une précaution d'écriture, c'est une nécessité.

Sous-espaces orthogonaux

Définition

Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont dits orthogonaux, ce que l'on note $F ⊥ G$ , lorsque

\forall x \in F, \forall y \in G, ⟨ x, y ⟩ = 0.

Une famille $(F_{1}, \dots, F_{p})$ de sous-espaces est dite deux à deux orthogonale lorsque $F_{i} ⊥ F_{j}$ dès que $i \neq j$ .

Propriété

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

$F ⊥ G$ si et seulement si $F \subset G^{⊥}$ , si et seulement si $G \subset F^{⊥}$ .
Si $F = Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ et $G = Vect (v_{1}, \dots, v_{q})$ , alors $F ⊥ G$ si et seulement si $⟨ u_{i}, v_{j} ⟩ = 0$ pour tous $i$ et $j$ .
Si $F ⊥ G$ , alors la somme $F + G$ est directe.

Démonstration. Point 1. Dire que tout $x \in F$ est orthogonal à tout $y \in G$ , c'est dire que tout $x \in F$ appartient à $G^{⊥}$ , c'est-à-dire $F \subset G^{⊥}$ . La symétrie du produit scalaire donne l'autre équivalence.

Point 2. Le sens direct est clair, les $u_{i}$ et $v_{j}$ appartenant respectivement à $F$ et $G$ . Réciproquement, supposons $⟨ u_{i}, v_{j} ⟩ = 0$ pour tous $i, j$ . Chaque $v_{j}$ est alors orthogonal à tous les générateurs de $F$ , donc $v_{j} \in F^{⊥}$ d'après le point 4 de la propriété précédente. Ainsi $G = Vect (v_{1}, \dots, v_{q}) \subset F^{⊥}$ , ce dernier étant un sous-espace vectoriel ; le point 1 conclut.

Point 3. Soit $x \in F \cap G$ . Alors $x \in F$ et $x \in G$ , donc $⟨ x, x ⟩ = 0$ par orthogonalité des deux sous-espaces, d'où $x = 0_{E}$ . $□$

Propriété

Si $(F_{1}, \dots, F_{p})$ est une famille de sous-espaces vectoriels de $E$ deux à deux orthogonaux, alors la somme $F_{1} + F_{2} + \dots + F_{p}$ est directe.

Démonstration. Soient $x_{1} \in F_{1}, \dots, x_{p} \in F_{p}$ tels que $x_{1} + \dots + x_{p} = 0_{E}$ ; il s'agit de montrer que tous les $x_{i}$ sont nuls. Fixons $j$ et prenons le produit scalaire avec $x_{j}$ :

0 = ⟨ \sum_{i = 1}^{p} x_{i}, x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = ∥ x_{j} ∥^{2},

car pour $i \neq j$ on a $x_{i} \in F_{i}$ , $x_{j} \in F_{j}$ et $F_{i} ⊥ F_{j}$ , donc $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = 0$ . Il vient $x_{j} = 0_{E}$ , et ceci pour tout $j$ . La somme est donc directe. $□$

Exemple

Matrices symétriques et antisymétriques. Munissons $M_{n} (R)$ de son produit scalaire canonique, et notons $S_{n} (R)$ et $A_{n} (R)$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques. Montrons qu'ils sont orthogonaux.

Soient $S \in S_{n} (R)$ et $A \in A_{n} (R)$ . D'une part,

⟨ S, A ⟩ = tr (^{t} S A) = tr (S A),

puisque $^{t} S = S$ . D'autre part, par symétrie du produit scalaire,

⟨ S, A ⟩ = ⟨ A, S ⟩ = tr (^{t} A S) = tr (- A S) = - tr (A S) = - tr (S A),

en utilisant $^{t} A = - A$ puis $tr (A S) = tr (S A)$ . En comparant les deux expressions, $tr (S A) = - tr (S A)$ , donc $tr (S A) = 0$ et $⟨ S, A ⟩ = 0$ .

Comme on sait déjà que $M_{n} (R) = S_{n} (R) \oplus A_{n} (R)$ , via la décomposition

M = \frac{M +^{t} M}{2} + \frac{M -^{t} M}{2},

ces deux sous-espaces sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre : $A_{n} (R) = S_{n} (R)^{⊥}$ . Nous en tirerons en section 6 la projection orthogonale sur les matrices symétriques.

Bases orthonormées

Coordonnées dans une base orthonormée

Définition

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ . On appelle base orthonormée (ou base orthonormale) de $E$ toute base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ qui est une famille orthonormale, c'est-à-dire vérifiant $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i j}$ .

Propriété

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de l'espace euclidien $E$ . Pour tous $x, y \in E$ :

Coordonnées. $x = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ .
Produit scalaire. $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ x, e_{i} ⟩ ⟨ y, e_{i} ⟩$ .
Norme. $∥ x ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ .

Démonstration. Point 1. La famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base, donc il existe des réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ , uniques, tels que $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ . Prenons le produit scalaire avec $e_{j}$ :

⟨ x, e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = x_{j},

tous les termes d'indice $i \neq j$ étant nuls et $⟨ e_{j}, e_{j} ⟩$ valant $1$ . La $j$ -ième coordonnée de $x$ est donc $⟨ x, e_{j} ⟩$ .

Point 2. Notons $x_{i} = ⟨ x, e_{i} ⟩$ et $y_{j} = ⟨ y, e_{j} ⟩$ . En développant par bilinéarité,

⟨ x, y ⟩ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}, \sum_{j = 1}^{n} y_{j} e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} y_{j} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i},

seuls les termes $i = j$ survivant.

Point 3. C'est le point 2 avec $y = x$ . $□$

Remarque

Ce que ce théorème signifie vraiment. Dans une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur se lisent par un produit scalaire, sans résoudre le moindre système linéaire : c'est l'avantage décisif de ces bases. Et le produit scalaire y reprend sa forme la plus simple, celle de $R^{n}$ : en notant $X$ et $Y$ les matrices colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans la base orthonormée,

⟨ x, y ⟩ =^{t} X Y et ∥ x ∥^{2} =^{t} X X .

