Probabilités sur un ensemble fini

Vous avez déjà calculé des probabilités au lycée : des dés, des urnes, des arbres pondérés, une formule des probabilités totales appliquée sans être démontrée, et la loi binomiale utilisée comme une recette. Ce chapitre reprend tout cela et lui donne un cadre. La différence tient en une phrase : à partir d'aujourd'hui, une probabilité n'est plus « une proportion de cas favorables », c'est une application définie sur l'ensemble des parties d'un ensemble fini $\mathrm{\Omega }$, soumise à deux axiomes, et absolument tous les résultats du chapitre se démontrent à partir de ces deux axiomes.

Ce basculement change la nature du travail. Un exercice de probabilités de première année comporte presque toujours deux étapes bien distinctes, et l'essentiel des erreurs vient de leur confusion. La première est la modélisation : choisir l'univers $\mathrm{\Omega }$, nommer les événements, décider quelles hypothèses d'équiprobabilité ou d'indépendance on s'autorise. Cette étape n'est pas un calcul, c'est une traduction, et elle relève du bon sens autant que des mathématiques. La seconde est le calcul : une fois le modèle posé, on applique des théorèmes, et il n'y a plus de place pour l'intuition. Un modèle mal posé produit un calcul irréprochable qui donne un résultat faux ; c'est la faute la plus fréquente et la plus coûteuse aux concours.

Le plan suit cette logique. On met d'abord en place le vocabulaire des événements, qui est du vocabulaire ensembliste rebaptisé : le dictionnaire de traduction est le premier outil du chapitre. On définit ensuite ce qu'est une probabilité et on en déduit toutes les propriétés de calcul, dont la formule du crible. Vient alors le conditionnement, c'est-à-dire la façon de réviser une probabilité quand une information arrive, avec les trois formules qui structurent la moitié des exercices : probabilités composées, probabilités totales, formule de Bayes. L'indépendance suit, avec ses pièges. La seconde moitié du chapitre remplace les événements par des nombres : une variable aléatoire transporte l'expérience dans $\mathbb{R}$, ce qui permet de résumer un phénomène par deux nombres, l'espérance et la variance. On termine par les trois lois finies à connaître par cœur : Bernoulli, binomiale, uniforme.

Deux avertissements sur le cadre. D'une part, l'univers $\mathrm{\Omega }$ est fini dans tout le chapitre, sans aucune exception : c'est ce qui permet de prendre pour événements toutes les parties de $\mathrm{\Omega }$ et de ne manipuler que des sommes finies, donc de ne rien admettre. Le second semestre reprendra la théorie sur un univers quelconque. D'autre part, on n'étudiera jamais ici deux variables aléatoires « ensemble » : quand deux variables $X$ et $Y$ se rencontreront dans ce chapitre, ce sera uniquement par la linéarité de l'espérance, ou parce qu'un calcul direct donne la loi de la variable qui nous intéresse. L'étude simultanée de plusieurs variables relève elle aussi du second semestre. En revanche, l'indépendance d'événements, elle, est au programme et sera utilisée constamment.

Un mot enfin sur le dénombrement. Les calculs de ce chapitre en réclament, mais on s'en tiendra à ce que vous savez déjà : le nombre $n!$, les coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$, la formule de Pascal et la formule du binôme de Newton. Il n'y aura pas de théorie du dénombrement, seulement trois modèles de tirage à connaître comme des outils.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Expérience aléatoire, univers et événements

Expérience aléatoire et univers

Le choix de $\mathrm{\Omega }$ n'est jamais imposé par l'énoncé : c'est une décision de modélisation. Pour la même expérience « on lance trois fois une pièce », on peut prendre $\mathrm{\Omega }=\{P,F{\}}^3$ (on retient l'ordre des résultats) ou $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ (on ne retient que le nombre de piles). Ces deux univers sont corrects, mais ils ne permettent pas de répondre aux mêmes questions, et surtout, comme on le verra, l'hypothèse d'équiprobabilité est légitime sur le premier et fausse sur le second. La règle pratique est la suivante : choisir l'univers le plus détaillé compatible avec l'expérience, quitte à ne pas utiliser tout ce détail ensuite.

Événements

Le point à retenir est qu'un événement est un ensemble. Tout le vocabulaire probabiliste se lit donc en langage ensembliste, et réciproquement : c'est un simple dictionnaire, mais il faut le manier sans hésitation.

Ce tableau est le prolongement direct des connecteurs logiques : l'intersection traduit le « et », la réunion traduit le « ou » inclusif (un « ou » mathématique n'exclut jamais que les deux soient vrais), le passage au contraire traduit la négation. Les lois de De Morgan, vues au chapitre de logique, en sont la conséquence la plus utile.

En langage courant : le contraire de « au moins un est réalisé » est « aucun n'est réalisé », et le contraire de « tous sont réalisés » est « au moins un ne l'est pas ». C'est la remarque la plus rentable de tout le chapitre : dès qu'un énoncé contient les mots « au moins un », le réflexe est de passer au contraire.

Systèmes complets d'événements

Autrement dit, un système complet découpe $\mathrm{\Omega }$ en morceaux qui ne se chevauchent pas et qui ne laissent rien de côté : quel que soit le résultat de l'expérience, un et un seul des $A_i$ est réalisé. C'est exactement l'idée d'une disjonction de cas exhaustive, transportée dans le langage des événements.

