Séries numériques et vectorielles

En première année, une série était une somme infinie de nombres réels ou complexes, et la question posée était binaire : converge-t-elle, oui ou non ? Ce chapitre reprend l'objet à la base et l'élargit dans deux directions.

La première extension est vectorielle. On additionne désormais des éléments d'un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie : des vecteurs de ${\mathbb{R}}^p$, des matrices, des endomorphismes. Rien de la théorie ne s'effondre, parce qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes et que tout se lit coordonnée par coordonnée dans une base. Le bénéfice est immédiat et spectaculaire : la série $\sum A^k$ donne un inverse de $I_p-A$, et la série $\sum \frac{A^k}{k!}$ donne un sens à $\exp (A)$, objet dont vivra tout le chapitre sur les équations différentielles linéaires.

La seconde extension est asymptotique, et c'est celle qui fait la difficulté des concours. Savoir qu'une série converge ne suffit plus : on veut un ordre de grandeur du reste ${\sum }_{k>n}{u}_k$ quand elle converge, et de la somme partielle ${\sum }_{k⩽n}{u}_k$ quand elle diverge. Trois outils nouveaux servent à cela : la comparaison série-intégrale, qui traduit une somme discrète en une intégrale calculable ; la sommation des relations de comparaison, qui autorise à intégrer un $\mathrm{o}$, un $\mathcal{O}$ ou un équivalent terme à terme ; et le théorème de Cesàro, qui transforme une information sur les accroissements d'une suite en une information sur la suite elle-même. C'est ainsi que l'on démontre proprement $H_n=\ln n+\gamma +\mathrm{o}(1)$, l'un des résultats les plus utilisés de toute l'analyse de prépa.

Les notations sont fixées une fois pour toutes. $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie, dont la norme est notée $\parallel \cdot \parallel$. Pour une suite $(u_n{)}_{n⩾n_0}$ d'éléments de $E$, on note $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$ la somme partielle d'ordre $n$, $S={\sum }_{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ la somme de la série lorsqu'elle converge, et $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ son reste d'ordre $n$. On utilise librement les acquis de première année et des chapitres précédents : équivalence des normes en dimension finie, développements limités usuels, intégration sur un segment, réduction des endomorphismes.

Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Définitions

Ces définitions sont mot pour mot celles de première année : seule change la nature des objets additionnés. Deux remarques de vocabulaire méritent pourtant d'être martelées, parce que les copies les négligent systématiquement.

Première remarque : la série et la somme sont deux objets différents. Le symbole $\sum u_n$ désigne une série, c'est-à-dire un objet dont on peut demander la nature ; il a un sens même si la série diverge. Le symbole ${\sum }_{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ désigne un vecteur de $E$ (un nombre si $E=\mathbb{K}$), et il n'a de sens qu'après avoir établi la convergence. Écrire « posons $S={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ » avant d'avoir prouvé la convergence est une faute de raisonnement, pas une maladresse de rédaction : on manipule alors un objet qui peut ne pas exister.

Seconde remarque : la nature ne dépend pas des premiers termes, la somme si. Modifier un nombre fini de termes d'une suite décale toutes les sommes partielles d'une constante à partir d'un certain rang, ce qui ne change pas le fait qu'elles convergent ou non. En revanche, cela change la valeur de la somme. C'est pourquoi il est légitime de dire « la série $\sum u_n$ converge » sans préciser l'indice de départ, alors qu'il faut toujours le préciser pour écrire une somme.

Démonstration. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (résultat acquis du chapitre de topologie) : il existe $\alpha >0$ et $\beta >0$ tels que $\alpha N_1⩽N_2⩽\beta N_1$ sur $E$. Supposons $S_n\to S$ pour $N_1$, c'est-à-dire $N_1(S_n-S)\to 0$. Alors

$$0⩽N_2(S_n-S)⩽\beta N_1(S_n-S)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

donc $S_n\to S$ pour $N_2$. L'autre implication s'obtient en échangeant les rôles de $N_1$ et $N_2$. La limite $S$, elle, ne dépend pas de la norme puisque c'est le même vecteur dans les deux cas. $\mathrm{\square }$

C'est ce résultat qui autorise, dans toute la suite, à écrire « la série converge » sans jamais préciser la norme, et à choisir pour chaque démonstration la norme la plus commode.

Structure d'espace vectoriel

Démonstration. La suite nulle donne des sommes partielles nulles, donc sa série converge : l'ensemble est non vide. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites dont les séries convergent, de sommes respectives $U$ et $V$, et soit $\lambda \in \mathbb{K}$. La somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum (\lambda u_n+v_n)$ vaut, par linéarité de la somme finie,

$$\sum _{k=0}^n(\lambda u_k+v_k)=\lambda \sum _{k=0}^n{u}_k+\sum _{k=0}^n{v}_k\mathrm{.}$$

Le membre de droite tend vers $\lambda U+V$ par opérations sur les limites de suites dans un espace normé. Donc la suite des sommes partielles de $\sum (\lambda u_n+v_n)$ converge, vers $\lambda U+V$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant $\sum (u_n+v_n)$ convergente. Comme $\sum u_n$ converge, la propriété précédente appliquée à $\lambda =-1$ montre que la série de terme général

$$(u_n+v_n)-u_n=v_n$$

converge, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $\sum (u_n+v_n)$ diverge. $\mathrm{\square }$

En revanche, la somme de deux séries divergentes peut être de n'importe quelle nature : $\sum 1$ et $\sum (-1)$ divergent toutes deux, et leur somme est la série nulle, qui converge. Il n'y a donc aucune règle à retenir dans ce cas, seulement un réflexe : revenir aux sommes partielles.

La condition nécessaire de convergence

Démonstration. Notons $S$ la somme de la série et $(S_n)$ ses sommes partielles, de sorte que $S_n\to S$. Pour $n⩾n_0+1$, on a par définition des sommes partielles

$$u_n=S_n-S_{n-1}\mathrm{.}$$

La suite $(S_{n-1}{)}_n$ est extraite décalée de $(S_n)$ et tend donc également vers $S$. Par différence, $u_n\to S-S=0_E$. $\mathrm{\square }$

C'est le tout premier réflexe devant une série inconnue, et il coûte trois secondes. La contraposée du théorème dit exactement cela : pas de limite nulle, pas de convergence, la discussion est close.

Chacune des quatre séries suivantes diverge grossièrement, et il suffit pour le voir de regarder la limite du terme général.

Pour la dernière, on écrit ${(1+\frac{1}{n})}^n=\exp (n\ln (1+\frac{1}{n}))$ et $n\ln (1+\frac{1}{n})\to 1$ par développement limité.

La réciproque est fausse, et c'est le point le plus important de cette sous-section. Le contre-exemple canonique est la série harmonique.

Démonstration. Posons $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et raisonnons par l'absurde en supposant que $(H_n)$ converge, vers un réel $L$. La suite $(H_{2n}{)}_n$ est extraite de $(H_n)$, donc converge aussi vers $L$, et par différence $H_{2n}-H_n\to 0$.

Or, pour tout $n⩾1$,

$$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}⩾\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2n}=n\times \frac{1}{2n}=\frac{1}{2},$$

car la somme comporte exactement $n$ termes, tous minorés par $\frac{1}{2n}$ puisque $k⩽2n$. En passant à la limite dans l'inégalité $H_{2n}-H_n⩾\frac{1}{2}$, on obtient $0⩾\frac{1}{2}$, ce qui est absurde.

Donc $(H_n)$ diverge, et la série harmonique diverge. Comme $(H_n)$ est croissante, elle tend vers $+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration ne demande rien d'autre qu'un découpage astucieux ; elle est à connaître, ne serait-ce que pour disposer d'un contre-exemple immédiat quand on est tenté de conclure d'un « le terme général tend vers zéro ».

