Fonctions réelles de n variables sur un ouvert de Rⁿ : recherche d'extrema

Au semestre précédent, vous avez appris à repérer les candidats. Sur un ouvert, un extremum local d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ annule nécessairement le gradient : résoudre le système $\mathrm{\nabla }f(x)=0$ dresse la liste complète des points où quelque chose peut se passer. Mais cette liste ne dit rien de la nature de ces points. Il fallait alors, pour chaque candidat, se débrouiller à la main : mise sous forme canonique, minoration, comparaison le long de deux directions bien choisies. Cette étude directe est élégante quand elle réussit, et elle reste la meilleure méthode dans bien des cas ; elle a le défaut de ne pas être systématique. Ce chapitre fournit l'outil systématique qui manquait.

L'idée est la même qu'en une variable. Pour une fonction $g$ d'une seule variable, un point critique $t_0$ est un minimum local dès que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t_0)>0$, un maximum local dès que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t_0)<0$, et le cas $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t_0)=0$ est douteux. Il s'agit donc de savoir ce que devient « le signe de la dérivée seconde » quand il y a $n$ variables. La réponse est le cœur du chapitre : la dérivée seconde devient une matrice, la matrice hessienne, qui rassemble les $n^2$ dérivées partielles d'ordre $2$ ; et « le signe » de cette matrice se lit sur le signe de ses valeurs propres. C'est ici que le chapitre d'algèbre bilinéaire vient au secours de l'analyse : la matrice hessienne est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique, ses valeurs propres sont réelles et elle se diagonalise en base orthonormée. Sans ce théorème, la méthode n'existerait pas.

Le mécanisme qui relie la matrice à la fonction est le développement limité d'ordre $2$, ou formule de Taylor-Young. Il exprime que, tout près d'un point critique, la fonction se comporte comme une forme quadratique : la surface représentative ressemble à un paraboloïde, tourné vers le haut, vers le bas, ou en forme de selle de cheval. Trancher la nature d'un point critique, c'est simplement reconnaître lequel de ces trois paraboloïdes on a sous les yeux, et les valeurs propres de la hessienne donnent la réponse en quelques lignes de calcul. En dimension $2$, on n'a même pas besoin de calculer les valeurs propres : le signe du déterminant, puis celui de la trace, suffisent.

Deux situations échappent à ce cadre, et le programme les traite séparément parce qu'elles sont omniprésentes en économie. La première est la recherche d'extrema sur un ensemble fermé borné : un domaine de production limité par des capacités, un budget, des quantités positives. Le gradient n'a alors aucune raison de s'annuler là où la fonction atteint son maximum, puisque celui-ci peut se trouver au bord. Un théorème d'existence garantit malgré tout que le maximum et le minimum sont atteints, et la méthode consiste à explorer l'intérieur puis la frontière, morceau par morceau. La seconde situation est l'optimisation sous contrainte d'égalités linéaires : maximiser une utilité à budget donné, minimiser un coût à production totale imposée. Deux méthodes coexistent, la substitution et le multiplicateur de Lagrange, et il faut savoir choisir.

Une mise en garde avant de commencer, car elle vaut pour tout le chapitre. Les conditions que nous allons établir sont de deux types, et les confondre est la faute la plus coûteuse aux concours. La condition d'ordre $1$ et la condition sous contrainte sont nécessaires : elles produisent des candidats, jamais des conclusions. La condition d'ordre $2$, elle, est suffisante, mais seulement locale, et elle laisse de côté un cas douteux qu'il faut alors traiter à la main. Un exercice bien rédigé énonce donc toujours, dans cet ordre : le cadre et les hypothèses, les candidats, leur nature, puis, si la question le demande, le passage du local au global.

Le plan est le suivant. Les sections $1$ à $3$ construisent l'outil : dérivées partielles d'ordre $2$, matrice hessienne, développement limité d'ordre $2$. Les sections $4$ et $5$ donnent les deux conditions, d'ordre $1$ puis d'ordre $2$, avec leurs démonstrations. La section $6$ explique comment passer d'un résultat local à un résultat global. La section $7$ traite les fermés bornés, la section $8$ les contraintes d'égalités linéaires. La section $9$ met tout cela au service de quatre applications économiques classiques, et la section $10$ récapitule.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Dérivées partielles d'ordre 2 et fonctions de classe C2

Définition et notations

Le mécanisme est celui de l'ordre $1$, appliqué une seconde fois. Une dérivée partielle ${\mathrm{\partial }}_{j}f$ est elle-même une fonction de $n$ variables définie sur $U$ ; rien n'empêche de lui appliquer à son tour l'opération de dérivation partielle.