Autrement dit, tout espace euclidien de dimension $n$ se calcule comme $R^{n}$ canonique, pourvu qu'on ait pris la peine de fabriquer une base orthonormée. C'est exactement ce que va permettre le procédé de Gram-Schmidt.

Attention. Ces formules sont fausses dans une base quelconque. Si $(u_{1}, \dots, u_{n})$ n'est pas orthonormée, écrire $x = \sum ⟨ x, u_{i} ⟩ u_{i}$ est une erreur grave, et l'une des plus fréquentes du chapitre.

Le procédé de Gram-Schmidt

Propriété

Théorème d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille libre de vecteurs de $E$ . Il existe une unique famille orthonormale $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $E$ vérifiant les deux conditions suivantes :

pour tout $k \in {1, \dots, p}$ , $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k})$ ;
pour tout $k \in {1, \dots, p}$ , $⟨ u_{k}, e_{k} ⟩ > 0$ .

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $k$ , en montrant à chaque étape l'existence et l'unicité de $e_{k}$ une fois $e_{1}, \dots, e_{k - 1}$ fixés.

Initialisation. La famille étant libre, $u_{1} \neq 0_{E}$ . Posons $e_{1} = \frac{u_{1}}{∥ u_{1} ∥}$ : c'est un vecteur unitaire, $Vect (e_{1}) = Vect (u_{1})$ puisque $e_{1}$ est un multiple non nul de $u_{1}$ , et

⟨ u_{1}, e_{1} ⟩ = \frac{⟨ u_{1}, u_{1} ⟩}{∥ u_{1} ∥} = ∥ u_{1} ∥ > 0.

Pour l'unicité, soit $f$ un vecteur unitaire tel que $Vect (f) = Vect (u_{1})$ et $⟨ u_{1}, f ⟩ > 0$ . La première condition donne $f = λ u_{1}$ pour un réel $λ \neq 0$ ; la condition $∥ f ∥ = 1$ impose $∣ λ ∣ = \frac{1}{∥ u_{1} ∥}$ ; enfin $⟨ u_{1}, f ⟩ = λ ∥ u_{1} ∥^{2} > 0$ impose $λ > 0$ . Donc $λ = \frac{1}{∥ u_{1} ∥}$ et $f = e_{1}$ .

Hérédité. Soit $k \in {1, \dots, p - 1}$ , et supposons construite une famille orthonormale $(e_{1}, \dots, e_{k})$ vérifiant les deux conditions jusqu'au rang $k$ . Posons

v_{k + 1} = u_{k + 1} - \sum_{i = 1}^{k} ⟨ u_{k + 1}, e_{i} ⟩ e_{i} .

Le vecteur $v_{k + 1}$ est orthogonal à $e_{1}, \dots, e_{k}$ . En effet, pour $j \in {1, \dots, k}$ ,

⟨ v_{k + 1}, e_{j} ⟩ = ⟨ u_{k + 1}, e_{j} ⟩ - \sum_{i = 1}^{k} ⟨ u_{k + 1}, e_{i} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = ⟨ u_{k + 1}, e_{j} ⟩ - ⟨ u_{k + 1}, e_{j} ⟩ = 0,

puisque $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon.

Le vecteur $v_{k + 1}$ est non nul. Si l'on avait $v_{k + 1} = 0_{E}$ , alors $u_{k + 1}$ appartiendrait à $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k})$ , ce qui contredirait la liberté de la famille $(u_{1}, \dots, u_{k + 1})$ .

Construction de $e_{k + 1}$ . Posons $e_{k + 1} = \frac{v_{k + 1}}{∥ v_{k + 1} ∥}$ . La famille $(e_{1}, \dots, e_{k + 1})$ est orthonormale d'après les deux points précédents. Elle vérifie la condition 2 au rang $k + 1$ :

⟨ u_{k + 1}, e_{k + 1} ⟩ = ⟨ v_{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} ⟨ u_{k + 1}, e_{i} ⟩ e_{i}, e_{k + 1} ⟩ = ⟨ v_{k + 1}, e_{k + 1} ⟩ = \frac{∥ v_{k + 1} ∥^{2}}{∥ v_{k + 1} ∥} = ∥ v_{k + 1} ∥ > 0,

car $e_{k + 1}$ est orthogonal à $e_{1}, \dots, e_{k}$ . Enfin, la condition 1 : par construction, $e_{k + 1}$ est combinaison linéaire de $u_{k + 1}$ et de $e_{1}, \dots, e_{k}$ , donc de $u_{1}, \dots, u_{k + 1}$ , d'où l'inclusion $Vect (e_{1}, \dots, e_{k + 1}) \subset Vect (u_{1}, \dots, u_{k + 1})$ ; les deux sous-espaces ont pour dimension $k + 1$ , la famille de gauche étant orthonormale donc libre et celle de droite libre par hypothèse. Une inclusion entre sous-espaces de même dimension finie est une égalité.

Unicité. Soit $f$ un vecteur unitaire tel que $(e_{1}, \dots, e_{k}, f)$ soit orthonormale, que $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}, f) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k + 1})$ et que $⟨ u_{k + 1}, f ⟩ > 0$ . Comme $(e_{1}, \dots, e_{k + 1})$ est une base orthonormée de $Vect (u_{1}, \dots, u_{k + 1})$ et que $f$ appartient à ce sous-espace, on peut écrire $f = \sum_{i = 1}^{k + 1} c_{i} e_{i}$ avec $c_{i} = ⟨ f, e_{i} ⟩$ . Or $f$ est orthogonal à $e_{1}, \dots, e_{k}$ , donc $c_{1} = \dots = c_{k} = 0$ et $f = c_{k + 1} e_{k + 1}$ . La condition $∥ f ∥ = 1$ donne $c_{k + 1} = \pm 1$ , et

⟨ u_{k + 1}, f ⟩ = c_{k + 1} ⟨ u_{k + 1}, e_{k + 1} ⟩ = c_{k + 1} ∥ v_{k + 1} ∥ > 0

impose $c_{k + 1} = 1$ , c'est-à-dire $f = e_{k + 1}$ . La récurrence est achevée. $□$

Remarque

À quoi servent les deux conditions. La condition 1, dite condition de drapeau, dit que le procédé respecte l'ordre des vecteurs : les $k$ premiers vecteurs orthonormés engendrent le même sous-espace que les $k$ premiers vecteurs de départ. Elle est ce qui rend le procédé algorithmique : on traite les vecteurs un par un, sans jamais revenir en arrière. La condition 2, dite de positivité, sert uniquement à lever l'ambiguïté de signe : sans elle, chaque $e_{k}$ pourrait être remplacé par $- e_{k}$ , et il y aurait $2^{p}$ familles solutions.

