ECG appliquées · Chapitre 04 · Premier semestre

Suites de nombres réels

1re année

Suites arithmétiques, suites géométriques, récurrence linéaire d'ordre 2, convergence, comportements asymptotiques usuels.

Ce qu'il faut savoir faire

Suites arithmétiques
Suites géométriques
Récurrence linéaire d'ordre 2
Convergence
Comportements asymptotiques usuels

Vous connaissez déjà les suites. Le lycée vous a appris à reconnaître une suite arithmétique, à calculer le terme général d'une suite géométrique, à observer sur une calculatrice qu'une suite « semble se rapprocher » d'un nombre. Ce chapitre reprend tout cela, mais en change la nature : il ne s'agira plus d'observer, il s'agira de démontrer.

Deux raisons rendent ce chapitre incontournable. D'abord, la suite est l'outil de modélisation le plus naturel dès qu'une grandeur évolue par étapes : un capital placé qui produit des intérêts chaque année, un emprunt que l'on amortit mensualité après mensualité, une dépense publique dont les effets se propagent de vague en vague dans l'économie. Toutes ces situations s'écrivent $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , et vous saurez les résoudre à la fin de ce chapitre. Ensuite, la notion de limite apparaît ici pour la première fois : elle sera reprise pour les fonctions, puis pour les variables aléatoires au second semestre.

Le programme demande d'utiliser « autant que possible la représentation graphique des suites pour illustrer ou conjecturer leur comportement ». Prenez cette consigne au sérieux : un nuage de points ou une construction en escalier tracée au brouillon vous dira, en trente secondes, si la suite monte, si elle est majorée et vers quoi elle tend. La démonstration vient ensuite, mais elle vient toujours plus vite quand on sait où l'on va.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $n$ désigne toujours un entier naturel. On note $(u_{n})$ une suite réelle et $u_{n}$ son terme d'indice $n$ . Les lettres $ℓ$ , $r$ , $q$ , $a$ , $b$ désignent des réels. Le symbole $□$ marque la fin d'une démonstration.

Généralités sur les suites

Définition et notations

Définition

Une suite réelle est une application de $N$ dans $R$ , c'est-à-dire un procédé qui associe à chaque entier naturel $n$ un réel unique, noté $u_{n}$ .

Ce réel $u_{n}$ s'appelle le terme d'indice $n$ (ou terme de rang $n$ ) de la suite. La suite elle-même se note $(u_{n})_{n \in N}$ , ou plus simplement $(u_{n})$ .

Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain indice : la suite de terme général $\frac{1}{n}$ n'a pas de terme d'indice $0$ . On écrit alors $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ , et l'on précise toujours l'indice de départ.

Remarque

Une distinction de notation qui a l'air d'un détail, et qui n'en est pas un : $u_{n}$ est un nombre réel, alors que $(u_{n})$ est la suite tout entière, c'est-à-dire un objet global qui contient une infinité de nombres.

On dit donc « la suite $(u_{n})$ est croissante », et jamais « la suite $u_{n}$ est croissante » : un nombre réel ne peut pas être croissant. Les correcteurs de concours sanctionnent cette confusion, parce qu'elle révèle presque toujours un flou plus profond sur ce que l'on manipule.

Les trois modes de définition

Une suite peut être décrite de trois manières, qui n'offrent pas du tout les mêmes possibilités de calcul.

Définition

a. Par une formule explicite. Le terme $u_{n}$ est donné par une expression qui ne dépend que de $n$ :

u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

b. Par une relation de récurrence. On se donne le ou les premiers termes, et une relation qui exprime chaque terme à l'aide des précédents :

u_{0} = 1 et u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 pour tout n \in N

c. Par restriction aux entiers d'une fonction de variable réelle. On part d'une fonction $f$ définie sur $[0, + \infty [$ (ou sur $[n_{0}, + \infty [$ ) et l'on pose $u_{n} = f (n)$ :

f (x) = \frac{x}{x + 1} et u_{n} = f (n) = \frac{n}{n + 1}

Exemple

Calculons les premiers termes de chacune de ces trois suites.

a. Pour $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ , il suffit de remplacer $n$ par sa valeur :

u_{0} = \frac{1}{3}, u_{1} = \frac{3}{4}, u_{2} = \frac{5}{5} = 1, u_{3} = \frac{7}{6}

On peut obtenir $u_{100} = \frac{201}{103}$ immédiatement, sans calculer aucun terme intermédiaire.

b. Pour $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$ , il faut avancer pas à pas :

u_{1} = 3 \times 1 - 2 = 1, u_{2} = 3 \times 1 - 2 = 1, u_{3} = 1

Cette suite est constante, ce qui n'était pas visible sur la relation de récurrence. Nous verrons pourquoi dans la section consacrée aux suites arithmético-géométriques : $1$ est le point fixe de la relation.

c. Pour $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ :

u_{0} = 0, u_{1} = \frac{1}{2}, u_{2} = \frac{2}{3}, u_{3} = \frac{3}{4}

Remarque

La différence pratique entre le mode a et le mode b est considérable. Avec une formule explicite, on atteint n'importe quel terme d'un seul calcul, et l'on peut étudier la limite avec les outils de la section 5. Avec une relation de récurrence, obtenir $u_{100}$ demande cent calculs, et la limite n'est pas lisible sur la formule.

C'est pourquoi une bonne partie de ce chapitre consiste à transformer une définition par récurrence en formule explicite. Les sections 3 et 4 y parviennent complètement pour deux familles importantes. La section 8 traite le cas général, où la formule explicite n'existe pas, et où il faut ruser.

Suites majorées, minorées, bornées

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

$(u_{n})$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} ⩽ M$ pour tout $n$ . Un tel réel $M$ s'appelle un majorant de la suite.
$(u_{n})$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_{n} ⩾ m$ pour tout $n$ . Un tel réel $m$ s'appelle un minorant.
$(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Propriété

La suite $(u_{n})$ est bornée si, et seulement s'il existe un réel $M ⩾ 0$ tel que

∣ u_{n} ∣ ⩽ M pour tout n \in N

Démonstration. Si $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ pour tout $n$ , alors $- M ⩽ u_{n} ⩽ M$ : la suite est minorée par $- M$ et majorée par $M$ , donc bornée. Réciproquement, si $m ⩽ u_{n} ⩽ M^{'}$ pour tout $n$ , posons $M = \max (∣ m ∣, ∣ M^{'} ∣)$ . Alors $u_{n} ⩽ M^{'} ⩽ M$ et $u_{n} ⩾ m ⩾ - M$ , donc $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ . $□$

Exemple

a. La suite $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ vérifie $0 ⩽ u_{n} < 1$ pour tout $n$ : elle est bornée.

b. La suite $u_{n} = n^{2}$ est minorée par $0$ , mais elle n'est pas majorée : elle n'est pas bornée.

c. La suite $u_{n} = (- 1)^{n} n$ prend les valeurs $0$ , $- 1$ , $2$ , $- 3$ , $4$ , ... Elle n'est ni majorée ni minorée.

d. La suite $u_{n} = 2 + \frac{3 (- 1)^{n}}{n + 1}$ vérifie $∣ u_{n} - 2 ∣ = \frac{3}{n + 1} ⩽ 3$ , donc $- 1 ⩽ u_{n} ⩽ 5$ : elle est bornée. Nous la retrouverons en section 5, c'est la suite de la figure.

Remarque

Un majorant n'est jamais unique : si $M$ majore la suite, tout réel plus grand que $M$ la majore aussi. Il ne faut donc pas confondre majorant et maximum. La suite $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ est majorée par $1$ , mais elle n'atteint jamais la valeur $1$ : elle n'a pas de maximum. Dire « le majorant de la suite » n'a aucun sens ; on dit « un majorant ».

Monotonie

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ pour tout $n$ , et strictement croissante si $u_{n} < u_{n + 1}$ pour tout $n$ .
$(u_{n})$ est décroissante si $u_{n} ⩾ u_{n + 1}$ pour tout $n$ , et strictement décroissante si $u_{n} > u_{n + 1}$ pour tout $n$ .
$(u_{n})$ est monotone si elle est croissante ou décroissante, et constante si $u_{n} = u_{n + 1}$ pour tout $n$ .

Remarquez que la définition ne compare que des termes consécutifs. C'est suffisant : si $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ pour tout $n$ , alors en enchaînant les inégalités on obtient $u_{p} ⩽ u_{q}$ dès que $p ⩽ q$ .

Méthode

Étudier la monotonie d'une suite. Trois méthodes, à choisir selon la forme de la suite. Acquis depuis : expertes (terminale).

1. Le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ . On calcule cette différence, on la simplifie au maximum, et l'on étudie son signe. Cette méthode fonctionne toujours : c'est celle à tenter en premier, et la seule à connaître par cœur.

2. La comparaison de $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$ . Utilisable uniquement si tous les termes sont strictement positifs. Si le quotient est supérieur ou égal à $1$ , la suite est croissante ; s'il est inférieur ou égal à $1$ , elle est décroissante. Elle est commode quand $u_{n}$ est un produit, un quotient ou une puissance, car les simplifications y sont spectaculaires.

3. Les variations de la fonction associée. Utilisable uniquement si la suite est donnée sous forme explicite $u_{n} = f (n)$ . Si $f$ est croissante sur $[0, + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est croissante, et de même pour la décroissance.

Avant de choisir : vérifiez que l'hypothèse de la méthode est satisfaite. La méthode 2 appliquée à une suite de termes négatifs donne la conclusion inverse de la bonne.

Exemple

a. Par le signe de la différence. Soit $u_{n} = n^{2} - 5 n$ . Alors

u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1)^{2} - 5 (n + 1)] - [n^{2} - 5 n] = n^{2} + 2 n + 1 - 5 n - 5 - n^{2} + 5 n = 2 n - 4

Cette différence est strictement négative pour $n \in {0, 1}$ , nulle pour $n = 2$ , et strictement positive pour $n ⩾ 3$ . La suite décroît donc jusqu'au rang $2$ , puis croît. Les premiers termes le confirment :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$u_{n}$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6$	$- 4$	$0$	$6$

La suite $(u_{n})$ n'est donc pas monotone, mais elle est croissante à partir du rang $2$ .

b. Par le quotient. Soit $u_{n} = \frac{3^{n}}{n}$ pour $n ⩾ 1$ . Tous les termes sont strictement positifs, la méthode 2 s'applique :

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{3^{n + 1}}{n + 1} \times \frac{n}{3^{n}} = \frac{3 n}{n + 1}

Or $\frac{3 n}{n + 1} > 1$ équivaut à $3 n > n + 1$ , c'est-à-dire à $2 n > 1$ , ce qui est vrai pour tout $n ⩾ 1$ . La suite est donc strictement croissante.

c. Par la fonction associée. Soit $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ . Posons $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ sur $[0, + \infty [$ , de sorte que $u_{n} = f (n)$ . Cette fonction est dérivable et

f^{'} (x) = \frac{(x + 1) - x}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{(x + 1)^{2}} > 0

x

0

+\infty

f'(x)

+

f(x)

0

1

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , donc la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.

