Fonctions de deux variables

Toute l'analyse de première année a porté sur des fonctions d'une seule variable réelle : on dérive $x\mapsto x{\mathrm{e}}^{-x}$, on dresse un tableau de variations, on cherche un maximum. Or presque aucune grandeur concrète ne dépend d'un seul paramètre. Le coût de fabrication dépend des quantités de deux matières premières, la température d'une plaque métallique dépend du point où on la mesure, l'altitude d'un point de montagne dépend de sa longitude et de sa latitude, l'aire d'un rectangle dépend de ses deux côtés, la pression d'un gaz dépend du volume et de la température. Toutes ces situations relèvent d'un même objet : une fonction qui à un couple de réels associe un réel. Ce chapitre construit les outils qui permettent de la dériver, de l'approcher au voisinage d'un point, et d'en chercher les extremums.

Ce qui est neuf par rapport à l'analyse à une variable tient en une phrase : il y a maintenant une infinité de directions. Sur la droite réelle, on ne peut s'approcher d'un point que par la gauche ou par la droite, et le taux d'accroissement n'a qu'une limite à examiner. Dans le plan, on peut s'approcher d'un point en suivant n'importe laquelle des directions du cercle unité, ou même en suivant une courbe qui s'enroule. Trois conséquences immédiates. D'abord la dérivée n'est plus un nombre mais un vecteur, le gradient, qui contient d'un seul coup la pente dans toutes les directions. Ensuite la tangente devient un plan tangent, et l'approximation affine devient une approximation par une fonction du type $(x,y)\mapsto \alpha x+\beta y+\gamma$. Enfin, et c'est le plus déroutant, il n'y a aucun ordre sur le plan : les mots « croissante » et « décroissante » n'ont plus de sens, le tableau de variations disparaît, et avec lui la méthode de première année pour trouver les extremums. Un point où la dérivée s'annule pourra n'être ni un maximum ni un minimum, d'une façon bien plus riche qu'en une variable : la surface pourra y monter dans une direction et descendre dans une autre, comme une selle de cheval ou un col de montagne.

Quatre idées structurent tout le chapitre, et il vaut la peine de les avoir en tête dès maintenant. Première idée : figer une variable. Si l'on bloque $y$ à la valeur $a_2$ et qu'on ne laisse bouger que $x$, on retrouve une fonction d'une variable, et tout l'arsenal de première année redevient disponible : c'est la définition même des dérivées partielles. Ce va-et-vient entre deux variables et une seule est le mouvement fondamental du chapitre, on le retrouvera dans chaque démonstration. Deuxième idée : au premier ordre, une surface est un plan. Le développement limité d'ordre $1$ dit que, tout près d'un point, la fonction se confond avec une expression affine dont tous les coefficients sont les deux dérivées partielles : l'information locale tient dans le gradient. Troisième idée : la règle de la chaîne. Savoir dériver $t\mapsto f(x(t),y(t))$ est la formule qui fait tourner tout le reste, la dérivée suivant un vecteur, l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau, la résolution des équations aux dérivées partielles, la relation d'Euler et la caractérisation des fonctions constantes. Quatrième idée : la condition nécessaire du premier ordre. En un extremum local intérieur, le gradient est nul ; cette condition sélectionne une poignée de points candidats, et le travail de tri se fait ensuite entièrement à la main.

Un mot sur l'esprit de ce chapitre, qui est délibérément pratique. On n'y fait pas de topologie : le seul mot emprunté à ce vocabulaire est celui de partie ouverte, et il n'est introduit que pour une raison très concrète, garantir qu'il reste un peu de place autour de chaque point pour y faire bouger les variables. On n'y étudie pas non plus la continuité : toutes les fonctions rencontrées sont obtenues par sommes, produits, quotients et composées de fonctions usuelles, elles sont continues et de classe ${\mathcal{C}}^1$ pour cette raison, et on le dit en une phrase. Enfin, aucun outil d'ordre supérieur n'est disponible pour classer un point où le gradient s'annule : la nature d'un tel point se détermine toujours à la main, par mise sous forme canonique, par majoration ou minoration directe, par restriction à des droites ou à des arcs, ou par un changement de variables. C'est plus artisanal, mais c'est aussi beaucoup plus formateur.