La définition n'interdit pas qu'un des $A_i$ soit impossible, ni qu'il soit de probabilité nulle une fois la probabilité choisie ; on évitera cependant d'en faire figurer sans nécessité, car ces événements ne servent à rien dans les formules. Les systèmes complets sont l'outil central des deux formules les plus importantes du chapitre : la formule des probabilités totales, et le système complet associé à une variable aléatoire.

Probabilité sur $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$

Définition

Tout tient dans ces deux lignes : une probabilité est une façon de répartir une masse totale égale à $1$ sur les résultats de l'expérience, de sorte que la masse d'une réunion de morceaux disjoints soit la somme des masses. Toutes les propriétés qui suivent en découlent, sans hypothèse supplémentaire.

Démonstration. Par récurrence sur $n⩾1$. Pour $n=1$ il n'y a rien à démontrer, et le cas $n=2$ est l'axiome d'additivité.

Hérédité. Soit $n⩾2$ ; supposons la propriété vraie au rang $n$ et donnons-nous $A_1,\dots ,A_{n+1}$ deux à deux incompatibles. Posons $B=A_1\cup \cdots \cup A_n$. Les événements $B$ et $A_{n+1}$ sont incompatibles : en effet

$$B\cap A_{n+1}=\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\cap A_{n+1}=\bigcup _{i=1}^n(A_i\cap A_{n+1})=\mathrm{\varnothing },$$

car chaque $A_i\cap A_{n+1}$ est vide pour $i⩽n$. L'axiome d'additivité donne alors $P(B\cup A_{n+1})=P(B)+P(A_{n+1})$, et l'hypothèse de récurrence fournit $P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$. En reportant, on obtient la formule au rang $n+1$.

Conclusion. La propriété est vraie pour tout $n⩾1$. Le cas d'un système complet s'en déduit : la réunion vaut $\mathrm{\Omega }$, donc la somme des probabilités vaut $P(\mathrm{\Omega })=1$. $\mathrm{\square }$

Premières propriétés de calcul

Démonstration. a. Les événements $\mathrm{\Omega }$ et $\mathrm{\varnothing }$ sont incompatibles, puisque $\mathrm{\Omega }\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$, et leur réunion vaut $\mathrm{\Omega }$. L'additivité donne $P(\mathrm{\Omega })=P(\mathrm{\Omega })+P(\mathrm{\varnothing })$, d'où $P(\mathrm{\varnothing })=0$.

b. Les événements $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles et leur réunion vaut $\mathrm{\Omega }$. Donc $P(A)+P(\bar{A})=P(\mathrm{\Omega })=1$.

c. Supposons $A\subset B$. Alors $B=A\cup (B\setminus A)$, et cette réunion est disjointe puisque $B\setminus A=B\cap \bar{A}$ ne rencontre pas $A$. L'additivité donne $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$, d'où le résultat en retranchant $P(A)$.

d. Avec les notations précédentes, $P(B)-P(A)=P(B\setminus A)⩾0$, car une probabilité est à valeurs dans $[0,1]$. Donc $P(A)⩽P(B)$. $\mathrm{\square }$

Une probabilité est déterminée par les événements élémentaires

Démonstration. Premier point. Soit $A$ un événement. Si $A=\mathrm{\varnothing }$, la somme est vide et vaut $0=P(\mathrm{\varnothing })$. Sinon, écrivons $A=\{{\omega }_{i_1},\dots ,{\omega }_{i_k}\}$. Les événements élémentaires $\{{\omega }_{i_1}\},\dots ,\{{\omega }_{i_k}\}$ sont deux à deux incompatibles, puisque deux singletons distincts sont disjoints, et leur réunion est $A$. L'additivité finie donne exactement la formule annoncée.

Réciproque, unicité. Elle est contenue dans le premier point : la connaissance des $P(\{{\omega }_i\})$ détermine $P(A)$ pour tout $A$, donc deux probabilités qui coïncident sur les événements élémentaires sont égales.

Réciproque, existence. Définissons $P(A)={\sum }_{{\omega }_i\in A}{p}_i$ pour toute partie $A$ de $\mathrm{\Omega }$. Cette somme est positive comme somme de réels positifs, et elle est majorée par ${\sum }_{i=1}^N{p}_i=1$ car on ajoute des termes positifs : ainsi $P$ est bien à valeurs dans $[0,1]$. On a $P(\mathrm{\Omega })={\sum }_{i=1}^N{p}_i=1$. Enfin, si $A$ et $B$ sont incompatibles, aucun indice $i$ ne vérifie à la fois ${\omega }_i\in A$ et ${\omega }_i\in B$, donc la somme portant sur $A\cup B$ se scinde en la somme sur $A$ plus la somme sur $B$ : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. L'application $P$ est donc une probabilité, et $P(\{{\omega }_i\})=p_i$ par construction. $\mathrm{\square }$

Cette propriété est le mode d'emploi de la modélisation : pour définir une probabilité sur un univers fini, il suffit d'attribuer un poids à chaque résultat, ces poids étant positifs et de somme $1$. Rien d'autre n'est à vérifier.

Formule du crible pour deux et trois événements

Démonstration. Décomposons la réunion en deux morceaux disjoints :

$$A\cup B=A\cup (B\setminus A),\text{avec}A\cap (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing }\mathrm{.}$$

L'additivité donne $P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)$.

