Topologie des espaces vectoriels normés

En première année, toute l'analyse reposait sur un seul nombre : $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. C'est lui qui donnait un sens à « la suite $(u_n)$ tend vers $\mathrm{\ell }$ », à « $f$ est continue en $a$ », à « le segment $[a,b]$ est fermé et borné ». Tous les énoncés d'analyse de MPSI, sans exception, se ramenaient à une majoration d'une valeur absolue ou d'un module. Or les objets que vous manipulez désormais ne sont plus des nombres : ce sont des matrices, des polynômes, des endomorphismes, des fonctions. La question qui ouvre ce chapitre est donc élémentaire et redoutable : que veut dire « deux matrices sont proches » ? que veut dire « une suite de fonctions converge » ?

La réponse tient en un mot : une norme. Une norme est une application qui, à un vecteur, associe sa « longueur », en respectant les trois seules propriétés dont la valeur absolue se servait vraiment : elle ne s'annule qu'en $0$, elle se comporte bien vis-à-vis de la multiplication par un scalaire, et elle vérifie l'inégalité triangulaire. Dès qu'un espace vectoriel est muni d'une norme, tout le vocabulaire de l'analyse se reconstruit mécaniquement : la distance $d(x,y)=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, les boules, les suites convergentes, les ouverts, les fermés, l'adhérence, la continuité, la compacité. Ce chapitre n'est rien d'autre que le déroulé patient de cette unique définition. Aucun outil nouveau n'apparaîtra : il n'y a que la norme, et l'inégalité triangulaire, utilisée quelques centaines de fois.

Une nouveauté déroutante attend cependant le lecteur de première année. Sur $\mathbb{R}$, la valeur absolue s'impose ; sur un espace vectoriel quelconque, il existe une infinité de normes, et le choix de la norme change les résultats. La suite de fonctions $f_n(t)=t^n$ tend vers la fonction nulle si l'on mesure les écarts par ${\int }_0^1\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t$, et ne tend pas vers elle si on les mesure par ${\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$. Deux normes peuvent donc décrire deux mondes différents sur le même espace vectoriel. D'où une section entière consacrée à la comparaison des normes, et l'habitude à prendre dès aujourd'hui : on ne dit jamais « la suite converge » sans dire pour quelle norme, tant qu'on n'est pas en dimension finie.

Car la dimension finie est un monde à part, et c'est le premier des deux théorèmes moteurs du chapitre : sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ce résultat, admis, a une conséquence spectaculaire : dans ${\mathbb{K}}^n$, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, dans ${\mathbb{K}}_n[X]$, la convergence, les ouverts, les fermés, les compacts, la continuité ne dépendent pas de la norme choisie. On peut donc raisonner avec la norme la plus commode, et cesser de la préciser. Toute la difficulté du chapitre se concentre alors sur les espaces de dimension infinie, essentiellement les espaces de fonctions, où il faudra rester vigilant.

Le second théorème moteur est le théorème des bornes atteintes : une fonction réelle continue sur une partie compacte non vide y est bornée et atteint ses bornes. C'est la généralisation exacte de l'énoncé de MPSI sur un segment, et c'est l'outil qui permet d'affirmer qu'un maximum existe avant même de savoir le calculer. La compacité sera définie ici par la seule propriété de Bolzano-Weierstrass : d'une suite d'éléments d'un compact, on peut toujours extraire une sous-suite qui converge dans ce compact. Retenez cette phrase, toute la section 6 en découle. Le chapitre se referme sur deux thèmes plus algébriques, les applications linéaires continues et leur norme subordonnée, puis la connexité par arcs, qui fournit la bonne généralisation du théorème des valeurs intermédiaires.

Les notations suivantes valent partout. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; les lettres $E$, $F$, $G$ désignent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, munis de normes toutes notées $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ lorsque aucune confusion n'est possible, et $N$, $N^{\mathrm{\prime }}$ lorsqu'on compare deux normes sur un même espace. La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ est notée $B(a,r)$, la boule fermée $B_f(a,r)$, la sphère $S(a,r)$. Les normes usuelles de ${\mathbb{K}}^n$ sont $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, celles de $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ portent les mêmes indices. L'intérieur d'une partie $A$ est $\mathring{A}$, son adhérence $\bar{A}$, sa frontière $\mathrm{\partial }A=\bar{A}\setminus \mathring{A}$. La distance de deux points est $d(x,y)=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, celle d'un point à une partie $d(x,A)={\inf }_{a\in A}\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$. L'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ est ${\mathcal{L}}_c(E,F)$, et la norme subordonnée s'écrit en triple barre : $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$. Enfin, les notations d'algèbre linéaire de l'an dernier sont conservées : ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$, ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, $\mathrm{t}\mathrm{r}$, $\mathrm{r}\mathrm{g}$, $\det$.

Normes et espaces vectoriels normés

La définition

Démonstration. Notons $M(x)=N(u(x))$. L'homogénéité vient de la linéarité : $M(\lambda x)=N(u(\lambda x))=N(\lambda u(x))=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }N(u(x))=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }M(x)$. L'inégalité triangulaire de même : $M(x+y)=N(u(x)+u(y))⩽N(u(x))+N(u(y))=M(x)+M(y)$. Enfin, si $M(x)=0$, alors $N(u(x))=0$, donc $u(x)=0_F$ par séparation de $N$, donc $x=0_E$ par injectivité de $u$. C'est exactement le point où l'injectivité sert, et elle est indispensable : sans elle, $M$ s'annulerait sur $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ tout entier. $\mathrm{\square }$

Les normes usuelles sur ${\mathbb{K}}^n$

Démonstration. Les axiomes de séparation et d'homogénéité sont immédiats dans les trois cas ; traitons l'inégalité triangulaire.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ : ${\sum }_i\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }⩽{\sum }_i(\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_i\mathrm{\mid })=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_1$, par inégalité triangulaire dans $\mathbb{K}$ terme à terme.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ : pour tout indice $i$, $\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{y}_i\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Le membre de droite majore tous les $\mathrm{\mid }{x}_i+y_i\mathrm{\mid }$, donc il majore leur maximum.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ sur ${\mathbb{R}}^n$ : c'est la norme associée au produit scalaire canonique, traitée plus bas, et l'inégalité triangulaire y sera démontrée à partir de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Le cas $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ s'y ramène : en écrivant $x_j=a_j+i{b}_j$, on a $\mathrm{\mid }{x}_j{\mathrm{\mid }}^2=a_j^2+b_j^2$, donc $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2=\parallel (a_1,b_1,\dots ,a_n,b_n){\parallel }_2$ ; la bijection ${\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{R}}^{2n}$ ainsi obtenue étant $\mathbb{R}$-linéaire, l'inégalité triangulaire dans ${\mathbb{R}}^{2n}$ la transporte telle quelle à ${\mathbb{C}}^n$. $\mathrm{\square }$

Les trois normes se lisent d'un coup d'œil sur leurs boules unités, c'est-à-dire sur l'ensemble des vecteurs de norme au plus $1$. Dans le plan, la boule unité de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ est le carré $[-1,1{]}^2$, celle de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ est le disque unité, et celle de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ est le losange de sommets $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(0,-1)$.

Normes sur les espaces de fonctions

Démonstration. Traitons $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, les deux autres étant analogues ou traitées plus loin.

L'application est bien définie : $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc intégrable. L'homogénéité vient de $\int \mathrm{\mid }\lambda f\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\int \mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, l'inégalité triangulaire de la croissance de l'intégrale appliquée à $\mathrm{\mid }f+g\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$.

La séparation est le seul point délicat, et c'est celui que les correcteurs attendent. Supposons ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t=0$ avec $f$ continue. La fonction $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[a,b]$ : elle est donc identiquement nulle, d'après le théorème de MPSI. Donc $f=0$. L'hypothèse de continuité est essentielle : sur l'espace des fonctions continues par morceaux, la fonction nulle partout sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle, et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ n'y serait pas une norme.

Pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ : le sup est fini car une fonction continue sur un segment est bornée, et $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=0$ signifie $\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }⩽0$ pour tout $t$, donc $f=0$. L'inégalité triangulaire se démontre comme pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{K}}^n$ : pour tout $t$, $\mathrm{\mid }f(t)+g(t)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et l'on passe au sup à gauche. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Si $f$ et $g$ sont bornées par $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$, alors $\mathrm{\parallel }(f+\lambda g)(x)\mathrm{\parallel }⩽M+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $x$ : la somme et les multiples sont bornés, et $\mathcal{B}(X,F)$ est bien un sous-espace vectoriel, non vide puisqu'il contient l'application nulle.