Le plan suit l'ordre logique. La section 1 installe le cadre géométrique : distance, boules, parties ouvertes. La section 2 définit les fonctions de deux variables et leurs deux modes de lecture, la surface représentative et les lignes de niveau. La section 3 construit les dérivées partielles et la classe ${\mathcal{C}}^1$. La section 4 énonce le développement limité d'ordre 1, introduit le gradient et le plan tangent. La section 5 établit la règle de la chaîne et les changements de variables, dont les coordonnées polaires. La section 6 en tire les applications : équations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions constantes, relation d'Euler. La section 7 traite les extremums, des points critiques jusqu'à l'optimisation globale. Une synthèse des méthodes clôt le chapitre.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. La lettre $U$ désigne toujours une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$, et $f$ une fonction de $U$ dans $\mathbb{R}$. Un point générique du plan s'écrit $(x,y)$ ou $m$, un point fixé $a=(a_1,a_2)$, parfois $(x_0,y_0)$ lorsque les indices $1$ et $2$ sont déjà pris. Un accroissement se note $h=(h_1,h_2)$, et l'on écrit indifféremment $f(a+h)$ ou $f(a_1+h_1,a_2+h_2)$. La norme euclidienne est $\parallel (h,k)\parallel =\sqrt{h^2+k^2}$, la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$ est $B(a,r)=\{m\in {\mathbb{R}}^2:\parallel m-a\parallel <r\}$, et $⟨u,v⟩$ désigne le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^2$, c'est-à-dire $⟨(u_1,u_2),(v_1,v_2)⟩=u_1{v}_1+u_2{v}_2$. Les dérivées partielles se notent ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)$, et le gradient est le vecteur $\mathrm{\nabla }f(a)=({\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a),{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a))$. Enfin, « de classe ${\mathcal{C}}^1$ » est la seule expression employée dans ce chapitre pour dire qu'une fonction est régulière : elle sera définie précisément en section 3, et toutes les hypothèses des théorèmes se ramèneront à elle.

Le plan comme cadre : distance, boules, parties ouvertes

Norme euclidienne et distance

Avant de dériver quoi que ce soit, il faut pouvoir dire que deux points du plan sont proches. En une variable, cette mesure était donnée par la valeur absolue de la différence. Dans le plan, elle est donnée par la norme euclidienne, celle du théorème de Pythagore, qui n'est rien d'autre que la longueur usuelle d'un segment.

Démonstration. Les points 1, 2, 3 et 5 sont ceux du produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^2$, déjà établis : $\parallel u\parallel =\sqrt{⟨u,u⟩}$, et l'inégalité triangulaire s'obtient en développant

$$\parallel u+v{\parallel }^2=\parallel u{\parallel }^2+2⟨u,v⟩+\parallel v{\parallel }^2⩽\parallel u{\parallel }^2+2\parallel u\parallel \parallel v\parallel +\parallel v{\parallel }^2={(\parallel u\parallel +\parallel v\parallel )}^2,$$

puis en prenant la racine carrée de deux réels positifs.

Pour le point 4, on écrit $u_1^2⩽u_1^2+u_2^2$, et la croissance de la racine carrée sur ${\mathbb{R}}^{+}$ donne $\mid u_1\mid =\sqrt{u_1^2}⩽\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\parallel u\parallel$. Le raisonnement est identique pour $u_2$. $\mathrm{\square }$

Boules ouvertes

Parties ouvertes

Démonstration. Point 1. Soit $b\in B(a,r)$ et posons $\rho =r-\parallel b-a\parallel$, qui est strictement positif puisque $\parallel b-a\parallel <r$. Montrons que $B(b,\rho )\subset B(a,r)$. Soit $m\in B(b,\rho )$ ; l'inégalité triangulaire donne

$$\parallel m-a\parallel ⩽\parallel m-b\parallel +\parallel b-a\parallel <\rho +\parallel b-a\parallel =r,$$

donc $m\in B(a,r)$.

Point 2. Pour ${\mathbb{R}}^2$, n'importe quel rayon convient, par exemple $r=1$, puisque toute boule est incluse dans ${\mathbb{R}}^2$. Le cas de $\mathrm{\varnothing }$ a été traité dans la remarque ci-dessus.

Point 3. Soient ${\left(U_i\right)}_{i\in I}$ des ouverts et $a$ un point de leur réunion. Alors $a$ appartient à l'un d'eux, disons $U_{i_0}$, qui est ouvert : il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U_{i_0}$, et a fortiori $B(a,r)$ est inclus dans la réunion.

Point 4. Soient $U_1$ et $U_2$ deux ouverts et $a\in U_1\cap U_2$. Il existe $r_1>0$ tel que $B(a,r_1)\subset U_1$ et $r_2>0$ tel que $B(a,r_2)\subset U_2$. Posons $r=\min (r_1,r_2)>0$ : alors $B(a,r)\subset B(a,r_1)\subset U_1$ et de même $B(a,r)\subset U_2$, donc $B(a,r)\subset U_1\cap U_2$. $\mathrm{\square }$

La figure ci-dessous illustre la définition : la partie grisée est ouverte, et l'on a dessiné, autour de trois de ses points, un disque entièrement contenu dedans. On voit bien que le rayon doit être choisi de plus en plus petit à mesure que le point se rapproche du bord.

Les exemples à connaître

Fonctions de deux variables

Définition, domaine

Lorsqu'une fonction est donnée par une expression, on appelle domaine de cette expression l'ensemble des couples $(x,y)$ pour lesquels le calcul a un sens. Dans ce chapitre, on prendra toujours soin de se placer sur un ouvert, quitte à restreindre légèrement l'ensemble naturel.

Surface représentative

Applications partielles

Lignes de niveau

L'exemple filé du chapitre

Pour ne pas multiplier les fonctions, une seule servira de fil rouge d'un bout à l'autre du cours. On la reprendra à chaque nouvel outil.