Il reste à exprimer $P(B\setminus A)$. Or $B$ se décompose lui aussi en deux morceaux disjoints, selon que le résultat appartient ou non à $A$ :

$$B=(A\cap B)\cup (B\setminus A),\text{avec}(A\cap B)\cap (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing },$$

d'où $P(B)=P(A\cap B)+P(B\setminus A)$, c'est-à-dire $P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)$. En reportant dans la première égalité, on obtient la formule. $\mathrm{\square }$

L'interprétation est limpide : en additionnant $P(A)$ et $P(B)$, on compte deux fois les résultats qui réalisent à la fois $A$ et $B$ ; on retire donc une fois $P(A\cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, le terme correctif est nul et l'on retrouve l'additivité.

Démonstration. Immédiat à partir du crible : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et $P(A\cap B)⩾0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. On applique la formule du crible à deux événements, d'abord à $A\cup B$ et $C$ :

$$P(A\cup B\cup C)=P((A\cup B)\cup C)=P(A\cup B)+P(C)-P((A\cup B)\cap C)\mathrm{.}$$

Le premier terme se développe par le crible : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Pour le dernier, la distributivité de l'intersection sur la réunion donne

$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C),$$

et une nouvelle application du crible, aux deux événements $A\cap C$ et $B\cap C$, donne

$$P((A\cup B)\cap C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P((A\cap C)\cap (B\cap C))\mathrm{.}$$

Or $(A\cap C)\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C$, puisque $C\cap C=C$. En reportant les deux développements :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B\cup C)}& {\displaystyle =(P(A)+P(B)-P(A\cap B))+P(C)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C)),}\end{array}$$

ce qui est exactement la formule annoncée après suppression des parenthèses. $\mathrm{\square }$

Le programme limite explicitement la formule du crible à deux et trois événements. Au-delà, on ne cherche pas à généraliser : on passe à l'événement contraire, ou l'on découpe le problème à l'aide d'un système complet.

Équiprobabilité

Démonstration. Notons $p$ la valeur commune des $P(\{\omega \})$. Les événements élémentaires forment un système complet, donc la somme de leurs probabilités vaut $1$ : on obtient $Np=1$, soit $p={\displaystyle \frac{1}{N}}$. Pour un événement $A$ quelconque, la formule de décomposition sur les événements élémentaires donne

$$P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}{\displaystyle \frac{1}{N}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)}{N}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

L'équiprobabilité n'est jamais une propriété automatique : c'est une hypothèse de modélisation, que l'énoncé suggère par des mots comme « au hasard », « équilibré », « bien mélangées », « indiscernables au toucher ». En rédaction, on l'annonce explicitement par une phrase du type : « les boules étant indiscernables au toucher, on munit $\mathrm{\Omega }$ de la probabilité uniforme ».

Les trois modèles de tirage

Dans une situation d'équiprobabilité, tout le travail consiste à compter. On se limitera aux trois protocoles suivants, qui couvrent la quasi-totalité des énoncés ; les nombres indiqués sont ceux de l'univers détaillé correspondant, pour un tirage de $k$ objets dans un ensemble de $n$ objets discernables.

Les deux derniers protocoles supposent $k⩽n$. Dans le cas des tirages sans remise, on retrouve le nombre annoncé en construisant le résultat étape par étape : $n$ choix pour le premier objet, $n-1$ pour le deuxième, et ainsi de suite, soit

$$n(n-1)\cdots (n-k+1)={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}\mathrm{.}$$

Un tirage simultané revient à un tirage successif sans remise dont on oublie l'ordre : c'est pourquoi les probabilités calculées dans ces deux modèles coïncident dès que l'événement étudié ne fait pas intervenir l'ordre. On choisit alors le modèle qui rend le comptage le plus simple.

Probabilités conditionnelles

Définition

Une information partielle modifie une probabilité. Si l'on sait déjà que l'événement $A$ est réalisé, les résultats extérieurs à $A$ deviennent impossibles, et il faut redistribuer la masse totale $1$ sur $A$ seul : c'est exactement ce que fait la définition suivante.

La notation $P(B\mid A)$ se rencontre dans d'autres ouvrages ; on emploiera systématiquement $P_A(B)$, qui a l'avantage de faire apparaître $P_A$ comme une probabilité à part entière. L'hypothèse $P(A)\mathrm{\ne }0$ est indispensable : conditionner par un événement de probabilité nulle n'a aucun sens.

La probabilité conditionnelle est une probabilité

Démonstration. Les valeurs sont dans $[0,1]$. Le quotient est positif comme quotient de deux réels positifs, le dénominateur étant strictement positif. De plus $A\cap B\subset A$, donc par croissance $P(A\cap B)⩽P(A)$, et en divisant par $P(A)>0$ on obtient $P_A(B)⩽1$.

Normalisation. $P_A(\mathrm{\Omega })={\displaystyle \frac{P(A\cap \mathrm{\Omega })}{P(A)}}={\displaystyle \frac{P(A)}{P(A)}}=1$.

Additivité. Soient $B$ et $C$ deux événements incompatibles. Les événements $A\cap B$ et $A\cap C$ sont alors incompatibles eux aussi, car $(A\cap B)\cap (A\cap C)\subset B\cap C=\mathrm{\varnothing }$. Par distributivité, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$, donc l'additivité de $P$ donne

$$P_A(B\cup C)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)+P(A\cap C)}{P(A)}}=P_A(B)+P_A(C)\mathrm{.}$$

Les deux axiomes sont vérifiés : $P_A$ est une probabilité. $\mathrm{\square }$

Cette propriété n'est pas une curiosité théorique, c'est un outil de calcul quotidien : tous les résultats démontrés jusqu'ici s'appliquent à $P_A$. En particulier, pour tous événements $B$ et $C$ :

En revanche, rien ne relie $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$ : l'égalité $P_{\bar{A}}(B)=1-P_A(B)$ est fausse en général. Le passage au contraire est licite sur l'événement conditionné, jamais sur l'événement conditionnant.

