ECG approfondies · Chapitre 02 · Premier semestre

Polynômes

1re année

Degré, opérations, racines, factorisation, polynôme identifié à sa fonction polynomiale sans construction formelle.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Degré
Opérations
Racines
Factorisation
Polynôme identifié à sa fonction polynomiale sans construction formelle

Vous connaissez déjà les polynômes, même si le mot n'était pas toujours prononcé. Depuis la classe de seconde, vous développez des expressions du type $(2 x - 3) (x + 5)$ , vous factorisez $x^{2} - 9$ en $(x - 3) (x + 3)$ , et depuis la première vous savez résoudre une équation du second degré à l'aide du discriminant, puis dresser le tableau de signes du trinôme obtenu. Ce chapitre reprend intégralement ce matériel, mais il en change le point de vue. Jusqu'ici, un polynôme était une expression que l'on manipulait au coup par coup ; désormais, ce sera un objet que l'on étudie pour lui-même, dans un ensemble muni d'opérations, et surtout doté d'un invariant numérique d'une efficacité remarquable : le degré. Beaucoup de démonstrations de ce chapitre tiennent en trois lignes une fois que l'on a pensé à comparer deux degrés.

Le programme officiel fixe un parti pris qu'il faut connaître dès maintenant, car il simplifie considérablement les choses : la construction des polynômes formels n'est pas au programme, et l'on identifie polynômes et fonctions polynomiales. Autrement dit, pour nous, le polynôme $P$ et la fonction $x \mapsto P (x)$ sont un seul et même objet ; dire que deux polynômes sont égaux, c'est dire qu'ils prennent la même valeur en tout réel. Dans certains ouvrages de mathématiques supérieures, on construit au contraire les polynômes comme des objets purement algébriques, indépendamment de toute fonction, ce qui oblige à démontrer ensuite que deux polynômes distincts définissent des fonctions distinctes. Nous n'aurons pas à le faire : nous démontrerons directement, en section $4$ , qu'une fonction polynomiale détermine ses coefficients de manière unique, ce qui est exactement le résultat dont on a besoin en pratique. Le programme précise également que les démonstrations de ce chapitre ne sont pas exigibles aux concours. Nous en donnons pourtant l'essentiel, pour une raison simple : ce sont elles qui contiennent les méthodes. Celui qui a compris pourquoi un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines saura s'en servir dans un exercice ; celui qui l'a seulement appris par cœur ne le reconnaîtra pas quand il faudra l'appliquer.

Ce que le chapitre ajoute à vos connaissances de lycée tient en cinq idées. D'abord le degré, et la façon dont il se comporte vis-à-vis des opérations : c'est l'outil de raisonnement principal, celui qui permet de conclure sans calculer. Ensuite la division euclidienne, calquée sur celle des entiers, qui fournit un cadre rigoureux à la notion de diviseur et à la factorisation. Puis les racines, avec le théorème fondamental « $a$ est racine si et seulement si $(x - a)$ divise $P$ » et son corollaire sur le nombre de racines, qui est le cœur du chapitre. Ensuite la multiplicité d'une racine, qui mesure combien de fois un même facteur apparaît, et sa caractérisation par les dérivées successives via la formule de Taylor pour un polynôme. Enfin la factorisation dans $R [x]$ , dont on énoncera le résultat général et surtout les méthodes pratiques.

À quoi tout cela servira-t-il ? Bien plus souvent que vous ne l'imaginez. En analyse, l'étude d'une fonction passe presque toujours par le signe de sa dérivée, et cette dérivée est très fréquemment un polynôme, ou un polynôme multiplié par une exponentielle : savoir factoriser, c'est savoir dresser un tableau de signes, donc un tableau de variations. Dans l'étude des suites définies par récurrence, la recherche des points fixes est la résolution d'une équation polynomiale. En algèbre linéaire, en deuxième année, la notion de polynôme annulateur d'une matrice est centrale, et la factorisation d'un tel polynôme gouverne toute la réduction : on y utilise exactement le vocabulaire de racine et de multiplicité mis en place ici. Enfin, plusieurs calculs de sommes se ramènent à l'identification des coefficients de deux polynômes égaux, technique que nous verrons à l'œuvre dès ce chapitre.

Le plan suit celui du programme. La section $1$ pose les définitions et le degré, la section $2$ étudie les opérations, la section $3$ la division euclidienne, la section $4$ les racines et le nombre de racines, la section $5$ la multiplicité, la section $6$ les dérivées successives et la formule de Taylor, la section $7$ traite à fond le cas du degré $2$ , la section $8$ rassemble les méthodes de factorisation, et la section $9$ récapitule l'essentiel. Les sections $4$ et $7$ sont, de loin, les plus utilisées dans la suite de l'année.

Voici enfin les notations employées dans tout le chapitre.

Notation	Signification
$R [x]$	ensemble des polynômes à coefficients réels
$R_{n} [x]$	ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus $n$
$P$ , $Q$ , $A$ , $B$	polynômes ; on écrit indifféremment $P$ ou $P (x)$
$a_{k}$	coefficient de $x^{k}$ dans $P$
$\deg P$	degré de $P$ , avec la convention $\deg 0 = - \infty$
$B ∣ A$	$B$ divise $A$ ; $B ∤ A$ signifie que $B$ ne divise pas $A$
$P^{'}$ , $P^{''}$ , $P^{(k)}$	dérivées successives de $P$
$Δ$	discriminant d'un trinôme du second degré
$□$	fin d'une démonstration

Polynômes et fonctions polynomiales

Définition et vocabulaire

Définition

On appelle polynôme à coefficients réels toute fonction $P$ de $R$ dans $R$ pour laquelle il existe un entier naturel $n$ et des réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que

\forall x \in R, P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} .

Les réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ sont les coefficients de $P$ . L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté $R [x]$ .

Conformément au parti pris du programme, nous ne distinguons pas le polynôme de la fonction qu'il définit : $P$ est cette fonction. Nous écrirons donc indifféremment « le polynôme $P$ » et « le polynôme $P (x)$ », et nous parlerons sans scrupule de la valeur $P (3)$ , de la dérivée $P^{'}$ , ou du signe de $P$ sur un intervalle.

Définition

Soit $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ un polynôme.

Un monôme est un polynôme de la forme $a x^{k}$ , avec $a \in R$ et $k \in N$ .
$P$ est un polynôme constant s'il est de la forme $P (x) = a_{0}$ pour tout $x$ .
Le polynôme nul, noté $0$ , est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls ; c'est la fonction nulle.

Exemple

Voici quelques polynômes, écrits sous la forme de la définition.

a. $P (x) = 3 x^{4} - 2 x + 7$ , avec $a_{4} = 3$ , $a_{3} = 0$ , $a_{2} = 0$ , $a_{1} = - 2$ , $a_{0} = 7$ . Les coefficients absents sont nuls : ne les oubliez jamais, ils réapparaissent dès que l'on pose une division.

b. $Q (x) = (x - 1) (x + 2)$ est un polynôme : en développant, $Q (x) = x^{2} + x - 2$ . La définition demande seulement qu'une écriture de la forme voulue existe, pas qu'elle soit donnée.

c. $R (x) = 5$ est un polynôme constant, avec $a_{0} = 5$ .

d. $S (x) = \frac{x^{2} - 1}{3}$ est un polynôme : $S (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3}$ . Les coefficients sont des réels quelconques, ils n'ont aucune raison d'être entiers.

Exemple

Voici en revanche trois fonctions qui ne sont pas des polynômes.

a. $f (x) = \frac{1}{x}$ n'est pas un polynôme : elle n'est même pas définie en $0$ , alors qu'un polynôme est défini sur $R$ tout entier.

b. $g (x) = \sqrt{x}$ n'est pas un polynôme, pour la même raison : elle n'est définie que sur $[0, + \infty [$ .

c. $h (x) = ∣ x ∣$ est bien définie sur $R$ , mais ce n'est pas un polynôme. On peut le voir tout de suite : $h$ n'est pas dérivable en $0$ , alors que tout polynôme l'est. Nous en donnerons en section $4$ un second argument, purement algébrique.

Degré et coefficient dominant

Définition

Soit $P$ un polynôme non nul. Parmi toutes les écritures $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ de $P$ , il en existe une pour laquelle $a_{n} \neq 0$ ; l'entier $n$ ainsi obtenu s'appelle le degré de $P$ et se note $\deg P$ . Le coefficient $a_{n}$ s'appelle le coefficient dominant de $P$ , et le monôme $a_{n} x^{n}$ son terme dominant. Le polynôme $P$ est dit unitaire (on dit aussi normalisé) lorsque son coefficient dominant vaut $1$ .

Par convention, le degré du polynôme nul est $\deg 0 = - \infty$ .

Remarque

La convention $\deg 0 = - \infty$ n'est pas une coquetterie : elle est là pour que les formules sur les degrés soient valables sans exception. Nous verrons par exemple que $\deg (P Q) = \deg P + \deg Q$ ; si l'un des deux polynômes est nul, le produit est nul, et l'égalité se lit $- \infty = - \infty + \deg Q$ , ce qui est cohérent avec les conventions usuelles $- \infty + m = - \infty$ et $- \infty < n$ pour tout entier $n$ . Sans cette convention, il faudrait ajouter « si $P$ et $Q$ sont non nuls » à la moitié des énoncés du chapitre.

Exemple

Déterminons le degré et le coefficient dominant de quelques polynômes.

a. $P (x) = 3 x^{4} - 2 x + 7$ : $\deg P = 4$ , coefficient dominant $3$ , non unitaire.

b. $Q (x) = - x^{5} + x^{2}$ : $\deg Q = 5$ , coefficient dominant $- 1$ .

c. $R (x) = 7$ : $\deg R = 0$ , coefficient dominant $7$ . Attention, un polynôme constant non nul est de degré $0$ , et non de degré $- \infty$ .

d. $S (x) = x^{3} + 4 x - 1$ : $\deg S = 3$ , coefficient dominant $1$ , donc $S$ est unitaire.

e. Le polynôme nul : $\deg 0 = - \infty$ . C'est le seul polynôme de degré $- \infty$ .

Propriété

Les polynômes de degré $⩽ 0$ sont exactement les polynômes constants (le polynôme nul compris). Les polynômes de degré $0$ sont exactement les polynômes constants non nuls.

Les ensembles $R_{n} [x]$

Définition

Soit $n$ un entier naturel. On note $R_{n} [x]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus $n$ :

R_{n} [x] = {P \in R [x]; \deg P ⩽ n} .

Autrement dit, $R_{n} [x]$ est l'ensemble des polynômes qui s'écrivent $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ avec $a_{0}, \dots, a_{n}$ réels, sans condition sur $a_{n}$ .

Remarque

Deux pièges de vocabulaire, sources d'erreurs constantes en début d'année.

Premièrement, $R_{n} [x]$ contient les polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ , et non les polynômes de degré exactement $n$ . Ainsi $x + 1$ appartient à $R_{5} [x]$ , et le polynôme nul appartient à $R_{n} [x]$ pour tout $n$ , puisque $- \infty ⩽ n$ . C'est précisément parce qu'il contient le polynôme nul que cet ensemble est commode : l'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ , lui, ne serait stable par aucune opération, puisque la somme de deux polynômes de degré $n$ peut être de degré strictement plus petit.

Deuxièmement, les inclusions vont dans le sens que l'on attend :

R_{0} [x] \subset R_{1} [x] \subset R_{2} [x] \subset \dots \subset R_{n} [x] \subset \dots \subset R [x] .

Un polynôme quelconque de $R [x]$ appartient à $R_{n} [x]$ dès que $n$ est assez grand, mais aucun entier $n$ ne convient pour tous les polynômes à la fois.

Remarque

Certains manuels notent l'ensemble des polynômes $R [X]$ , avec une lettre majuscule, pour souligner que l'indéterminée n'est pas un nombre. Ce n'est qu'une différence de notation : l'objet est le même, et le programme d'ECG écrit tout en minuscule, précisément parce qu'un polynôme y est identifié à sa fonction. Nous écrirons donc toujours $R [x]$ , et les facteurs sous la forme $(x - a)$ .

Égalité de deux polynômes

Puisqu'un polynôme est une fonction, dire que deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux signifie très exactement que $P (x) = Q (x)$ pour tout réel $x$ . Mais dans la pratique, on veut disposer d'un critère portant sur les coefficients, car c'est sur eux que l'on calcule.