Remarque

Un piège très fréquent, sur lequel il faut être intraitable dès maintenant. La méthode 3 s'applique à une suite du type $u_{n} = f (n)$ , où $f$ est évaluée en l'indice. Elle ne s'applique jamais à une suite du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où $f$ est évaluée sur le terme précédent.

Ce sont deux situations totalement différentes. Dans le second cas, la croissance de $f$ ne donne pas la croissance de la suite : elle donne seulement sa monotonie, dont le sens dépend de la comparaison entre $u_{0}$ et $u_{1}$ . C'est l'objet de la section 8.

Propriété vraie à partir d'un certain rang

Définition

On dit qu'une propriété portant sur $n$ est vraie à partir d'un certain rang s'il existe un entier $n_{0}$ tel que la propriété soit vraie pour tout $n ⩾ n_{0}$ .

Cette formulation reviendra sans arrêt. Elle traduit une idée simple : pour la plupart des questions de ce chapitre, les premiers termes ne comptent pas. Si l'on modifie un nombre fini de termes d'une suite, on ne change ni sa nature (convergente ou divergente) ni sa limite, car les théorèmes de convergence ne regardent que le comportement « au bout ».

En revanche, la monotonie, elle, dépend de tous les termes : la suite $u_{n} = n^{2} - 5 n$ de l'exemple précédent est croissante à partir du rang $2$ , mais elle n'est pas croissante. Il faut donc écrire la restriction, et ne pas la passer sous silence.

Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ , appelé raison de la suite, tel que

u_{n + 1} = u_{n} + r pour tout n \in N

Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ . Pour tous entiers $n$ et $p$ :

u_{n} = u_{0} + n r et, plus généralement, u_{n} = u_{p} + (n - p) r

Démonstration. La somme $\sum_{k = 0}^{n - 1} (u_{k + 1} - u_{k})$ se télescope et vaut $u_{n} - u_{0}$ . Or chacun de ses $n$ termes vaut $r$ , donc $u_{n} - u_{0} = n r$ . La seconde formule s'obtient de la même manière en partant de l'indice $p$ . $□$

Méthode

Reconnaître une suite arithmétique. Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et vérifier que le résultat ne dépend pas de $n$ . Si la différence dépend de $n$ , la suite n'est pas arithmétique, et il est inutile d'insister. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Exemple

a. Soit $u_{n} = 5 - 3 n$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = [5 - 3 (n + 1)] - [5 - 3 n] = - 3$ . La suite est arithmétique de raison $- 3$ et de premier terme $u_{0} = 5$ .

b. Soit $u_{n} = n^{2}$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1$ , qui dépend de $n$ : la suite n'est pas arithmétique.

Le sens de variation se lit immédiatement sur la raison : si $r > 0$ la suite est strictement croissante, si $r < 0$ elle est strictement décroissante, si $r = 0$ elle est constante. Quant à la limite, elle vaut $+ \infty$ si $r > 0$ , $- \infty$ si $r < 0$ , et $u_{0}$ si $r = 0$ .

Sommes de termes d'une suite arithmétique

Propriété

Pour tout entier $n ⩾ 0$ :

\sum_{k = 0}^{n} k = \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

Démonstration. Notons $S = \sum_{k = 0}^{n} k$ . En écrivant la somme dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant et en ajoutant les deux lignes terme à terme, chaque colonne donne $n$ , et il y a $n + 1$ colonnes. Donc $2 S = n (n + 1)$ , d'où le résultat. $□$

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique et soient $p ⩽ n$ deux entiers. Alors

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = (n - p + 1) \times \frac{u_{p} + u_{n}}{2}

Sous forme parlée, à retenir ainsi : nombre de termes, multiplié par la moyenne des termes extrêmes.

Démonstration. Écrivons $u_{k} = u_{p} + (k - p) r$ et sommons :

\begin{aligned} \sum_{k = p}^{n} u_{k} & = \sum_{k = p}^{n} (u_{p} + (k - p) r) \\ = (n - p + 1) u_{p} + r \sum_{k = p}^{n} (k - p) \\ = (n - p + 1) u_{p} + r \times \frac{(n - p) (n - p + 1)}{2} \end{aligned}

Par ailleurs $\frac{u_{p} + u_{n}}{2} = \frac{2 u_{p} + (n - p) r}{2} = u_{p} + \frac{(n - p) r}{2}$ . En multipliant cette quantité par $(n - p + 1)$ , on retrouve exactement la ligne précédente. $□$

Exemple

Soit $u_{n} = 3 + 4 n$ , suite arithmétique de raison $4$ . Calculons $\sum_{k = 0}^{10} u_{k}$ .

Il y a $10 - 0 + 1 = 11$ termes. Les extrêmes sont $u_{0} = 3$ et $u_{10} = 3 + 40 = 43$ . Donc

\sum_{k = 0}^{10} u_{k} = 11 \times \frac{3 + 43}{2} = 11 \times 23 = 253

Remarque

L'erreur classique sur ces sommes est le nombre de termes. De l'indice $p$ à l'indice $n$ , il y a $n - p + 1$ termes, et non $n - p$ . Le contrôle est immédiat : de $3$ à $8$ , il y a $8 - 3 + 1 = 6$ entiers, et l'on peut les compter sur ses doigts. Prenez l'habitude de vérifier ce nombre à chaque fois : c'est le point où se perdent le plus de points aux concours.

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est géométrique s'il existe un réel $q$ , appelé raison de la suite, tel que

u_{n + 1} = q u_{n} pour tout n \in N

Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q$ . Pour tous entiers $n$ et $p$ :

u_{n} = u_{0} q^{n} et, plus généralement, u_{n} = u_{p} q^{n - p}

Méthode

Reconnaître une suite géométrique. Si tous les termes sont non nuls, calculer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ et vérifier que le résultat ne dépend pas de $n$ . Acquis depuis : première (ens. scient.).

Exemple

Soit $u_{n} = \frac{2^{n + 1}}{3^{n}}$ . On peut répondre de deux façons.

Par le quotient : $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 2}}{3^{n + 1}} \times \frac{3^{n}}{2^{n + 1}} = \frac{2}{3}$ , constant.

Par réécriture directe : $u_{n} = 2 \times \frac{2^{n}}{3^{n}} = 2 {(\frac{2}{3})}^{n}$ , ce qui donne immédiatement $u_{0} = 2$ et $q = \frac{2}{3}$ .

Somme des puissances d'une raison

Propriété

Soit $q$ un réel. Pour tout entier $n ⩾ 0$ :

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} si q \neq 1, et \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = n + 1 si q = 1

Démonstration. Supposons $q \neq 1$ et notons $S = \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ . Alors

(1 - q) S = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} - \sum_{k = 0}^{n} q^{k + 1} = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k} = q^{0} - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1}

la somme s'étant télescopée. Comme $q \neq 1$ , on peut diviser par $1 - q$ . Si $q = 1$ , tous les termes valent $1$ et il y en a $n + 1$ . $□$

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ , et soient $p ⩽ n$ . Alors

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = u_{p} \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}

Sous forme parlée : premier terme de la somme, multiplié par $\frac{1 - q^{nombre de termes}}{1 - q}$ .

Exemple

a. $\sum_{k = 0}^{9} 2^{k} = \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1023$ .

b. $\sum_{k = 3}^{8} 2^{k}$ comporte $8 - 3 + 1 = 6$ termes, le premier étant $2^{3} = 8$ . Donc

\sum_{k = 3}^{8} 2^{k} = 8 \times \frac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 8 \times 63 = 504

Vérification directe : $8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 504$ .

c. $\sum_{k = 0}^{5} {(\frac{1}{2})}^{k} = \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - \frac{1}{64}) = 2 - \frac{1}{32} = 1,96875$ .

Limites des suites géométriques

Propriété

Soit $q$ un réel. Les résultats suivants sont admis.

Si $q > 1$ , alors $q^{n} ⟶ + \infty$ .
Si $q = 1$ , alors $q^{n} = 1$ pour tout $n$ , donc $q^{n} ⟶ 1$ .
Si $- 1 < q < 1$ , alors $q^{n} ⟶ 0$ .
Si $q ⩽ - 1$ , alors $(q^{n})$ n'a pas de limite : les termes changent de signe indéfiniment.

Retenez la frontière : c'est $∣ q ∣ < 1$ qui fait tendre $q^{n}$ vers $0$ . Une raison négative de valeur absolue inférieure à $1$ , comme $q = - 0,9$ , donne bien une suite qui tend vers $0$ , en alternant de signe.

Méthode

Déterminer un rang à partir duquel $q^{n}$ est inférieur à une précision donnée (avec $0 < q < 1$ ).

Écrire l'inéquation, par exemple $q^{n} ⩽ 10^{- 3}$ .
Appliquer $\ln$ aux deux membres. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ : l'inégalité est conservée. On utilise ensuite $\ln (q^{n}) = n \ln q$ .
Regarder le signe de $\ln q$ avant de diviser. Comme $0 < q < 1$ , on a $\ln q < 0$ : en divisant par $\ln q$ , l'inégalité change de sens.
Conclure par le plus petit entier convenable, et vérifier numériquement à ce rang et au rang précédent.

Exemple

Cherchons le plus petit entier $n$ tel que ${0,8}^{n} ⩽ 10^{- 3}$ .

{0,8}^{n} ⩽ 10^{- 3} ⟺ n \ln (0,8) ⩽ - 3 \ln 10

Or $\ln (0,8) \approx - 0,2231 < 0$ . En divisant par ce nombre négatif, l'inégalité se retourne :

n ⩾ \frac{- 3 \ln 10}{\ln (0,8)} = \frac{3 \ln 10}{- \ln (0,8)} \approx 30,96

Le plus petit entier convenable est donc $n = 31$ . Vérifions : ${0,8}^{30} \approx 1,238 \times 10^{- 3}$ , qui est supérieur à $10^{- 3}$ , tandis que ${0,8}^{31} \approx 9,90 \times 10^{- 4}$ , qui convient.

Un exemple financier : les intérêts composés

Exemple

Un capital de $10 000$ euros est placé au taux annuel de $3 %$ , les intérêts étant capitalisés chaque année. Notons $C_{n}$ le capital disponible au bout de $n$ années.