Conséquence importante. Si l'on change l'ordre des vecteurs $u_{i}$ , on obtient en général une famille orthonormée différente : le procédé n'est pas symétrique en ses arguments.

L'algorithme en pratique

Méthode

Le procédé de Gram-Schmidt, mode d'emploi. Partant d'une famille libre $(u_{1}, \dots, u_{p})$ , on calcule successivement, pour $k$ allant de $1$ à $p$ :

v_{k} = u_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ u_{k}, e_{i} ⟩ e_{i} puis e_{k} = \frac{v_{k}}{∥ v_{k} ∥},

la somme étant vide (donc nulle) pour $k = 1$ , ce qui donne $v_{1} = u_{1}$ .

Comment le lire. À l'étape $k$ , on retranche à $u_{k}$ tout ce qu'il « contient déjà » des directions précédentes : le vecteur $\sum_{i < k} ⟨ u_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}$ est exactement le projeté orthogonal de $u_{k}$ sur $Vect (e_{1}, \dots, e_{k - 1})$ , comme la section 6 le confirmera. Ce qui reste, $v_{k}$ , est orthogonal à tout ce qui précède ; il ne reste plus qu'à le normaliser.

Trois conseils de calcul.

Vérifier l'orthogonalité au fur et à mesure : après avoir calculé $v_{k}$ , contrôler que $⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ = 0$ pour $i < k$ . C'est deux lignes de calcul et cela évite de propager une erreur.
Retarder les racines carrées. On peut travailler avec la famille orthogonale non normée $(w_{1}, \dots, w_{p})$ définie par

w_{k} = u_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{⟨ u_{k}, w_{i} ⟩}{∥ w_{i} ∥^{2}} w_{i},

puis normaliser tout à la fin. Les calculs restent alors en nombres rationnels, ce qui est nettement plus confortable. 3. Ne jamais oublier la normalisation finale. Une famille orthogonale n'est pas une famille orthonormée, et toutes les formules de la section précédente exigent des vecteurs unitaires.

Exemple

Gram-Schmidt dans $R^{3}$ . Orthonormalisons la base $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ de $R^{3}$ euclidien canonique définie par

u_{1} = (1, 1, 1), u_{2} = (1, 1, 0), u_{3} = (1, 0, 0) .

Étape 1. $∥ u_{1} ∥^{2} = 1 + 1 + 1 = 3$ , donc

e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1) .

Étape 2. On calcule $⟨ u_{2}, e_{1} ⟩ = \frac{1 + 1 + 0}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ , puis

v_{2} = u_{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} e_{1} = (1, 1, 0) - \frac{2}{3} (1, 1, 1) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) .

Contrôle : $⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 0$ . Ensuite $∥ v_{2} ∥^{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , donc $∥ v_{2} ∥ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ et

e_{2} = \frac{3}{\sqrt{6}} (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 2) .

Étape 3. On calcule $⟨ u_{3}, e_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $⟨ u_{3}, e_{2} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{6}}$ , puis

v_{3} = u_{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} e_{1} - \frac{1}{\sqrt{6}} e_{2} = (1, 0, 0) - \frac{1}{3} (1, 1, 1) - \frac{1}{6} (1, 1, - 2) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0) .

Contrôle : ce vecteur est bien orthogonal à $(1, 1, 1)$ et à $(1, 1, - 2)$ . Enfin $∥ v_{3} ∥^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ , donc $∥ v_{3} ∥ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et

e_{3} = \sqrt{2} (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0) .

Bilan. La base orthonormée obtenue est

e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1), e_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 2), e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0) .

On vérifie que $⟨ u_{k}, e_{k} ⟩ > 0$ pour $k = 1, 2, 3$ , comme le théorème l'annonce : ces valeurs sont respectivement $\sqrt{3}$ , $\frac{\sqrt{6}}{3}$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , c'est-à-dire les normes $∥ v_{k} ∥$ .

Exemple

Gram-Schmidt dans $R_{2} [X]$ . Munissons $R_{2} [X]$ du produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t,

et orthonormalisons la base canonique $(1, X, X^{2})$ .

Étape 1. $∥ 1 ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} d t = 2$ , donc $e_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Étape 2. $⟨ X, e_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{- 1}^{1} t d t = 0$ , l'intégrande étant impair sur un intervalle symétrique. Donc $v_{2} = X$ , et $∥ X ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} t^{2} d t = \frac{2}{3}$ , d'où

e_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}} X = \frac{\sqrt{6}}{2} X .

Étape 3. On calcule $⟨ X^{2}, e_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{- 1}^{1} t^{2} d t = \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ , et $⟨ X^{2}, e_{2} ⟩ = 0$ par imparité de $t \mapsto t^{3}$ . Donc

v_{3} = X^{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = X^{2} - \frac{1}{3} .

Calculons sa norme :

∥ v_{3} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} {(t^{2} - \frac{1}{3})}^{2} d t = \int_{- 1}^{1} (t^{4} - \frac{2}{3} t^{2} + \frac{1}{9}) d t = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45} .

Ainsi $∥ v_{3} ∥ = \sqrt{\frac{8}{45}} = \frac{2 \sqrt{10}}{15}$ , et

e_{3} = \frac{15}{2 \sqrt{10}} (X^{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{10}}{4} (3 X^{2} - 1) .

Contrôle. $∥ 3 X^{2} - 1 ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} (9 t^{4} - 6 t^{2} + 1) d t = \frac{18}{5} - 4 + 2 = \frac{8}{5}$ , et ${(\frac{\sqrt{10}}{4})}^{2} \times \frac{8}{5} = \frac{10}{16} \times \frac{8}{5} = 1$ . La famille $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est bien orthonormée.

Existence de bases orthonormées

Propriété

Tout espace euclidien $E$ de dimension $n ⩾ 1$ admet une base orthonormée.