Formule des probabilités composées

Démonstration. Le cas de deux événements est la définition de $P_A(B)$, multipliée par $P(A)$.

Observons d'abord que l'hypothèse rend tous les conditionnements licites : pour $1⩽k⩽n-1$, on a l'inclusion $A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}\subset A_1\cap \cdots \cap A_k$, donc par croissance

$$P(A_1\cap \cdots \cap A_k)⩾P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})>0.$$

Démontrons la formule par récurrence sur $n⩾2$.

Initialisation. Pour $n=2$, c'est le cas déjà traité.

Hérédité. Soit $n⩾2$ ; supposons la formule vraie au rang $n$ pour toute famille d'événements vérifiant l'hypothèse. Donnons-nous $A_1,\dots ,A_{n+1}$ tels que $P(A_1\cap \cdots \cap A_n)\mathrm{\ne }0$, et posons $B=A_1\cap \cdots \cap A_n$. Comme $P(B)\mathrm{\ne }0$, le cas de deux événements donne

$$P(B\cap A_{n+1})=P(B)\times P_B(A_{n+1})\mathrm{.}$$

Par ailleurs $P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})⩾P(B)>0$, donc l'hypothèse de récurrence s'applique à $A_1,\dots ,A_n$ et fournit

$$P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)\times \cdots \times P_{A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)\mathrm{.}$$

En reportant, et en remarquant que $P_B(A_{n+1})=P_{A_1\cap \cdots \cap A_n}(A_{n+1})$, on obtient la formule au rang $n+1$.

Conclusion. La formule est vraie pour tout $n⩾2$. $\mathrm{\square }$

C'est la formule des expériences en chaîne : chaque facteur est la probabilité de l'étape suivante, sachant tout ce qui s'est passé avant.

L'arbre pondéré

L'arbre est la mise en forme graphique de la formule des probabilités composées ; il n'a rien d'un objet nouveau, mais il évite les oublis. Ses trois règles sont les suivantes.

Formule des probabilités totales

Démonstration. Puisque la réunion des $A_i$ vaut $\mathrm{\Omega }$, la distributivité donne

$$B=B\cap \mathrm{\Omega }=B\cap \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\bigcup _{i=1}^n(B\cap A_i)\mathrm{.}$$

Ces événements sont deux à deux incompatibles : pour $i\mathrm{\ne }j$, on a $(B\cap A_i)\cap (B\cap A_j)\subset A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$. L'additivité finie donne alors $P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)$.

Si tous les $A_i$ sont de probabilité non nulle, la formule des probabilités composées donne $P(B\cap A_i)=P(A_i)P_{A_i}(B)$ pour chaque $i$, d'où la seconde écriture. $\mathrm{\square }$

Lorsque certains $A_i$ sont de probabilité nulle, la première écriture reste valable telle quelle : les termes correspondants sont nuls, puisque $B\cap A_i\subset A_i$ entraîne $P(B\cap A_i)⩽P(A_i)=0$. On peut donc toujours se ramener à la seconde écriture en ne conservant que les indices $i$ pour lesquels $P(A_i)\mathrm{\ne }0$.

Formule de Bayes

Les probabilités totales calculent la probabilité d'une conséquence à partir de celle des causes. La formule de Bayes fait le chemin inverse : elle calcule la probabilité d'une cause sachant la conséquence observée.

Démonstration. Par définition de la probabilité conditionnelle, puis par la formule des probabilités composées appliquée à $A\cap B$ :

$$P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{P(A)P_A(B)}{P(B)}}\mathrm{.}$$

Pour la seconde version, on applique la première avec $A=A_j$, et l'on remplace le dénominateur $P(B)$ par son expression donnée par la formule des probabilités totales. $\mathrm{\square }$

Indépendance

Indépendance de deux événements

Démonstration. Comme $P(A)\mathrm{\ne }0$, on peut diviser par $P(A)$ dans une équivalence :

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)⟺{\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}=P(B)⟺P_A(B)=P(B)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

C'est la lecture intuitive de la notion : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$. On retiendra cependant la définition sous sa forme produit, qui est symétrique en $A$ et $B$ et qui ne suppose aucune probabilité non nulle.

L'indépendance est une propriété numérique, relative à la probabilité choisie ; elle n'exprime aucune absence de lien causal, et elle peut disparaître si l'on change de probabilité sur le même univers.

Démonstration. L'incompatibilité donne $P(A\cap B)=P(\mathrm{\varnothing })=0$, tandis que $P(A)P(B)>0$ comme produit de deux réels strictement positifs. Les deux quantités diffèrent. $\mathrm{\square }$

Incompatibles et indépendants sont donc deux notions non seulement différentes, mais en un sens opposées : si $A$ et $B$ sont incompatibles, la réalisation de $A$ interdit celle de $B$, ce qui est une dépendance très forte. Confondre les deux mots est une faute lourde.