En dimension $2$, on note d'ordinaire $(x,y)$ le point courant plutôt que $(x_1,x_2)$. Voici la correspondance exacte entre les deux systèmes de notations, à connaître dans les deux sens.

Une fonction de $2$ variables possède donc $4$ dérivées partielles d'ordre $2$, une fonction de $3$ variables en possède $9$, et une fonction de $n$ variables en possède $n^2$. Ce nombre paraît élevé ; le théorème de Schwarz va le ramener, en pratique, à ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$, soit $3$ en dimension $2$ et $6$ en dimension $3$.

Fonctions de classe C2

Le théorème de Schwarz

Matrice hessienne

Définition et symétrie

En dimension $2$, avec les variables $(x,y)$, la hessienne est la matrice d'ordre $2$

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f(a)& {\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f(a)\\ {\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f(a)& {\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}f(a)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}(a)& {\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}(a)\\ {\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}}(a)& {\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}(a)\end{array}\right)\mathrm{.}$$

En dimension $3$, avec les variables $(x,y,z)$, c'est une matrice d'ordre $3$ construite sur le même modèle : la première ligne contient les dérivées obtenues en dérivant en dernier par rapport à $x$, la deuxième par rapport à $y$, la troisième par rapport à $z$.

Démonstration. Le coefficient de la matrice ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}({\mathrm{\nabla }}^{2}f(a))$ situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ est, par définition de la transposée, le coefficient de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ situé à la ligne $j$ et à la colonne $i$, c'est-à-dire ${\mathrm{\partial }}_{j,i}^{2}f(a)$. Or $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert $U$ : le théorème de Schwarz donne ${\mathrm{\partial }}_{j,i}^{2}f(a)={\mathrm{\partial }}_{i,j}^{2}f(a)$. Les deux matrices ont donc les mêmes coefficients à toutes les places. $\mathrm{\square }$

La forme quadratique associée

En dimension $2$, en posant

$$r={\mathrm{\partial }}_{1,1}^{2}f(a),s={\mathrm{\partial }}_{1,2}^{2}f(a)={\mathrm{\partial }}_{2,1}^{2}f(a),t={\mathrm{\partial }}_{2,2}^{2}f(a),$$

le calcul du produit matriciel donne une expression qu'il faut savoir écrire sans hésiter :

$$q_a(h)=\left(\begin{array}{cc}{h}_1& h_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)=r{h}_1^2+2s{h}_1{h}_2+t{h}_2^2\mathrm{.}$$

Le facteur $2$ devant le terme croisé vient de ce que le coefficient $s$ apparaît deux fois dans la matrice, en position $(1,2)$ et en position $(2,1)$. L'oublier fausse tous les calculs qui suivent.

Ce que le théorème spectral apporte

Démonstration. Les points $1$ et $2$ sont exactement le théorème spectral appliqué à la matrice symétrique réelle ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$, admis au chapitre d'algèbre bilinéaire.

Pour le point $3$, notons $M={\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ et décomposons $h={\sum }_{i=1}^n{c}_i{u}_i$. Par linéarité, $Mh={\sum }_{i=1}^n{c}_{i}M{u}_i={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\lambda }_i{u}_i$. Il vient donc, par bilinéarité du produit scalaire,

$$q_a(h)=⟨h,Mh⟩=⟨\sum _{j=1}^n{c}_j{u}_j,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{c}_i{u}_i⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{c}_j{\lambda }_i{c}_i⟨u_j,u_i⟩\mathrm{.}$$

La base étant orthonormée, $⟨u_j,u_i⟩$ vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon : seuls les termes diagonaux survivent, et $q_a(h)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{c}_i^2$. Le même calcul avec $M$ remplacée par l'identité donne $\parallel h{\parallel }^2={\sum }_{i=1}^n{c}_i^2$.