La figure ci-dessous montre le réseau de lignes de niveau de cette fonction, ainsi que le vecteur gradient en un point, qui sera défini en section 4 : on constate qu'il est perpendiculaire à l'ellipse qui passe par ce point, et dirigé vers les ellipses de niveau plus grand.

Dérivées partielles d'ordre 1

Définition

L'idée est celle annoncée en introduction : on fige une variable et on dérive comme en première année. La définition ne fait donc que recopier celle du nombre dérivé, appliquée aux applications partielles.

Quatre calculs entièrement détaillés

Fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$

Une fonction peut posséder des dérivées partielles en tout point sans se comporter raisonnablement pour autant. Comme le programme ne s'intéresse pas à ces pathologies, on impose dès le départ une hypothèse confortable, qui sera l'hypothèse de tous les théorèmes du chapitre.

Démonstration. Le principe est le même dans les cinq cas : on fige une variable, on applique le théorème d'une variable correspondant à l'application partielle, puis on vérifie la continuité de l'expression obtenue.

Point 1. L'application partielle de $(x,y)\mapsto x$ selon la première variable est $x\mapsto x$, de dérivée $1$ ; selon la seconde, c'est la constante $a_1$, de dérivée $0$. Donc les dérivées partielles valent respectivement $1$ et $0$ : ce sont des fonctions constantes, donc continues. Le cas de $(x,y)\mapsto y$ est symétrique, celui des constantes est immédiat. Une fonction polynomiale s'obtient à partir de ces trois briques par les points 2 et 3.

Points 2, 3, 4. Fixons $a\in U$ et travaillons sur les applications partielles en $a$, définies sur un intervalle ouvert autour de $a_1$ comme on l'a vu. Par exemple pour le produit : $x\mapsto f(x,a_2)g(x,a_2)$ est dérivable en $a_1$, comme produit de deux fonctions dérivables, et sa dérivée y vaut

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)g(a)+f(a){\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}}(a)\mathrm{.}$$

Ceci vaut en tout point $a$ de $U$, ce qui donne la formule annoncée. La fonction obtenue est continue sur $U$ comme somme de produits de fonctions continues, donc $fg$ est bien de classe ${\mathcal{C}}^1$. Les points 2 et 4 se traitent mot pour mot de la même façon, avec la linéarité de la dérivation et la formule du quotient d'une variable, le dénominateur $g^2$ ne s'annulant pas.

Point 5. Toujours à $y=a_2$ figé, la fonction $x\mapsto \phi \left(f(x,a_2)\right)$ est la composée d'une fonction dérivable en $a_1$ par une fonction dérivable en $f(a)$ : elle est dérivable en $a_1$, de dérivée ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(f(a)){\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)$. La fonction ${\phi }^{\mathrm{\prime }}\circ f$ est continue sur $U$ comme composée de fonctions continues, donc le produit $({\phi }^{\mathrm{\prime }}\circ f){\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ l'est aussi. $\mathrm{\square }$

Développement limité d'ordre 1, gradient, plan tangent

Le théorème fondamental du chapitre

En une variable, la dérivabilité en un point équivaut à l'existence d'un développement limité d'ordre $1$ : $u(a+h)=u(a)+u^{\mathrm{\prime }}(a)h+o(h)$. Le théorème suivant est l'analogue à deux variables. Il n'est pas une simple reformulation de la définition des dérivées partielles : celles-ci ne renseignent a priori que sur deux directions, tandis que le développement limité contrôle tous les déplacements à la fois. C'est l'hypothèse de classe ${\mathcal{C}}^1$ qui permet ce passage, et le résultat est admis.

Avec cette notation, et en abrégeant le terme de reste, le développement limité d'ordre $1$ s'écrit sous la forme condensée qu'il faut savoir écrire de mémoire :

$$f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩+o\text{\hspace{0.17em}⁣}(\parallel h\parallel )\text{lorsque }h\to (0,0)\mathrm{.}$$

Le gradient indique la direction de plus forte pente

Démonstration. L'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $\mathrm{\nabla }f(a)$ et $v$ donne

$$\mid ⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩\mid ⩽\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel \parallel v\parallel =\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel ,$$

puisque $\parallel v\parallel =1$, ce qui est exactement l'encadrement annoncé.

Le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz impose que la famille $(\mathrm{\nabla }f(a),v)$ soit liée, donc, $\mathrm{\nabla }f(a)$ étant non nul, que $v=\mu \mathrm{\nabla }f(a)$ pour un réel $\mu$. La condition $\parallel v\parallel =1$ donne $\mid \mu \mid \parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel =1$, d'où $\mu =\pm {\displaystyle \frac{1}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }}$. Le choix du signe $+$ donne $⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩={\displaystyle \frac{{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }^2}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }}=\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$, c'est le maximum ; le signe $-$ donne l'opposé, c'est le minimum. $\mathrm{\square }$

Plan tangent à la surface représentative

Calculer une valeur approchée

Dérivée suivant un vecteur

Les dérivées partielles ne décrivent que deux directions de déplacement. Rien n'empêche de faire la même chose dans une direction quelconque.