Propriété

Identification des coefficients (admis ici, démontré en section 4). Soient $P$ et $Q$ deux polynômes, écrits

P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} et Q (x) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} x^{k}

(quitte à compléter par des coefficients nuls, on peut toujours supposer qu'ils sont écrits avec le même $n$ ). Alors

P = Q ⟺ \forall k \in {0, 1, \dots, n}, a_{k} = b_{k} .

En particulier, $P$ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

L'implication de la droite vers la gauche est évidente : deux expressions identiques donnent la même valeur en tout point. C'est l'autre sens qui a du contenu, et qui mérite une démonstration : il affirme que deux écritures polynomiales différentes ne peuvent pas définir la même fonction. Nous le démontrerons en section $4$ , une fois établi le théorème sur le nombre de racines ; en attendant, nous l'utiliserons librement, comme le fait tout ouvrage de prépa.

Remarque

Une conséquence pratique immédiate : le degré est bien défini, c'est-à-dire qu'un polynôme non nul ne peut pas avoir deux degrés différents selon l'écriture choisie. Si $P$ s'écrivait à la fois avec un terme dominant $a_{n} x^{n}$ , $a_{n} \neq 0$ , et avec tous ses coefficients nuls à partir du rang $m < n$ , l'identification donnerait $a_{n} = 0$ , ce qui est contradictoire.

Méthode

Identifier des coefficients. Lorsqu'un énoncé demande de déterminer des réels $a$ , $b$ , $c$ tels que deux polynômes coïncident pour tout $x$ , on développe et on ordonne les deux membres suivant les puissances décroissantes de $x$ , puis on égale les coefficients de même degré. On obtient un système linéaire, que l'on résout. Ne jamais donner de valeurs particulières à $x$ à la place de l'identification : c'est licite, cela fournit des équations correctes, mais rien ne garantit a priori qu'on en obtienne assez.

Exemple

Déterminons les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que, pour tout réel $x$ ,

x^{3} - 1 = (x - 1) (a x^{2} + b x + c) .

Développons le membre de droite :

(x - 1) (a x^{2} + b x + c) = a x^{3} + b x^{2} + c x - a x^{2} - b x - c = a x^{3} + (b - a) x^{2} + (c - b) x - c .

L'identification avec $x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 1$ donne le système

{\begin{cases} a = 1 \\ b - a = 0 \\ c - b = 0 \\ - c = - 1 \end{cases}

d'où $a = b = c = 1$ . On retrouve la factorisation connue $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ , que l'on vérifie en développant : $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1$ .

Opérations algébriques

Somme, produit par un réel, produit, composée

Les opérations sur les polynômes sont celles que vous pratiquez depuis longtemps ; il s'agit seulement de les écrire proprement en termes de coefficients.

Définition

Soient $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ et $Q (x) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} x^{k}$ deux polynômes (écrits avec le même $n$ , quitte à compléter par des zéros), et soit $λ$ un réel.

La somme $P + Q$ est le polynôme défini par $(P + Q) (x) = P (x) + Q (x)$ , dont les coefficients sont les $a_{k} + b_{k}$ .
Le produit par le réel $λ$ est le polynôme $λ P$ défini par $(λ P) (x) = λ P (x)$ , dont les coefficients sont les $λ a_{k}$ .
Le produit $P Q$ est le polynôme défini par $(P Q) (x) = P (x) \times Q (x)$ .
La composée $P \circ Q$ est le polynôme défini par $(P \circ Q) (x) = P (Q (x))$ . On la note aussi $P (Q (x))$ .

Il faut être conscient que ces quatre opérations produisent bien des polynômes. Pour la somme et le produit par un réel, c'est immédiat sur les coefficients. Pour le produit, on développe : le coefficient de $x^{k}$ dans $P Q$ vaut $\sum_{i + j = k} a_{i} b_{j}$ , mais cette formule générale est rarement utile en pratique et il n'est pas demandé de la retenir. Pour la composée, on remplace $x$ par $Q (x)$ dans l'écriture de $P$ , et on développe les puissances de $Q$ : on obtient encore une somme de monômes.

Exemple

Prenons $P (x) = 2 x^{2} - x + 3$ et $Q (x) = x^{3} + 1$ .

$P + Q = x^{3} + 2 x^{2} - x + 4$ .
$3 P = 6 x^{2} - 3 x + 9$ .
$P Q = (2 x^{2} - x + 3) (x^{3} + 1) = 2 x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 3$ .
$P \circ Q = P (x^{3} + 1) = 2 (x^{3} + 1)^{2} - (x^{3} + 1) + 3 = 2 (x^{6} + 2 x^{3} + 1) - x^{3} - 1 + 3 = 2 x^{6} + 3 x^{3} + 4$ .
$Q \circ P = Q (2 x^{2} - x + 3) = (2 x^{2} - x + 3)^{3} + 1$ , de degré $6$ également, mais qui n'est pas égal à $P \circ Q$ : la composition n'est pas commutative.

Degré d'une somme

Propriété

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. Alors

\deg (P + Q) ⩽ \max (\deg P, \deg Q),

et cette inégalité est une égalité dès que $\deg P \neq \deg Q$ .

Démonstration. Si $P$ ou $Q$ est nul, le résultat est immédiat. Supposons-les non nuls, de degrés respectifs $n$ et $m$ , et posons $N = \max (n, m)$ . En écrivant les deux polynômes avec les puissances de $x$ jusqu'à $x^{N}$ (les coefficients au-delà du degré étant nuls), la somme s'écrit $\sum_{k = 0}^{N} (a_{k} + b_{k}) x^{k}$ : tous les coefficients de rang strictement supérieur à $N$ sont nuls, donc $\deg (P + Q) ⩽ N$ .

Supposons maintenant $n \neq m$ , par exemple $n > m$ . Le coefficient de $x^{n}$ dans $P + Q$ vaut $a_{n} + b_{n} = a_{n} + 0 = a_{n} \neq 0$ , car $b_{n} = 0$ puisque $n > m = \deg Q$ . Donc $\deg (P + Q) = n = \max (n, m)$ . $□$

Remarque

Lorsque $\deg P = \deg Q$ , l'inégalité peut être stricte, et c'est une source d'erreurs classique. Prenons

P (x) = x^{3} + x et Q (x) = - x^{3} + 1.

Ces deux polynômes sont de degré $3$ , mais $P + Q = x + 1$ est de degré $1$ . Les termes dominants se sont annulés. Retenez donc : $\deg (P + Q) ⩽ \max (\deg P, \deg Q)$ , avec égalité garantie seulement si les degrés diffèrent, ou si les degrés sont égaux mais les coefficients dominants ne sont pas opposés.

Degré d'un produit et d'une composée

Propriété

Théorème (degré d'un produit). Pour tous polynômes $P$ et $Q$ ,

\deg (P Q) = \deg P + \deg Q .

De plus, si $P$ et $Q$ sont non nuls, le coefficient dominant de $P Q$ est le produit des coefficients dominants de $P$ et de $Q$ .

Démonstration. Si l'un des deux polynômes est nul, le produit est nul et l'égalité se lit $- \infty = - \infty + \deg Q$ , ce qui est vrai avec nos conventions.

Supposons $P$ et $Q$ non nuls, de degrés $n$ et $m$ , de coefficients dominants $a_{n} \neq 0$ et $b_{m} \neq 0$ . Écrivons

P (x) = a_{n} x^{n} + \underset{degr \overset{ˊ}{e} ⩽ n - 1}{\underset{⏟}{a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}}}, Q (x) = b_{m} x^{m} + \underset{degr \overset{ˊ}{e} ⩽ m - 1}{\underset{⏟}{b_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_{0}}} .

En développant le produit, on obtient d'une part le terme $a_{n} b_{m} x^{n + m}$ , et d'autre part des produits de monômes dont le degré est au plus $(n - 1) + m$ ou $n + (m - 1)$ , donc au plus $n + m - 1$ . Le coefficient de $x^{n + m}$ dans $P Q$ vaut donc exactement $a_{n} b_{m}$ , et aucun monôme de degré strictement supérieur n'apparaît. Or $a_{n} b_{m} \neq 0$ , comme produit de deux réels non nuls. Donc $P Q$ est non nul, de degré $n + m$ et de coefficient dominant $a_{n} b_{m}$ . $□$

Propriété

Conséquences. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes.

Intégrité : si $P \neq 0$ et $Q \neq 0$ , alors $P Q \neq 0$ . Autrement dit, un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Simplification : si $P \neq 0$ et $P Q = P R$ , alors $Q = R$ .
Pour tout entier $k ⩾ 1$ , $\deg (P^{k}) = k \deg P$ .

Démonstration. Le point $1$ est contenu dans le théorème : si $P$ et $Q$ sont non nuls, $\deg (P Q) = \deg P + \deg Q$ est un entier naturel, donc $P Q \neq 0$ . Pour le point $2$ , l'hypothèse $P Q = P R$ donne $P (Q - R) = 0$ ; comme $P \neq 0$ , le point $1$ impose $Q - R = 0$ , c'est-à-dire $Q = R$ . Le point $3$ s'obtient par une récurrence immédiate sur $k$ à partir du théorème. $□$

Propriété

Degré d'une composée. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants. Alors

\deg (P \circ Q) = \deg P \times \deg Q .

Démonstration. Notons $n = \deg P ⩾ 1$ et $m = \deg Q ⩾ 1$ , et $a_{n}$ le coefficient dominant de $P$ , $b_{m}$ celui de $Q$ . On a

P (Q (x)) = a_{n} (Q (x))^{n} + a_{n - 1} (Q (x))^{n - 1} + \dots + a_{0} .

D'après le point $3$ ci-dessus, $\deg (Q^{n}) = n m$ , avec coefficient dominant $(b_{m})^{n}$ , tandis que les autres termes $a_{k} Q^{k}$ pour $k ⩽ n - 1$ sont de degré au plus $(n - 1) m < n m$ . Le coefficient de $x^{n m}$ dans $P \circ Q$ vaut donc $a_{n} (b_{m})^{n} \neq 0$ , et aucun terme de degré supérieur n'apparaît : $\deg (P \circ Q) = n m$ . $□$

Méthode

Lire un degré sans développer. Devant une expression construite à partir de polynômes, on ne développe jamais pour trouver le degré : on applique les trois règles.

Produit : les degrés s'ajoutent, les coefficients dominants se multiplient.
Puissance $k$ -ième : le degré est multiplié par $k$ , le coefficient dominant est élevé à la puissance $k$ .
Somme : le degré est au plus le maximum ; si les termes dominants se compensent, il faut regarder le terme suivant.

Exemple

Appliquons la méthode.

a. $A = (2 x^{3} - x + 4)^{5}$ . Le degré est $3 \times 5 = 15$ , et le coefficient dominant $2^{5} = 32$ .

b. $B = (x^{2} + 1)^{3} (3 x^{4} - x)$ . Le premier facteur est de degré $6$ et de coefficient dominant $1$ , le second de degré $4$ et de coefficient dominant $3$ : $\deg B = 6 + 4 = 10$ , coefficient dominant $3$ .

c. $C = (x^{2} - 3 x)^{4} - x^{8}$ . Chacun des deux termes est de degré $8$ : la règle de la somme ne conclut pas. Il faut regarder de plus près. Comme $(x^{2} - 3 x)^{4} = x^{4} (x - 3)^{4}$ et $(x - 3)^{4} = x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ , on obtient

(x^{2} - 3 x)^{4} = x^{8} - 12 x^{7} + 54 x^{6} - 108 x^{5} + 81 x^{4},

donc $C = - 12 x^{7} + 54 x^{6} - 108 x^{5} + 81 x^{4}$ : le degré est $7$ , et non $8$ .

d. $D = P \circ Q$ avec $P (x) = x^{3} - 2 x$ et $Q (x) = x^{2} + 1$ . Le degré est $3 \times 2 = 6$ .

Exemple

Un usage typique du degré : montrer qu'un polynôme est constant. Soit $P$ un polynôme vérifiant $P \circ P = P$ . Si $P$ était non constant, de degré $n ⩾ 1$ , on aurait d'une part $\deg (P \circ P) = n \times n = n^{2}$ , et d'autre part $\deg (P \circ P) = \deg P = n$ . Donc $n^{2} = n$ , c'est-à-dire $n (n - 1) = 0$ , donc $n = 1$ puisque $n ⩾ 1$ . Le degré ne permet donc pas d'exclure le cas $n = 1$ : on poursuit en écrivant $P (x) = a x + b$ avec $a \neq 0$ . Alors $P (P (x)) = a (a x + b) + b = a^{2} x + a b + b$ , et l'identification avec $a x + b$ donne $a^{2} = a$ et $a b + b = b$ . De $a^{2} = a$ et $a \neq 0$ on tire $a = 1$ , puis $a b = 0$ donne $b = 0$ . Les solutions non constantes sont donc réduites à $P (x) = x$ , et les solutions constantes sont les $P (x) = c$ (car alors $P (P (x)) = c$ ). Notez comment le raisonnement sur les degrés a réduit un problème apparemment infini à deux cas.

