Devoir surveillé — Fonctions réelles de n variables sur un ouvert de Rⁿ : recherche d'extrema

Consignes valables pour tout le sujet. La calculatrice est interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, le résultat d'une question peut toujours être admis pour traiter les suivantes. La qualité de la rédaction est notée : on justifiera la classe de chaque fonction avant de dériver, et l'on prendra garde à deux réflexes de correction. D'abord, un point critique n'est pas un extremum : la condition d'ordre $1$ est seulement nécessaire, et seule la condition d'ordre $2$ ou une étude directe décide de la nature d'un point. Ensuite, on soignera la distinction entre extremum local et extremum global, et l'on justifiera tout passage de l'un à l'autre.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes ; une justification de quelques lignes suffit à chacune.

1. Pour $a$ réel, on pose $f_a(x,y)=e^{ax+y}$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Déterminer tous les réels $a$ pour lesquels $f_a$ vérifie, en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, la relation

$${\mathrm{\partial }}_{1,1}^2{f}_a+{\mathrm{\partial }}_{2,2}^2{f}_a=5f_a\mathrm{.}$$

(0,5 point)

2. On pose $q(u_1,u_2)=5u_1^2-6u_1{u}_2+2u_2^2$. Déterminer l'unique matrice symétrique $S$ d'ordre $2$ telle que $q(u)={}^{t}uSu$ pour tout $u=(u_1,u_2)$, puis déterminer le signe de $q$ en l'écrivant comme une somme de carrés. (0,5 point)

3. Déterminer les réels $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f(x,y)=x^3+bxy+c{y}^2$ admet $(1,-1)$ pour point critique, puis déterminer la nature de ce point critique. (0,5 point)

4. On pose $g(x,y)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2+y^2}}$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Sans calculer aucune dérivée, dire si $g$ admet un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$, puis si elle y admet un minimum global. Le théorème d'existence des extrema s'applique-t-il ici ? Que faut-il en conclure sur sa portée ? (0,75 point)

5. Existe-t-il une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ dont la matrice hessienne vaut, en tout point $(x,y)$,

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}y& x^2\\ x^2& x\end{array}\right)\text{ ?}$$

On pourra intégrer ${\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f$ par rapport à $x$, à $y$ fixé, puis dériver le résultat obtenu par rapport à $y$ et le comparer au coefficient hors diagonale. (1 point)

On note $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ et l'on considère la fonction $f$ définie sur $U$ par

$$f(x,y)=xy+\frac{8}{x}+\frac{1}{y}\mathrm{.}$$

1. On admet que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$. Justifier que $f$ y est de classe ${\mathcal{C}}^2$, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$. (0,25 point)

2. Montrer que $f$ admet sur $U$ un unique point critique, que l'on déterminera, et calculer la valeur de $f$ en ce point. (0,75 point)

3. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ en un point quelconque de $U$, puis en déduire la nature du point critique trouvé. Ce résultat suffit-il à conclure quant à un minimum global ? (0,5 point)

4. Soit $x>0$ fixé. Étudier les variations sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de la fonction ${\psi }_x:y⟼f(x,y)$, et montrer qu'elle admet un minimum global, atteint en un unique point que l'on précisera. En déduire que, pour tout $(x,y)\in U$,

$$f(x,y)⩾h(x),\text{où}h(x)=2\sqrt{x}+\frac{8}{x}\mathrm{.}$$

(1 point)

5. Étudier les variations de $h$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et montrer que $h(x)⩾6$ pour tout $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=4$. (1 point)

6. Conclure : donner le minimum global de $f$ sur $U$ et l'ensemble des points où il est atteint. (0,25 point)

Pour tout réel $a$, on définit la fonction $f_a$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f_a(x,y)=x^3-6xy+a{y}^2\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f_a$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }{f}_a(x,y)$, et écrire le système caractérisant les points critiques de $f_a$. (0,5 point)