Démonstration. Le cas $v=(0,0)$ étant immédiat, supposons $v\mathrm{\ne }(0,0)$. Appliquons le développement limité d'ordre $1$ en $a$ à l'accroissement $h=tv$, licite dès que $\mid t\mid <{\displaystyle \frac{r}{\parallel v\parallel }}$ :

$$f(a+tv)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),tv⟩+\parallel tv\parallel \epsilon (tv)=f(a)+t⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩+\mid t\mid \parallel v\parallel \epsilon (tv),$$

où l'on a utilisé la linéarité du produit scalaire en la seconde variable et l'homogénéité de la norme. Pour $t\mathrm{\ne }0$, divisons par $t$ :

$${\displaystyle \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}}=⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩+{\displaystyle \frac{\mid t\mid }{t}}\parallel v\parallel \epsilon (tv)\mathrm{.}$$

Le quotient ${\displaystyle \frac{\mid t\mid }{t}}$ vaut $\pm 1$, donc le dernier terme est majoré en valeur absolue par $\parallel v\parallel \mid \epsilon (tv)\mid$. Or $\parallel tv\parallel =\mid t\mid \parallel v\parallel$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $0$, donc $\epsilon (tv)$ tend vers $0$. Par encadrement, le taux d'accroissement tend vers $⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩$, ce qui est exactement l'énoncé. $\mathrm{\square }$

La règle de la chaîne

C'est la formule centrale du chapitre. Tout ce qui suit, changements de variables, équations aux dérivées partielles, relation d'Euler, orthogonalité du gradient aux lignes de niveau, n'en est qu'une application.

Dérivation le long d'un arc

Démonstration. Fixons $t_0\in I$ et posons $a=(x\left(t_0\right),y\left(t_0\right))$, qui appartient à $U$ par hypothèse.

Mise en place. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $U$, le développement limité d'ordre $1$ en $a$ fournit un rayon $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $B((0,0),r)$, nulle en $(0,0)$ et arbitrairement petite près de $(0,0)$, telle que

$$f(a+h)=f(a)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)h_1+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)h_2+\parallel h\parallel \epsilon (h)\text{pour }\parallel h\parallel <r\mathrm{.}$$

Pour $t\in I$, posons

$$h(t)=(x(t)-x\left(t_0\right),y(t)-y\left(t_0\right)),$$

de sorte que $(x(t),y(t))=a+h(t)$ et $g(t)=f(a+h(t))$. Les fonctions $x$ et $y$ sont dérivables donc continues en $t_0$, et l'inégalité triangulaire donne

$$\parallel h(t)\parallel ⩽\mid x(t)-x\left(t_0\right)\mid +\mid y(t)-y\left(t_0\right)\mid \underset{t\to t_0}{\overset{}{\to }}0.$$

Il existe donc $\eta >0$ tel que $\parallel h(t)\parallel <r$ pour tout $t\in I$ vérifiant $\mid t-t_0\mid <\eta$ : le développement limité s'applique à $h(t)$ pour ces valeurs de $t$.

Le taux d'accroissement. Soit $t\in I$ avec $0<\mid t-t_0\mid <\eta$. En remplaçant $h$ par $h(t)$ dans le développement limité puis en divisant par $t-t_0$, il vient

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{g(t)-g\left(t_0\right)}{t-t_0}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a){\displaystyle \frac{x(t)-x\left(t_0\right)}{t-t_0}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a){\displaystyle \frac{y(t)-y\left(t_0\right)}{t-t_0}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{\parallel h(t)\parallel }{t-t_0}}\epsilon (h(t))\mathrm{.}}\end{array}$$

Les deux premiers termes. Par définition des nombres dérivés de $x$ et $y$ en $t_0$, ils tendent respectivement vers ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)x^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)y^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)$ quand $t$ tend vers $t_0$.

Le terme de reste. Notons $A(t)={\displaystyle \frac{x(t)-x\left(t_0\right)}{t-t_0}}$ et $B(t)={\displaystyle \frac{y(t)-y\left(t_0\right)}{t-t_0}}$. Par homogénéité de la norme,

$${\displaystyle \frac{\parallel h(t)\parallel }{\mid t-t_0\mid }}=\parallel (A(t),B(t))\parallel =\sqrt{A(t{)}^2+B(t{)}^2}\mathrm{.}$$

Comme $A(t)\to x^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)$ et $B(t)\to y^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)$, cette quantité tend vers $\sqrt{x^{\mathrm{\prime }}{\left(t_0\right)}^2+y^{\mathrm{\prime }}{\left(t_0\right)}^2}$ ; ayant une limite finie, elle est bornée au voisinage de $t_0$, disons par un réel $M$. Par ailleurs $\parallel h(t)\parallel$ tend vers $0$, donc $\epsilon (h(t))$ tend vers $0$ — c'est ici que la convention $\epsilon (0,0)=0$ est utile, car $h(t)$ peut très bien s'annuler pour certaines valeurs de $t$. Finalement

$$\mid {\displaystyle \frac{\parallel h(t)\parallel }{t-t_0}}\epsilon (h(t))\mid ⩽M\mid \epsilon (h(t))\mid \underset{t\to t_0}{\overset{}{\to }}0.$$

