Suites et séries de fonctions, séries entières

En première année, une suite était une suite de nombres, et une série une somme infinie de nombres. Le chapitre qui s'ouvre remplace ces nombres par des fonctions, et cette substitution en apparence anodine change tout. Une suite de fonctions $(f_n)$ n'est plus un objet qui converge « quelque part » : elle converge en chaque point, et rien ne garantit que ces convergences ponctuelles s'organisent en un phénomène global. C'est cette tension entre le local et le global qui fait la difficulté, et l'intérêt, de tout ce qui suit.

L'enjeu n'est pas théorique. La plupart des fonctions intéressantes de l'analyse ne sont pas données par une formule close, mais définies comme une limite ou comme une somme : la fonction $\zeta$ par $\zeta (x)={\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^x}$, l'exponentielle par ${\mathrm{e}}^x={\sum }_{n⩾0}\frac{x^n}{n!}$, les solutions d'équations différentielles par des séries, les fonctions spéciales de la physique par des intégrales ou des sommes. Pour chacune, les questions sont les mêmes : où est-elle définie ? est-elle continue ? dérivable ? peut-on l'intégrer terme à terme ? que vaut sa limite au bord de son domaine ? Ce chapitre fournit exactement les outils qui permettent de répondre.

La première réponse qui vient à l'esprit est la mauvaise. Dire que $f_n$ tend vers $f$ « point par point », c'est la convergence simple, et cette notion ne conserve à peu près rien. Elle ne conserve pas la continuité : les fonctions $f_n(x)=x^n$, toutes continues sur $[0,1]$, convergent simplement vers une fonction qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$. Elle ne conserve pas l'intégrale : nous verrons des fonctions $f_n$ tendant simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$ alors que ${\int }_0^1{f}_n$ tend vers $1$. Elle ne conserve pas la dérivabilité : les fonctions $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$, toutes de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$, convergent vers $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, qui n'est pas dérivable en $0$. Trois catastrophes, trois raisons d'exiger davantage.

Ce « davantage », c'est la convergence uniforme. L'idée tient en une phrase : au lieu de contrôler l'écart $\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$ en chaque point séparément, on contrôle d'un seul coup le pire écart, c'est-à-dire le nombre $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$. La convergence uniforme, c'est la convergence vers $0$ de cette suite de nombres. Le gain est un déplacement de quantificateur : dans la convergence simple, le rang à partir duquel l'écart est petit dépend du point $x$ ; dans la convergence uniforme, un seul rang convient pour tous les points à la fois. C'est cette uniformité qui permettra de passer à la limite dans une continuité, dans une intégrale, dans une dérivée.

Pour les séries de fonctions, tout se ramène à la suite des sommes partielles $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, mais un troisième mode de convergence apparaît, propre aux séries et absolument central en pratique : la convergence normale, qui consiste à majorer $\mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }$ par un nombre $a_n$ indépendant de $x$ et à vérifier que la série numérique $\sum a_n$ converge. Elle est plus forte que la convergence uniforme, mais elle a un avantage décisif : elle ramène une question sur des fonctions à une question sur une série numérique à termes positifs, pour laquelle vous disposez de tout l'arsenal de première année. Neuf fois sur dix, en pratique, c'est elle qu'on utilise.

Le cœur du chapitre est alors un jeu de quatre théorèmes, énoncés d'abord pour les suites de fonctions, puis transposés aux séries : la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue ; on peut intervertir deux limites (théorème de la double limite) ; on peut intégrer terme à terme sur un segment ; et, sous une hypothèse portant sur la suite des dérivées, on peut dériver terme à terme. Le chapitre se referme sur un résultat d'approximation d'une grande portée, le théorème de Weierstrass : sur un segment, toute fonction continue est limite uniforme de fonctions polynomiales.

La seconde moitié de ce chapitre, traitée à la suite, sera consacrée aux séries entières, c'est-à-dire aux séries de fonctions de la forme $\sum a_n{z}^n$. Tout ce qui est établi ici s'y appliquera directement : le rayon de convergence, la régularité de la somme, la dérivation terme à terme des séries entières ne sont que des cas particuliers, particulièrement confortables, des théorèmes de la partie A.

Notations valables dans tout le chapitre. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. La lettre $A$ désigne une partie de $\mathbb{R}$, la lettre $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, et $[a,b]$ un segment avec $a<b$. Une suite de fonctions est notée $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, chaque $f_n$ allant de $A$ dans $\mathbb{K}$, et sa limite est notée $f$. Pour une fonction $g$ bornée de $A$ dans $\mathbb{K}$, on pose $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }$, abrégé en $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ lorsque la partie $A$ est claire. Pour une série de fonctions $\sum f_n$, la somme partielle d'ordre $n$ est $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, la somme est $S={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k$ et le reste d'ordre $n$ est $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k$, de sorte que $S=S_n+R_n$. Les fonctions circulaires réciproques sont notées $\mathrm{Arctan}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$, et les fonctions hyperboliques $\mathrm{c}\mathrm{h}$, $\mathrm{s}\mathrm{h}$.

Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme

La convergence simple

Le dessin dit tout. Quand $n$ grandit, le graphe de $f_n$ s'écrase sur l'axe des abscisses, puis remonte brutalement vers $1$ au voisinage immédiat de $x=1$. À hauteur $\frac{1}{2}$, le graphe est franchi au point $x=2^{-1\mathrm{/}n}$, qui tend vers $1$ : la « marche » se déplace vers la droite sans jamais s'aplatir. C'est cette marche qui survit à la limite sous la forme d'un saut, et c'est elle qui empêchera la convergence d'être uniforme.

Quatre limites simples à calculer pour se faire la main. Dans chaque cas, on fixe $x$ et on fait tendre $n$ vers $+\mathrm{\infty }$.

Justifions les trois derniers. Pour b., on écrit ${(1+\frac{x}{n})}^n=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(n\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{x}{n}))$, et le développement limité $\ln (1+u)=u+o(u)$ en $0$ donne $n\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{x}{n})=x+o(1)\to x$. Pour c., à $x\mathrm{\ne }0$ fixé, $n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{n}\right)=x\times \frac{\sin (x\mathrm{/}n)}{x\mathrm{/}n}\to x$ puisque $\frac{\sin u}{u}\to 1$ en $0$ ; et la valeur est nulle en $x=0$, ce qui est bien $x$. Pour d., on divise numérateur et dénominateur par $n$ : à $x>0$ fixé, $\frac{nx}{1+nx}=\frac{x}{\frac{1}{n}+x}\to 1$, tandis que $f_n(0)=0$. Le cas d. fournit donc, comme $x^n$, une limite simple discontinue en $0$ pour une suite de fonctions continues.

La convergence uniforme

Avant de définir la convergence uniforme, il faut disposer du nombre qui mesure l'écart global entre deux fonctions.

Démonstration. L'homogénéité et la séparation sont immédiates. Pour l'inégalité triangulaire, soit $x\in A$ : alors $\mathrm{\mid }g(x)+h(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\parallel }h{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. Le membre de droite est un majorant de $\{\mathrm{\mid }g(x)+h(x)\mathrm{\mid };x\in A\}$, donc il majore la borne supérieure de cet ensemble. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $x\in A$ fixé. Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$0⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Le membre de droite tend vers $0$ par hypothèse, donc $\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }\to 0$ par encadrement, c'est-à-dire $f_n(x)\to f(x)$. Ceci valant pour tout $x\in A$, la convergence est simple. $\mathrm{\square }$

Cette propriété a une conséquence pratique qu'il faut avoir en tête dès la première ligne d'un exercice : la limite uniforme, si elle existe, est nécessairement la limite simple. On commence donc toujours par calculer la limite simple, et c'est seulement ensuite qu'on examine si la convergence est uniforme.

Démonstration. Pour la combinaison linéaire, l'inégalité triangulaire de la norme infinie donne

$$\mathrm{\parallel }(f_n+\lambda g_n)-(f+\lambda g){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{g}_n-g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Pour le caractère borné, choisissons $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽1$. Alors, pour tout $x\in A$, $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{f}_N(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }f(x)-f_N(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_N{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+1$, majorant fini et indépendant de $x$.

Pour le produit, un contre-exemple suffit. Sur $A=\mathbb{R}$, posons $f_n(x)=g_n(x)=x+\frac{1}{n}$ et $u:x\mapsto x$. Alors $\mathrm{\parallel }{f}_n-u{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\mathbb{R}}=\frac{1}{n}\to 0$ : la convergence est uniforme. Pourtant

$$f_n(x)g_n(x)-u(x{)}^2={(x+\frac{1}{n})}^2-x^2=\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2},$$

qui n'est pas borné sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{\parallel }{f}_n{g}_n-u^2{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\mathbb{R}}=+\mathrm{\infty }$ pour tout $n$, et la convergence du produit n'est pas uniforme. Ce qui manque n'est pas le caractère borné de la partie, mais celui des limites : dès que $f$ et $g$ sont bornées sur $A$, la décomposition $f_n{g}_n-fg=(f_n-f)g_n+f(g_n-g)$ rétablit la convergence uniforme du produit. C'est en particulier automatique sur un segment avec des fonctions continues, ce qui explique que le problème y passe inaperçu. $\mathrm{\square }$

Comment prouver, comment réfuter

La figure explique le phénomène mieux qu'un calcul : la bosse ne s'aplatit pas, elle glisse vers l'origine en conservant exactement la hauteur ${\mathrm{e}}^{-1}$. Tout point $x>0$ fixé finit par se retrouver à droite de la bosse, ce qui donne la convergence simple ; mais à chaque instant il existe encore un point, de plus en plus proche de $0$, où l'écart à la limite vaut ${\mathrm{e}}^{-1}$, ce qui interdit la convergence uniforme. Dès qu'on s'éloigne de l'origine en se restreignant à $[a,1]$, la bosse finit par sortir de l'intervalle et l'uniformité est rétablie.

Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale

Les trois modes de convergence

Démonstration. Par définition, la convergence uniforme de la série est celle de la suite $(S_n)$ vers $S$, c'est-à-dire $\mathrm{\parallel }{S}_n-S{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$. Or, pour tout $x\in A$, la relation $S(x)=S_n(x)+R_n(x)$ donne $S_n(x)-S(x)=-R_n(x)$, d'où $\mathrm{\mid }{S}_n(x)-S(x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }$ puis, en passant à la borne supérieure sur $x\in A$,

$$\mathrm{\parallel }{S}_n-S{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}=\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Les deux conditions sont donc littéralement la même. $\mathrm{\square }$

Retenez la traduction pratique : étudier la convergence uniforme d'une série, c'est majorer le reste par une quantité indépendante de $x$ qui tend vers $0$. Contrairement au cas des suites, on n'a en général aucune formule pour $S$ : la majoration du reste devra donc venir d'ailleurs, et c'est précisément ce que fournissent la convergence normale et le critère spécial des séries alternées.