Le reste d'une série convergente

Cette définition mérite une justification : pourquoi la somme ${\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ existe-t-elle ? Parce que la série ${\sum }_{k⩾n+1}{u}_k$ a les mêmes sommes partielles que ${\sum }_{k⩾n_0}{u}_k$ à la constante $S_n$ près : elle converge donc aussi, et sa somme vaut $S-S_n$.

Démonstration. 1. C'est la définition même de $R_n$, réécrite.

2. On a $R_n=S-S_n$ et $S_n\to S$ par hypothèse de convergence, donc $R_n\to 0_E$. $\mathrm{\square }$

L'égalité $S=S_n+R_n$ est la clef de tous les calculs approchés : $S_n$ est ce que l'on sait calculer, $R_n$ est l'erreur commise. Majorer $\parallel R_n\parallel$, c'est majorer cette erreur, et c'est exactement ce que produiront la comparaison série-intégrale (partie 4) et le théorème spécial des séries alternées (partie 7).

Convergence coordonnée par coordonnée

Voici le théorème qui ramène toute l'étude vectorielle à l'étude scalaire de première année. C'est lui qui justifie que ce chapitre ne soit pas beaucoup plus long que son homologue de MPSI.

Démonstration. Notons $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$ et, pour chaque $i$, $S_{n,i}={\sum }_{k=n_0}^n{u}_{k,i}$. Par linéarité de la somme finie et unicité des coordonnées dans une base,

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n\left(\sum _{i=1}^p{u}_{k,i}{e}_i\right)=\sum _{i=1}^p\left(\sum _{k=n_0}^n{u}_{k,i}\right)e_i=\sum _{i=1}^p{S}_{n,i}{e}_i\mathrm{.}$$

Autrement dit, la $i$-ième coordonnée de $S_n$ dans $\mathcal{B}$ est exactement $S_{n,i}$.

Munissons maintenant $E$ de la norme $N_{\mathrm{\infty }}\left({\sum }_i{x}_i{e}_i\right)={\max }_{1⩽i⩽p}\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }$, ce qui est licite d'après la propriété d'indépendance vis-à-vis de la norme. Pour un vecteur $T={\sum }_i{T}_i{e}_i$ de $E$, on a l'équivalence

$$N_{\mathrm{\infty }}(S_n-T)\to 0⟺\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mathrm{\mid }{S}_{n,i}-T_i\mathrm{\mid }\to 0⟺\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,p\},S_{n,i}\to T_i,$$

la dernière équivalence venant de ce qu'un maximum d'un nombre fini de suites positives tend vers $0$ si et seulement si chacune d'elles tend vers $0$ (chaque terme est majoré par le maximum, et le maximum est majoré par la somme).

Ainsi $(S_n)$ converge dans $E$ si et seulement si chacune des $p$ suites $(S_{n,i})$ converge dans $\mathbb{K}$, c'est-à-dire si et seulement si chacune des $p$ séries ${\sum }_n{u}_{n,i}$ converge. L'expression de la somme se lit alors sur l'égalité $S_n={\sum }_i{S}_{n,i}{e}_i$ en passant à la limite. $\mathrm{\square }$

Lien suite-série

Démonstration. Notons $T_n={\sum }_{k=0}^n(u_{k+1}-u_k)$. La somme est télescopique : en développant,

$$T_n=(u_1-u_0)+(u_2-u_1)+\cdots +(u_{n+1}-u_n)=u_{n+1}-u_0,$$

tous les termes intermédiaires se simplifiant deux à deux.

Si $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$, alors $T_n=u_{n+1}-u_0\to \mathrm{\ell }-u_0$ : la série converge, de somme $\mathrm{\ell }-u_0$. Réciproquement, si $(T_n)$ converge vers $T$, alors $u_{n+1}=T_n+u_0\to T+u_0$, donc $(u_n)$ converge. $\mathrm{\square }$

Ce théorème est une pure traduction, mais il se lit dans les deux sens et c'est ce qui fait sa valeur. De gauche à droite, il transforme une question sur une suite en une question sur une série, où l'on dispose de tout l'arsenal des comparaisons. De droite à gauche, il calcule la somme d'une série dont le terme général est un accroissement.

Les séries de référence de première année

Ces trois familles sont supposées connues ; elles servent de mètre étalon à toutes les comparaisons du chapitre. La nature des séries de Riemann sera redémontrée en partie 4 par comparaison série-intégrale.

Démonstration. Si $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩾1$, alors $\mathrm{\mid }{x}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^n⩾1$ pour tout $n$, donc $x^n$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

Si $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, alors $x\mathrm{\ne }1$ et la somme partielle vaut

$$S_n=\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\mathrm{.}$$

Comme $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, on a $\mathrm{\mid }{x}^{n+1}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{n+1}\to 0$, donc $x^{n+1}\to 0$ et $S_n\to \frac{1}{1-x}$. La formule à partir du rang $n_1$ s'obtient en factorisant $x^{n_1}$. $\mathrm{\square }$

Quatre natures à lire instantanément, sans le moindre calcul.

Pour c., la formule de la série géométrique donne $\frac{1}{1-2\mathrm{/}3}=3$.

Convergence absolue

Définition

Démonstration. Par équivalence des normes en dimension finie, il existe $\beta >0$ tel que $\parallel x{\parallel }_2⩽\beta \parallel x{\parallel }_1$ pour tout $x$ de $E$. Les sommes partielles de $\sum \parallel u_n{\parallel }_2$ forment donc une suite croissante (les termes sont positifs) et majorée :

$$\sum _{k=0}^n\parallel u_k{\parallel }_2⩽\beta \sum _{k=0}^n\parallel u_k{\parallel }_1⩽\beta \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k{\parallel }_1,$$

la dernière majoration venant de ce que les sommes partielles d'une série convergente à termes positifs sont toutes majorées par sa somme. Une suite croissante et majorée de réels converge (théorème de la limite monotone, acquis de première année), donc $\sum \parallel u_n{\parallel }_2$ converge. $\mathrm{\square }$

Le théorème central

Ce théorème est le résultat le plus utilisé de tout le chapitre : il transforme une question sur une série à termes quelconques (vectoriels, complexes, oscillants) en une question sur une série à termes positifs, pour laquelle on possède une batterie complète d'outils.

Démonstration. Elle se fait en trois étapes : le cas réel, le cas complexe, puis le cas général par les coordonnées. Le seul outil employé est le théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée de réels converge.

Étape 1 : le cas $E=\mathbb{R}$. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ converge, de somme $L$. Posons, pour tout $n$,

$$u_n^{+}=\max (u_n,0)\text{et}{u}_n^{-}=\max (-u_n,0)\mathrm{.}$$

Ces deux quantités sont positives, et l'on vérifie les deux identités

$$u_n=u_n^{+}-u_n^{-}\text{et}\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }=u_n^{+}+u_n^{-}$$

en distinguant deux cas : si $u_n⩾0$, alors $u_n^{+}=u_n$ et $u_n^{-}=0$, et les deux identités sont claires ; si $u_n<0$, alors $u_n^{+}=0$ et $u_n^{-}=-u_n=\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$, et elles le sont encore.

En particulier $0⩽u_n^{+}⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ et $0⩽u_n^{-}⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$.

Considérons $A_n={\sum }_{k=0}^n{u}_k^{+}$. Cette suite est croissante, puisque $A_{n+1}-A_n=u_{n+1}^{+}⩾0$. Elle est majorée :

$$A_n=\sum _{k=0}^n{u}_k^{+}⩽\sum _{k=0}^n\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid }⩽L,$$

la dernière inégalité venant de ce que les sommes partielles de la série convergente à termes positifs $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ croissent vers $L$, donc lui sont toutes inférieures. Par le théorème de la limite monotone, $(A_n)$ converge : la série $\sum u_n^{+}$ converge. Le même raisonnement, mot pour mot, montre que $\sum u_n^{-}$ converge.