Division euclidienne, multiples et diviseurs

Le théorème de la division euclidienne

Chez les entiers, diviser $17$ par $5$ donne un quotient $3$ et un reste $2$ , avec $17 = 5 \times 3 + 2$ et $0 ⩽ 2 < 5$ . La condition « le reste est plus petit que le diviseur » est ce qui assure l'unicité. Chez les polynômes, la taille se mesure par le degré, et l'énoncé se transpose mot pour mot.

Propriété

Théorème (division euclidienne). Soient $A$ et $B$ deux polynômes, avec $B \neq 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que

A = B Q + R et \deg R < \deg B .

Le polynôme $Q$ s'appelle le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ .

Démonstration de l'unicité. Supposons que $(Q_{1}, R_{1})$ et $(Q_{2}, R_{2})$ conviennent tous les deux :

A = B Q_{1} + R_{1} = B Q_{2} + R_{2}, \deg R_{1} < \deg B, \deg R_{2} < \deg B .

En retranchant, on obtient $B (Q_{1} - Q_{2}) = R_{2} - R_{1}$ . Raisonnons par l'absurde en supposant $Q_{1} \neq Q_{2}$ . Alors $Q_{1} - Q_{2} \neq 0$ , donc, d'après le théorème sur le degré d'un produit,

\deg (B (Q_{1} - Q_{2})) = \deg B + \deg (Q_{1} - Q_{2}) ⩾ \deg B,

puisque $\deg (Q_{1} - Q_{2}) ⩾ 0$ . Mais d'un autre côté,

\deg (R_{2} - R_{1}) ⩽ \max (\deg R_{1}, \deg R_{2}) < \deg B .

Ces deux polynômes étant égaux, on aurait $\deg B ⩽ \deg (R_{2} - R_{1}) < \deg B$ , ce qui est absurde. Donc $Q_{1} = Q_{2}$ , et il vient aussitôt $R_{1} = A - B Q_{1} = A - B Q_{2} = R_{2}$ . $□$

Esquisse de la démonstration de l'existence. On raisonne par récurrence forte sur $\deg A$ , le polynôme $B$ étant fixé, de degré $m$ et de coefficient dominant $b_{m}$ . Si $\deg A < m$ (ce qui inclut le cas $A = 0$ ), le couple $(0, A)$ convient. Sinon, notons $n = \deg A ⩾ m$ et $a_{n}$ le coefficient dominant de $A$ , et posons

A_{1} = A - \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} B .

Le terme dominant de $\frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} B$ est $\frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} \times b_{m} x^{m} = a_{n} x^{n}$ : il se simplifie avec celui de $A$ , donc $\deg A_{1} < n$ . L'hypothèse de récurrence forte fournit $A_{1} = B Q_{1} + R$ avec $\deg R < m$ , d'où

A = A_{1} + \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m} B = B (Q_{1} + \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n - m}) + R,

ce qui achève la récurrence. $□$

Remarque

Cette démonstration n'est pas de l'ornement : c'est exactement l'algorithme de la potence. Chaque étape de la récurrence correspond à une ligne de la division posée, et le quotient se construit terme à terme, en commençant par le terme de plus haut degré.

La division posée : la potence

Méthode

Poser une division euclidienne. Pour diviser $A$ par $B$ :

Écrire $A$ dans l'ordre décroissant des degrés, en faisant apparaître les monômes manquants avec un coefficient $0$ (c'est l'oubli le plus fréquent).
Diviser le terme dominant du dividende courant par le terme dominant de $B$ : le résultat est le nouveau terme du quotient.
Multiplier $B$ par ce terme, retrancher le produit obtenu du dividende courant.
Recommencer tant que le degré du dividende courant est supérieur ou égal à $\deg B$ .
S'arrêter dès que le degré du reste est strictement inférieur à $\deg B$ , et vérifier en développant $B Q + R$ .

Exemple

Divisons $A = 2 x^{4} - x^{3} + 3 x - 5$ par $B = x^{2} - x + 2$ . Le dividende ne contient pas de terme en $x^{2}$ : on écrit donc $A = 2 x^{4} - x^{3} + 0 x^{2} + 3 x - 5$ .

  2x^4 -  x^3 + 0x^2 + 3x -  5  | x^2 - x + 2
-(2x^4 - 2x^3 + 4x^2)           | ------------
  ----------------------------  | 2x^2 + x - 3
          x^3 - 4x^2 + 3x -  5  |
        -(x^3 -  x^2 + 2x)      |
          --------------------  |
               -3x^2 +  x -  5  |
             -(-3x^2 + 3x -  6) |
               ---------------  |
                      -2x +  1  |

Détaillons les trois étapes.

Étape 1. $2 x^{4} \div x^{2} = 2 x^{2}$ . On écrit $2 x^{2}$ au quotient, et on retranche $2 x^{2} B = 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ :

(2 x^{4} - x^{3} + 0 x^{2} + 3 x - 5) - (2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 5.

Étape 2. $x^{3} \div x^{2} = x$ . On écrit $+ x$ au quotient, et on retranche $x B = x^{3} - x^{2} + 2 x$ :

(x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 5) - (x^{3} - x^{2} + 2 x) = - 3 x^{2} + x - 5.

Étape 3. $- 3 x^{2} \div x^{2} = - 3$ . On écrit $- 3$ au quotient, et on retranche $- 3 B = - 3 x^{2} + 3 x - 6$ :

(- 3 x^{2} + x - 5) - (- 3 x^{2} + 3 x - 6) = - 2 x + 1.

Le degré de $- 2 x + 1$ vaut $1$ , strictement inférieur à $\deg B = 2$ : la division est terminée. On obtient

Q = 2 x^{2} + x - 3 et R = - 2 x + 1.

Vérification. Développons $B Q + R$ :

\begin{aligned} (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} + x - 3) & = 2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x - 6 \\ = 2 x^{4} - x^{3} + 0 x^{2} + 5 x - 6, \end{aligned}

puis en ajoutant $R = - 2 x + 1$ : $2 x^{4} - x^{3} + 3 x - 5 = A$ . La division est correcte.

Remarque

La vérification n'est pas facultative. Une division posée est un calcul long, où une erreur de signe passe inaperçue ; le développement de $B Q + R$ prend trente secondes et sécurise tout ce qui suit. Vérifiez également, avant même de calculer, la cohérence des degrés : ici $\deg A = 4$ , $\deg B = 2$ , donc $\deg Q = 4 - 2 = 2$ , ce qui est bien le cas.

Multiples et diviseurs

Définition

Soient $A$ et $B$ deux polynômes. On dit que $B$ divise $A$ , et on note $B ∣ A$ , s'il existe un polynôme $Q$ tel que $A = B Q$ . On dit alors que $B$ est un diviseur de $A$ , et que $A$ est un multiple de $B$ .

Remarque

Lorsque $B \neq 0$ , dire que $B$ divise $A$ revient exactement à dire que le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ est nul. En effet, si $R = 0$ alors $A = B Q$ ; réciproquement, si $A = B Q$ , le couple $(Q, 0)$ vérifie les conditions du théorème, et l'unicité impose que ce soit le couple de la division euclidienne.

Propriété

Soient $A$ , $B$ , $C$ des polynômes.

Tout polynôme divise $0$ , et $1$ divise tout polynôme. Plus généralement, toute constante non nulle divise tout polynôme.
Si $B ∣ A$ et $A \neq 0$ , alors $\deg B ⩽ \deg A$ .
Transitivité : si $C ∣ B$ et $B ∣ A$ , alors $C ∣ A$ .
Combinaison : si $C ∣ A$ et $C ∣ B$ , alors $C ∣ (U A + V B)$ pour tous polynômes $U$ et $V$ .
Si $A ∣ B$ et $B ∣ A$ avec $A$ et $B$ non nuls, alors il existe un réel $λ \neq 0$ tel que $A = λ B$ .

Démonstration. Pour le point $1$ : $0 = B \times 0$ , et $A = 1 \times A$ ; si $c \neq 0$ est une constante, $A = c \times (\frac{1}{c} A)$ .

Pour le point $2$ : si $A = B Q$ avec $A \neq 0$ , alors $B \neq 0$ et $Q \neq 0$ , donc $\deg A = \deg B + \deg Q ⩾ \deg B$ puisque $\deg Q ⩾ 0$ .

Pour le point $3$ : écrivons $B = C Q_{1}$ et $A = B Q_{2}$ ; alors $A = C Q_{1} Q_{2}$ , donc $C ∣ A$ .

Pour le point $4$ : écrivons $A = C Q_{1}$ et $B = C Q_{2}$ ; alors $U A + V B = C (U Q_{1} + V Q_{2})$ .

Pour le point $5$ : écrivons $B = A Q_{1}$ et $A = B Q_{2}$ . Alors $A = A Q_{1} Q_{2}$ , donc $A (1 - Q_{1} Q_{2}) = 0$ ; comme $A \neq 0$ , l'intégrité donne $Q_{1} Q_{2} = 1$ . En passant aux degrés, $\deg Q_{1} + \deg Q_{2} = 0$ avec deux entiers naturels, donc $\deg Q_{1} = \deg Q_{2} = 0$ : $Q_{2}$ est une constante non nulle $λ$ , et $A = λ B$ . $□$

Remarque

Le point $5$ mérite d'être médité : chez les polynômes, on ne peut pas espérer mieux que « égaux à une constante multiplicative près ». C'est pour cela que l'on préfère souvent travailler avec des diviseurs unitaires, qui, eux, sont uniques.

Division par $x - a$ et schéma de Horner

Le cas où le diviseur est de degré $1$ est de très loin le plus fréquent. Il donne un résultat que vous utiliserez dans presque tous les exercices du chapitre.

Propriété

Théorème (reste de la division par $x - a$ ). Soient $P$ un polynôme et $a$ un réel. Le reste de la division euclidienne de $P$ par $x - a$ est le polynôme constant égal à $P (a)$ . Autrement dit, il existe un unique polynôme $Q$ tel que

P (x) = (x - a) Q (x) + P (a) .

Démonstration. Effectuons la division euclidienne de $P$ par $x - a$ , qui est non nul : il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = (x - a) Q + R$ avec $\deg R < \deg (x - a) = 1$ . Un polynôme de degré strictement inférieur à $1$ est un polynôme constant : notons-le $r$ . On a donc $P (x) = (x - a) Q (x) + r$ pour tout réel $x$ . En évaluant en $x = a$ , il vient $P (a) = (a - a) Q (a) + r = r$ . Donc $r = P (a)$ . $□$

Méthode

Le schéma de Horner. Pour diviser $P$ par $x - a$ sans poser la potence, on dispose les coefficients de $P$ (y compris les nuls) dans l'ordre des puissances décroissantes, et on procède ainsi :

Recopier le premier coefficient.
Le multiplier par $a$ , ajouter le coefficient suivant : on obtient le nombre suivant.
Répéter jusqu'au dernier coefficient.

Les nombres obtenus, sauf le dernier, sont les coefficients du quotient (dans l'ordre décroissant) ; le dernier est le reste, c'est-à-dire $P (a)$ . C'est à la fois la méthode la plus rapide pour calculer $P (a)$ et pour diviser par $x - a$ .

Exemple

Prenons $P (x) = 3 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x - 7$ et $a = 2$ . Les coefficients de $P$ sont $3$ , $- 5$ , $0$ , $2$ , $- 7$ (attention au $0$ pour le terme en $x^{2}$ ).

coefficients de $P$	$3$	$- 5$	$0$	$2$	$- 7$
on multiplie par $a = 2$		$6$	$2$	$4$	$12$
on additionne	$3$	$1$	$2$	$6$	$5$

Détail des calculs : on recopie $3$ ; puis $3 \times 2 = 6$ et $- 5 + 6 = 1$ ; puis $1 \times 2 = 2$ et $0 + 2 = 2$ ; puis $2 \times 2 = 4$ et $2 + 4 = 6$ ; enfin $6 \times 2 = 12$ et $- 7 + 12 = 5$ .

On lit donc $P (2) = 5$ et

P (x) = (x - 2) (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 6) + 5.

