Nombres réels et suites numériques

L'analyse commence ici. Au lycée, une limite se lit sur une courbe ou se calcule à l'aide de règles apprises sans démonstration ; en classe préparatoire, une limite se définit par des inégalités, et surtout on démontre qu'elle existe. Ce chapitre installe les deux étages de cette construction : d'abord les propriétés de l'ensemble $\mathbb{R}$ lui-même, ensuite l'étude des suites, qui sont le premier objet véritablement infini que l'on sache manipuler entièrement à la main.

Tout repose sur un unique énoncé, que nous admettrons : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure. Cette propriété est exactement ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : l'ensemble des rationnels de carré strictement inférieur à $2$ est non vide et majoré, mais il n'admet aucun plus petit majorant rationnel, parce que $\sqrt{2}$ manque. Ajouter la borne supérieure, c'est précisément boucher tous ces trous. Une fois qu'elle est là, tout le reste suit : l'existence de la partie entière, la propriété d'Archimède, la densité de $\mathbb{Q}$ et des irrationnels, le théorème de la limite monotone, les suites adjacentes, les segments emboîtés, le théorème de Bolzano-Weierstrass. Retenez cette généalogie : chaque fois que ce chapitre affirmera qu'une limite existe sans la calculer, c'est la propriété de la borne supérieure qui travaillera en coulisse.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. $A$ désigne une partie de $\mathbb{R}$ ; $\sup A$ et $\inf A$ sont ses bornes supérieure et inférieure, $\max A$ et $\min A$ son plus grand et son plus petit élément lorsqu'ils existent. La partie entière d'un réel $x$ se note $\lfloor x\rfloor$, et jamais $E(x)$ ni $[x]$. La valeur absolue se note $\mid x\mid$, et les inégalités larges $⩽$ et $⩾$. Une suite réelle se note $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, ou $(u_n)$ quand aucune confusion n'est possible ; son terme d'indice $n$ est $u_n$. Une extractrice est une application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante, et $(u_{\phi (n)})$ est la suite extraite associée. La lettre $\mathrm{\ell }$ désigne systématiquement une limite, $\epsilon$ un réel strictement positif arbitrairement petit, $N$ un rang à partir duquel une propriété est vraie. Enfin ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ désigne l'ensemble des réels strictement positifs, et le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

L'ensemble des nombres réels

Rappels sur l'ordre de R

Nous ne construirons pas $\mathbb{R}$ : cette construction n'est pas au programme, et elle n'apprend rien sur la manière de s'en servir. Nous admettons l'existence d'un ensemble $\mathbb{R}$, contenant $\mathbb{Q}$, muni d'une addition, d'une multiplication et d'une relation d'ordre, et nous recensons les propriétés qui serviront.

Toutes les règles de calcul sur les inégalités se déduisent de ces deux compatibilités. Nous les utiliserons ensuite sans les citer.

Démonstration. 2. De $a⩽b$ on tire $a+c⩽b+c$, et de $c⩽d$ on tire $b+c⩽b+d$. La transitivité donne $a+c⩽b+d$.

4. Comme $c⩾0$ et $a⩽b$, on a $ac⩽bc$. Comme $b⩾0$ (car $b⩾a⩾0$) et $c⩽d$, on a $bc⩽bd$. Par transitivité, $ac⩽bd$.

5. Supposons $0<a⩽b$. Les réels $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ sont strictement positifs, car l'inverse d'un réel strictement positif est strictement positif (sinon leur produit, qui vaut $1$, serait négatif ou nul). En multipliant l'inégalité $a⩽b$ par le réel positif $\frac{1}{ab}$, on obtient $\frac{1}{b}⩽\frac{1}{a}$.

6. Si $a⩾0$, alors $a\times a⩾0$ ; si $a⩽0$, alors $-a⩾0$ et $a^2=(-a{)}^2⩾0$. Pour $a,b⩾0$, l'implication $a⩽b⟹a^n⩽b^n$ s'obtient en appliquant $n-1$ fois le point 4. La réciproque s'en déduit par contraposition : si $a>b$, le même argument donne $a^n>b^n$. L'équivalence avec les racines carrées est le même énoncé, appliqué à $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ avec $n=2$. $\mathrm{\square }$

Le petit résultat suivant est employé constamment, notamment pour démontrer une égalité par encadrement.

Démonstration. Supposons par l'absurde $a>0$. Le réel $\epsilon ={\displaystyle \frac{a}{2}}$ est alors strictement positif, donc l'hypothèse s'applique et donne $a⩽{\displaystyle \frac{a}{2}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{a}{2}}⩽0$, donc $a⩽0$ : contradiction. Ainsi $a⩽0$.

Pour la seconde assertion, le réel $a=\mid x-y\mid$ vérifie $a⩽\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, donc $a⩽0$ ; comme une valeur absolue est positive ou nulle, $\mid x-y\mid =0$, donc $x=y$. $\mathrm{\square }$

Valeur absolue et distance

Démonstration. 1. et 2. résultent immédiatement de la définition, en distinguant les cas $x⩾0$ et $x⩽0$.

3. On peut écrire $\mid xy\mid =\sqrt{(xy{)}^2}=\sqrt{x^2{y}^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=\mid x\mid \mid y\mid$, en utilisant que la racine carrée d'un produit de réels positifs est le produit des racines carrées.

4. Supposons $\mid x\mid ⩽r$. D'après le point 2, $x⩽\mid x\mid ⩽r$ et $-x⩽\mid x\mid ⩽r$, donc $-r⩽x⩽r$. Réciproquement, si $-r⩽x⩽r$, alors $x⩽r$ et $-x⩽r$, donc $\max (x,-x)⩽r$, c'est-à-dire $\mid x\mid ⩽r$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les deux réels $\mid a+b\mid$ et $\mid a\mid +\mid b\mid$ sont positifs ou nuls. Comparer deux réels positifs revient à comparer leurs carrés, d'après le point 6 des règles de calcul. Or

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\mid a\mid +\mid b\mid {)}^2-(a+b{)}^2}& {\displaystyle =a^2+2\mid a\mid \mid b\mid +b^2-(a^2+2ab+b^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\mid ab\mid -ab),}\end{array}$$

où l'on a utilisé $\mid a{\mid }^2=a^2$ et $\mid a\mid \mid b\mid =\mid ab\mid$. Comme $ab⩽\mid ab\mid$, cette quantité est positive ou nulle, donc $(a+b{)}^2⩽(\mid a\mid +\mid b\mid {)}^2$, puis $\mid a+b\mid ⩽\mid a\mid +\mid b\mid$.