Enfin $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$, donc par linéarité (propriété de la partie 1) la série $\sum u_n$ converge, de somme

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^{+}-\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^{-}\mathrm{.}$$

Étape 2 : le cas $E=\mathbb{C}$. Soit $(u_n)$ une suite complexe telle que $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ converge. Pour tout $n$,

$$\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(u_n)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\text{et}\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(u_n)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les sommes partielles de $\sum \mathrm{\mid }\mathrm{Re}(u_n)\mathrm{\mid }$ sont donc croissantes et majorées par ${\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid }$ : cette série converge, et l'étape 1 appliquée à la suite réelle $(\mathrm{Re}(u_n))$ montre que $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ converge. De même pour $\sum \mathrm{Im}(u_n)$. Le théorème de convergence coordonnée par coordonnée (partie 1, appliqué à la base $(1,\mathrm{i})$ de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel) donne alors la convergence de $\sum u_n$.

Étape 3 : le cas général. Soit $E$ de dimension finie $p$, muni d'une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$, et écrivons $u_n={\sum }_{i=1}^p{u}_{n,i}{e}_i$. Notons $N_{\mathrm{\infty }}$ la norme ${\max }_i\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }$ associée à $\mathcal{B}$. Par équivalence des normes en dimension finie, il existe $\beta >0$ tel que $N_{\mathrm{\infty }}⩽\beta \parallel \cdot \parallel$. Fixons $i\in \{1,\dots ,p\}$. Pour tout $n$,

$$\mathrm{\mid }{u}_{n,i}\mathrm{\mid }⩽N_{\mathrm{\infty }}(u_n)⩽\beta \parallel u_n\parallel \mathrm{.}$$

Les sommes partielles de la série à termes positifs ${\sum }_n\mathrm{\mid }{u}_{n,i}\mathrm{\mid }$ sont donc croissantes et majorées par $\beta {\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k\parallel$, qui est un réel fixé : cette série converge. Autrement dit, la série scalaire ${\sum }_n{u}_{n,i}$ est absolument convergente, donc convergente d'après l'étape 1 (si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$) ou l'étape 2 (si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$).

Ceci vaut pour les $p$ coordonnées. Le théorème de convergence coordonnée par coordonnée conclut : $\sum u_n$ converge. $\mathrm{\square }$

Trois remarques sur cette démonstration. D'abord, l'hypothèse de dimension finie est utilisée deux fois, et de façon essentielle : pour l'équivalence des normes, et pour disposer d'un nombre fini de coordonnées. Ensuite, le théorème de la limite monotone est le seul ingrédient d'analyse : c'est lui qui contient toute la « substance » du résultat. Enfin, on retiendra le schéma général, car il se reproduit à l'identique dans plusieurs démonstrations du chapitre : se ramener aux coordonnées, puis au cas réel positif.

Inégalité triangulaire pour les sommes

Démonstration. La série $\sum u_n$ converge d'après le théorème précédent, donc le membre de gauche a un sens ; notons $S$ sa somme et $S_n$ ses sommes partielles. L'inégalité triangulaire, appliquée à une somme finie de $n-n_0+1$ termes, donne

$$\parallel S_n\parallel ⩽\sum _{k=n_0}^n\parallel u_k\parallel ⩽\sum _{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k\parallel ,$$

la seconde majoration venant de la croissance des sommes partielles d'une série à termes positifs.

L'application $x\mapsto \parallel x\parallel$ est $1$-lipschitzienne, donc continue : de $S_n\to S$ on tire $\parallel S_n\parallel \to \parallel S\parallel$. En passant à la limite dans l'inégalité $\parallel S_n\parallel ⩽{\sum }_{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k\parallel$, dont le membre de droite est une constante, on obtient le résultat. $\mathrm{\square }$

Appliquée aux restes, cette inégalité donne la majoration d'erreur la plus utilisée du chapitre :

$$\parallel R_n\parallel =\parallel \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k\parallel ⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k\parallel \mathrm{.}$$

La réciproque est fausse

L'existence de telles séries est précisément ce qui rend l'étude des séries de signe quelconque délicate : la convergence absolue est une condition suffisante de convergence, jamais nécessaire. Toute la partie 7 est consacrée à ce que l'on peut faire quand elle échoue.

Séries de matrices et d'endomorphismes

L'espace ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$ est de dimension finie $p^2$ : tout ce qui précède s'y applique. Ce qui lui est propre, c'est l'existence d'une multiplication, et l'on souhaite disposer d'une norme compatible avec elle.

Démonstration. C'est une norme. L'application $A\mapsto {\max }_{i,j}\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }$ est la norme infinie sur ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$ identifié à ${\mathbb{K}}^{p^2}$ ; $N$ en est le produit par la constante $p>0$, donc $N$ est encore une norme. Détaillons tout de même : $N(A)⩾0$ et $N(A)=0$ impose $\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }=0$ pour tous $i,j$, donc $A=0$ ; $N(\lambda A)=p\max \mathrm{\mid }\lambda a_{i,j}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }N(A)$ ; enfin $\mathrm{\mid }{a}_{i,j}+b_{i,j}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{b}_{i,j}\mathrm{\mid }⩽{\max }_{k,l}\mathrm{\mid }{a}_{k,l}\mathrm{\mid }+{\max }_{k,l}\mathrm{\mid }{b}_{k,l}\mathrm{\mid }$ pour tous $i,j$, et en prenant le maximum à gauche puis en multipliant par $p$ on obtient $N(A+B)⩽N(A)+N(B)$.

Sous-multiplicativité. Posons $C=AB$, de coefficients $c_{i,j}={\sum }_{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,j}$. Pour tous $i,j$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mathrm{\mid }{c}_{i,j}\mathrm{\mid }⩽\sum _{k=1}^p\mathrm{\mid }{a}_{i,k}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{b}_{k,j}\mathrm{\mid }⩽\sum _{k=1}^p\left(\underset{r,s}{\max }\mathrm{\mid }{a}_{r,s}\mathrm{\mid }\right)\left(\underset{r,s}{\max }\mathrm{\mid }{b}_{r,s}\mathrm{\mid }\right)=p\left(\underset{r,s}{\max }\mathrm{\mid }{a}_{r,s}\mathrm{\mid }\right)\left(\underset{r,s}{\max }\mathrm{\mid }{b}_{r,s}\mathrm{\mid }\right)\mathrm{.}$$

En remplaçant ${\max }_{r,s}\mathrm{\mid }{a}_{r,s}\mathrm{\mid }$ par $\frac{N(A)}{p}$ et de même pour $B$, il vient

$$\mathrm{\mid }{c}_{i,j}\mathrm{\mid }⩽p\times \frac{N(A)}{p}\times \frac{N(B)}{p}=\frac{N(A)N(B)}{p}\mathrm{.}$$

Cette majoration valant pour tous $i,j$, on peut prendre le maximum puis multiplier par $p$ :

$$N(C)=p\underset{i,j}{\max }\mathrm{\mid }{c}_{i,j}\mathrm{\mid }⩽p\times \frac{N(A)N(B)}{p}=N(A)N(B)\mathrm{.}$$

Puissances. Une récurrence immédiate : $N(A^1)=N(A)$, et si $N(A^k)⩽N(A{)}^k$, alors $N(A^{k+1})=N(A^{k}A)⩽N(A^k)N(A)⩽N(A{)}^{k+1}$. $\mathrm{\square }$

C'est le facteur $p$ qui rend la norme sous-multiplicative : sans lui, l'inégalité serait fausse en général, comme le montre le cas de la matrice dont tous les coefficients valent $1$.

Démonstration. Convergence. Pour $k⩾1$, $N(A^k)⩽N(A{)}^k$, et $N(A^0)=N(I_p)=p$. La série ${\sum }_{k⩾1}N(A{)}^k$ est géométrique de raison $N(A)\in [0,1[$, donc converge. Par majoration des sommes partielles (croissantes, à termes positifs), la série $\sum N(A^k)$ converge : la série $\sum A^k$ est absolument convergente. Comme ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$ est de dimension finie, elle converge. Notons $S={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{A}^k$ et $S_n={\sum }_{k=0}^n{A}^k$.