Conclusion. Le taux d'accroissement de $g$ en $t_0$ admet donc une limite finie : $g$ est dérivable en $t_0$, avec

$$g^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)x^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)y^{\mathrm{\prime }}\left(t_0\right)\mathrm{.}$$

Ceci vaut pour tout $t_0\in I$. Enfin, $t\mapsto (x(t),y(t))$ est continue et les fonctions ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ sont continues sur $U$ puisque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ ; par composition, produit et somme de fonctions continues, $g^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur $I$. Donc $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$. $\mathrm{\square }$

Composition avec un changement de variables

Démonstration. Il suffit d'appliquer la règle de la chaîne à une variable figée. Fixons $(u_0,v_0)\in V$ et calculons ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }u}}(u_0,v_0)$, c'est-à-dire la dérivée en $u_0$ de l'application partielle $u\mapsto F(u,v_0)$.

Comme $V$ est ouvert, il existe $\rho >0$ tel que $B((u_0,v_0),\rho )\subset V$, et l'application partielle est donc définie sur l'intervalle $I=]u_0-\rho ,u_0+\rho [$. Sur cet intervalle, posons

$$\tilde{x}(u)=x(u,v_0)\text{et}\tilde{y}(u)=y(u,v_0)\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ : elles sont dérivables, de dérivées ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u}}(u,v_0)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u}}(u,v_0)$ par définition des dérivées partielles, et ces dérivées sont continues en $u$ comme composées des fonctions continues ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u}}$ avec l'application continue $u\mapsto (u,v_0)$. De plus, l'arc $u\mapsto (\tilde{x}(u),\tilde{y}(u))$ est à valeurs dans $U$.

La règle de la chaîne s'applique donc à $u\mapsto f(\tilde{x}(u),\tilde{y}(u))=F(u,v_0)$ et donne, en $u=u_0$, la première formule annoncée. La seconde s'obtient en figeant $u$ au lieu de $v$.

Enfin, les deux expressions obtenues sont continues sur $V$ : ce sont des sommes de produits de fonctions continues, les facteurs ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(m)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(m)$ étant continus comme composées. Donc $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $V$. $\mathrm{\square }$

Le cas des coordonnées polaires

C'est le changement de variables le plus utile du chapitre, et il faut savoir le refaire de mémoire.

Démonstration. Les fonctions $(r,\theta )\mapsto r\cos \theta$ et $(r,\theta )\mapsto r\sin \theta$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $V$ comme produits et composées de fonctions usuelles, avec

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }r}}=\cos \theta ,{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta }}=-r\sin \theta ,{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }r}}=\sin \theta ,{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }\theta }}=r\cos \theta \mathrm{.}$$

Les deux premières formules sont donc exactement la règle de la chaîne à deux paramètres.

Pour l'inversion, calculons la combinaison $\cos \theta {\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }r}}-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{r}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}$ en remplaçant :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \theta (\cos \theta f_x+\sin \theta f_y)}& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{\sin \theta }{r}}(-r\sin \theta f_x+r\cos \theta f_y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )f_x+(\cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta )f_y=f_x,}\end{array}$$

où l'on a abrégé $f_x={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(m)$ et $f_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(m)$. Le calcul de $\sin \theta {\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }r}}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{r}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}$ est identique et donne $f_y$. L'hypothèse $r>0$ est indispensable, puisqu'on divise par $r$. $\mathrm{\square }$

Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau

Démonstration. Posons $g(t)=f(\gamma (t))$. Par hypothèse, $\gamma (t)$ appartient à ${\mathcal{L}}_{\lambda }$ pour tout $t$, donc $g$ est la fonction constante égale à $\lambda$ sur $I$, et $g^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ pour tout $t$. Par ailleurs, la règle de la chaîne donne $g^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩$. En égalant les deux expressions, on obtient le résultat.

Pour la tangente : le vecteur ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)$ dirige la tangente à la ligne de niveau, et il est orthogonal à $\mathrm{\nabla }f(a)$ au point $a=\gamma (t)$. La tangente est donc la droite passant par $a$ et orthogonale à $\mathrm{\nabla }f(a)$, d'équation $⟨\mathrm{\nabla }f(a),m-a⟩=0$, ce qui est la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Applications : équations aux dérivées partielles d'ordre 1

Une équation aux dérivées partielles est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui porte sur ses dérivées partielles. Résoudre une telle équation, c'est décrire toutes les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert donné qui la vérifient. La stratégie est toujours la même : un changement de variables bien choisi transforme l'équation en une équation triviale, du type « une dérivée partielle est nulle », qu'on intègre à vue.

