Devoir surveillé — Nombres réels et suites numériques

Calculatrice interdite. Le barème est indiqué question par question. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en trois parties enchaînées. La qualité de la rédaction, la précision des quantificateurs et la citation explicite des théorèmes utilisés interviennent de façon déterminante dans l'appréciation des copies.

Deux parties non vides $P$ et $Q$ de $\mathbb{R}$ sont dites séparées lorsque

$$\mathrm{\forall }p\in P,\mathrm{\forall }q\in Q,p⩽q\mathrm{.}$$

Dans les questions 1 et 2, $A$ et $B$ désignent deux parties séparées.

1. (0,75 pt) Démontrer que $\sup A$ et $\inf B$ existent, puis que $\sup A⩽\inf B$.

2. (1 pt) Démontrer l'équivalence

$$\sup A=\inf B⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }(a,b)\in A\times B,b-a⩽\epsilon \mathrm{.}$$

3. (1,25 pt) On pose

$$A_0=\{r\in \mathbb{Q};r>0\text{ et }{r}^2<3\}\text{et}{B}_0=\{r\in \mathbb{Q};r>0\text{ et }{r}^2>3\}\mathrm{.}$$

Vérifier que $A_0$ et $B_0$ sont séparées, puis déterminer $\sup A_0$ et $\inf B_0$ en précisant si ces bornes sont atteintes. On traitera $\sup A_0$ en détail et l'on pourra se contenter d'indiquer que le cas de $\inf B_0$ est symétrique. On admettra que $\sqrt{3}$ est irrationnel, et l'on pourra utiliser la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Commenter le résultat obtenu.

4. (0,25 pt) Donner un exemple de deux parties séparées $P$ et $Q$ telles que $\sup P<\inf Q$.

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel fixé de $[0,1[$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$d_n={\displaystyle \frac{\lfloor {10}^{n}x\rfloor }{{10}^n}},$$

et pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$a_n=\lfloor {10}^{n}x\rfloor -10\lfloor {10}^{n-1}x\rfloor \mathrm{.}$$

Le cours établit que $d_n⩽x<d_n+{10}^{-n}$ pour tout $n$, et que la suite $(d_n)$ converge vers $x$ : ces deux résultats sont admis ici. L'objet de l'exercice est ce que le cours ne dit pas, à savoir les entiers $a_n$ eux-mêmes, que l'on appelle les décimales de $x$.

On rappelle enfin qu'un réel est dit décimal lorsqu'il s'écrit ${\displaystyle \frac{p}{{10}^q}}$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{N}$.

1. (0,5 pt) Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a_n\in \{0,1,\dots ,9\}$.

2. (0,75 pt) Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$\lfloor {10}^{n}x\rfloor =\sum _{k=1}^n{a}_k{10}^{n-k}\mathrm{.}$$

En déduire que la suite de terme général ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{a_k}{{10}^k}}}$ converge vers $x$.

3. (1 pt) Démontrer l'équivalence : le réel $x$ est décimal si et seulement s'il existe $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $a_n=0$ pour tout $n⩾N$.

4. (1,5 pt) Démontrer qu'il n'existe aucun entier $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $a_n=9$ pour tout $n⩾N$. Le réel $x$ étant quelconque dans $[0,1[$, cela signifie qu'aucun réel n'a toutes ses décimales égales à $9$ à partir d'un certain rang. On pourra s'intéresser à la suite de terme général $m_n+1$, où $m_n=\lfloor {10}^{n}x\rfloor$.

On pose $\omega ={\displaystyle \frac{3+i\sqrt{3}}{4}}$, et on définit la suite complexe $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par

$$z_0=0\text{et}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},z_{n+1}=\omega z_n+1.$$

On note $M_n$ le point du plan complexe d'affixe $z_n$. On rappelle qu'une suite complexe $(z_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ lorsque $\mid z_n-\mathrm{\ell }\mid \to 0$.

1. (0,25 pt) Déterminer le module et un argument de $\omega$, puis écrire $\omega$ sous forme exponentielle.

2. (0,75 pt) Déterminer l'unique complexe $\mathrm{\ell }$ vérifiant $\mathrm{\ell }=\omega \mathrm{\ell }+1$. En appliquant à $(z_n)$ la méthode du cours pour les suites arithmético-géométriques, démontrer que $({\zeta }_n)$ définie par ${\zeta }_n=z_n-\mathrm{\ell }$ est géométrique de raison $\omega$, puis en déduire que $(z_n)$ converge et préciser sa limite.

3. (1 pt) Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $L_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mid z_{k+1}-z_k\mid }$ la longueur de la ligne polygonale $M_0{M}_1\dots M_n$. Démontrer que $\mid z_{k+1}-z_k\mid ={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis démontrer que la suite $(L_n)$ converge et calculer sa limite. Comparer cette limite à la distance de $M_0$ au point d'affixe $\mathrm{\ell }$.

4. On pose $x_n=\mathrm{Re}(z_n)$ pour $n\in \mathbb{N}$.

a. (0,5 pt) Vérifier que ${\omega }^2={\displaystyle \frac{3}{2}}\omega -{\displaystyle \frac{3}{4}}$, puis en déduire que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},x_{n+2}={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$

b. (1,25 pt) Cette relation n'est pas de la forme étudiée en cours, qui suppose un second membre nul. Chercher d'abord une suite constante qui la vérifie, s'y ramener, puis conclure et donner une expression de $x_n$ en fonction de $n$. Vérifier le résultat aux rangs $2$ et $3$.