Le calcul précédent montre de plus que l'égalité a lieu si et seulement si $\mid ab\mid =ab$, c'est-à-dire si et seulement si $ab⩾0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. En écrivant $a=(a-b)+b$ et en appliquant l'inégalité triangulaire,

$$\mid a\mid ⩽\mid a-b\mid +\mid b\mid ,\text{donc}\mid a\mid -\mid b\mid ⩽\mid a-b\mid \mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $a$ et $b$, on obtient de même $\mid b\mid -\mid a\mid ⩽\mid b-a\mid =\mid a-b\mid$. Le réel $\mid \mid a\mid -\mid b\mid \mid$ est égal à $\mid a\mid -\mid b\mid$ ou à $\mid b\mid -\mid a\mid$ : dans les deux cas, il est majoré par $\mid a-b\mid$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. D'après le point 4 de la propriété sur la valeur absolue appliqué au réel $x-a$,

$$\mid x-a\mid ⩽r⟺-r⩽x-a⩽r⟺a-r⩽x⩽a+r,$$

la dernière équivalence s'obtenant en ajoutant $a$ à chaque membre. C'est exactement l'appartenance à $[a-r,a+r]$. Le cas strict est identique. $\mathrm{\square }$

Majorants, minorants, maximum et minimum

Dans toute cette section, $A$ désigne une partie de $\mathbb{R}$.

Démonstration. Supposons $A$ bornée : il existe $m$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ tels que $m⩽a⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $a\in A$. Posons $M=\max (\mid m\mid ,\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid )$, qui est positif ou nul. Pour $a\in A$, on a $a⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽M$ et $-a⩽-m⩽\mid m\mid ⩽M$, donc $\mid a\mid =\max (a,-a)⩽M$.

Réciproquement, si $\mid a\mid ⩽M$ pour tout $a\in A$, alors $-M⩽a⩽M$ pour tout $a\in A$ : $A$ est majorée par $M$ et minorée par $-M$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ deux maximums de $A$. Comme $M^{\mathrm{\prime }}\in A$ et que $M$ majore $A$, on a $M^{\mathrm{\prime }}⩽M$. Comme $M\in A$ et que $M^{\mathrm{\prime }}$ majore $A$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. L'antisymétrie de l'ordre donne $M=M^{\mathrm{\prime }}$. La démonstration pour le minimum est identique. $\mathrm{\square }$

L'exemple b est fondamental : une partie peut être majorée sans avoir de plus grand élément. Le nombre $1$ y joue pourtant un rôle particulier, celui de « plus petit majorant ». C'est cette idée que formalise la section suivante.

Borne supérieure et borne inférieure

Cet énoncé est le seul de tout le chapitre que nous ne démontrerons pas : sa démonstration exigerait une construction de $\mathbb{R}$, hors programme. Il faut en revanche mesurer sa portée.

Démonstration. Soit $A$ une partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$, et soit $m$ un minorant de $A$. L'ensemble $-A$ est non vide (car $A$ l'est), et il est majoré par $-m$ : en effet, pour tout $a\in A$, on a $m⩽a$, donc $-a⩽-m$. La propriété de la borne supérieure s'applique à $-A$ : posons $S=\sup (-A)$. Montrons que $-S$ est la borne inférieure de $A$.

$-S$ minore $A$. Soit $a\in A$. Alors $-a\in -A$, donc $-a⩽S$, donc $-S⩽a$.

$-S$ est le plus grand des minorants. Soit $m^{\mathrm{\prime }}$ un minorant quelconque de $A$. Pour tout $a\in A$, $m^{\mathrm{\prime }}⩽a$, donc $-a⩽-m^{\mathrm{\prime }}$ : ainsi $-m^{\mathrm{\prime }}$ majore $-A$. Comme $S$ est le plus petit des majorants de $-A$, on a $S⩽-m^{\mathrm{\prime }}$, c'est-à-dire $m^{\mathrm{\prime }}⩽-S$.

Donc $-S$ est un minorant de $A$ supérieur ou égal à tout minorant de $A$ : c'est $\inf A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. $(⟹)$ Supposons $M=\sup A$. La condition 1 est vérifiée puisque $\sup A$ est un majorant. Soit $\epsilon >0$. Le réel $M-\epsilon$ est strictement inférieur à $M$ ; comme $M$ est le plus petit des majorants, $M-\epsilon$ n'est pas un majorant de $A$. La négation de « $\mathrm{\forall }a\in A,a⩽M-\epsilon$ » fournit un élément $a\in A$ tel que $a>M-\epsilon$.

$(⟸)$ Supposons les conditions 1 et 2. La condition 1 dit que $M$ est un majorant. Soit $M^{\mathrm{\prime }}$ un majorant de $A$ et supposons par l'absurde $M^{\mathrm{\prime }}<M$. Posons $\epsilon =M-M^{\mathrm{\prime }}>0$ : la condition 2 fournit $a\in A$ tel que $a>M-\epsilon =M^{\mathrm{\prime }}$, ce qui contredit le fait que $M^{\mathrm{\prime }}$ majore $A$. Donc $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout majorant $M^{\mathrm{\prime }}$ : $M$ est le plus petit des majorants, c'est-à-dire $\sup A$.

Le cas de la borne inférieure s'obtient en appliquant ce qui précède à $-A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Posons $M=\max A$. C'est un majorant de $A$. Si $M^{\mathrm{\prime }}$ est un autre majorant, alors, comme $M\in A$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. Donc $M$ est le plus petit des majorants.

2. Si $\sup A\in A$, alors $\sup A$ est un élément de $A$ qui majore $A$ : c'est par définition le maximum de $A$. $\mathrm{\square }$

Partie entière

Le résultat suivant paraît évident ; il ne l'est pas, et sa démonstration est le premier usage vraiment sérieux de la propriété de la borne supérieure.

Démonstration. Supposons par l'absurde que $\mathbb{N}$ soit majoré. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, la propriété de la borne supérieure lui associe un réel $M=\sup \mathbb{N}$. Appliquons la caractérisation par les $\epsilon$ avec $\epsilon =1$ : il existe un entier $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>M-1$. Alors $n+1>M$, et $n+1$ est un entier naturel : $M$ ne majore donc pas $\mathbb{N}$, ce qui contredit sa définition. Ainsi $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, ce qui signifie exactement qu'aucun réel $x$ ne majore $\mathbb{N}$, c'est-à-dire qu'il existe toujours un entier $n>x$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Existence. Soit $x\in \mathbb{R}$ et posons

$$A=\{k\in \mathbb{Z}\mid k⩽x\}\mathrm{.}$$

Cette partie de $\mathbb{R}$ est non vide : d'après la propriété précédente appliquée à $-x$, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>-x$, donc $-n<x$, et l'entier relatif $-n$ appartient à $A$. Elle est majorée par $x$. La propriété de la borne supérieure lui associe donc $s=\sup A$.