Démonstration. Pour $n⩾1$, on a $f_n=S_n-S_{n-1}$, et comme $S_n=S-R_n$ et $S_{n-1}=S-R_{n-1}$, il vient $f_n=R_{n-1}-R_n$. L'inégalité triangulaire donne alors

$$\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\mathrm{\parallel }{R}_{n-1}{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

les deux restes tendant vers $0$ par hypothèse de convergence uniforme. $\mathrm{\square }$

C'est l'exact analogue du « le terme général d'une série convergente tend vers $0$ » de première année, et il s'emploie de la même façon : par contraposée, pour réfuter. Ainsi, la série ${\sum }_{n⩾0}{x}^n$ ne converge pas uniformément sur $[0,1[$, puisque $\mathrm{\parallel }{x}^n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1[}=1$ ne tend pas vers $0$ : une ligne suffit, là où le calcul du reste en demanderait trois. Attention toutefois au sens de l'implication : cette condition est nécessaire, pas suffisante, comme le montre la série $\sum x^n(1-x)$ sur $[0,1]$, dont le terme général vérifie $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}⩽\frac{1}{n+1}\to 0$ alors qu'elle ne converge pas uniformément.

La convergence normale

Démonstration. La seconde implication est celle des suites de fonctions, appliquée à $(S_n)$ : elle est déjà démontrée. Prouvons la première.

Convergence simple. Supposons $\sum \mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ convergente et fixons $x\in A$. Pour tout $n$, $\mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }$ converge : la série numérique $\sum f_n(x)$ est donc absolument convergente, donc convergente dans $\mathbb{K}$ d'après le théorème de première année. La série de fonctions converge donc simplement sur $A$, et son reste $R_n$ est bien défini.

Majoration du reste. Soient $x\in A$ et $n\in \mathbb{N}$. En passant à la limite dans l'inégalité triangulaire appliquée aux sommes partielles, puis en majorant terme à terme,

$$\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }=\mid \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k(x)\mid ⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{f}_k(x)\mathrm{\mid }⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Notons ${\rho }_n={\sum }_{k>n}\mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ le reste d'ordre $n$ de la série numérique convergente $\sum \mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. Le nombre ${\rho }_n$ ne dépend pas de $x$ : c'est donc un majorant de $\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }$ pour tout $x\in A$, d'où

$$\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽{\rho }_n\mathrm{.}$$

Or le reste d'une série numérique convergente tend vers $0$, donc ${\rho }_n\to 0$, puis $\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$ par encadrement. D'après la propriété précédente, la série converge uniformément sur $A$. $\mathrm{\square }$

Le critère spécial des séries alternées, outil de convergence uniforme

Récapitulatif des trois modes

Les implications vont de bas en haut : normale $⟹$ uniforme $⟹$ simple, et aucune réciproque n'est vraie. En pratique, on tente d'abord la convergence normale ; si elle échoue à cause d'un $\frac{1}{n}$ et que la série est alternée, on passe au critère spécial ; et si l'uniformité globale échoue, on se rabat sur la convergence normale sur tout segment, qui suffit pour la continuité et la dérivation.

Régularité de la limite d'une suite de fonctions

Continuité

Démonstration. C'est le procédé dit des trois epsilons. Soit $a\in A$ et soit $\epsilon >0$.

Choix de l'indice. Comme $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\frac{\epsilon }{3}\mathrm{.}$$

Cet indice $N$ est fixé une fois pour toutes ; remarquez qu'il est choisi avant le point $x$, et c'est précisément là que sert l'uniformité.

Choix du voisinage. La fonction $f_N$ est continue en $a$ : il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mathrm{\mid }{f}_N(x)-f_N(a)\mathrm{\mid }⩽\frac{\epsilon }{3}\mathrm{.}$$

Conclusion. Soit $x\in A$ avec $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. En insérant $f_N(x)$ et $f_N(a)$ et en appliquant deux fois l'inégalité triangulaire,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }f(x)-f(a)\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ⩽\mathrm{\mid }f(x)-f_N(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{f}_N(x)-f_N(a)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{f}_N(a)-f(a)\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽\mathrm{\parallel }f-f_N{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\frac{\epsilon }{3}+\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon \mathrm{.}}\end{array}$$

Ainsi $f$ est continue en $a$, et ceci pour tout $a\in A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est la contraposée exacte du théorème : si la convergence était uniforme, $f$ serait continue. $\mathrm{\square }$

Le théorème de la double limite

Ce théorème est admis : sa démonstration n'est pas exigible au programme.