Démonstration. Supposons $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Les événements $A\cap B$ et $\bar{A}\cap B$ sont incompatibles, et leur réunion vaut $B$, puisque $B=(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B)$. L'additivité donne donc

$$P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(\bar{A})P(B)\mathrm{.}$$

Ainsi $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants. En échangeant les rôles de $A$ et $B$, on obtient l'indépendance de $A$ et $\bar{B}$. Enfin, en appliquant le premier résultat au couple indépendant $(A,\bar{B})$, on obtient celle de $\bar{A}$ et $\bar{B}$. $\mathrm{\square }$

Indépendance mutuelle

Il ne suffit donc pas de vérifier l'égalité pour l'intersection de tous les événements, ni même pour tous les couples : toutes les sous-familles doivent la vérifier. Pour trois événements $A$, $B$, $C$, cela fait quatre égalités : les trois égalités deux à deux, et $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$.

Le cas $n=2$ a été démontré plus haut ; le cas général se traite par une récurrence sur le nombre de contraires substitués, et sa démonstration n'est pas exigible. Le résultat, lui, sert constamment : c'est lui qui autorise à écrire, pour des événements mutuellement indépendants,

$$P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \cdots \cap \overline{A_n})=\prod _{i=1}^n(1-P(A_i)),$$

donc à calculer une probabilité du type « au moins un des $A_i$ est réalisé » par passage au contraire.

En pratique, l'indépendance mutuelle n'est presque jamais démontrée : elle est posée comme hypothèse de modélisation, sous la forme « les épreuves sont indépendantes », « les composants tombent en panne indépendamment les uns des autres », « les tirages ont lieu avec remise ». Cette hypothèse doit être écrite explicitement dans la rédaction, car c'est elle qui autorise les produits.

Variables aléatoires réelles finies

Définition et notations

Compter, mesurer, gagner ou perdre de l'argent : dans la plupart des situations, ce qui intéresse n'est pas le résultat brut de l'expérience, mais un nombre attaché à ce résultat. C'est l'objet des variables aléatoires.

Le mot « variable » est trompeur : une variable aléatoire est une application, pas un nombre. La lettre $X$ désigne la règle qui, à chaque résultat $\omega$, associe le réel $X(\omega )$.

Il faut lire ces notations comme des abréviations : $(X=3)$ n'est pas une équation, c'est l'ensemble des résultats de l'expérience pour lesquels $X$ vaut $3$. Toutes les règles de calcul sur les événements s'y appliquent, par exemple

$$(X⩽2)\cup (X=3)=(X⩽3)\text{si }X\text{ est }\grave{\text{a}}\text{ valeurs enti}\grave{\text{e}}\text{res},\overline{(X⩽x)}=(X>x)\mathrm{.}$$

Système complet associé et loi d'une variable aléatoire

Démonstration. Incompatibilité. Soient $i\mathrm{\ne }j$. Si un résultat $\omega$ appartenait à $(X=x_i)\cap (X=x_j)$, on aurait $X(\omega )=x_i$ et $X(\omega )=x_j$, donc $x_i=x_j$, ce qui est exclu. L'intersection est donc vide.

Réunion. Soit $\omega \in \mathrm{\Omega }$. Le réel $X(\omega )$ appartient à $X(\mathrm{\Omega })$ par définition de l'image, donc il existe un indice $i$ tel que $X(\omega )=x_i$, c'est-à-dire $\omega \in (X=x_i)$. La réunion des $(X=x_i)$ est donc $\mathrm{\Omega }$ tout entier. $\mathrm{\square }$

Ce système complet est l'outil de travail permanent de la seconde moitié du chapitre : c'est lui qu'on utilise dans la formule des probabilités totales lorsque le conditionnement se fait selon la valeur prise par une variable.

Démonstration. Les événements $(X=x_i)$ forment un système complet, et la somme des probabilités d'un système complet vaut $1$. $\mathrm{\square }$

Cette égalité est la vérification obligatoire de tout calcul de loi : une loi dont les probabilités ne somment pas à $1$ est fausse, sans exception. On présente en général une loi sous forme de tableau.

Variable aléatoire $Y=g(X)$

Démonstration. L'application $Y$ va bien de $\mathrm{\Omega }$ dans $\mathbb{R}$ comme composée de $X$ et de $g$ : c'est une variable aléatoire, et l'ensemble de ses valeurs est l'image de $X(\mathrm{\Omega })$ par $g$.

Soit $y\in Y(\mathrm{\Omega })$. Un résultat $\omega$ réalise $(Y=y)$ si et seulement si $g(X(\omega ))=y$, c'est-à-dire si et seulement si $X(\omega )$ appartient à l'ensemble des $x\in X(\mathrm{\Omega })$ tels que $g(x)=y$. Autrement dit, $(Y=y)$ est la réunion des événements $(X=x)$ pour ces valeurs $x$. Ces événements sont deux à deux incompatibles, comme membres du système complet associé à $X$, donc l'additivité finie donne la formule. $\mathrm{\square }$

Le point délicat est le regroupement : si $g$ prend la même valeur en deux points, les probabilités correspondantes s'additionnent.

Espérance

Définition

L'espérance est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : c'est le barycentre des valeurs de $X$ affectées des poids $P(X=x)$. Intuitivement, elle indique la valeur autour de laquelle les résultats se répartissent ; l'énoncé précis qui relie l'espérance à la moyenne observée sur un grand nombre de répétitions ne sera vu que plus tard.

Attention à un abus de langage courant : l'espérance n'est pas une valeur que l'on « espère » observer, et elle n'appartient même pas nécessairement à $X(\mathrm{\Omega })$.

L'espérance vue comme une somme sur $\mathrm{\Omega }$

La formule suivante n'est pas la définition, mais c'est l'outil qui permet de démontrer proprement la linéarité.