Modélisation. Chaque année, le capital est augmenté de $3 %$ de sa valeur, donc multiplié par $1,03$ :

C_{n + 1} = C_{n} + 0,03 C_{n} = 1,03 \times C_{n}

La suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $C_{0} = 10 000$ , d'où

C_{n} = 10 000 \times {1,03}^{n}

Valeurs. $C_{1} = 10 300$ , $C_{2} = 10 609$ , $C_{3} = 10 927,27$ , et $C_{10} = 10 000 \times {1,03}^{10} \approx 13 439,16$ euros.

Temps de doublement. Cherchons le nombre d'années au bout duquel le capital a doublé :

{1,03}^{n} ⩾ 2 ⟺ n \ln (1,03) ⩾ \ln 2

Ici $\ln (1,03) \approx 0,02956 > 0$ : l'inégalité ne change pas de sens quand on divise. Donc

n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln (1,03)} \approx 23,45

Il faut donc $24$ années. Vérification : ${1,03}^{23} \approx 1,974 < 2$ et ${1,03}^{24} \approx 2,033 ⩾ 2$ .

Comparez avec l'exemple précédent : c'est le même calcul, mais le sens de l'inégalité finale y était inversé parce que $\ln (0,8)$ est négatif alors que $\ln (1,03)$ est positif. C'est exactement le point où l'on se trompe.

Exemple

Le multiplicateur keynésien. L'État injecte $100$ millions d'euros dans l'économie. Les bénéficiaires en consomment une proportion $c = 0,8$ , ce qui crée une deuxième vague de revenus de $80$ millions, dont $80 %$ sont à leur tour consommés, et ainsi de suite. La vague d'indice $k$ vaut $100 \times {0,8}^{k}$ millions.

Le revenu total créé après $n + 1$ vagues est

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} 100 \times {0,8}^{k} = 100 \times \frac{1 - {0,8}^{n + 1}}{1 - 0,8} = 500 (1 - {0,8}^{n + 1})

Après onze vagues : $S_{10} = 500 (1 - {0,8}^{11}) \approx 457,05$ millions.

Comme $0 < 0,8 < 1$ , on a ${0,8}^{n + 1} ⟶ 0$ , donc $S_{n} ⟶ 500$ . L'effet total de l'injection vaut $\frac{100}{1 - 0,8} = 500$ millions : le multiplicateur vaut $\frac{1}{1 - c} = 5$ .

Remarque

Une précaution de rédaction sur l'exemple précédent. Nous avons calculé la limite de la suite $(S_{n})$ , chaque $S_{n}$ étant une somme d'un nombre fini de termes. Nous n'avons à aucun moment écrit une somme comportant une infinité de termes : une telle écriture n'a pas encore de sens à ce stade de l'année, et elle sera définie plus tard. Écrivez donc toujours $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = 500$ , et jamais autre chose.

Suites arithmético-géométriques

Définition et position du problème

Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que

u_{n + 1} = a u_{n} + b pour tout n \in N

Deux cas sont déjà connus : si $b = 0$ , la suite est géométrique de raison $a$ ; si $a = 1$ , elle est arithmétique de raison $b$ . Le cas intéressant est donc $a \neq 1$ et $b \neq 0$ , et c'est celui que traite cette section.

Le problème est le suivant : la suite n'est ni arithmétique (la différence $u_{n + 1} - u_{n} = (a - 1) u_{n} + b$ dépend de $n$ ) ni géométrique (le quotient n'est pas constant). Aucune des deux formules de la section précédente ne s'applique. L'idée qui débloque tout consiste à décaler la suite pour se ramener à une suite géométrique.

Le point fixe

Cherchons s'il existe une suite constante égale à un réel $c$ qui vérifie la même relation de récurrence. Une telle suite satisferait $c = a c + b$ , c'est-à-dire $c (1 - a) = b$ . Comme $a \neq 1$ , cette équation a une solution unique.

Définition

Soit $a \neq 1$ . Le point fixe de la relation $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ est l'unique réel $c$ vérifiant $c = a c + b$ , c'est-à-dire

c = \frac{b}{1 - a}

Propriété

Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ , et soit $c = \frac{b}{1 - a}$ . Alors la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} - c$ est géométrique de raison $a$ . Par conséquent

u_{n} = (u_{0} - c) a^{n} + c pour tout n \in N

Démonstration. Le calcul tient en trois lignes, et il faut savoir le refaire, car les énoncés de concours demandent presque toujours de le rédiger.

v_{n + 1} = u_{n + 1} - c = a u_{n} + b - c

Or $c$ vérifie $c = a c + b$ , donc $b - c = - a c$ . En reportant :

v_{n + 1} = a u_{n} - a c = a (u_{n} - c) = a v_{n}

La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $a$ , d'où $v_{n} = v_{0} a^{n} = (u_{0} - c) a^{n}$ , puis $u_{n} = v_{n} + c$ . $□$

Méthode

Résoudre une récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ . Quatre étapes, toujours les mêmes.

Chercher le point fixe : résoudre l'équation $c = a c + b$ . On trouve $c = \frac{b}{1 - a}$ , ce qui est licite puisque $a \neq 1$ .
Poser $v_{n} = u_{n} - c$ et démontrer que $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ . Ne vous contentez pas de l'affirmer : le calcul est court, refaites-le.
Écrire $v_{n} = v_{0} a^{n}$ , puis revenir à la suite de départ par $u_{n} = v_{n} + c$ .
Vérifier la formule obtenue sur $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ , en comparant avec les valeurs données par la récurrence. Cette vérification prend vingt secondes et attrape la quasi-totalité des erreurs de signe.

Exemple

Traitons entièrement la suite définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

1. Point fixe. On résout $c = \frac{1}{2} c + 3$ , soit $\frac{1}{2} c = 3$ , donc $c = 6$ .

2. La suite auxiliaire. Posons $v_{n} = u_{n} - 6$ . Alors

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} u_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}

La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , de premier terme $v_{0} = u_{0} - 6 = - 4$ .

3. Forme explicite. On en déduit $v_{n} = - 4 {(\frac{1}{2})}^{n}$ , puis

u_{n} = 6 - 4 {(\frac{1}{2})}^{n}

4. Vérification. La récurrence donne $u_{0} = 2$ , $u_{1} = \frac{1}{2} \times 2 + 3 = 4$ , $u_{2} = \frac{1}{2} \times 4 + 3 = 5$ , $u_{3} = \frac{1}{2} \times 5 + 3 = 5,5$ . La formule donne $6 - 4 = 2$ , puis $6 - 2 = 4$ , puis $6 - 1 = 5$ , puis $6 - 0,5 = 5,5$ . Les deux coïncident.

Limite. Comme $∣ \frac{1}{2} ∣ < 1$ , on a ${(\frac{1}{2})}^{n} ⟶ 0$ , donc $u_{n} ⟶ 6$ . La suite converge vers le point fixe, en croissant.

Le cas $a = 1$

Si $a = 1$ , la relation s'écrit $u_{n + 1} = u_{n} + b$ : la suite est arithmétique de raison $b$ , et l'on a directement $u_{n} = u_{0} + n b$ . Il ne faut surtout pas chercher de point fixe dans ce cas : l'équation $c = c + b$ n'a aucune solution quand $b \neq 0$ .

Géométriquement, cela se comprend bien : le point fixe est l'abscisse du point d'intersection de la droite d'équation $y = a x + b$ avec la droite $y = x$ . Quand $a = 1$ , ces deux droites sont parallèles et ne se coupent pas.

Comportement selon la valeur de $a$

Propriété

Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ , et $c = \frac{b}{1 - a}$ . On sait que $u_{n} = (u_{0} - c) a^{n} + c$ . Le comportement se lit alors directement sur $a$ .

Si $∣ a ∣ < 1$ : $a^{n} ⟶ 0$ , donc $u_{n} ⟶ c$ . La suite converge vers le point fixe, quel que soit $u_{0}$ .
Si $a > 1$ : ou bien $u_{0} = c$ et la suite est constante, ou bien elle diverge vers $+ \infty$ (si $u_{0} > c$ ) ou vers $- \infty$ (si $u_{0} < c$ ).
Si $a = - 1$ : $u_{n} = (u_{0} - c) (- 1)^{n} + c$ prend alternativement deux valeurs. Elle n'a pas de limite dès que $u_{0} \neq c$ .
Si $a < - 1$ : la suite oscille avec une amplitude qui croît indéfiniment, et n'a pas de limite (sauf si $u_{0} = c$ ).

Exemple

Un plan d'épargne. Un capital initial de $2 000$ euros est placé au taux annuel de $4 %$ , et l'on ajoute $500$ euros à la fin de chaque année. Notons $C_{n}$ le capital après $n$ années :

C_{0} = 2 000 et C_{n + 1} = 1,04 C_{n} + 500

1. Point fixe. On résout $c = 1,04 c + 500$ , soit $- 0,04 c = 500$ , donc $c = - 12 500$ .

2. Suite auxiliaire. Posons $v_{n} = C_{n} + 12 500$ . Alors

v_{n + 1} = C_{n + 1} + 12 500 = 1,04 C_{n} + 500 + 12 500 = 1,04 (C_{n} + 12 500) = 1,04 v_{n}

en utilisant $1,04 \times 12 500 = 13 000 = 500 + 12 500$ . La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $1,04$ , avec $v_{0} = 14 500$ .

3. Forme explicite. $C_{n} = 14 500 \times {1,04}^{n} - 12 500$ .

4. Vérification. La récurrence donne $C_{1} = 1,04 \times 2 000 + 500 = 2 580$ et $C_{2} = 1,04 \times 2 580 + 500 = 3 183,20$ . La formule donne $14 500 \times 1,04 - 12 500 = 15 080 - 12 500 = 2 580$ , puis $14 500 \times 1,0816 - 12 500 = 15 683,20 - 12 500 = 3 183,20$ . Les deux coïncident.

Application. Au bout de dix ans : $C_{10} = 14 500 \times {1,04}^{10} - 12 500 \approx 21 463,54 - 12 500 \approx 8 963,54$ euros.

Remarque

Cet exemple contient un avertissement précieux. Le point fixe vaut ici $- 12 500$ euros, ce qui n'a aucun sens financier : le capital ne sera jamais négatif, et il ne tend pas vers $- 12 500$ . Comme $a = 1,04 > 1$ , la suite tend en réalité vers $+ \infty$ .

Le point fixe n'est pas la limite : c'est un intermédiaire de calcul, le décalage exact qui transforme la suite en suite géométrique. Il ne coïncide avec la limite que dans le cas $∣ a ∣ < 1$ . Confondre les deux est l'erreur la plus répandue de ce chapitre, et nous la retrouverons en section 8 sous une forme plus dangereuse encore.

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $b \neq 0$ . Une suite $(u_{n})$ vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants si

u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n} pour tout n \in N

Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses deux premiers termes $u_{0}$ et $u_{1}$ .