Montrons que $A$ admet un plus grand élément. Par la caractérisation par les $\epsilon$ appliquée avec $\epsilon =1$, il existe $k\in A$ tel que $k>s-1$. Si un entier $k^{\mathrm{\prime }}\in A$ vérifiait $k^{\mathrm{\prime }}>k$, alors, $k$ et $k^{\mathrm{\prime }}$ étant des entiers, on aurait $k^{\mathrm{\prime }}⩾k+1>s$, ce qui contredirait le fait que $s$ majore $A$. Donc $k$ majore $A$, et comme $k\in A$, c'est le plus grand élément de $A$.

Par définition de $A$, on a $k⩽x$. Et $k+1$ est un entier strictement plus grand que $k=\max A$, donc $k+1\mathrm{\notin }A$, c'est-à-dire $k+1>x$. Ainsi $k⩽x<k+1$.

Unicité. Soient $k$ et $k^{\mathrm{\prime }}$ deux entiers relatifs tels que $k⩽x<k+1$ et $k^{\mathrm{\prime }}⩽x<k^{\mathrm{\prime }}+1$. De $k⩽x$ et $x<k^{\mathrm{\prime }}+1$ on tire $k<k^{\mathrm{\prime }}+1$, donc $k⩽k^{\mathrm{\prime }}$ puisque ce sont des entiers. En échangeant les rôles, $k^{\mathrm{\prime }}⩽k$. Donc $k=k^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Si $x\in \mathbb{Z}$, l'entier $x$ vérifie $x⩽x<x+1$, donc $\lfloor x\rfloor =x$ par unicité. Réciproquement, si $\lfloor x\rfloor =x$, alors $x$ est un entier puisque $\lfloor x\rfloor$ en est un.

2. Posons $m=\lfloor x\rfloor$, de sorte que $m⩽x<m+1$. En ajoutant $k$, il vient $m+k⩽x+k<(m+k)+1$, et $m+k$ est un entier relatif : par unicité, $\lfloor x+k\rfloor =m+k$.

3. C'est la reformulation directe de l'unicité. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'encadrement de la partie entière appliqué au réel ${10}^{n}x$ donne

$$\lfloor {10}^{n}x\rfloor ⩽{10}^{n}x<\lfloor {10}^{n}x\rfloor +1.$$

En divisant les trois membres par le réel strictement positif ${10}^n$, on obtient $d_n⩽x<d_n+{10}^{-n}$. Enfin $d_n$ est le quotient d'un entier par ${10}^n$ : c'est un décimal. $\mathrm{\square }$

Intervalles et densité

Démonstration. $(⟹)$ Chacune des formes énumérées est manifestement convexe : elle est définie par des inégalités sur $z$ du type $a⩽z$ (ou $a<z$) et $z⩽b$ (ou $z<b$), inégalités qui se transmettent par encadrement. Par exemple pour $I=]a,b]$ : si $x,y\in I$ et $x⩽z⩽y$, alors $a<x⩽z$ et $z⩽y⩽b$, donc $z\in I$.

$(⟸)$ Supposons $I$ convexe. Si $I$ est vide, c'est un intervalle. Supposons donc $I$ non vide et distinguons selon que $I$ est bornée ou non ; pour unifier l'écriture, posons

• $m=\inf I$ si $I$ est minorée, et convenons d'écrire $m=-\mathrm{\infty }$ sinon ;
• $M=\sup I$ si $I$ est majorée, et convenons d'écrire $M=+\mathrm{\infty }$ sinon.

Ces bornes existent bien lorsque $I$ est minorée ou majorée, puisque $I$ est non vide.

Montrons que $]m,M[\subset I$. Soit $z$ un réel tel que $m<z<M$ (avec les conventions ci-dessus). Comme $z>m$, le réel $z$ n'est pas un minorant de $I$ : si $I$ est minorée, cela vient de ce que $m$ est le plus grand des minorants ; si $I$ n'est pas minorée, aucun réel ne la minore. Il existe donc $x\in I$ tel que $x<z$. Symétriquement, comme $z<M$, le réel $z$ ne majore pas $I$, donc il existe $y\in I$ tel que $z<y$. On a alors $x⩽z⩽y$ avec $x,y\in I$, donc $z\in I$ par convexité.

Montrons que $I\subset [m,M]$, avec la convention que cet ensemble est $]-\mathrm{\infty },M]$ si $m=-\mathrm{\infty }$, etc. C'est immédiat : tout élément de $I$ est compris entre un minorant et un majorant de $I$.

Ainsi $]m,M[\subset I\subset [m,M]$. L'ensemble $I$ est donc égal à $]m,M[$ auquel on a éventuellement ajouté $m$, éventuellement ajouté $M$ : c'est exactement l'une des formes de la définition. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $x>0$ et $y\in \mathbb{R}$. Comme $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>{\displaystyle \frac{y}{x}}$. En multipliant par le réel strictement positif $x$, on obtient $nx>y$.

Pour la conséquence, appliquons ce qui précède avec $x=\epsilon$ et $y=1$ : il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\epsilon >1$. Un tel $n$ est non nul (car $0\times \epsilon =0<1$), et en divisant par $n>0$ on obtient $\epsilon >{\displaystyle \frac{1}{n}}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$. Alors $b-a>0$, et la propriété d'Archimède fournit un entier $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que

$${\displaystyle \frac{1}{n}}<b-a\mathrm{.}$$

Posons $p=\lfloor na\rfloor +1$, qui est un entier relatif, puis $r={\displaystyle \frac{p}{n}}\in \mathbb{Q}$. L'encadrement de la partie entière donne $\lfloor na\rfloor ⩽na<\lfloor na\rfloor +1=p$, d'où :

• d'une part $p>na$, donc $r={\displaystyle \frac{p}{n}}>a$ ;
• d'autre part $p=\lfloor na\rfloor +1⩽na+1$, donc

$$r={\displaystyle \frac{p}{n}}⩽a+{\displaystyle \frac{1}{n}}<a+(b-a)=b\mathrm{.}$$

Ainsi $a<r<b$, avec $r$ rationnel. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $a<b$. Alors $a-\sqrt{2}<b-\sqrt{2}$, et la densité de $\mathbb{Q}$ fournit un rationnel $r$ tel que

$$a-\sqrt{2}<r<b-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Posons $c=r+\sqrt{2}$. En ajoutant $\sqrt{2}$ aux trois membres, $a<c<b$.