Démonstration. Notons $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_r\}$. Les événements $(X=x_i)$ forment un système complet, donc ils partagent $\mathrm{\Omega }$ en $r$ morceaux disjoints, et l'on peut découper la somme sur $\mathrm{\Omega }$ selon ces morceaux :

$$\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )P(\{\omega \})=\sum _{i=1}^r\sum _{\omega \in (X=x_i)}X(\omega )P(\{\omega \})\mathrm{.}$$

Dans la somme interne, tous les $\omega$ vérifient $X(\omega )=x_i$ : le facteur $x_i$ est constant et se factorise, d'où

$$\sum _{\omega \in (X=x_i)}X(\omega )P(\{\omega \})=x_i\sum _{\omega \in (X=x_i)}P(\{\omega \})=x_{i}P(X=x_i),$$

la dernière égalité provenant de la décomposition d'un événement en événements élémentaires. En sommant sur $i$, on retrouve ${\sum }_{i=1}^r{x}_{i}P(X=x_i)=E(X)$. $\mathrm{\square }$

Linéarité et croissance

Démonstration. La variable $aX+bY$ est définie par $(aX+bY)(\omega )=aX(\omega )+bY(\omega )$. La formule précédente, appliquée à cette variable, donne

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(aX+bY)}& {\displaystyle =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}(aX(\omega )+bY(\omega ))P(\{\omega \})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )P(\{\omega \})+b\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}Y(\omega )P(\{\omega \})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =aE(X)+bE(Y),}\end{array}$$

par linéarité de la somme finie, puis en reconnaissant deux fois la formule de l'espérance comme somme sur $\mathrm{\Omega }$.

Pour une constante $b$, la variable constante égale à $b$ prend la seule valeur $b$ avec la probabilité $1$, donc son espérance vaut $b$ ; les cas particuliers s'en déduisent. $\mathrm{\square }$

Deux remarques capitales. D'abord, la linéarité ne demande aucune hypothèse liant $X$ et $Y$ : elle est toujours vraie, ce qui en fait l'outil le plus puissant du chapitre. Ensuite, elle s'étend par récurrence immédiate à un nombre fini de variables :

$$E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}E(X_i)\mathrm{.}$$

Démonstration. a. Toutes les valeurs de $X$ sont positives, donc dans la somme $E(X)=\sum xP(X=x)$ chaque terme est un produit de deux réels positifs : la somme est positive.

b. La variable $Y-X$ vérifie $(Y-X)(\omega )⩾0$ pour tout $\omega$, donc $E(Y-X)⩾0$ d'après a. Or la linéarité donne $E(Y-X)=E(Y)-E(X)$, d'où $E(X)⩽E(Y)$.

c. On applique b en comparant $X$ aux variables constantes égales à $m$ et à $M$, dont les espérances valent respectivement $m$ et $M$. $\mathrm{\square }$

Espérance d'une fonction de $X$ : le théorème de transfert

Ce théorème est admis, conformément au programme. Son intérêt pratique est considérable : il permet de calculer $E(g(X))$ sans déterminer la loi de $g(X)$, donc sans avoir à effectuer les regroupements de valeurs. On l'utilisera surtout avec $g(x)=x^2$, pour calculer $E(X^2)$, qui est la clef du calcul de la variance.

La méthode des indicatrices

Démonstration. La variable ${\mathbf{1}}_A$ prend au plus les deux valeurs $0$ et $1$, avec $P({\mathbf{1}}_A=1)=P(A)$ et $P({\mathbf{1}}_A=0)=P(\bar{A})$. Donc

$$E({\mathbf{1}}_A)=0\times P(\bar{A})+1\times P(A)=P(A)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Variance et écart-type

L'espérance résume la position des valeurs ; elle ne dit rien de leur dispersion. Les deux variables « gagner $0$ euro à coup sûr » et « gagner $1000$ euros ou perdre $1000$ euros avec la même probabilité » ont la même espérance nulle, et ne représentent évidemment pas le même risque. La variance mesure cet écart aux valeurs moyennes.

Définition

La variance est une espérance de carré, donc toujours positive d'après la positivité de l'espérance : la racine carrée a bien un sens. Si $X$ s'exprime en euros, $V(X)$ s'exprime en euros au carré, alors que $\sigma (X)$ s'exprime en euros : c'est l'écart-type, et non la variance, qui se compare directement aux valeurs de $X$.

Formule de König-Huygens

Démonstration. Posons $m=E(X)$, qui est un réel constant. En développant le carré, on obtient l'égalité de variables aléatoires

$$(X-m{)}^2=X^2-2mX+m^2\mathrm{.}$$

Par linéarité de l'espérance, appliquée aux trois termes du membre de droite,

$$V(X)=E(X^2)-2mE(X)+m^2=E(X^2)-2m^2+m^2=E(X^2)-m^2\mathrm{.}$$

L'inégalité en découle, puisque $V(X)⩾0$. $\mathrm{\square }$

C'est toujours cette formule que l'on utilise en pratique : elle ne demande que $E(X)$ et $E(X^2)$, ce dernier s'obtenant par transfert.