Pour le point $4$, il suffit de minorer chaque ${\lambda }_i$ par ${\lambda }_{\min }$ dans l'expression obtenue, ce qui est licite puisque les coefficients $c_i^2$ sont positifs :

$$q_a(h)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{c}_i^2⩾{\lambda }_{\min }\sum _{i=1}^n{c}_i^2={\lambda }_{\min }\parallel h{\parallel }^2\mathrm{.}$$

La majoration s'obtient de la même façon en majorant chaque ${\lambda }_i$ par ${\lambda }_{\max }$. $\mathrm{\square }$

Vocabulaire

Le critère du déterminant et de la trace en dimension 2

Calculer les valeurs propres d'une matrice d'ordre $2$ demande de résoudre un système avec discussion. En dimension $2$, on peut faire beaucoup plus vite, parce que deux nombres suffisent à déterminer le signe d'un couple de valeurs propres.

Démonstration. La matrice $M$ est symétrique réelle : d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable, et il existe une matrice inversible $P$ telle que $M=PD{P}^{-1}$ avec $D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$. Le déterminant et la trace sont invariants par changement de base :

$$\det M=\det D={\lambda }_1{\lambda }_2,\mathrm{Tr}M=\mathrm{Tr}D={\lambda }_1+{\lambda }_2\mathrm{.}$$

Le calcul direct du déterminant de $M$ donne par ailleurs $rt-s\times s=rt-s^2$, et sa trace vaut $r+t$.

Point $3$. Si $\det M={\lambda }_1{\lambda }_2<0$, les deux valeurs propres sont non nulles et de signes contraires : la matrice est indéfinie, par définition.

Points $1$ et $2$. Si $\det M={\lambda }_1{\lambda }_2>0$, les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe. Leur somme $\mathrm{Tr}M$ est alors non nulle et porte ce signe commun : si $\mathrm{Tr}M>0$, les deux sont strictement positives ; si $\mathrm{Tr}M<0$, les deux sont strictement négatives.

Point $4$. Si $\det M={\lambda }_1{\lambda }_2=0$, l'une au moins des deux valeurs propres est nulle : $0$ est valeur propre, la matrice est dégénérée. $\mathrm{\square }$

Développement limité d'ordre 2

La formule de Taylor-Young

En dimension $2$, avec $a=(a_1,a_2)$, $h=(h_1,h_2)$, et les notations $r$, $s$, $t$ pour les coefficients de la hessienne en $a$, la formule s'écrit sous forme entièrement développée :

$$f(a+h)=f(a)+h_1{\mathrm{\partial }}_{1}f(a)+h_2{\mathrm{\partial }}_{2}f(a)+\frac{1}{2}(r{h}_1^2+2s{h}_1{h}_2+t{h}_2^2)+\parallel h{\parallel }^2\epsilon (h)\mathrm{.}$$

Exemples de calcul

Points critiques et condition nécessaire d'ordre 1

Vocabulaire des extrema

Ces définitions ont été posées au semestre précédent ; les voici rappelées, car chaque mot y compte et les concours sanctionnent les confusions entre local et global.

La condition nécessaire d'ordre 1

Cette propriété a été établie au semestre précédent ; sa démonstration est exigible et nous la reprenons intégralement, car elle est le modèle de raisonnement du chapitre : on se ramène à une fonction d'une seule variable en figeant toutes les autres. Rappelons d'abord le résultat de première année qui en est le moteur.

Démonstration. Supposons que $g$ admette un maximum local en $t_0$ ; il existe $\rho >0$ tel que l'intervalle $]t_0-\rho ,t_0+\rho [$ soit inclus dans $J$ et que $g(t)⩽g(t_0)$ pour tout $t$ de cet intervalle.

Pour $t\in ]t_0,t_0+\rho [$, le numérateur $g(t)-g(t_0)$ est négatif et le dénominateur $t-t_0$ strictement positif, donc le taux d'accroissement est négatif ; en passant à la limite à droite, $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)⩽0$. Pour $t\in ]t_0-\rho ,t_0[$, le numérateur est encore négatif mais le dénominateur strictement négatif, donc le taux est positif ; en passant à la limite à gauche, $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)⩾0$. Les deux limites valent $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, donc $g^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0$. Pour un minimum, on applique ce qui précède à $-g$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de la condition nécessaire d'ordre $1$. Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ ; le cas d'un minimum s'obtient en appliquant le résultat à $-f$, qui est de classe ${\mathcal{C}}^1$, admet un maximum local en $a$, et dont le gradient est $-\mathrm{\nabla }f$.