Démonstration. L'espace $E$ étant de dimension finie $n ⩾ 1$ , il admet une base $(u_{1}, \dots, u_{n})$ , qui est en particulier une famille libre. Le procédé de Gram-Schmidt lui associe une famille orthonormale $(e_{1}, \dots, e_{n})$ vérifiant $Vect (e_{1}, \dots, e_{n}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{n}) = E$ . Cette famille est génératrice et libre, c'est donc une base orthonormée de $E$ . $□$

Propriété

Théorème de la base orthonormée incomplète. Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ . Toute famille orthonormale $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $E$ , avec $p ⩽ n$ , peut être complétée en une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ de $E$ .

Démonstration. La famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est orthonormale, donc libre. Le théorème de la base incomplète, vu en algèbre linéaire, permet de la compléter en une base $(e_{1}, \dots, e_{p}, u_{p + 1}, \dots, u_{n})$ de $E$ .

Appliquons le procédé de Gram-Schmidt à cette base, et notons $(f_{1}, \dots, f_{n})$ la famille orthonormale obtenue. Je dis que $f_{i} = e_{i}$ pour $i ⩽ p$ . En effet, la famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est orthonormale, elle vérifie $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (e_{1}, \dots, e_{k})$ pour tout $k ⩽ p$ ainsi que $⟨ e_{k}, e_{k} ⟩ = 1 > 0$ : elle satisfait donc les deux conditions du théorème de Gram-Schmidt appliqué aux $p$ premiers vecteurs. Par unicité, elle coïncide avec $(f_{1}, \dots, f_{p})$ .

La famille $(e_{1}, \dots, e_{p}, f_{p + 1}, \dots, f_{n})$ est ainsi une base orthonormée de $E$ complétant la famille de départ. $□$

Remarque

Le mécanisme à retenir. Gram-Schmidt ne touche pas aux vecteurs déjà orthonormés situés en tête de la famille : c'est une conséquence directe de la partie unicité du théorème, et c'est ce qui rend le théorème de la base orthonormée incomplète immédiat. En pratique, pour compléter une famille orthonormale, on complète d'abord en une base quelconque, puis on applique Gram-Schmidt en laissant les premiers vecteurs en place.

Projection orthogonale

Le supplémentaire orthogonal

Voici le théorème qui met en marche toute la section : il donne un supplémentaire canonique, et une seule hypothèse est requise.

Propriété

Théorème du supplémentaire orthogonal. Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Alors

E = F \oplus F^{⊥} .

Démonstration. Nous savons déjà que la somme est directe, puisque $F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ . Il reste à montrer que $F + F^{⊥} = E$ .

Cas $F = {0_{E}}$ . Alors $F^{⊥} = {0_{E}}^{⊥} = E$ et l'égalité est claire.

Cas général. Notons $p = \dim F ⩾ 1$ . Le sous-espace $F$ , muni de la restriction du produit scalaire, est un espace euclidien : il possède donc une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ .

Soit $x \in E$ . Posons

y = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} et z = x - y .

Par construction, $y \in F$ comme combinaison linéaire des $e_{i}$ , et $x = y + z$ . Montrons que $z \in F^{⊥}$ . Pour $j \in {1, \dots, p}$ ,

⟨ z, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - ⟨ x, e_{j} ⟩ = 0.

Le vecteur $z$ est donc orthogonal à tous les vecteurs de la famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ , qui engendre $F$ : d'après la caractérisation par une famille génératrice, $z \in F^{⊥}$ .

Tout $x \in E$ s'écrit donc comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $F^{⊥}$ , ce qui achève la démonstration. $□$

Remarque

Où l'hypothèse sert. Elle sert à une seule chose : garantir l'existence d'une base orthonormée finie de $F$ , dont la démonstration a besoin pour fabriquer explicitement $y$ . Sans elle, l'énoncé est faux, comme le montre le contre-exemple des suites presque nulles donné à la section 4. Notez que $E$ , lui, peut parfaitement être de dimension infinie : c'est le cas d'usage principal, où $E$ est un espace de fonctions et $F$ un espace de polynômes de degré borné.

Propriété

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ , et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors

\dim F^{⊥} = n - \dim F et {(F^{⊥})}^{⊥} = F .

Démonstration. Le sous-espace $F$ est de dimension finie, donc $E = F \oplus F^{⊥}$ et la formule des dimensions d'une somme directe donne $n = \dim F + \dim F^{⊥}$ , d'où la première égalité.

Pour la seconde, nous savons que $F \subset {(F^{⊥})}^{⊥}$ . Appliquons la formule des dimensions à $F^{⊥}$ , qui est lui aussi de dimension finie :

\dim {(F^{⊥})}^{⊥} = n - \dim F^{⊥} = n - (n - \dim F) = \dim F .

Une inclusion entre deux sous-espaces de même dimension finie est une égalité : ${(F^{⊥})}^{⊥} = F$ . $□$

Remarque

Un outil de démonstration. L'égalité ${(F^{⊥})}^{⊥} = F$ sert à transformer une question sur $F$ en une question sur $F^{⊥}$ , souvent plus simple lorsque $F^{⊥}$ est de petite dimension. Elle donne aussi un critère commode : pour deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace euclidien, $F = G$ si et seulement si $F^{⊥} = G^{⊥}$ .

Le projeté orthogonal

Définition

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ . On appelle projection orthogonale sur $F$ la projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ , associée à la décomposition $E = F \oplus F^{⊥}$ . On la note $p_{F}$ .

Pour $x \in E$ , le vecteur $p_{F} (x)$ est appelé projeté orthogonal de $x$ sur $F$ : c'est l'unique vecteur de $F$ tel que $x - p_{F} (x) \in F^{⊥}$ .

Propriété

Caractérisation et calcul du projeté orthogonal. Soient $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ et $x \in E$ .

Caractérisation. Pour $y \in E$ , on a $y = p_{F} (x)$ si et seulement si

y \in F et x - y \in F^{⊥} .

Formule dans une base orthonormée. Si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée de $F$ , alors

p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Caractérisation par une famille génératrice. Si $(u_{1}, \dots, u_{p})$ engendre $F$ , alors $y = p_{F} (x)$ si et seulement si $y \in F$ et $⟨ x - y, u_{i} ⟩ = 0$ pour tout $i \in {1, \dots, p}$ .