Identité algébrique. Pour tout $n$, en développant et en télescopant,

$$(I_p-A)S_n=\sum _{k=0}^n{A}^k-\sum _{k=0}^n{A}^{k+1}=A^0-A^{n+1}=I_p-A^{n+1},$$

et de même $S_n(I_p-A)=I_p-A^{n+1}$.

Passage à la limite. On a $N(A^{n+1})⩽N(A{)}^{n+1}\to 0$ puisque $N(A)<1$, donc $A^{n+1}\to 0$. Par ailleurs l'application $M\mapsto (I_p-A)M$ est linéaire de ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$ dans lui-même, donc continue (toute application linéaire au départ d'un espace de dimension finie est continue, acquis du chapitre de topologie). De $S_n\to S$ on tire donc $(I_p-A)S_n\to (I_p-A)S$. En passant à la limite dans l'égalité $(I_p-A)S_n=I_p-A^{n+1}$, on obtient

$$(I_p-A)S=I_p,$$

et symétriquement $S(I_p-A)=I_p$. Donc $I_p-A$ est inversible d'inverse $S$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Pour $k⩾1$,

$$N\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{A^k}{k!}\right)=\frac{N(A^k)}{k!}⩽\frac{N(A{)}^k}{k!},$$

et la série ${\sum }_{k⩾0}\frac{N(A{)}^k}{k!}$ converge (série exponentielle du réel positif $N(A)$, de somme ${\mathrm{e}}^{N(A)}$). Les sommes partielles de $\sum N\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{A^k}{k!}\right)$ sont donc croissantes et majorées : la série converge. La série $\sum \frac{A^k}{k!}$ est absolument convergente dans l'espace de dimension finie ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$, donc convergente. $\mathrm{\square }$

Séries à termes positifs

Dans toute cette partie, les séries sont à termes réels positifs (au moins à partir d'un certain rang). Ce cadre est très restrictif en apparence, mais grâce au théorème de la partie 2 il gouverne tout le reste : étudier la convergence absolue d'une série quelconque, c'est étudier une série à termes positifs.

Le théorème fondamental

Démonstration. Comme $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}⩾0$, la suite $(S_n)$ est croissante. Le théorème de la limite monotone s'applique alors dans les deux sens.

Si $(S_n)$ est majorée, étant croissante elle converge vers sa borne supérieure : la série converge et sa somme vaut ${\sup }_n{S}_n$.

Si $(S_n)$ n'est pas majorée, étant croissante elle tend vers $+\mathrm{\infty }$ : elle ne converge pas, et la série diverge. $\mathrm{\square }$

Ce théorème est l'unique moteur de toute la partie : chacun des critères qui suivent consiste à majorer les sommes partielles par autre chose. On notera au passage la commodité d'écriture qu'il autorise : pour une série à termes positifs, on peut écrire $\sum u_n<+\mathrm{\infty }$ pour « la série converge » et $\sum u_n=+\mathrm{\infty }$ pour « elle diverge », sans jamais manipuler d'objet mal défini.

Comparaison par inégalité

Démonstration. Quitte à décaler l'indice de départ, ce qui ne change pas la nature des séries, on peut supposer $n_1=n_0$.

1. Supposons $\sum v_n$ convergente, de somme $V$. Les deux séries sont à termes positifs à partir de $n_0$, donc leurs sommes partielles sont croissantes. Pour tout $n⩾n_0$,

$$\sum _{k=n_0}^n{u}_k⩽\sum _{k=n_0}^n{v}_k⩽V,$$

la dernière majoration parce que les sommes partielles croissantes de $\sum v_n$ sont majorées par leur limite. Les sommes partielles de $\sum u_n$ sont donc majorées, et le théorème fondamental donne la convergence. L'inégalité entre les sommes s'obtient en passant à la limite dans ${\sum }_{k=n_0}^n{u}_k⩽{\sum }_{k=n_0}^n{v}_k$.

2. C'est la contraposée du point 1 : si $\sum v_n$ convergeait, $\sum u_n$ convergerait aussi. $\mathrm{\square }$

Démonstration. 1. Par définition de la domination, il existe $C⩾0$ et un rang $n_1$ tels que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽C{v}_n$ pour $n⩾n_1$ ; comme $u_n⩾0$ au-delà d'un certain rang, cela s'écrit $0⩽u_n⩽C{v}_n$. La série $\sum C{v}_n$ converge (produit par un scalaire), donc $\sum u_n$ converge par comparaison par inégalité.

2. La relation $u_n=\mathrm{o}(v_n)$ entraîne $u_n=\mathcal{O}(v_n)$ : on applique le point 1. On peut aussi le voir directement : il existe $n_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽v_n$ pour $n⩾n_1$ (prendre $\epsilon =1$ dans la définition du $\mathrm{o}$).

Cas vectoriel. La majoration $\parallel u_n\parallel ⩽C{v}_n$ et le point 1 donnent la convergence de $\sum \parallel u_n\parallel$, c'est-à-dire la convergence absolue de $\sum u_n$ ; le théorème de la partie 2 conclut. $\mathrm{\square }$

Comparaison par équivalence

Démonstration. Par définition de l'équivalence, il existe une suite $({\epsilon }_n)$ de limite nulle et un rang $n_1$ tels que $u_n=v_n(1+{\epsilon }_n)$ pour $n⩾n_1$. Comme ${\epsilon }_n\to 0$, il existe un rang $n_2⩾n_1$ tel que $\mathrm{\mid }{\epsilon }_n\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{2}$ pour $n⩾n_2$, et l'on peut aussi supposer $v_n⩾0$ pour $n⩾n_2$. Alors, pour $n⩾n_2$,

$$\frac{1}{2}⩽1+{\epsilon }_n⩽\frac{3}{2},\text{donc}0⩽\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n,$$

la multiplication par $v_n⩾0$ conservant les inégalités. En particulier $u_n⩾0$ pour $n⩾n_2$ : les deux séries sont à termes positifs.

Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum \frac{3}{2}{v}_n$ converge et la majoration $u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n$ donne la convergence de $\sum u_n$. Si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum \frac{1}{2}{v}_n$ diverge et la minoration $u_n⩾\frac{1}{2}{v}_n$ donne la divergence de $\sum u_n$. Les deux séries ont donc même nature. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse de signe constant est essentielle. Sans elle, le théorème est faux, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. En voici le contre-exemple à connaître par cœur.

Quatre natures obtenues par équivalence, avec à chaque fois la série de référence invoquée.

Dans chacun de ces quatre cas, le mot « positifs » n'est pas décoratif : c'est l'hypothèse du théorème, et elle se cite dans la copie.

La règle de d'Alembert

Démonstration. Quitte à décaler l'indice de départ, supposons $u_n>0$ pour tout $n⩾n_0$.

1. Cas $\mathrm{\ell }<1$. Choisissons un réel $q$ tel que $\mathrm{\ell }<q<1$ (par exemple $q=\frac{\mathrm{\ell }+1}{2}$). Comme $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to \mathrm{\ell }$ et $q>\mathrm{\ell }$, il existe un rang $N⩾n_0$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\frac{u_{n+1}}{u_n}⩽q\mathrm{.}$$

Montrons par récurrence sur $n⩾N$ que $u_n⩽u_N{q}^{n-N}$. C'est vrai pour $n=N$. Si c'est vrai au rang $n$, alors, comme $u_n>0$,

$$u_{n+1}⩽q{u}_n⩽q\times u_N{q}^{n-N}=u_N{q}^{n+1-N}\mathrm{.}$$

Ainsi $0⩽u_n⩽\left(u_N{q}^{-N}\right)q^n$ pour $n⩾N$. La série géométrique $\sum q^n$ converge puisque $0⩽q<1$, donc $\sum u_n$ converge par comparaison par inégalité.

