Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Ce chapitre est une boîte à outils. Le programme le dit sans détour : « le point de vue adopté dans cette section est pratique ; il s'agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l'analyse ». Autrement dit, on va calculer beaucoup, et démontrer peu. Les grands théorèmes qui fondent ces calculs (théorie des limites, continuité, lien entre le signe de la dérivée et les variations, construction de l'intégrale) sont admis ici et seront établis plus tard dans l'année, dans les chapitres « Fonctions d'une variable réelle » et « Intégration ». Chaque fois qu'un résultat est admis, c'est signalé.

Il ne faut pas y voir un chapitre au rabais. C'est au contraire celui dont on se sert tous les jours, dans toutes les matières : les cinq objectifs fixés par le programme sont d'introduire des fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d'optimisation, de manipuler un catalogue de fonctions classiques nettement élargi, de calculer des dérivées et des primitives, de pratiquer l'intégration par parties et le changement de variable, et d'appliquer tout cela aux équations différentielles. La physique et la chimie s'en servent dès les premières semaines.

Le chapitre se lit en deux temps. La partie A, des généralités sur les fonctions à la dérivation des fonctions à valeurs complexes, occupe les sept premières sections, méthodes comprises. La partie B, des primitives aux équations différentielles linéaires, occupe les sections suivantes. Dans tout le chapitre, $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\mathbb{R}$ non réduits à un point, et les fonctions sont à valeurs réelles, sauf mention explicite du contraire.

Généralités sur les fonctions

Le point de vue de tout ce chapitre est pratique. Il ne s'agit pas de refonder l'analyse, mais de rendre opérationnels les gestes du lycée et d'étendre le catalogue des fonctions disponibles. Les grands théorèmes qui justifient ces gestes (théorie des limites, continuité, lien rigoureux entre signe de la dérivée et variations) sont admis ici et démontrés dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle ». Ce n'est pas une lacune, c'est l'ordre voulu par le programme : on apprend d'abord à s'en servir, on démontre ensuite.

Dans tout ce qui suit, $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\mathbb{R}$, et $D$ une partie de $\mathbb{R}$.

Ensemble de définition

Lorsqu'une fonction est donnée par une formule sans que son ensemble de définition soit précisé, on convient que ${\mathcal{D}}_f$ est l'ensemble des réels pour lesquels la formule a un sens.

Représentation graphique

La définition d'une fonction se lit sur le dessin : une courbe est la représentation graphique d'une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe en au plus un point. Un cercle, par exemple, n'est pas une courbe de fonction.

Parité, imparité, périodicité

La condition sur le domaine n'est pas décorative : la fonction $x\mapsto x^2$ définie sur $[0,1]$ n'est pas paire, car son domaine n'est pas symétrique. Vérifier la symétrie du domaine est toujours la première étape.

Opérations sur les fonctions

Monotonie

Démonstration du point 3, cas $u$ croissante et $v$ décroissante. Soient $x,y\in A$ avec $x⩽y$. Comme $u$ est croissante, $u(x)⩽u(y)$. Comme $v$ est décroissante et que $u(x)$ et $u(y)$ appartiennent au domaine de $v$, on en déduit $v(u(x))⩾v(u(y))$, c'est-à-dire $(v\circ u)(x)⩾(v\circ u)(y)$. Donc $v\circ u$ est décroissante sur $A$. Les trois autres cas se traitent de la même façon. $\mathrm{\square }$

Attention : il n'y a aucune règle générale pour le produit de deux fonctions monotones. Sur $\mathbb{R}$, $x\mapsto x$ est croissante, et son produit par elle-même, $x\mapsto x^2$, n'est pas monotone.

Fonctions majorées, minorées, bornées

L'ordre des quantificateurs est décisif : le majorant $M$ est choisi avant $x$, il doit convenir pour tous les $x$ à la fois. La proposition « pour tout $x$, il existe $M$ tel que $f(x)⩽M$ » est vraie pour n'importe quelle fonction et ne dit rien.

Démonstration. Supposons $f$ bornée : il existe $m$ et $M$ tels que $m⩽f(x)⩽M$ pour tout $x\in D$. Posons $K=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid })$. Pour tout $x\in D$, on a $f(x)⩽M⩽\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }⩽K$ et $f(x)⩾m⩾-\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }⩾-K$, donc $-K⩽f(x)⩽K$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽K$. Ainsi $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est majorée par $K$.

Réciproquement, supposons $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ majorée par un réel $K$ : pour tout $x\in D$, $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽K$, donc $-K⩽f(x)⩽K$. La fonction $f$ est alors minorée par $-K$ et majorée par $K$, donc bornée. $\mathrm{\square }$

Cette équivalence est le principal outil de la pratique : pour montrer qu'une fonction est bornée, on majore sa valeur absolue par une constante, en une seule chaîne d'inégalités.

Transformations du graphe

C'est un point du programme explicitement exigible : savoir passer du graphe de $f$ à celui d'une fonction obtenue par transformation simple, et réciproquement.

Justification du point 2, la seule qui piège. Notons $g:x\mapsto f(x+a)$ et $t$ la translation de vecteur $-a\vec{\mathrm{ı}}$. Un point $M(X,Y)$ appartient à ${\mathcal{C}}_g$ si et seulement si $Y=f(X+a)$. Posons $x=X+a$ et $y=Y$ : alors $(x,y)\in {\mathcal{C}}_f$, et $(X,Y)=(x-a,y)$ est bien l'image de $(x,y)$ par $t$. Donc ${\mathcal{C}}_g=t({\mathcal{C}}_f)$. $\mathrm{\square }$

Le sens du décalage est contre-intuitif : ajouter $a>0$ à l'intérieur de $f$ déplace la courbe vers la gauche. Le contrôle mental est immédiat : $g$ atteint en $x=0$ la valeur que $f$ atteignait en $x=a$, donc ce qui se passait « en $a$ » se passe désormais « en $0$ », c'est-à-dire plus à gauche.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Une lecture graphique fournit une conjecture et une valeur approchée, jamais une démonstration : un résultat lu sur un dessin doit être confirmé par le calcul ou par un tableau de variations.

Fonctions à valeurs complexes

Une fonction à valeurs complexes n'a pas de courbe représentative dans le plan usuel, et parler de ses variations n'a aucun sens : $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné. En revanche, la notion de fonction bornée garde tout son sens : $f$ est dite bornée si $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est majorée. Ce que l'on sait faire de ces fonctions (les dériver, les intégrer) se ramènera toujours à leurs parties réelle et imaginaire : c'est l'objet de la section 6.

Dérivation

Dérivée en un point

La seconde écriture s'obtient en posant $x=a+h$. On l'utilise systématiquement pour les calculs.

Tangente

Cette équation est à reconstruire, jamais à apprendre par cœur : la droite passe par $A$, donc son équation est $y=m(x-a)+f(a)$, et sa pente $m$ est $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ par définition du nombre dérivé.

Un point où $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ est un point à tangente horizontale.

Opérations sur les dérivées

Démonstration de la formule du produit. Soient $a\in I$ et $h$ non nul tel que $a+h\in I$. On ajoute et retranche le terme $f(a+h)g(a)$ au numérateur :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h}}& {\displaystyle =\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a+h)g(a)+f(a+h)g(a)-f(a)g(a)}{h}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(a+h)\times \frac{g(a+h)-g(a)}{h}+g(a)\times \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\mathrm{.}}\end{array}$$

Quand $h$ tend vers $0$ : le premier quotient tend vers $g^{\mathrm{\prime }}(a)$, le second vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, et $f(a+h)$ tend vers $f(a)$ (une fonction dérivable en $a$ y est continue). Le tout tend donc vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)g(a)+f(a)g^{\mathrm{\prime }}(a)$. $\mathrm{\square }$

La formule du quotient s'obtient en écrivant ${\displaystyle \frac{f}{g}}=f\times {\displaystyle \frac{1}{g}}$, une fois établie la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{g}}$ ; cette dernière est un cas particulier de la dérivée d'une composée, traitée ci-dessous.

Dérivée d'une composée

L'ordre des facteurs est libre, mais l'ordre de lecture ne l'est pas : on dérive la fonction extérieure, évaluée en $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Le facteur $u^{\mathrm{\prime }}$ est celui qu'on oublie.

Le tableau suivant regroupe les cas d'usage quotidien ; il est à connaître par cœur dans les deux sens, car il sera relu à l'envers dans la partie B pour reconnaître des primitives.

Et voici les dérivées des fonctions de référence, celles dont tout le reste se déduit.

Dérivée et variations

C'est le théorème central de la pratique du calcul différentiel. Le programme l'admet à ce stade ; il est démontré dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle ».

Le point 4 n'est qu'une implication : $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors que sa dérivée $3x^2$ s'annule en $0$. C'est précisément l'objet du point 5 : une dérivée positive qui ne s'annule qu'en des points isolés suffit à la stricte croissance.

Tableau de variations et tracé du graphe

Fonction réciproque : graphe et dérivée

On suppose ici connue la notion de bijection, vue dans le chapitre « Raisonnement et vocabulaire ensembliste ». Le fait qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur son image est admis dans tout ce chapitre ; il est démontré dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle ».