On suppose $b \neq 0$ pour que la relation soit réellement d'ordre $2$ : si $b = 0$ , elle se réduit à $u_{n + 2} = a u_{n + 1}$ , c'est-à-dire à une suite géométrique à partir du rang $1$ .

D'où vient l'équation caractéristique

La méthode ne tombe pas du ciel : elle vient d'une question naturelle. Existe-t-il des suites géométriques qui vérifient cette relation ? Cherchons donc $u_{n} = r^{n}$ avec $r \neq 0$ . La relation s'écrit

r^{n + 2} = a r^{n + 1} + b r^{n}

Comme $r \neq 0$ , on peut diviser les deux membres par $r^{n}$ , et il reste $r^{2} = a r + b$ . Toute l'étude repose sur cette équation du second degré.

Définition

L'équation caractéristique associée à la relation $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ est

r^{2} = a r + b, c’est-à-dire r^{2} - a r - b = 0

Son discriminant vaut $Δ = a^{2} + 4 b$ .

Propriété

On note $λ$ et $μ$ des constantes réelles.

Cas 1 : $Δ > 0$ . L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ . Les suites vérifiant la relation sont exactement celles de la forme

u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}

Cas 2 : $Δ = 0$ . L'équation caractéristique a une racine double $r_{0} = \frac{a}{2}$ , non nulle. Les suites vérifiant la relation sont exactement celles de la forme

u_{n} = (λ + μ n) r_{0}^{n}

Dans les deux cas, les constantes $λ$ et $μ$ sont déterminées de manière unique par les valeurs de $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Justification. Vérifions d'abord que ces formules conviennent, ce qui est un simple calcul.

Dans le cas 1, comme $r_{1}$ et $r_{2}$ sont racines, on a $r_{1}^{2} = a r_{1} + b$ et $r_{2}^{2} = a r_{2} + b$ . Donc, pour la suite $u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ :

\begin{aligned} u_{n + 2} & = λ r_{1}^{n} r_{1}^{2} + μ r_{2}^{n} r_{2}^{2} \\ = λ r_{1}^{n} (a r_{1} + b) + μ r_{2}^{n} (a r_{2} + b) \\ = a (λ r_{1}^{n + 1} + μ r_{2}^{n + 1}) + b (λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}) \\ = a u_{n + 1} + b u_{n} \end{aligned}

Dans le cas 2, le discriminant est nul, donc $a^{2} + 4 b = 0$ , ce qui donne $b = - \frac{a^{2}}{4}$ , et la racine double vaut $r_{0} = \frac{a}{2}$ . Autrement dit $a = 2 r_{0}$ et $b = - r_{0}^{2}$ . Vérifions alors que la suite $w_{n} = n r_{0}^{n}$ convient :

\begin{aligned} a w_{n + 1} + b w_{n} & = 2 r_{0} \times (n + 1) r_{0}^{n + 1} - r_{0}^{2} \times n r_{0}^{n} \\ = 2 (n + 1) r_{0}^{n + 2} - n r_{0}^{n + 2} \\ = (n + 2) r_{0}^{n + 2} = w_{n + 2} \end{aligned}

La suite $(r_{0}^{n})$ convient également puisque $r_{0}$ est racine, et toute combinaison des deux aussi.

Reste l'unicité. Deux suites qui vérifient la même relation d'ordre 2 et qui ont les mêmes deux premiers termes sont égales : une récurrence immédiate le montre, puisque chaque terme est calculé à partir des deux précédents. Il suffit donc de vérifier que le couple $(λ, μ)$ est déterminé sans ambiguïté par $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Dans le cas 1, le système s'écrit $λ + μ = u_{0}$ et $λ r_{1} + μ r_{2} = u_{1}$ ; en soustrayant $r_{1}$ fois la première équation à la seconde, on obtient $μ (r_{2} - r_{1}) = u_{1} - r_{1} u_{0}$ , ce qui détermine $μ$ puisque $r_{1} \neq r_{2}$ , puis $λ = u_{0} - μ$ .

Dans le cas 2, le système s'écrit $λ = u_{0}$ et $(λ + μ) r_{0} = u_{1}$ , ce qui donne $μ = \frac{u_{1}}{r_{0}} - u_{0}$ , puisque $r_{0} \neq 0$ . $□$

Méthode

Trouver la forme explicite d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

Écrire l'équation caractéristique $r^{2} = a r + b$ , sous la forme $r^{2} - a r - b = 0$ . Attention aux signes : ils sont responsables de la moitié des erreurs.
Calculer le discriminant $Δ = a^{2} + 4 b$ et déterminer les racines.
Écrire la forme générale : $λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ si $Δ > 0$ , et $(λ + μ n) r_{0}^{n}$ si $Δ = 0$ .
Traduire $u_{0}$ et $u_{1}$ en un système de deux équations d'inconnues $λ$ et $μ$ , puis le résoudre.
Vérifier sur $u_{2}$ , calculé d'un côté par la récurrence et de l'autre par la formule.

Exemple

Cas de deux racines distinctes. Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ .

1 et 2. Ici $a = 5$ et $b = - 6$ . L'équation caractéristique est $r^{2} = 5 r - 6$ , soit $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ . Son discriminant vaut $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ , et ses racines sont

r_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 et r_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2

3. Il existe donc $λ$ et $μ$ tels que $u_{n} = λ 3^{n} + μ 2^{n}$ pour tout $n$ .

4. Les deux premiers termes donnent le système

λ + μ = 0 et 3 λ + 2 μ = 1

La première équation donne $μ = - λ$ ; en reportant dans la seconde, $3 λ - 2 λ = 1$ , donc $λ = 1$ et $μ = - 1$ . Ainsi

u_{n} = 3^{n} - 2^{n}

5. Vérification. La formule donne $u_{2} = 9 - 4 = 5$ et $u_{3} = 27 - 8 = 19$ . La récurrence donne $u_{2} = 5 \times 1 - 6 \times 0 = 5$ et $u_{3} = 5 \times 5 - 6 \times 1 = 19$ . Tout concorde.

Comportement. En factorisant par le terme le plus grand, $u_{n} = 3^{n} (1 - {(\frac{2}{3})}^{n})$ . La parenthèse tend vers $1$ et $3^{n} ⟶ + \infty$ , donc $u_{n} ⟶ + \infty$ .

Exemple

Cas d'une racine double. Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 6$ et $u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 4 u_{n}$ .

1 et 2. Ici $a = 4$ et $b = - 4$ . L'équation caractéristique est $r^{2} - 4 r + 4 = 0$ , de discriminant $Δ = 16 - 16 = 0$ . Elle admet la racine double $r_{0} = \frac{4}{2} = 2$ .

3. Il existe donc $λ$ et $μ$ tels que $u_{n} = (λ + μ n) 2^{n}$ .

4. Pour $n = 0$ : $u_{0} = λ = 1$ . Pour $n = 1$ : $u_{1} = (1 + μ) \times 2 = 6$ , donc $1 + μ = 3$ et $μ = 2$ . Ainsi

u_{n} = (1 + 2 n) 2^{n}

5. Vérification. La formule donne $u_{2} = 5 \times 4 = 20$ et $u_{3} = 7 \times 8 = 56$ . La récurrence donne $u_{2} = 4 \times 6 - 4 \times 1 = 20$ et $u_{3} = 4 \times 20 - 4 \times 6 = 56$ . Tout concorde.

Exemple

Cas de deux racines de signes contraires. Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ , $u_{1} = 0$ et $u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2 u_{n}$ .

Ici $a = 1$ et $b = 2$ , l'équation caractéristique est $r^{2} - r - 2 = 0$ , de discriminant $Δ = 1 + 8 = 9$ . Les racines sont $r_{1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ et $r_{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$ .

Donc $u_{n} = λ 2^{n} + μ (- 1)^{n}$ , avec $λ + μ = 3$ et $2 λ - μ = 0$ . La seconde équation donne $μ = 2 λ$ , d'où $3 λ = 3$ , donc $λ = 1$ et $μ = 2$ :

u_{n} = 2^{n} + 2 (- 1)^{n}

Vérification : la formule donne $u_{2} = 4 + 2 = 6$ et $u_{3} = 8 - 2 = 6$ ; la récurrence donne $u_{2} = 0 + 2 \times 3 = 6$ et $u_{3} = 6 + 2 \times 0 = 6$ .

La présence d'une racine négative fait osciller la suite, mais $2^{n}$ finit par l'emporter sur le terme borné $2 (- 1)^{n}$ , et $u_{n} ⟶ + \infty$ .

Remarque

Le cas $Δ < 0$ est hors programme dans cette filière. Lorsque le discriminant de l'équation caractéristique est strictement négatif, celle-ci n'a aucune racine réelle, et son traitement exige les nombres complexes, qui ne figurent au programme d'aucune des deux années du parcours mathématiques appliquées.

Vous ne rencontrerez donc, en exercice comme aux concours, que des équations caractéristiques de discriminant positif ou nul. Conséquence pratique très utile : si vous trouvez $Δ < 0$ dans un exercice de cette filière, c'est presque certainement le signe d'une erreur de calcul, et il faut reprendre les signes de $a$ et de $b$ .

Limite d'une suite

Nous abordons ici le cœur du chapitre. Une remarque de méthode s'impose d'emblée, et elle vaut pour cette section ainsi que pour les deux suivantes : tous les théorèmes de convergence énoncés ci-dessous sont admis. Le programme précise qu'aucune démonstration les concernant n'est exigible, et qu'un exposé théorique sur ces notions est à exclure.

Ce qui est exigible, en revanche, l'est pleinement : savoir énoncer correctement ces théorèmes, savoir vérifier leurs hypothèses, et savoir les utiliser dans un calcul. Un théorème invoqué sans que ses hypothèses aient été vérifiées ne rapporte aucun point.

La définition de la convergence

Définition

Soient $(u_{n})$ une suite réelle et $ℓ$ un réel. On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient les termes $u_{n}$ pour tous les indices $n$ , hormis un nombre fini d'entre eux.

On note alors

\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ ou u_{n} ⟶ ℓ

Une suite qui converge vers un réel est dite convergente. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Prenons le temps de lire cette définition, car chacun de ses mots pèse.

« Tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ » : la propriété doit être vraie pour n'importe quel intervalle, y compris les plus étroits. C'est ce qui interdit à la suite de s'arrêter à une distance non nulle de $ℓ$ .

« Hormis un nombre fini d'entre eux » : on autorise un nombre quelconque d'exceptions, pourvu qu'elles soient en nombre fini. Autrement dit, à partir d'un certain rang, tous les termes sont dans l'intervalle. C'est bien la traduction de l'idée intuitive : la suite « finit par entrer » dans l'intervalle et n'en ressort plus.