Propriétés de la variance

Démonstration. a. Posons $m=E(X)$. On a $V(X)={\sum }_{x\in X(\mathrm{\Omega })}(x-m{)}^{2}P(X=x)$, somme de termes tous positifs. Une somme finie de réels positifs est nulle si et seulement si tous ses termes sont nuls. Donc $V(X)=0$ équivaut à : pour tout $x\in X(\mathrm{\Omega })$, $(x-m{)}^{2}P(X=x)=0$, c'est-à-dire $P(X=x)=0$ dès que $x\mathrm{\ne }m$. Comme les événements $(X=x)$ forment un système complet, la somme de leurs probabilités vaut $1$, donc cela équivaut à $P(X=m)=1$.

b. Posons $Y=aX+b$. Par linéarité, $E(Y)=aE(X)+b=am+b$, donc

$$Y-E(Y)=aX+b-am-b=a(X-m)\mathrm{.}$$

En élevant au carré, $(Y-E(Y){)}^2=a^2(X-m{)}^2$, puis en prenant l'espérance et en utilisant sa linéarité,

$$V(Y)=E(a^2(X-m{)}^2)=a^{2}E((X-m{)}^2)=a^{2}V(X)\mathrm{.}$$

Pour l'écart-type, on prend la racine carrée : $\sqrt{a^{2}V(X)}=\sqrt{a^2}\sqrt{V(X)}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\sigma (X)$.

c. C'est le cas $a=1$. $\mathrm{\square }$

Le point a dit qu'une variance nulle caractérise les variables qui ne prennent qu'une seule valeur, à un événement de probabilité nulle près : aucune dispersion, aucun aléa. Le point b contient une erreur classique à éviter : le coefficient sort de la variance au carré, et la constante $b$ disparaît complètement.

Variable centrée réduite

Démonstration. Posons $m=E(X)$ et $s=\sigma (X)>0$. La variable $X^{\ast }$ s'écrit $aX+b$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{s}}$ et $b=-{\displaystyle \frac{m}{s}}$. La linéarité de l'espérance donne

$$E(X^{\ast })={\displaystyle \frac{1}{s}}E(X)-{\displaystyle \frac{m}{s}}={\displaystyle \frac{m-m}{s}}=0,$$

et la propriété $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ donne

$$V(X^{\ast })={\displaystyle \frac{1}{s^2}}V(X)={\displaystyle \frac{V(X)}{V(X)}}=1.\mathrm{\square }$$

Centrer et réduire, c'est changer d'origine et d'unité : on ramène toute variable à une échelle commune, sans dimension, où la moyenne vaut $0$ et l'écart-type vaut $1$. C'est ce qui permet de comparer des grandeurs hétérogènes, par exemple un chiffre d'affaires et un nombre de clients.

Lois usuelles finies

Variable aléatoire certaine

Démonstration. L'espérance se réduit à un seul terme : $E(X)=c\times 1=c$. Pour la variance, $X-E(X)$ est la variable nulle, donc $V(X)=E(0)=0$. $\mathrm{\square }$

Loi de Bernoulli

C'est la loi du succès ou échec : $X$ vaut $1$ si l'épreuve réussit, $0$ sinon. On note souvent $q=1-p$ la probabilité d'échec.

Démonstration. L'espérance vaut $E(X)=0\times (1-p)+1\times p=p$.

Pour la variance, observons que $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, qui vérifient toutes deux $x^2=x$ : on a donc l'égalité de variables aléatoires $X^2=X$, d'où $E(X^2)=E(X)=p$. La formule de König-Huygens donne alors

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=p-p^2=p(1-p)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. L'indicatrice prend ses valeurs dans $\{0,1\}$, et $P({\mathbf{1}}_A=1)=P(A)$ par définition. C'est exactement la loi $\mathcal{B}(P(A))$. $\mathrm{\square }$

Ce résultat, joint à la formule $E({\mathbf{1}}_A)=P(A)$, explique le statut particulier des indicatrices : elles font le pont entre les événements et les variables aléatoires.

Loi binomiale

Démonstration. Modélisons le schéma de Bernoulli par l'univers $\mathrm{\Omega }=\{S,E{\}}^n$, dont les éléments sont les mots de $n$ lettres écrits avec $S$ pour succès et $E$ pour échec. Le nombre de succès peut valoir $0$, $1$, $\dots$, $n$, d'où $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Fixons $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et considérons un mot particulier comportant exactement $k$ lettres $S$. Notons $S_i$ l'événement « la $i$-ème épreuve est un succès ». Les épreuves étant indépendantes, les événements $S_1,\dots ,S_n$ sont mutuellement indépendants, donc leurs contraires peuvent leur être substitués librement : la probabilité d'obtenir ce mot précis est le produit des probabilités des $n$ résultats qui le composent, soit

$$\underset{k\text{ facteurs}}{\underbrace{p\times \cdots \times p}}\times \underset{n-k\text{ facteurs}}{\underbrace{(1-p)\times \cdots \times (1-p)}}=p^k(1-p{)}^{n-k}\mathrm{.}$$

Cette valeur ne dépend que de $k$, pas de la place des succès.

Il reste à compter les mots comportant exactement $k$ lettres $S$. Un tel mot est entièrement déterminé par l'ensemble des positions occupées par les succès, c'est-à-dire par une partie à $k$ éléments de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ : il y en a $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$.

L'événement $(X=k)$ est la réunion de ces $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ événements élémentaires, deux à deux incompatibles et de même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$. L'additivité finie donne donc $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. $\mathrm{\square }$

C'est de cette égalité que la loi tire son nom. On notera au passage que $\mathcal{B}(1,p)$ n'est autre que la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$.

Démonstration. Posons $q=1-p$. On utilise deux fois une identité sur les coefficients binomiaux.