Vérifications. D'une part, directement, $P (2) = 3 \times 16 - 5 \times 8 + 2 \times 2 - 7 = 48 - 40 + 4 - 7 = 5$ . D'autre part,

(x - 2) (3 x^{3} + x^{2} + 2 x + 6) = 3 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 6 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 12 = 3 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x - 12,

et en ajoutant $5$ on retrouve bien $3 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x - 7$ .

Racines et nombre de racines

Racines et factorisation par $x - a$

Définition

Soient $P$ un polynôme et $a$ un réel. On dit que $a$ est une racine de $P$ (on dit aussi un zéro de $P$ ) lorsque $P (a) = 0$ .

Propriété

Théorème (caractérisation d'une racine). Soient $P$ un polynôme et $a$ un réel. Alors

P (a) = 0 ⟺ (x - a) ∣ P .

Démonstration. D'après le théorème sur le reste de la division par $x - a$ , il existe un polynôme $Q$ tel que $P (x) = (x - a) Q (x) + P (a)$ .

$(⟹)$ Si $P (a) = 0$ , cette égalité devient $P (x) = (x - a) Q (x)$ , donc $(x - a) ∣ P$ .

$(⟸)$ Si $(x - a) ∣ P$ , il existe un polynôme $Q_{1}$ tel que $P = (x - a) Q_{1}$ . En évaluant en $a$ , on obtient $P (a) = (a - a) Q_{1} (a) = 0$ . $□$

Remarque

Ce théorème est le pivot du chapitre, et il faut savoir le lire dans les deux sens. De la gauche vers la droite, il transforme une information analytique (« la courbe coupe l'axe des abscisses en $a$ ») en une information algébrique (« le polynôme se factorise par $x - a$ »), et c'est ce qui rend les factorisations possibles. De la droite vers la gauche, il permet de conclure qu'un nombre est racine sans le moindre calcul dès que la factorisation est visible.

Exemple

Soit $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . On calcule $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ : le réel $1$ est racine de $P$ , donc $(x - 1)$ divise $P$ . Le schéma de Horner avec $a = 1$ donne les nombres $1$ , puis $1 \times 1 + (- 2) = - 1$ , puis $- 1 \times 1 + (- 5) = - 6$ , puis $- 6 \times 1 + 6 = 0$ : le reste est bien nul, et

P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6) .

Le trinôme $x^{2} - x - 6$ a pour discriminant $Δ = 1 + 24 = 25 > 0$ , donc pour racines $\frac{1 \pm 5}{2}$ , c'est-à-dire $3$ et $- 2$ . Finalement

P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2),

ce que l'on vérifie en développant : $(x - 3) (x + 2) = x^{2} - x - 6$ , puis $(x - 1) (x^{2} - x - 6) = x^{3} - x^{2} - 6 x - x^{2} + x + 6 = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Plusieurs racines distinctes

Propriété

Théorème. Soient $P$ un polynôme et $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}$ des réels deux à deux distincts. Si $a_{1}, \dots, a_{r}$ sont tous racines de $P$ , alors le produit $(x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{r})$ divise $P$ .

Démonstration. Par récurrence sur $r ⩾ 1$ . Notons $H_{r}$ l'énoncé du théorème pour $r$ racines distinctes.

Initialisation. $H_{1}$ est le théorème de caractérisation d'une racine.

Hérédité. Soit $r ⩾ 1$ tel que $H_{r}$ soit vraie. Soient $a_{1}, \dots, a_{r + 1}$ des réels deux à deux distincts, tous racines de $P$ . Les $r$ premiers sont racines de $P$ , donc $H_{r}$ fournit un polynôme $Q$ tel que

P (x) = (x - a_{1}) \dots (x - a_{r}) Q (x) .

Évaluons cette égalité en $a_{r + 1}$ :

0 = P (a_{r + 1}) = (a_{r + 1} - a_{1}) \dots (a_{r + 1} - a_{r}) Q (a_{r + 1}) .

Chacun des facteurs $a_{r + 1} - a_{i}$ est un réel non nul, puisque les $a_{i}$ sont deux à deux distincts. Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc $Q (a_{r + 1}) = 0$ . Le théorème de caractérisation donne alors $Q (x) = (x - a_{r + 1}) Q_{1} (x)$ pour un certain polynôme $Q_{1}$ , d'où

P (x) = (x - a_{1}) \dots (x - a_{r}) (x - a_{r + 1}) Q_{1} (x),

ce qui est exactement $H_{r + 1}$ .

Conclusion. Par principe de récurrence, $H_{r}$ est vraie pour tout $r ⩾ 1$ . $□$

Le nombre de racines

Propriété

Théorème (nombre de racines). Soit $P$ un polynôme non nul de degré $n$ . Alors $P$ admet au plus $n$ racines distinctes.

Démonstration. Par récurrence sur $n \in N$ . Notons $H_{n}$ : « tout polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes ».

Initialisation. Soit $P$ non nul de degré $0$ : $P$ est une constante $a_{0} \neq 0$ , donc $P (x) \neq 0$ pour tout $x$ . Le polynôme $P$ n'a aucune racine, et $0 ⩽ 0$ : $H_{0}$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in N$ tel que $H_{n}$ soit vraie, et soit $P$ un polynôme non nul de degré $n + 1$ . Deux cas se présentent.

Cas 1 : $P$ n'a aucune racine. Alors il en a bien au plus $n + 1$ , et c'est terminé.

Cas 2 : $P$ admet au moins une racine $a$ . D'après le théorème de caractérisation, $P (x) = (x - a) Q (x)$ pour un certain polynôme $Q$ . Comme $P \neq 0$ , on a $Q \neq 0$ , et le théorème sur le degré d'un produit donne

n + 1 = \deg P = \deg (x - a) + \deg Q = 1 + \deg Q, donc \deg Q = n .

Soit maintenant $b$ une racine de $P$ différente de $a$ . Alors $0 = P (b) = (b - a) Q (b)$ avec $b - a \neq 0$ , donc $Q (b) = 0$ : toute racine de $P$ autre que $a$ est une racine de $Q$ . Or, par hypothèse de récurrence, $Q$ admet au plus $n$ racines distinctes. Donc $P$ admet au plus $n + 1$ racines distinctes : celles de $Q$ , et éventuellement $a$ .

Conclusion. Par principe de récurrence, $H_{n}$ est vraie pour tout entier naturel $n$ . $□$

Propriété

Corollaires. Soit $n$ un entier naturel.

Si $P \in R_{n} [x]$ admet au moins $n + 1$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul.
Si un polynôme admet une infinité de racines, il est nul. En particulier, si $P (x) = 0$ pour tout réel $x$ , alors tous les coefficients de $P$ sont nuls.
Si $P$ et $Q$ appartiennent à $R_{n} [x]$ et coïncident en au moins $n + 1$ points distincts, alors $P = Q$ .

Démonstration. Pour le point $1$ : si $P$ n'était pas nul, son degré serait un entier $d ⩽ n$ , et le théorème lui interdirait d'avoir plus de $d ⩽ n$ racines distinctes, en contradiction avec l'hypothèse. Donc $P = 0$ .

Le point $2$ en découle : un polynôme non nul a un degré $d$ fini et donc au plus $d$ racines, jamais une infinité. Si $P$ est nul en tant que fonction, tout réel en est racine, donc $P$ est le polynôme nul, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont nuls.

Pour le point $3$ : le polynôme $P - Q$ appartient à $R_{n} [x]$ , car $\deg (P - Q) ⩽ \max (\deg P, \deg Q) ⩽ n$ , et il s'annule en au moins $n + 1$ points distincts. D'après le point $1$ , $P - Q = 0$ , donc $P = Q$ . $□$

Remarque

C'est ici que se justifie l'identification des coefficients annoncée en section $1$ . Si deux polynômes $P = \sum a_{k} x^{k}$ et $Q = \sum b_{k} x^{k}$ sont égaux en tant que fonctions, alors $P - Q$ est nul en tant que fonction, donc, d'après le point $2$ , tous les coefficients de $P - Q$ sont nuls : $a_{k} - b_{k} = 0$ pour tout $k$ , c'est-à-dire $a_{k} = b_{k}$ . La boucle est bouclée, et l'on peut désormais passer sans arrière-pensée du point de vue « fonction » au point de vue « coefficients ».

Remarque

Revenons à la fonction $h (x) = ∣ x ∣$ de la section $1$ , et montrons algébriquement qu'elle n'est pas un polynôme. Supposons qu'il existe un polynôme $P$ tel que $P (x) = ∣ x ∣$ pour tout réel $x$ . Alors le polynôme $P (x) - x$ s'annule en tout réel positif, donc en une infinité de points : il est nul, et $P (x) = x$ pour tout $x$ . Mais alors $P (- 1) = - 1$ , alors que $∣ - 1 ∣ = 1$ . Contradiction. Le même raisonnement montre que $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas la restriction d'un polynôme : si $P (x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \neq 0$ , alors $x P (x) - 1$ s'annule en une infinité de points, donc $x P (x) = 1$ pour tout réel $x$ , ce qui donne $0 = 1$ en $x = 0$ .

Déterminer un polynôme soumis à des conditions

Méthode

Trouver tous les polynômes vérifiant une relation. Ce type d'exercice, très fréquent, se traite par analyse-synthèse, en trois étapes.

Analyse par le degré. On suppose qu'un polynôme $P$ convient, on note $n$ son degré et $a_{n}$ son coefficient dominant, puis on calcule le degré de chaque membre de la relation. L'égalité des degrés donne une équation sur $n$ , souvent une seule valeur possible ; l'égalité des coefficients dominants donne $a_{n}$ . Ne pas oublier de traiter à part le cas $P = 0$ et le cas $P$ constant, où le calcul de degré n'est pas licite.
Analyse par identification. Connaissant $n$ , on pose $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ avec des coefficients inconnus, on développe les deux membres et on identifie.
Synthèse. On vérifie que les polynômes trouvés conviennent effectivement, puis on conclut par une phrase du type « l'ensemble des solutions est ... ».

Exemple

Déterminons tous les polynômes $P$ tels que, pour tout réel $x$ , $P (x + 1) - P (x) = 2 x + 1$ .

Analyse. Si $P$ est constant, $P (x + 1) - P (x) = 0$ , ce qui ne convient pas puisque $2 x + 1$ n'est pas le polynôme nul. Supposons donc $P$ non constant, de degré $n ⩾ 1$ et de coefficient dominant $a_{n}$ . Le polynôme $x \mapsto P (x + 1)$ est la composée de $P$ avec $x + 1$ : il est de degré $n$ et de coefficient dominant $a_{n}$ , lui aussi. Dans la différence $P (x + 1) - P (x)$ , les termes en $x^{n}$ se simplifient donc, et il reste un polynôme de degré au plus $n - 1$ . Calculons ce degré exactement : pour $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots$ , le coefficient de $x^{n - 1}$ dans $P (x + 1)$ vaut $n a_{n} + a_{n - 1}$ (le terme $a_{n} (x + 1)^{n}$ produit $n a_{n} x^{n - 1}$ ), tandis qu'il vaut $a_{n - 1}$ dans $P (x)$ . Le coefficient de $x^{n - 1}$ dans la différence vaut donc $n a_{n}$ , qui est non nul, et

\deg (P (x + 1) - P (x)) = n - 1.

Il en résulte $n - 1 = 1$ , soit $n = 2$ , et $n a_{n} = 2$ donne $a_{2} = 1$ .

Écrivons alors $P (x) = x^{2} + b x + c$ . On calcule

\begin{aligned} P (x + 1) - P (x) & = [(x + 1)^{2} + b (x + 1) + c] - [x^{2} + b x + c] \\ = x^{2} + 2 x + 1 + b x + b + c - x^{2} - b x - c \\ = 2 x + 1 + b . \end{aligned}

L'identification avec $2 x + 1$ donne $b = 0$ , et $c$ reste libre.

Synthèse. Soit $c \in R$ et $P (x) = x^{2} + c$ . Alors $P (x + 1) - P (x) = (x + 1)^{2} + c - x^{2} - c = 2 x + 1$ : ce polynôme convient.

Conclusion. Les solutions sont exactement les polynômes $P (x) = x^{2} + c$ , avec $c \in R$ .

Exemple

Déterminons tous les polynômes $P$ tels que, pour tout réel $x$ , $P (x^{2}) = (x^{2} + 1) P (x)$ .