La méthode en trois temps

Première équation : le transport

Deuxième équation : avec second membre

Troisième équation : un changement de variables en polaires

Les fonctions de gradient nul

En une variable, une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Voici l'énoncé à deux variables, avec la même prudence sur le domaine.

Démonstration. Soient $p$ et $q$ deux points de $U$ ; montrons que $f(p)=f(q)$.

Le segment reste dans $U$. Posons, pour $t\in [0,1]$, $\gamma (t)=p+t(q-p)$, c'est-à-dire

$$x(t)=p_1+t(q_1-p_1),y(t)=p_2+t(q_2-p_2)\mathrm{.}$$

Si $U={\mathbb{R}}^2$, il n'y a rien à vérifier. Si $U=B(c,R)$, écrivons $\gamma (t)-c=(1-t)(p-c)+t(q-c)$ ; comme $t\in [0,1]$, les deux coefficients sont positifs, et l'inégalité triangulaire jointe à l'homogénéité de la norme donne

$$\parallel \gamma (t)-c\parallel ⩽(1-t)\parallel p-c\parallel +t\parallel q-c\parallel <(1-t)R+tR=R,$$

donc $\gamma (t)\in B(c,R)$ pour tout $t\in [0,1]$.

Application de la règle de la chaîne. Les fonctions $x$ et $y$ sont affines, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'intervalle $[0,1]$, et l'arc est à valeurs dans $U$. La fonction $g:t\mapsto f(\gamma (t))$ est donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$, avec

$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),q-p⟩=⟨(0,0),q-p⟩=0,$$

puisque le gradient est nul en tout point de $U$.

Conclusion. La fonction $g$ est dérivable de dérivée nulle sur l'intervalle $[0,1]$, donc constante. En particulier

$$f(q)=g(1)=g(0)=f(p)\mathrm{.}$$

Les points $p$ et $q$ étant quelconques, $f$ est constante sur $U$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $f-g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ par opérations, et ses dérivées partielles sont les différences de celles de $f$ et $g$, donc nulles en tout point. La propriété précédente s'applique. $\mathrm{\square }$

Fonctions homogènes et relation d'Euler

Démonstration. Sens direct. Supposons $f$ homogène de degré $n$ et fixons $(x,y)\in U$. L'arc $t\mapsto (tx,ty)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'intervalle $I=]0,+\mathrm{\infty }[$, à valeurs dans $U$ par stabilité. La fonction

$$g:t⟼f(tx,ty)$$

est donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, et la règle de la chaîne, appliquée avec $x(t)=tx$ et $y(t)=ty$, dont les dérivées valent respectivement $x$ et $y$, donne

$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(tx,ty)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(tx,ty)\mathrm{.}$$

Mais l'hypothèse d'homogénéité dit précisément que $g(t)=t^{n}f(x,y)$ pour tout $t>0$, d'où par dérivation directe $g^{\mathrm{\prime }}(t)=n{t}^{n-1}f(x,y)$. En égalant les deux expressions et en prenant $t=1$ :

$$x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=nf(x,y)\mathrm{.}$$

Réciproque. Supposons la relation vérifiée en tout point de $U$, et fixons $(x,y)\in U$. Posons, pour $t>0$,

$$\phi (t)={\displaystyle \frac{f(tx,ty)}{t^n}}=t^{-n}g(t)\mathrm{.}$$

La fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ comme produit de $t\mapsto t^{-n}$ et de $g$, et

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=-n{t}^{-n-1}g(t)+t^{-n}{g}^{\mathrm{\prime }}(t)=-n{t}^{-n-1}f(tx,ty)+t^{-n}(x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(tx,ty)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(tx,ty))\mathrm{.}$$

Appliquons maintenant la relation d'Euler au point $(tx,ty)$, qui appartient à $U$ :

$$(tx){\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(tx,ty)+(ty){\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(tx,ty)=nf(tx,ty),$$

c'est-à-dire, après division par $t>0$,

$$x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(tx,ty)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(tx,ty)={\displaystyle \frac{n}{t}}f(tx,ty)\mathrm{.}$$

En reportant dans l'expression de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ :

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=-n{t}^{-n-1}f(tx,ty)+t^{-n}\times {\displaystyle \frac{n}{t}}f(tx,ty)=0.$$

Ainsi $\phi$ est dérivable de dérivée nulle sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$ : elle est constante, égale à $\phi (1)=f(x,y)$. On en déduit

$${\displaystyle \frac{f(tx,ty)}{t^n}}=f(x,y),\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}f(tx,ty)=t^{n}f(x,y),$$

pour tout $t>0$ et tout $(x,y)\in U$ : la fonction $f$ est homogène de degré $n$. $\mathrm{\square }$

Extremums

Définitions

Le vocabulaire est celui d'une variable, mais il faut le manier avec une rigueur particulière : la distinction entre local et global est ici la source d'erreur numéro un.

La condition nécessaire du premier ordre

Démonstration. Traitons le cas d'un maximum local ; le cas d'un minimum s'en déduit en appliquant le résultat à $-f$, qui admet alors un maximum local en $a$ et dont les dérivées partielles sont les opposées de celles de $f$.