2. Résoudre ce système en discutant selon la valeur de $a$ : montrer que $f_0$ admet un unique point critique, et que pour $a\mathrm{\ne }0$ la fonction $f_a$ en admet exactement deux, l'origine et un point $M_a$ que l'on déterminera. (0,75 point)

3. Calculer ${\mathrm{\nabla }}^2{f}_a(x,y)$ en un point quelconque, écrire le développement limité d'ordre $2$ de $f_a$ en $(0,0)$, puis déterminer la nature du point critique $(0,0)$. Le résultat dépend-il de $a$ ? (0,75 point)

4. On suppose $a\mathrm{\ne }0$. Montrer que le produit des valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^2{f}_a(M_a)$ ne dépend pas de $a$, puis que leur somme vaut ${\displaystyle \frac{2(a^2+18)}{a}}$. En déduire la nature de $M_a$ en discutant selon le signe de $a$. (0,75 point)

5. Montrer que, quelle que soit la valeur du réel $a$, la fonction $f_a$ n'admet sur ${\mathbb{R}}^2$ ni maximum global ni minimum global. Commenter le cas $a<0$. (0,5 point)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2-4y,$$

et le domaine

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2⩽y⩽4\},$$

c'est-à-dire l'ensemble des points situés au-dessus de la parabole d'équation $y=x^2$ et au-dessous de la droite d'équation $y=4$.

1. On admet que $D$ est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^2$. Montrer qu'elle est bornée et non vide, puis en déduire que $f$ admet sur $D$ un maximum global et un minimum global. (0,5 point)

2. On pose $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2<y<4\}$, dont on admet que c'est un ouvert inclus dans $D$. Montrer que tout point de $D$ n'appartenant pas à $\mathrm{\Omega }$ appartient à l'arc de parabole $\mathcal{P}=\{(x,x^2);-2⩽x⩽2\}$ ou au segment $\mathcal{S}=\{(x,4);-2⩽x⩽2\}$. (0,5 point)

3. Déterminer les points critiques de $f$ appartenant à $\mathrm{\Omega }$, préciser leur nature et la valeur de $f$ en chacun d'eux. La nature n'est demandée qu'à titre de contrôle : elle ne servira pas à la comparaison de la question 6. (0,5 point)

4. Étudier la restriction de $f$ au segment $\mathcal{S}$ : donner ses valeurs extrêmes et les points où elles sont atteintes. (0,25 point)

5. Étudier la restriction de $f$ à l'arc $\mathcal{P}$. On posera $\phi (x)=f(x,x^2)$ pour $x\in [-2,2]$, on dressera le tableau de variations de $\phi$, et l'on donnera ses valeurs extrêmes ainsi que les points correspondants. (1 point)

6. Rassembler toutes les valeurs candidates dans un tableau, puis conclure : donner le maximum global et le minimum global de $f$ sur $D$, ainsi que les points où ils sont atteints. (0,75 point)

Un investisseur répartit la totalité de son capital entre trois actifs financiers, dont les rendements sur un an sont modélisés par trois variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ admettant chacune une variance. Une répartition est un triplet $(x,y,z)$ de réels vérifiant

$$x+y+z=1,$$

où $x$, $y$ et $z$ désignent les parts du capital placées sur chacun des trois actifs. Ces parts peuvent être négatives, l'investisseur ayant le droit de vendre à découvert. Le rendement du portefeuille correspondant est la variable aléatoire

$$P=x{X}_1+y{X}_2+z{X}_3\mathrm{.}$$

Le risque du portefeuille est mesuré par la variance de $P$, et l'objectif du problème est de déterminer la répartition qui le rend minimal.