Analyse. Le polynôme nul convient visiblement. Supposons $P \neq 0$ , de degré $n$ . Le membre de gauche est la composée de $P$ avec $x^{2}$ ; si $n ⩾ 1$ , il est de degré $2 n$ , et si $n = 0$ il est de degré $0 = 2 n$ : dans tous les cas $\deg P (x^{2}) = 2 n$ . Le membre de droite est de degré $2 + n$ . Donc $2 n = n + 2$ , soit $n = 2$ .

Posons $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ . Alors

P (x^{2}) = a x^{4} + b x^{2} + c

(x^{2} + 1) (a x^{2} + b x + c) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + a x^{2} + b x + c = a x^{4} + b x^{3} + (a + c) x^{2} + b x + c .

L'identification donne, en comparant les coefficients de $x^{3}$ puis de $x^{2}$ : $b = 0$ , puis $b = a + c$ , c'est-à-dire $c = - a$ . Les coefficients de $x$ et le terme constant ne donnent rien de neuf.

Synthèse. Pour $a \in R$ , posons $P (x) = a (x^{2} - 1)$ . Alors $P (x^{2}) = a (x^{4} - 1)$ et $(x^{2} + 1) P (x) = a (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = a (x^{4} - 1)$ : ce polynôme convient.

Conclusion. Les solutions sont les polynômes $P (x) = a (x^{2} - 1)$ , avec $a \in R$ (le cas $a = 0$ redonnant le polynôme nul).

Exemple

Un polynôme imposé par ses valeurs. Déterminons le polynôme $P \in R_{2} [x]$ tel que $P (0) = 1$ , $P (1) = 0$ et $P (2) = 3$ .

D'après le corollaire $3$ , il y a au plus un tel polynôme, puisque deux polynômes de $R_{2} [x]$ qui coïncident en $3$ points distincts sont égaux. Cherchons-le sous la forme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ . Les conditions s'écrivent

{\begin{cases} c = 1 \\ a + b + c = 0 \\ 4 a + 2 b + c = 3 \end{cases} soit {\begin{cases} c = 1 \\ a + b = - 1 \\ 4 a + 2 b = 2. \end{cases}

La troisième équation se simplifie en $2 a + b = 1$ ; en lui retranchant la deuxième, on obtient $a = 2$ , puis $b = - 1 - a = - 3$ . Donc

P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1.

Vérification. $P (0) = 1$ , $P (1) = 2 - 3 + 1 = 0$ et $P (2) = 8 - 6 + 1 = 3$ . C'est bien le polynôme cherché, et c'est le seul dans $R_{2} [x]$ .

Ordre de multiplicité d'une racine

Définition

Une racine peut « compter double ». Dans $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)$ , le réel $2$ est racine, mais le facteur $(x - 2)$ y apparaît deux fois : c'est une information que la seule phrase « $2$ est racine » ne restitue pas.

Définition

Soient $P$ un polynôme non nul, $a$ un réel et $m$ un entier naturel non nul. On dit que $a$ est une racine d'ordre de multiplicité $m$ de $P$ (ou racine de multiplicité $m$ , ou racine d'ordre $m$ ) lorsque

(x - a)^{m} ∣ P et (x - a)^{m + 1} ∤ P,

autrement dit lorsqu'il existe un polynôme $Q$ tel que

P (x) = (x - a)^{m} Q (x) avec Q (a) \neq 0.

Une racine de multiplicité $1$ est dite simple, de multiplicité $2$ double, de multiplicité $3$ triple. Par convention, dire que $a$ est racine de multiplicité $0$ signifie que $a$ n'est pas racine de $P$ .

Remarque

Les deux formulations de la définition sont bien équivalentes. Si $P = (x - a)^{m} Q$ avec $Q (a) \neq 0$ , alors $(x - a)^{m} ∣ P$ ; et si l'on avait $(x - a)^{m + 1} ∣ P$ , on écrirait $P = (x - a)^{m + 1} S$ , d'où $(x - a)^{m} Q = (x - a)^{m} (x - a) S$ , puis $Q = (x - a) S$ par simplification, et donc $Q (a) = 0$ : contradiction. Réciproquement, si $(x - a)^{m} ∣ P$ , on écrit $P = (x - a)^{m} Q$ , et $Q (a) \neq 0$ car sinon $(x - a) ∣ Q$ donnerait $(x - a)^{m + 1} ∣ P$ .

Exemple

Soit $P (x) = (x - 2)^{3} (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

Le réel $2$ est racine de multiplicité $3$ : en posant $Q (x) = (x + 1) (x^{2} + 1)$ , on a $P = (x - 2)^{3} Q$ et $Q (2) = 3 \times 5 = 15 \neq 0$ .
Le réel $- 1$ est racine simple : $P = (x + 1) R$ avec $R (x) = (x - 2)^{3} (x^{2} + 1)$ et $R (- 1) = (- 3)^{3} \times 2 = - 54 \neq 0$ .
Le facteur $x^{2} + 1$ ne fournit aucune racine, car $x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ pour tout réel $x$ .

Les racines de $P$ sont donc $2$ et $- 1$ , avec les multiplicités $3$ et $1$ .

Déterminer une multiplicité par divisions successives

Méthode

Multiplicité par divisions successives. Pour déterminer la multiplicité d'une racine $a$ d'un polynôme $P$ :

Vérifier que $P (a) = 0$ .
Diviser $P$ par $(x - a)$ , par exemple avec le schéma de Horner : on obtient un quotient $Q_{1}$ .
Calculer $Q_{1} (a)$ . Si $Q_{1} (a) \neq 0$ , la racine est simple et c'est fini. Sinon, diviser $Q_{1}$ par $(x - a)$ et recommencer.
La multiplicité est le nombre de divisions par $(x - a)$ effectuées avec un reste nul.

En pratique, on enchaîne les schémas de Horner les uns sous les autres : c'est très rapide.

Exemple

Déterminons la multiplicité de $2$ comme racine de $P (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 8$ .

D'abord, $P (2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0$ : le réel $2$ est bien racine.

Première division. Horner avec les coefficients $1$ , $- 5$ , $6$ , $4$ , $- 8$ et $a = 2$ : on recopie $1$ ; puis $1 \times 2 - 5 = - 3$ ; puis $- 3 \times 2 + 6 = 0$ ; puis $0 \times 2 + 4 = 4$ ; puis $4 \times 2 - 8 = 0$ . Le reste est nul, et

P (x) = (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 4) = (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 4) .

Deuxième division. Coefficients $1$ , $- 3$ , $0$ , $4$ : on recopie $1$ ; puis $1 \times 2 - 3 = - 1$ ; puis $- 1 \times 2 + 0 = - 2$ ; puis $- 2 \times 2 + 4 = 0$ . Le reste est encore nul :

x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x - 2) (x^{2} - x - 2), donc P (x) = (x - 2)^{2} (x^{2} - x - 2) .

Troisième division. Coefficients $1$ , $- 1$ , $- 2$ : on recopie $1$ ; puis $1 \times 2 - 1 = 1$ ; puis $1 \times 2 - 2 = 0$ . Le reste est nul une troisième fois :

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1), donc P (x) = (x - 2)^{3} (x + 1) .

Arrêt. Le quotient obtenu est $Q (x) = x + 1$ , et $Q (2) = 3 \neq 0$ . La multiplicité de $2$ est donc exactement $3$ .

Vérification. $(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ , donc

(x - 2)^{3} (x + 1) = x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 8 = P (x) .

Somme des multiplicités

Propriété

Soit $P$ un polynôme non nul de degré $n$ , et soient $a_{1}, \dots, a_{r}$ des racines deux à deux distinctes de $P$ , de multiplicités respectives $m_{1}, \dots, m_{r}$ . Alors le produit $(x - a_{1})^{m_{1}} \dots (x - a_{r})^{m_{r}}$ divise $P$ , et par conséquent

m_{1} + m_{2} + \dots + m_{r} ⩽ n .

Nous admettons la première affirmation, qui généralise le théorème de la section $4$ sur plusieurs racines distinctes et se démontre de la même manière ; elle sera aussi une conséquence du théorème de factorisation de la section $8$ . La majoration s'en déduit aussitôt : le produit $(x - a_{1})^{m_{1}} \dots (x - a_{r})^{m_{r}}$ est de degré $m_{1} + \dots + m_{r}$ , et un diviseur d'un polynôme non nul a un degré au plus égal au sien.

Remarque

Cette majoration est le bon raffinement du théorème « au plus $n$ racines » : ce n'est pas seulement le nombre de racines qui est limité par le degré, c'est la somme de leurs multiplicités. Un polynôme de degré $4$ peut avoir une racine triple et une racine simple, ou deux racines doubles, ou quatre racines simples, mais jamais deux racines triples.

Dérivées successives et formule de Taylor

Dérivée d'un polynôme

Un polynôme est une fonction, dérivable sur $R$ : sa dérivée est celle que vous calculez depuis la première.

Propriété

Soit $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ . Alors $P$ est dérivable sur $R$ , et

P^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k} x^{k - 1} = n a_{n} x^{n - 1} + (n - 1) a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_{2} x + a_{1} .

En particulier, $P^{'}$ est encore un polynôme, et

\deg P^{'} = \deg P - 1 si \deg P ⩾ 1, P^{'} = 0 si \deg P ⩽ 0.

On utilisera librement, dans tout le chapitre, les règles de dérivation apprises au lycée, en particulier celle du produit : $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Démonstration. La formule de dérivation est celle du lycée, appliquée terme à terme. Pour le degré, supposons $\deg P = n ⩾ 1$ : le coefficient de $x^{n - 1}$ dans $P^{'}$ vaut $n a_{n}$ , produit de deux réels non nuls (car $n ⩾ 1$ et $a_{n} \neq 0$ ), donc non nul. Aucun terme de degré supérieur n'apparaît, d'où $\deg P^{'} = n - 1$ . Si $P$ est constant, $P^{'} = 0$ . $□$

Remarque

Attention : la réciproque de la dernière phrase est vraie aussi, et elle sert. Si $P^{'} = 0$ , alors $P$ est constant. En effet, si $P$ était de degré $n ⩾ 1$ , $P^{'}$ serait de degré $n - 1 ⩾ 0$ , donc non nul.

Dérivées successives

Définition

Soit $P$ un polynôme. On définit ses dérivées successives par $P^{(0)} = P$ et, pour tout entier $k ⩾ 0$ , $P^{(k + 1)} = {(P^{(k)})}^{'}$ . On note aussi $P^{'} = P^{(1)}$ , $P^{''} = P^{(2)}$ , $P^{'''} = P^{(3)}$ .

Propriété

Soit $P$ un polynôme de degré $n ⩾ 0$ . Alors, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ , $\deg P^{(k)} = n - k$ , et pour tout $k > n$ , $P^{(k)} = 0$ .

Démonstration. Récurrence immédiate sur $k$ à partir de la propriété précédente : chaque dérivation fait baisser le degré d'une unité tant qu'il reste positif. Au rang $k = n$ , $P^{(n)}$ est de degré $0$ , donc constant non nul ; sa dérivée $P^{(n + 1)}$ est nulle, et toutes les suivantes aussi. $□$

Exemple

Pour $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ , on obtient successivement

P^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5, P^{''} (x) = 6 x - 8, P^{'''} (x) = 6, P^{(4)} = 0.

On vérifie les degrés annoncés : $3$ , $2$ , $1$ , $0$ , puis le polynôme nul.

Remarque

Une conséquence utile : $P^{(n)}$ , pour $P$ de degré $n$ et de coefficient dominant $a_{n}$ , est la constante $n! a_{n}$ . On le voit sur le monôme dominant : dériver $n$ fois $a_{n} x^{n}$ donne $a_{n} \times n \times (n - 1) \times \dots \times 1 = n! a_{n}$ , tandis que tous les autres termes, de degré $< n$ , s'annulent avant.

La formule de Taylor pour un polynôme

Propriété

Théorème (formule de Taylor pour un polynôme). Soient $P$ un polynôme de degré au plus $n$ et $a$ un réel. Alors, pour tout réel $x$ ,

P (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} = P (a) + P^{'} (a) (x - a) + \frac{P^{''} (a)}{2} (x - a)^{2} + \dots + \frac{P^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n} .

Démonstration. Posons $T (y) = y + a$ et $Q = P \circ T$ , c'est-à-dire $Q (y) = P (a + y)$ . C'est un polynôme, comme composée de deux polynômes, et son degré vaut $\deg P \times \deg T = \deg P ⩽ n$ lorsque $P$ est non constant ; il est de degré $⩽ n$ dans tous les cas. Écrivons-le

Q (y) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} y^{k} .