2. Cas $\mathrm{\ell }>1$. Choisissons un réel $q$ tel que $1<q<\mathrm{\ell }$ (si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$, n'importe quel $q>1$ convient). Il existe un rang $N⩾n_0$ tel que $\frac{u_{n+1}}{u_n}⩾q$ pour $n⩾N$. La même récurrence donne

$$u_n⩾u_N{q}^{n-N}(n⩾N)\mathrm{.}$$

Comme $u_N>0$ et $q>1$, le membre de droite tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc $u_n\to +\mathrm{\infty }$. En particulier $u_n$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

3. Cas $\mathrm{\ell }=1$. Il suffit d'exhiber deux séries de rapports tendant vers $1$ et de natures différentes. Pour $u_n=\frac{1}{n^{\alpha }}$, on a

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\alpha }={(1+\frac{1}{n})}^{-\alpha }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1$$

pour tout $\alpha$. Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge et $\sum \frac{1}{n}$ diverge. La valeur $\mathrm{\ell }=1$ ne contient donc aucune information. $\mathrm{\square }$

Comparaison série-intégrale

L'idée est élémentaire : une somme ${\sum }_{k}f(k)$ est une somme d'aires de rectangles de largeur $1$, et si $f$ est monotone chacun de ces rectangles s'encadre entre deux morceaux de l'aire sous la courbe. Le passage du discret au continu rend calculable ce qui ne l'était pas.

Dans toute cette partie, on ne manipule que des intégrales sur un segment. Aucune intégrale généralisée n'intervient : les limites sont prises explicitement sur la suite des intégrales ${\left({\int }_a^{n}f\right)}_n$.

L'encadrement de base

Démonstration. Les deux inégalités s'obtiennent par croissance de l'intégrale sur un segment, appliquée à des segments de longueur $1$.

Inégalité de gauche. Pour tout $t\in [k,k+1]$, on a $t⩾k$, donc $f(t)⩽f(k)$ par décroissance. En intégrant cette inégalité entre fonctions continues par morceaux sur le segment $[k,k+1]$, dont la longueur vaut $1$ :

$${\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(k)\mathrm{d}t=f(k)\times ((k+1)-k)=f(k)\mathrm{.}$$

Inégalité de droite. Pour tout $t\in [k-1,k]$, on a $t⩽k$, donc $f(t)⩾f(k)$ par décroissance. En intégrant sur le segment $[k-1,k]$, licite puisque $k-1⩾a$ :

$${\int }_{k-1}^{k}f(t)\mathrm{d}t⩾{\int }_{k-1}^{k}f(k)\mathrm{d}t=f(k)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Minoration. En sommant l'inégalité de gauche $f(k)⩾{\int }_k^{k+1}f$ pour $k$ allant de $m$ à $n$, et par la relation de Chasles :

$$\sum _{k=m}^{n}f(k)⩾\sum _{k=m}^n{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_m^{n+1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Majoration. On isole le terme $k=m$, puis on somme l'inégalité de droite $f(k)⩽{\int }_{k-1}^{k}f$ pour $k$ allant de $m+1$ à $n$ (chaque $k$ vérifie bien $k-1⩾m⩾a$) :

$$\sum _{k=m}^{n}f(k)=f(m)+\sum _{k=m+1}^{n}f(k)⩽f(m)+\sum _{k=m+1}^n{\int }_{k-1}^{k}f(t)\mathrm{d}t=f(m)+{\int }_m^{n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Nature de la série et suite des intégrales

Démonstration. La suite $(I_n)$ est croissante : $I_{n+1}-I_n={\int }_n^{n+1}f⩾0$ puisque $f$ est positive. Par le théorème de la limite monotone, elle converge si et seulement si elle est majorée. De même, la série $\sum f(n)$ est à termes positifs, donc elle converge si et seulement si ses sommes partielles $S_n={\sum }_{k=m}^{n}f(k)$ sont majorées.

Si $(I_n)$ est majorée par $M$. La version sommée donne $S_n⩽f(m)+I_n⩽f(m)+M$ : les sommes partielles sont majorées, donc la série converge.

Si la série converge, de somme $S$. La version sommée donne $I_{n+1}⩽S_n⩽S$ pour tout $n⩾m$, donc $(I_n)$ est majorée par $S$. $\mathrm{\square }$

Le théorème du défaut

L'encadrement précédent donne la nature, mais il perd de l'information. Le résultat suivant est plus fin : il dit que l'écart entre la somme discrète et l'intégrale continue est, lui, toujours convergent. C'est de là que sortira la constante d'Euler.

Démonstration. Signe et encadrement. L'inégalité de droite de l'encadrement de base s'écrit $f(n)⩽{\int }_{n-1}^{n}f$, donc $w_n⩽0$. Montrons plus précisément l'encadrement

$$f(n)-f(n-1)⩽w_n⩽0.$$

La majoration $w_n⩽0$ vient d'être obtenue. Pour la minoration, on utilise la décroissance sur $[n-1,n]$ : pour $t$ dans ce segment, $f(t)⩽f(n-1)$, donc

$${\int }_{n-1}^{n}f(t)\mathrm{d}t⩽f(n-1)\times (n-(n-1))=f(n-1),$$

d'où $w_n=f(n)-{\int }_{n-1}^{n}f⩾f(n)-f(n-1)$.

Conclusion. Posons ${\theta }_n=-w_n$, de sorte que $0⩽{\theta }_n⩽f(n-1)-f(n)$ : la suite $({\theta }_n)$ est positive. La série ${\sum }_{n⩾m}(f(n-1)-f(n))$ est télescopique, de somme partielle

$$\sum _{k=m}^n(f(k-1)-f(k))=f(m-1)-f(n)\mathrm{.}$$

Or $f$ est décroissante et minorée par $0$ sur $[a,+\mathrm{\infty }[$, donc la suite $(f(n))$ est décroissante et minorée : elle converge vers un réel $\lambda ⩾0$. La somme partielle ci-dessus tend donc vers $f(m-1)-\lambda$ : la série $\sum (f(n-1)-f(n))$ converge.

Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum {\theta }_n$ converge, donc $\sum w_n=-\sum {\theta }_n$ converge. $\mathrm{\square }$

Application 1 : la nature des séries de Riemann

Démonstration. Cas $\alpha ⩽0$. Alors $\frac{1}{n^{\alpha }}=n^{-\alpha }$ avec $-\alpha ⩾0$, donc $\frac{1}{n^{\alpha }}⩾1$ pour tout $n⩾1$ : le terme général ne tend pas vers $0$ et la série diverge grossièrement.

Cas $\alpha >0$. La fonction $f:t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ (sa dérivée $-\alpha t^{-\alpha -1}$ est strictement négative). On applique le critère précédent avec $m=1$ et l'on calcule l'intégrale sur le segment $[1,n]$.

Si $\alpha \mathrm{\ne }1$, une primitive de $t^{-\alpha }$ est $\frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }$, donc

$$I_n={\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{n^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ et $n^{1-\alpha }\to 0$, donc $I_n\to \frac{-1}{1-\alpha }=\frac{1}{\alpha -1}$ : la suite $(I_n)$ converge, donc est majorée, donc la série converge. Si $0<\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et $n^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$, donc $I_n\to +\mathrm{\infty }$ : la suite $(I_n)$ n'est pas majorée et la série diverge.

Si $\alpha =1$, une primitive est $\ln$, donc $I_n=\ln n\to +\mathrm{\infty }$ : la série diverge, ce qui redonne la divergence de la série harmonique.

Au total, la série converge si et seulement si $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

Cet énoncé, combiné aux équivalents, règle une immense proportion des questions de nature.

La frontière est en $\alpha =1$, et elle est du côté de la divergence : le cas $\alpha =1$ diverge.