Démonstration. Point 1. C'est la définition d'une projection associée à une somme directe : $x$ s'écrit de manière unique $x = y + z$ avec $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ , et $p_{F} (x) = y$ .

Point 2. La démonstration du théorème du supplémentaire orthogonal a construit exactement cette décomposition : $y = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ appartient à $F$ et $z = x - y$ appartient à $F^{⊥}$ . Par unicité de la décomposition, $p_{F} (x) = y$ . En particulier, la valeur obtenue ne dépend pas de la base orthonormée choisie.

Point 3. Un vecteur est orthogonal à $F$ si et seulement s'il est orthogonal à une famille génératrice de $F$ , d'après l'égalité $Vect (A)^{⊥} = A^{⊥}$ . Le point 3 est donc une reformulation du point 1. $□$

Propriété

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ . La projection orthogonale $p_{F}$ vérifie :

$p_{F}$ est un endomorphisme de $E$ ;
$p_{F} \circ p_{F} = p_{F}$ ;
$I m p_{F} = F$ et $K e r p_{F} = F^{⊥}$ ;
$p_{F} (x) = x$ si et seulement si $x \in F$ ;
si $F^{⊥}$ est aussi de dimension finie (par exemple si $E$ est de dimension finie), $p_{F} + p_{F^{⊥}} = {i d}_{E}$ ;
$∥ p_{F} (x) ∥ ⩽ ∥ x ∥$ pour tout $x \in E$ .

Démonstration. Points 1 à 4. Ce sont les propriétés générales d'une projection associée à une décomposition en somme directe $E = F \oplus F^{⊥}$ , établies dans le chapitre d'algèbre linéaire : la projection sur $F$ parallèlement à $G$ est linéaire, idempotente, d'image $F$ et de noyau $G$ , et elle laisse fixes exactement les vecteurs de $F$ .

Point 5. Pour $x \in E$ , écrivons $x = y + z$ avec $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ . Alors $p_{F} (x) = y$ . Comme ${(F^{⊥})}^{⊥} = F$ en dimension finie, la décomposition $x = z + y$ est la décomposition de $x$ suivant $E = F^{⊥} \oplus {(F^{⊥})}^{⊥} = F^{⊥} \oplus F$ , donc $p_{F^{⊥}} (x) = z$ . Il vient $p_{F} (x) + p_{F^{⊥}} (x) = y + z = x$ .

Point 6. Avec les mêmes notations, $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ sont orthogonaux, donc le théorème de Pythagore donne

∥ x ∥^{2} = ∥ y ∥^{2} + ∥ z ∥^{2} ⩾ ∥ y ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2},

et l'on conclut par croissance de la racine carrée. $□$

Exemple

Projection sur les matrices symétriques. Dans $M_{n} (R)$ muni du produit scalaire canonique, on a vu que $S_{n} (R)$ et $A_{n} (R)$ sont supplémentaires et orthogonaux, donc $A_{n} (R) = S_{n} (R)^{⊥}$ . La décomposition

M = \underset{\in S_{n} (R)}{\underset{⏟}{\frac{M +^{t} M}{2}}} + \underset{\in A_{n} (R)}{\underset{⏟}{\frac{M -^{t} M}{2}}}

est donc exactement la décomposition suivant $S_{n} (R) \oplus S_{n} (R)^{⊥}$ , ce qui donne sans le moindre calcul

p_{S_{n} (R)} (M) = \frac{M +^{t} M}{2} et p_{A_{n} (R)} (M) = \frac{M -^{t} M}{2} .

Application numérique. Prenons $M = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array})$ dans $M_{2} (R)$ . Alors $^{t} M = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{array})$ , donc

p_{S_{2} (R)} (M) = \frac{1}{2} (\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}) et M - p_{S_{2} (R)} (M) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) .

La distance de $M$ à l'espace des matrices symétriques vaut donc

d (M, S_{2} (R)) = ∥ (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) ∥ = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2} .

Distance à un sous-espace et meilleure approximation

Définition

Soient $x \in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On appelle distance de $x$ à $F$ le réel

d (x, F) = \inf_{y \in F} ∥ x - y ∥ .

Propriété

Théorème de la meilleure approximation. Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ , et $x \in E$ . Alors la borne inférieure définissant $d (x, F)$ est atteinte en un unique point, à savoir $p_{F} (x)$ :

\forall y \in F, ∥ x - p_{F} (x) ∥ ⩽ ∥ x - y ∥,

avec égalité si et seulement si $y = p_{F} (x)$ . En particulier,

d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥ .

Démonstration. Notons $q = p_{F} (x)$ et soit $y \in F$ quelconque. Décomposons

x - y = \underset{\in F^{⊥}}{\underset{⏟}{(x - q)}} + \underset{\in F}{\underset{⏟}{(q - y)}},

la première appartenance venant de la caractérisation du projeté orthogonal, la seconde du fait que $q$ et $y$ sont tous deux dans le sous-espace $F$ . Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux, et le théorème de Pythagore donne

∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - q ∥^{2} + ∥ q - y ∥^{2} ⩾ ∥ x - q ∥^{2} .

En passant à la racine carrée, $∥ x - q ∥ ⩽ ∥ x - y ∥$ pour tout $y \in F$ : le minimum est atteint en $q$ , et la borne inférieure vaut $∥ x - q ∥$ .

Unicité. L'inégalité ci-dessus est une égalité si et seulement si $∥ q - y ∥^{2} = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $y = q$ par séparation de la norme. $□$

Remarque

Pourquoi ce théorème est le cœur du chapitre. Il transforme un problème de minimisation, a priori difficile puisqu'il porte sur une infinité de candidats, en un problème de calcul algébrique : il suffit de calculer $p_{F} (x)$ , ce qu'une base orthonormée de $F$ ou un système linéaire fournit en quelques lignes. C'est le principe des moindres carrés, et c'est pourquoi les énoncés d'exercice se présentent souvent sous une forme qui ne mentionne ni projection ni orthogonalité :

« déterminer $\min_{(a, b) \in R^{2}} \int_{0}^{1} {(f (t) - a - b t)}^{2} d t$ » est le calcul de $d {(f, R_{1} [X])}^{2}$ ;
« quelle est la matrice symétrique la plus proche de $M$ ? » est le calcul de $p_{S_{n} (R)} (M)$ ;
« minimiser $\sum_{k = 1}^{n} {(y_{k} - a - b x_{k})}^{2}$ » est l'ajustement affine d'un nuage de points.