Intégration sur un segment

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ comme limite uniforme de fonctions continues, donc elle y est intégrable et ${\int }_a^{b}f$ a un sens. Par linéarité de l'intégrale puis inégalité triangulaire et croissance de l'intégrale,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid {\int }_a^b{f}_n(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\mid }& {\displaystyle =\mid {\int }_a^b(f_n(t)-f(t))\mathrm{d}t\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽{\int }_a^b\mid f_n(t)-f(t)\mid \mathrm{d}t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽{\int }_a^b\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}\mathrm{d}t=(b-a)\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}\mathrm{.}}\end{array}$$

Le membre de droite tend vers $0$ par hypothèse, d'où la conclusion par encadrement. $\mathrm{\square }$

Dérivation

Le théorème de dérivation est le plus délicat des quatre, parce que son hypothèse ne porte pas sur ce qu'on croit. Lisez l'énoncé deux fois.

Démonstration. Fixons $x_0\in I$.

Formule intégrale. Chaque $f_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, donc $f_n^{\mathrm{\prime }}$ est continue et le théorème fondamental de l'analyse donne, pour tout $x\in I$,

$$f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Passage à la limite. Soit $x\in I$ fixé. Le segment $J$ d'extrémités $x_0$ et $x$ est inclus dans $I$, puisque $I$ est un intervalle. Par hypothèse, $(f_n^{\mathrm{\prime }})$ converge uniformément sur $J$ vers $g$, et les $f_n^{\mathrm{\prime }}$ y sont continues : le théorème d'intégration sur un segment s'applique et donne

$${\int }_{x_0}^x{f}_n^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par ailleurs $f_n(x_0)\to f(x_0)$ et $f_n(x)\to f(x)$ par convergence simple. En passant à la limite dans la formule intégrale, il vient

$$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\text{pour tout }x\in I\mathrm{.}$$

Conclusion. La fonction $g$ est continue sur $I$ : en effet, elle est limite uniforme sur tout segment de $I$ des fonctions continues $f_n^{\mathrm{\prime }}$, et la continuité est locale. Donc $x\mapsto {\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t$ est la primitive de $g$ s'annulant en $x_0$, elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ de dérivée $g$. Par conséquent $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $f^{\mathrm{\prime }}=g$.

Uniformité sur les segments. Soit $J=[\alpha ,\beta ]$ un segment de $I$ contenant $x_0$ (quitte à l'agrandir dans $I$). Pour $x\in J$, en soustrayant les deux formules intégrales,

$$\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x_0)-f(x_0)\mathrm{\mid }+\mid {\int }_{x_0}^x(f_n^{\mathrm{\prime }}(t)-g(t))\mathrm{d}t\mid ⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x_0)-f(x_0)\mathrm{\mid }+(\beta -\alpha )\mathrm{\parallel }{f}_n^{\mathrm{\prime }}-g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },J}\mathrm{.}$$

Le majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$, donc $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },J}\to 0$. $\mathrm{\square }$

Extension à la classe ${\mathcal{C}}^k$

Démonstration. Récurrence sur $k$. Pour $k=1$, c'est le théorème précédent. Supposons le résultat acquis au rang $k$ et plaçons-nous au rang $k+1$ : appliquons l'hypothèse de récurrence à la suite $(f_n^{\mathrm{\prime }})$, qui est de classe ${\mathcal{C}}^k$, dont les dérivées d'ordre $0$ à $k-1$ convergent simplement (ce sont les $f_n^{(j)}$ pour $j$ de $1$ à $k$) et dont la dérivée d'ordre $k$ converge uniformément sur tout segment. On en déduit que $g_1$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ avec $g_1^{(j)}=g_{j+1}$. Le théorème ${\mathcal{C}}^1$ appliqué à $(f_n)$ donne alors que $f=g_0$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $f^{\mathrm{\prime }}=g_1$ ; comme $g_1$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$, la fonction $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{k+1}$, et ses dérivées successives sont les $g_j$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il suffit d'appliquer la version ${\mathcal{C}}^k$ pour chaque $k\in \mathbb{N}$ : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ pour tout $k$, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. $\mathrm{\square }$

Régularité de la somme d'une série de fonctions

Tout ce qui précède se transpose aux séries sans aucune démonstration nouvelle : il suffit d'appliquer le théorème correspondant à la suite des sommes partielles $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, en observant que $S_n$ hérite des propriétés des $f_k$ (une somme finie de fonctions continues est continue, une somme finie de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et se dérive terme à terme, une somme finie s'intègre terme à terme) et que « la série converge uniformément » signifie exactement « la suite $(S_n)$ converge uniformément ». Nous le disons une fois pour toutes ici, et nous rédigerons intégralement la démonstration du théorème de dérivation terme à terme, qui est celle que les énoncés demandent le plus souvent.

Continuité de la somme

Démonstration. Chaque somme partielle $S_n$ est continue sur $I$ comme somme finie de fonctions continues, et $(S_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $S$. Le théorème de continuité pour les suites de fonctions, dans sa version locale, donne la continuité de $S$ sur $I$. $\mathrm{\square }$

Théorème de la double limite pour les séries

Démonstration. On applique le théorème de la double limite à la suite $(S_n)$, qui converge uniformément vers $S$ sur $A$ et dont chaque terme admet en $a$ la limite finie ${\sum }_{k=0}^n{\mathrm{\ell }}_k$ (limite d'une somme finie). La suite de ces limites, c'est-à-dire la suite des sommes partielles de $\sum {\mathrm{\ell }}_n$, converge donc, ce qui signifie que $\sum {\mathrm{\ell }}_n$ converge, et sa somme est ${\lim }_{x\to a}S(x)$. $\mathrm{\square }$