Comme $Q (x - a) = P (a + (x - a)) = P (x)$ , on obtient déjà l'existence d'une écriture de $P$ suivant les puissances de $x - a$ :

P (x) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} (x - a)^{k} .

Il reste à identifier les $c_{k}$ . Dérivons cette égalité $j$ fois, pour un entier $j$ compris entre $0$ et $n$ . La dérivée $j$ -ième de $(x - a)^{k}$ vaut $0$ si $k < j$ , vaut $j!$ si $k = j$ , et vaut $k (k - 1) \dots (k - j + 1) (x - a)^{k - j}$ si $k > j$ . Donc

P^{(j)} (x) = j! c_{j} + \sum_{k = j + 1}^{n} c_{k} k (k - 1) \dots (k - j + 1) (x - a)^{k - j} .

Évaluons en $x = a$ : tous les termes de la somme contiennent un facteur $(x - a)^{k - j}$ avec $k - j ⩾ 1$ , donc s'annulent. Il reste

P^{(j)} (a) = j! c_{j}, c’est- \overset{ˋ}{a} -dire c_{j} = \frac{P^{(j)} (a)}{j!} .

En reportant, on obtient la formule annoncée. $□$

Remarque

Trois observations sur cette formule.

Premièrement, ce n'est pas une approximation. Contrairement aux formules de Taylor de l'analyse, que vous rencontrerez plus tard et qui comportent un reste, celle-ci est une égalité exacte, valable pour tout réel $x$ : la somme est finie, et elle s'arrête au degré de $P$ .

Deuxièmement, le cas $a = 0$ redonne simplement $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{P^{(k)} (0)}{k!} x^{k}$ , c'est-à-dire que le coefficient $a_{k}$ de $P$ vaut $\frac{P^{(k)} (0)}{k!}$ . C'est une manière commode de retrouver un coefficient sans développer.

Troisièmement, n'oubliez pas le $k!$ . C'est l'erreur la plus fréquente. Un contrôle immédiat : le terme de rang $1$ doit être $P^{'} (a) (x - a)$ , sans dénominateur, et celui de rang $2$ doit avoir un $2$ au dénominateur.

Écrire un polynôme suivant les puissances de $x - a$

Méthode

Écrire $P$ suivant les puissances de $x - a$ . Deux méthodes, toutes deux à connaître.

Par la formule de Taylor : calculer $P (a)$ , $P^{'} (a)$ , ..., $P^{(n)} (a)$ , puis diviser chacun par la factorielle correspondante. C'est systématique, mais il faut être soigneux avec les factorielles.
Par divisions euclidiennes successives par $(x - a)$ : le reste de la première division est $c_{0}$ , le reste de la division du quotient par $(x - a)$ est $c_{1}$ , et ainsi de suite. Avec le schéma de Horner, c'est très rapide, et cela évite tout calcul de dérivée.

On vérifie toujours en calculant la valeur des deux écritures en un point simple, par exemple $x = 0$ .

Exemple

Écrivons $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ suivant les puissances de $x - 2$ .

Méthode 1 : formule de Taylor. On a calculé plus haut $P^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5$ , $P^{''} (x) = 6 x - 8$ et $P^{'''} (x) = 6$ . Évaluons en $a = 2$ :

P (2) = 8 - 16 + 10 - 1 = 1, P^{'} (2) = 12 - 16 + 5 = 1, P^{''} (2) = 12 - 8 = 4, P^{'''} (2) = 6.

La formule de Taylor donne alors

P (x) = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} (x - 2) + \frac{4}{2!} (x - 2)^{2} + \frac{6}{3!} (x - 2)^{3} = 1 + (x - 2) + 2 (x - 2)^{2} + (x - 2)^{3} .

Méthode 2 : divisions successives. On enchaîne trois schémas de Horner en $a = 2$ .

Coefficients de $P$ : $1$ , $- 4$ , $5$ , $- 1$ . On obtient $1$ ; $1 \times 2 - 4 = - 2$ ; $- 2 \times 2 + 5 = 1$ ; $1 \times 2 - 1 = 1$ . Donc $P (x) = (x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) + 1$ , et $c_{0} = 1$ .

Coefficients de $x^{2} - 2 x + 1$ : $1$ , $- 2$ , $1$ . On obtient $1$ ; $1 \times 2 - 2 = 0$ ; $0 \times 2 + 1 = 1$ . Donc $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 2) x + 1$ , et $c_{1} = 1$ .

Coefficients de $x$ : $1$ , $0$ . On obtient $1$ ; $1 \times 2 + 0 = 2$ . Donc $x = (x - 2) \times 1 + 2$ , et $c_{2} = 2$ , le dernier quotient valant $1 = c_{3}$ .

On retrouve $P (x) = 1 + (x - 2) + 2 (x - 2)^{2} + (x - 2)^{3}$ .

Vérification. Développons :

\begin{aligned} 1 + (x - 2) + 2 (x - 2)^{2} + (x - 2)^{3} & = 1 + x - 2 + 2 (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) \\ = x^{3} + (- 6 + 2) x^{2} + (1 - 8 + 12) x + (1 - 2 + 8 - 8) \\ = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1. \end{aligned}

C'est bien $P$ .

Caractérisation de la multiplicité par les dérivées

Propriété

Théorème. Soient $P$ un polynôme non nul, $a$ un réel et $m$ un entier naturel non nul. Alors $a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$ si et seulement si

P (a) = P^{'} (a) = \dots = P^{(m - 1)} (a) = 0 et P^{(m)} (a) \neq 0.

Démonstration. Notons $n$ le degré de $P$ et écrivons la formule de Taylor en $a$ :

P (x) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} (x - a)^{k}, o \overset{ˋ}{u} c_{k} = \frac{P^{(k)} (a)}{k!} .

Comme $k! \neq 0$ , dire que $P^{(k)} (a) = 0$ revient exactement à dire que $c_{k} = 0$ .

$(⟸)$ Supposons $c_{0} = c_{1} = \dots = c_{m - 1} = 0$ et $c_{m} \neq 0$ (ce qui suppose $m ⩽ n$ ). Alors la somme commence au rang $m$ , et on peut mettre $(x - a)^{m}$ en facteur :

P (x) = \sum_{k = m}^{n} c_{k} (x - a)^{k} = (x - a)^{m} \underset{= Q (x)}{\underset{⏟}{\sum_{k = m}^{n} c_{k} (x - a)^{k - m}}} .

Le polynôme $Q$ ainsi défini vérifie $Q (a) = c_{m} \neq 0$ (tous les autres termes contiennent un facteur $(x - a)$ nul en $a$ ). Donc $a$ est racine de multiplicité exactement $m$ .

$(⟹)$ Réciproquement, supposons $P = (x - a)^{m} Q$ avec $Q (a) \neq 0$ . Écrivons la formule de Taylor pour $Q$ en $a$ : $Q (x) = \sum_{j ⩾ 0} d_{j} (x - a)^{j}$ avec $d_{0} = Q (a) \neq 0$ . En multipliant par $(x - a)^{m}$ , on obtient

P (x) = \sum_{j ⩾ 0} d_{j} (x - a)^{j + m},

écriture de $P$ suivant les puissances de $x - a$ dans laquelle les coefficients de $(x - a)^{0}, \dots, (x - a)^{m - 1}$ sont nuls et celui de $(x - a)^{m}$ vaut $d_{0} \neq 0$ . Or l'écriture suivant les puissances de $x - a$ est unique (c'est l'identification des coefficients appliquée au polynôme $y \mapsto P (a + y)$ ), donc $c_{0} = \dots = c_{m - 1} = 0$ et $c_{m} = d_{0} \neq 0$ , c'est-à-dire $P (a) = \dots = P^{(m - 1)} (a) = 0$ et $P^{(m)} (a) \neq 0$ . $□$

Exemple

Retrouvons la multiplicité de $2$ dans $P (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 8$ , cette fois par les dérivées.

P^{'} (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x + 4, P^{''} (x) = 12 x^{2} - 30 x + 12, P^{'''} (x) = 24 x - 30.

On évalue en $2$ :

$P (2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0$ ;
$P^{'} (2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0$ ;
$P^{''} (2) = 48 - 60 + 12 = 0$ ;
$P^{'''} (2) = 48 - 30 = 18 \neq 0$ .

Les valeurs $P (2)$ , $P^{'} (2)$ et $P^{''} (2)$ sont nulles, et $P^{'''} (2) \neq 0$ : la multiplicité de $2$ vaut exactement $3$ . On retrouve le résultat obtenu par divisions successives, où l'on avait factorisé $P = (x - 2)^{3} (x + 1)$ .

Remarque

Laquelle des deux méthodes choisir ? Si l'on veut seulement connaître la multiplicité, les dérivées vont souvent plus vite, surtout si les coefficients sont simples. Si l'on veut en plus factoriser le polynôme, les divisions successives sont préférables, car elles fournissent gratuitement le quotient. Dans un exercice de concours, la question « montrer que $a$ est racine double » se traite en deux lignes avec les dérivées : $P (a) = 0$ , $P^{'} (a) = 0$ , $P^{''} (a) \neq 0$ .

Le cas des polynômes de degré 2

C'est la section la plus utilisée du chapitre, et probablement de l'année. Tout y est connu depuis la première, mais il faut le savoir parfaitement, y compris la forme canonique dont découle tout le reste.

Dans toute cette section, on considère le trinôme

P (x) = a x^{2} + b x + c, avec a, b, c r \overset{ˊ}{e} els et a \neq 0.

Forme canonique et discriminant

Propriété

Forme canonique. Pour tous réels $x$ ,

a x^{2} + b x + c = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}], o \overset{ˋ}{u} Δ = b^{2} - 4 a c .

Le réel $Δ$ s'appelle le discriminant du trinôme.

Démonstration. On met $a$ en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré :

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}] . \end{aligned}

La deuxième ligne utilise l'identité $x^{2} + \frac{b}{a} x = {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$ , et l'avant-dernière regroupe $- \frac{b^{2}}{4 a} + c = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}$ . $□$

Racines et factorisation

Propriété

Théorème (résolution de l'équation du second degré). Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ , et $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , $P$ admet deux racines réelles distinctes

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a},

et $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . 2. Si $Δ = 0$ , $P$ admet une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , et $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ . 3. Si $Δ < 0$ , $P$ n'admet aucune racine réelle, et $P (x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ .

Démonstration. Partons de la forme canonique $P (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]$ .

Cas $Δ > 0$ . On peut écrire $\frac{Δ}{4 a^{2}} = {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ , et la différence de deux carrés se factorise :

P (x) = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}) .

C'est exactement $a (x - x_{2}) (x - x_{1})$ . Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est, et $a \neq 0$ : les racines sont $x_{1}$ et $x_{2}$ , distinctes car $\sqrt{Δ} \neq 0$ .

Cas $Δ = 0$ . La forme canonique devient $P (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = a (x - x_{0})^{2}$ avec $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Le seul réel annulant ce produit est $x_{0}$ , et la factorisation montre que sa multiplicité vaut $2$ .

Cas $Δ < 0$ . Alors $- \frac{Δ}{4 a^{2}} > 0$ , donc la quantité entre crochets est somme d'un carré et d'un réel strictement positif : elle est strictement positive pour tout $x$ . Ainsi $P (x)$ est le produit de $a$ par un réel strictement positif : il ne s'annule jamais et il est du signe de $a$ . $□$

Remarque

Le cas $Δ < 0$ mérite une phrase de plus, car il est souvent mal formulé. Un trinôme de discriminant strictement négatif n'a pas de racine : il n'existe aucun réel $x$ tel que $P (x) = 0$ . Sa courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses, et son signe est constant sur $R$ , égal à celui de $a$ . C'est une excellente nouvelle en pratique : un tel facteur, dans une factorisation, se traite comme une constante du point de vue du signe.

Exemple

a. $P (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 3$ . On calcule $Δ = 5^{2} - 4 \times (- 2) \times (- 3) = 25 - 24 = 1 > 0$ , donc $\sqrt{Δ} = 1$ et

x_{1} = \frac{- 5 - 1}{- 4} = \frac{3}{2}, x_{2} = \frac{- 5 + 1}{- 4} = 1.