Le réflexe. Devant un minimum d'une somme ou d'une intégrale de carrés, chercher l'espace préhilbertien et le sous-espace $F$ cachés derrière l'énoncé.

Propriété

Inégalité de Bessel. Soit $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une famille orthonormale de $E$ . Alors, pour tout $x \in E$ ,

\sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2},

avec égalité si et seulement si $x \in Vect (e_{1}, \dots, e_{p})$ .

Démonstration. Posons $F = Vect (e_{1}, \dots, e_{p})$ , dont $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée puisque cette famille est libre et génératrice de $F$ . Le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ vaut $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ , et sa norme se calcule par la formule de la norme dans une base orthonormée :

∥ p_{F} (x) ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} .

Le théorème de Pythagore appliqué à $x = p_{F} (x) + (x - p_{F} (x))$ , somme de deux vecteurs orthogonaux, donne

∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} ⩾ ∥ p_{F} (x) ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2},

ce qui est l'inégalité annoncée. Il y a égalité si et seulement si $∥ x - p_{F} (x) ∥ = 0$ , c'est-à-dire $x = p_{F} (x)$ , c'est-à-dire $x \in F$ . $□$

Propriété

Formule de la distance. Avec les notations précédentes, si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée de $F$ et $x \in E$ , alors

d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} .

Plus généralement, sans base orthonormée, $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ⟨ x, p_{F} (x) ⟩$ .

Démonstration. La première formule est la relation de Pythagore ci-dessus, réécrite sous la forme $∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2}$ .

Pour la seconde, notons $q = p_{F} (x)$ et observons que $⟨ x - q, q ⟩ = 0$ , puisque $x - q \in F^{⊥}$ et $q \in F$ . Alors

d (x, F)^{2} = ⟨ x - q, x - q ⟩ = ⟨ x - q, x ⟩ - \underset{= 0}{\underset{⏟}{⟨ x - q, q ⟩}} = ∥ x ∥^{2} - ⟨ q, x ⟩ . □

Calculer une distance à un sous-espace

Méthode

Calculer $d (x, F)$ : trois voies. Le choix se fait sur la taille des objets en présence.

Voie A — base orthonormée de $F$ . À privilégier si $F$ est de petite dimension ou si une base orthonormée saute aux yeux (par exemple grâce à des arguments de parité).

Construire une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ , au besoin par Gram-Schmidt.
Calculer $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ .
Conclure par $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ , ou plus vite par $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ .

Voie B — système linéaire dans une base quelconque. À privilégier quand Gram-Schmidt produirait des racines carrées désagréables.

Prendre une base $(u_{1}, \dots, u_{p})$ de $F$ , pas nécessairement orthonormée, et poser $y = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} u_{j}$ avec des inconnues $λ_{j}$ .
Écrire les $p$ équations $⟨ x - y, u_{i} ⟩ = 0$ , soit

\forall i \in {1, \dots, p}, \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} ⟨ u_{j}, u_{i} ⟩ = ⟨ x, u_{i} ⟩ .

Résoudre ce système linéaire de $p$ équations à $p$ inconnues, ce qui donne $p_{F} (x)$ , puis calculer $∥ x - p_{F} (x) ∥$ .

Voie C — passer par l'orthogonal. À privilégier quand $\dim F^{⊥}$ est nettement plus petite que $\dim F$ , typiquement lorsque $F$ est un hyperplan.

Déterminer une base orthonormée $(f_{1}, \dots, f_{q})$ de $F^{⊥}$ , avec $q = \dim E - \dim F$ .
Utiliser $x - p_{F} (x) = p_{F^{⊥}} (x)$ , donc

d (x, F) = ∥ p_{F^{⊥}} (x) ∥ = \sqrt{\sum_{k = 1}^{q} ⟨ x, f_{k} ⟩^{2}} .

Exemple

Une distance dans $R^{3}$ , calculée de deux façons. Dans $R^{3}$ euclidien canonique, soient

F = Vect (u_{1}, u_{2}) avec u_{1} = (1, 1, 0), u_{2} = (0, 1, 1), et x = (1, 0, 0) .

Voie B : le système linéaire. Cherchons $p_{F} (x) = a u_{1} + b u_{2}$ . Les produits scalaires utiles sont

⟨ u_{1}, u_{1} ⟩ = 2, ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = 1, ⟨ u_{2}, u_{2} ⟩ = 2, ⟨ x, u_{1} ⟩ = 1, ⟨ x, u_{2} ⟩ = 0.

Le système $⟨ x - p_{F} (x), u_{i} ⟩ = 0$ s'écrit

{\begin{cases} 2 a + b = 1 \\ a + 2 b = 0 \end{cases}

La seconde équation donne $a = - 2 b$ , que l'on reporte dans la première : $- 4 b + b = 1$ , donc $b = - \frac{1}{3}$ et $a = \frac{2}{3}$ . Ainsi

p_{F} (x) = \frac{2}{3} (1, 1, 0) - \frac{1}{3} (0, 1, 1) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}),

puis

x - p_{F} (x) = (\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) et d (x, F) = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} .

Voie C : par l'orthogonal. Le sous-espace $F$ est de dimension $2$ dans $R^{3}$ , donc $F^{⊥}$ est une droite. Un vecteur $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ y appartient si et seulement si $a_{1} + a_{2} = 0$ et $a_{2} + a_{3} = 0$ , c'est-à-dire $a = a_{2} (- 1, 1, - 1)$ . Prenons donc $n = (1, - 1, 1)$ , de norme $\sqrt{3}$ , et normalisons : $f_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, - 1, 1)$ . Alors

d (x, F) = ∣ ⟨ x, f_{1} ⟩ ∣ = \frac{∣ 1 - 0 + 0 ∣}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Les deux voies concordent, et la seconde tient en trois lignes : c'est le bon réflexe dès que $F$ est un hyperplan.