Intégration terme à terme sur un segment

Démonstration. On applique le théorème d'intégration sur un segment à la suite $(S_n)$ : elle converge uniformément vers $S$ sur $[a,b]$ et ses termes sont continus, donc ${\int }_a^b{S}_n\to {\int }_a^{b}S$. Or, par linéarité de l'intégrale sur une somme finie,

$${\int }_a^b{S}_n(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^n{\int }_a^b{f}_k(t)\mathrm{d}t,$$

qui est la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum {\int }_a^b{f}_n$. Cette suite converge donc, ce qui est exactement la convergence de la série $\sum {\int }_a^b{f}_n$, et sa somme vaut ${\int }_a^{b}S$. $\mathrm{\square }$

Dérivation terme à terme

Démonstration. Notons $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$ les sommes partielles et $T={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k^{\mathrm{\prime }}$ la somme de la série des dérivées, définie sur $I$ par l'hypothèse 2.

Les hypothèses du théorème pour les suites sont réunies. D'abord, chaque $S_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ comme somme finie de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$, et sa dérivée se calcule terme à terme :

$$S_n^{\mathrm{\prime }}={\left(\sum _{k=0}^n{f}_k\right)}^{\mathrm{\prime }}=\sum _{k=0}^n{f}_k^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Ensuite, l'hypothèse 1 dit exactement que la suite $(S_n)$ converge simplement sur $I$, vers $S$. Enfin, la suite $(S_n^{\mathrm{\prime }})$ est la suite des sommes partielles de la série $\sum f_k^{\mathrm{\prime }}$ : l'hypothèse 2 dit exactement qu'elle converge uniformément sur tout segment de $I$, vers $T$.

Application. Le théorème de dérivation pour les suites de fonctions s'applique donc à $(S_n)$ : la limite simple $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, sa dérivée est la limite $T$ des dérivées, c'est-à-dire

$$S^{\mathrm{\prime }}=T=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k^{\mathrm{\prime }},$$

et la convergence de $(S_n)$ vers $S$ est uniforme sur tout segment de $I$, ce qui signifie que la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Même transposition que ci-dessus, en appliquant à la suite $(S_n)$ la version ${\mathcal{C}}^k$ du théorème de dérivation, puis en faisant tendre $k$ vers l'infini pour le cas ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. $\mathrm{\square }$

Approximation uniforme

Les théorèmes précédents disent ce qu'on gagne quand une suite converge uniformément. Il reste à savoir fabriquer de telles suites : c'est l'objet des théorèmes d'approximation, qui affirment que toute fonction d'une classe compliquée est limite uniforme de fonctions d'une classe simple.

Approximation par des fonctions en escalier

C'est ce résultat qui fondait la construction de l'intégrale sur un segment en première année ; nous ne le redémontrons pas.

Le théorème de Weierstrass

Ce théorème est admis : sa démonstration n'est pas exigible. Signalons tout de même qu'elle peut être rendue entièrement constructive au moyen des polynômes de Bernstein : pour $f$ continue sur $[0,1]$, on pose

$$B_n(f)(x)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right),$$

et l'on démontre que $\mathrm{\parallel }f-B_n(f){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}\to 0$, la continuité uniforme de $f$ sur le segment étant l'ingrédient clé. Le cas d'un segment $[a,b]$ quelconque s'y ramène par le changement de variable affine $x\mapsto a+(b-a)x$, qui envoie $[0,1]$ sur $[a,b]$ et transforme un polynôme en un polynôme.

Méthodes à retenir (partie A)

Séries entières et rayon de convergence

Définition

Toute la première partie de ce chapitre portait sur des séries de fonctions $\sum u_n$ quelconques, et l'on a vu à quel point l'étude du domaine de convergence pouvait être délicate. Les séries entières sont le cas particulier où $u_n(z)=a_n{z}^n$ : c'est-à-dire le cas des « polynômes de degré infini ». Cette simplicité de forme a une conséquence spectaculaire, qui fait tout l'intérêt de la section : le domaine de convergence d'une série entière est presque toujours un disque, entièrement décrit par un seul nombre, le rayon de convergence.

Le lemme d'Abel

Tout ce qui suit repose sur un unique lemme, d'une simplicité remarquable, dû à Abel. Son idée tient en une ligne : une série entière se compare à une série géométrique.

Démonstration. Par hypothèse, il existe $M⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }$. Posons $q={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }}}$, qui est bien défini car $z_0\mathrm{\ne }0$, et qui vérifie $0⩽q<1$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on écrit

$$\mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }\times {\mid \frac{z}{z_0}\mid }^n=\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }{q}^n⩽M{q}^n\mathrm{.}$$

Or la série géométrique $\sum M{q}^n$ converge, puisque $0⩽q<1$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }$ converge, c'est-à-dire que $\sum a_n{z}^n$ converge absolument. $\mathrm{\square }$

Le rayon de convergence

Démonstration. Traitons les deux premiers points, le troisième étant illustré par l'exemple qui suit.

Point 1. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<R$. Par caractérisation de la borne supérieure, comme $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<R=\sup \mathcal{I}$, le réel $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ n'est pas un majorant de $\mathcal{I}$ : il existe donc $r\in \mathcal{I}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<r$. Par définition de $\mathcal{I}$, la suite $(a_n{r}^n)$ est bornée. On applique alors le lemme d'Abel avec $z_0=r$, qui est bien non nul puisque $r>\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩾0$ : comme $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<r=\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }$, la série $\sum a_n{z}^n$ converge absolument.

