Devoir surveillé — Suites de nombres réels

Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée : toutes les valeurs numériques utiles sont fournies dans les énoncés. La qualité de la rédaction, la vérification explicite des hypothèses avant l'emploi d'un théorème et la précision des interprétations entrent pour une part importante dans la notation. Le barème, donné question par question, porte sur un total de 20 points.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie se démontre ; une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple explicite, dont on vérifie qu'il satisfait bien toutes les hypothèses. Toutes les suites considérées sont des suites de nombres réels indexées par $\mathbb{N}$.

1. Si $(u_n)$ converge et si $(v_n)$ diverge, alors la suite $(u_n+v_n)$ diverge. (0,5 point)

2. Si $(u_n)$ est croissante, si $(v_n)$ est décroissante et si $u_n⩽v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, alors ces deux suites convergent. Ont-elles nécessairement la même limite ? (0,5 point)

3. Si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $u_n⩾n$ à partir d'un certain rang. (0,5 point)

4. Si $(u_n)$ est à termes strictement positifs et si ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, alors $\lim u_n=0$. On pourra commencer par traduire l'hypothèse à l'aide d'un intervalle ouvert bien choisi. (0,75 point)

5. Si tous les termes de $(u_n)$ sont des entiers relatifs et si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est constante à partir d'un certain rang. (0,5 point)

Un paysagiste pave une allée rectiligne de $1$ mètre de large et de $n$ mètres de long. Il ne dispose que de deux formats de dalles : des dalles carrées de $1$ mètre sur $1$ mètre, et des dalles rectangulaires de $1$ mètre sur $2$ mètres, qu'il pose toujours dans le sens de la longueur de l'allée. Les dalles sont posées bout à bout, sans découpe ni chevauchement, et elles recouvrent exactement l'allée.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $p_n$ le nombre de pavages différents d'une allée de longueur $n$. Deux pavages sont distincts dès que la suite des formats posés, lue depuis le début de l'allée, n'est pas la même. On convient de plus que $p_0=1$ : une allée de longueur nulle admet un unique pavage, celui qui n'utilise aucune dalle.

Données numériques. On donne :

$$\sqrt{5}\approx \mathrm{2,23607},{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}11}\approx \mathrm{199,0050}$$

1. Justifier que $p_1=1$, $p_2=2$ et $p_3=3$, en décrivant les pavages correspondants. (0,25 point)

2. Soit $n$ un entier naturel. En raisonnant sur le format de la dernière dalle posée, démontrer que

$$p_{n+2}=p_{n+1}+p_n$$

On vérifiera que la convention $p_0=1$ rend cette relation valable dès le rang $n=0$, puis on calculera $p_4$, $p_5$ et $p_6$. (0,75 point)

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$,

$${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n-1}⩽p_n⩽2^{n-1}$$

En déduire la limite de $(p_n)$, ainsi qu'un encadrement du nombre de pavages d'une allée de $11$ mètres par deux puissances que l'on ne calculera pas. (1 point)

4. Écrire l'équation caractéristique associée à la relation de récurrence, calculer son discriminant et démontrer qu'elle admet deux racines réelles distinctes, notées $r_1$ et $r_2$ avec $r_1>r_2$. Donner une valeur approchée de chacune à ${10}^{-4}$ près. (0,5 point)

5. Déterminer les deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $p_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ pour tout entier naturel $n$, et en déduire que

$$p_n={\displaystyle \frac{r_1^{n+1}-r_2^{n+1}}{\sqrt{5}}}$$

Vérifier cette formule sur $p_2$. (0,75 point)

6. On admet que $\mid {\displaystyle \frac{r_2^{n+1}}{\sqrt{5}}}\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer que $p_n$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle \frac{r_1^{n+1}}{\sqrt{5}}}$, puis calculer $p_{10}$ par cette méthode. Retrouver le résultat en poursuivant la relation de récurrence, et commenter. (0,75 point)

Une commune subventionne une association sportive et lui propose deux conventions, l'une et l'autre conclues pour quinze ans. Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $15$, on note $a_n$ et $b_n$ la subvention versée la $n$-ième année, en euros, selon la convention retenue.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $S_n$ et $T_n$ les subventions cumulées sur les $n$ premières années pour les conventions A et B respectivement. Les formules établies ci-dessous seront utilisées pour tout entier $n⩾1$, même au-delà de la quinzième année.