Démonstration. Le point $M(a,b)$ appartient à ${\mathcal{C}}_{f^{-1}}$ si et seulement si $a\in J$ et $b=f^{-1}(a)$, c'est-à-dire si et seulement si $b\in I$ et $a=f(b)$, c'est-à-dire si et seulement si le point $M^{\mathrm{\prime }}(b,a)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$. Or, dans un repère orthonormé, $M(a,b)$ et $M^{\mathrm{\prime }}(b,a)$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$. $\mathrm{\square }$

L'interprétation géométrique rend la formule évidente et dispense de l'apprendre. La symétrie d'axe $y=x$ échange le point $(x,f(x))$ et le point $(f(x),x)$, et elle échange donc aussi la tangente en l'un et la tangente en l'autre. Or cette symétrie échange les rôles de l'abscisse et de l'ordonnée : une droite de pente $m$ non nulle se transforme en une droite de pente ${\displaystyle \frac{1}{m}}$. Les pentes des deux tangentes sont donc inverses l'une de l'autre, ce qui est exactement la formule.

Le cas exclu se lit tout aussi bien : si $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, la tangente en $(x,f(x))$ est horizontale, donc son image par la symétrie est verticale, et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y=f(x)$. C'est ce qui se produira aux points $x=\pm 1$ pour $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arccos}$.

Dérivées d'ordre supérieur et classe ${\mathcal{C}}^1$

Attention à la notation : $f^{(n)}$ avec des parenthèses désigne la dérivée $n$-ième, tandis que $f^n$ sans parenthèses désigne la puissance $n$-ième, c'est-à-dire le produit $f\times f\times \cdots \times f$. Ainsi ${\sin }^2$ et ${\sin }^{(2)}$ sont deux fonctions très différentes : la première est $x\mapsto {(\sin x)}^2$, la seconde est $x\mapsto -\sin x$.

La notion de continuité est prise ici au sens intuitif du lycée (« la courbe se trace sans lever le crayon ») ; sa définition rigoureuse relève du chapitre « Fonctions d'une variable réelle ». En pratique, à ce stade du programme :

• toute fonction obtenue par somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) et composition à partir des fonctions usuelles est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur tout intervalle où elle est définie ;
• les polynômes, $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$, $\tan$, les fonctions puissances sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, ainsi que toutes les fonctions introduites dans les sections 3 à 5, sont de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur leur domaine ;
• une dérivée peut exister sans être continue, mais aucun exemple de ce type ne sera rencontré avant le chapitre « Fonctions d'une variable réelle ».

Extremums et points critiques

Deux mises en garde, qui sont les deux erreurs classiques.

La réciproque est fausse. $f:x\mapsto x^3$ vérifie $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$, mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'admet aucun extremum en $0$. Un point critique est un candidat, pas une conclusion. C'est le changement de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ qui décide, et il se lit dans le tableau de variations.

L'hypothèse « point intérieur » est nécessaire. La fonction $x\mapsto x$ sur $[0,1]$ atteint son minimum en $0$ et son maximum en $1$, sans que sa dérivée s'annule jamais. Sur un intervalle fermé borné, il faut toujours comparer les valeurs aux extrémités avec les valeurs aux points critiques.

Démontrer une inégalité par étude de fonction

Fonctions usuelles : exponentielle, logarithme, puissances

La fonction exponentielle

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\exp'(x)$

$+$

$e^x$

$0$

$+\infty$

Le point 5 se déduit du point 1 : ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp >0$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $\exp$ est strictement croissante (section 2.5). Le point 6 est la traduction de la stricte croissance, et c'est le seul outil autorisé pour résoudre une équation ou une inéquation contenant des exponentielles : on ne « simplifie » jamais une exponentielle, on utilise sa stricte monotonie.

Le logarithme népérien

Démonstration du point 3. Soient $x>0$ et $y>0$. En utilisant le point 1 puis la relation fonctionnelle de l'exponentielle,

$$e^{\ln x+\ln y}=e^{\ln x}\times e^{\ln y}=x\times y=e^{\ln (xy)}\mathrm{.}$$

Par injectivité de $\exp$ (point 6 de la propriété précédente), $\ln x+\ln y=\ln (xy)$. $\mathrm{\square }$

Le point 6 a été démontré en 2.7 comme application de la formule de la dérivée d'une réciproque.

$x$

$0$

$+\infty$

$\ln'(x)$

$+$

$\ln x$

$-\infty$

$+\infty$

Les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$, conformément à la propriété générale de 2.7 : la tangente à ${\mathcal{C}}_{\exp }$ en $(0,1)$, de pente $1$, se transforme en la tangente à ${\mathcal{C}}_{\ln }$ en $(1,0)$, de pente ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.

Une remarque de vocabulaire fréquemment source d'erreurs : la fonction $x\mapsto \ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et l'on vérifie sans peine, en séparant les cas $x>0$ et $x<0$, que sa dérivée vaut ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ tout entier. Cette fonction sera indispensable dans la partie B, au moment des primitives.

Les deux inégalités fondamentales

Ces deux inégalités servent partout : en analyse, en probabilités, dans les majorations de suites. Elles sont l'illustration type de la méthode 2.10, et il faut savoir les redémontrer en trente secondes.

Démonstration. Posons $g(x)=e^x-1-x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On a

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1.$$

Or $e^x-1⩾0⟺e^x⩾e^0⟺x⩾0$, par stricte croissance de l'exponentielle. Donc $g^{\mathrm{\prime }}$ est strictement négative sur $]-\mathrm{\infty },0[$, nulle en $0$, et strictement positive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$g'(x)$

$-$

$0$

$+$

$g(x)$

$0$

La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : elle admet en $0$ un minimum global, égal à $g(0)=e^0-1-0=0$.

Ainsi $g(x)⩾0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $e^x⩾1+x$. De plus, la stricte monotonie de part et d'autre de $0$ montre que $g(x)>0$ dès que $x\mathrm{\ne }0$ : le cas d'égalité est exactement $x=0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $h(x)=x-\ln (1+x)$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, intervalle sur lequel $1+x>0$, donc $h$ est bien définie et dérivable. On a

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =1-\frac{1}{1+x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+x)-1}{1+x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x}{1+x}\mathrm{.}}\end{array}$$

Sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, le dénominateur $1+x$ est strictement positif : $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ est donc du signe de $x$.

$x$

$-1$

$0$

$+\infty$

$h'(x)$

$-$

$0$

$+$

$h(x)$

$0$

La fonction $h$ atteint donc en $0$ un minimum global sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, égal à $h(0)=0-\ln (1)=0$. Par conséquent $h(x)⩾0$, c'est-à-dire $\ln (1+x)⩽x$, avec égalité si et seulement si $x=0$. $\mathrm{\square }$

Les deux inégalités disent la même chose vue de deux côtés : la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=1+x$, et la courbe de $\ln$ est en dessous de sa tangente en $1$, d'équation $y=x-1$. On peut d'ailleurs déduire la seconde de la première : pour $x>-1$, appliquons $e^u⩾1+u$ à $u=\ln (1+x)$, ce qui donne $1+x⩾1+\ln (1+x)$, donc $\ln (1+x)⩽x$.

Fonctions puissances

Ce point mérite d'être souligné, car c'est une source d'erreurs constante :

• pour $\alpha$ réel quelconque, $x^{\alpha }$ n'est défini que pour $x>0$ (et pour $x=0$ si $\alpha >0$) ;
• seules les puissances entières ont un sens sur ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$ : $x^n$ pour $n\in \mathbb{Z}$ est défini pour tout $x\mathrm{\ne }0$ par produit ou quotient répété, sans passer par le logarithme ;
• écrire $(-8{)}^{1\mathrm{/}3}=-2$ est donc incorrect dans ce cadre : la notation $x^{1\mathrm{/}3}$ n'a pas de sens pour $x<0$.

Démonstration des points 3 et 4. Toutes ces relations se ramènent à la définition et aux propriétés de $\exp$ et $\ln$.

Pour le point 3 : $(xy{)}^{\alpha }=e^{\alpha \ln (xy)}=e^{\alpha (\ln x+\ln y)}=e^{\alpha \ln x}\times e^{\alpha \ln y}=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$.

Pour le point 4 : posons $u=x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$, qui est strictement positif. Alors $\ln u=\alpha \ln x$, donc

$${\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=u^{\beta }=e^{\beta \ln u}=e^{\beta \alpha \ln x}=x^{\alpha \beta }\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. La fonction $x\mapsto \alpha \ln x$ est dérivable sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, de dérivée ${\displaystyle \frac{\alpha }{x}}$, et $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Par composition,

$${\left(e^{\alpha \ln x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\alpha }{x}{e}^{\alpha \ln x}=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha }{x}^{-1}=\alpha x^{\alpha -1},$$

où l'on a utilisé ${\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$ et la relation $x^{\alpha }{x}^{-1}=x^{\alpha -1}$. Le signe de la dérivée est celui de $\alpha$, puisque $x^{\alpha -1}>0$ ; d'où les variations annoncées. $\mathrm{\square }$

Attention à une expression dont le calcul se fait toujours de la même façon : une puissance dont la base et l'exposant dépendent de $x$, du type $u(x{)}^{v(x)}$, se traite en repassant systématiquement par l'exponentielle :

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln (u(x))},$$

valable dès que $u(x)>0$. Aucune règle de calcul ne s'applique directement à une telle écriture.

Croissances comparées

En $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme. C'est la hiérarchie fondamentale de l'analyse.

Une formulation mnémotechnique suffit pour ne jamais se tromper : dans une compétition entre $\exp$, une puissance et $\ln$, l'exponentielle gagne toujours, le logarithme perd toujours. La limite d'un quotient est donc dictée par celui des deux qui l'emporte, quels que soient les exposants en jeu.