Choix d'un rayon. Par définition du maximum local, il existe $\rho >0$ tel que $f(x)⩽f(a)$ pour tout $x\in U\cap B(a,\rho )$. Comme $U$ est ouvert et contient $a$, il existe aussi $r_0>0$ tel que $B(a,r_0)\subset U$. Posons $r=\min (\rho ,r_0)>0$ : alors $B(a,r)\subset U$ et $f(x)⩽f(a)$ pour tout $x\in B(a,r)$.

Passage aux fonctions partielles. Fixons un indice $i$ de $\{1,\dots ,n\}$, notons $e_i$ le $i$-ème vecteur de la base canonique et posons

$$g:t⟼f(a+t{e}_i)\mathrm{.}$$

Pour tout $t\in ]-r,r[$, on a $\parallel (a+t{e}_i)-a\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\parallel e_i\parallel =\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<r$, donc $a+t{e}_i\in B(a,r)\subset U$ : la fonction $g$ est bien définie sur l'intervalle ouvert $]-r,r[$.

Trois observations. D'abord $g(0)=f(a)$. Ensuite, pour tout $t$ de $]-r,r[$, le point $a+t{e}_i$ appartient à $B(a,r)$, donc $g(t)⩽f(a)=g(0)$ : la fonction $g$ admet un maximum en $0$, qui est un point intérieur à son intervalle de définition. Enfin, $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, elle admet une $i$-ème dérivée partielle en $a$, ce qui signifie exactement que $g$ est dérivable en $0$, avec $g^{\mathrm{\prime }}(0)={\mathrm{\partial }}_{i}f(a)$.

Conclusion. Le rappel s'applique à $g$ sur l'intervalle ouvert $]-r,r[$ et donne $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$, c'est-à-dire ${\mathrm{\partial }}_{i}f(a)=0$. L'indice $i$ étant quelconque, toutes les dérivées partielles de $f$ en $a$ sont nulles, donc $\mathrm{\nabla }f(a)=0$. $\mathrm{\square }$

Le théorème se reformule ainsi : sur un ouvert, les extrema locaux d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sont à chercher parmi les points critiques. Le mot « parmi » est le plus important de la phrase.

Deux pièges à connaître par cœur

Condition d'ordre 2 : la nature d'un point critique

Le théorème

Nous disposons maintenant de tout : la hessienne, ses valeurs propres réelles, l'encadrement de la forme quadratique, et le développement limité d'ordre $2$. Le théorème qui suit est le résultat central du chapitre.

Démonstration du point $1$. Notons $M={\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ et $\mu =\min ({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, qui est strictement positif par hypothèse. Comme $a$ est un point critique, $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ et le terme d'ordre $1$ du développement de Taylor-Young disparaît : pour tout $h$ assez petit,

$$f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}hMh+\parallel h{\parallel }^2\epsilon (h),\text{avec }\epsilon (h)\underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}0.$$

Le point $4$ de la propriété de la section $2$ minore le terme quadratique par $\mu \parallel h{\parallel }^2$, d'où

$$f(a+h)-f(a)⩾\frac{\mu }{2}\parallel h{\parallel }^2+\parallel h{\parallel }^2\epsilon (h)=\parallel h{\parallel }^2(\frac{\mu }{2}+\epsilon (h))\mathrm{.}$$

Il reste à absorber le reste. Comme $\epsilon (h)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$, en appliquant la définition de la limite avec la tolérance ${\displaystyle \frac{\mu }{4}}>0$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$ et

$$\mathrm{\forall }h\text{ tel que }\parallel h\parallel <r,\mathrm{\mid }\epsilon (h)\mathrm{\mid }<\frac{\mu }{4},\text{donc}\frac{\mu }{2}+\epsilon (h)>\frac{\mu }{2}-\frac{\mu }{4}=\frac{\mu }{4}>0.$$