Exemple

Meilleure approximation d'une fonction par un polynôme. Munissons $C ([- 1, 1], R)$ du produit scalaire $⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f g$ , et cherchons

m = \min_{(a, b) \in R^{2}} \int_{- 1}^{1} {(t^{2} - a - b t)}^{2} d t .

C'est le carré de la distance de la fonction $t \mapsto t^{2}$ au sous-espace $F = R_{1} [X]$ , de dimension $2$ . Nous disposons déjà d'une base orthonormée de $F$ , calculée plus haut :

e_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}, e_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} X .

Les coefficients valent $⟨ X^{2}, e_{1} ⟩ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ et $⟨ X^{2}, e_{2} ⟩ = 0$ (intégrande impair), donc

p_{F} (X^{2}) = \frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3} .

Le polynôme de degré au plus $1$ le plus proche de $X^{2}$ est donc la constante $\frac{1}{3}$ , et

m = {∥ X^{2} - \frac{1}{3} ∥}^{2} = \frac{8}{45},

valeur déjà calculée lors de l'orthonormalisation. Le minimum est atteint pour $a = \frac{1}{3}$ et $b = 0$ , et pour ce seul couple.

Exemple

Le même problème par la voie B. Munissons cette fois $C ([0, 1], R)$ du produit scalaire $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f g$ , et cherchons

m^{'} = \min_{(a, b) \in R^{2}} \int_{0}^{1} {(t^{3} - a - b t)}^{2} d t = d {(X^{3}, R_{1} [X])}^{2} .

La base $(1, X)$ de $R_{1} [X]$ n'est pas orthonormée pour ce produit scalaire ; utilisons le système linéaire. Les produits scalaires utiles sont

⟨ 1, 1 ⟩ = 1, ⟨ 1, X ⟩ = \frac{1}{2}, ⟨ X, X ⟩ = \frac{1}{3}, ⟨ X^{3}, 1 ⟩ = \frac{1}{4}, ⟨ X^{3}, X ⟩ = \frac{1}{5} .

En posant $p = a + b X$ , les équations $⟨ X^{3} - p, 1 ⟩ = 0$ et $⟨ X^{3} - p, X ⟩ = 0$ donnent

{\begin{cases} a + \frac{b}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{1}{5} \end{cases}

De la première, $a = \frac{1}{4} - \frac{b}{2}$ ; en reportant dans la seconde, $\frac{1}{8} - \frac{b}{4} + \frac{b}{3} = \frac{1}{5}$ , soit $\frac{b}{12} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{3}{40}$ , d'où $b = \frac{9}{10}$ puis $a = \frac{1}{4} - \frac{9}{20} = - \frac{1}{5}$ . Le polynôme cherché est

p = - \frac{1}{5} + \frac{9}{10} X .

Pour la distance, utilisons la formule $d^{2} = ∥ x ∥^{2} - ⟨ x, p_{F} (x) ⟩$ , qui évite de développer un carré :

m^{'} = {∥ X^{3} ∥}^{2} - ⟨ X^{3}, p ⟩ = \frac{1}{7} - (- \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{5}) = \frac{1}{7} - (- \frac{1}{20} + \frac{9}{50}) = \frac{1}{7} - \frac{13}{100} = \frac{9}{700} .

Le minimum vaut donc $\frac{9}{700}$ , atteint pour le seul couple $(a, b) = (- \frac{1}{5}, \frac{9}{10})$ .

Hyperplans d'un espace euclidien

Vecteur normal à un hyperplan

Rappelons qu'un hyperplan d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est un sous-espace de dimension $n - 1$ , ou de façon équivalente le noyau d'une forme linéaire non nulle. Dans un espace euclidien, ces objets admettent une description particulièrement simple.

Propriété

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ .

Pour tout vecteur $a \in E$ non nul, l'ensemble ${a}^{⊥}$ est un hyperplan de $E$ .
Réciproquement, pour tout hyperplan $H$ de $E$ , le sous-espace $H^{⊥}$ est une droite vectorielle, et $H = {a}^{⊥}$ pour tout vecteur $a$ non nul de $H^{⊥}$ .

Démonstration. Point 1. L'application $φ_{a} : x \mapsto ⟨ x, a ⟩$ est une forme linéaire sur $E$ , et elle est non nulle puisque $φ_{a} (a) = ∥ a ∥^{2} \neq 0$ . Son noyau est donc un hyperplan, et ce noyau est exactement ${a}^{⊥}$ .

Point 2. Soit $H$ un hyperplan, de dimension $n - 1$ . La formule des dimensions donne $\dim H^{⊥} = n - (n - 1) = 1$ : c'est une droite vectorielle. Soit $a$ un vecteur non nul de $H^{⊥}$ , de sorte que $H^{⊥} = Vect (a)$ . Alors, en utilisant successivement ${(H^{⊥})}^{⊥} = H$ et $Vect (A)^{⊥} = A^{⊥}$ ,

H = {(H^{⊥})}^{⊥} = Vect (a)^{⊥} = {a}^{⊥} . □

Définition

Soit $H$ un hyperplan d'un espace euclidien $E$ . On appelle vecteur normal à $H$ tout vecteur non nul de $H^{⊥}$ , c'est-à-dire tout vecteur $a \neq 0_{E}$ tel que $H = {a}^{⊥}$ .

Remarque

Unicité à un facteur près. Comme $H^{⊥}$ est une droite, deux vecteurs normaux à un même hyperplan sont colinéaires : le vecteur normal est unique à un facteur multiplicatif non nul près. Il existe exactement deux vecteurs normaux unitaires, opposés l'un de l'autre. Dans les formules ci-dessous, le choix entre les deux est sans importance, la valeur absolue effaçant le signe.

Exemple

Lire le vecteur normal sur une équation. Dans $R^{n}$ euclidien canonique, soit $H$ l'hyperplan d'équation

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0,

où $(a_{1}, \dots, a_{n}) \neq (0, \dots, 0)$ . Cette équation s'écrit $⟨ x, a ⟩ = 0$ avec $a = (a_{1}, \dots, a_{n})$ : les coefficients de l'équation sont exactement les coordonnées d'un vecteur normal. C'est la lecture immédiate à faire dans tout exercice.