Logarithme décimal et logarithme en base $2$

Ces fonctions ne sont qu'un changement d'échelle du logarithme népérien, mais elles sont commodes dans deux contextes. Le logarithme décimal donne l'ordre de grandeur d'un nombre : pour $x>0$, l'entier $\lfloor {\log }_{10}(x)\rfloor +1$ est le nombre de chiffres de la partie entière de $x$ lorsque $x⩾1$. Le logarithme en base $2$ compte les doublements : ${\log }_2(x)$ est le nombre de fois qu'il faut doubler $1$ pour atteindre $x$, ce qui explique son omniprésence en informatique dans l'évaluation des coûts d'algorithmes de type dichotomie.

Fonctions circulaires réciproques

Rappels sur les fonctions circulaires

Les fonctions $\sin$, $\cos$ et $\tan$ ont été étudiées dans le chapitre « Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie ». On en rappelle l'essentiel.

Aucune de ces trois fonctions n'est injective sur son domaine : $\sin$ prend la valeur $0$ en tous les $k\pi$. Pour définir une réciproque, il faut donc d'abord restreindre le domaine à un intervalle sur lequel la fonction est strictement monotone. Le choix de cet intervalle est une convention, et c'est cette convention qui produit tous les pièges de la section.

La fonction $\mathrm{Arcsin}$

Démonstration du point 2. Soit $x\in [-1,1]$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$, de sorte que $\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ et $\sin \theta =x$. Alors $-\theta$ appartient encore à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, et l'imparité du sinus donne $\sin (-\theta )=-\sin \theta =-x$. Par caractérisation de $\mathrm{Arcsin}$, on en déduit $\mathrm{Arcsin}(-x)=-\theta =-\mathrm{Arcsin}(x)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Notons $f$ la restriction de $\sin$ à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, de sorte que $f^{-1}=\mathrm{Arcsin}$. Soit $x\in ]-1,1[$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$ ; alors $\theta$ appartient à l'intervalle ouvert $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\cos \theta \mathrm{\ne }0$. La formule de la dérivée d'une réciproque (section 2.7) s'applique :

$${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{Arcsin}x)}=\frac{1}{\cos (\mathrm{Arcsin}x)}\mathrm{.}$$

Il reste à exprimer $\cos \theta$ en fonction de $x$. De ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ on tire ${\cos }^2\theta =1-x^2$, donc $\cos \theta =\pm \sqrt{1-x^2}$. Or $\theta \in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, intervalle sur lequel le cosinus est strictement positif : c'est donc le signe $+$ qu'il faut retenir, et $\cos \theta =\sqrt{1-x^2}$. Finalement

$${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Aux extrémités, $\cos (\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0$ : la formule de la réciproque ne s'applique plus, et l'on retrouve la tangente verticale annoncée. C'est aussi visible sur la formule elle-même, puisque ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $1$ ou vers $-1$.

$x$

$-1$

$1$

$\operatorname{Arcsin}'(x)$

$+$

$\operatorname{Arcsin}(x)$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

La fonction $\mathrm{Arccos}$

Démonstration du point 3. Notons $g$ la restriction de $\cos$ à $[0,\pi ]$. Soit $x\in ]-1,1[$ et $\theta =\mathrm{Arccos}x$, qui appartient alors à $]0,\pi [$. On a $g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-\sin \theta$, et $\sin \theta >0$ car $\theta \in ]0,\pi [$ : donc $g^{\mathrm{\prime }}(\theta )\mathrm{\ne }0$ et la formule de la réciproque s'applique :

$${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{-\sin (\mathrm{Arccos}x)}\mathrm{.}$$

Comme ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-x^2$ et $\sin \theta >0$, on obtient $\sin \theta =\sqrt{1-x^2}$, d'où

$${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

$x$

$-1$

$1$

$\operatorname{Arccos}'(x)$

$-$

$\operatorname{Arccos}(x)$

$\pi$

$0$

La relation $\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Démonstration. Posons $\phi (x)=\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x$ pour $x\in [-1,1]$.

Sur l'intervalle ouvert. Les deux fonctions sont dérivables sur $]-1,1[$, donc $\phi$ l'est aussi, et pour tout $x\in ]-1,1[$ :

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})=0.$$

Comme $]-1,1[$ est un intervalle et que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}=0$ sur cet intervalle, $\phi$ y est constante (section 2.5). Sa valeur constante se lit en un point bien choisi, par exemple $x=0$ :

$$\phi (0)=\mathrm{Arcsin}(0)+\mathrm{Arccos}(0)=0+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Donc $\phi (x)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $x\in ]-1,1[$.

Aux extrémités. La dérivée n'existe pas en $\pm 1$, il faut donc vérifier ces deux valeurs directement :

$$\phi (1)=\frac{\pi }{2}+0=\frac{\pi }{2},\phi (-1)=-\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Conclusion. L'égalité $\phi (x)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ vaut sur $[-1,1]$ tout entier. $\mathrm{\square }$

La démonstration est un modèle du genre : on ne peut pas conclure sur l'intervalle fermé par l'argument de la dérivée nulle, puisque la dérivabilité fait défaut aux bornes. Oublier de traiter séparément $x=\pm 1$ est une faute de rigueur classique.

Cette relation permet de tout ramener à $\mathrm{Arcsin}$ : en pratique, dès qu'une expression mêle les deux fonctions, on remplace $\mathrm{Arccos}x$ par ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{Arcsin}x$.

La fonction $\mathrm{Arctan}$

Démonstration du point 2. Notons $h$ la restriction de $\tan$ à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et $\theta =\mathrm{Arctan}x$. On a $h^{\mathrm{\prime }}(\theta )=1+{\tan }^2\theta =1+x^2⩾1>0$, donc $h^{\mathrm{\prime }}(\theta )$ ne s'annule jamais et la formule de la réciproque s'applique en tout point :

$${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{Arctan}x)}=\frac{1}{1+{\tan }^2(\mathrm{Arctan}x)}=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

C'est la seule des trois fonctions circulaires réciproques qui soit dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, et sa dérivée est une fraction rationnelle : cette double particularité en fait la plus utile des trois. La partie B y reviendra, puisque $\mathrm{Arctan}$ est une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{Arctan}'(x)$

$+$

$\operatorname{Arctan}(x)$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

Le piège de rédaction : simplifier $\mathrm{Arcsin}(\sin x)$

Une dernière mise en garde : l'écriture $\mathrm{Arcsin}(\sin x)$ est toujours définie pour tout réel $x$, puisque $\sin x\in [-1,1]$. Ce n'est donc pas un problème d'existence, c'est un problème de valeur. La fonction $x\mapsto \mathrm{Arcsin}(\sin x)$ est définie sur $\mathbb{R}$, $2\pi$-périodique, impaire, et coïncide avec l'identité seulement sur $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ : son graphe est une ligne brisée en dents de scie.

Simplifier une expression mixte

Démonstration de $\cos (\mathrm{Arcsin}x)=\sqrt{1-x^2}$. Soit $x\in [-1,1]$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$, de sorte que $\sin \theta =x$ et $\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

De l'identité ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ on tire ${\cos }^2\theta =1-x^2$, donc $\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }=\sqrt{1-x^2}$.

C'est ici que se joue la rigueur : il faut déterminer le signe de $\cos \theta$. Or $\theta$ appartient à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, intervalle sur lequel le cosinus est positif ou nul. Donc $\cos \theta =\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }=\sqrt{1-x^2}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de $\cos (\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et $\theta =\mathrm{Arctan}x$, donc $\tan \theta =x$ et $\theta \in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. En divisant ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ par ${\cos }^2\theta$, qui est non nul, on obtient

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta },\text{donc}{\cos }^2\theta =\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$

Sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, le cosinus est strictement positif, donc $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$. On en déduit $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$. $\mathrm{\square }$

Fonctions hyperboliques

Ces fonctions se construisent à partir de l'exponentielle en imitant les formules d'Euler, dans lesquelles on aurait retiré les $i$. Elles apparaissent naturellement en physique (forme d'un câble suspendu, dite chaînette) et dans les calculs de primitives de la partie B.

Définitions

Démonstration du point 1 pour $\mathrm{ch}$. Pour tout réel $x$,

$$\mathrm{ch}(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\mathrm{ch}(x)\mathrm{.}$$

Le même calcul pour $\mathrm{sh}$ donne $\mathrm{sh}(-x)={\displaystyle \frac{e^{-x}-e^x}{2}}=-\mathrm{sh}(x)$, et l'imparité de $\mathrm{th}$ suit du quotient d'une fonction impaire par une fonction paire. $\mathrm{\square }$

Le point 2 est le contrôle mental le plus rapide : $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$ sont respectivement la partie paire et la partie impaire de l'exponentielle, et leur somme reconstitue $e^x$.

La relation fondamentale

Démonstration. Deux rédactions possibles, toutes deux courtes.

Par développement. Pour tout réel $x$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)}& {\displaystyle ={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(e^{2x}+2e^x{e}^{-x}+e^{-2x})-(e^{2x}-2e^x{e}^{-x}+e^{-2x})}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4e^x{e}^{-x}}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{x-x}=e^0=1.}\end{array}$$

Par identité remarquable. En utilisant le point 2 de la propriété précédente,

$${\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)=(\mathrm{ch}(x)-\mathrm{sh}(x))(\mathrm{ch}(x)+\mathrm{sh}(x))=e^{-x}\times e^x=1.\mathrm{\square }$$

La seconde rédaction est la plus élégante et celle qu'il faut retenir. Noter le signe moins, qui distingue cette identité de son analogue circulaire ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ : c'est ce signe qui vaut aux fonctions hyperboliques leur nom, le point de coordonnées $(\mathrm{ch}t,\mathrm{sh}t)$ décrivant une branche de l'hyperbole d'équation $X^2-Y^2=1$, là où $(\cos t,\sin t)$ décrit le cercle $X^2+Y^2=1$.