Dans les questions 1 et 2, $(u_n{)}_{n⩾1}$ désigne une suite réelle minorée vérifiant

$$\mathrm{\forall }n⩾1,u_{n+1}⩽u_n+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) On pose $v_n=u_n+{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$ pour $n⩾1$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.

2. (0,5 pt) En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3. (1 pt) Application. Pour $n⩾1$, on pose

$$w_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\sin k}{2^k}}\mathrm{.}$$

Démontrer que $(w_n{)}_{n⩾1}$ vérifie les deux hypothèses faites sur $(u_n)$ en tête de l'exercice, et conclure. Expliquer ensuite pourquoi le théorème de la limite monotone ne permettait pas de conclure directement.

4. (0,5 pt) On remplace maintenant les hypothèses ci-dessus par les suivantes : $(u_n{)}_{n⩾1}$ est minorée et vérifie $u_{n+1}⩽u_n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$. Démontrer que la conclusion de la question 2 tombe alors en défaut. On pourra considérer la suite de terme général $\ln (n+1)$ et utiliser l'inégalité $\ln (1+h)⩽h$, valable pour tout $h>-1$.

Ce problème introduit la distance d'un point de $\mathbb{R}$ à une partie de $\mathbb{R}$, l'étudie sur l'exemple de $\mathbb{Z}$, puis l'applique aux multiples d'un nombre irrationnel. Les trois parties s'enchaînent.

Partie A — Généralités.

Soit $X$ une partie non vide quelconque de $\mathbb{R}$, fixée dans toute la partie A. Pour tout réel $x$, on pose

$$D(x,X)=\{\mid x-t\mid ;t\in X\}\mathrm{.}$$

A.1. (0,25 pt) Démontrer que, pour tout réel $x$, l'ensemble $D(x,X)$ admet une borne inférieure, que l'on notera désormais $d(x,X)$, et que $d(x,X)⩾0$.

A.2. (0,5 pt) Soit $x$ un réel. En reprenant la construction employée en cours pour la caractérisation séquentielle de la borne inférieure, démontrer l'équivalence : $d(x,X)=0$ si et seulement s'il existe une suite $(t_n{)}_{n⩾1}$ d'éléments de $X$ qui converge vers $x$.

A.3. (0,75 pt) Cette question n'est pas utilisée dans la suite du problème. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$,

$$\mid d(x,X)-d(y,X)\mid ⩽\mid x-y\mid \mathrm{.}$$

Partie B — La distance à $\mathbb{Z}$.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on note désormais $\delta (x)=d(x,\mathbb{Z})$.

B.1. (0,75 pt) Démontrer que $\delta (x)=\min (x-\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor +1-x)$, et que cette borne inférieure est atteinte : il existe un entier $k\in \mathbb{Z}$ tel que $\delta (x)=\mid x-k\mid$.

B.2. (0,5 pt) En déduire que $\delta (x)⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout réel $x$, puis que $\delta (x)=0$ si et seulement si $x\in \mathbb{Z}$.

B.3. (0,25 pt) Démontrer que $\delta (x+m)=\delta (x)$ pour tout réel $x$ et tout entier relatif $m$.

B.4. (0,5 pt) Soit $\alpha ={\displaystyle \frac{p}{q}}$ un rationnel, avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Démontrer que la suite $(\delta (n\alpha ){)}_{n\in \mathbb{N}}$ est $q$-périodique, c'est-à-dire que $\delta ((n+q)\alpha )=\delta (n\alpha )$ pour tout $n$ — on ne demande pas que $q$ soit la plus petite période — et que $\delta (n\alpha )=0$ dès que $q$ divise $n$. Que vaut $\inf \{\delta (n\alpha );n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$, et cette borne est-elle atteinte ?

Partie C — Le cas irrationnel.

Dans toute cette partie, $\alpha$ désigne un nombre irrationnel. Pour $n⩾1$, on pose $u_n=n\alpha -\lfloor n\alpha \rfloor$.

C.1. (0,25 pt) Démontrer que $\delta (n\alpha )>0$ pour tout $n⩾1$.

C.2. (1 pt) Démontrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est bornée. En appliquant le théorème de Bolzano-Weierstrass, démontrer que pour tout $\epsilon >0$, il existe deux entiers $i$ et $j$ tels que $1⩽i<j$ et $\mid u_j-u_i\mid ⩽\epsilon$.

C.3. (1 pt) Soit $\epsilon >0$ donné, et soient $i$ et $j$ les deux entiers que la question C.2 lui associe. Démontrer que $u_j-u_i=(j-i)\alpha -(\lfloor j\alpha \rfloor -\lfloor i\alpha \rfloor )$, puis qu'il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ vérifiant

$$0<\delta (n\alpha )⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Ce réel $\epsilon$ étant arbitraire, en déduire que

$$\inf \{\delta (n\alpha );n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}=0,$$

et que cette borne inférieure n'est pas atteinte. Comparer avec la question B.4.

C.4. (1,25 pt) En déduire que l'ensemble $E=\{s\alpha +m;(s,m)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est dense dans $\mathbb{R}$, c'est-à-dire que tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient un élément de $E$. On pourra se ramener à un intervalle borné $]a,b[$, montrer qu'il existe $\beta \in E$ vérifiant $0<\beta <b-a$, puis considérer $\lfloor {\displaystyle \frac{a}{\beta }}\rfloor +1$. En déduire enfin, à l'aide de la question A.2, que $d(x,E)=0$ pour tout réel $x$.