Données numériques. On donne :

$${\mathrm{1,08}}^2=\mathrm{1,1664},{\mathrm{1,08}}^7\approx \mathrm{1,71382},{\mathrm{1,08}}^8\approx \mathrm{1,85093}$$ $${\mathrm{1,08}}^{14}\approx \mathrm{2,93719},{\mathrm{1,08}}^{15}\approx \mathrm{3,17217},\ln (\mathrm{1,08})\approx \mathrm{0,07696},\ln (\mathrm{1,8})\approx \mathrm{0,58779}$$

1. Préciser la nature de chacune des deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, et donner l'expression de $b_n$ en fonction de $n$. Calculer $b_2$ et $b_3$, arrondis à l'euro. (0,5 point)

2. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, le premier rang $n$ à partir duquel la subvention annuelle de la convention B dépasse celle de la convention A. On justifiera soigneusement le sens de l'inégalité obtenue. (0,5 point)

3. Exprimer $S_n$ et $T_n$ en fonction de $n$, sans symbole de somme. Vérifier les deux formules pour $n=2$. (0,5 point)

4. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $d_n=T_n-S_n$. Démontrer que $d_n-d_{n-1}=b_n-9000$ pour tout $n⩾2$, puis en déduire, sans aucun calcul numérique, que $d_n<0$ pour tout $n⩽8$ et que $(d_n)$ est strictement croissante à partir du rang $8$. (0,5 point)

5. Calculer $d_{14}$ et $d_{15}$. En déduire le premier rang $n$ à partir duquel le cumul de la convention B dépasse celui de la convention A, et justifier qu'au-delà de ce rang l'avantage de B ne se perd plus jamais. Commenter, pour la commune, l'écart entre ce rang et celui trouvé à la question 2. (1 point)

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=1\text{et}{u}_{n+1}=\sqrt{u_n^2+3}\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}$$

Données numériques. On donne $\sqrt{31}\approx \mathrm{5,5678}$ et ${\mathrm{1,01}}^{10}\approx \mathrm{1,10462}$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, le terme $u_n$ est bien défini et $u_n>0$. Calculer $u_1$ et $u_2$ sous forme exacte. (0,5 point)

2. Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante. On comparera les carrés de deux termes consécutifs. (0,25 point)

3. On pose $v_n=u_n^2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique, préciser sa raison et son premier terme, puis en déduire que

$$u_n=\sqrt{3n+1}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

Vérifier cette formule sur $u_1$ et $u_2$. (0,75 point)

4. Déterminer la limite de $(u_n)$. À la fin de la question 2, que garantissait déjà le théorème de la limite monotone, et que ne garantissait-il pas ? (0,5 point)

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{u_n}{n}}}$, puis ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{u_{2n}}{u_n}}}$. Pour la seconde limite, on pourra utiliser une quantité conjuguée pour majorer $\mid {\displaystyle \frac{u_{2n}}{u_n}}-\sqrt{2}\mid$. Par combien faut-il alors multiplier le rang pour doubler le terme ? (0,75 point)

6. On pose $w_n={\mathrm{1,01}}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Comparer $u_{10}$ et $w_{10}$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{u_n}{w_n}}}$ en citant le résultat de croissances comparées utilisé. Commenter. (0,25 point)

Un épargnant place un capital initial $C_0=10000$ euros sur un produit financier dont le rendement alterne d'une année sur l'autre :

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ le capital disponible, en euros, à la fin de la $n$-ième année ; ainsi $C_0=10000$ est le capital avant le premier rendement. Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment, à l'exception de la dernière vérification de la question 7, qui utilise la question 3. La partie C reprend le cadre de la partie A, mais les relations dont elle a besoin y sont rappelées et admises.

Données numériques. On donne :

$${\mathrm{0,9}}^6\approx \mathrm{0,53144},{\mathrm{0,9}}^7\approx \mathrm{0,47830},{\mathrm{0,9}}^{10}\approx \mathrm{0,34868},{\mathrm{0,9}}^{11}\approx \mathrm{0,31381}$$ $${\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,33333}\text{et}\sqrt{\mathrm{0,9}}\approx \mathrm{0,94868}$$

Partie A. Le capital livré à lui-même

1. Calculer $C_1$, $C_2$, $C_3$ et $C_4$. Le capital a-t-il progressé au bout de quatre ans ? (0,25 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$,

$$C_{2n+1}=\mathrm{1,5}{C}_{2n}\text{et}{C}_{2n+2}=\mathrm{0,6}{C}_{2n+1}$$

puis en déduire que $C_{2n+2}=\mathrm{0,9}{C}_{2n}$. (0,5 point)