Une conséquence immédiate : ${\mathrm{ch}}^2(x)=1+{\mathrm{sh}}^2(x)⩾1$, et comme $\mathrm{ch}(x)>0$, on obtient $\mathrm{ch}(x)⩾1$ pour tout réel $x$, avec égalité uniquement en $x=0$.

Dérivées et variations

Démonstration. Les deux premières se lisent sur les définitions. Comme ${\left(e^{-x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}$,

$${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\mathrm{ch}(x),$$ $${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\mathrm{sh}(x)\mathrm{.}$$

Noter l'absence de signe moins, contrairement au cas circulaire où ${\cos }^{\mathrm{\prime }}=-\sin$.

Pour $\mathrm{th}$, on dérive le quotient ${\displaystyle \frac{\mathrm{sh}}{}}$, dont le dénominateur ne s'annule pas :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{{\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{ch}(x)-\mathrm{sh}(x){\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}(x)}{{\mathrm{ch}}^2(x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)}{{\mathrm{ch}}^2(x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2(x)},}\end{array}$$

la dernière égalité venant de la relation fondamentale. En coupant au contraire la fraction en deux, on obtient la seconde forme :

$${\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{{\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)}{{\mathrm{ch}}^2(x)}=1-{\mathrm{th}}^2(x)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Les variations s'en déduisent immédiatement.

Sinus hyperbolique. ${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{ch}⩾1>0$, donc $\mathrm{sh}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ses limites sont $-\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{ch}(x)$

$+$

$\operatorname{sh}(x)$

$-\infty$

$+\infty$

Cosinus hyperbolique. ${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{sh}$, qui est du signe de $x$ puisque $\mathrm{sh}$ est strictement croissante et s'annule en $0$. Donc $\mathrm{ch}$ décroît sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et croît sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, avec un minimum global égal à $1$ en $0$.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$\operatorname{sh}(x)$

$-$

$0$

$+$

$\operatorname{ch}(x)$

$+\infty$

$1$

$+\infty$

Tangente hyperbolique. ${\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{ch}}^2}}>0$, donc $\mathrm{th}$ est strictement croissante. Pour les limites, on factorise par $e^x$ au numérateur et au dénominateur :

$$\mathrm{th}(x)=\frac{e^x(1-e^{-2x})}{e^x(1+e^{-2x})}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1-0}{1+0}=1,$$

et, par imparité, $\mathrm{th}(x)$ tend vers $-1$ quand $x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{th}'(x)$

$+$

$\operatorname{th}(x)$

$-1$

$1$

Graphes et positions relatives

Démonstration du point 1. On a vu que $\mathrm{ch}(x)-\mathrm{sh}(x)=e^{-x}$, qui est strictement positif pour tout réel $x$. Donc $\mathrm{sh}(x)<\mathrm{ch}(x)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 4. Posons $g(x)=\mathrm{sh}(x)-x$ sur $\mathbb{R}$. Alors $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{ch}(x)-1⩾0$ d'après le point 2, donc $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $g(0)=0-0=0$, on en déduit $g(x)⩾0$ pour $x⩾0$ et $g(x)⩽0$ pour $x⩽0$, ce qui est l'énoncé. $\mathrm{\square }$

Le comportement en $+\mathrm{\infty }$ mérite un mot. Comme $\mathrm{ch}(x)-{\displaystyle \frac{e^x}{2}}={\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}}$ et $\mathrm{sh}(x)-{\displaystyle \frac{e^x}{2}}=-{\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}}$, ces deux différences tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ : les courbes de $\mathrm{ch}$ et de $\mathrm{sh}$ se rapprochent toutes deux de celle de $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x}{2}}$, l'une par au-dessus, l'autre par en dessous. Elles semblent se confondre sur un tracé dès $x=3$.

Formules d'addition (culture, non exigible)

Vérification de la première. En développant à partir des définitions,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{sh}(a)\mathrm{ch}(b)+\mathrm{ch}(a)\mathrm{sh}(b)}& {\displaystyle =\frac{(e^a-e^{-a})(e^b+e^{-b})+(e^a+e^{-a})(e^b-e^{-b})}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2e^{a+b}-2e^{-a-b}}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{a+b}-e^{-(a+b)}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sh}(a+b)\mathrm{.}}\end{array}$$

Comparées aux formules circulaires, la différence tient au signe dans la formule du cosinus : $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ contre $\mathrm{ch}(a+b)=\mathrm{ch}a\mathrm{ch}b+\mathrm{sh}a\mathrm{sh}b$. La règle mnémotechnique consiste à partir de la formule circulaire et à changer le signe de chaque produit de deux sinus.

Fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes

Cette section prolonge le paragraphe 1.9. Elle est courte, mais indispensable : c'est elle qui permettra, dans la partie B, de calculer d'un seul geste les primitives de $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$ et $x\mapsto e^{ax}\sin (bx)$, et de résoudre les équations différentielles linéaires du second ordre.

Dérivée d'une fonction à valeurs complexes

Tout se ramène donc à deux fonctions réelles. En revanche, aucun énoncé faisant intervenir l'ordre de $\mathbb{R}$ ne survit à ce passage : parler de croissance, de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$, d'extremum ou de tableau de variations pour une fonction à valeurs complexes n'a aucun sens.

Opérations

Démonstration de la formule du produit. Écrivons $f=f_1+i{f}_2$ et $g=g_1+i{g}_2$ avec $f_1,f_2,g_1,g_2$ à valeurs réelles et dérivables. Alors

$$fg=(f_1{g}_1-f_2{g}_2)+i(f_1{g}_2+f_2{g}_1),$$

dont les parties réelle et imaginaire sont dérivables comme sommes de produits de fonctions réelles dérivables. Par définition,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (fg{)}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_1{g}_1^{\mathrm{\prime }}-f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_2-f_2{g}_2^{\mathrm{\prime }})+i(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_1{g}_2^{\mathrm{\prime }}+f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_2{g}_1^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}}\end{array}$$

Par ailleurs, en développant le produit de nombres complexes,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}g+f{g}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(f_1^{\mathrm{\prime }}+i{f}_2^{\mathrm{\prime }})(g_1+i{g}_2)+(f_1+i{f}_2)(g_1^{\mathrm{\prime }}+i{g}_2^{\mathrm{\prime }})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_1-f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_1{g}_1^{\mathrm{\prime }}-f_2{g}_2^{\mathrm{\prime }})+i(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_1{g}_2^{\mathrm{\prime }}+f_2{g}_1^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}}\end{array}$$

Les deux expressions ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : elles sont égales. $\mathrm{\square }$

Les autres formules se démontrent de la même façon, ou se déduisent de celle-ci. On retiendra le principe : toutes les règles de dérivation réelles restent valables, y compris avec des constantes complexes. Une seule exception, et elle est de taille : la formule de dérivation d'une composée $v\circ u$ n'a de sens que si les objets sont compatibles, et il n'est pas question ici de dériver une fonction de la variable complexe. Le seul cas de composition dont nous ayons besoin est celui de l'exponentielle, traité au paragraphe suivant.

Dérivée de $\exp (\phi )$

Démonstration. Écrivons $\phi =a+ib$, où $a=\mathrm{Re}(\phi )$ et $b=\mathrm{Im}(\phi )$ sont deux fonctions réelles dérivables sur $I$. Par définition de l'exponentielle complexe, pour tout $x\in I$,

$$e^{\phi (x)}=e^{a(x)}\cos (b(x))+i{e}^{a(x)}\sin (b(x))\mathrm{.}$$

Les parties réelle et imaginaire sont des produits et composées de fonctions réelles dérivables, donc $e^{\phi }$ est dérivable. Dérivons chacune d'elles.

Partie réelle.

$${(e^a\cos b)}^{\mathrm{\prime }}=a^{\mathrm{\prime }}{e}^a\cos b-b^{\mathrm{\prime }}{e}^a\sin b=e^a(a^{\mathrm{\prime }}\cos b-b^{\mathrm{\prime }}\sin b)\mathrm{.}$$

Partie imaginaire.

$${(e^a\sin b)}^{\mathrm{\prime }}=a^{\mathrm{\prime }}{e}^a\sin b+b^{\mathrm{\prime }}{e}^a\cos b=e^a(a^{\mathrm{\prime }}\sin b+b^{\mathrm{\prime }}\cos b)\mathrm{.}$$

En rassemblant, puis en regroupant astucieusement,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =e^a(a^{\mathrm{\prime }}\cos b-b^{\mathrm{\prime }}\sin b)+i{e}^a(a^{\mathrm{\prime }}\sin b+b^{\mathrm{\prime }}\cos b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^a[a^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)+b^{\mathrm{\prime }}(-\sin b+i\cos b)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^a[a^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)+i{b}^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^{\mathrm{\prime }}+i{b}^{\mathrm{\prime }})e^a(\cos b+i\sin b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }\mathrm{.}}\end{array}$$

L'égalité de la troisième ligne repose sur $i(\cos b+i\sin b)=i\cos b-\sin b=-\sin b+i\cos b$. $\mathrm{\square }$

Le résultat est exactement celui du cas réel, ce qui est rassurant, mais il n'allait pas de soi : la démonstration a réellement utilisé la définition de $e^z$ et les dérivées de $\cos$ et $\sin$.