Pour la norme : $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=0$ entraîne $\mathrm{\parallel }f(x)\mathrm{\parallel }⩽0$ donc $f(x)=0_F$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f=0$. L'homogénéité vient de ${\sup }_x\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }f(x)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{\sup }_x\mathrm{\parallel }f(x)\mathrm{\parallel }$. Enfin, pour tout $x$, $\mathrm{\parallel }f(x)+g(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }f(x)\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }g(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ : le réel $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ majore l'ensemble des $\mathrm{\parallel }(f+g)(x)\mathrm{\parallel }$, donc majore sa borne supérieure. $\mathrm{\square }$

Norme associée à un produit scalaire

Démonstration. Rappelons l'argument de première année. Si $y=0$, les deux membres sont nuls. Sinon, considérons le trinôme

$$P(\lambda )=⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩=⟨x,x⟩+2\lambda ⟨x,y⟩+{\lambda }^2⟨y,y⟩,$$

qui est positif pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, de coefficient dominant $⟨y,y⟩>0$. Son discriminant est donc négatif ou nul :

$$4⟨x,y{⟩}^2-4⟨x,x⟩⟨y,y⟩⩽0,$$

ce qui est l'inégalité annoncée après extraction de la racine carrée.

Montrons maintenant que $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ est une norme. La séparation vient du caractère défini du produit scalaire, l'homogénéité de $\mathrm{\parallel }\lambda x{\mathrm{\parallel }}^2={\lambda }^2\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2$. Pour l'inégalité triangulaire, développons :

$$\mathrm{\parallel }x+y{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2+2⟨x,y⟩+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}^2⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^2+2\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}^2=(\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }{)}^2,$$

la majoration centrale étant exactement Cauchy-Schwarz. Les deux membres étant positifs, on peut prendre la racine carrée : $\mathrm{\parallel }x+y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$. $\mathrm{\square }$

Normes sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$

L'inégalité triangulaire inversée

Démonstration. Écrivons $x=(x-y)+y$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel },\text{donc}\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

En échangeant les rôles de $x$ et de $y$, on obtient de même $\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, la dernière égalité venant de l'homogénéité avec $\lambda =-1$. Le réel $\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ majore donc à la fois $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$ et son opposé : il majore leur maximum, qui est $\mid \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }\mid$. $\mathrm{\square }$

Distance associée, boules et sphères

Démonstration. Traitons la boule fermée $B_f(a,r)$, le cas ouvert étant identique avec des inégalités strictes. Soient $x,y\in B_f(a,r)$ et $t\in [0,1]$. Comme $(1-t)+t=1$, on peut écrire

$$(1-t)x+ty-a=(1-t)(x-a)+t(y-a),$$

égalité que l'on vérifie en développant le membre de droite. L'inégalité triangulaire puis l'homogénéité, avec $1-t⩾0$ et $t⩾0$, donnent

$$\parallel (1-t)x+ty-a\parallel ⩽(1-t)\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }+t\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }⩽(1-t)r+tr=r\mathrm{.}$$

Donc $(1-t)x+ty\in B_f(a,r)$.

Dans le cas ouvert, si $t\in ]0,1[$ les deux majorations $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$ et $\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }<r$ donnent une inégalité stricte, et les cas $t=0$ et $t=1$ sont triviaux. $\mathrm{\square }$

Parties bornées et suites bornées

Démonstration. Soient $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ des majorants de $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ sur $A$ et sur $B$. Sur $A\cup B$, la norme est majorée par $\max (M,M^{\mathrm{\prime }})$ ; sur $A\cap B\subseteq A$, par $M$ ; sur $\lambda A$, par $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }M$ grâce à l'homogénéité. Enfin, si $x\in A$ et $y\in B$, alors $\mathrm{\parallel }x+y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽M+M^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Produit fini d'espaces vectoriels normés

Démonstration. Séparation. Si $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=0$, alors $\mathrm{\parallel }{x}_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}=0$ pour chaque $i$, donc $x_i=0_{E_i}$ pour chaque $i$, c'est-à-dire $x=0_E$.

Homogénéité. $\mathrm{\parallel }\lambda x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\max }_i\mathrm{\parallel }\lambda x_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}={\max }_i\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{x}_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }{\max }_i\mathrm{\parallel }{x}_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}$, le facteur positif $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ sortant du maximum.

Inégalité triangulaire. Pour tout $i$, $\mathrm{\parallel }{x}_i+y_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}⩽\mathrm{\parallel }{x}_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}+\mathrm{\parallel }{y}_i{\mathrm{\parallel }}_{E_i}⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Ce majorant étant indépendant de $i$, il majore le maximum. $\mathrm{\square }$

Suites d'un espace vectoriel normé

Convergence

Démonstration. Supposons que $(u_n)$ converge à la fois vers $\mathrm{\ell }$ et vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'inégalité triangulaire donne

$$0⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }(\mathrm{\ell }-u_n)+(u_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }{u}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

Le membre de droite tend vers $0+0=0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, tandis que le membre de gauche est une constante positive indépendante de $n$. Par passage à la limite dans l'inégalité, $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽0$, donc $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }=0$, donc $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ par séparation de la norme. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Somme. $\mathrm{\parallel }(u_n+v_n)-(\mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }})\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }{v}_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }\to 0$.

Multiple. $\mathrm{\parallel }\lambda u_n-\lambda \mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\to 0$.

Norme. L'inégalité triangulaire inversée donne $\mid \mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\mid ⩽\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\to 0$.

Produit par une suite de scalaires. Écrivons

$$\mathrm{\parallel }{\lambda }_n{u}_n-\lambda \mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }{\lambda }_n(u_n-\mathrm{\ell })+({\lambda }_n-\lambda )\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }{\lambda }_n\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\mid }{\lambda }_n-\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

La suite $({\lambda }_n)$ converge, donc elle est bornée : il existe $C$ tel que $\mathrm{\mid }{\lambda }_n\mathrm{\mid }⩽C$ pour tout $n$. Le majorant est donc inférieur à $C\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+\mathrm{\mid }{\lambda }_n-\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }$, qui tend vers $0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(u_n)$ convergeant vers $\mathrm{\ell }$. Appliquons la définition avec $\epsilon =1$ : il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽1$ pour tout $n⩾N$, d'où $\mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+1$ pour ces indices. Posons

$$M=\max (\mathrm{\parallel }{u}_0\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }{u}_1\mathrm{\parallel },\dots ,\mathrm{\parallel }{u}_{N-1}\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }+1),$$

maximum d'un nombre fini de réels, donc bien défini. Alors $\mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par définition de la norme produit,

$$\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i⩽p}{\max }\parallel u_n^{(i)}-{\mathrm{\ell }}^{(i)}{\parallel }_{E_i}\mathrm{.}$$

Si $\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\to 0$, alors chaque terme $\parallel u_n^{(i)}-{\mathrm{\ell }}^{(i)}{\parallel }_{E_i}$, majoré par ce maximum, tend vers $0$. Réciproquement, si les $p$ suites réelles $\parallel u_n^{(i)}-{\mathrm{\ell }}^{(i)}{\parallel }_{E_i}$ tendent vers $0$, alors leur maximum aussi : c'est un maximum d'un nombre fini de suites tendant vers $0$, et l'on peut prendre le plus grand des $p$ rangs fournis par la définition. $\mathrm{\square }$

Suites extraites et valeurs d'adhérence

Démonstration. Soit $\epsilon >0$ et soit $N$ un rang tel que $\mathrm{\parallel }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$ pour $n⩾N$. Pour $n⩾N$, on a $\phi (n)⩾n⩾N$ (une extractrice vérifie $\phi (n)⩾n$, ce qui se démontre par récurrence immédiate), donc $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens direct. Supposons $u_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$ et soient $\epsilon >0$ et $N\in \mathbb{N}$. Il existe $n_0$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$ pour $n⩾n_0$. Choisissons $n_1=\max (n_0,N)$ : l'indice $n=\phi (n_1)$ convient, car $\phi (n_1)⩾n_1⩾N$ et $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (n_1)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$.

Réciproque. Supposons la propriété vérifiée et construisons $\phi$ par récurrence. Pour $n=0$, appliquons la propriété avec $\epsilon =1$ et $N=0$ : il existe $\phi (0)⩾0$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (0)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽1$. Supposons $\phi (0)<\cdots <\phi (n)$ construits avec $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (k)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{k+1}$ pour $k⩽n$. Appliquons la propriété avec $\epsilon =\frac{1}{n+2}$ et $N=\phi (n)+1$ : il existe $m⩾\phi (n)+1$ tel que $\mathrm{\parallel }{u}_m-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{n+2}$ ; posons $\phi (n+1)=m$, qui vérifie bien $\phi (n+1)>\phi (n)$.

L'application $\phi$ ainsi construite est strictement croissante, et $\mathrm{\parallel }{u}_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{n+1}\to 0$ : la suite extraite converge vers $\mathrm{\ell }$, qui est donc valeur d'adhérence. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Toute suite extraite converge vers $\mathrm{\ell }$ d'après la propriété ci-dessus, donc toute valeur d'adhérence vaut $\mathrm{\ell }$ par unicité de la limite d'une suite extraite. Réciproquement, $\mathrm{\ell }$ est bien valeur d'adhérence, en prenant $\phi ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}$. $\mathrm{\square }$

Comparaison des normes

Domination

Démonstration. $1⟹2$. Si $N^{\mathrm{\prime }}⩽CN$ et si $N(x_n)\to 0$, alors $0⩽N^{\mathrm{\prime }}(x_n)⩽CN(x_n)\to 0$, donc $N^{\mathrm{\prime }}(x_n)\to 0$ par encadrement.