La factorisation est $P (x) = - 2 (x - 1) (x - \frac{3}{2})$ . Vérification : $- 2 (x - 1) (x - \frac{3}{2}) = - 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}) = - 2 x^{2} + 5 x - 3$ .

b. $Q (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ . On a $Δ = 36 - 36 = 0$ , donc une racine double $x_{0} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , et $Q (x) = 9 {(x - \frac{1}{3})}^{2}$ . Vérification : $9 {(x - \frac{1}{3})}^{2} = 9 (x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ . On reconnaît d'ailleurs $(3 x - 1)^{2}$ .

c. $R (x) = x^{2} + x + 1$ . On a $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ : pas de racine réelle, et $R (x) > 0$ pour tout réel $x$ , puisque $a = 1 > 0$ . La forme canonique le confirme : $R (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} ⩾ \frac{3}{4} > 0$ .

Signe du trinôme

Propriété

Signe d'un trinôme. Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , en notant $x_{1} < x_{2}$ les deux racines :

x

-\infty

x_1

x_2

+\infty

ax^2+bx+c

signe de

a

0

signe contraire de

a

0

signe de

a

Si $Δ = 0$ , en notant $x_{0}$ la racine double :

x

-\infty

x_0

+\infty

ax^2+bx+c

signe de

a

0

signe de

a

Si $Δ < 0$ :

x

-\infty

+\infty

ax^2+bx+c

signe de

a

La règle se résume en une phrase que l'on retient pour la vie : un trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines. Encore faut-il qu'il y ait deux racines pour qu'un « entre les racines » existe.

Démonstration. Dans le cas $Δ > 0$ , la factorisation donne $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Pour $x < x_{1}$ , les deux facteurs $x - x_{1}$ et $x - x_{2}$ sont négatifs, leur produit est positif, donc $P (x)$ est du signe de $a$ . Pour $x_{1} < x < x_{2}$ , le premier facteur est positif et le second négatif : le produit est négatif, et $P (x)$ est du signe de $- a$ . Pour $x > x_{2}$ , les deux facteurs sont positifs et $P (x)$ est du signe de $a$ . Dans le cas $Δ = 0$ , $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ avec $(x - x_{0})^{2} > 0$ dès que $x \neq x_{0}$ . Le cas $Δ < 0$ a été traité avec le théorème. $□$

Exemple

Résolvons l'inéquation $- 2 x^{2} + 5 x - 3 ⩾ 0$ . On a vu que $Δ = 1 > 0$ et que les racines sont $1$ et $\frac{3}{2}$ , avec $a = - 2 < 0$ . Le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles :

x

-\infty

1

\frac{3}{2}

+\infty

-2x^2+5x-3

-

0

+

0

-

L'ensemble des solutions est $S = [1, \frac{3}{2}]$ , les bornes étant incluses puisque l'inégalité est large.

Somme et produit des racines

Propriété

Somme et produit. Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ et $Δ ⩾ 0$ . En notant $x_{1}$ et $x_{2}$ ses racines (égales si $Δ = 0$ ), on a

s = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et p = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .

Démonstration. Première méthode, par les formules explicites :

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a},

x_{1} x_{2} = \frac{(- b - \sqrt{Δ}) (- b + \sqrt{Δ})}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} .

Seconde méthode, par identification : de $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a [x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}]$ , on tire $b = - a (x_{1} + x_{2})$ et $c = a x_{1} x_{2}$ . $□$

Propriété

Réciproque. Soient $s$ et $p$ deux réels. Deux réels ont pour somme $s$ et pour produit $p$ si et seulement s'ils sont racines du trinôme

x^{2} - s x + p .

De tels réels existent si et seulement si $s^{2} - 4 p ⩾ 0$ .

Démonstration. Si $u + v = s$ et $u v = p$ , alors $(x - u) (x - v) = x^{2} - (u + v) x + u v = x^{2} - s x + p$ , donc $u$ et $v$ sont racines de ce trinôme. Réciproquement, si $u$ et $v$ sont les racines de $x^{2} - s x + p$ , la propriété précédente appliquée à $a = 1$ , $b = - s$ , $c = p$ donne $u + v = s$ et $u v = p$ . L'existence de racines réelles équivaut à la condition $Δ = (- s)^{2} - 4 p = s^{2} - 4 p ⩾ 0$ . $□$

Exemple

a. Trouvons deux réels dont la somme vaut $7$ et le produit $12$ . Ce sont les racines de $x^{2} - 7 x + 12$ , de discriminant $Δ = 49 - 48 = 1$ , donc $\frac{7 - 1}{2} = 3$ et $\frac{7 + 1}{2} = 4$ . En effet $3 + 4 = 7$ et $3 \times 4 = 12$ .

b. Trouvons deux réels de somme $1$ et de produit $- 6$ : ce sont les racines de $x^{2} - x - 6$ , de discriminant $1 + 24 = 25$ , soit $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ . En effet $- 2 + 3 = 1$ et $- 2 \times 3 = - 6$ .

c. Existe-t-il deux réels de somme $2$ et de produit $5$ ? Ils seraient racines de $x^{2} - 2 x + 5$ , dont le discriminant vaut $4 - 20 = - 16 < 0$ : ce trinôme n'a pas de racine réelle, donc non, un tel couple de réels n'existe pas.

Méthode

Connaître le signe des racines sans les calculer. Soit un trinôme de discriminant $Δ ⩾ 0$ , de somme des racines $s$ et de produit $p$ .

Si $p < 0$ , les deux racines sont de signes contraires (et $Δ > 0$ automatiquement, car $p = \frac{c}{a} < 0$ entraîne $a c < 0$ donc $- 4 a c > 0$ puis $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ). Celle dont la valeur absolue est la plus grande a le signe de $s$ .
Si $p > 0$ , les deux racines ont le même signe, qui est celui de $s$ : toutes deux strictement positives si $s > 0$ , toutes deux strictement négatives si $s < 0$ .
Si $p = 0$ , alors $0$ est racine, et l'autre racine vaut $s$ .

Exemple

Soit $P (x) = 3 x^{2} - 5 x - 2$ . Son discriminant vaut $Δ = 25 + 24 = 49 > 0$ : il a deux racines. On a $p = \frac{- 2}{3} < 0$ , donc les racines sont de signes contraires, et $s = \frac{5}{3} > 0$ , donc la racine positive l'emporte en valeur absolue. On peut le confirmer par le calcul : $\sqrt{49} = 7$ , donc les racines sont $\frac{5 - 7}{6} = - \frac{1}{3}$ et $\frac{5 + 7}{6} = 2$ . C'est bien ce qui était annoncé, mais le raisonnement sur $s$ et $p$ n'a demandé aucun calcul de racine.

Équations bicarrées

Méthode

Résoudre une équation bicarrée. Une équation de la forme $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ (aucun terme de degré impair) se résout en posant $y = x^{2}$ :

Résoudre l'équation du second degré $a y^{2} + b y + c = 0$ .
Pour chaque solution $y_{0}$ obtenue, revenir à $x$ : si $y_{0} > 0$ , on obtient $x = \pm \sqrt{y_{0}}$ ; si $y_{0} = 0$ , on obtient $x = 0$ ; si $y_{0} < 0$ , aucune valeur de $x$ ne convient, car $x^{2} ⩾ 0$ .
Ne pas oublier l'étape $2$ : $y$ n'est pas l'inconnue de départ.

Exemple

Résolvons $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ . Posons $y = x^{2}$ : l'équation devient $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ , de discriminant $25 - 16 = 9$ , donc de racines $\frac{5 - 3}{2} = 1$ et $\frac{5 + 3}{2} = 4$ . On revient à $x$ : $x^{2} = 1$ donne $x = - 1$ ou $x = 1$ ; $x^{2} = 4$ donne $x = - 2$ ou $x = 2$ . L'ensemble des solutions est

S = {- 2, - 1, 1, 2} .

On en déduit au passage la factorisation

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2),

que l'on vérifie en développant : $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 4 = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ .

Exemple

Résolvons $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ . Avec $y = x^{2}$ : $y^{2} + y - 6 = 0$ , de discriminant $1 + 24 = 25$ , de racines $\frac{- 1 - 5}{2} = - 3$ et $\frac{- 1 + 5}{2} = 2$ . La valeur $y = - 3$ est à rejeter, car $x^{2} = - 3$ est impossible dans $R$ . Reste $x^{2} = 2$ , d'où $x = - \sqrt{2}$ ou $x = \sqrt{2}$ , et $S = {- \sqrt{2}, \sqrt{2}}$ . La factorisation correspondante est

x^{4} + x^{2} - 6 = (x^{2} + 3) (x^{2} - 2) = (x^{2} + 3) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}),

le facteur $x^{2} + 3$ n'ayant pas de racine réelle.

Factorisation dans $R [x]$

Le résultat général

Le programme demande d'énoncer, sans démonstration, le théorème qui décrit la forme générale d'une factorisation dans $R [x]$ . Le voici.

Propriété

Théorème de factorisation (admis). Tout polynôme non constant $P$ de $R [x]$ s'écrit comme le produit de son coefficient dominant, de facteurs de la forme $(x - a)^{m}$ et de trinômes de discriminant strictement négatif :

P (x) = λ (x - a_{1})^{m_{1}} \dots (x - a_{r})^{m_{r}} (x^{2} + β_{1} x + γ_{1}) \dots (x^{2} + β_{s} x + γ_{s}),

où $λ$ est le coefficient dominant de $P$ , les $a_{i}$ sont les racines réelles de $P$ , deux à deux distinctes, de multiplicités $m_{i}$ , et où chacun des trinômes $x^{2} + β_{j} x + γ_{j}$ a un discriminant strictement négatif. Cette écriture est unique, à l'ordre des facteurs près.

Remarque

Ce théorème dit deux choses. D'abord, qu'une factorisation « ne peut pas aller plus loin » : une fois arrivé à un produit de facteurs de degré $1$ et de trinômes sans racine, on s'arrête, aucun de ces trinômes n'étant un produit de deux facteurs de degré $1$ (s'il l'était, il aurait des racines). Ensuite, qu'une telle écriture existe toujours, ce qui n'est pas évident : c'est ce point qui est admis.

En comparant les degrés des deux membres, on obtient au passage la relation

\deg P = m_{1} + \dots + m_{r} + 2 s,

qui redonne la majoration de la section $5$ : la somme des multiplicités des racines réelles est au plus égale au degré, l'écart étant pair.

Propriété

Conséquence (admise). Tout polynôme de $R [x]$ de degré impair admet au moins une racine réelle.

Cela se lit directement sur le théorème : dans l'écriture ci-dessus, les trinômes contribuent chacun pour $2$ au degré. Si aucune racine réelle n'apparaissait, le degré vaudrait $2 s$ , qui est pair. Un polynôme de degré impair a donc au moins un facteur $(x - a)$ , c'est-à-dire au moins une racine réelle. (On peut aussi le voir par le théorème des valeurs intermédiaires, que vous verrez en analyse.)

Catalogue de méthodes

Méthode

Comment factoriser un polynôme. Il n'existe pas de méthode universelle, mais une liste de réflexes à parcourir dans l'ordre.

Mettre en facteur ce qui est visible : un $x$ commun, une constante, un groupement de termes.
Reconnaître une identité remarquable : $a^{2} - b^{2}$ , $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{3} + b^{3}$ .
Chercher une racine évidente : essayer $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ , puis les diviseurs du terme constant. Une racine trouvée donne un facteur $(x - a)$ , que l'on retire par division (Horner).
Changer de variable si le polynôme ne fait intervenir que des puissances régulières : $y = x^{2}$ pour une bicarrée.
Utiliser une multiplicité connue : si l'énoncé indique que $a$ est racine double, diviser deux fois par $(x - a)$ .
Terminer par le second degré : dès que le quotient est un trinôme, discriminant et factorisation.

Remarque

Pourquoi tester les diviseurs du terme constant ? Supposons que $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ soit à coefficients entiers et admette une racine entière $r$ . De $P (r) = 0$ on tire

a_{0} = - (a_{n} r^{n} + \dots + a_{1} r) = - r (a_{n} r^{n - 1} + \dots + a_{1}),

donc $r$ divise $a_{0}$ . Chercher une racine entière, c'est donc essayer les diviseurs (positifs et négatifs) du terme constant, et cette liste est courte. Attention : cela ne garantit pas qu'une racine entière existe, seulement qu'il n'y a rien à chercher ailleurs.

Exemple

1. Racine évidente puis division. Factorisons $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . Le terme constant est $6$ : les racines entières éventuelles sont à chercher parmi $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ . On essaie $1$ : $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . On divise par $(x - 1)$ (Horner : $1$ ; $- 1$ ; $- 6$ ; $0$ ), d'où $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ . Le trinôme a pour discriminant $25$ et pour racines $3$ et $- 2$ , donc

P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2) .