Le cas $x\mapsto e^{\lambda x}$

Démonstration. La fonction $\phi :x\mapsto \lambda x$ est dérivable, de dérivée constante ${\phi }^{\mathrm{\prime }}=\lambda$. La propriété précédente donne directement $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda e^{\lambda x}$. Une récurrence immédiate sur $n$ fournit la formule générale : elle est vraie au rang $0$, et si $f^{(n)}(x)={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$, alors $f^{(n+1)}(x)={\lambda }^n\times \lambda e^{\lambda x}={\lambda }^{n+1}{e}^{\lambda x}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La première égalité est la définition de l'exponentielle complexe appliquée à $\lambda x=ax+i(bx)$. Pour les dérivées, calculons $\lambda e^{\lambda x}$ sous forme algébrique :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \lambda e^{\lambda x}}& {\displaystyle =(a+ib)e^{ax}(\cos (bx)+i\sin (bx))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{ax}[(a\cos (bx)-b\sin (bx))+i(a\sin (bx)+b\cos (bx))]\mathrm{.}}\end{array}$$

Comme la dérivée d'une fonction à valeurs complexes se calcule coordonnée par coordonnée, la partie réelle de $\lambda e^{\lambda x}$ est la dérivée de la partie réelle de $e^{\lambda x}$, et de même pour la partie imaginaire. On obtient les deux formules annoncées, que l'on peut évidemment retrouver directement en dérivant un produit. $\mathrm{\square }$

L'intérêt de la seconde méthode n'apparaît pas sur une simple dérivation, où elle est plus lourde. Il éclatera dans la partie B : pour primitiver $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$, l'approche directe impose deux intégrations par parties successives et un système à résoudre, alors que l'approche complexe se réduit à diviser par $\lambda$ et à prendre la partie réelle. C'est la raison d'être de toute cette section.

Méthodes du chapitre (partie A)

Primitives d'une fonction sur un intervalle

La partie A a été consacrée à la dérivation : partant d'une fonction $f$, on a appris à fabriquer sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$. On aborde maintenant le problème inverse, et il est beaucoup plus difficile : étant donnée une fonction $f$, existe-t-il une fonction dont $f$ soit la dérivée, et comment la calculer ? Cette question est le point de départ du calcul intégral.

Conformément à l'esprit de ce chapitre, le point de vue est ici pratique. On ne construit pas l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)dt}$ : cette construction, ainsi que la démonstration de ses propriétés (linéarité, relation de Chasles, positivité), fait l'objet du chapitre « Intégration ». On s'appuie sur ce qui a été vu au lycée et sur un théorème d'existence admis, et on met en place les techniques de calcul.

Définition d'une primitive

Dans tout ce qui suit, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point. L'hypothèse « $I$ est un intervalle » n'est pas décorative : elle est au cœur de tous les résultats de cette section, et on verra en $8.3$ ce qui se passe quand on l'oublie.

Le cas des fonctions à valeurs complexes ne demande aucune théorie nouvelle : d'après la partie A, une fonction $F:I\to \mathbb{C}$ est dérivable si et seulement si $\mathrm{Re}(F)$ et $\mathrm{Im}(F)$ le sont, et alors $F^{\mathrm{\prime }}=(\mathrm{Re}F{)}^{\mathrm{\prime }}+i(\mathrm{Im}F{)}^{\mathrm{\prime }}$.

Démonstration. C'est la caractérisation de la dérivabilité d'une fonction à valeurs complexes rappelée ci-dessus, appliquée à $F$ : dire que $F$ est dérivable de dérivée $f$ équivaut à dire que $\mathrm{Re}(F)$ et $\mathrm{Im}(F)$ sont dérivables, avec $(\mathrm{Re}F{)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Re}(f)$ et $(\mathrm{Im}F{)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Im}(f)$. $\mathrm{\square }$

Cette remarque, qui paraît anodine, est en réalité l'outil le plus rentable du chapitre : elle permet de calculer deux primitives réelles d'un coup en travaillant avec une seule exponentielle complexe (paragraphe $8.7$).

Existence de primitives : le théorème admis

Rien, dans la définition, ne garantit qu'une fonction possède une primitive. Le théorème suivant, qui répond à la question pour les fonctions continues, est admis dans ce chapitre.

Insistons sur ce que ce théorème ne dit pas.

• Il ne dit pas que toute fonction admet une primitive : l'hypothèse de continuité est essentielle.
• Il ne fournit aucune formule explicite exploitable en général. La fonction $x\mapsto e^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle admet donc des primitives, mais on démontre (bien plus tard, et ce n'est pas au programme) qu'aucune ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles. « Avoir une primitive » et « savoir la calculer » sont deux choses différentes.

Description de l'ensemble des primitives

Le résultat suivant est le point où l'hypothèse « $I$ est un intervalle » intervient. Il repose sur le lemme ci-dessous, admis à ce stade et démontré dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle ».

Démonstration. On procède par double inclusion.

$(\supset )$ Soit $C\in \mathbb{K}$ et $G=F_0+C$. La fonction $G$ est dérivable sur $I$ comme somme de $F_0$ (dérivable) et d'une fonction constante, et pour tout $x\in I$, $G^{\mathrm{\prime }}(x)=F_0^{\mathrm{\prime }}(x)+0=f(x)$. Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.

$(\subset )$ Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Posons $g=G-F_0$. La fonction $g$ est dérivable sur $I$, comme différence de deux fonctions dérivables, et pour tout $x\in I$,

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F_0^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Comme $I$ est un intervalle, le lemme s'applique : $g$ est constante sur $I$. Il existe donc $C\in \mathbb{K}$ tel que $G-F_0=C$, c'est-à-dire $G=F_0+C$.

Les deux inclusions donnent l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Le théorème précédent a une conséquence très utilisée : une primitive est entièrement déterminée par la donnée d'une seule valeur.

Démonstration. Existence. D'après le théorème admis de $8.2$, la fonction $\mathrm{\Phi }:x\mapsto {\int }_{x_0}^{x}f(t)dt$ est une primitive de $f$ sur $I$ avec $\mathrm{\Phi }(x_0)=0$. La fonction $F=\mathrm{\Phi }+y_0$ est encore une primitive de $f$ (théorème précédent, sens $\supset$) et $F(x_0)=0+y_0=y_0$.

Unicité. Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ prenant la valeur $y_0$ en $x_0$, alors $F_1-F_2$ est constante sur l'intervalle $I$ ; cette constante vaut $F_1(x_0)-F_2(x_0)=y_0-y_0=0$. Donc $F_1=F_2$. $\mathrm{\square }$

Notation $\int f$ et lien avec les intégrales

Démonstration. Notons $G:x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$. D'après le théorème admis de $8.2$ appliqué avec $x_0=a$, la fonction $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $G(a)=0$. Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ : d'après le théorème de $8.3$, il existe $C\in \mathbb{K}$ tel que $F=G+C$. Alors

$$F(b)-F(a)=(G(b)+C)-(G(a)+C)=G(b)-G(a)={\int }_a^{b}f(t)dt-0,$$

ce qui est l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Tableaux des primitives usuelles

Les tableaux ci-dessous se lisent dans les deux sens : de gauche à droite, ce sont des primitives ; de droite à gauche, ce sont les dérivées de la partie A. Il n'y a donc rien de neuf à apprendre, seulement une nouvelle façon de lire un tableau déjà connu. Dans chaque ligne, $C$ désigne une constante arbitraire et la dernière colonne précise un intervalle sur lequel l'égalité est valable.

Puissances, exponentielle et logarithme.

Fonctions trigonométriques et leurs réciproques.

Fonctions hyperboliques.

Reconnaître la dérivée d'une fonction composée

C'est la technique la plus rentable du chapitre. Elle consiste à lire à l'envers la formule de dérivation d'une composée : si $u$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$, alors $(g\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}\times (g^{\mathrm{\prime }}\circ u)$. Autrement dit, une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}\times (g^{\mathrm{\prime }}\circ u)$ est $g\circ u$.

En pratique, on retient le tableau suivant. Dans chaque ligne, $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et la colonne de droite indique la condition à vérifier.

Primitives de $x\mapsto e^{\lambda x}$ avec $\lambda$ complexe

On rappelle le résultat de la partie A : pour $\lambda \in \mathbb{C}$, la fonction $x\mapsto e^{\lambda x}$, définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $x\mapsto \lambda e^{\lambda x}$.

Démonstration. La fonction $F:x\mapsto {\displaystyle \frac{e^{\lambda x}}{\lambda }}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\lambda e^{\lambda x}}{\lambda }}=e^{\lambda x}$ : c'est bien une primitive. Comme $\mathbb{R}$ est un intervalle, le théorème de $8.3$ donne toutes les autres en ajoutant une constante complexe. $\mathrm{\square }$

Cette formule, apparemment anodine, permet de calculer d'un seul coup les primitives de $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$ et de $x\mapsto e^{ax}\sin (bx)$ pour $a,b$ réels, alors que le calcul direct est pénible.

Intégration par parties et changement de variable

Les primitives usuelles et la reconnaissance de composées ne suffisent pas : que faire de ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$, où le produit ne se ramène à aucune ligne du tableau ? Deux techniques permettent de transformer une intégrale en une autre, espérée plus simple. Elles ne sont rien d'autre que la lecture inverse des deux règles de dérivation les plus importantes : celle du produit, et celle de la composée.