$2⟹1$, par contraposée. Supposons qu'aucune constante ne convienne : pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la constante $C=n$ échoue, donc il existe $x_n\in E$ tel que $N^{\mathrm{\prime }}(x_n)>nN(x_n)$. Le vecteur $x_n$ est non nul, car sinon les deux membres seraient nuls ; en particulier $N(x_n)>0$, et l'on peut poser

$$y_n=\frac{x_n}{nN(x_n)}\mathrm{.}$$

Par homogénéité, $N(y_n)={\displaystyle \frac{N(x_n)}{nN(x_n)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}⟶0$, donc $(y_n)$ converge vers $0$ pour $N$. Mais

$$N^{\mathrm{\prime }}(y_n)=\frac{N^{\mathrm{\prime }}(x_n)}{nN(x_n)}>\frac{nN(x_n)}{nN(x_n)}=1,$$

donc $N^{\mathrm{\prime }}(y_n)\to ̸0$ : la suite $(y_n)$ ne converge pas vers $0$ pour $N^{\mathrm{\prime }}$, ce qui nie l'assertion 2. $\mathrm{\square }$

Normes équivalentes

Démonstration. Réflexivité : $1\cdot N⩽N⩽1\cdot N$. Symétrie : de $\alpha N⩽N^{\mathrm{\prime }}⩽\beta N$ on tire $\frac{1}{\beta }{N}^{\mathrm{\prime }}⩽N⩽\frac{1}{\alpha }{N}^{\mathrm{\prime }}$, les constantes $\frac{1}{\beta }$ et $\frac{1}{\alpha }$ étant strictement positives. Transitivité : si $\alpha N⩽N^{\mathrm{\prime }}⩽\beta N$ et ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}⩽N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽{\beta }^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}$, alors ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}\alpha N⩽{\alpha }^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}⩽N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽{\beta }^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}⩽{\beta }^{\mathrm{\prime }}\beta N$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Supposons $\alpha N⩽N^{\mathrm{\prime }}⩽\beta N$ avec $\alpha ,\beta >0$.

Suites. $N(x_n-\mathrm{\ell })\to 0$ entraîne $N^{\mathrm{\prime }}(x_n-\mathrm{\ell })⩽\beta N(x_n-\mathrm{\ell })\to 0$ ; réciproquement $N(x_n-\mathrm{\ell })⩽\frac{1}{\alpha }{N}^{\mathrm{\prime }}(x_n-\mathrm{\ell })$. Les deux convergences sont donc simultanées, avec la même limite. Les valeurs d'adhérence, définies à partir des suites extraites convergentes, sont donc les mêmes.

Bornés. $N⩽M$ sur $A$ donne $N^{\mathrm{\prime }}⩽\beta M$ sur $A$, et réciproquement.

Ouverts. Notons $B_N(a,r)$ et $B_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,r)$ les boules associées. Les inégalités donnent les inclusions

$$B_N\text{\hspace{0.17em}⁣}(a,\frac{r}{\beta })\subseteq B_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,r)\text{et}{B}_{N^{\mathrm{\prime }}}(a,\alpha r)\subseteq B_N(a,r)\mathrm{.}$$

En effet, $N(x-a)<r\mathrm{/}\beta$ entraîne $N^{\mathrm{\prime }}(x-a)⩽\beta N(x-a)<r$, et $N^{\mathrm{\prime }}(x-a)<\alpha r$ entraîne $N(x-a)⩽\frac{1}{\alpha }{N}^{\mathrm{\prime }}(x-a)<r$. Ainsi, toute boule pour l'une contient une boule de même centre pour l'autre : une partie qui contient une boule autour de chacun de ses points pour $N$ en contient une pour $N^{\mathrm{\prime }}$, et inversement. Les ouverts sont donc les mêmes, donc aussi les fermés (complémentaires), les voisinages, les intérieurs et les adhérences, qui se définissent tous à partir des ouverts ou des boules.

Continuité, compacité. Ces notions se caractérisent par des suites (sections 5 et 6), or les suites convergentes sont les mêmes. Pour le caractère lipschitzien, une inégalité $N_F^{\mathrm{\prime }}(f(x)-f(y))⩽k{N}_E(x-y)$ se transporte en multipliant $k$ par les constantes de comparaison. $\mathrm{\square }$

Deux normes non équivalentes sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$

Topologie d'un espace vectoriel normé

Dans toute cette section, $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ désigne un espace vectoriel normé et $A$, $B$, $U$, $F$ des parties de $E$.

Ouverts

Démonstration. Soit $x\in B(a,r)$, c'est-à-dire $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$. Posons

$$\rho =r-\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }>0.$$

Montrons que $B(x,\rho )\subseteq B(a,r)$. Soit $y\in B(x,\rho )$ : on a $\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }<\rho$, donc, par inégalité triangulaire,

$$\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }y-x\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<\rho +\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }=r\mathrm{.}$$

Donc $y\in B(a,r)$. Le rayon $\rho$ convient, et ceci pour tout $x\in B(a,r)$ : la boule est ouverte. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Réunion. Soit $(U_i{)}_{i\in I}$ une famille d'ouverts et $U={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$. Soit $a\in U$ : il existe $i_0\in I$ avec $a\in U_{i_0}$. Comme $U_{i_0}$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subseteq U_{i_0}\subseteq U$. Donc $U$ est ouvert.

Intersection finie. Soient $U_1,\dots ,U_p$ des ouverts et $U={\bigcap }_{k=1}^p{U}_k$. Soit $a\in U$. Pour chaque $k$, il existe $r_k>0$ tel que $B(a,r_k)\subseteq U_k$. Posons $r=\min (r_1,\dots ,r_p)$, qui est strictement positif car le minimum porte sur un nombre fini de réels strictement positifs. Alors $B(a,r)\subseteq B(a,r_k)\subseteq U_k$ pour chaque $k$, donc $B(a,r)\subseteq U$. $\mathrm{\square }$

Fermés

Démonstration. Boule fermée. Montrons que $\mathrm{\Omega }=E\setminus B_f(a,r)=\{x;\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }>r\}$ est ouvert. Soit $x\in \mathrm{\Omega }$ et posons $\rho =\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }-r>0$. Si $y\in B(x,\rho )$, l'inégalité triangulaire inversée donne

$$\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }⩾\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }>\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }-\rho =r,$$

donc $y\in \mathrm{\Omega }$. Ainsi $B(x,\rho )\subseteq \mathrm{\Omega }$, et $\mathrm{\Omega }$ est ouvert.

Sphère. On a $S(a,r)=B_f(a,r)\setminus B(a,r)$, donc son complémentaire est $\mathrm{\Omega }\cup B(a,r)$, réunion de deux ouverts, donc un ouvert. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il suffit de passer au complémentaire dans la propriété correspondante pour les ouverts, à l'aide des lois de De Morgan :

$$E\setminus \bigcap _{i\in I}{F}_i=\bigcup _{i\in I}(E\setminus F_i),E\setminus \bigcup _{k=1}^p{F}_k=\bigcap _{k=1}^p(E\setminus F_k)\mathrm{.}$$

Dans le premier cas, on obtient une réunion quelconque d'ouverts, donc un ouvert ; dans le second, une intersection finie d'ouverts, donc un ouvert. $\mathrm{\square }$

Voisinages

Démonstration. C'est la définition d'un ouvert, relue avec le vocabulaire des voisinages : « pour tout $a\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subseteq U$ » signifie exactement « $U$ est voisinage de chacun de ses points ». $\mathrm{\square }$

Intérieur

Démonstration. 1. Si $a\in \mathring{A}$, alors $a\in B(a,r)\subseteq A$.

2. Soit $a\in \mathring{A}$ et $r>0$ tel que $B(a,r)\subseteq A$. Montrons que $B(a,r)\subseteq \mathring{A}$. Soit $x\in B(a,r)$ ; comme $B(a,r)$ est ouverte, il existe $\rho >0$ tel que $B(x,\rho )\subseteq B(a,r)\subseteq A$, donc $x\in \mathring{A}$. Ainsi $\mathring{A}$ contient une boule autour de chacun de ses points.

3. Soit $U$ un ouvert inclus dans $A$ et $a\in U$. Il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subseteq U\subseteq A$, donc $a\in \mathring{A}$.

4. Si $A=\mathring{A}$, alors $A$ est ouvert d'après 2. Réciproquement, si $A$ est ouvert, alors $A$ est un ouvert inclus dans $A$, donc $A\subseteq \mathring{A}$ par 3, et l'inclusion inverse est le point 1. $\mathrm{\square }$

Adhérence

Démonstration. 1. Si $a\in A$, toute boule $B(a,r)$ contient $a$, donc rencontre $A$.