Point 2. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }>R$. Alors $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\notin }\mathcal{I}$, car tout élément de $\mathcal{I}$ est majoré par $R=\sup \mathcal{I}$. Cela signifie que la suite $\left(a_n\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n\right)$ n'est pas bornée. Or $\mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n=\mid a_n\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n\mid$, donc la suite $(a_n{z}^n)$ n'est pas bornée non plus. En particulier elle ne tend pas vers $0$, et la série $\sum a_n{z}^n$ diverge grossièrement.

Conclusion. Le point 1 donne $D(0,R)\subseteq \mathcal{D}$ et le point 2 donne $\mathcal{D}\subseteq \bar{D}(0,R)$. $\mathrm{\square }$

Calcul pratique du rayon

Voici enfin quelques rayons de référence, à reconnaître instantanément. Dans le troisième, $\alpha$ désigne un réel fixé quelconque.

Seul le dernier demande un calcul : par la règle de d'Alembert, ${\displaystyle \frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n+2}{n+1}\right)={\displaystyle \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(2n+1)}{n+1}}\to 4$, donc $R={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Opérations sur les séries entières

Somme et produit par un scalaire

Démonstration. Point 1. Pour $\lambda \mathrm{\ne }0$, la suite $(\lambda a_n{r}^n)$ est bornée si et seulement si $(a_n{r}^n)$ l'est : les ensembles $\mathcal{I}$ coïncident, donc les rayons aussi. L'égalité des sommes est la linéarité de la limite d'une suite de sommes partielles.

Point 2. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\min (R_a,R_b)$. Les deux séries $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$ convergent absolument par le théorème de structure. La somme de deux séries absolument convergentes est absolument convergente, de somme la somme des sommes. Donc $\sum (a_n+b_n)z^n$ converge (absolument) pour tout $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\min (R_a,R_b)$, ce qui impose $R_{a+b}⩾\min (R_a,R_b)$.

Point 3. Supposons par exemple $R_a<R_b$, et posons $m=\min (R_a,R_b)=R_a$. On sait déjà $R_{a+b}⩾R_a$ ; montrons l'inégalité inverse par l'absurde. Supposons $R_{a+b}>R_a$. En appliquant le point 2 aux deux séries $\sum (a_n+b_n)z^n$ et $\sum (-b_n)z^n$, dont les rayons sont $R_{a+b}$ et $R_b$, on obtient que la série somme, qui n'est autre que $\sum a_n{z}^n$, a un rayon

$$R_a⩾\min (R_{a+b},R_b)>R_a,$$

puisque $R_{a+b}>R_a$ et $R_b>R_a$. C'est absurde. Donc $R_{a+b}=R_a=\min (R_a,R_b)$. $\mathrm{\square }$

Le produit de Cauchy

Démonstration. Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\min (R_a,R_b)$. D'après le théorème de structure, les deux séries numériques $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$ convergent absolument.

Rappelons le théorème de première année sur le produit de Cauchy de deux séries numériques : si $\sum {\alpha }_n$ et $\sum {\beta }_n$ sont deux séries de nombres complexes absolument convergentes, alors la série $\sum {\gamma }_n$ de terme général ${\gamma }_n={\sum }_{k=0}^n{\alpha }_k{\beta }_{n-k}$ converge absolument et

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\gamma }_n=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }_n\right)\mathrm{.}$$

Appliquons-le à ${\alpha }_n=a_n{z}^n$ et ${\beta }_n=b_n{z}^n$. Le terme général du produit de Cauchy vaut

$${\gamma }_n=\sum _{k=0}^n(a_k{z}^k)(b_{n-k}{z}^{n-k})=\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)z^n=c_n{z}^n,$$

car $z^k{z}^{n-k}=z^n$ ne dépend pas de $k$ et se factorise. Le théorème donne donc la convergence absolue de $\sum c_n{z}^n$ et l'égalité des sommes annoncée.

Ceci vaut pour tout $z$ du disque ouvert $D(0,\min (R_a,R_b))$, donc ce disque est contenu dans le domaine de convergence de $\sum c_n{z}^n$, ce qui impose $R_c⩾\min (R_a,R_b)$. $\mathrm{\square }$

Régularité de la somme

Nous entrons ici dans le cœur du sujet. Toute cette section consiste à vérifier les hypothèses des théorèmes de la partie A, et l'on va constater que ces hypothèses sont automatiquement satisfaites, pourvu qu'on se place sur un disque fermé strictement plus petit que le disque de convergence.

Convergence normale sur tout disque fermé

Démonstration. Posons $u_n(z)=a_n{z}^n$ et fixons $r$ tel que $0⩽r<R$. Pour tout $z\in \bar{D}(0,r)$, on a $\mathrm{\mid }{u}_n(z)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n⩽\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n$, avec égalité lorsque $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=r$. Donc

$$\mathrm{\parallel }{u}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\bar{D}(0,r)}=\underset{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽r}{\sup }\mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n\mathrm{.}$$

Or $r<R$, donc d'après le théorème de structure la série $\sum a_n{r}^n$ converge absolument, c'est-à-dire que $\sum \mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n$ converge. La série des normes infinies converge : c'est exactement la définition de la convergence normale sur $\bar{D}(0,r)$. La convergence uniforme s'en déduit, par le résultat de la partie A. $\mathrm{\square }$

Continuité

Démonstration. La continuité est une propriété locale : il suffit de montrer que $S$ est continue au voisinage de chaque point de $D(0,R)$.