Dans toute cette section, les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$, et les segments considérés sont inclus dans $I$.

Intégration par parties

Démonstration. Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables sur $I$, le produit $uv$ l'est aussi et

$$(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Comme $u,v,u^{\mathrm{\prime }},v^{\mathrm{\prime }}$ sont continues sur $I$ (c'est le sens de « de classe ${\mathcal{C}}^1$ »), la fonction $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur $I$ : $uv$ est donc une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$. Le théorème de $8.4$ donne alors

$${\int }_a^b(u^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)+u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t))dt=[u(t)v(t){]}_a^b\mathrm{.}$$

Par linéarité de l'intégrale (propriété admise ici, établie dans le chapitre « Intégration »), le membre de gauche vaut ${\displaystyle {\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v+{\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}}$, ces deux intégrales existant puisque leurs intégrandes sont continus sur $I$. En passant ${\displaystyle {\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}}$ dans l'autre membre, on obtient la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Changement de variable

Démonstration. La fonction $f$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$ (théorème admis de $8.2$). Comme $\phi$ est dérivable sur $J$ à valeurs dans $I$ et $F$ dérivable sur $I$, la composée $F\circ \phi$ est dérivable sur $J$ et, pour tout $t\in J$,

$$(F\circ \phi {)}^{\mathrm{\prime }}(t)={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)F^{\mathrm{\prime }}(\phi (t))=f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$

Cette dérivée est continue sur $J$ (${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ est continue car $\phi$ est ${\mathcal{C}}^1$, et $f\circ \phi$ est continue comme composée de fonctions continues) : $F\circ \phi$ est donc une primitive de $t\mapsto f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ sur $J$. Le théorème de $8.4$ donne

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\left[F\right(\phi (t)){]}_{\alpha }^{\beta }=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))\mathrm{.}$$

Or, toujours par le théorème de $8.4$ appliqué à $F$ entre $\phi (\alpha )$ et $\phi (\beta )$ (qui appartiennent à $I$), cette dernière différence vaut ${\displaystyle {\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)dx}$. $\mathrm{\square }$

Les substitutions à connaître, avec la situation qui les déclenche :

Primitives de fractions rationnelles simples

Le programme fixe ici un objectif très précis : savoir calculer les primitives de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}$, puis, par un ajustement simple, celles de $x\mapsto {\displaystyle \frac{\alpha x+\beta }{a{x}^2+bx+c}}$. Il ne s'agit pas d'une théorie générale des fractions rationnelles (celle-ci viendra plus tard dans l'année) mais d'une technique de calcul, entièrement gouvernée par le signe du discriminant du dénominateur.

Dans toute la section, $a\mathrm{\ne }0$ et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Un préalable vaut pour les trois cas : la fonction n'est définie que là où le dénominateur ne s'annule pas, et l'on travaille donc sur un intervalle sur lequel $a{x}^2+bx+c$ garde un signe constant et ne s'annule pas.

Premier cas : $\mathrm{\Delta }>0$

Le trinôme possède deux racines réelles distinctes $r_1<r_2$ et se factorise en $a{x}^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$. La fonction est définie sur trois intervalles : $]-\mathrm{\infty },r_1[$, $]r_1,r_2[$ et $]r_2,+\mathrm{\infty }[$.

L'idée est de casser la fraction en deux morceaux dont chacun a une primitive évidente. On ne fait appel à aucune théorie : on cherche deux constantes par identification.

Deuxième cas : $\mathrm{\Delta }=0$

Le trinôme possède une racine double $r=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ et s'écrit $a{x}^2+bx+c=a(x-r{)}^2$. Aucune décomposition n'est nécessaire, la primitive est directe : c'est la ligne ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u^2}}$ du tableau de $8.6$.

Vérification. ${(-{\displaystyle \frac{1}{a(x-r)}})}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\times (-{\displaystyle \frac{1}{(x-r{)}^2}})={\displaystyle \frac{1}{a(x-r{)}^2}}$. $\mathrm{\square }$

Troisième cas : $\mathrm{\Delta }<0$

Le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier : la fonction est définie sur $\mathbb{R}$. La technique est la forme canonique, qui ramène le dénominateur à la forme $u^2+{\omega }^2$, puis l'Arctangente.

Démonstration. En dérivant le membre de droite :

$${({\displaystyle \frac{1}{\omega }}\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{x}{\omega }})}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\omega }}\times {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}\omega }{1+{\displaystyle \frac{x^2}{{\omega }^2}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}\times {\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{x^2+{\omega }^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Le cas général ${\displaystyle \frac{\alpha x+\beta }{a{x}^2+bx+c}}$

Quand le numérateur n'est plus constant, une seule idée : faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, qui vaut $2ax+b$. Le morceau correspondant donne un logarithme (forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$), et ce qui reste est un numérateur constant, donc l'un des trois cas précédents.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées. Résoudre une telle équation, c'est déterminer toutes les fonctions qui la vérifient : la réponse n'est jamais un nombre, toujours un ensemble de fonctions.

Ces équations sont l'outil de modélisation par excellence des sciences expérimentales : dès qu'un phénomène est décrit par « la vitesse de variation d'une grandeur dépend de la grandeur elle-même », on obtient une équation différentielle. La section $13$ en donne trois exemples complets.

Définitions et vocabulaire

Résolution de l'équation homogène

C'est le cœur technique de la section, et la démonstration est entièrement réalisable ici.

Démonstration. On procède par double inclusion.

$(\supset )$ Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $y_{\lambda }:x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$. La fonction $A$ est dérivable sur $I$, donc $y_{\lambda }$ l'est aussi (composée puis produit) et, pour tout $x\in I$,

$$y_{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda \times (-A^{\mathrm{\prime }}(x))e^{-A(x)}=-a(x)\lambda e^{-A(x)}=-a(x)y_{\lambda }(x),$$

donc $y_{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_{\lambda }(x)=0$ : $y_{\lambda }$ est bien solution de $(E_0)$ sur $I$.

$(\subset )$ Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque de $(E_0)$ sur $I$. C'est ici qu'intervient l'astuce du facteur intégrant : on pose

$$z:x⟼y(x)e^{A(x)}\mathrm{.}$$

La fonction $z$ est dérivable sur $I$ comme produit de fonctions dérivables, et pour tout $x\in I$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =y^{\mathrm{\prime }}(x)e^{A(x)}+y(x)A^{\mathrm{\prime }}(x)e^{A(x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{A(x)}(y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{A(x)}\times 0=0.}\end{array}$$

Comme $I$ est un intervalle et que $z^{\mathrm{\prime }}=0$ sur $I$, le lemme du $8.3$ affirme que $z$ est constante : il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $z(x)=\lambda$ pour tout $x\in I$. Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, on peut diviser :

$$y(x)=\lambda e^{-A(x)}\text{pour tout }x\in I\mathrm{.}$$

Les deux inclusions donnent le résultat. $\mathrm{\square }$

Ce cas particulier, immédiat à partir du théorème avec $A(x)=ax$, est le plus fréquent en physique : décroissance radioactive, décharge d'un condensateur, refroidissement.

Structure de l'ensemble des solutions

Démonstration. Double inclusion, encore une fois.

$(\supset )$ Soit $y_h$ une solution de $(E_0)$ et posons $y=y_p+y_h$. Cette fonction est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)=\underset{=b(x)}{\underbrace{(y_p^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_p(x))}}+\underset{=0}{\underbrace{(y_h^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_h(x))}}=b(x)\mathrm{.}$$

Donc $y$ est solution de $(E)$.

$(\subset )$ Soit $y$ une solution quelconque de $(E)$ sur $I$, et posons $y_h=y-y_p$. Cette fonction est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y_h^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_h(x)=(y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x))-(y_p^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_p(x))=b(x)-b(x)=0,$$

donc $y_h$ est solution de $(E_0)$, et $y=y_p+y_h$ est bien de la forme annoncée.

La description explicite s'obtient alors en remplaçant $y_h$ par $\lambda e^{-A}$ grâce au théorème du $11.2$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $y={\mu }_1{y}_1+{\mu }_2{y}_2$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y^{\mathrm{\prime }}+ay={\mu }_1(y_1^{\mathrm{\prime }}+a{y}_1)+{\mu }_2(y_2^{\mathrm{\prime }}+a{y}_2)={\mu }_1{b}_1+{\mu }_2{b}_2\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

La méthode de variation de la constante

Quand le second membre ne permet pas de deviner une solution particulière, une méthode générale fonctionne toujours. Son nom est un abus de langage volontaire : on part de la solution générale $\lambda e^{-A(x)}$ de l'homogène et l'on autorise la constante $\lambda$ à varier, c'est-à-dire à devenir une fonction de $x$.

Démonstration. Toute fonction dérivable $y$ sur $I$ s'écrit de manière unique sous la forme $y(x)=\lambda (x)e^{-A(x)}$ : il suffit de poser $\lambda (x)=y(x)e^{A(x)}$, qui est bien dérivable comme produit de fonctions dérivables. Calculons alors, pour un tel $\lambda$ :

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}-\lambda (x)a(x)e^{-A(x)},$$

donc

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}-a(x)\lambda (x)e^{-A(x)}+a(x)\lambda (x)e^{-A(x)}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}\mathrm{.}$$

Les termes en $\lambda$ se simplifient toujours : c'est le mécanisme même de la méthode, et c'est un excellent contrôle de calcul. L'équation $(E)$ équivaut donc à

$${\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}=b(x),\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=b(x)e^{A(x)}\mathrm{.}$$

La fonction $x\mapsto b(x)e^{A(x)}$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet des primitives ($8.2$), et $y$ est solution si et seulement si $\lambda$ en est une. $\mathrm{\square }$

Le problème de Cauchy

Une équation différentielle admet une infinité de solutions. Pour en isoler une seule, on ajoute une condition initiale.