2. Montrons que $E\setminus \bar{A}$ est ouvert. Soit $x\mathrm{\notin }\bar{A}$ : il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$. Montrons que $B(x,r)\subseteq E\setminus \bar{A}$. Soit $y\in B(x,r)$ ; comme $B(x,r)$ est ouverte, il existe $\rho >0$ tel que $B(y,\rho )\subseteq B(x,r)$, donc $B(y,\rho )\cap A\subseteq B(x,r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ : le point $y$ n'est pas adhérent à $A$.

3. Soit $F$ un fermé contenant $A$ et soit $x\mathrm{\notin }F$. Comme $E\setminus F$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subseteq E\setminus F\subseteq E\setminus A$, donc $B(x,r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ et $x\mathrm{\notin }\bar{A}$. Par contraposée, $\bar{A}\subseteq F$.

4. Si $A=\bar{A}$, alors $A$ est fermé d'après 2. Réciproquement, si $A$ est fermé, c'est un fermé contenant $A$, donc $\bar{A}\subseteq A$ par 3, et l'inclusion inverse est le point 1. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens direct. Supposons $x\in \bar{A}$. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, la boule $B\text{\hspace{0.17em}⁣}(x,\frac{1}{n+1})$ rencontre $A$ : choisissons un élément $a_n$ dans $B\text{\hspace{0.17em}⁣}(x,\frac{1}{n+1})\cap A$. La suite $(a_n)$ est à valeurs dans $A$ et vérifie

$$\mathrm{\parallel }{a}_n-x\mathrm{\parallel }<\frac{1}{n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

donc elle converge vers $x$.

Réciproque. Supposons qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $x$, et soit $r>0$. Par définition de la convergence appliquée à $\epsilon =\frac{r}{2}$, il existe un rang $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{a}_N-x\mathrm{\parallel }⩽\frac{r}{2}<r$. Alors $a_N\in B(x,r)\cap A$, qui est donc non vide. Ceci valant pour tout $r>0$, on a $x\in \bar{A}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Supposons $F$ fermée, et soit $(x_n)$ une suite de $F$ convergeant vers $\mathrm{\ell }$. D'après la caractérisation séquentielle de l'adhérence, $\mathrm{\ell }\in \bar{F}$, et $\bar{F}=F$ puisque $F$ est fermée : donc $\mathrm{\ell }\in F$.

Réciproquement, supposons la propriété de stabilité et montrons $\bar{F}\subseteq F$ (l'inclusion inverse étant toujours vraie). Soit $x\in \bar{F}$ : il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ convergeant vers $x$, donc $x\in F$ par hypothèse. Ainsi $F=\bar{F}$ et $F$ est fermée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Première égalité, inclusion directe. La boule fermée est un fermé contenant $B(a,r)$, donc contient son adhérence : $\overline{B(a,r)}\subseteq B_f(a,r)$.

Inclusion réciproque. Soit $x\in B_f(a,r)$. Si $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$, alors $x\in B(a,r)\subseteq \overline{B(a,r)}$. Sinon $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }=r$, et l'on pose, pour $n⩾1$,

$$x_n=a+(1-\frac{1}{n})(x-a)\mathrm{.}$$

Alors $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }=(1-\frac{1}{n})r<r$, donc $x_n\in B(a,r)$, et

$$\mathrm{\parallel }{x}_n-x\mathrm{\parallel }=\parallel -\frac{1}{n}(x-a)\parallel =\frac{r}{n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Donc $x$ est limite d'une suite d'éléments de $B(a,r)$ : il appartient à l'adhérence.

Seconde égalité. La boule ouverte est un ouvert inclus dans $B_f(a,r)$, donc $B(a,r)\subseteq (B_f(a,r){)}^{\circ }$. Réciproquement, soit $x$ avec $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }=r$ ; pour tout $\rho >0$, le point $x+\frac{\rho }{2r}(x-a)$ est à distance $\frac{\rho }{2}$ de $x$ et à distance $r+\frac{\rho }{2}>r$ de $a$ : aucune boule centrée en $x$ n'est incluse dans $B_f(a,r)$, donc $x$ n'est pas intérieur. $\mathrm{\square }$

Frontière

Démonstration. Le point $x$ appartient à $\bar{A}$ si et seulement si toute boule $B(x,r)$ rencontre $A$. Par ailleurs, $x\mathrm{\notin }\mathring{A}$ signifie qu'aucune boule $B(x,r)$ n'est incluse dans $A$, c'est-à-dire que toute boule $B(x,r)$ contient un point hors de $A$, soit $B(x,r)\cap (E\setminus A)\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$. La conjonction des deux conditions est exactement l'appartenance à $\mathrm{\partial }A=\bar{A}\cap (E\setminus \mathring{A})$. $\mathrm{\square }$

La figure suivante résume tout ce vocabulaire sur une partie $A$ du plan : le point $a$ est intérieur, car une boule centrée en $a$ est entièrement contenue dans $A$ ; le point $b$ est sur la frontière, car toute boule centrée en $b$ rencontre à la fois $A$ et son complémentaire ; le point $c$ est extérieur, c'est-à-dire intérieur au complémentaire, et n'appartient donc pas à l'adhérence de $A$.

Distance à une partie

Démonstration. Supposons $x\in \bar{A}$ et soit $\epsilon >0$. La boule $B(x,\epsilon )$ rencontre $A$ : il existe $a\in A$ avec $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<\epsilon$, donc $0⩽d(x,A)<\epsilon$. Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on obtient $d(x,A)=0$.

Réciproquement, supposons $d(x,A)=0$ et soit $r>0$. Comme $0=d(x,A)<r$, le réel $r$ n'est pas un minorant de l'ensemble $\{\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel };a\in A\}$ : il existe $a\in A$ avec $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r$, donc $B(x,r)\cap A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$. Ainsi $x\in \bar{A}$. $\mathrm{\square }$

Parties denses

Démonstration. $1⟺2$ est la caractérisation séquentielle de l'adhérence appliquée à chaque $x\in E$.

$1⟺3$ est la définition même de l'adhérence : dire que tout $x$ est adhérent à $A$, c'est dire que toute boule $B(x,r)$ rencontre $A$.

$3⟹4$. Soit $U$ un ouvert non vide et $x\in U$ : il existe $r>0$ avec $B(x,r)\subseteq U$, et $B(x,r)$ rencontre $A$, donc $U$ aussi.

$4⟹3$ est immédiat, une boule ouverte non vide étant un ouvert non vide. $\mathrm{\square }$

Limites et continuité

Dans toute cette section, $(E,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_E)$ et $(F,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_F)$ sont deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ une application. Pour alléger, on note $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ les deux normes lorsque le contexte lève l'ambiguïté.

Limite en un point adhérent

Démonstration. Supposons que $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ soient deux limites de $f$ en $a$, et soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta >0$ et ${\delta }^{\mathrm{\prime }}>0$ tels que, pour $x\in A$,

$$\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon ,\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽{\delta }^{\mathrm{\prime }}⟹\mathrm{\parallel }f(x)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Posons $\eta =\min (\delta ,{\delta }^{\mathrm{\prime }})>0$. Comme $a\in \bar{A}$, la boule $B(a,\eta )$ rencontre $A$ : il existe $x_0\in A$ avec $\mathrm{\parallel }{x}_0-a\mathrm{\parallel }<\eta$. Alors

$$\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-f(x_0)\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }f(x_0)-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽2\epsilon \mathrm{.}$$

Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$, donc $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }=0$ et $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens direct. Supposons $f(x)\to \mathrm{\ell }$ quand $x\to a$, et soit $(x_n)$ une suite de $A$ convergeant vers $a$. Soit $\epsilon >0$ ; il existe $\delta >0$ tel que, pour $x\in A$, $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$. Comme $x_n\to a$, il existe un rang $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$ pour tout $n⩾N$. Pour un tel $n$, on a donc $\mathrm{\parallel }f(x_n)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩽\epsilon$. Ainsi $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$.

Réciproque, par contraposée. Supposons que $f$ n'admette pas $\mathrm{\ell }$ pour limite en $a$. La négation de la définition s'écrit

$$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0,\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x\in A,\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta \text{ et }\mathrm{\parallel }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

Fixons un tel ${\epsilon }_0$. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, appliquons cette propriété avec $\delta =\frac{1}{n+1}$ : il existe $x_n\in A$ tel que

$$\mathrm{\parallel }{x}_n-a\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{n+1}\text{et}\mathrm{\parallel }f(x_n)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

La suite $(x_n)$ est à valeurs dans $A$ et converge vers $a$, mais $(f(x_n))$ ne converge pas vers $\mathrm{\ell }$, puisque $\mathrm{\parallel }f(x_n)-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }$ reste minoré par ${\epsilon }_0>0$. La propriété séquentielle est donc en défaut. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Tout se déduit de la caractérisation séquentielle et des opérations sur les limites de suites. Par exemple pour la somme : si $x_n\to a$ avec $x_n\in A$, alors $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$ et $g(x_n)\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, donc $f(x_n)+g(x_n)\to \mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ ; la caractérisation séquentielle, appliquée dans l'autre sens, donne la limite de $f+g$. Le point 2 vient de l'inégalité triangulaire inversée, le point 3 de la composition des limites de suites : si $x_n\to a$ alors $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$, puis $h(f(x_n))\to L$. $\mathrm{\square }$

Continuité

Démonstration. C'est la caractérisation séquentielle de la limite appliquée à $\mathrm{\ell }=f(a)$, complétée par les opérations sur les limites. $\mathrm{\square }$

Caractérisation globale de la continuité

Démonstration. $1⟹2$. Soient $U$ un ouvert de $F$ et $a\in f^{-1}(U)$. Alors $f(a)\in U$, et comme $U$ est ouvert, il existe $\epsilon >0$ tel que $B(f(a),\epsilon )\subseteq U$. La continuité de $f$ en $a$, appliquée à $\frac{\epsilon }{2}$, fournit $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }f(x)-f(a)\mathrm{\parallel }⩽\frac{\epsilon }{2}<\epsilon \mathrm{.}$$

Donc pour $x\in B(a,\delta )$ on a $f(x)\in B(f(a),\epsilon )\subseteq U$, c'est-à-dire $B(a,\delta )\subseteq f^{-1}(U)$. L'ensemble $f^{-1}(U)$ contient une boule autour de chacun de ses points : il est ouvert.