Ainsi, pour tout $h$ non nul de norme strictement inférieure à $r$,

$$f(a+h)-f(a)⩾\frac{\mu }{4}\parallel h{\parallel }^2>0.$$

La fonction $f$ est donc strictement supérieure à $f(a)$ en tout point de $B(a,r)$ autre que $a$ : elle admet en $a$ un minimum local strict. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point $2$. Posons $g=-f$, qui est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $U$. Par linéarité de la dérivation, $\mathrm{\nabla }g(a)=-\mathrm{\nabla }f(a)=0$, donc $a$ est un point critique de $g$, et ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(a)=-{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$. Si $\lambda$ est valeur propre de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ associée au vecteur propre $u$, alors ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(a)u=-\lambda u$ : les valeurs propres de ${\mathrm{\nabla }}^{2}g(a)$ sont les opposées de celles de ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$, donc elles sont toutes strictement positives. Le point $1$ appliqué à $g$ donne un minimum local strict en $a$ pour $g$, c'est-à-dire un maximum local strict pour $f$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point $3$. Supposons ${\lambda }_i>0>{\lambda }_j$ et notons $u_i$ et $u_j$ des vecteurs propres unitaires associés, fournis par le théorème spectral.

Le long de la direction $u_i$. Pour $t$ réel non nul et assez petit, posons $h=t{u}_i$, de sorte que $\parallel h{\parallel }^2=t^2$ et

$${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}h{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)h=⟨t{u}_i,{\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)(t{u}_i)⟩=t^2{\lambda }_i\parallel u_i{\parallel }^2=t^2{\lambda }_i\mathrm{.}$$

Le développement de Taylor-Young en un point critique donne alors

$$f(a+t{u}_i)-f(a)=t^2(\frac{{\lambda }_i}{2}+\epsilon (t{u}_i))\mathrm{.}$$

Comme $\epsilon (t{u}_i)$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $0$, il existe $r_1>0$ tel que la parenthèse reste strictement positive pour $0<\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<r_1$ : sur ces directions, $f(a+t{u}_i)>f(a)$.

Le long de la direction $u_j$. Le même calcul donne $f(a+t{u}_j)-f(a)=t^2({\displaystyle \frac{{\lambda }_j}{2}}+\epsilon (t{u}_j))$, et comme ${\lambda }_j<0$, il existe $r_2>0$ tel que la parenthèse reste strictement négative pour $0<\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<r_2$ : sur ces directions, $f(a+t{u}_j)<f(a)$.

Conclusion. Posons $r=\min (r_1,r_2)$ et soit $\rho >0$ quelconque. En choisissant $t$ non nul avec $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\min (r,\rho )$, les deux points $a+t{u}_i$ et $a+t{u}_j$ appartiennent à $B(a,\rho )$, puisque les vecteurs $u_i$ et $u_j$ sont unitaires, et $f$ y prend des valeurs respectivement strictement supérieure et strictement inférieure à $f(a)$. Aucune boule centrée en $a$ ne peut donc contenir un extremum : $a$ n'est ni un maximum local, ni un minimum local. $\mathrm{\square }$

Le critère pratique en dimension 2

Démonstration. La matrice ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)$ est symétrique réelle d'ordre $2$ ; le critère démontré à la section $2$ traduit exactement les signes de $\det$ et de $\mathrm{Tr}$ en signes des deux valeurs propres : définie positive dans le cas $1$, définie négative dans le cas $2$, indéfinie dans le cas $3$, dégénérée dans le cas $4$. Il suffit alors d'appliquer, dans chacun de ces quatre cas, le point correspondant du théorème de la condition d'ordre $2$. $\mathrm{\square }$

Voici le tableau à mémoriser. Il ne dispense pas d'écrire les calculs, mais il donne la conclusion en une ligne.

La méthode

Exemples entièrement traités

Le cas douteux

Du local au global

Pourquoi la condition d'ordre 2 ne donne que du local

Première voie : forme canonique ou minoration directe

C'est la méthode du semestre précédent, et elle reste la plus élégante quand elle réussit : on écrit $f(x)-f(a)$ comme une somme de carrés, ou on la minore par une quantité positive. La conclusion obtenue est immédiatement globale.

Deuxième voie : une hessienne de signe constant sur un convexe

Sont convexes : l'espace ${\mathbb{R}}^n$ tout entier, toute boule ouverte ou fermée, tout pavé $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$, tout demi-espace, et le quart de plan $]0,+\mathrm{\infty }[\times ]0,+\mathrm{\infty }[$ où vivent les modèles économiques. Ne le sont pas : une couronne, une réunion de deux disques disjoints.