Soit donc $z_0\in D(0,R)$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<R$. Choisissons un réel $r$ tel que $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<r<R$ (c'est possible puisque $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<R$). D'après le théorème précédent, la série $\sum a_n{z}^n$ converge normalement, donc uniformément, sur $\bar{D}(0,r)$. Chaque fonction $z\mapsto a_n{z}^n$ y est continue. Par le théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions (partie A), $S$ est continue sur $\bar{D}(0,r)$.

Or $\bar{D}(0,r)$ contient le disque ouvert $D(0,r)$, qui est un voisinage de $z_0$ puisque $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<r$. Donc $S$ est continue en $z_0$. Ceci valant pour tout $z_0\in D(0,R)$, la fonction $S$ est continue sur $D(0,R)$. $\mathrm{\square }$

Primitivation et dérivation terme à terme (variable réelle)

Ce paragraphe concerne exclusivement la variable réelle : dériver par rapport à une variable complexe relève de l'analyse complexe, hors programme.

Démonstration. Notons $R$ le rayon de $\sum a_n{x}^n$ et $R^{\mathrm{\prime }}$ celui de $\sum n{a}_n{x}^{n-1}$.

Étape préliminaire. Les séries ${\sum }_{n⩾1}n{a}_n{x}^{n-1}$ et ${\sum }_{n⩾1}n{a}_n{x}^n$ ont le même rayon. En effet, pour $x\mathrm{\ne }0$, on a $\sum n{a}_n{x}^n=x\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ : les deux séries numériques sont de même nature, donc les domaines de convergence coïncident sauf peut-être en $0$, où les deux convergent. On travaille donc désormais avec $\sum n{a}_n{x}^n$, dont on note $R^{\mathrm{\prime }}$ le rayon.

Première inégalité : $R^{\mathrm{\prime }}⩽R$. Pour tout $n⩾1$, $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }⩽n\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }$. Par la comparaison des coefficients (technique 2), $R⩾R^{\mathrm{\prime }}$.

Seconde inégalité : $R⩽R^{\mathrm{\prime }}$. Soit $r$ tel que $0⩽r<R$ ; montrons que $r⩽R^{\mathrm{\prime }}$, c'est-à-dire que la suite $(n{a}_n{r}^n)$ est bornée. Choisissons $\rho$ tel que $r<\rho <R$. Comme $\rho <R$, la suite $(a_n{\rho }^n)$ est bornée : il existe $M⩾0$ avec $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{\rho }^n⩽M$ pour tout $n$. Posons $q={\displaystyle \frac{r}{\rho }}\in [0,1[$. Alors, pour tout $n⩾1$,

$$n\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n=n\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{\rho }^n{\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n⩽Mn{q}^n\mathrm{.}$$

Or, par croissances comparées, $n{q}^n\to 0$ puisque $0⩽q<1$ ; en particulier la suite $(n{q}^n)$ est bornée, disons par $C$. Donc $n\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n⩽MC$ pour tout $n$ : la suite $(n{a}_n{r}^n)$ est bornée, donc $r⩽R^{\mathrm{\prime }}$.

Ceci vaut pour tout $r<R$, donc en passant à la borne supérieure, $R⩽R^{\mathrm{\prime }}$. Avec la première inégalité, $R=R^{\mathrm{\prime }}$.

Cas de la série primitivée. Notons $R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ le rayon de $\sum {\displaystyle \frac{a_n}{n+1}}{x}^{n+1}$, et posons $b_n={\displaystyle \frac{a_{n-1}}{n}}$ pour $n⩾1$, $b_0=0$, de sorte que cette série s'écrive $\sum b_n{x}^n$. La série dérivée terme à terme de $\sum b_n{x}^n$ est ${\sum }_{n⩾1}n{b}_n{x}^{n-1}={\sum }_{n⩾1}{a}_{n-1}{x}^{n-1}={\sum }_{n⩾0}{a}_n{x}^n$. D'après ce qui précède, appliqué à la suite $(b_n)$, la série $\sum b_n{x}^n$ et sa série dérivée ont le même rayon : donc $R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=R$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Posons $u_n(x)=a_n{x}^n$, fonctions de classe $C^1$ sur $]-R,R[$, avec $u_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n{a}_n{x}^{n-1}$. Vérifions les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme de la partie A sur l'intervalle $I=]-R,R[$ :

• la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ (théorème de structure, chaque $x\in I$ vérifie $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<R$) ;
• la série $\sum u_n^{\mathrm{\prime }}$ converge uniformément sur tout segment de $I$. En effet, un segment de $I$ est inclus dans un $[-r,r]$ avec $r<R$ ; or la série dérivée $\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ a, d'après la propriété précédente, le même rayon $R$, donc elle converge normalement sur $[-r,r]$ d'après le théorème de convergence normale.