Reste à voir que $c$ est irrationnel. Si $c$ était rationnel, alors $\sqrt{2}=c-r$ serait la différence de deux rationnels, donc un rationnel, ce qui est faux (l'irrationalité de $\sqrt{2}$ a été établie au chapitre sur les modes de raisonnement). Donc $c\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. $\mathrm{\square }$

Suites réelles : premières définitions

Vocabulaire

Démonstration. C'est la propriété démontrée pour les parties bornées de $\mathbb{R}$, appliquée à l'ensemble $A=\{u_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ des valeurs prises par la suite. Explicitement : si $m⩽u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $n$, le réel $M=\max (\mid m\mid ,\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid )$ convient ; réciproquement, $\mid u_n\mid ⩽M$ équivaut à $-M⩽u_n⩽M$. $\mathrm{\square }$

Limite d'une suite

Démonstration. Supposons par l'absurde $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, et posons

$$\epsilon ={\displaystyle \frac{\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{3}}>0.$$

Par définition de la convergence vers $\mathrm{\ell }$, il existe $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_1$. Par définition de la convergence vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, il existe $N_2$ tel que $\mid u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_2$. Posons $N=\max (N_1,N_2)$ et prenons $n=N$. L'inégalité triangulaire donne alors

$$\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid =\mid (\mathrm{\ell }-u_N)+(u_N-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid ⩽\mid u_N-\mathrm{\ell }\mid +\mid u_N-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽2\epsilon ={\displaystyle \frac{2}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid \mathrm{.}$$

On en tire ${\displaystyle \frac{1}{3}}\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽0$, donc $\mid \mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽0$, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ : c'est la contradiction cherchée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $\mathrm{\ell }$. Appliquons la définition avec la valeur particulière $\epsilon =1$ : il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽1.$$

Pour $n⩾N$, l'inégalité triangulaire donne alors

$$\mid u_n\mid =\mid (u_n-\mathrm{\ell })+\mathrm{\ell }\mid ⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid +\mid \mathrm{\ell }\mid ⩽1+\mid \mathrm{\ell }\mid \mathrm{.}$$

Les termes d'indice $n<N$ sont en nombre fini : posons

$$M=\max (\mid u_0\mid ,\mid u_1\mid ,\dots ,\mid u_{N-1}\mid ,1+\mid \mathrm{\ell }\mid ),$$

qui est bien défini comme maximum d'un ensemble fini non vide de réels. Alors $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ : la suite est bornée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les trois assertions s'écrivent, une fois les définitions développées, avec exactement la même inégalité $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ : ce sont donc la même propriété. Par exemple, dire que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid \to 0$, c'est dire que $\mid \mid u_n-\mathrm{\ell }\mid -0\mid ⩽\epsilon$ à partir d'un certain rang, or ce nombre vaut $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$.

Supposons $u_n\to \mathrm{\ell }$ et soit $\epsilon >0$. À partir d'un certain rang, $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ ; la seconde inégalité triangulaire donne alors

$$\mid \mid u_n\mid -\mid \mathrm{\ell }\mid \mid ⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon ,$$

donc $\mid u_n\mid \to \mid \mathrm{\ell }\mid$. La réciproque est fausse : pour $u_n=(-1{)}^n$, la suite $(\mid u_n\mid )$ est constante égale à $1$ donc converge, alors que $(u_n)$ diverge. Seul le cas $\mathrm{\ell }=0$ fait exception, puisque $\mid u_n\mid \to 0$ équivaut à $u_n\to 0$. $\mathrm{\square }$

Opérations sur les limites

Démonstration. 1. Soit $\epsilon >0$. Il existe $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_1$, et $N_2$ tel que $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_2$. Pour $n⩾\max (N_1,N_2)$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mid (u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid =\mid (u_n-\mathrm{\ell })+(v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mid ⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid +\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

2. La suite $(u_n)$ est convergente donc bornée : il existe $M⩾0$ tel que $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n$. Écrivons

$$u_n{v}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=u_n(v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}(u_n-\mathrm{\ell }),$$

d'où $\mid u_n{v}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽M\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid +\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid \mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$. Soit $\epsilon >0$ et posons $K=M+\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid +1>0$. Il existe un rang $N$ à partir duquel $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{K}}$ et $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{K}}$. Pour $n⩾N$,

$$\mid u_n{v}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽(M+\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ){\displaystyle \frac{\epsilon }{K}}⩽\epsilon \mathrm{.}$$

3. Il suffit de traiter le cas de l'inverse, puis d'appliquer le point 2. Supposons ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$ et appliquons la définition de la limite avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}>0$ : il existe $N_0$ tel que $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}$ pour $n⩾N_0$. La seconde inégalité triangulaire donne alors, pour $n⩾N_0$,

$$\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid -\mid v_n\mid ⩽\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}},\text{donc}\mid v_n\mid ⩾{\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }{2}}>0.$$

En particulier $v_n\mathrm{\ne }0$ pour $n⩾N_0$, et pour ces indices

$$\mid {\displaystyle \frac{1}{v_n}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}}\mid ={\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-v_n\mid }{\mid v_n\mid \mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid }}⩽{\displaystyle \frac{2}{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}{\mid }^2}}\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid \mathrm{.}$$

Soit $\epsilon >0$ : à partir d'un certain rang $N⩾N_0$, on a $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mid {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}{\mid }^2}{2}}\epsilon$, donc $\mid {\displaystyle \frac{1}{v_n}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}}\mid ⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Les résultats correspondants pour les limites infinies se résument dans les tableaux suivants, où $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ désignent des réels. Ils se démontrent tous sur le même modèle, à partir des définitions.

Somme. Limite de $u_n+v_n$ :

Produit. Limite de $u_n{v}_n$, la règle des signes s'appliquant aux infinis :

Inverse. Limite de ${\displaystyle \frac{1}{u_n}}$, où $0^{+}$ signifie que $u_n\to 0$ avec $u_n>0$ à partir d'un certain rang :

Limites et inégalités

Démonstration. Supposons par l'absurde $\mathrm{\ell }>{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ et posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}}{3}}>0$. Il existe un rang $N$ à partir duquel, simultanément, $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$, $\mid v_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽\epsilon$ et $u_n⩽v_n$. Pour un tel $n$ :

$$u_n⩾\mathrm{\ell }-\epsilon \text{et}{v}_n⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon \mathrm{.}$$

Or $(\mathrm{\ell }-\epsilon )-({\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon )=(\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})-2\epsilon =3\epsilon -2\epsilon =\epsilon >0$, donc $\mathrm{\ell }-\epsilon >{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon$, d'où

$$v_n⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}+\epsilon <\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽u_n,$$

c'est-à-dire $v_n<u_n$ : cela contredit $u_n⩽v_n$. Donc $\mathrm{\ell }⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il suffit d'appliquer le théorème précédent en comparant $(u_n)$ à la suite constante égale à $0$, puis aux suites constantes égales à $a$ et à $b$, dont les limites sont $0$, $a$ et $b$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Il existe $N_1$ tel que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$, un rang $N_2$ tel que $\mid w_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour $n⩾N_2$, et un rang $N_3$ à partir duquel l'encadrement $u_n⩽v_n⩽w_n$ est vrai. Posons $N=\max (N_1,N_2,N_3)$ et soit $n⩾N$. Alors

$$\mathrm{\ell }-\epsilon ⩽u_n⩽v_n⩽w_n⩽\mathrm{\ell }+\epsilon ,$$

la première et la dernière inégalité provenant de $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ et $\mid w_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. On en déduit $-\epsilon ⩽v_n-\mathrm{\ell }⩽\epsilon$, c'est-à-dire $\mid v_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$. La suite $(v_n)$ converge donc vers $\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. On a $0⩽\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\alpha }_n$ à partir d'un certain rang, et les deux suites encadrantes tendent vers $0$. Le théorème des gendarmes donne $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid \to 0$, c'est-à-dire $u_n\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Soit $A\in \mathbb{R}$. Comme $u_n\to +\mathrm{\infty }$, il existe $N_1$ tel que $u_n⩾A$ pour $n⩾N_1$ ; soit $N_2$ un rang à partir duquel $u_n⩽v_n$. Pour $n⩾\max (N_1,N_2)$, on a $v_n⩾u_n⩾A$. Donc $v_n\to +\mathrm{\infty }$.