Exemple

2. Identités remarquables. Le réflexe le plus rentable.

a. $x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ . Le facteur $x^{2} + 4$ a pour discriminant $- 16 < 0$ : la factorisation est terminée.

b. $x^{4} + 4 x^{2} + 4 = (x^{2} + 2)^{2}$ , et $x^{2} + 2$ a pour discriminant $- 8 < 0$ : la factorisation est terminée. Ce polynôme n'a aucune racine réelle, ce qui se voit aussi directement puisque $(x^{2} + 2)^{2} ⩾ 4 > 0$ .

c. $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , et $x^{2} + 2 x + 4$ a pour discriminant $4 - 16 = - 12 < 0$ . Vérification : $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8$ .

Exemple

3. Les factorisations de $x^{n} - 1$ et $x^{n} - a^{n}$ . Pour tout entier $n ⩾ 1$ et tout réel $x$ , la somme géométrique vue au chapitre précédent donne

x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1),

et plus généralement, pour tout réel $a$ ,

x^{n} - a^{n} = (x - a) (x^{n - 1} + a x^{n - 2} + a^{2} x^{n - 3} + \dots + a^{n - 2} x + a^{n - 1}) = (x - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} x^{n - 1 - k} .

Vérification du principe sur $n = 3$ : $(x - a) (x^{2} + a x + a^{2}) = x^{3} + a x^{2} + a^{2} x - a x^{2} - a^{2} x - a^{3} = x^{3} - a^{3}$ . Ainsi $x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ , et $x^{4} - 81 = x^{4} - 3^{4} = (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27)$ — même si, sur ce dernier exemple, la double différence de carrés $(x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$ est plus efficace.

Exemple

4. Changement de variable. Voir les deux équations bicarrées traitées en section $7$ : $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ et $x^{4} + x^{2} - 6 = (x^{2} + 3) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})$ .

Exemple

5. Groupement de termes. Factorisons $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ . Les deux premiers termes ont $x^{2}$ en facteur, les deux derniers ont $- 1$ :

P (x) = x^{2} (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x^{2} - 1) = (x + 2) (x - 1) (x + 1) .

Vérification : $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ , puis $(x + 2) (x^{2} - 1) = x^{3} - x + 2 x^{2} - 2 = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ .

Exemple

6. Multiplicité connue. Nous avons établi en section $5$ que $2$ est racine de multiplicité $3$ de $P (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 8$ , ce qui donne directement

P (x) = (x - 2)^{3} (x + 1) .

Si un énoncé vous indique qu'un réel est racine double ou triple, ne cherchez pas plus loin : divisez autant de fois qu'annoncé.

Un exemple complet de degré 4

Exemple

Factorisons complètement $P (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 1$ , puis étudions son signe.

Recherche d'une racine évidente. Le terme constant vaut $1$ : les racines entières éventuelles sont $1$ et $- 1$ . On calcule

P (1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0.

Donc $1$ est racine, et $(x - 1)$ divise $P$ .

Première division. Horner en $a = 1$ avec les coefficients $1$ , $- 2$ , $2$ , $- 2$ , $1$ : on recopie $1$ ; $1 \times 1 - 2 = - 1$ ; $- 1 \times 1 + 2 = 1$ ; $1 \times 1 - 2 = - 1$ ; $- 1 \times 1 + 1 = 0$ . Le reste est nul, et

P (x) = (x - 1) (x^{3} - x^{2} + x - 1) .

Le quotient a-t-il encore $1$ pour racine ? En notant $Q (x) = x^{3} - x^{2} + x - 1$ , on a $Q (1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$ : oui, donc $1$ est racine de $P$ de multiplicité au moins $2$ .

Deuxième division. Horner en $a = 1$ avec $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ : on recopie $1$ ; $1 \times 1 - 1 = 0$ ; $0 \times 1 + 1 = 1$ ; $1 \times 1 - 1 = 0$ . Le reste est nul, et

Q (x) = (x - 1) (x^{2} + 1), donc P (x) = (x - 1)^{2} (x^{2} + 1) .

On aurait pu obtenir cette deuxième factorisation par groupement : $x^{3} - x^{2} + x - 1 = x^{2} (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 1)$ .

Arrêt. Le trinôme $x^{2} + 1$ a pour discriminant $Δ = 0 - 4 = - 4 < 0$ : il n'a pas de racine réelle, la factorisation est donc terminée. Au passage, la multiplicité de la racine $1$ vaut exactement $2$ , puisque $(x^{2} + 1)$ ne s'annule pas en $1$ .

Vérification. $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ , donc

(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} + 1) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 1 = P (x) .

Signe. Le facteur $(x - 1)^{2}$ est positif, nul seulement en $1$ ; le facteur $x^{2} + 1$ est strictement positif sur $R$ (discriminant négatif et coefficient dominant $1 > 0$ ). Donc $P$ est positif sur $R$ , et ne s'annule qu'en $1$ :

x

-\infty

1

+\infty

P(x)

+

0

+

Contrôle final. Une racine double de multiplicité $2$ et un trinôme sans racine : $2 + 2 = 4 = \deg P$ . Les degrés sont cohérents.

Exemple

Un second exemple, à quatre racines simples. Factorisons $P (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6$ et dressons son tableau de signes.

$P (1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$ : on divise par $(x - 1)$ . Horner avec $1$ , $- 1$ , $- 7$ , $1$ , $6$ : $1$ ; $0$ ; $- 7$ ; $- 6$ ; $0$ . Donc $P (x) = (x - 1) (x^{3} - 7 x - 6)$ .

Pour le cube, on essaie $- 1$ : $(- 1)^{3} - 7 \times (- 1) - 6 = - 1 + 7 - 6 = 0$ . Horner avec $1$ , $0$ , $- 7$ , $- 6$ en $a = - 1$ : $1$ ; $- 1$ ; $- 6$ ; $0$ . Donc $x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x^{2} - x - 6)$ , et le trinôme $x^{2} - x - 6$ , de discriminant $25$ , a pour racines $3$ et $- 2$ . Finalement

P (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2) .

Vérification : $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ et $(x - 3) (x + 2) = x^{2} - x - 6$ , donc le produit vaut $(x^{2} - 1) (x^{2} - x - 6) = x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} - x^{2} + x + 6 = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6$ .

Le coefficient dominant est $1 > 0$ , et les quatre racines simples, rangées dans l'ordre croissant, sont $- 2$ , $- 1$ , $1$ , $3$ . Le signe alterne à chaque racine simple, en partant du signe de $a$ à droite :

x

-\infty

-2

-1

1

3

+\infty

P(x)

+

0

-

0

+

0

-

0

+

Ainsi $P (x) ⩽ 0$ exactement sur $[- 2, - 1] \cup [1, 3]$ .

Ce qu'il faut retenir

Ce chapitre est un chapitre d'outils. On ne vous demandera presque jamais de réciter un de ses théorèmes ; on vous demandera en permanence de les utiliser, souvent au détour d'une question d'analyse ou d'algèbre. Voici donc l'essentiel sous la forme la plus opératoire possible.

Le tableau des réflexes

Ce qu'on cherche	Ce qu'on fait
Le degré d'une expression compliquée	On ajoute les degrés des facteurs, on multiplie par l'exposant, on se méfie des sommes où les termes dominants se compensent
Montrer qu'un polynôme est nul	On montre qu'il a plus de racines que son degré ne l'autorise
Montrer que deux polynômes sont égaux	On identifie les coefficients, ou on montre qu'ils coïncident en assez de points
Factoriser par $(x - a)$	On vérifie $P (a) = 0$ , puis on divise (Horner)
Trouver une racine « évidente »	On essaie $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ , puis les diviseurs du terme constant
Déterminer une multiplicité	Divisions successives par $(x - a)$ , ou dérivées : $P (a) = \dots = P^{(m - 1)} (a) = 0$ et $P^{(m)} (a) \neq 0$
Écrire $P$ suivant les puissances de $x - a$	Formule de Taylor, ou divisions successives par $(x - a)$
Étudier le signe d'un trinôme	Discriminant, racines, « du signe de $a$ sauf entre les racines »
Le signe des racines sans les calculer	Les signes de $s = - \frac{b}{a}$ et de $p = \frac{c}{a}$
Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$	Les racines de $x^{2} - s x + p$ , qui existent si $s^{2} - 4 p ⩾ 0$
Étudier le signe d'un polynôme de degré $⩾ 3$	On factorise complètement, puis tableau de signes ; les facteurs sans racine réelle sont de signe constant
Déterminer tous les $P$ vérifiant une relation	Analyse par le degré, puis identification, puis synthèse

Les erreurs classiques

Croire que $\deg (P + Q) = \max (\deg P, \deg Q)$ . C'est faux quand les degrés sont égaux et que les coefficients dominants sont opposés : $(x^{3} + x) + (- x^{3} + 1) = x + 1$ . L'énoncé correct comporte un $⩽$ .

Confondre racine et multiplicité. « $P$ a deux racines » et « $P$ a une racine double » sont deux affirmations différentes. Le théorème dit qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes ; c'est la somme des multiplicités qui est majorée par $n$ , ce qui est plus précis.

Croire qu'un trinôme sans racine change de signe. Si $Δ < 0$ , le trinôme garde le signe de $a$ sur $R$ tout entier. C'est même la raison pour laquelle un tel facteur ne perturbe jamais un tableau de signes : il se traite comme une constante.

Oublier le $k!$ dans la formule de Taylor. Le coefficient de $(x - a)^{k}$ est $\frac{P^{(k)} (a)}{k!}$ , pas $P^{(k)} (a)$ . Contrôle rapide : le terme constant doit être $P (a)$ et le terme de degré $1$ doit être $P^{'} (a) (x - a)$ .

Écrire une division euclidienne sans vérifier le degré du reste. Une égalité $A = B Q + R$ n'est pas une division euclidienne tant qu'on n'a pas vérifié $\deg R < \deg B$ . Sans cette condition, l'écriture n'a rien d'unique : par exemple $x^{2} = (x - 1) \times 0 + x^{2}$ est vraie, mais ne dit rien.

Oublier les monômes de coefficient nul en posant une division. Diviser $x^{4} + 1$ par $x^{2} - 1$ en écrivant seulement deux termes conduit immanquablement à une erreur : il faut écrire $x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 1$ .

Oublier de revenir à $x$ dans une équation bicarrée. Après avoir trouvé $y = 4$ , la réponse n'est pas $4$ : c'est $x = - 2$ ou $x = 2$ . Et une valeur strictement négative de $y$ ne fournit aucune solution.

Conclure trop vite qu'une factorisation est terminée. Tant qu'un facteur de degré $⩾ 3$ subsiste, ou qu'un trinôme de discriminant positif n'a pas été factorisé, le travail continue. Le contrôle final est toujours le même : la somme des degrés des facteurs doit valoir le degré du polynôme de départ, et un développement rapide doit redonner l'énoncé.

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Ce qu'il faut savoir faire

Polynômes et fonctions polynomiales

Définition et vocabulaire

Degré et coefficient dominant

Les ensembles Rn[x]

Égalité de deux polynômes

Opérations algébriques

Somme, produit par un réel, produit, composée

Degré d'une somme

Degré d'un produit et d'une composée

Division euclidienne, multiples et diviseurs

Le théorème de la division euclidienne

La division posée : la potence

Multiples et diviseurs

Division par x−a et schéma de Horner

Racines et nombre de racines

Racines et factorisation par x−a

Plusieurs racines distinctes

Le nombre de racines

Déterminer un polynôme soumis à des conditions

Ordre de multiplicité d'une racine

Définition

Déterminer une multiplicité par divisions successives

Somme des multiplicités

Dérivées successives et formule de Taylor

Dérivée d'un polynôme

Dérivées successives

La formule de Taylor pour un polynôme

Écrire un polynôme suivant les puissances de x−a

Caractérisation de la multiplicité par les dérivées

Le cas des polynômes de degré 2

Forme canonique et discriminant

Racines et factorisation

Signe du trinôme

Somme et produit des racines

Équations bicarrées

Factorisation dans R[x]

Le résultat général

Catalogue de méthodes

Un exemple complet de degré 4

Ce qu'il faut retenir

Le tableau des réflexes

Les erreurs classiques

Bloqué sur « Polynômes » ?

Les ensembles $R_{n} [x]$

Division par $x - a$ et schéma de Horner

Racines et factorisation par $x - a$

Écrire un polynôme suivant les puissances de $x - a$

Factorisation dans $R [x]$