Troisième voie : le comportement à l'infini

Extrema sur un fermé borné

Le théorème d'existence

Rappelons le vocabulaire du semestre précédent. Une partie $K$ de ${\mathbb{R}}^n$ est fermée lorsque son complémentaire est ouvert ; en pratique, on la reconnaît à ce qu'elle est définie par des inégalités larges ou par des égalités portant sur des fonctions continues. Elle est bornée lorsqu'il existe $M>0$ tel que $\parallel x\parallel ⩽M$ pour tout $x\in K$. Les exemples usuels sont les pavés $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$, les boules fermées, les triangles pleins et les segments.

La méthode intérieur puis frontière

Un exemple complet sur un rectangle

Extrema sous contrainte d'égalités linéaires

Position du problème

Un consommateur dispose d'un revenu $R$ et de deux biens de prix unitaires $p_1$ et $p_2$ ; il cherche à maximiser sa satisfaction $U(x,y)$ sous la contrainte budgétaire $p_{1}x+p_{2}y=R$. Une entreprise doit produire exactement $Q$ unités réparties entre deux ateliers et souhaite minimiser son coût total $C(x,y)$ sous la contrainte $x+y=Q$. Dans les deux cas, on n'optimise plus sur un ouvert, mais sur une droite du plan, ou plus généralement sur un sous-espace affine de ${\mathbb{R}}^n$. La condition $\mathrm{\nabla }f=0$ n'a plus lieu d'être : la fonction n'a aucune raison d'avoir un gradient nul là où elle est optimale le long de la contrainte.

La condition nécessaire d'ordre 1 sous contrainte

En dimension $2$ avec une seule contrainte $g(x,y)=\alpha x+\beta y=b$, le système de l'étape $3$ prend la forme très maniable

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=\lambda \alpha \\ {\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=\lambda \beta \\ \alpha x+\beta y=b,\end{array}$$

soit trois équations aux trois inconnues $x$, $y$ et $\lambda$.

Interprétation géométrique

En dimension $2$ avec une contrainte, l'ensemble $C$ est une droite et la condition $\mathrm{\nabla }f(a)=\lambda \mathrm{\nabla }g(a)$ dit que le gradient de $f$ est orthogonal à cette droite au point optimal, puisque $\mathrm{\nabla }g$ est un vecteur normal à la droite. Or le gradient est orthogonal aux lignes de niveau de $f$ : la condition signifie donc que, au point optimal, la ligne de niveau de $f$ est tangente à la droite de contrainte.

L'image explique le résultat mieux qu'un calcul. Déplaçons-nous le long de la droite de contrainte en observant la valeur de $f$ : tant que la droite traverse une ligne de niveau, on passe d'un niveau à un autre, donc la valeur augmente d'un côté et diminue de l'autre, et le point n'est pas optimal. L'optimum ne peut se produire qu'à l'instant où la droite effleure une ligne de niveau sans la traverser, c'est-à-dire au point de tangence. Le multiplicateur $\lambda$ est simplement le coefficient de proportionnalité entre les deux vecteurs normaux.

Un exemple traité par les deux voies

Deux contraintes, et une conclusion par Cauchy-Schwarz

Applications économiques

Les quatre situations qui suivent reviennent constamment aux concours. Chacune est présentée comme une méthode courte, suivie d'un exemple chiffré entièrement traité.

Maximiser le profit d'une entreprise à deux produits

Minimiser un coût sous contrainte de production

Maximiser une utilité de type Cobb-Douglas

L'ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Démonstration. La fonction $\mathrm{\Phi }$ est polynomiale en $(a,b)$, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert convexe ${\mathbb{R}}^2$. En dérivant terme à terme, avec la dérivée de $u\mapsto u^2$ :

$$\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }a}(a,b)=\sum _{i=1}^{n}2(y_i-a-b{x}_i)\times (-1)=-2\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i),$$ $$\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }b}(a,b)=\sum _{i=1}^{n}2(y_i-a-b{x}_i)\times (-x_i)=-2\sum _{i=1}^n{x}_i(y_i-a-b{x}_i)\mathrm{.}$$

Annuler ces deux expressions revient à écrire ${\sum }_i(y_i-a-b{x}_i)=0$ et ${\sum }_i{x}_i(y_i-a-b{x}_i)=0$, c'est-à-dire, en développant les sommes et en isolant $a$ et $b$, exactement le système annoncé.