2. Se déduit du point 1 appliqué aux suites $(-v_n)$ et $(-u_n)$, qui vérifient $-v_n⩽-u_n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il existe $M⩾0$ tel que $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n$. Alors

$$0⩽\mid u_n{v}_n\mid =\mid u_n\mid \mid v_n\mid ⩽M\mid v_n\mid \mathrm{.}$$

Comme $v_n\to 0$, on a $\mid v_n\mid \to 0$, donc $M\mid v_n\mid \to 0$ par produit par une constante. Le théorème des gendarmes donne $\mid u_n{v}_n\mid \to 0$, c'est-à-dire $u_n{v}_n\to 0$. $\mathrm{\square }$

Théorèmes d'existence de limites

Les théorèmes de cette partie ont tous le même statut, et c'est ce qui fait leur valeur : ils affirment qu'une limite existe, sans la donner. Ce sont les seuls outils dont nous disposions pour étudier une suite dont on ne sait pas calculer le terme général, et ils descendent tous de la propriété de la borne supérieure.

Théorème de la limite monotone

Démonstration. 1. Supposons $(u_n)$ croissante et majorée. L'ensemble $A$ est non vide (il contient $u_0$) et majoré : la propriété de la borne supérieure lui associe $M=\sup A$. Montrons que $u_n\to M$.

Soit $\epsilon >0$. D'après la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$, le réel $M-\epsilon$ n'est pas un majorant de $A$ : il existe donc un élément de $A$ strictement supérieur à $M-\epsilon$, c'est-à-dire un rang $N$ tel que

$$u_N>M-\epsilon \mathrm{.}$$

Soit maintenant $n⩾N$. La croissance de la suite donne $u_n⩾u_N$, et $M$ majore $A$ donc $u_n⩽M$. On obtient

$$M-\epsilon <u_N⩽u_n⩽M⩽M+\epsilon ,$$

d'où $\mid u_n-M\mid ⩽\epsilon$. La définition de la limite est vérifiée : $u_n\to M=\sup A$.

2. Supposons $(u_n)$ croissante et non majorée. Soit $B\in \mathbb{R}$. Comme $B$ ne majore pas la suite, il existe un rang $N$ tel que $u_N>B$. Pour tout $n⩾N$, la croissance donne $u_n⩾u_N>B$. Donc $u_n\to +\mathrm{\infty }$.

3. et 4. S'obtiennent en appliquant les points 1 et 2 à la suite $(-u_n)$, qui est croissante, et en utilisant $\inf A=-\sup (-A)$. $\mathrm{\square }$

Suites adjacentes

Démonstration. Posons $w_n=v_n-u_n$.

La suite $(w_n)$ est décroissante et positive. En effet,

$$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)⩽0,$$

puisque le premier terme est négatif ou nul ($(v_n)$ décroît) et le second positif ou nul ($(u_n)$ croît). Supposons maintenant qu'il existe un rang $N$ tel que $w_N<0$. Pour tout $n⩾N$, la décroissance donne $w_n⩽w_N<0$ ; en passant à la limite dans l'inégalité large $w_n⩽w_N$, on obtient $0⩽w_N$, ce qui contredit $w_N<0$. Donc $w_n⩾0$ pour tout $n$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩽v_n\mathrm{.}$$

Convergence. Pour tout $n$, la croissance de $(u_n)$ et la décroissance de $(v_n)$ donnent

$$u_0⩽u_n⩽v_n⩽v_0\mathrm{.}$$

Ainsi $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $\mathrm{\ell }$. De même, $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Par différence des limites,

$${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(v_n-u_n)=0,$$

donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

Encadrement. La suite $(u_n)$ est croissante de limite $\mathrm{\ell }$, donc $\mathrm{\ell }=\sup \{u_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ majore tous les $u_n$ : $u_n⩽\mathrm{\ell }$. Symétriquement, $\mathrm{\ell }$ minore tous les $v_n$. D'où $u_n⩽\mathrm{\ell }⩽v_n$ pour tout $n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'inclusion $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$ signifie exactement

$$a_n⩽a_{n+1}⩽b_{n+1}⩽b_n\mathrm{.}$$

Ainsi $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et par hypothèse $b_n-a_n\to 0$ : les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et le théorème précédent donne

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},a_n⩽\mathrm{\ell }⩽b_n,$$

c'est-à-dire $\mathrm{\ell }\in [a_n,b_n]$ pour tout $n$ : le réel $\mathrm{\ell }$ appartient à l'intersection.

Réciproquement, soit $x$ un élément de l'intersection : pour tout $n$, $a_n⩽x⩽b_n$. En passant à la limite dans ces deux inégalités larges, on obtient $\mathrm{\ell }⩽x$ et $x⩽\mathrm{\ell }$, donc $x=\mathrm{\ell }$. L'intersection est donc réduite à $\{\mathrm{\ell }\}$. $\mathrm{\square }$

Suites extraites

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Notons $P(n)$ l'assertion « $\phi (n)⩾n$ ».

Initialisation. $\phi (0)$ est un entier naturel, donc $\phi (0)⩾0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$, supposons $\phi (n)⩾n$. Comme $\phi$ est strictement croissante, $\phi (n+1)>\phi (n)⩾n$. Or $\phi (n+1)$ et $n$ sont des entiers, donc $\phi (n+1)>n$ entraîne $\phi (n+1)⩾n+1$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $\phi (n)⩾n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. L'application $\phi \circ \psi$ va de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. Soient $m<n$ des entiers. Comme $\psi$ est strictement croissante, $\psi (m)<\psi (n)$ ; comme $\phi$ est strictement croissante, $\phi (\psi (m))<\phi (\psi (n))$. Donc $\phi \circ \psi$ est strictement croissante. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $\phi$ une extractrice et $\epsilon >0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Soit $n⩾N$. D'après la propriété précédente, $\phi (n)⩾n⩾N$, donc l'inégalité ci-dessus s'applique à l'indice $\phi (n)$ :

$$\mid u_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Le même rang $N$ convient donc pour la suite extraite : $u_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$. La démonstration est identique pour une limite infinie, en remplaçant l'inégalité par $u_n⩾A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Il existe $N_1\in \mathbb{N}$ tel que $\mid u_{2p}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $p⩾N_1$, et $N_2\in \mathbb{N}$ tel que $\mid u_{2p+1}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$ pour tout $p⩾N_2$. Posons

$$N=\max (2N_1,2N_2+1),$$

et soit $n⩾N$. Deux cas se présentent, et ils couvrent toutes les possibilités.