Application 2 : la constante d'Euler

Démonstration. Appliquons le théorème du défaut à $f:t\mapsto \frac{1}{t}$, continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, avec $m=2$ (de sorte que $m-1=1⩾1$). On pose donc, pour $n⩾2$,

$$w_n=\frac{1}{n}-{\int }_{n-1}^n\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{1}{n}-(\ln n-\ln (n-1))\mathrm{.}$$

Le théorème du défaut assure que la série ${\sum }_{n⩾2}{w}_n$ converge ; notons $W$ sa somme.

Calculons sa somme partielle. Par Chasles, la partie intégrale est télescopique :

$$\sum _{k=2}^n{w}_k=\sum _{k=2}^n\frac{1}{k}-\sum _{k=2}^n(\ln k-\ln (k-1))=(H_n-1)-(\ln n-\ln 1)=H_n-\ln n-1.$$

Cette somme partielle converge vers $W$, donc

$$H_n-\ln n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}W+1.$$

Posons $\gamma =W+1$. Alors $H_n-\ln n-\gamma \to 0$, ce qui s'écrit exactement $H_n=\ln n+\gamma +\mathrm{o}(1)$.

Enfin, $\frac{H_n}{\ln n}=1+\frac{\gamma +\mathrm{o}(1)}{\ln n}\to 1$ puisque $\ln n\to +\mathrm{\infty }$, donc $H_n\sim \ln n$. $\mathrm{\square }$

Ce développement asymptotique est à connaître par cœur et à savoir redémontrer : il intervient dans des dizaines d'exercices, à chaque fois qu'une somme partielle fait apparaître des $\frac{1}{k}$.

Application 3 : restes et sommes partielles des séries de Riemann

Démonstration. La fonction $f:t\mapsto t^{-\alpha }$ est continue, positive, décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Fixons $n⩾1$ et sommons l'encadrement de base pour $k$ allant de $n+1$ à $N$, où $N>n$ :

$${\int }_{n+1}^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}⩽\sum _{k=n+1}^N\frac{1}{k^{\alpha }}⩽{\int }_n^N\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }},$$

les deux membres extrêmes s'obtenant par Chasles à partir de ${\sum }_k{\int }_k^{k+1}f$ et ${\sum }_k{\int }_{k-1}^{k}f$.

Calculons ces intégrales de segment. Comme $1-\alpha <0$,

$${\int }_{n+1}^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{(N+1{)}^{1-\alpha }-(n+1{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{-(n+1{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }=\frac{1}{(\alpha -1)(n+1{)}^{\alpha -1}},$$

et de même ${\int }_n^N\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\to \frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}$. Par ailleurs ${\sum }_{k=n+1}^N\frac{1}{k^{\alpha }}\to R_n$ quand $N\to +\mathrm{\infty }$, puisque la série converge. En passant à la limite quand $N\to +\mathrm{\infty }$ dans l'encadrement (les inégalités larges se conservent), on obtient

$$\frac{1}{(\alpha -1)(n+1{)}^{\alpha -1}}⩽R_n⩽\frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}\mathrm{.}$$

Divisons par la quantité strictement positive $\frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}$ :

$${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\alpha -1}⩽(\alpha -1)n^{\alpha -1}{R}_n⩽1.$$

Le membre de gauche vaut ${(1+\frac{1}{n})}^{-(\alpha -1)}\to 1$. Par encadrement, $(\alpha -1)n^{\alpha -1}{R}_n\to 1$, ce qui est exactement l'équivalent annoncé. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Avec $f:t\mapsto t^{-\alpha }$, continue positive décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, la version sommée avec $m=1$ donne directement

$${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}⩽S_n⩽1+{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }},$$

c'est-à-dire, puisque $\alpha \mathrm{\ne }1$,

$$\frac{(n+1{)}^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }⩽S_n⩽1+\frac{n^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Divisons par $\frac{n^{1-\alpha }}{1-\alpha }$, qui est strictement positif puisque $1-\alpha >0$ :

$${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{1-\alpha }-\frac{1}{n^{1-\alpha }}⩽\frac{(1-\alpha )S_n}{n^{1-\alpha }}⩽\frac{1-\alpha }{n^{1-\alpha }}+1-\frac{1}{n^{1-\alpha }}\mathrm{.}$$

Comme $1-\alpha >0$, on a $n^{1-\alpha }\to +\mathrm{\infty }$, donc $\frac{1}{n^{1-\alpha }}\to 0$ ; et ${(1+\frac{1}{n})}^{1-\alpha }\to 1$. Les deux membres extrêmes tendent donc vers $1$, et par encadrement $\frac{(1-\alpha )S_n}{n^{1-\alpha }}\to 1$, soit $S_n\sim \frac{n^{1-\alpha }}{1-\alpha }$.

Le cas $\alpha =1$ a été traité à l'application 2. $\mathrm{\square }$

Quatre spécialisations à savoir retrouver instantanément, en substituant la valeur de $\alpha$ dans les deux formules précédentes.

Pour c., l'exposant $\alpha =\frac{1}{2}$ donne $\frac{n^{1\mathrm{/}2}}{1\mathrm{/}2}=2\sqrt{n}$ ; pour d., l'exposant $\alpha =\frac{1}{3}$ donne $\frac{n^{2\mathrm{/}3}}{2\mathrm{/}3}=\frac{3}{2}{n}^{2\mathrm{/}3}$.

Méthode

Sommation des relations de comparaison

Les relations $\mathrm{o}$, $\mathcal{O}$ et $\sim$ décrivent le comportement du terme général. Les théorèmes de cette partie disent quand on a le droit de les « sommer », c'est-à-dire de les transporter aux restes ou aux sommes partielles. Ce sont les outils qui produisent les développements asymptotiques de sommes, et ils sont au cœur des problèmes de concours.

Le cadre : une hypothèse de signe, toujours

Dans toute cette partie, $(u_n)$ est une suite d'éléments de $\mathbb{K}$ (ou d'un espace normé de dimension finie, quitte à remplacer $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ par $\parallel u_n\parallel$), et $(v_n)$ est une suite de réels positifs à partir d'un certain rang. Cette hypothèse de signe sur la suite de comparaison n'est pas une commodité technique : sans elle, tous les énoncés qui suivent sont faux, et l'on donnera un contre-exemple explicite.

Cas convergent : on somme les restes

Démonstration. Quitte à décaler l'indice de départ, supposons $v_n⩾0$ pour tout $n⩾0$. On écarte le cas dégénéré où $v_k=0$ pour tout $k$ à partir d'un rang, cas dans lequel tous les restes considérés sont nuls et les énoncés sont vides de contenu ; en dehors de ce cas, $R_n(v)>0$ pour tout $n$.

1. Le cas $\mathrm{o}$. Soit $\epsilon >0$. Par définition de $u_n=\mathrm{o}(v_n)$, il existe un rang $N$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽\epsilon v_n\mathrm{.}(\star )$$

Retenons cette majoration $(\star )$ : c'est elle qui va servir deux fois.

Convergence absolue. Prenons d'abord $\epsilon =1$ : il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽v_n$ pour $n⩾N_1$. Comme $\sum v_n$ converge et que les deux suites sont positives, la comparaison par inégalité donne la convergence de $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$. La série $\sum u_n$ est donc absolument convergente, donc convergente (partie 2), et son reste $R_n(u)$ est bien défini.

Majoration du reste. Revenons au $\epsilon$ initial et au rang $N$ de $(\star )$. Pour $n⩾N$, tous les indices $k$ intervenant dans le reste vérifient $k⩾n+1>N$, donc $(\star )$ s'applique à chacun. L'inégalité triangulaire pour les sommes de séries (partie 2) donne alors

$$\mid R_n(u)\mid =\mid \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k\mid ⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid }⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\epsilon v_k=\epsilon R_n(v),$$

la comparaison terme à terme entre séries convergentes à termes positifs étant licite. Ainsi : pour tout $\epsilon >0$, il existe $N$ tel que $\mathrm{\mid }{R}_n(u)\mathrm{\mid }⩽\epsilon R_n(v)$ pour $n⩾N$. C'est exactement la définition de $R_n(u)=\mathrm{o}(R_n(v))$.