Le théorème s'applique : $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $f^{\mathrm{\prime }}=\sum u_n^{\mathrm{\prime }}={\sum }_{n⩾1}n{a}_n{x}^{n-1}$.

Point 2. Par récurrence sur $k$. La propriété est vraie pour $k=0$. Supposons $f$ de classe $C^k$ sur $I$ avec la formule annoncée : $f^{(k)}$ est la somme d'une série entière de rayon $R$ (même rayon que $\sum a_n{x}^n$, par $k$ applications de la propriété précédente). On peut donc lui appliquer le point 1 : $f^{(k)}$ est de classe $C^1$, donc $f$ est de classe $C^{k+1}$, et l'on obtient $f^{(k+1)}$ en dérivant terme à terme, ce qui donne exactement la formule au rang $k+1$. Comme cela vaut pour tout $k$, $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$.

Point 3. Soit $x\in ]-R,R[$ et posons $r=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<R$. La série $\sum a_n{t}^n$ converge normalement, donc uniformément, sur $[-r,r]$, qui est un segment contenant $[0,x]$ (ou $[x,0]$). Chaque fonction $t\mapsto a_n{t}^n$ est continue. Le théorème d'intégration terme à terme sur un segment de la partie A donne

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_0^x{a}_n{t}^n\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Expression des coefficients et unicité

Démonstration. Formule des coefficients. D'après le théorème précédent, pour tout $k\in \mathbb{N}$ et tout $x\in ]-R,R[$,

$$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{x}^{n-k}\mathrm{.}$$

Évaluons en $x=0$. Dans cette somme, le terme d'indice $n=k$ vaut ${\displaystyle \frac{k!}{0!}}{a}_k{x}^0=k!a_k$, tandis que tous les termes d'indice $n>k$ contiennent le facteur $x^{n-k}$ avec $n-k⩾1$, donc s'annulent en $0$. Il reste

$$f^{(k)}(0)=k!a_k,\text{soit}{a}_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\mathrm{.}$$

Unicité. Soit $r>0$ tel que les deux sommes coïncident sur $]-r,r[$ ; notons $f$ cette fonction commune. Quitte à diminuer $r$, on peut supposer $r$ inférieur aux deux rayons. La formule ci-dessus, appliquée à chacune des deux séries, donne pour tout $n$

$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=b_n\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Fonctions développables en série entière

Jusqu'ici, nous partions d'une série entière et nous étudiions sa somme. Renversons le point de vue : on part maintenant d'une fonction $f$, et l'on se demande si elle est la somme d'une série entière.

Définition et unicité

Démonstration. C'est une application directe du théorème d'unicité du paragraphe précédent : si $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ conviennent sur des voisinages $]-r_1,r_1[$ et $]-r_2,r_2[$ de $0$, elles ont la même somme sur $]-\min (r_1,r_2),\min (r_1,r_2)[$, donc les mêmes coefficients. La valeur commune est $a_n={\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}$, toujours d'après ce théorème. $\mathrm{\square }$

Une condition nécessaire qui n'est pas suffisante

Démonstration. Par hypothèse, $f$ coïncide sur un intervalle $]-r,r[$ avec la somme d'une série entière de rayon $R⩾r>0$. Or la somme d'une série entière de rayon $R>0$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-R,R[$ (théorème de régularité). Donc $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-r,r[$. $\mathrm{\square }$

Les développements usuels

Le tableau suivant est à connaître par cœur, dans les deux sens : savoir développer, et savoir reconnaître une somme. Dans tout ce tableau, $\alpha$ désigne un réel fixé.

Il reste un développement qui n'est pas dans le tableau, parce qu'il concerne la variable complexe et qu'il sert de définition.

Justification du rayon. Pour $z\mathrm{\ne }0$ fixé, en posant $u_n={\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$, on a $\mid {\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{n+1}}\to 0<1$, donc la série converge absolument par la règle de d'Alembert. Ceci valant pour tout $z$, on a $R=+\mathrm{\infty }$. La continuité sur $\mathbb{C}$ découle du théorème de continuité de la somme. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les séries $\sum {\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$ et $\sum {\displaystyle \frac{z^{\mathrm{\prime }n}}{n!}}$ ont un rayon infini, donc convergent absolument en tout point. On peut leur appliquer le produit de Cauchy : la série produit a pour terme général

$$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\cdot \frac{z^{\mathrm{\prime }n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{z}^k{z}^{\mathrm{\prime }n-k}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)z^k{z}^{\mathrm{\prime }n-k}=\frac{(z+z^{\mathrm{\prime }}{)}^n}{n!},$$

où l'on a reconnu la formule du binôme de Newton, applicable puisque $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ commutent dans $\mathbb{C}$. Le théorème du produit de Cauchy donne alors

$$e^z{e}^{z^{\mathrm{\prime }}}=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^{\mathrm{\prime }n}}{n!}\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(z+z^{\mathrm{\prime }}{)}^n}{n!}=e^{z+z^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{.}$$

Pour la non-annulation : $e^z{e}^{-z}=e^{z-z}=e^0=1$, donc $e^z\mathrm{\ne }0$ et $(e^z{)}^{-1}=e^{-z}$. $\mathrm{\square }$

Méthodes de développement

Applications

Résolution d'une équation différentielle par les séries entières

Suites récurrentes et séries génératrices

Calcul de sommes

Méthodes à retenir (partie B)