Dans $M_{n} (R)$ muni du produit scalaire canonique, l'hyperplan $H = {M ∣ tr (M) = 0}$ admet $I_{n}$ pour vecteur normal, puisque $⟨ M, I_{n} ⟩ = tr (^{t} M I_{n}) = tr (^{t} M) = tr (M)$ .

Distance à un hyperplan

Propriété

Distance d'un vecteur à un hyperplan. Soient $E$ un espace euclidien, $H$ un hyperplan de $E$ et $a$ un vecteur normal à $H$ . Alors, pour tout $x \in E$ ,

d (x, H) = \frac{∣ ⟨ a, x ⟩ ∣}{∥ a ∥},

et le projeté orthogonal de $x$ sur $H$ vaut

p_{H} (x) = x - \frac{⟨ a, x ⟩}{∥ a ∥^{2}} a .

Démonstration. Le sous-espace $H^{⊥}$ est la droite $Vect (a)$ , dont $(\frac{a}{∥ a ∥})$ est une base orthonormée. La formule du projeté orthogonal dans une base orthonormée donne donc

p_{H^{⊥}} (x) = ⟨ x, \frac{a}{∥ a ∥} ⟩ \frac{a}{∥ a ∥} = \frac{⟨ a, x ⟩}{∥ a ∥^{2}} a .

Comme $p_{H} + p_{H^{⊥}} = {i d}_{E}$ , on obtient l'expression annoncée de $p_{H} (x)$ , puis

d (x, H) = ∥ x - p_{H} (x) ∥ = ∥ p_{H^{⊥}} (x) ∥ = \frac{∣ ⟨ a, x ⟩ ∣}{∥ a ∥^{2}} ∥ a ∥ = \frac{∣ ⟨ a, x ⟩ ∣}{∥ a ∥} . □

Propriété

Formule dans $R^{n}$ . Soit $H$ l'hyperplan de $R^{n}$ euclidien canonique d'équation $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0$ , avec $(a_{1}, \dots, a_{n})$ non nul. Alors, pour tout $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ ,

d (x, H) = \frac{∣ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} ∣}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}} .

Démonstration. C'est la formule précédente appliquée au vecteur normal $a = (a_{1}, \dots, a_{n})$ , dont la norme vaut $\sqrt{\sum_{i} a_{i}^{2}}$ et pour lequel $⟨ a, x ⟩ = \sum_{i} a_{i} x_{i}$ . $□$

Exemple

Trois calculs.

Dans $R^{3}$ . Soit $H$ le plan d'équation $x + 2 y - 2 z = 0$ et $x = (1, 1, 1)$ . Le vecteur $a = (1, 2, - 2)$ est normal à $H$ , avec $∥ a ∥ = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ , et $⟨ a, x ⟩ = 1 + 2 - 2 = 1$ . Donc

d (x, H) = \frac{1}{3} .

Le projeté vaut $p_{H} (x) = (1, 1, 1) - \frac{1}{9} (1, 2, - 2) = (\frac{8}{9}, \frac{7}{9}, \frac{11}{9})$ , et l'on contrôle qu'il appartient bien à $H$ : $\frac{8}{9} + \frac{14}{9} - \frac{22}{9} = 0$ .

Dans $R^{4}$ . Soit $H$ l'hyperplan d'équation $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$ et $x = (1, 2, 3, 4)$ . Ici $a = (1, 1, 1, 1)$ , $∥ a ∥ = 2$ et $⟨ a, x ⟩ = 10$ , donc

d (x, H) = \frac{10}{2} = 5.

Le projeté vaut $p_{H} (x) = x - \frac{10}{4} (1, 1, 1, 1) = (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ , dont la somme des coordonnées est bien nulle, et $x - p_{H} (x) = (\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ est de norme $5$ .

Dans $M_{2} (R)$ . Soit $H = {M \in M_{2} (R) ∣ tr (M) = 0}$ et $M = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array})$ . Le vecteur normal est $I_{2}$ , de norme $\sqrt{2}$ , et $⟨ I_{2}, M ⟩ = tr (M) = 5$ , donc

d (M, H) = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} .

La matrice de trace nulle la plus proche de $M$ est $M - \frac{5}{2} I_{2} = (\begin{array}{cc} - \frac{3}{2} & 3 \\ 1 & \frac{3}{2} \end{array})$ .

Méthode

Reconnaître qu'on est face à un hyperplan. Dès qu'un sous-espace est décrit par une seule équation linéaire — une somme de coordonnées nulle, une trace nulle, une valeur d'évaluation nulle, une intégrale nulle — c'est un hyperplan, et la formule de la distance s'applique directement. Il suffit d'identifier le vecteur $a$ tel que l'équation s'écrive $⟨ a, x ⟩ = 0$ : ce vecteur est le normal, et le calcul tient en deux lignes. C'est toujours plus rapide que de chercher une base de l'hyperplan puis d'appliquer Gram-Schmidt à $n - 1$ vecteurs.

Méthodes du chapitre

Le tableau des réflexes

Situation rencontrée	Outil à mobiliser
Prouver qu'une application est un produit scalaire	Les quatre axiomes, dans l'ordre de la méthode
Majorer une somme, une intégrale, une trace	Cauchy-Schwarz, avec le bon second vecteur
Savoir quand une majoration est optimale	Cas d'égalité : familles proportionnelles
Calculer une norme de combinaison linéaire	Développement par bilinéarité
Reconnaître une orthogonalité cachée	Polarisation, ou identité de Pythagore
Montrer qu'une famille est libre	Orthogonale et sans vecteur nul
Décrire l'orthogonal d'un sous-espace	Système linéaire sur une famille génératrice
Fabriquer une base orthonormée	Procédé de Gram-Schmidt
Lire les coordonnées d'un vecteur	Base orthonormée, puis produits scalaires
Minimiser une somme ou une intégrale de carrés	Projection orthogonale, meilleure approximation
Calculer une distance à un sous-espace	Base orthonormée, système linéaire, ou orthogonal
Traiter un sous-espace d'équation unique	Hyperplan et vecteur normal

Les erreurs classiques

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