$2⟹1$. Soient $a\in E$ et $\epsilon >0$. L'ensemble $U=B(f(a),\epsilon )$ est un ouvert de $F$, donc $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $E$, qui contient $a$ puisque $f(a)\in U$. Il existe donc $\delta >0$ tel que $B(a,\delta )\subseteq f^{-1}(U)$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<\delta ⟹\mathrm{\parallel }f(x)-f(a)\mathrm{\parallel }<\epsilon \mathrm{.}$$

En remplaçant $\delta$ par $\frac{\delta }{2}$, on obtient la définition avec inégalités larges : $f$ est continue en $a$.

$2⟺3$. Pour toute partie $S$ de $F$, on a l'identité ensembliste $f^{-1}(F\setminus S)=E\setminus f^{-1}(S)$. Si $G$ est fermé, $F\setminus G$ est ouvert, donc $f^{-1}(F\setminus G)=E\setminus f^{-1}(G)$ est ouvert par 2, donc $f^{-1}(G)$ est fermé ; et réciproquement en échangeant les rôles. $\mathrm{\square }$

Applications lipschitziennes et continuité uniforme

Démonstration. Lipschitzienne $⟹$ uniformément continue. Si $f$ est $k$-lipschitzienne avec $k>0$ (le cas $k=0$ donne $f$ constante, qui est trivialement uniformément continue), soit $\epsilon >0$ et posons $\delta =\frac{\epsilon }{k}>0$. Si $\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽\delta$, alors $\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽k\delta =\epsilon$.

Uniformément continue $⟹$ continue. Soit $a\in A$ et $\epsilon >0$. Le $\delta$ fourni par la continuité uniforme convient dans la définition de la continuité en $a$, en prenant $y=a$.

Les réciproques sont fausses. La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0,1]$ (voir le théorème de Heine, section 6) mais n'est pas lipschitzienne : le quotient $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ n'est pas borné au voisinage de $0$. La fonction $x\mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais pas uniformément continue : avec $x_n=n+\frac{1}{n}$ et $y_n=n$, on a $\mathrm{\mid }{x}_n-y_n\mathrm{\mid }=\frac{1}{n}\to 0$ tandis que $\mathrm{\mid }{x}_n^2-y_n^2\mathrm{\mid }=2+\frac{1}{n^2}⩾2$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $x,y\in E$ et $a\in A$. L'inégalité triangulaire donne

$$d(x,A)⩽\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel },$$

la première majoration venant de ce que $d(x,A)$ est un minorant de l'ensemble des $\mathrm{\parallel }x-a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }$, $a^{\mathrm{\prime }}\in A$. Ainsi, pour tout $a\in A$,

$$d(x,A)-\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

Le réel $d(x,A)-\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ est donc un minorant de $\{\mathrm{\parallel }y-a\mathrm{\parallel };a\in A\}$ ; il est par conséquent inférieur ou égal à la borne inférieure de cet ensemble :

$$d(x,A)-\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽d(y,A),\text{soit}d(x,A)-d(y,A)⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

En échangeant $x$ et $y$, on obtient l'inégalité symétrique, d'où $\mathrm{\mid }d(x,A)-d(y,A)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$. $\mathrm{\square }$

Applications à valeurs dans un produit

Démonstration. Utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(x_n)$ une suite de $A$ convergeant vers $a$. D'après la caractérisation de la convergence dans un produit (section 2),

$$f(x_n)\to f(a)⟺\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,p\},f_i(x_n)\to f_i(a)\mathrm{.}$$

Si $f$ est continue en $a$, le membre de gauche est vrai pour toute suite $(x_n)\to a$, donc chaque $f_i$ vérifie la caractérisation séquentielle : elle est continue en $a$. Réciproquement, si toutes les $f_i$ sont continues en $a$, le membre de droite est vrai pour toute suite $(x_n)\to a$, donc $f(x_n)\to f(a)$, et $f$ est continue en $a$. $\mathrm{\square }$

Parties compactes

Définition

Compact, fermé, borné

Démonstration. $K$ est fermée. Utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $K$ convergeant vers un $\mathrm{\ell }\in E$ ; montrons $\mathrm{\ell }\in K$. Par compacité, il existe une extractrice $\phi$ et un élément ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\in K$ tels que $x_{\phi (n)}\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Mais $(x_{\phi (n)})$ est une suite extraite d'une suite convergeant vers $\mathrm{\ell }$ : elle converge donc aussi vers $\mathrm{\ell }$. Par unicité de la limite, $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\in K$.

$K$ est bornée. Raisonnons par l'absurde : supposons $K$ non bornée. Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, le réel $n$ ne majore pas $\{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel };x\in K\}$, donc il existe $x_n\in K$ avec $\mathrm{\parallel }{x}_n\mathrm{\parallel }>n$. Par compacité, il existe une extractrice $\phi$ telle que $(x_{\phi (n)})$ converge ; en particulier cette sous-suite est bornée. Or

$$\mathrm{\parallel }{x}_{\phi (n)}\mathrm{\parallel }>\phi (n)⩾n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },$$

ce qui contredit le caractère borné. Donc $K$ est bornée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $F$. Comme $F\subseteq K$, c'est aussi une suite d'éléments de $K$ : par compacité de $K$, il existe une extractrice $\phi$ et $\mathrm{\ell }\in K$ tels que $x_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$.

Or la suite extraite $(x_{\phi (n)})$ est à valeurs dans $F$, qui est fermée : par caractérisation séquentielle des fermés, sa limite appartient à $F$, donc $\mathrm{\ell }\in F$. La sous-suite converge donc dans $F$, et $F$ est compacte. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $((x_n,y_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $K_1\times K_2$, c'est-à-dire $x_n\in K_1$ et $y_n\in K_2$ pour tout $n$.

Première extraction. La suite $(x_n)$ est à valeurs dans le compact $K_1$ : il existe une extractrice $\phi$ et $x\in K_1$ tels que $x_{\phi (n)}\to x$.

Seconde extraction. La suite $\left(y_{\phi (n)}\right)$ est à valeurs dans le compact $K_2$ : il existe une extractrice $\psi$ et $y\in K_2$ tels que $y_{\phi (\psi (n))}\to y$.

Conclusion. L'application $\phi \circ \psi$ est strictement croissante, comme composée de deux applications strictement croissantes : c'est une extractrice. La suite $\left(x_{\phi (\psi (n))}\right)$ est extraite de $\left(x_{\phi (n)}\right)$, qui converge vers $x$ : elle converge donc vers $x$. Et $\left(y_{\phi (\psi (n))}\right)$ converge vers $y$ par construction. D'après la caractérisation de la convergence dans un produit,

$$(x_{\phi (\psi (n))},y_{\phi (\psi (n))})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(x,y)\in K_1\times K_2\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Compacité et continuité

Démonstration. Soit $(y_n)$ une suite d'éléments de $f(K)$. Par définition de l'image directe, pour chaque $n$ il existe $x_n\in K$ tel que $y_n=f(x_n)$.

La suite $(x_n)$ vit dans le compact $K$ : il existe une extractrice $\phi$ et $a\in K$ tels que $x_{\phi (n)}\to a$. Comme $f$ est continue en $a$, la caractérisation séquentielle donne

$$y_{\phi (n)}=f\left(x_{\phi (n)}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}f(a)\mathrm{.}$$

Or $f(a)\in f(K)$ puisque $a\in K$. On a donc extrait de $(y_n)$ une sous-suite convergeant dans $f(K)$ : cet ensemble est compact. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Traitons le maximum, le minimum s'en déduisant en appliquant le résultat à $-f$.

Posons $M={\sup }_{x\in K}f(x)\in \mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$, borne supérieure d'une partie non vide de $\mathbb{R}$. Construisons une suite $(x_n)$ d'éléments de $K$ telle que $f(x_n)\to M$.