Première identité. Pour $1⩽k⩽n$,

$$k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=k\times {\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}={\displaystyle \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}=n\times {\displaystyle \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}}=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)\mathrm{.}$$

Calcul de l'espérance. Le terme d'indice $k=0$ est nul, donc

$$E(X)=\sum _{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)p^k{q}^{n-k}\mathrm{.}$$

On factorise $np$ et l'on pose $j=k-1$, de sorte que $j$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et que $n-k=(n-1)-j$ :

$$E(X)=np\sum _{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{j}\right)p^j{q}^{(n-1)-j}=np(p+q{)}^{n-1}=np\mathrm{.}$$

Seconde identité. Pour $2⩽k⩽n$, le même calcul donne

$$k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)={\displaystyle \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}}=n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)\mathrm{.}$$

Calcul de la variance. Le théorème de transfert appliqué à $g(x)=x(x-1)$ donne, les termes d'indices $k=0$ et $k=1$ étant nuls,

$$E(X(X-1))=\sum _{k=2}^{n}k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}=n(n-1)p^2\sum _{j=0}^{n-2}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{j}\right)p^j{q}^{(n-2)-j}=n(n-1)p^2,$$

après le changement d'indice $j=k-2$ et la formule du binôme. Or $X(X-1)=X^2-X$, donc la linéarité de l'espérance donne

$$E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=n(n-1)p^2+np\mathrm{.}$$

La formule de König-Huygens conclut :

$$V(X)=n(n-1)p^2+np-(np{)}^2=n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2=np-n{p}^2=np(1-p)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Loi uniforme

Démonstration. On utilise les deux sommes classiques du chapitre sur les sommes :

$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\mathrm{.}$$

Espérance.

$$E(X)=\sum _{k=1}^{n}k\times {\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}\mathrm{.}$$

Moment d'ordre deux. Le théorème de transfert donne

$$E(X^2)=\sum _{k=1}^n{k}^2\times {\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\mathrm{.}$$

Variance. La formule de König-Huygens donne

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}-{\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{4}}=(n+1)\left({\displaystyle \frac{2(2n+1)-3(n+1)}{12}}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(n-1)}{12}}={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\mathrm{.}\mathrm{\square }}\end{array}$$

Démonstration. Posons $N=b-a+1$ et $Y=X-a+1$. Pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on a

$$P(Y=k)=P(X=k+a-1)={\displaystyle \frac{1}{N}},$$

car $k+a-1$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ lorsque $k$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Donc $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$, et les résultats précédents s'appliquent à $Y$.

Espérance. Comme $X=Y+a-1$, la linéarité donne

$$E(X)=E(Y)+a-1={\displaystyle \frac{N+1}{2}}+a-1={\displaystyle \frac{b-a+2}{2}}+a-1={\displaystyle \frac{b-a+2+2a-2}{2}}={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\mathrm{.}$$

Variance. Une translation ne modifie pas la variance, donc

$$V(X)=V(Y)={\displaystyle \frac{N^2-1}{12}}={\displaystyle \frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Tableau récapitulatif

Ces cinq lignes doivent être sues par cœur, mais surtout redémontrables : les concours demandent régulièrement d'établir l'espérance ou la variance d'une loi usuelle, et une réponse donnée sans démonstration ne rapporte alors aucun point.

Erreurs classiques à éviter

• Poser l'équiprobabilité sur un univers résumé. Les sommes de deux dés, les nombres de piles, les valeurs d'une variable ne sont presque jamais équiprobables. L'équiprobabilité se pose sur l'univers détaillé, et se justifie par les termes de l'énoncé.

• Confondre incompatibles et indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont toujours dépendants. L'incompatibilité est une propriété ensembliste, l'indépendance une propriété numérique liée à $P$.

• Additionner sans vérifier l'incompatibilité. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ n'est vraie que si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. Dans le doute, on écrit la formule du crible, qui est toujours vraie.

• Multiplier sans hypothèse d'indépendance. $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ est une définition de l'indépendance, pas une règle de calcul générale. Sans hypothèse, on écrit $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$.

• Inverser un conditionnement à la légère. $P_A(B)$ et $P_B(A)$ n'ont aucune raison d'être égaux, comme le montre l'exemple des déclarations frauduleuses. Le passage de l'un à l'autre demande la formule de Bayes.

• Écrire $P_{\bar{A}}(B)=1-P_A(B)$. C'est faux. Seul $P_A(\bar{B})=1-P_A(B)$ est correct : on passe au contraire sur l'événement conditionné, jamais sur le conditionnant.

• Oublier de vérifier qu'une loi somme à $1$. C'est la seule vérification autonome dont on dispose sur un calcul de loi, et elle détecte la grande majorité des erreurs.

• Croire que $E(X)$ est une valeur possible de $X$. L'espérance d'un dé vaut $\mathrm{3,5}$ ; aucune face ne porte ce numéro.

• Sortir un coefficient de la variance sans le carré. On a $V(aX+b)=a^{2}V(X)$, et non $aV(X)$ ; la constante $b$, elle, disparaît. Pour l'écart-type, $\sigma (aX+b)=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\sigma (X)$.

• Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise. Les épreuves ne sont alors pas indépendantes et la probabilité de succès change à chaque tirage : la loi doit être calculée directement par dénombrement.

• Confondre la variable et sa valeur. $X$ est une application, $X(\omega )$ est un nombre, et $(X=k)$ est un événement. Une phrase comme « la probabilité de $X$ » n'a aucun sens.