Cas 1 : $n$ est pair, disons $n=2p$. Alors $2p⩾2N_1$, donc $p⩾N_1$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid =\mid u_{2p}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Cas 2 : $n$ est impair, disons $n=2p+1$. Alors $2p+1⩾2N_2+1$, donc $p⩾N_2$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid =\mid u_{2p+1}-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$.

Dans les deux cas $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$, donc $u_n\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Démonstration. Soit $(u_n)$ une suite bornée : il existe deux réels $a_0⩽b_0$ tels que $u_n\in [a_0,b_0]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Nous construisons par dichotomie une suite de segments emboîtés contenant une infinité de termes de la suite.

Construction des segments. Construisons par récurrence une suite de segments $[a_k,b_k]$ telle que, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

• $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset [a_k,b_k]$ ;
• $b_k-a_k={\displaystyle \frac{b_0-a_0}{2^k}}$ ;
• l'ensemble $E_k=\{n\in \mathbb{N}\mid u_n\in [a_k,b_k]\}$ est infini.

Pour $k=0$, on a $E_0=\mathbb{N}$, qui est infini, et les deux autres conditions sont trivialement vérifiées. Supposons $[a_k,b_k]$ construit, avec $E_k$ infini, et posons $c={\displaystyle \frac{a_k+b_k}{2}}$. Tout indice $n$ de $E_k$ vérifie $u_n\in [a_k,c]$ ou $u_n\in [c,b_k]$, donc

$$E_k\subset \{n\mid u_n\in [a_k,c]\}\cup \{n\mid u_n\in [c,b_k]\}\mathrm{.}$$

Si ces deux ensembles étaient finis, leur réunion le serait, et $E_k$ aussi : c'est exclu. L'un au moins est donc infini ; choisissons $[a_{k+1},b_{k+1}]$ égal à celle des deux moitiés dont l'ensemble d'indices est infini (par exemple la moitié gauche si les deux conviennent). Les trois conditions sont satisfaites, la longueur ayant été divisée par $2$.

Construction de l'extractrice. Définissons $\phi$ par récurrence. Posons $\phi (0)=0$, qui appartient à $E_0$. Supposons $\phi (k)$ construit avec $\phi (k)\in E_k$. L'ensemble $E_{k+1}$ étant infini, il contient des entiers arbitrairement grands, donc au moins un entier strictement supérieur à $\phi (k)$ ; notons $\phi (k+1)$ le plus petit d'entre eux. Par construction, $\phi$ est strictement croissante, c'est une extractrice, et

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},u_{\phi (k)}\in [a_k,b_k]\mathrm{.}$$

Conclusion. Les suites $(a_k)$ et $(b_k)$ sont adjacentes : $(a_k)$ est croissante et $(b_k)$ décroissante d'après l'emboîtement, et

$$b_k-a_k={\displaystyle \frac{b_0-a_0}{2^k}}\to 0.$$

En effet, une récurrence immédiate donne $2^k⩾k+1$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, donc $0<{\displaystyle \frac{1}{2^k}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$, et le théorème des gendarmes conclut. Les deux suites convergent donc vers une même limite $\mathrm{\ell }$. Comme

$$a_k⩽u_{\phi (k)}⩽b_k$$

pour tout $k$, le théorème des gendarmes donne $u_{\phi (k)}\to \mathrm{\ell }$. La suite extraite $\left(u_{\phi (k)}\right)$ converge : le théorème est démontré. $\mathrm{\square }$

Caractérisations séquentielles

Les suites permettent de reformuler les notions de la première partie. Ces caractérisations sont souvent la façon la plus rapide de mener un raisonnement.

Démonstration. $(⟹)$ Supposons $M=\sup A$. La condition 1 est acquise. Pour la condition 2, soit $n\in \mathbb{N}$ : en appliquant la caractérisation par les $\epsilon$ avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{n+1}}>0$, il existe un élément $a_n\in A$ tel que

$$M-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}<a_n⩽M\mathrm{.}$$

La suite $(a_n)$ ainsi construite est à valeurs dans $A$, et les deux suites encadrantes convergent vers $M$ : le théorème des gendarmes donne $a_n\to M$.

$(⟸)$ Supposons les conditions 1 et 2, et soit $M^{\mathrm{\prime }}$ un majorant quelconque de $A$. Pour tout $n$, $a_n\in A$ donc $a_n⩽M^{\mathrm{\prime }}$. En passant à la limite dans cette inégalité large, $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. Ainsi $M$ est un majorant plus petit que tout autre majorant : $M=\sup A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. $(⟹)$ Supposons $A$ dense et soit $x\in \mathbb{R}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'intervalle $]x-{\displaystyle \frac{1}{n+1}},x+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}[$ est un intervalle ouvert non vide, donc il contient un élément $a_n$ de $A$. On a alors

$$\mid a_n-x\mid <{\displaystyle \frac{1}{n+1}},$$

et comme ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0$, le théorème des gendarmes donne $a_n\to x$. La suite $(a_n)$ est bien une suite d'éléments de $A$.

$(⟸)$ Supposons que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de $A$, et soient $a<b$ deux réels. Posons $x={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ et $\epsilon ={\displaystyle \frac{b-a}{2}}>0$, de sorte que $]x-\epsilon ,x+\epsilon [=]a,b[$. Soit $(a_n)$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $x$ : à partir d'un certain rang, $\mid a_n-x\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}<\epsilon$, donc $a_n\in ]a,b[$. L'intervalle $]a,b[$ contient donc un élément de $A$. $\mathrm{\square }$

Suites complexes

Démonstration. Rappelons que pour tout nombre complexe $w=x+iy$ avec $x,y$ réels, on a

$$\mid x\mid ⩽\mid w\mid ,\mid y\mid ⩽\mid w\mid ,\mid w\mid ⩽\mid x\mid +\mid y\mid \mathrm{.}$$

Les deux premières inégalités viennent de $\mid w\mid =\sqrt{x^2+y^2}⩾\sqrt{x^2}=\mid x\mid$ ; la troisième de

$$\mid w\mid =\sqrt{x^2+y^2}⩽\sqrt{x^2+2\mid x\mid \mid y\mid +y^2}=\sqrt{(\mid x\mid +\mid y\mid {)}^2}=\mid x\mid +\mid y\mid \mathrm{.}$$

Appliquons-les à $w=z_n-z$, dont la partie réelle est $\mathrm{R}\mathrm{e}(z_n)-\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$ et la partie imaginaire $\mathrm{I}\mathrm{m}(z_n)-\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$.