• Si $M=+\mathrm{\infty }$ : pour chaque $n$, le réel $n$ ne majore pas $f(K)$, donc il existe $x_n\in K$ avec $f(x_n)>n$.
• Si $M\in \mathbb{R}$ : pour chaque $n\in \mathbb{N}$, le réel $M-\frac{1}{n+1}$ ne majore pas $f(K)$, donc il existe $x_n\in K$ avec $M-\frac{1}{n+1}<f(x_n)⩽M$, d'où $f(x_n)\to M$ par encadrement.

Dans les deux cas, $f(x_n)\to M$ dans $\mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$. Par compacité de $K$, extrayons une sous-suite $x_{\phi (n)}\to b$ avec $b\in K$. La continuité de $f$ en $b$ donne

$$f\left(x_{\phi (n)}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}f(b)\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Mais $(f(x_{\phi (n)}))$ est extraite de $(f(x_n))$, qui tend vers $M$ : par unicité de la limite, $M=f(b)$. En particulier $M$ est fini (ce qui exclut le premier cas) et il est atteint en $b\in K$. $\mathrm{\square }$

Le théorème de Heine

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $f$ non uniformément continue. La négation de la définition s'écrit

$$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0,\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x,y\in K,\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽\delta \text{ et }\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

Fixons un tel ${\epsilon }_0>0$. Pour chaque $n\in \mathbb{N}$, appliquons cette propriété avec $\delta =\frac{1}{n+1}$ : il existe $x_n,y_n\in K$ tels que

$$\mathrm{\parallel }{x}_n-y_n\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{n+1}\text{et}\mathrm{\parallel }f(x_n)-f(y_n)\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

Retenons ces deux inégalités : ce sont elles que la fin de la démonstration mettra en défaut.

Extraction. La suite $(x_n)$ vit dans le compact $K$ : il existe une extractrice $\phi$ et $a\in K$ tels que $x_{\phi (n)}\to a$.

La seconde suite converge vers la même limite. En effet,

$$\parallel y_{\phi (n)}-a\parallel ⩽\parallel y_{\phi (n)}-x_{\phi (n)}\parallel +\parallel x_{\phi (n)}-a\parallel ⩽\frac{1}{\phi (n)+1}+\parallel x_{\phi (n)}-a\parallel ,$$

et les deux termes tendent vers $0$ (le premier car $\phi (n)⩾n$). Donc $y_{\phi (n)}\to a$.

Contradiction. La continuité de $f$ en $a$ donne $f\left(x_{\phi (n)}\right)\to f(a)$ et $f\left(y_{\phi (n)}\right)\to f(a)$, donc

$$\parallel f(x_{\phi (n)})-f(y_{\phi (n)})\parallel ⩽\parallel f(x_{\phi (n)})-f(a)\parallel +\parallel f(a)-f(y_{\phi (n)})\parallel \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Cette quantité est donc strictement inférieure à ${\epsilon }_0$ à partir d'un certain rang, ce qui contredit la seconde inégalité de la construction, valable pour tout $n$. Donc $f$ est uniformément continue sur $K$. $\mathrm{\square }$

Compacts de $\mathbb{R}$ et suites à une seule valeur d'adhérence

Démonstration. Le sens direct est le cas particulier de la propriété générale démontrée plus haut.

Réciproquement, soit $K$ une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}$, et soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $K$. Cette suite est bornée, donc, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}$ vu en MPSI, on peut en extraire une sous-suite $\left(x_{\phi (n)}\right)$ convergeant vers un réel $\mathrm{\ell }$. Comme $K$ est fermée et que la sous-suite est à valeurs dans $K$, la caractérisation séquentielle des fermés donne $\mathrm{\ell }\in K$. Donc $K$ est compacte.

Le segment $[a,b]$ est borné, et il est fermé car son complémentaire $]-\mathrm{\infty },a[\cup ]b,+\mathrm{\infty }[$ est une réunion de deux ouverts : il est donc compact. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant que $(x_n)$ ne converge pas vers $\mathrm{\ell }$. La négation de la convergence s'écrit

$$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0,\mathrm{\forall }N\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }n⩾N,\mathrm{\parallel }{x}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

Cette propriété permet de construire, exactement comme dans la caractérisation des valeurs d'adhérence, une extractrice $\phi$ telle que $\mathrm{\parallel }{x}_{\phi (n)}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }>{\epsilon }_0$ pour tout $n$ : on choisit $\phi (0)$ un indice convenable, puis $\phi (n+1)$ un indice $⩾\phi (n)+1$ fourni par la propriété avec $N=\phi (n)+1$.

La suite $\left(x_{\phi (n)}\right)$ est à valeurs dans le compact $K$ : on peut en extraire une sous-suite $\left(x_{\phi (\psi (n))}\right)$ convergeant vers un ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\in K$. Comme $\phi \circ \psi$ est une extractrice, ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ est une valeur d'adhérence de $(x_n)$, donc ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\ell }$ par hypothèse d'unicité.

Mais en passant à la limite dans l'inégalité $\parallel x_{\phi (\psi (n))}-\mathrm{\ell }\parallel >{\epsilon }_0$, on obtient $\mathrm{\parallel }{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }⩾{\epsilon }_0>0$, donc ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }\mathrm{\ell }$ : contradiction. $\mathrm{\square }$

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Le théorème d'équivalence des normes

Convergence coordonnée par coordonnée

Démonstration. $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}$ est une norme. L'application $\theta :E\to {\mathbb{K}}^p$ qui à $x$ associe le $p$-uplet de ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ est un isomorphisme, en particulier une application linéaire injective, et $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}=\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\circ \theta$. On conclut par la propriété de transport d'une norme par une application linéaire injective (section 1).

Caractérisation de la convergence. Notons $u_n={\sum }_{i=1}^p{u}_n^{(i)}{e}_i$ et $\mathrm{\ell }={\sum }_{i=1}^p{\mathrm{\ell }}^{(i)}{e}_i$. Par définition,

$$N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}(u_n-\mathrm{\ell })=\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mid u_n^{(i)}-{\mathrm{\ell }}^{(i)}\mid \mathrm{.}$$

Ce maximum tend vers $0$ si et seulement si chacun des $p$ termes tend vers $0$, exactement comme pour la norme produit (section 2). Donc $u_n\to \mathrm{\ell }$ pour $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}$ si et seulement si $u_n^{(i)}\to {\mathrm{\ell }}^{(i)}$ pour tout $i$. Enfin, le théorème d'équivalence des normes assure que la convergence pour $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ équivaut à la convergence pour $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}$. $\mathrm{\square }$

Compacts en dimension finie

Démonstration. Le sens direct vaut dans tout evn (section 6). Montrons la réciproque.

Soit $A$ une partie fermée et bornée de $E$, de dimension $p$, et fixons une base $\mathcal{B}$. Grâce au théorème d'équivalence des normes, on peut travailler avec la norme $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}$ des coordonnées. Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $A$, de coordonnées $(x_n^{(1)},\dots ,x_n^{(p)})$.

Les coordonnées sont bornées. La partie $A$ étant bornée, il existe $M$ tel que $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}(x_n)⩽M$ pour tout $n$, donc $\mid x_n^{(i)}\mid ⩽M$ pour tout $n$ et tout $i$.

Extractions successives. La suite $\left(x_n^{(1)}\right)$ est une suite bornée de $\mathbb{K}$. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$, le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une extractrice ${\phi }_1$ telle que $\left(x_{{\phi }_1(n)}^{(1)}\right)$ converge ; si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, on applique Bolzano-Weierstrass successivement aux parties réelle et imaginaire, qui sont bornées, ce qui donne la même conclusion. On recommence avec la deuxième coordonnée de la suite déjà extraite, ce qui fournit ${\phi }_2$, et ainsi de suite jusqu'à la $p$-ième.

Posons $\phi ={\phi }_1\circ {\phi }_2\circ \cdots \circ {\phi }_p$, qui est une extractrice comme composée d'extractrices. Pour chaque $i$, la suite $\left(x_{\phi (n)}^{(i)}\right)$ est extraite d'une suite convergente : elle converge, vers un scalaire ${\mathrm{\ell }}^{(i)}$.

Conclusion. Les $p$ coordonnées convergent, donc $x_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }={\sum }_{i=1}^p{\mathrm{\ell }}^{(i)}{e}_i$ dans $E$. Comme $A$ est fermée et que la sous-suite est à valeurs dans $A$, on a $\mathrm{\ell }\in A$. La partie $A$ est donc compacte. $\mathrm{\square }$

Tout sous-espace de dimension finie est fermé

Démonstration. Utilisons la caractérisation séquentielle des fermés. Soit $(y_n)$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers un $x\in E$ ; montrons que $x\in F$.

La suite est bornée. Convergente, la suite $(y_n)$ est bornée : il existe $M⩾0$ tel que $\mathrm{\parallel }{y}_n\mathrm{\parallel }⩽M$ pour tout $n$.

Un compact bien choisi. Considérons $K=\{y\in F;\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽M\}$, c'est-à-dire la boule fermée de centre $0$ et de rayon $M$ de l'espace vectoriel normé $F$, muni de la restriction de $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Comme $F$ est de dimension finie, cette partie, qui est fermée dans $F$ et bornée, est compacte d'après le théorème précédent appliqué dans $F$.