Calculons maintenant la hessienne. Les dérivées secondes se lisent sur les expressions ci-dessus :

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }{a}^2}=2n,\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }a\mathrm{\partial }b}=2\sum _{i=1}^n{x}_i,\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\partial }{b}^2}=2\sum _{i=1}^n{x}_i^2,$$

de sorte que la hessienne est constante sur ${\mathbb{R}}^2$ :

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(a,b)=2\left(\begin{array}{cc}n& {\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}& {\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i^2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Sa trace, $2(n+{\sum }_i{x}_i^2)$, est strictement positive. Son déterminant vaut

$$4(n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2)=4n\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2,\text{o}\grave{\text{u}}\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,$$

la dernière égalité venant de ${\sum }_i{x}_i=n\bar{x}$ et de l'identité ${\sum }_i(x_i-\bar{x}{)}^2={\sum }_i{x}_i^2-n{\bar{x}}^2$. Comme les $x_i$ ne sont pas tous égaux, l'un au moins diffère de $\bar{x}$, donc ce déterminant est strictement positif.

La hessienne est donc définie positive en tout point de l'ouvert convexe ${\mathbb{R}}^2$. Le résultat admis de la section $6$ s'applique : le point critique est unique et c'est un minimum global strict. $\mathrm{\square }$

Récapitulatif

Le tableau des réflexes

Les erreurs qui coûtent des points aux concours

Conclure de $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ que $a$ est un extremum. C'est l'erreur numéro un, et elle vide l'exercice de sa substance : la condition d'ordre $1$ ne fabrique que des candidats. Le contre-exemple $f(x,y)=x^2-y^2$ doit venir à l'esprit avant même d'écrire la conclusion.

Oublier de vérifier que le domaine est ouvert avant d'écrire $\mathrm{\nabla }f=0$. Sans cette hypothèse, la condition d'ordre $1$ est fausse, comme le montre $f(x,y)=x+2y$ sur le carré $[0,1]\times [0,1]$, qui a deux extrema globaux et aucun point critique. Sur un fermé borné, le bord se traite par paramétrage, jamais par annulation du gradient.

Oublier le facteur $2$ devant le terme croisé. La forme quadratique associée à $\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)$ vaut $r{h}_1^2+2s{h}_1{h}_2+t{h}_2^2$, parce que le coefficient $s$ occupe deux places dans la matrice. La même vigilance s'impose dans le développement de Taylor-Young.

Appliquer le critère du déterminant à la hessienne générique. Le signe de $\det {\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)$ dépend en général du point : le critère se lit après substitution des coordonnées du point critique, jamais avant. Et il ne vaut qu'en dimension $2$ : en dimension $3$, un déterminant positif ne prouve rien.

Traiter un cas douteux comme un cas favorable. Quand $\det {\mathrm{\nabla }}^{2}f(a)=0$, écrire « la hessienne n'est pas définie négative, donc ce n'est pas un maximum » est une faute : ce peut parfaitement en être un, comme le montre $x^4+y^4$. Le cas douteux impose l'étude directe du signe de $f(a+h)-f(a)$, il n'autorise aucune conclusion par défaut.

Annoncer un extremum global à partir d'une étude locale. La condition d'ordre $2$ ne parle que d'une boule autour du point. Le mot « global » dans l'énoncé oblige à produire l'un des trois arguments de la section $6$, et à dire lequel.

Utiliser le multiplicateur de Lagrange sur une contrainte non linéaire. Le théorème du programme ne vaut que pour des contraintes d'égalités linéaires. Sur une contrainte courbe comme le bord d'un disque, il faut paramétrer, substituer, ou invoquer une inégalité classique telle que celle de Cauchy-Schwarz.

S'arrêter au candidat fourni par le lagrangien. La condition sous contrainte n'est que nécessaire : sans un argument de conclusion, le point trouvé n'est rien de plus qu'un point trouvé. Et n'oubliez pas que la nature de ce point pour le problème contraint n'a aucun rapport avec sa nature pour la fonction libre.