Nuage de points d'une suite convergente et bande autour de la limite

Exemple

La figure représente les dix-neuf premiers termes de la suite

u_{n} = 2 + \frac{3 (- 1)^{n}}{n + 1}

Prenons l'intervalle ouvert $] 1,5; 2,5 [$ , qui contient bien $ℓ = 2$ : c'est la bande grisée. Calculons les premiers termes :

u_{0} = 5, u_{1} = 0,5, u_{2} = 3, u_{3} = 1,25, u_{4} = 2,6, u_{5} = 2 - \frac{3}{6} = 1,5

Aucun de ces six termes n'appartient à la bande. Le cas de $u_{5}$ mérite attention : il vaut exactement $1,5$ , donc il est sur le bord de l'intervalle, et un intervalle ouvert ne contient pas ses bornes. Le terme $u_{5}$ est donc à l'extérieur.

En revanche, $u_{6} = 2 + \frac{3}{7} \approx 2,43$ est strictement à l'intérieur, et il en va de même de tous les suivants. En effet, pour $n ⩾ 6$ :

∣ u_{n} - 2 ∣ = \frac{3}{n + 1} ⩽ \frac{3}{7} < 0,5

Bilan : exactement six termes (ceux d'indices $0$ à $5$ ) sont hors de la bande, ce qui est bien un nombre fini. La condition de la définition est donc satisfaite pour cet intervalle.

Elle l'est en réalité pour n'importe quel intervalle ouvert contenant $2$ , aussi étroit soit-il : le rang d'entrée sera simplement plus grand. C'est ce qui permet de conclure que $u_{n} ⟶ 2$ .

Méthode

Déterminer un rang à partir duquel la suite approche sa limite à une précision donnée.

Écrire l'écart $∣ u_{n} - ℓ ∣$ et le simplifier autant que possible.
Résoudre l'inéquation $∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽$ précision voulue, d'inconnue $n$ .
Donner le plus petit entier convenable, et le vérifier numériquement à ce rang et au rang précédent.

Exemple

Sur la suite précédente, cherchons à partir de quel rang $∣ u_{n} - 2 ∣ ⩽ 10^{- 3}$ .

L'écart vaut $\frac{3}{n + 1}$ , et

\frac{3}{n + 1} ⩽ 10^{- 3} ⟺ n + 1 ⩾ 3000 ⟺ n ⩾ 2999

Le rang cherché est donc $2999$ . Vérification : pour $n = 2998$ , l'écart vaut $\frac{3}{2999} \approx 1,0003 \times 10^{- 3}$ , qui est trop grand ; pour $n = 2999$ , il vaut exactement $10^{- 3}$ , ce qui convient.

Limites infinies

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

On dit que $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $] A, + \infty [$ contient les termes $u_{n}$ pour tous les indices $n$ , hormis un nombre fini d'entre eux.
On dit que $(u_{n})$ tend vers $- \infty$ si tout intervalle de la forme $] - \infty, A [$ contient les termes $u_{n}$ pour tous les indices $n$ , hormis un nombre fini d'entre eux.

Remarque

Vocabulaire à ne pas confondre. Le mot « converger » est réservé aux limites finies. Une suite qui tend vers $+ \infty$ diverge, même si elle a une limite. Il y a donc trois comportements possibles, et trois seulement :

la suite converge vers un réel $ℓ$ ;
la suite diverge vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ ;
la suite diverge sans limite : elle n'a aucune limite, ni finie ni infinie.

Écrire « la suite converge vers $+ \infty$ » est une faute de vocabulaire, sanctionnée comme telle.

Exemple

Une suite sans limite. Considérons $u_{n} = (- 1)^{n}$ , qui vaut alternativement $1$ et $- 1$ .

Cette suite ne converge pas vers $1$ : l'intervalle ouvert $] 0,5; 1,5 [$ contient $1$ , mais aucun terme de rang impair ne s'y trouve, et il y en a une infinité. Le même argument, avec $] - 1,5; - 0,5 [$ , montre qu'elle ne converge pas vers $- 1$ .

Elle ne converge vers aucun autre réel $ℓ$ non plus : un intervalle ouvert assez petit autour d'un tel $ℓ$ laisse dehors au moins l'une des deux valeurs $1$ et $- 1$ , donc une infinité de termes. Enfin la suite est bornée, donc elle ne tend ni vers $+ \infty$ ni vers $- \infty$ . Elle n'a pas de limite.

Deux résultats fondamentaux

Propriété

Les deux résultats suivants sont admis.

Unicité de la limite. Si une suite admet une limite, finie ou infinie, cette limite est unique. C'est ce qui autorise l'article défini et la notation $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .
Toute suite convergente est bornée.

Remarque

La réciproque du point 2 est fausse : la suite $(- 1)^{n}$ est bornée et pourtant elle ne converge pas. Une suite bornée n'a aucune raison de converger.

En revanche, la contraposée du point 2 est vraie et très utile : une suite non bornée ne converge pas. C'est parfois la façon la plus rapide de prouver une divergence.

Limites de référence

Propriété

Les limites suivantes sont admises et doivent être connues sans hésitation. Dans tout ce qui suit, $α$ désigne un réel strictement positif.

a. $\frac{1}{n} ⟶ 0$

b. $\frac{1}{n^{α}} ⟶ 0$

c. $\frac{1}{\sqrt{n}} ⟶ 0$

d. $n^{α} ⟶ + \infty$

e. $\sqrt{n} ⟶ + \infty$

f. $\ln n ⟶ + \infty$

g. $q^{n} ⟶ 0$ si $∣ q ∣ < 1$

h. $q^{n} ⟶ + \infty$ si $q > 1$

i. une suite constante tend vers cette constante

Opérations sur les limites

Le programme précise qu'« aucune technicité sur ces opérations ne sera exigée ». Les trois tables ci-dessous couvrent tous les cas utiles. Dans chacune, $ℓ$ et $ℓ^{'}$ désignent des réels, et « F.I. » signifie forme indéterminée.

Somme.

$\lim u_{n}$	$\lim v_{n}$	$\lim (u_{n} + v_{n})$
$ℓ$	$ℓ^{'}$	$ℓ + ℓ^{'}$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	F.I.

Produit.

$\lim u_{n}$	$\lim v_{n}$	$\lim (u_{n} v_{n})$
$ℓ$	$ℓ^{'}$	$ℓ ℓ^{'}$
$ℓ > 0$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ < 0$	$+ \infty$	$- \infty$
$ℓ > 0$	$- \infty$	$- \infty$
$ℓ < 0$	$- \infty$	$+ \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
$0$	$+ \infty$ ou $- \infty$	F.I.

Quotient.

$\lim u_{n}$	$\lim v_{n}$	$\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}$
$ℓ$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ^{'}}$
$ℓ$	$+ \infty$ ou $- \infty$	$0$
$+ \infty$ ou $- \infty$	$ℓ^{'} \neq 0$	infinie, signe par la règle des signes
$ℓ \neq 0$	$0$ avec $v_{n}$ de signe constant	infinie, signe par la règle des signes
$+ \infty$ ou $- \infty$	$+ \infty$ ou $- \infty$	F.I.
$0$	$0$	F.I.

Il y a donc exactement quatre formes indéterminées :

(+ \infty) + (- \infty), 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}

Remarque

« Forme indéterminée » ne signifie pas « la suite n'a pas de limite ». Cela signifie que la seule connaissance des deux limites ne permet pas de conclure, et qu'il faut transformer l'expression.

Regardez la forme $(+ \infty) + (- \infty)$ avec $v_{n} = - n$ dans les trois cas suivants : avec $u_{n} = n^{2}$ , la somme vaut $n^{2} - n ⟶ + \infty$ ; avec $u_{n} = n$ , elle est nulle et tend vers $0$ ; avec $u_{n} = n + 3$ , elle vaut $3$ et tend vers $3$ . Même forme, trois réponses différentes : voilà pourquoi elle est dite indéterminée.

La méthode du terme dominant

Méthode

Lever une indétermination dans un quotient.

Repérer, au numérateur et au dénominateur, le terme qui croît le plus vite.
Le factoriser dans chacun des deux, séparément.
Simplifier ce qui peut l'être, puis conclure avec les limites de référence.

Ne cherchez jamais à « calculer le numérateur et le dénominateur séparément » : c'est précisément ce que la forme indéterminée interdit.

Exemple

a. Soit $u_{n} = \frac{3 n^{2} - 5 n + 1}{2 n^{2} + n}$ , de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Le terme dominant est $n^{2}$ en haut comme en bas :

u_{n} = \frac{n^{2} (3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n})} = \frac{3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n}}

Le numérateur tend vers $3$ , le dénominateur vers $2$ , donc $u_{n} ⟶ \frac{3}{2}$ .

b. Soit $u_{n} = \frac{2 n^{3} + n}{n^{2} + 4}$ . On factorise $n^{3}$ en haut et $n^{2}$ en bas :

u_{n} = \frac{n^{3} (2 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (1 + \frac{4}{n^{2}})} = n \times \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{4}{n^{2}}}

Le second facteur tend vers $2$ et $n ⟶ + \infty$ , donc $u_{n} ⟶ + \infty$ .

c. Soit $u_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{3^{n} - 1}$ . Le terme dominant est ici $3^{n}$ :

u_{n} = \frac{3^{n} ({(\frac{2}{3})}^{n} + 1)}{3^{n} (1 - {(\frac{1}{3})}^{n})} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} + 1}{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}

Les deux puissances tendent vers $0$ car leurs raisons sont dans $] - 1, 1 [$ , donc $u_{n} ⟶ \frac{1}{1} = 1$ .

Méthode

Lever une indétermination du type $\infty - \infty$ avec des racines carrées. On multiplie et l'on divise par l'expression conjuguée, en utilisant l'identité $(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ qui fait disparaître les racines du numérateur.

Exemple

Soit $u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ , de la forme $\infty - \infty$ . Multiplions par la quantité conjuguée :

u_{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

Le dénominateur tend vers $+ \infty$ , donc $u_{n} ⟶ 0$ . L'écart entre deux racines carrées consécutives devient donc arbitrairement petit, ce qui n'était pas évident au départ.

Limites et inégalités

Cette section rassemble les théorèmes qui permettent de conclure sans calculer la limite directement. Ce sont les plus puissants du chapitre, et ceux que les sujets de concours attendent le plus souvent. Comme annoncé, ils sont tous admis.

Passage à la limite dans les inégalités

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes, de limites respectives $ℓ$ et $ℓ^{'}$ . Si $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors

ℓ ⩽ ℓ^{'}

En particulier, si $m ⩽ u_{n} ⩽ M$ à partir d'un certain rang, alors $m ⩽ ℓ ⩽ M$ .