Les données. Les trois actifs vérifient

Formules admises, à utiliser librement. La covariance est symétrique et bilinéaire, $\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{V}(X)$, deux variables indépendantes ont une covariance nulle, et pour tous réels $a_1$, $a_2$, $a_3$,

$$\mathrm{V}\text{\hspace{0.17em}⁣}(a_1{X}_1+a_2{X}_2+a_3{X}_3)=\sum _{i=1}^3{a}_i^2\mathrm{V}(X_i)+2\sum _{1⩽i<j⩽3}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}\text{\hspace{0.17em}⁣}(X_i,X_j)\mathrm{.}$$

Partie A. Mise en équation.

1. On note $R$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^3$ tout entier par $R(x,y,z)=\mathrm{V}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x{X}_1+y{X}_2+z{X}_3)$, de sorte que le risque du portefeuille de répartition $(x,y,z)$ est $R(x,y,z)$. Montrer que, pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$,

$$R(x,y,z)=2x^2+4y^2+7z^2+2xy\mathrm{.}$$

(0,5 point)

2. On note $C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=1\}$ l'ensemble des répartitions, dont on admet qu'il est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^3$. Montrer que $C$ n'est pas borné, et dire ce qu'on en conclut quant à l'emploi du théorème d'existence des extrema. (0,25 point)

3. Justifier que $R$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^3$ et calculer $\mathrm{\nabla }R(x,y,z)$. (0,25 point)

Partie B. Résolution par substitution.

L'ensemble $C$ n'étant pas borné, l'existence du minimum reste à établir ; on l'obtient ici en éliminant la contrainte. On remarquera au passage que le terme croisé $2xy$ interdit les raccourcis usuels : le risque n'est pas une somme de carrés des trois variables, et l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne s'applique pas directement.

4. Montrer que $(x,y,z)\in C$ si et seulement s'il existe $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $z=1-x-y$, puis que le problème revient à minimiser sur ${\mathbb{R}}^2$ la fonction

$$\phi (x,y)=9x^2+11y^2+16xy-14x-14y+7.$$

(0,75 point)

5. On admet la mise sous forme canonique suivante, valable pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ :

$$\phi (x,y)=9{(x+\frac{8y-7}{9})}^2+\frac{35}{9}{(y-\frac{1}{5})}^2+\frac{7}{5}\mathrm{.}$$

En déduire que $\phi$ admet un minimum global strict sur ${\mathbb{R}}^2$, puis conclure : donner la répartition de risque minimal et la valeur de ce risque. (0,75 point)

Partie C. Le multiplicateur, et ce qu'il signifie.

6. Écrire la condition nécessaire d'ordre $1$ pour un extremum de $R$ sous la contrainte linéaire $x+y+z=1$, puis le système de quatre équations aux quatre inconnues $x$, $y$, $z$ et $\lambda$ qu'elle fournit. (0,75 point)

7. Résoudre ce système sans utiliser le résultat de la partie B, et donner la valeur de $\lambda$. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la partie B ? (0,5 point)

8. Soit $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ et soit $P=x{X}_1+y{X}_2+z{X}_3$ le rendement associé. Montrer que, pour chaque indice $i$,

$${\mathrm{\partial }}_{i}R(x,y,z)=2\mathrm{Cov}\text{\hspace{0.17em}⁣}(X_i,P)\mathrm{.}$$

(0,75 point)

9. On note $P^{\ast }$ le rendement du portefeuille de risque minimal. Déduire des questions 7. et 8. que les trois covariances $\mathrm{Cov}(X_1,P^{\ast })$, $\mathrm{Cov}(X_2,P^{\ast })$ et $\mathrm{Cov}(X_3,P^{\ast })$ sont égales entre elles, et qu'elles sont de plus égales à $\mathrm{V}(P^{\ast })$. (1 point)

Partie D. Ce que la diversification rapporte.

10. Calculer le risque du portefeuille équipondéré, celui pour lequel $x=y=z={\displaystyle \frac{1}{3}}$, puis celui d'un portefeuille entièrement placé sur l'actif le moins risqué. Comparer les deux au risque minimal et conclure en une phrase sur l'intérêt de répartir. (0,75 point)