3. En déduire la nature de la suite $(C_{2n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$, puis l'expression de $C_{2n}$ et celle de $C_{2n+1}$ en fonction de $n$. (0,25 point)

4. Déterminer les limites des suites $(C_{2n})$ et $(C_{2n+1})$, puis conclure sur la limite de $(C_n)$ en citant précisément le critère utilisé. (0,5 point)

5. Un conseiller écrit dans sa plaquette : « ce placement rapporte en moyenne $5\mathrm{\%}$ par an ». Expliquer d'où vient ce chiffre, puis expliquer, à l'aide des questions précédentes, pourquoi cette phrase est trompeuse. (0,5 point)

6. Déterminer le premier rang $n$ pour lequel $C_n⩽5000$, puis le plus petit rang $N$ à partir duquel $C_k⩽5000$ pour tout $k⩾N$. Expliquer pourquoi ces deux rangs diffèrent. (0,75 point)

Partie B. Le taux annuel équivalent

On appelle taux annuel équivalent du placement le réel $t$ tel qu'un placement à taux constant $t$ donnerait, au bout de deux ans, le même capital : c'est donc le réel $t>-1$ vérifiant $(1+t{)}^2=\mathrm{1,5}\times \mathrm{0,6}$.

7. Déterminer $t$, en donner une valeur approchée en pourcentage à $\mathrm{0,01}$ près, et vérifier que $C_{2n}=C_0(1+t{)}^{2n}$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 point)

8. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement supérieurs à $-1$. On pose $m={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ et $x={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$. Vérifier que $a=m+x$ et $b=m-x$, puis démontrer que

$${(1+{\displaystyle \frac{a+b}{2}})}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}2}-(1+a)(1+b)={\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}2}$$

(0,75 point)

9. En déduire que $(1+a)(1+b)⩽{(1+{\displaystyle \frac{a+b}{2}})}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}2}$, avec égalité si et seulement si $a=b$, puis que le taux annuel équivalent des deux taux $a$ et $b$ vérifie toujours $t⩽{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$. Vérifier l'identité de la question 8 sur les valeurs $a=\mathrm{0,5}$ et $b=-\mathrm{0,4}$ du placement étudié. (0,5 point)

10. Après une année de gain de $50\mathrm{\%}$, quelle perte $b$ l'année suivante laisserait le capital exactement inchangé au bout de deux ans ? Comparer avec la moyenne arithmétique des deux taux correspondants. (0,25 point)

Partie C. Le même placement, alimenté chaque année

L'épargnant décide de verser en plus une somme fixe $V$ euros, avec $V>0$, à la fin de chaque année, après application du rendement. Le capital initial reste $C_0=10000$ euros, et l'alternance des rendements est inchangée.

11. Le raisonnement de la question 2 sur la parité de l'année donne, pour tout entier naturel $n$,

$$C_{2n+1}=\mathrm{1,5}{C}_{2n}+V\text{et}{C}_{2n+2}=\mathrm{0,6}{C}_{2n+1}+V$$

que l'on admet ici. En déduire que $C_{2n+2}=\mathrm{0,9}{C}_{2n}+\mathrm{1,6}V$, et expliquer pourquoi le coefficient du versement n'est pas $2V$. (0,5 point)

12. On pose $D_n=C_{2n}$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer par récurrence que

$$D_n={\mathrm{0,9}}^n{C}_0+16V(1-{\mathrm{0,9}}^n)\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

(0,75 point)

13. Déterminer $\lim D_n$, puis $\lim C_{2n+1}$. La suite $(C_n)$ converge-t-elle ? Que devient l'influence du capital initial $C_0$ ? (0,5 point)

14. On appelle point bas du capital à long terme la limite des termes de rang pair, et point haut la limite des termes de rang impair. Quel versement annuel $V$ maintient le point bas à $10000$ euros ? Que vaut alors le point haut ? Vérifier qu'avec ce versement et $C_0=10000$, la suite $(C_n)$ prend en fait exactement deux valeurs. (0,5 point)

15. Au bout de $2n$ années, l'épargnant a versé $2nV$ euros, somme qui tend vers $+\mathrm{\infty }$, alors que son capital reste borné. Où passe cet argent ? (0,25 point)