Démonstration. Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$ et $y_p$ une solution particulière de $(E)$ sur $I$ (elle existe : la méthode de variation de la constante en fournit une, par le théorème du $11.4$). D'après $11.3$, les solutions de $(E)$ sur $I$ sont exactement les fonctions $y:x\mapsto y_p(x)+\lambda e^{-A(x)}$ avec $\lambda \in \mathbb{K}$.

Une telle fonction vérifie la condition initiale si et seulement si

$$y_p(x_0)+\lambda e^{-A(x_0)}=y_0,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}\lambda =(y_0-y_p(x_0))e^{A(x_0)},$$

la division par $e^{-A(x_0)}$ étant licite puisque l'exponentielle ne s'annule pas. Cette équation en $\lambda$ possède donc une solution et une seule, ce qui fournit une unique fonction $y$. $\mathrm{\square }$

Chercher une solution particulière « à vue »

La variation de la constante fonctionne toujours, mais elle est parfois longue. Quand le second membre a une forme simple, on gagne beaucoup à chercher une solution particulière de la même forme, avec des coefficients indéterminés que l'on identifie. Le tableau suivant résume les cas les plus fréquents pour $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b(x)$ avec $a$ constante non nulle.

Équations non normalisées

Dans les applications, l'équation se présente rarement sous forme normalisée. On rencontre plutôt

$$(\mathcal{E}):\alpha (x)y^{\mathrm{\prime }}+\beta (x)y=\gamma (x),$$

avec $\alpha ,\beta ,\gamma$ continues sur un intervalle $J$. Pour appliquer les théorèmes précédents, il faut diviser par $\alpha (x)$ : c'est possible uniquement là où $\alpha$ ne s'annule pas.

Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

On passe maintenant aux équations faisant intervenir la dérivée seconde. Le programme se limite au cas des coefficients constants : c'est précisément le cas où une résolution complète et explicite est possible, et c'est aussi le cas qui gouverne tous les phénomènes oscillants de la physique.

Définitions

Solutions de l'équation homogène : théorème admis

Le cas des coefficients réels : solutions réelles

En physique, $a$, $b$ et $f$ sont réels, et l'on cherche des solutions réelles. Le théorème précédent se traduit alors ainsi, en fonction du discriminant $\mathrm{\Delta }=a^2-4b$ de l'équation caractéristique.

Démonstration. Le point $({\displaystyle \frac{\lambda }{A}},{\displaystyle \frac{\mu }{A}})$ vérifie ${\left({\displaystyle \frac{\lambda }{A}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mu }{A}}\right)}^2=1$ : c'est un point du cercle trigonométrique, il possède donc un unique argument $\phi$ dans $]-\pi ,\pi ]$ (partie A et chapitre des nombres complexes). La formule d'addition donne alors

$$A\cos (\beta x-\phi )=A(\cos \beta x\cos \phi +\sin \beta x\sin \phi )=A({\displaystyle \frac{\lambda }{A}}\cos \beta x+{\displaystyle \frac{\mu }{A}}\sin \beta x)=\lambda \cos \beta x+\mu \sin \beta x\mathrm{.}$$

Il ne reste qu'à multiplier par $e^{\alpha x}$. $\mathrm{\square }$

Structure des solutions et superposition

Démonstration. Double inclusion.

$(\supset )$ Si $y_h$ est solution de $(E_0)$, alors $y_p+y_h$ est deux fois dérivable et

$$(y_p+y_h{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(y_p+y_h{)}^{\mathrm{\prime }}+b(y_p+y_h)=\underset{=f}{\underbrace{(y_p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_p^{\mathrm{\prime }}+b{y}_p)}}+\underset{=0}{\underbrace{(y_h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_h^{\mathrm{\prime }}+b{y}_h)}}=f\mathrm{.}$$

$(\subset )$ Si $y$ est solution de $(E)$, posons $y_h=y-y_p$. Alors $y_h$ est deux fois dérivable et

$$y_h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_h^{\mathrm{\prime }}+b{y}_h=(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by)-(y_p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_p^{\mathrm{\prime }}+b{y}_p)=f-f=0,$$

donc $y_h$ est solution de $(E_0)$ et $y=y_p+y_h$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Calcul immédiat, identique à celui de l'ordre $1$ : les deux membres de l'équation dépendent de $y$ « au premier degré », donc la combinaison passe à travers. $\mathrm{\square }$

Solution particulière : second membre polynomial

Le programme limite les seconds membres exigibles à trois familles : les polynômes ($12.5$), les exponentielles ($12.6$) et les fonctions $B\cos (\omega x)$ et $B\sin (\omega x)$ ($12.7$). On les traite dans l'ordre.

Solution particulière : second membre exponentiel $A{e}^{\lambda x}$

C'est le cas le plus important, et il se démontre entièrement.

Démonstration. L'idée est de poser $y(x)=h(x)e^{\lambda x}$, où $h$ est une fonction deux fois dérivable inconnue. Toute fonction deux fois dérivable s'écrit ainsi, de manière unique, en prenant $h(x)=y(x)e^{-\lambda x}$. On calcule

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(h^{\mathrm{\prime }}(x)+\lambda h(x))e^{\lambda x},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+2\lambda h^{\mathrm{\prime }}(x)+{\lambda }^{2}h(x))e^{\lambda x},$$

puis, en regroupant,

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}+({\lambda }^2+a\lambda +b\left)h\right)e^{\lambda x}\mathrm{.}$$

Comme l'exponentielle ne s'annule pas, $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si

$$(\star )h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}+({\lambda }^2+a\lambda +b)h=A\mathrm{.}$$

Cas 1 : ${\lambda }^2+a\lambda +b\mathrm{\ne }0$. La fonction constante $h={\displaystyle \frac{A}{{\lambda }^2+a\lambda +b}}$ vérifie $(\star )$, puisque $h^{\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=0$. D'où la solution annoncée.

Cas 2 : $\lambda$ racine simple. Alors ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ et $(\star )$ devient $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}=A$. De plus $2\lambda +a\mathrm{\ne }0$ : en effet, si $r^{\mathrm{\prime }}$ désigne l'autre racine, la somme des racines vaut $\lambda +r^{\mathrm{\prime }}=-a$, donc $2\lambda +a=\lambda -r^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$ puisque la racine est simple. La fonction $h$ définie par $h(x)={\displaystyle \frac{A}{2\lambda +a}}x$ a pour dérivée la constante ${\displaystyle \frac{A}{2\lambda +a}}$ et une dérivée seconde nulle : elle vérifie $(\star )$.

Cas 3 : $\lambda$ racine double. Alors ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ et, la somme des racines valant $2\lambda =-a$, on a aussi $2\lambda +a=0$. L'équation $(\star )$ se réduit à $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=A$, dont $h(x)={\displaystyle \frac{A}{2}}{x}^2$ est solution. $\mathrm{\square }$

Solution particulière : seconds membres $B\cos (\omega x)$ et $B\sin (\omega x)$

Ici $a$ et $b$ sont réels, et $(B,\omega )\in {\mathbb{R}}^2$. On ne cherche pas directement : on passe aux complexes, ce qui ramène au cas exponentiel précédent.

Démonstration. Écrivons $z=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}(z)$ et $v=\mathrm{Im}(z)$, fonctions réelles deux fois dérivables (partie A). Comme $a$ et $b$ sont réels,

$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{z}^{\mathrm{\prime }}+bz=(u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{u}^{\mathrm{\prime }}+bu)+i(v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{v}^{\mathrm{\prime }}+bv),$$

et cette écriture est la décomposition en parties réelle et imaginaire, puisque $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{u}^{\mathrm{\prime }}+bu$ et $v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{v}^{\mathrm{\prime }}+bv$ sont réelles. L'égalité avec $g=\mathrm{Re}(g)+i\mathrm{Im}(g)$ donne le résultat par identification. $\mathrm{\square }$

Problème de Cauchy à l'ordre $2$

Démonstration (dans le cas complexe, en admettant l'existence d'une solution particulière $y_p$, fournie par les méthodes des $12.5$ à $12.7$ pour les seconds membres au programme). D'après $12.4$, les solutions de l'équation s'écrivent $y=y_p+y_h$ avec $y_h$ solution de $(E_0)$. Posons

$$c_0=y_0-y_p(x_0)\text{et}{c}_1=y_1-y_p^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mathrm{.}$$

Les conditions initiales équivalent à $y_h(x_0)=c_0$ et $y_h^{\mathrm{\prime }}(x_0)=c_1$. Il s'agit donc de montrer qu'il existe un unique couple $(\lambda ,\mu )$ réalisant ces deux égalités.