Remarque

Les inégalités strictes ne se conservent pas. C'est l'un des points les plus contre-intuitifs du chapitre, et il faut le graver une fois pour toutes.

Prenons $u_{n} = 0$ et $v_{n} = \frac{1}{n}$ pour $n ⩾ 1$ . On a bien $u_{n} < v_{n}$ strictement, pour tout $n$ . Pourtant les deux suites convergent vers $0$ : les limites sont égales.

Le passage à la limite transforme donc « $<$ » en « $⩽$ ». Écrire « $u_{n} < v_{n}$ pour tout $n$ , donc $ℓ < ℓ^{'}$ » est une erreur, et elle est immédiatement repérée par un correcteur.

Le théorème d'encadrement

Propriété

Théorème d'encadrement (dit aussi « théorème des gendarmes »). Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites telles que

u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ w_{n} à partir d’un certain rang

Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite finie $ℓ$ , alors $(v_{n})$ converge également, et sa limite vaut $ℓ$ .

Remarque

Mesurez bien la force de cet énoncé : il ne se contente pas de calculer une limite, il démontre l'existence de la limite de $(v_{n})$ , dont on ne supposait rien au départ. C'est pour cela qu'il est indispensable dès qu'une suite contient un terme oscillant que l'on ne sait pas maîtriser autrement, comme $(- 1)^{n}$ .

Attention toutefois : les deux suites qui encadrent doivent avoir la même limite, et cette limite doit être finie. Un encadrement par deux suites de limites différentes ne donne rien.

Exemple

a. Soit $v_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ pour $n ⩾ 1$ . Comme $(- 1)^{n}$ vaut $1$ ou $- 1$ :

- \frac{1}{n} ⩽ v_{n} ⩽ \frac{1}{n}

Les deux suites encadrantes tendent vers $0$ , donc $v_{n} ⟶ 0$ .

b. Soit $v_{n} = \frac{3 + 2 (- 1)^{n}}{n}$ pour $n ⩾ 1$ . Le numérateur vaut $5$ ou $1$ selon la parité, donc il est compris entre $1$ et $5$ :

\frac{1}{n} ⩽ v_{n} ⩽ \frac{5}{n}

Les deux encadrantes tendent vers $0$ , donc $v_{n} ⟶ 0$ .

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $u_{n} ⟶ + \infty$ , alors $v_{n} ⟶ + \infty$ .
Si $v_{n} ⟶ - \infty$ , alors $u_{n} ⟶ - \infty$ .

Le sens est facile à retenir sans apprendre l'énoncé par cœur : pour envoyer une suite vers $+ \infty$ , il faut la minorer par quelque chose qui y va déjà ; pour l'envoyer vers $- \infty$ , il faut la majorer.

Exemple

a. Soit $v_{n} = n + (- 1)^{n}$ . Pour tout $n$ , $v_{n} ⩾ n - 1$ , et $n - 1 ⟶ + \infty$ . Donc $v_{n} ⟶ + \infty$ .

b. Soit $v_{n} = \sqrt{n} + \ln n$ pour $n ⩾ 1$ . Comme $\ln n ⩾ 0$ dès que $n ⩾ 1$ , on a $v_{n} ⩾ \sqrt{n} ⟶ + \infty$ , donc $v_{n} ⟶ + \infty$ .

Le théorème de la limite monotone

Propriété

Théorème de la limite monotone.

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ .
Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite décroissante et non minorée tend vers $- \infty$ .

En particulier : toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie.

C'est le théorème le plus important du chapitre. Il est le seul à fournir la convergence d'une suite dont on ne connaît pas la limite, et c'est exactement la situation des suites définies par récurrence, que nous traiterons en section 8.

Remarque

Deux erreurs symétriques, toutes deux très répandues.

Première erreur : croire que la limite vaut le majorant. Le théorème affirme l'existence de la limite, pas sa valeur. La suite $u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ est croissante et majorée par $10$ , mais sa limite vaut $1$ , pas $10$ . Tout ce que l'on peut affirmer, c'est que la limite est inférieure ou égale à tout majorant.

Seconde erreur : oublier la monotonie. Une suite majorée n'a aucune raison de converger. La suite $(- 1)^{n}$ est majorée par $1$ et minorée par $- 1$ , donc bornée, et pourtant elle n'a pas de limite. Dans « croissante et majorée », les deux mots comptent, et il faut démontrer les deux.

Suites adjacentes

Définition

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont dites adjacentes si les trois conditions suivantes sont réunies :

$(u_{n})$ est croissante ;
$(v_{n})$ est décroissante ;
$v_{n} - u_{n} ⟶ 0$ .

Propriété

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, alors elles convergent toutes les deux vers une même limite $ℓ$ . De plus, pour tout entier $n$ :

u_{n} ⩽ ℓ ⩽ v_{n}

Ce dernier encadrement est la raison d'être du concept : à chaque rang, les deux suites fournissent un encadrement de la limite, et l'écart $v_{n} - u_{n}$ donne une majoration de l'erreur commise en approchant $ℓ$ par $u_{n}$ ou par $v_{n}$ . C'est le principe de toutes les méthodes numériques d'approximation.

Exemple

Posons, pour $n ⩾ 0$ :

u_{n} = 3 - \frac{1}{2^{n}} et v_{n} = 3 + \frac{1}{n + 1}

Croissance de $(u_{n})$ : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n + 1}} > 0$ .

Décroissance de $(v_{n})$ : $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} < 0$ .

Écart : $v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2^{n}} ⟶ 0$ .

Les deux suites sont donc adjacentes, et convergent vers une même limite $ℓ$ , qui vérifie $u_{n} ⩽ ℓ ⩽ v_{n}$ pour tout $n$ . Ici on la connaît d'avance, c'est $ℓ = 3$ ; mais l'intérêt du théorème est justement de conclure à la convergence même quand on ne connaît pas la limite.

Le critère des rangs pairs et impairs

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite réelle. Si les deux suites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent vers une même limite $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Remarque

Ce critère sert dans les deux sens, et c'est le second usage qui est le plus fréquent.

Pour prouver une convergence : quand la suite oscille, on étudie séparément les termes de rang pair et ceux de rang impair, puis on constate qu'ils ont la même limite.

Pour prouver une divergence : si $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ ont des limites différentes, alors $(u_{n})$ n'a pas de limite. C'est l'outil standard pour démontrer proprement qu'une suite oscillante diverge.

Exemple

a. Reprenons la suite de la figure, $u_{n} = 2 + \frac{3 (- 1)^{n}}{n + 1}$ . Comme $(- 1)^{2 n} = 1$ et $(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ :

u_{2 n} = 2 + \frac{3}{2 n + 1} ⟶ 2 et u_{2 n + 1} = 2 - \frac{3}{2 n + 2} ⟶ 2

Les deux sous-suites convergent vers la même limite $2$ , donc $u_{n} ⟶ 2$ . Voilà la démonstration rigoureuse de ce que la figure laissait deviner.

b. Pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ , on a $u_{2 n} = 1 ⟶ 1$ et $u_{2 n + 1} = - 1 ⟶ - 1$ . Les limites sont différentes, donc $(u_{n})$ n'a pas de limite.

Croissances comparées

Les tables d'opérations de la section 5 laissent sans réponse les formes du type $\frac{\ln n}{n}$ ou $\frac{n^{10}}{2^{n}}$ : ce sont des quotients de deux suites qui tendent toutes deux vers $+ \infty$ . Les résultats de cette section, admis eux aussi, tranchent ces cas une fois pour toutes.

Propriété

Soient $a > 0$ , $b > 0$ et $q > 1$ . Alors

\lim_{n \to + \infty} \frac{(\ln n)^{b}}{n^{a}} = 0 et \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{a}}{q^{n}} = 0

La règle se retient en une phrase : le logarithme est toujours battu par la puissance, et la puissance est toujours battue par l'exponentielle de base plus grande que $1$ . Du plus lent au plus rapide, la hiérarchie est donc

(\ln n)^{b}, puis n^{a}, puis q^{n} (q > 1)

et cela quelles que soient les valeurs de $a$ et de $b$ : même $(\ln n)^{100}$ finit par être écrasé par $n^{0,01}$ .

Propriété

Quelques conséquences immédiates, à utiliser directement.

$\frac{q^{n}}{n^{a}} ⟶ + \infty$ pour $q > 1$ et $a > 0$ (c'est l'inverse d'une suite qui tend vers $0$ par valeurs strictement positives).
$\frac{n^{a}}{(\ln n)^{b}} ⟶ + \infty$ , pour la même raison.
$n^{a} q^{n} ⟶ 0$ si $0 < q < 1$ : il suffit d'écrire $n^{a} q^{n} = \frac{n^{a}}{{(1 / q)}^{n}}$ , avec $\frac{1}{q} > 1$ .
$\frac{\ln n}{n} ⟶ 0$ , cas particulier $a = b = 1$ .

Remarque

La comparaison est asymptotique, c'est-à-dire qu'elle ne dit rien des premiers termes. Comparons $n^{10}$ et $2^{n}$ :

$n$	$n^{10}$	$2^{n}$
$10$	$1,0 \times 10^{10}$	$1,0 \times 10^{3}$
$50$	$9,8 \times 10^{16}$	$1,1 \times 10^{15}$
$100$	$1,0 \times 10^{20}$	$1,3 \times 10^{30}$
$200$	$1,0 \times 10^{23}$	$1,6 \times 10^{60}$

La puissance mène très longtemps, elle est encore largement devant au rang $50$ , puis l'exponentielle la dépasse et l'écrase définitivement. Retenez la leçon : une limite ne se lit jamais sur les premiers termes, et une calculatrice qui affiche les vingt premières valeurs peut suggérer exactement le contraire de la vérité.

Méthode

Déterminer « qui gagne » dans un quotient.

Dans chaque somme (numérateur et dénominateur), repérer le terme le plus fort selon la hiérarchie $(\ln n)^{b}$ , puis $n^{a}$ , puis $q^{n}$ avec $q > 1$ .
Factoriser ce terme, en haut et en bas.
Simplifier : chacun des quotients restants tend vers $0$ par croissances comparées.
Conclure.