Extraction. La suite $(y_n)$ est à valeurs dans $K$ : il existe une extractrice $\phi$ et $\mathrm{\ell }\in K\subseteq F$ tels que $y_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$.

Conclusion. Mais $\left(y_{\phi (n)}\right)$ est extraite d'une suite convergeant vers $x$, donc elle converge aussi vers $x$. Par unicité de la limite, $x=\mathrm{\ell }\in F$. Donc $F$ est fermée. $\mathrm{\square }$

Continuité des applications linéaires en dimension finie

Démonstration. Si $E=\{0_E\}$, le résultat est immédiat. Sinon, notons $p=\dim E⩾1$ et fixons une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ de $E$.

Soit $x={\sum }_{i=1}^p{x}_i{e}_i\in E$. Par linéarité, puis par inégalité triangulaire et homogénéité,

$$\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }=\parallel \sum _{i=1}^p{x}_{i}u(e_i)\parallel ⩽\sum _{i=1}^p\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel }⩽(\sum _{i=1}^p\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel })\underset{1⩽i⩽p}{\max }\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }=C{N}_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}(x),$$

où $C={\sum }_{i=1}^p\mathrm{\parallel }u(e_i)\mathrm{\parallel }$ est une constante indépendante de $x$, puisqu'elle ne dépend que de $u$ et de la base.

Par le théorème d'équivalence des normes, il existe $\alpha >0$ tel que $N_{\mathrm{\infty }}^{\mathcal{B}}(x)⩽\alpha \mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_E$ pour tout $x$. On obtient donc

$$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽C\alpha \mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_E\mathrm{.}$$

Enfin, pour $x,y\in E$, la linéarité donne $\mathrm{\parallel }u(x)-u(y)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }u(x-y)\mathrm{\parallel }⩽C\alpha \mathrm{\parallel }x-y{\mathrm{\parallel }}_E$ : l'application $u$ est $C\alpha$-lipschitzienne, donc continue. $\mathrm{\square }$

Applications multilinéaires et polynomiales

Démonstration. Majoration. Fixons une base $(e_1^{(k)},\dots ,e_{p_k}^{(k)})$ de chaque $E_k$ et décomposons $x_k={\sum }_{i=1}^{p_k}{x}_{k,i}{e}_i^{(k)}$. En développant par multilinéarité,

$$B(x_1,\dots ,x_m)=\sum _{i_1=1}^{p_1}\cdots \sum _{i_m=1}^{p_m}{x}_{1,i_1}\cdots x_{m,i_m}B(e_{i_1}^{(1)},\dots ,e_{i_m}^{(m)})\mathrm{.}$$

En majorant chaque $\mathrm{\mid }{x}_{k,i_k}\mathrm{\mid }$ par $N_{\mathrm{\infty }}(x_k)$ et en notant $D$ le maximum des $\parallel B(e_{i_1}^{(1)},\dots ,e_{i_m}^{(m)})\parallel$, il vient

$$\mathrm{\parallel }B(x_1,\dots ,x_m)\mathrm{\parallel }⩽p_1\cdots p_{m}D{N}_{\mathrm{\infty }}(x_1)\cdots N_{\mathrm{\infty }}(x_m),$$

et l'équivalence des normes en dimension finie permet de remplacer chaque $N_{\mathrm{\infty }}(x_k)$ par ${\alpha }_k\mathrm{\parallel }{x}_k\mathrm{\parallel }$ : on obtient la majoration voulue avec $C=p_1\cdots p_{m}D{\alpha }_1\cdots {\alpha }_m$.

Continuité. Soit $(a_1,\dots ,a_m)$ un point du produit. La différence se télescope :

$$B(x_1,\dots ,x_m)-B(a_1,\dots ,a_m)=\sum _{k=1}^{m}B(a_1,\dots ,a_{k-1},x_k-a_k,x_{k+1},\dots ,x_m),$$

identité que l'on vérifie en développant : chaque terme de la somme fait passer une variable de $x$ à $a$, et les termes intermédiaires se simplifient deux à deux. Supposons $\mathrm{\parallel }{x}_k-a_k\mathrm{\parallel }⩽\delta ⩽1$ pour tout $k$, de sorte que $\mathrm{\parallel }{x}_k\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }{a}_k\mathrm{\parallel }+1$. En appliquant la majoration à chaque terme,

$$\mathrm{\parallel }B(x_1,\dots ,x_m)-B(a_1,\dots ,a_m)\mathrm{\parallel }⩽C\delta \sum _{k=1}^m\prod _{j\mathrm{\ne }k}(\mathrm{\parallel }{a}_j\mathrm{\parallel }+1)=C^{\mathrm{\prime }}\delta ,$$

où $C^{\mathrm{\prime }}$ ne dépend que de $B$ et du point $(a_1,\dots ,a_m)$. En choisissant $\delta =\min (1,\frac{\epsilon }{C^{\mathrm{\prime }}+1})$, on obtient la continuité au point considéré. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les applications coordonnées $x\mapsto x_i$ sont linéaires sur un espace de dimension finie, donc continues. Une fonction polynomiale des coordonnées s'obtient à partir d'elles par sommes et produits en nombre fini, opérations qui préservent la continuité. Pour une application à valeurs dans un espace de dimension finie, on conclut par la continuité composante par composante. $\mathrm{\square }$

Applications linéaires continues

Dans toute cette section, $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$, de dimension quelconque, et $u:E\to F$ est une application linéaire.

Le théorème de caractérisation

Démonstration. Nous démontrons la boucle $1⟹2⟹3⟹4⟹5⟹1$.

$1⟹2$. Immédiat : la continuité sur $E$ contient la continuité en $0_E$.

$2⟹3$. Appliquons la définition de la continuité en $0_E$, avec $u(0_E)=0_F$, pour $\epsilon =1$ : il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽1.$$

Soit alors $x\in B_f(0,1)$, c'est-à-dire $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1$. Le vecteur $\delta x$ vérifie $\mathrm{\parallel }\delta x\mathrm{\parallel }=\delta \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽\delta$, donc $\mathrm{\parallel }u(\delta x)\mathrm{\parallel }⩽1$. Par linéarité et homogénéité, $\mathrm{\parallel }u(\delta x)\mathrm{\parallel }=\delta \mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }$, d'où

$$\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{\delta }\mathrm{.}$$

L'application $u$ est donc bornée par $\frac{1}{\delta }$ sur la boule unité fermée.

$3⟹4$. Notons $M={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1}\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }<+\mathrm{\infty }$. Soit $x\in E$. Si $x=0_E$, l'inégalité $\mathrm{\parallel }u(0_E)\mathrm{\parallel }⩽M\times 0$ est vraie. Sinon, le vecteur $y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}}$ est unitaire, donc $\mathrm{\parallel }u(y)\mathrm{\parallel }⩽M$, et par homogénéité

$$\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }=\parallel u\left(\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }y\right)\parallel =\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }u(y)\mathrm{\parallel }⩽M\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

La constante $k=M$ convient.

$4⟹5$. Pour $x,y\in E$, la linéarité donne

$$\mathrm{\parallel }u(x)-u(y)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }u(x-y)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel },$$

donc $u$ est $k$-lipschitzienne.

$5⟹1$. Une application lipschitzienne est continue (section 5). $\mathrm{\square }$

La norme subordonnée

Démonstration. Notons $S_1={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1}\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }$, $S_2={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1}\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }$ et $S_3={\sup }_{x\mathrm{\ne }{0}_E}\frac{\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}$ ; ces trois bornes supérieures sont finies d'après le théorème de caractérisation.

$S_2=S_3$. Pour $x\mathrm{\ne }{0}_E$, en posant $y=\frac{x}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}$, qui est unitaire, l'homogénéité donne $\frac{\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}=\mathrm{\parallel }u(y)\mathrm{\parallel }$. Les deux ensembles dont on prend le sup sont donc identiques.

$S_2⩽S_1$. La sphère unité est incluse dans la boule unité fermée, donc le sup sur la sphère est inférieur au sup sur la boule.

$S_1⩽S_3$. Soit $x$ avec $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1$. Si $x=0_E$, alors $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }=0⩽S_3$. Sinon,

$$\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\times \frac{\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}⩽1\times S_3=S_3\mathrm{.}$$

Le réel $S_3$ majore donc l'ensemble des $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }$ pour $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1$, d'où $S_1⩽S_3$. Les trois quantités sont donc égales.

Majoration et minimalité. L'inégalité $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ résulte de $S_3=\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$ pour $x\mathrm{\ne }0$, et est triviale pour $x=0$. Enfin, si $k$ vérifie $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ pour tout $x$, alors pour $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1$ on obtient $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽k$, donc $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }=S_2⩽k$ : la norme subordonnée est bien le plus petit tel $k$, et ce minimum est atteint. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sous-espace vectoriel. L'application nulle est continue. Si $u,v\in {\mathcal{L}}_c(E,F)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors pour tout $x$,

$$\mathrm{\parallel }(u+\lambda v)(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }v(x)\mathrm{\parallel }⩽(\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid })\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel },$$

donc $u+\lambda v$ vérifie le critère 4 du théorème de caractérisation : elle est continue.