$(⟹)$ Si $z_n\to z$, alors, pour $\epsilon >0$ donné, on a $\mid z_n-z\mid ⩽\epsilon$ à partir d'un certain rang, donc

$$\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(z_n)-\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\mid ⩽\mid z_n-z\mid ⩽\epsilon ,$$

et de même pour la partie imaginaire. Les deux suites réelles convergent.

$(⟸)$ Réciproquement, supposons les deux convergences réelles et soit $\epsilon >0$. À partir d'un certain rang, on a simultanément $\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(z_n)-\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ et $\mid \mathrm{I}\mathrm{m}(z_n)-\mathrm{I}\mathrm{m}(z)\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, donc

$$\mid z_n-z\mid ⩽\mid \mathrm{R}\mathrm{e}(z_n)-\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\mid +\mid \mathrm{I}\mathrm{m}(z_n)-\mathrm{I}\mathrm{m}(z)\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

La suite complexe $(z_n)$ converge donc vers $z$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(z_n)$ une suite complexe bornée, et posons $x_n=\mathrm{R}\mathrm{e}(z_n)$, $y_n=\mathrm{I}\mathrm{m}(z_n)$. Les suites réelles $(x_n)$ et $(y_n)$ sont bornées, puisque $\mid x_n\mid ⩽\mid z_n\mid$ et $\mid y_n\mid ⩽\mid z_n\mid$.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass réel appliqué à $(x_n)$ fournit une extractrice $\phi$ et un réel $x$ tels que $x_{\phi (n)}\to x$.

La suite réelle $\left(y_{\phi (n)}\right)$ est encore bornée : le théorème de Bolzano-Weierstrass réel fournit une seconde extractrice $\psi$ et un réel $y$ tels que $y_{\phi (\psi (n))}\to y$.

L'application $\phi \circ \psi$ est une extractrice. De plus $\left(x_{\phi (\psi (n))}\right)$ est extraite de $\left(x_{\phi (n)}\right)$, qui converge vers $x$ : elle converge donc aussi vers $x$. Les parties réelle et imaginaire de la suite extraite $\left(z_{\phi (\psi (n))}\right)$ convergent respectivement vers $x$ et $y$, donc cette suite extraite converge vers le complexe $x+iy$. $\mathrm{\square }$

Suites classiques

Suites arithmétiques et géométriques

Démonstration. Les expressions du terme général s'obtiennent par récurrence immédiate. Pour la somme arithmétique,

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=\sum _{k=0}^n(u_0+kr)=(n+1)u_0+r\sum _{k=0}^{n}k=(n+1)u_0+r{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}=(n+1){\displaystyle \frac{2u_0+nr}{2}},$$

et $2u_0+nr=u_0+(u_0+nr)=u_0+u_n$. Pour la somme géométrique avec $q\mathrm{\ne }1$, notons $S={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k}$ : dans la différence $S-qS$, tous les termes se simplifient deux à deux sauf le premier et le dernier, ce qui donne $S-qS=1-q^{n+1}$, d'où $S={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$ ; il reste à multiplier par $v_0$. $\mathrm{\square }$

Pour étudier les limites des suites géométriques, il nous faut une inégalité célèbre.

Démonstration. Par récurrence sur $n$, à $a⩾-1$ fixé. Notons $P(n)$ l'assertion « $(1+a{)}^n⩾1+na$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, les deux membres valent $1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$, supposons $(1+a{)}^n⩾1+na$. Comme $a⩾-1$, le réel $1+a$ est positif ou nul, on peut donc multiplier l'inégalité de récurrence par $1+a$ sans en changer le sens :

$$(1+a{)}^{n+1}⩾(1+na)(1+a)=1+a+na+n{a}^2=1+(n+1)a+n{a}^2\mathrm{.}$$

Comme $n{a}^2⩾0$, on obtient $(1+a{)}^{n+1}⩾1+(n+1)a$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, l'inégalité vaut pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Écrivons $q=1+a$ avec $a=q-1>0$. L'inégalité de Bernoulli donne

$$q^n=(1+a{)}^n⩾1+na\mathrm{.}$$

Or $1+na\to +\mathrm{\infty }$ puisque $a>0$ (pour $A\in \mathbb{R}$, il suffit de prendre $n>\frac{A-1}{a}$, ce que permet la propriété d'Archimède). Le théorème de minoration donne $q^n\to +\mathrm{\infty }$.

2. La suite est constante égale à $1$.

3. Si $q=0$, la suite est nulle à partir du rang $1$. Sinon, posons $Q={\displaystyle \frac{1}{\mid q\mid }}>1$. D'après le point 1, $Q^n\to +\mathrm{\infty }$, donc

$$\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n={\displaystyle \frac{1}{Q^n}}\to 0$$

par passage à l'inverse. Comme $\mid q^n\mid \to 0$, on a $q^n\to 0$.

4. Si $q=-1$, la suite vaut alternativement $1$ et $-1$ : elle diverge, comme on l'a vu. Si $q<-1$, alors $\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n\to +\mathrm{\infty }$ d'après le point 1, donc la suite $(q^n)$ n'est pas bornée : elle ne converge pas. Elle ne tend pas non plus vers $+\mathrm{\infty }$, car ses termes d'indice impair sont négatifs, ni vers $-\mathrm{\infty }$, car ses termes d'indice pair sont positifs. $\mathrm{\square }$

Suites arithmético-géométriques

Récurrences linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

Démonstration. Traitons en détail le cas $\mathrm{\Delta }>0$ ; les deux autres suivent exactement le même plan.

Étape 1 : ces suites sont solutions. Soient $\lambda ,\mu$ deux réels et $w_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$. Comme $r_1$ et $r_2$ sont racines de l'équation caractéristique, on a $r_i^2=a{r}_i+b$ pour $i\in \{1,2\}$, donc

$$a{w}_{n+1}+b{w}_n=\lambda (a{r}_1+b)r_1^n+\mu (a{r}_2+b)r_2^n=\lambda r_1^2{r}_1^n+\mu r_2^2{r}_2^n=w_{n+2}\mathrm{.}$$

La suite $(w_n)$ vérifie bien la récurrence.

Étape 2 : les constantes existent et sont uniques. Soit $(u_n)$ une solution. Cherchons $\lambda ,\mu$ tels que $w_0=u_0$ et $w_1=u_1$, c'est-à-dire

$$\{\begin{array}{l}\lambda +\mu =u_0,\\ \lambda r_1+\mu r_2=u_1\mathrm{.}\end{array}$$

En substituant $\lambda =u_0-\mu$ dans la seconde équation, il vient $\mu (r_2-r_1)=u_1-r_1{u}_0$, et comme $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$ :

$$\mu ={\displaystyle \frac{u_1-r_1{u}_0}{r_2-r_1}},\lambda =u_0-\mu \mathrm{.}$$

Le couple existe et il est unique.