Par hypothèse, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$ et $f(m)⩽f(a)$ pour tout $m\in B(a,r)$.

Première variable. Considérons l'application partielle $f_1:x\mapsto f(x,a_2)$. Comme on l'a vu en section 2, et c'est ici que l'hypothèse « $U$ ouvert » est utilisée, elle est définie sur l'intervalle ouvert $I=]a_1-r,a_1+r[$, car $\parallel (x,a_2)-a\parallel =\mid x-a_1\mid <r$ pour $x\in I$. Elle est dérivable en $a_1$, avec $f_1^{\mathrm{\prime }}\left(a_1\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)$.

Pour tout $x\in I$, le point $(x,a_2)$ appartient à $B(a,r)$, donc

$$f_1(x)=f(x,a_2)⩽f(a)=f_1\left(a_1\right)\mathrm{.}$$

Autrement dit, $f_1$ admet un maximum en $a_1$, et le point $a_1$ est intérieur à l'intervalle $I$, c'est-à-dire n'est pas une de ses extrémités. Le théorème de première année s'applique : $f_1^{\mathrm{\prime }}\left(a_1\right)=0$. Rappelons-en l'argument, car il montre exactement où sert le fait que le point ne soit pas au bord. Pour $x\in I$ avec $x>a_1$,

$${\displaystyle \frac{f_1(x)-f_1\left(a_1\right)}{x-a_1}}⩽0,$$

puisque le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur strictement positif ; en faisant tendre $x$ vers $a_1$ par valeurs supérieures, on obtient $f_1^{\mathrm{\prime }}\left(a_1\right)⩽0$. Pour $x<a_1$, le quotient est au contraire positif ou nul, et la limite donne $f_1^{\mathrm{\prime }}\left(a_1\right)⩾0$. Ces deux inégalités imposent $f_1^{\mathrm{\prime }}\left(a_1\right)=0$, donc ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)=0$.

Seconde variable. Le raisonnement est identique avec $f_2:y\mapsto f(a_1,y)$, définie sur $]a_2-r,a_2+r[$, et donne ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)=0$. $\mathrm{\square }$

Points critiques

La figure ci-dessous montre les lignes de niveau de cette fonction. On y lit la structure caractéristique d'un point selle : deux droites qui se croisent au niveau $0$, et quatre familles d'hyperboles, deux de niveau positif et deux de niveau négatif, qui se répartissent dans les quatre secteurs.

Déterminer la nature d'un point critique

Aucun outil automatique n'est disponible pour classer un point critique : tout se fait à la main, et c'est le cœur du savoir-faire de ce chapitre. Quatre techniques suffisent en pratique.

Recherche d'extremums globaux

Synthèse des méthodes

Le tableau des réflexes

Les erreurs classiques

1. Confondre point critique et extremum. L'implication ne va que dans un sens : un extremum local intérieur est un point critique, jamais l'inverse. Tant que la nature du point critique n'a pas été établie par une majoration, une minoration ou une restriction bien choisie, la question n'est pas traitée. L'exemple à garder en tête est $x^2-y^2$ à l'origine.
2. Oublier de vérifier que l'ouvert contient le point. La condition « gradient nul » ne vaut qu'en un point intérieur au domaine. Sur un disque plein, un carré plein, un triangle plein, le bord échappe complètement au théorème et doit être paramétré puis étudié à part. Le maximum de $x+y$ sur ${[0,1]}^2$, atteint en $(1,1)$ avec un gradient non nul, est le rappel permanent de ce piège.
3. Oublier la synthèse dans une équation aux dérivées partielles. L'analyse produit une forme nécessaire ; sans la vérification réciproque, rien ne garantit que toutes les fonctions de cette forme conviennent, ni qu'elles sont de classe ${\mathcal{C}}^1$. Une résolution sans synthèse est une résolution fausse, même si la réponse finale est la bonne.
4. Dériver une composée sans la règle de la chaîne. Écrire ${\left(f(x(t),y(t))\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}{x}^{\mathrm{\prime }}(t)$ en oubliant le second terme est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle est mécanique : une variable, un terme ; deux variables, deux termes.
5. Croire qu'un unique point critique donne un extremum global. L'unicité du point critique ne prouve rien du tout : la fonction $x^2-y^2$ n'a qu'un point critique et aucun extremum. Il faut soit une inégalité globale avec cas d'égalité, soit une étude complète sur un domaine borné, soit une minoration hors d'un disque.
6. Restreindre à des droites pour prouver un extremum. Une restriction ne sert qu'à infirmer. La fonction $(y-x^2)(y-2x^2)$ a un minimum strict en $0$ le long de toutes les droites passant par l'origine, et n'a pourtant pas de minimum local en ce point.
7. Confondre $f$ et la fonction composée dans un changement de variables. Écrire $f(u,v)$ au lieu de $F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$ mélange deux fonctions différentes et rend toutes les formules ininterprétables. On nomme la nouvelle fonction, toujours.
8. Oublier l'hypothèse $r>0$ en polaires. Les formules d'inversion divisent par $r$ : elles n'ont aucun sens à l'origine, et l'ouvert de travail est $]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$.
9. Croire qu'un gradient nul entraîne toujours la constance. L'argument passe par un segment tracé dans l'ouvert : sur une réunion de deux boules disjointes, une fonction de gradient nul peut valoir $0$ sur l'une et $1$ sur l'autre.
10. Ne pas contrôler ses calculs de dérivées partielles. Le contrôle coûte trente secondes : on choisit un point simple, on écrit l'application partielle correspondante, on la dérive comme une fonction d'une variable, et l'on compare. La quasi-totalité des erreurs de calcul du chapitre est détectée ainsi.