Exemple

a. $\frac{(\ln n)^{3}}{n} ⟶ 0$ , application directe avec $b = 3$ et $a = 1$ .

b. $\frac{n^{10}}{{1,5}^{n}} ⟶ 0$ , application directe avec $a = 10$ et $q = 1,5 > 1$ .

c. $\frac{2^{n}}{n^{5}} ⟶ + \infty$ : c'est l'inverse de $\frac{n^{5}}{2^{n}}$ , qui tend vers $0$ en restant strictement positive.

d. Une forme indéterminée. Soit $u_{n} = \frac{n^{2} - 3^{n}}{n^{3} + 2 \times 3^{n}}$ . Numérateur et dénominateur sont dominés par $3^{n}$ :

u_{n} = \frac{3^{n} (\frac{n^{2}}{3^{n}} - 1)}{3^{n} (\frac{n^{3}}{3^{n}} + 2)} = \frac{\frac{n^{2}}{3^{n}} - 1}{\frac{n^{3}}{3^{n}} + 2}

Par croissances comparées, $\frac{n^{2}}{3^{n}} ⟶ 0$ et $\frac{n^{3}}{3^{n}} ⟶ 0$ , donc

u_{n} ⟶ \frac{0 - 1}{0 + 2} = - \frac{1}{2}

e. Soit $u_{n} = n^{2} \times {0,9}^{n}$ , de la forme $\infty \times 0$ . On écrit $u_{n} = \frac{n^{2}}{{(10 / 9)}^{n}}$ , et comme $\frac{10}{9} > 1$ , les croissances comparées donnent $u_{n} ⟶ 0$ .

f. Soit $u_{n} = \frac{n + \ln n}{2 n - (\ln n)^{2}}$ . Le terme dominant est $n$ des deux côtés :

u_{n} = \frac{n (1 + \frac{\ln n}{n})}{n (2 - \frac{(\ln n)^{2}}{n})} = \frac{1 + \frac{\ln n}{n}}{2 - \frac{(\ln n)^{2}}{n}} ⟶ \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}

Les autres suites récurrentes : une étude guidée, au cas par cas

Les quatre formes explicites du programme, et rien d'autre

La section du programme consacrée à ces suites s'intitule « Suites usuelles : formes explicites », et elle en donne la liste complète : suite arithmétique, suite géométrique, suite arithmético-géométrique, et suite vérifiant une relation linéaire de récurrence d'ordre $2$ , avec la restriction « on se limitera au cas où l'équation caractéristique a des racines réelles ». Ces quatre familles, et elles seules, ont été traitées aux sections $2$ , $3$ et $4$ ; ce sont les quatre pour lesquelles vous devez savoir produire $u_{n}$ en fonction de $n$ .

La relation de récurrence	Le terme général	Section
$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n} = u_{0} + n r$	$2$
$u_{n + 1} = q u_{n}$	$u_{n} = u_{0} q^{n}$	$2$
$u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$	$u_{n} = (u_{0} - c) a^{n} + c$ , où $c = \frac{b}{1 - a}$	$3$
$u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$	$λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ , ou $(λ + μ n) r_{0}^{n}$	$4$

Dès qu'une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sort de ce tableau, il n'existe aucune formule explicite pour $u_{n}$ , et il ne faut pas en chercher. Tout se lira sur la fonction $f$ , et l'énoncé vous dira comment.

Ce que le programme exclut, et ce qu'il attend à la place

Remarque

Il n'y a pas de méthode générale à apprendre ici, et ce n'est pas un oubli. Le programme de première année est explicite à deux endroits. Le chapeau de la section consacrée aux suites demande que « tout exposé trop théorique sur ces notions » soit exclu. Et lorsque le second semestre autorise enfin l'étude des suites du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , comme application de l'inégalité des accroissements finis et dans le seul cas $∣ f^{'} ∣ ⩽ k < 1$ , il ajoute aussitôt : « Tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales est exclu. » L'étude de ces suites pour elles-mêmes, avec les notions d'intervalle stable et de point fixe d'une application, appartient au programme de deuxième année.

Ce que l'on attend de vous cette année est donc autre chose, et c'est exactement la pratique des sujets : quand une récurrence n'entre dans aucune des quatre familles ci-dessus, l'énoncé guide l'étude question par question, et chaque question se traite avec un outil déjà démontré dans ce chapitre. Il n'y a rien à réciter ; il y a un enchaînement à reconnaître, et de la technique de calcul à avoir.

Cet enchaînement est presque toujours le même, non parce qu'une théorie l'imposerait, mais parce que ce sont les seuls outils dont on dispose au premier semestre :

un encadrement $m ⩽ u_{n} ⩽ M$ , obtenu par récurrence, que l'énoncé fait toujours établir en premier ; il assure au passage que la suite est bien définie ;
la monotonie, obtenue elle aussi par récurrence, ou par l'étude du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ;
le théorème de la limite monotone de la section $6$ , qui donne la convergence sans donner la limite ;
enfin l'identification de la limite, en passant à la limite dans l'égalité $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Ce dernier passage repose sur un résultat du chapitre consacré aux fonctions, du même semestre : si $f$ est définie sur un intervalle $I$ , si elle admet une limite $L$ en un point $x_{0}$ , et si $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $x_{0}$ , alors la suite $(f (u_{n}))$ converge vers $L$ . Appliqué à une fonction $f$ continue en la limite $ℓ$ de $(u_{n})$ , il donne $f (u_{n}) ⟶ f (ℓ)$ ; comme $(u_{n + 1})$ est la suite $(u_{n})$ privée de son premier terme, elle a la même limite $ℓ$ , et l'unicité de la limite fournit l'égalité $ℓ = f (ℓ)$ .

Remarque

Le piège le plus coûteux du chapitre, et il ne dépend d'aucune théorie : résoudre $f (x) = x$ ne démontre jamais la convergence.

Un contre-exemple d'une ligne suffit. Pour $f (x) = 3 x$ et $u_{0} = 2$ , l'équation $3 x = x$ donne $x = 0$ , et pourtant $u_{n} = 2 \times 3^{n} ⟶ + \infty$ : la valeur $0$ existe bel et bien, la suite ne s'en approche pas, et elle ne converge pas du tout.

La rédaction correcte est donc toujours en deux temps : d'abord la convergence, par la limite monotone ou par encadrement, ensuite seulement l'identification de la limite parmi les solutions de $f (x) = x$ . Écrire « la suite converge vers $ℓ$ puisque $ℓ$ vérifie $f (ℓ) = ℓ$ » est une faute de raisonnement, et c'est la plus lourdement sanctionnée du chapitre.

Conjecturer par une construction en escalier

Le programme demande d'« utiliser autant que possible la représentation graphique des suites pour illustrer ou conjecturer leur comportement, en particulier pour illustrer la notion de convergence ». Pour une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , cette représentation porte un nom : la construction en escalier. On trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$ dans un même repère, puis :

on place $u_{0}$ sur l'axe des abscisses ;
on monte verticalement jusqu'à la courbe : l'ordonnée du point atteint est $f (u_{0}) = u_{1}$ ;
on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ , ce qui ramène la valeur $u_{1}$ sur l'axe des abscisses ;
on recommence.

Construction en escalier des termes d'une suite récurrente

Sur cette figure, la fonction est $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$ et le premier terme est $u_{0} = 0,5$ . La ligne brisée obtenue monte en marches d'escalier, et l'on y lit trois choses : la suite semble croissante, elle semble rester sous la valeur $3$ , et elle semble s'accumuler contre le point d'intersection de la courbe et de la droite, d'abscisse $3$ .

Ces trois lectures sont des conjectures, rien de plus : un dessin ne démontre rien, et aucune d'elles ne vaudrait un point dans une copie. Elles ont pourtant une vraie valeur, puisqu'elles vous disent où aller. L'exemple ci-dessous les démontre une par une.

Un exemple entièrement guidé

Exemple

L'énoncé, écrit comme un sujet. Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 0,5$ et $u_{n + 1} = \sqrt{2 u_{n} + 3}$ pour tout entier naturel $n$ .

1. Montrer par récurrence que $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ pour tout $n$ .

2. Montrer par récurrence que $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ pour tout $n$ .

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

4. Résoudre l'équation $\sqrt{2 x + 3} = x$ sur $[0, 3]$ , puis déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Observez la forme : les quatre questions sont données, dans l'ordre, et aucune ne suppose une méthode apprise par cœur. C'est ainsi, et seulement ainsi, que ces suites apparaissent au premier semestre.

1. L'encadrement. Notons $P (n)$ la propriété « $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ ».

Initialisation. On a $u_{0} = 0,5$ et $0 ⩽ 0,5 ⩽ 3$ , donc $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier $n$ , c'est-à-dire $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ . En multipliant par $2$ puis en ajoutant $3$ , il vient $3 ⩽ 2 u_{n} + 3 ⩽ 9$ . Cette quantité est strictement positive, donc $u_{n + 1}$ est bien défini, et la fonction racine carrée étant croissante,

\sqrt{3} ⩽ \sqrt{2 u_{n} + 3} ⩽ \sqrt{9} = 3

Comme $\sqrt{3} \approx 1,73$ est positif, on en déduit $0 ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3$ : la propriété $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout entier $n$ , $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ . En particulier la suite est bien définie et majorée par $3$ .

2. La croissance. Notons $Q (n)$ la propriété « $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ ».

Initialisation. On a $u_{1} = \sqrt{2 \times 0,5 + 3} = \sqrt{4} = 2$ , et $0,5 ⩽ 2$ , donc $Q (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ . En multipliant par $2$ et en ajoutant $3$ , $2 u_{n} + 3 ⩽ 2 u_{n + 1} + 3$ , ces deux quantités étant positives d'après la question 1. La croissance de la racine carrée donne alors

u_{n + 1} = \sqrt{2 u_{n} + 3} ⩽ \sqrt{2 u_{n + 1} + 3} = u_{n + 2}

donc $Q (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. La suite $(u_{n})$ est croissante.

3. La convergence. La suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$ . D'après le théorème de la limite monotone, elle converge. Notons $ℓ$ sa limite. Comme la suite est croissante, tous ses termes sont supérieurs à $u_{0} = 0,5$ , et le passage à la limite dans l'encadrement $0,5 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ donne $0,5 ⩽ ℓ ⩽ 3$ .

Ce théorème donne l'existence de $ℓ$ , et rien d'autre : à ce stade sa valeur est encore inconnue.

4. L'identification de la limite. Résolvons d'abord l'équation sur $[0, 3]$ . Les deux membres y étant positifs, élever au carré est une équivalence :

\sqrt{2 x + 3} = x ⟺ 2 x + 3 = x^{2} ⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0

Le discriminant vaut $Δ = 4 + 12 = 16$ , donc $\sqrt{Δ} = 4$ et les racines sont

x = \frac{2 + 4}{2} = 3 et x = \frac{2 - 4}{2} = - 1

La racine $- 1$ n'appartient pas à $[0, 3]$ , et une racine carrée ne peut de toute façon pas être négative : la seule solution sur $[0, 3]$ est $x = 3$ .