Cas de deux racines distinctes $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$. On a $y_h(x)=\lambda e^{r_{1}x}+\mu e^{r_{2}x}$ et $y_h^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda r_1{e}^{r_{1}x}+\mu r_2{e}^{r_{2}x}$. Posons $L=\lambda e^{r_1{x}_0}$ et $M=\mu e^{r_2{x}_0}$ ; le système s'écrit

$$\{\begin{array}{l}L+M=c_0,\\ r_{1}L+r_{2}M=c_1\mathrm{.}\end{array}$$

En retranchant $r_1$ fois la première ligne à la seconde : $(r_2-r_1)M=c_1-r_1{c}_0$, d'où, puisque $r_2\mathrm{\ne }{r}_1$,

$$M={\displaystyle \frac{c_1-r_1{c}_0}{r_2-r_1}},L=c_0-M\mathrm{.}$$

Le couple $(L,M)$ est donc unique, et comme les exponentielles $e^{r_1{x}_0}$ et $e^{r_2{x}_0}$ sont non nulles, le couple $(\lambda ,\mu )=(L{e}^{-r_1{x}_0},M{e}^{-r_2{x}_0})$ l'est aussi.

Cas d'une racine double $r$. On a $y_h(x)=(\lambda x+\mu )e^{rx}$ et $y_h^{\mathrm{\prime }}(x)=(\lambda +r(\lambda x+\mu ))e^{rx}$. En posant $P=\lambda x_0+\mu$, les conditions s'écrivent

$$P{e}^{r{x}_0}=c_0\text{et}(\lambda +rP)e^{r{x}_0}=c_1\mathrm{.}$$

La première donne $P=c_0{e}^{-r{x}_0}$, de façon unique ; en reportant dans la seconde, $\lambda =c_1{e}^{-r{x}_0}-rP=(c_1-r{c}_0)e^{-r{x}_0}$, puis $\mu =P-\lambda x_0$. Là encore, un seul couple convient.

Le même calcul, mené sur la forme réelle $e^{\alpha x}(\lambda \cos \beta x+\mu \sin \beta x)$ du cas $\mathrm{\Delta }<0$, conduit également à un unique couple $(\lambda ,\mu )$. $\mathrm{\square }$

Modélisation : exemples issus des autres sciences

Le programme demande explicitement que le cours sur les équations différentielles soit illustré par des exemples venus des autres disciplines scientifiques. En voici trois, traités mathématiquement mais avec le vocabulaire de la physique.

Le refroidissement de Newton (ordre $1$)

Le modèle. Un corps de température $\theta (t)$ est placé dans un milieu de température constante ${\theta }_e$. La loi de Newton postule que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)=-k(\theta (t)-{\theta }_e),k>0.$$

Le coefficient $k$, homogène à l'inverse d'un temps, dépend du corps et du milieu. Le signe moins traduit le fait qu'un corps plus chaud que le milieu se refroidit.

Résolution. L'équation se met sous forme normalisée :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)+k\theta (t)=k{\theta }_e\mathrm{.}$$

C'est une équation linéaire du premier ordre à coefficient constant, avec un second membre constant, posée sur l'intervalle $[0,+\mathrm{\infty }[$.

• Homogène : ${\theta }^{\mathrm{\prime }}+k\theta =0$ a pour solutions les $t\mapsto \lambda e^{-kt}$.
• Solution particulière : la fonction constante ${\theta }_p={\theta }_e$ convient, car $0+k{\theta }_e=k{\theta }_e$.
• Solution générale : $\theta (t)={\theta }_e+\lambda e^{-kt}$.
• Condition initiale $\theta (0)={\theta }_0$ : ${\theta }_e+\lambda ={\theta }_0$, donc $\lambda ={\theta }_0-{\theta }_e$.

$$\boxed{{\displaystyle \theta (t)={\theta }_e+({\theta }_0-{\theta }_e)e^{-kt}}}$$

Vérification : ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)=-k({\theta }_0-{\theta }_e)e^{-kt}=-k(\theta (t)-{\theta }_e)$, et $\theta (0)={\theta }_0$.

Constante de temps. On pose $\tau ={\displaystyle \frac{1}{k}}$, la constante de temps du système. Elle s'exprime en unités de temps, et

$$\theta (\tau )={\theta }_e+({\theta }_0-{\theta }_e)e^{-1}\approx {\theta }_e+\mathrm{0,37}({\theta }_0-{\theta }_e):$$

au bout d'une constante de temps, environ $63\mathrm{\%}$ de l'écart initial a été comblé. Au bout de $5\tau$, il en reste moins de $1\mathrm{\%}$ : c'est le critère usuel de « fin du régime transitoire ». Quand $t$ devient grand, $\theta (t)$ tend vers ${\theta }_e$ : le corps se met à la température du milieu, ce qui était attendu.

La charge d'un circuit RC (ordre $1$)

Le modèle. Un générateur de tension continue $E$, une résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ sont montés en série. On note $u(t)$ la tension aux bornes du condensateur et $i(t)$ l'intensité du courant. Deux lois suffisent :

• la loi des mailles : $E=Ri(t)+u(t)$ ;
• la relation du condensateur : $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

En substituant la seconde dans la première, on obtient l'équation différentielle

$$RC{u}^{\mathrm{\prime }}(t)+u(t)=E,\text{soit}{u}^{\mathrm{\prime }}(t)+{\displaystyle \frac{1}{RC}}u(t)={\displaystyle \frac{E}{RC}}\mathrm{.}$$

Résolution. On pose $\tau =RC$, la constante de temps du circuit (produit d'une résistance par une capacité, homogène à un temps).

• Homogène : solutions $t\mapsto \lambda e^{-t\mathrm{/}\tau }$.
• Solution particulière : la constante $u_p=E$ convient.
• Solution générale : $u(t)=E+\lambda e^{-t\mathrm{/}\tau }$.
• Condition initiale : le condensateur étant déchargé à l'instant $0$, $u(0)=0$ donne $\lambda =-E$.

$$\boxed{{\displaystyle u(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau }),\tau =RC}}$$

Vérification : $u^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$, donc $\tau u^{\mathrm{\prime }}(t)+u(t)=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+E-E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }=E$, et $u(0)=0$.

L'intensité s'en déduit : $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{CE}{RC}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$. Elle est maximale à l'instant initial et décroît vers $0$ : le courant cesse quand le condensateur est chargé.

L'oscillateur amorti et le circuit RLC (ordre $2$)

Le modèle mécanique. Une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $\kappa$, soumise à un frottement fluide de coefficient $h>0$, a une position $x(t)$ régie par la loi de Newton :

$$m{x}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-\kappa x(t)-h{x}^{\mathrm{\prime }}(t),$$

soit, en divisant par $m$ et en posant

$${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{\kappa }{m}}}(\text{pulsation propre})\text{et}\sigma ={\displaystyle \frac{h}{2m}}(\text{facteur d’amortissement}),$$

l'équation

$$x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)+2\sigma x^{\mathrm{\prime }}(t)+{\omega }_0^{2}x(t)=0.$$

Le modèle électrique. Un circuit RLC série non alimenté, où $q(t)$ désigne la charge du condensateur, donne $L{q}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+R{q}^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{q}{C}}=0$, c'est-à-dire la même équation avec

$${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}\text{et}\sigma ={\displaystyle \frac{R}{2L}}\mathrm{.}$$

Une seule étude mathématique traite donc les deux situations.

Discussion. L'équation caractéristique est $r^2+2\sigma r+{\omega }_0^2=0$, de discriminant

$$\mathrm{\Delta }=4{\sigma }^2-4{\omega }_0^2=4({\sigma }^2-{\omega }_0^2)\mathrm{.}$$

Son signe est celui de ${\sigma }^2-{\omega }_0^2$ : tout dépend de la comparaison entre l'amortissement $\sigma$ et la pulsation propre ${\omega }_0$. Trois régimes apparaissent.

Régime apériodique ($\sigma >{\omega }_0$, amortissement fort). Deux racines réelles distinctes

$$r_{\pm }=-\sigma \pm \sqrt{{\sigma }^2-{\omega }_0^2},$$

et les solutions sont $x(t)=\lambda e^{r_{+}t}+\mu e^{r_{-}t}$. Ces deux racines sont strictement négatives : $r_{-}$ évidemment, et $r_{+}$ aussi car $\sqrt{{\sigma }^2-{\omega }_0^2}<\sqrt{{\sigma }^2}=\sigma$ dès que ${\omega }_0>0$. La solution tend donc vers $0$ sans osciller : le système revient à l'équilibre en rampant, comme une porte munie d'un ferme-porte trop serré.

Régime critique ($\sigma ={\omega }_0$). Racine double $r=-\sigma$, solutions

$$x(t)=(\lambda t+\mu )e^{-\sigma t}\mathrm{.}$$

Toujours pas d'oscillation, mais c'est le régime qui ramène le plus rapidement le système à l'équilibre : c'est celui que l'on recherche pour un amortisseur de voiture ou une balance.

Régime pseudo-périodique ($\sigma <{\omega }_0$, amortissement faible). Racines complexes conjuguées

$$r=-\sigma \pm i\omega ,\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\sigma }^2},$$

et les solutions réelles s'écrivent

$$x(t)=e^{-\sigma t}(\lambda \cos (\omega t)+\mu \sin (\omega t))=A{e}^{-\sigma t}\cos (\omega t-\phi )\mathrm{.}$$

Le système oscille à la pulsation $\omega$, appelée pseudo-pulsation, à l'intérieur de l'enveloppe $\pm A{e}^{-\sigma t}$ qui décroît vers $0$. La pseudo-période vaut $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$ ; ce n'est pas une vraie période, puisque l'amplitude diminue d'une oscillation à l'autre. Noter que $\omega <{\omega }_0$ : l'amortissement ralentit les oscillations.

Méthodes du chapitre (partie B)