2. Le cas $\mathcal{O}$. Il existe $C⩾0$ et un rang $N$ tels que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽C{v}_n$ pour $n⩾N$. La convergence absolue s'obtient comme ci-dessus par comparaison avec $\sum C{v}_n$. Puis, pour $n⩾N$, le même calcul donne

$$\mid R_n(u)\mid ⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid }⩽C\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_k=C{R}_n(v),$$

c'est-à-dire $R_n(u)=\mathcal{O}(R_n(v))$.

3. Le cas $\sim$. Écrivons $u_n=v_n(1+{\epsilon }_n)$ avec ${\epsilon }_n\to 0$. Pour $n$ assez grand, $\mathrm{\mid }{\epsilon }_n\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{2}$, donc $u_n⩾\frac{1}{2}{v}_n⩾0$ : la suite $(u_n)$ est positive à partir d'un certain rang. Le théorème d'équivalence pour les séries à termes positifs (partie 3) donne la convergence de $\sum u_n$.

Posons $d_n=u_n-v_n$. La relation $u_n\sim v_n$ signifie précisément $d_n=\mathrm{o}(v_n)$. Le point 1 s'applique à la suite $(d_n)$ : la série $\sum d_n$ converge et

$$R_n(d)=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}(u_k-v_k)=R_n(u)-R_n(v)=\mathrm{o}(R_n(v)),$$

l'égalité du milieu venant de la linéarité de la somme d'une série. En divisant par $R_n(v)>0$ :

$$\frac{R_n(u)}{R_n(v)}-1\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

c'est-à-dire $R_n(u)\sim R_n(v)$. $\mathrm{\square }$

Cas divergent : on somme les sommes partielles

Démonstration. Quitte à décaler l'indice de départ, supposons $v_n⩾0$ pour tout $n⩾0$ : cela ne change ni la nature des séries, ni les relations de comparaison, ni les équivalents des sommes partielles, puisqu'un nombre fini de termes ne modifie une somme partielle que d'une constante. Comme $\sum v_n$ diverge, la suite $(V_n)$ est alors croissante et non majorée : $V_n\to +\mathrm{\infty }$. En particulier $V_n>0$ pour $n$ assez grand.

1. Le cas $\mathrm{o}$. Soit $\epsilon >0$. Il existe un rang $N$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽\frac{\epsilon }{2}{v}_n\mathrm{.}$$

Ce rang $N$ étant désormais fixé, posons

$$A=\mid \sum _{k=0}^{N-1}{u}_k\mid ,$$

qui est une constante indépendante de $n$. Pour tout $n⩾N$, découpons la somme partielle en le paquet des indices $<N$ et le paquet des indices $⩾N$ :

$$\mathrm{\mid }{U}_n\mathrm{\mid }=\mid \sum _{k=0}^{N-1}{u}_k+\sum _{k=N}^n{u}_k\mid ⩽A+\sum _{k=N}^n\mathrm{\mid }{u}_k\mathrm{\mid }⩽A+\frac{\epsilon }{2}\sum _{k=N}^n{v}_k⩽A+\frac{\epsilon }{2}{V}_n,$$

la dernière majoration parce que ${\sum }_{k=N}^n{v}_k⩽V_n$, les termes retranchés étant positifs.

C'est ici qu'intervient l'ingrédient décisif : le terme de tête $A$ est fixé, tandis que $V_n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Il existe donc un rang $N^{\mathrm{\prime }}⩾N$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N^{\mathrm{\prime }},V_n⩾\frac{2A}{\epsilon }+1,\text{donc}A⩽\frac{\epsilon }{2}{V}_n\mathrm{.}$$

Pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$, on obtient alors

$$\mathrm{\mid }{U}_n\mathrm{\mid }⩽\frac{\epsilon }{2}{V}_n+\frac{\epsilon }{2}{V}_n=\epsilon V_n\mathrm{.}$$

Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$, donc $U_n=\mathrm{o}(V_n)$.

2. Le cas $\mathcal{O}$. Il existe $C⩾0$ et $N$ tels que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽C{v}_n$ pour $n⩾N$. Le même découpage donne, pour $n⩾N$,

$$\mathrm{\mid }{U}_n\mathrm{\mid }⩽A+C{V}_n\mathrm{.}$$

Comme $V_n\to +\mathrm{\infty }$, il existe $N^{\mathrm{\prime }}$ tel que $V_n⩾1$ pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$, donc $A⩽A{V}_n$ et

$$\mathrm{\mid }{U}_n\mathrm{\mid }⩽(A+C)V_n(n⩾\max (N,N^{\mathrm{\prime }})),$$

c'est-à-dire $U_n=\mathcal{O}(V_n)$.

3. Le cas $\sim$. Comme au point 3 du cas convergent, $u_n⩾\frac{1}{2}{v}_n⩾0$ à partir d'un certain rang, et le théorème d'équivalence pour les séries à termes positifs montre que $\sum u_n$ diverge. Posons $d_n=u_n-v_n=\mathrm{o}(v_n)$. Le point 1 appliqué à $(d_n)$ donne

$$U_n-V_n=\sum _{k=0}^n{d}_k=\mathrm{o}(V_n)\mathrm{.}$$

En divisant par $V_n$, strictement positif pour $n$ grand, il vient $\frac{U_n}{V_n}-1\to 0$, soit $U_n\sim V_n$. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse de signe est indispensable

La leçon est simple et sans exception : on ne somme des relations de comparaison que par rapport à une suite positive. Dans une copie, cette hypothèse se cite explicitement au moment où on l'utilise.

Méthode

Deux exemples traités

Le théorème de Cesàro

Énoncé et démonstration

Démonstration. Comme $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\mathrm{\ell }=\mathrm{\ell }$, on peut écrire

$$C_n-\mathrm{\ell }=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(u_k-\mathrm{\ell }),$$

et il s'agit de montrer que $\parallel C_n-\mathrm{\ell }\parallel \to 0$.

Soit $\epsilon >0$. Comme $u_n\to \mathrm{\ell }$, il existe un rang $N⩾1$ tel que

$$\mathrm{\forall }k⩾N,\parallel u_k-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\frac{\epsilon }{2}\mathrm{.}$$

Ce rang $N$ étant fixé, posons

$$A=\sum _{k=1}^{N-1}\parallel u_k-\mathrm{\ell }\parallel ,$$

constante indépendante de $n$ (somme finie). Pour $n⩾N$, découpons la somme en deux paquets et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\parallel C_n-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{N-1}\parallel u_k-\mathrm{\ell }\parallel +\frac{1}{n}\sum _{k=N}^n\parallel u_k-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\frac{A}{n}+\frac{1}{n}\times (n-N+1)\times \frac{\epsilon }{2}\mathrm{.}$$

Comme $n-N+1⩽n$, le second terme est majoré par $\frac{\epsilon }{2}$, d'où

$$\parallel C_n-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\frac{A}{n}+\frac{\epsilon }{2}\mathrm{.}$$

Le premier paquet contient un nombre fixé de termes, divisé par $n$ : il tend vers $0$. Précisément, il existe un rang $N^{\mathrm{\prime }}⩾N$ tel que $\frac{A}{n}⩽\frac{\epsilon }{2}$ pour $n⩾N^{\mathrm{\prime }}$ (prendre $N^{\mathrm{\prime }}>\frac{2A}{\epsilon }$). Alors

$$\mathrm{\forall }n⩾N^{\mathrm{\prime }},\parallel C_n-\mathrm{\ell }\parallel ⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \mathrm{.}$$

Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$, donc $C_n\to \mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Le mécanisme est exactement celui de la sommation des relations de comparaison en cas divergent : on isole un paquet de tête de taille fixe, on le rend négligeable en divisant par $n$, et l'on contrôle le reste par la convergence. C'est un schéma de démonstration à posséder.