Ouverture : les dérivées partielles d'ordre 2 (hors programme en MPSI)

Dérivées partielles d'ordre 2

Le mouvement est celui de la section 3, appliqué une seconde fois. Si $f$ admet des dérivées partielles en tout point de $U$, les deux fonctions ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ sont elles-mêmes des fonctions de deux variables définies sur $U$ : rien n'empêche de leur appliquer à nouveau la définition.

Fonctions de classe ${\mathcal{C}}^2$

Démonstration. C'est la propriété des opérations sur les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ de la section 3, appliquée deux fois. Traitons le produit. La fonction $fg$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, avec ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }(fg)}{\mathrm{\partial }x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}g+f{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}}$. Chacun des quatre facteurs de cette expression est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ par hypothèse, donc la somme de produits l'est aussi, toujours par la même propriété. Il en va de même pour la dérivée en $y$, donc $fg$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$. Les autres cas se traitent mot pour mot de la même façon, la composée en utilisant que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}\circ f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ comme composée. $\mathrm{\square }$

Le théorème de Schwarz

Laplacien et fonctions harmoniques

Une équation aux dérivées partielles d'ordre 2 : l'équation des ondes

La méthode est celle de la section 6, dans le même schéma en trois temps : analyse, forme nécessaire, puis synthèse. Seul le calcul des dérivées est plus long, puisqu'il faut appliquer la règle de la chaîne deux fois de suite.

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et critère $rt-s^2$

Démonstration. Posons $q(h,k)=r{h}^2+2shk+t{k}^2$. Comme $\mathrm{\nabla }f(a)=(0,0)$, le développement limité d'ordre $2$ s'écrit, avec $h=\rho \cos \theta$ et $k=\rho \sin \theta$ et en utilisant l'homogénéité de degré $2$ de $q$,

$$f(a_1+h,a_2+k)-f(a)={\displaystyle \frac{{\rho }^2}{2}}[q(\cos \theta ,\sin \theta )+2\epsilon (h,k)],\epsilon (h,k)\underset{(h,k)\to (0,0)}{\overset{}{\to }}0.$$

Tout se joue donc sur le signe de $q$, et c'est la mise sous forme canonique de la technique 1 de la section 7 qui le donne. Supposons $r\mathrm{\ne }0$ :

$$q(h,k)=r{(h+{\displaystyle \frac{s}{r}}k)}^2+{\displaystyle \frac{rt-s^2}{r}}{k}^2\mathrm{.}$$

Cas 1 et 2. Si $rt-s^2>0$, alors $rt>s^2⩾0$, donc $r\mathrm{\ne }0$ et $r$ et $t$ sont de même signe. Si de plus $r>0$, les deux coefficients de la forme canonique sont strictement positifs, donc $q(h,k)>0$ sauf en $(h,k)=(0,0)$. La fonction $\theta \mapsto q(\cos \theta ,\sin \theta )$ est continue sur le segment $[0,2\pi ]$ : elle y atteint ses bornes, et son minimum $m$ est strictement positif. Pour $\rho$ assez petit, $\mid \epsilon \mid <\frac{m}{4}$, donc le crochet est minoré par $\frac{m}{2}>0$ et la différence est strictement positive dès que $\rho \mathrm{\ne }0$ : c'est un minimum local strict. Le cas $r<0$ s'obtient en appliquant ce qui précède à $-f$.

Cas 3. Si $rt-s^2<0$, alors $q$ prend les deux signes. En effet, si $r\mathrm{\ne }0$, on a $q(1,0)=r$ et $q(-\frac{s}{r},1)={\displaystyle \frac{rt-s^2}{r}}$, qui sont de signes opposés ; et si $r=0$, alors $-s^2<0$ impose $s\mathrm{\ne }0$ et $q(h,1)=2sh+t$ change de signe. Par homogénéité, $q$ garde le même signe sur chaque demi-droite issue de l'origine : il existe donc deux angles ${\theta }_{+}$ et ${\theta }_{-}$ pour lesquels $q(\cos \theta ,\sin \theta )$ est respectivement strictement positive et strictement négative. Le même contrôle du reste que ci-dessus, mené à $\theta$ fixé, montre alors que $f(a+h)-f(a)$ prend les deux signes dans toute boule centrée en $a$. $\mathrm{\square }$

Le critère à l'épreuve des exemples du chapitre