Norme. La séparation : si $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }=0$, alors $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽0$ pour tout $x$, donc $u=0$. L'homogénéité : $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\lambda u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1}\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$. L'inégalité triangulaire : le calcul ci-dessus, restreint à $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1$ avec $\lambda =1$, donne $\mathrm{\parallel }(u+v)(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$, et l'on passe au sup. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $x\in E$. En appliquant deux fois l'inégalité fondamentale,

$$\mathrm{\parallel }(v\circ u)(x)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }v(u(x))\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

La composée vérifie donc le critère 4 avec $k=\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$ : elle est continue. Et comme la norme subordonnée est le plus petit tel $k$, on obtient $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\circ u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$.

Enfin $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1}\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1$, la sphère unité étant non vide puisque $E\mathrm{\ne }\{0_E\}$. $\mathrm{\square }$

Deux calculs de norme subordonnée

Une application linéaire non continue

Applications bilinéaires continues

Démonstration. Condition suffisante. Supposons la majoration vraie et fixons $(a,b)\in E_1\times E_2$. La bilinéarité donne l'identité

$$B(x,y)-B(a,b)=B(x-a,y)+B(a,y-b),$$

que l'on vérifie en développant le membre de droite : $B(x,y)-B(a,y)+B(a,y)-B(a,b)$. Supposons $\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽\delta$ et $\mathrm{\parallel }y-b\mathrm{\parallel }⩽\delta$ avec $\delta ⩽1$, de sorte que $\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }b\mathrm{\parallel }+1$. Alors

$$\mathrm{\parallel }B(x,y)-B(a,b)\mathrm{\parallel }⩽C\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }+C\mathrm{\parallel }a\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y-b\mathrm{\parallel }⩽C\delta (\mathrm{\parallel }b\mathrm{\parallel }+1+\mathrm{\parallel }a\mathrm{\parallel })\mathrm{.}$$

Pour $\epsilon >0$, il suffit de choisir $\delta =\min (1,{\displaystyle \frac{\epsilon }{C(\mathrm{\parallel }a\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }b\mathrm{\parallel }+1)+1}})$ pour conclure à la continuité en $(a,b)$.

Condition nécessaire. Supposons $B$ continue, en particulier en $(0,0)$, où elle vaut $0_F$. Avec $\epsilon =1$, il existe $\delta >0$ tel que

$$\max (\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel },\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel })⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }B(x,y)\mathrm{\parallel }⩽1.$$

Soient $x\mathrm{\ne }0$ et $y\mathrm{\ne }0$. Les vecteurs $\frac{\delta x}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }}$ et $\frac{\delta y}{\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }}$ ont pour normes $\delta$, donc

$$\parallel B(\frac{\delta x}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }},\frac{\delta y}{\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }})\parallel ⩽1,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}\frac{{\delta }^2}{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }}\mathrm{\parallel }B(x,y)\mathrm{\parallel }⩽1,$$

par bilinéarité et homogénéité. D'où $\mathrm{\parallel }B(x,y)\mathrm{\parallel }⩽\frac{1}{{\delta }^2}\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }$, inégalité encore valable si $x$ ou $y$ est nul, les deux membres étant alors nuls. $\mathrm{\square }$

Connexité par arcs

L'idée de cette dernière section est de donner un sens précis à « la partie $A$ est en un seul morceau ». La définition retenue est la plus concrète possible : deux points sont dans le même morceau lorsqu'on peut aller de l'un à l'autre en restant dans $A$, sans sauter.

Chemins

Démonstration. Réflexivité. Le chemin constant $\gamma (t)=x$ est continu et joint $x$ à $x$ dans $A$.

Symétrie. Si $\gamma$ est un chemin de $x$ à $y$, alors $\tilde{\gamma }(t)=\gamma (1-t)$ est continue comme composée de $t\mapsto 1-t$ et de $\gamma$, à valeurs dans $A$, et vérifie $\tilde{\gamma }(0)=\gamma (1)=y$, $\tilde{\gamma }(1)=\gamma (0)=x$ : c'est un chemin de $y$ à $x$.

Transitivité. Soient ${\gamma }_1$ un chemin de $x$ à $y$ et ${\gamma }_2$ un chemin de $y$ à $z$, tous deux dans $A$. Définissons la concaténation

$$\gamma (t)=\{\begin{array}{ll}{\gamma }_1(2t)& \text{si }t\in [0,\frac{1}{2}],\\ {\gamma }_2(2t-1)& \text{si }t\in [\frac{1}{2},1]\mathrm{.}\end{array}$$

Cette définition est cohérente en $t=\frac{1}{2}$ : les deux formules donnent ${\gamma }_1(1)=y$ et ${\gamma }_2(0)=y$. L'application $\gamma$ est à valeurs dans $A$, continue sur $[0,\frac{1}{2}[$ et sur $]\frac{1}{2},1]$ comme composée de fonctions continues, et continue en $\frac{1}{2}$ car

$$\underset{t\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\gamma (t)={\gamma }_1(1)=y={\gamma }_2(0)=\underset{t\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\gamma (t)=\gamma \left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{.}$$

Enfin $\gamma (0)={\gamma }_1(0)=x$ et $\gamma (1)={\gamma }_2(1)=z$ : c'est un chemin de $x$ à $z$ dans $A$. $\mathrm{\square }$

Convexes et étoilés

Démonstration. Convexe $⟹$ étoilée. Si $A$ est convexe et non vide, choisissons $a\in A$ : la définition de la convexité appliquée au couple $(a,x)$ donne exactement la propriété d'étoilement par rapport à $a$.

Étoilée $⟹$ connexe par arcs. Supposons $A$ étoilée par rapport à $a$ et soient $x,y\in A$. Considérons d'abord l'application

$$\sigma :[0,1]\to E,\sigma (t)=(1-t)x+ta\mathrm{.}$$

Elle est à valeurs dans $A$ par étoilement, et elle est continue, car pour $s,t\in [0,1]$,

$$\mathrm{\parallel }\sigma (t)-\sigma (s)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }(t-s)(a-x)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\mid }t-s\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }a-x\mathrm{\parallel },$$

ce qui montre qu'elle est lipschitzienne. C'est donc un chemin de $x$ à $a$ dans $A$. De même, il existe un chemin de $a$ à $y$ dans $A$. Par transitivité de la relation « être joignable », il existe un chemin de $x$ à $y$ dans $A$. $\mathrm{\square }$

Les parties connexes par arcs de $\mathbb{R}$

Démonstration. Un intervalle est connexe par arcs. Un intervalle de $\mathbb{R}$ est convexe par définition (il contient tout segment joignant deux de ses points), donc connexe par arcs d'après la propriété précédente s'il est non vide, et par convention s'il est vide.

Réciproque. Soit $A$ une partie connexe par arcs de $\mathbb{R}$ ; montrons qu'elle est convexe, ce qui, dans $\mathbb{R}$, équivaut à être un intervalle. Soient $x,y\in A$ avec $x<y$ et soit $z\in ]x,y[$ ; montrons $z\in A$.

Par connexité par arcs, il existe une application continue $\gamma :[0,1]\to A\subseteq \mathbb{R}$ telle que $\gamma (0)=x$ et $\gamma (1)=y$. C'est une fonction réelle continue sur un segment, et $z$ est compris entre $\gamma (0)=x$ et $\gamma (1)=y$. Le théorème des valeurs intermédiaires de MPSI fournit donc $t_0\in [0,1]$ tel que $\gamma (t_0)=z$. Or $\gamma$ est à valeurs dans $A$, donc $z=\gamma (t_0)\in A$.

Ainsi $A$ contient tout point compris entre deux de ses points : c'est un intervalle. $\mathrm{\square }$

Image continue et théorème des valeurs intermédiaires

Démonstration. Soient $u,v\in f(A)$ : il existe $x,y\in A$ tels que $u=f(x)$ et $v=f(y)$. Comme $A$ est connexe par arcs, il existe un chemin $\gamma :[0,1]\to A$ continu avec $\gamma (0)=x$ et $\gamma (1)=y$.

Posons $\mathrm{\Gamma }=f\circ \gamma$. C'est une application de $[0,1]$ dans $f(A)$, continue comme composée de deux applications continues, et

$$\mathrm{\Gamma }(0)=f(\gamma (0))=f(x)=u,\mathrm{\Gamma }(1)=f(\gamma (1))=f(y)=v\mathrm{.}$$

C'est donc un chemin de $u$ à $v$ dans $f(A)$. Ainsi $f(A)$ est connexe par arcs. $\mathrm{\square }$

Démonstration. D'après la propriété précédente, $f(A)$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb{R}$, donc un intervalle d'après la caractérisation des connexes par arcs de $\mathbb{R}$. Un intervalle contenant $\alpha$ et $\beta$ contient tout réel compris entre les deux ; s'il contient un réel négatif et un réel positif, il contient $0$. $\mathrm{\square }$

Méthodes à retenir