La réciproque est fausse

Corollaire 1 : des accroissements à la suite

Démonstration. Posons $d_k=u_k-u_{k-1}$ pour $k⩾1$. Par hypothèse, $d_k\to \mathrm{\ell }$. Le théorème de Cesàro appliqué à la suite $(d_k{)}_{k⩾1}$ donne

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{d}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

Or la somme est télescopique : ${\sum }_{k=1}^n(u_k-u_{k-1})=u_n-u_0$. Donc

$$\frac{u_n-u_0}{n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

Comme $u_0$ est un vecteur fixé, $\frac{u_0}{n}\to 0_E$, et par somme $\frac{u_n}{n}\to \mathrm{\ell }$.

Si de plus $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }0$ et les termes sont réels, alors $\frac{u_n}{\mathrm{\ell }n}\to 1$, ce qui s'écrit $u_n\sim \mathrm{\ell }n$. $\mathrm{\square }$

Corollaire 2 : la version multiplicative

Démonstration. Comme les $u_n$ sont strictement positifs, on peut poser $a_n=\ln u_n$. Alors

$$a_{n+1}-a_n=\ln u_{n+1}-\ln u_n=\ln \frac{u_{n+1}}{u_n}\mathrm{.}$$

Par hypothèse $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }>0$, et la fonction $\ln$ est continue en $\mathrm{\ell }$ (qui appartient bien à ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$), donc

$$a_{n+1}-a_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\ln \mathrm{\ell }\mathrm{.}$$

Le corollaire 1 donne alors $\frac{a_n}{n}\to \ln \mathrm{\ell }$, c'est-à-dire $\frac{\ln u_n}{n}\to \ln \mathrm{\ell }$. Enfin,

$$\sqrt[n]{u_n}=u_n^{1\mathrm{/}n}=\exp \left(\frac{\ln u_n}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\exp (\ln \mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$$

par continuité de l'exponentielle. $\mathrm{\square }$

Méthode : reconnaître une situation de Cesàro

Séries de signe quelconque

Quand la convergence absolue échoue, il reste peu d'outils au programme de MP, mais ils suffisent aux situations classiques. Cette partie rappelle le principal, acquis en première année, et démonte le piège qui coûte le plus de points aux concours.

Le théorème spécial des séries alternées

Démonstration. Quitte à décaler, prenons $n_0=0$ et posons $S_n={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k$. Étudions les deux suites extraites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$.

$(S_{2n})$ est décroissante. En effet

$$S_{2n+2}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}+(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}=a_{2n+2}-a_{2n+1}⩽0,$$

par décroissance de $(a_n)$.

$(S_{2n+1})$ est croissante. De même,

$$S_{2n+3}-S_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+3}⩾0.$$

Leur différence tend vers $0$. On a $S_{2n+1}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}=-a_{2n+1}\to 0$ par l'hypothèse 3.

Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$, et l'on a pour tout $n$

$$S_{2n+1}⩽S⩽S_{2n}\mathrm{.}$$

Comme les suites extraites d'indices pairs et impairs convergent vers la même limite, la suite $(S_n)$ converge vers $S$ : la série converge.

Signe et majoration du reste. Pour les indices pairs, $R_{2n}=S-S_{2n}⩽0$ d'après l'encadrement, et

$$R_{2n}=S-S_{2n}⩾S_{2n+1}-S_{2n}=-a_{2n+1}\mathrm{.}$$

Donc $-a_{2n+1}⩽R_{2n}⩽0$ : le reste est négatif, comme son premier terme $(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}=-a_{2n+1}$, et $\mathrm{\mid }{R}_{2n}\mathrm{\mid }⩽a_{2n+1}$.

Pour les indices impairs, $R_{2n+1}=S-S_{2n+1}⩾0$, et

$$R_{2n+1}=S-S_{2n+1}⩽S_{2n+2}-S_{2n+1}=a_{2n+2}\mathrm{.}$$

Donc $0⩽R_{2n+1}⩽a_{2n+2}$ : le reste est positif, comme son premier terme $(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}$, et $\mathrm{\mid }{R}_{2n+1}\mathrm{\mid }⩽a_{2n+2}$.

Dans les deux cas, $R_n$ est du signe de $(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}$ et $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽a_{n+1}$.

Encadrement de la somme. En appliquant ce qui précède au « reste d'ordre $n_0-1$ », c'est-à-dire à $S$ elle-même, on obtient que $S$ est du signe de $(-1{)}^{n_0}{a}_{n_0}$ et que $\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }⩽a_{n_0}$. $\mathrm{\square }$

Le piège des équivalents, développé

Le TSSA a une contrepartie dangereuse : il donne l'impression qu'une série « alternée » converge toujours, et il incite à remplacer le terme général par un équivalent avant de l'appliquer. C'est faux, et voici l'exemple à retenir.

Que faire devant une série de signe non constant

Une remarque honnête

Il est utile de le savoir : devant une série de signe non constant qui ne cède ni à la convergence absolue, ni à un développement, ni au TSSA, il faut soupçonner une erreur de calcul plutôt qu'un outil manquant.

Plan d'attaque : déterminer la nature d'une série

Les séries de référence

Les séries de Bertrand ne sont pas au programme comme résultat de cours : elles doivent être redémontrées à chaque usage. Pour $\alpha \mathrm{\ne }1$, on compare à une série de Riemann d'exposant intermédiaire (par exemple $\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}=\mathrm{o}\left(\frac{1}{n^{{\alpha }^{\mathrm{\prime }}}}\right)$ avec $1<{\alpha }^{\mathrm{\prime }}<\alpha$ si $\alpha >1$) ; pour $\alpha =1$, on procède par comparaison série-intégrale avec $f(t)=\frac{1}{t(\ln t{)}^{\beta }}$, dont une primitive est $\ln (\ln t)$ si $\beta =1$ et $\frac{(\ln t{)}^{1-\beta }}{1-\beta }$ sinon.

Les résultats asymptotiques à connaître par cœur

Les erreurs classiques

1. Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers $0$. La condition est nécessaire, jamais suffisante : la série harmonique est là pour le rappeler. La réciproque n'existe pas.
2. Utiliser un équivalent sans hypothèse de signe. C'est l'erreur la plus lourdement sanctionnée du chapitre. $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ et $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$ sont équivalentes et leurs séries n'ont pas la même nature. Avant tout usage d'un équivalent : écrire « la suite $(v_n)$ est positive à partir du rang … ».
3. Manipuler ${\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ avant d'avoir prouvé la convergence. Une somme infinie n'existe pas tant que la convergence n'est pas établie ; les calculs faits sur un objet inexistant ne valent rien, même s'ils « donnent le bon résultat ».
4. Appliquer d'Alembert à une fraction rationnelle. Le rapport tend vers $1$, la règle est muette, et le temps est perdu. Réflexe : fractions rationnelles et logarithmes relèvent des équivalents et de Riemann ; factorielles et exponentielles relèvent de d'Alembert.
5. Oublier de vérifier la décroissance dans le TSSA ou dans une comparaison série-intégrale. C'est l'hypothèse la plus souvent fausse, et la seule qui demande une vraie démonstration (signe de la dérivée, ou signe de $a_{n+1}-a_n$).
6. Confondre les deux versants de la sommation des relations de comparaison. Série de comparaison convergente : on somme les restes. Série de comparaison divergente : on somme les sommes partielles. Chercher un équivalent de la somme partielle d'une série convergente n'a aucun sens, puisqu'elle tend vers une constante.
7. Croire que $\parallel \cdot \parallel$ change quelque chose en dimension finie. Nature de la série, convergence absolue, valeur de la somme : rien ne dépend de la norme choisie. En revanche, choisir la bonne norme (par exemple $N(A)=p\max \mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }$ pour les matrices, parce qu'elle est sous-multiplicative) peut rendre un calcul trivial.