Étape 3 : identification par récurrence double. Les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ vérifient la même relation de récurrence d'ordre $2$ et coïncident aux rangs $0$ et $1$. Notons $P(n)$ l'assertion « $u_n=w_n$ ». $P(0)$ et $P(1)$ sont vraies. Si $P(n)$ et $P(n+1)$ sont vraies, alors

$$u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n=a{w}_{n+1}+b{w}_n=w_{n+2},$$

donc $P(n+2)$ est vraie. Par récurrence double, $u_n=w_n$ pour tout $n$.

Cas $\mathrm{\Delta }=0$. La racine double vaut $r={\displaystyle \frac{a}{2}}$, et elle est non nulle : la relation $r^2-ar-b=0$ donne $b=r^2-ar$, donc $r=0$ entraînerait $b=0$, ce qui est exclu. Vérifions l'étape 1 pour $w_n=(\lambda +\mu n)r^n$. En utilisant $b=r^2-ar$ et $a=2r$ :

$$a{w}_{n+1}+b{w}_n=r^n\left[\lambda \right(ar+b)+\mu (ar(n+1)+bn\left)\right]=r^n[\lambda r^2+\mu (ar+r^{2}n\left)\right]=r^n[\lambda r^2+\mu (n+2)r^2],$$

la dernière égalité venant de $ar=2r^2$. On reconnaît $w_{n+2}=(\lambda +\mu (n+2))r^{n+2}$. L'étape 2 s'écrit $\lambda =u_0$ et $(\lambda +\mu )r=u_1$, d'où $\mu ={\displaystyle \frac{u_1}{r}}-u_0$, bien défini puisque $r\mathrm{\ne }0$. L'étape 3 est inchangée.

Cas $\mathrm{\Delta }<0$. Les racines sont $r_1=\rho e^{i\theta }$ et $r_2=\overline{r_1}$, avec $\rho >0$ et $\theta \in ]0,\pi [$ car les racines ne sont pas réelles. Le calcul de l'étape 1 se fait à l'identique dans $\mathbb{C}$ pour les suites $\left(r_1^n\right)$ et $\left(r_2^n\right)$, donc aussi pour leurs combinaisons

$${\displaystyle \frac{r_1^n+r_2^n}{2}}={\rho }^n\cos (n\theta )\text{et}{\displaystyle \frac{r_1^n-r_2^n}{2i}}={\rho }^n\sin (n\theta ),$$

d'après la formule de Moivre. L'étape 2 donne $\lambda =u_0$ puis $\rho (\lambda \cos \theta +\mu \sin \theta )=u_1$, équation qui détermine $\mu$ de façon unique car $\sin \theta \mathrm{\ne }0$. L'étape 3 est inchangée. $\mathrm{\square }$

Suites définies par une relation de récurrence

Ce qu'il faut retenir

Ce chapitre est long, mais son architecture est simple : un axiome, la propriété de la borne supérieure, et une cascade de conséquences. Si vous ne deviez retenir qu'une chose, ce serait celle-là. La partie entière existe grâce à elle, la propriété d'Archimède en découle, la densité de $\mathbb{Q}$ s'en déduit, le théorème de la limite monotone en est la traduction pour les suites, les suites adjacentes et les segments emboîtés en découlent, et Bolzano-Weierstrass s'obtient par dichotomie à partir des segments emboîtés.

Quel théorème pour quelle situation.

• On connaît le terme général et on veut la limite : opérations sur les limites, après avoir levé la forme indéterminée par factorisation du terme dominant ou par quantité conjuguée.
• On ne sait pas calculer la limite, mais on sait encadrer : théorème des gendarmes si l'encadrement se resserre vers une même valeur, théorème de minoration si l'on veut $+\mathrm{\infty }$.
• On ne sait rien calculer, mais la suite est monotone : chercher un majorant (ou un minorant) et invoquer le théorème de la limite monotone. C'est le réflexe numéro un pour une suite définie par récurrence.
• On dispose de deux suites qui se rapprochent l'une de l'autre en sens contraires : suites adjacentes, qui donnent en prime un encadrement de la limite.
• On veut prouver qu'une suite diverge : exhiber deux suites extraites de limites différentes (en pratique, les indices pairs et impairs), ou montrer qu'elle n'est pas bornée.
• La suite est seulement bornée et l'on a besoin d'une valeur d'adhérence : Bolzano-Weierstrass.
• La suite est complexe : séparer partie réelle et partie imaginaire, et ne jamais écrire d'inégalité entre complexes.

Les erreurs classiques, à connaître pour ne pas les commettre.

1. Passer à la limite dans une inégalité stricte. De $u_n<v_n$ on ne tire que $\mathrm{\ell }⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Les inégalités strictes deviennent larges.
2. Croire qu'une suite bornée converge. Elle admet une valeur d'adhérence (Bolzano-Weierstrass), ce qui est bien plus faible. Contre-exemple permanent : $((-1{)}^n)$.
3. Croire que $u_{n+1}-u_n\to 0$ entraîne la convergence. C'est faux : la suite $u_n=\sqrt{n}$ vérifie $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\to 0$ et pourtant $u_n\to +\mathrm{\infty }$.
4. Oublier de vérifier qu'un dénominateur ne s'annule pas, en particulier dans une suite définie par récurrence : c'est l'étape de stabilité qui le garantit.
5. Écrire $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$ avant d'avoir démontré la convergence. Le point fixe donne les candidats, jamais l'existence de la limite. Et on ne justifie pas ce passage par la continuité de $f$ : uniquement par les opérations sur les limites.
6. Confondre borne supérieure et maximum. $\sup [0,1[=1$ alors que $\max [0,1[$ n'existe pas. Une borne supérieure n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.
7. Sortir un $M$ qui dépend de $n$ dans une majoration, ou un rang $N$ qui ne dépend pas de $\epsilon$. L'ordre des quantificateurs se lit de gauche à droite, et chaque objet ne dépend que de ceux qui le précèdent.

Les réflexes de rédaction. Pour montrer qu'une suite converge vers $\mathrm{\ell }$ par la définition, commencer par « Soit $\epsilon >0$ », majorer $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$ par une quantité simple, puis exhiber le rang $N$. Pour montrer qu'un réel est une borne supérieure, séparer les deux temps (majorant, puis plus petit majorant). Pour étudier une suite récurrente, suivre l'ordre stabilité, monotonie, convergence, identification. Et dans tous les cas, écrire les quantificateurs dans le bon ordre : c'est là que se joue la moitié des points.