Passons maintenant à la limite dans la relation $u_{n + 1} = \sqrt{2 u_{n} + 3}$ . La fonction $x \mapsto \sqrt{2 x + 3}$ est continue sur $[0, 3]$ , et $(u_{n})$ converge vers $ℓ \in [0, 3]$ , donc $\sqrt{2 u_{n} + 3} ⟶ \sqrt{2 ℓ + 3}$ . Par ailleurs $(u_{n + 1})$ a la même limite $ℓ$ que $(u_{n})$ . Par unicité de la limite,

ℓ = \sqrt{2 ℓ + 3}

et $ℓ$ appartient à $[0, 3]$ : d'après ce qui précède, $ℓ = 3$ .

Conclusion : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Contrôle numérique. Les premiers termes confirment la croissance vers $3$ :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$u_{n}$	$0,5$	$2$	$2,646$	$2,879$	$2,960$	$2,986$	$2,995$

Les valeurs sont arrondies au millième, sauf $u_{0}$ et $u_{1}$ qui sont exactes ; le terme $u_{2}$ vaut exactement $\sqrt{7}$ . C'est la suite tracée sur la figure ci-dessus, et les trois conjectures que le dessin suggérait sont maintenant démontrées.

Remarque

Ce que vous verrez plus tard. Deux prolongements de cet exemple sont au programme, mais pas à ce semestre. Au second semestre, l'inégalité des accroissements finis permettra de majorer directement l'écart $∣ u_{n} - ℓ ∣$ lorsque $∣ f^{'} ∣ ⩽ k < 1$ , et donc d'obtenir la convergence sans passer par la monotonie. En deuxième année, les suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ feront l'objet d'une section pour elles-mêmes, avec les notions d'intervalle stable et de point fixe d'une application, et l'on y traitera aussi le cas où $f$ est décroissante. Rien de tout cela n'est exigible aujourd'hui : au premier semestre, une récurrence hors des quatre familles usuelles arrive toujours accompagnée de ses questions.

Ce qu'il faut retenir

Les définitions à savoir énoncer

a. Suite majorée : l'existence d'un réel $M$ tel que $u_{n} ⩽ M$ pour tout $n$ . De même minorée, et bornée si les deux.

b. Suite croissante, décroissante, monotone : la comparaison de $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ .

c. Suite arithmétique ( $u_{n + 1} = u_{n} + r$ ) et suite géométrique ( $u_{n + 1} = q u_{n}$ ).

d. Convergence vers $ℓ$ : tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes sauf un nombre fini.

e. Suites adjacentes : l'une croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers $0$ .

f. Point fixe de $f$ : un réel $ℓ$ tel que $f (ℓ) = ℓ$ .

Les théorèmes et le moment de les utiliser

Théorème de la limite monotone. À utiliser dès que l'on doit prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite : c'est le cas chaque fois qu'un énoncé fait étudier pas à pas une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Il faut établir deux choses, la monotonie et la borne, et les écrire toutes les deux.
Théorème d'encadrement. À utiliser dès qu'apparaît un terme oscillant que l'on ne sait pas maîtriser, typiquement $(- 1)^{n}$ . Il prouve la convergence en plus de donner la limite.
Théorèmes de comparaison. À utiliser pour une limite infinie : on minore pour aller vers $+ \infty$ , on majore pour aller vers $- \infty$ .
Passage à la limite dans une inégalité. À utiliser pour localiser une limite déjà connue comme existante. Les inégalités strictes deviennent larges.
Critère des rangs pairs et impairs. À utiliser pour les suites qui oscillent, dans les deux sens : prouver une convergence, ou prouver une divergence en exhibant deux limites différentes.
Croissances comparées. À utiliser dès qu'une forme indéterminée mélange $\ln n$ , une puissance de $n$ et une puissance $q^{n}$ .
Point fixe. À utiliser après avoir prouvé la convergence, et jamais avant : il identifie la limite, il ne la crée pas.

Le formulaire

Termes généraux.

u_{n} = u_{0} + n r et u_{n} = u_{p} + (n - p) r (suite arithmétique de raison r)

u_{n} = u_{0} q^{n} et u_{n} = u_{p} q^{n - p} (suite géométrique de raison q)

u_{n} = (u_{0} - c) a^{n} + c avec c = \frac{b}{1 - a} (cas u_{n + 1} = a u_{n} + b, a \neq 1)

u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n} ou u_{n} = (λ + μ n) r_{0}^{n} (ordre 2, selon Δ > 0 ou Δ = 0)

Sommes.

\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} (q \neq 1)

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = (n - p + 1) \times \frac{u_{p} + u_{n}}{2} (suite arithmétique)

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = u_{p} \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} (suite géométrique, q \neq 1)

Limites de référence.

a. $\frac{1}{n^{α}} ⟶ 0$ pour $α > 0$

b. $n^{α} ⟶ + \infty$ pour $α > 0$

c. $\sqrt{n} ⟶ + \infty$

d. $\ln n ⟶ + \infty$

e. $q^{n} ⟶ 0$ si $∣ q ∣ < 1$

f. $q^{n} ⟶ + \infty$ si $q > 1$

g. $\frac{(\ln n)^{b}}{n^{a}} ⟶ 0$ pour $a > 0$ , $b > 0$

h. $\frac{n^{a}}{q^{n}} ⟶ 0$ pour $q > 1$

i. quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$

Les erreurs classiques

1. Confondre le point fixe et la limite. Le point fixe est le seul candidat possible ; il ne devient la limite que lorsque la convergence a été démontrée par ailleurs. Souvenez-vous du plan d'épargne de la section 3, dont le point fixe valait $- 12 500$ euros alors que le capital tendait vers $+ \infty$ .

2. Ne pas vérifier la formule explicite sur les premiers termes. Après avoir résolu une récurrence arithmético-géométrique ou d'ordre 2, comparez toujours la formule et la récurrence sur $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ . Cette vérification prend vingt secondes et détecte la quasi-totalité des erreurs de signe.

3. Diviser par $\ln q$ sans regarder son signe. Quand $0 < q < 1$ , on a $\ln q < 0$ , et l'inégalité change de sens au moment de la division. Comparez les deux exemples de la section 2 : avec $\ln (0,8)$ l'inégalité se retourne, avec $\ln (1,03)$ elle ne se retourne pas.

4. Croire qu'une suite majorée converge. Il faut aussi la monotonie. La suite $(- 1)^{n}$ est bornée et n'a pas de limite. Symétriquement, ne concluez jamais que la limite vaut le majorant que vous avez choisi.

5. Passer à la limite dans une inégalité stricte en gardant le strict. De $u_{n} < v_{n}$ pour tout $n$ , on ne déduit que $ℓ ⩽ ℓ^{'}$ . Le contre-exemple à retenir : $0 < \frac{1}{n}$ , et pourtant les deux limites valent $0$ .

6. Se tromper sur le nombre de termes d'une somme. De l'indice $p$ à l'indice $n$ , il y a $n - p + 1$ termes. Le « $+ 1$ » s'oublie une fois sur deux.

7. Appliquer les variations de $f$ à une suite récurrente. La méthode de la fonction associée vaut pour $u_{n} = f (n)$ , jamais pour $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Dans le second cas, le sens de variation ne se lit pas sur $f$ : il se démontre par récurrence, ou par l'étude du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , et l'énoncé indique laquelle des deux voies emprunter.

8. Conclure « forme indéterminée, donc pas de limite ». Une forme indéterminée signifie seulement que les tables d'opérations ne suffisent pas. Il faut factoriser le terme dominant, utiliser une expression conjuguée, ou invoquer les croissances comparées.

9. Écrire « la suite converge vers $+ \infty$ ». Une suite de limite infinie diverge. Le mot « converger » est réservé aux limites finies.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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n

0

1

2

3

4

5

6

u_{n}

0

- 4

- 6

- 6

- 4

0

6

\lim u_{n}

\lim v_{n}

\lim (u_{n} + v_{n})

ℓ

ℓ^{'}

ℓ + ℓ^{'}

ℓ

+ \infty

+ \infty

ℓ

- \infty

- \infty

+ \infty

+ \infty

+ \infty

- \infty

- \infty

- \infty

+ \infty

- \infty

F.I.

\lim u_{n}

\lim v_{n}

\lim (u_{n} v_{n})

ℓ

ℓ^{'}

ℓ ℓ^{'}

ℓ > 0

+ \infty

+ \infty

ℓ < 0

+ \infty

- \infty

ℓ > 0

- \infty

- \infty

ℓ < 0

- \infty

+ \infty

+ \infty

+ \infty

+ \infty

+ \infty

- \infty

- \infty

- \infty

- \infty

+ \infty

0

+ \infty

- \infty

F.I.

\lim u_{n}

\lim v_{n}

\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}

ℓ

ℓ^{'} \neq 0

\frac{ℓ}{ℓ^{'}}

ℓ

+ \infty

- \infty

0

+ \infty

- \infty

ℓ^{'} \neq 0

infinie, signe par la règle des signes

ℓ \neq 0

0

avec

v_{n}

de signe constant

infinie, signe par la règle des signes

+ \infty

- \infty

+ \infty

- \infty

F.I.

0

0

F.I.

n

n^{10}

2^{n}

10

1,0 \times 10^{10}

1,0 \times 10^{3}

50

9,8 \times 10^{16}

1,1 \times 10^{15}

100

1,0 \times 10^{20}

1,3 \times 10^{30}

200

1,0 \times 10^{23}

1,6 \times 10^{60}

La relation de récurrence

Le terme général

Section

u_{n + 1} = u_{n} + r

u_{n} = u_{0} + n r

2

u_{n + 1} = q u_{n}

u_{n} = u_{0} q^{n}

2

u_{n + 1} = a u_{n} + b

avec

a \neq 1

u_{n} = (u_{0} - c) a^{n} + c

, où

c = \frac{b}{1 - a}

3

u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}

λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}

, ou

(λ + μ n) r_{0}^{n}

4

n

0

1

2

3

4

5

6

u_{n}

0,5

2

2,646

2,879

2,960

2,986

2,995

Ce qu'il faut savoir faire

Généralités sur les suites

Définition et notations

Les trois modes de définition

Suites majorées, minorées, bornées

Monotonie

Propriété vraie à partir d'un certain rang

Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

Sommes de termes d'une suite arithmétique

Suites géométriques

Somme des puissances d'une raison

Limites des suites géométriques

Un exemple financier : les intérêts composés

Suites arithmético-géométriques

Définition et position du problème

Le point fixe

Le cas a=1

Comportement selon la valeur de a

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Définition

D'où vient l'équation caractéristique

Limite d'une suite

La définition de la convergence

Limites infinies

Deux résultats fondamentaux

Limites de référence

Opérations sur les limites

La méthode du terme dominant

Limites et inégalités

Passage à la limite dans les inégalités

Le théorème d'encadrement

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Le théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Le critère des rangs pairs et impairs

Croissances comparées

Les autres suites récurrentes : une étude guidée, au cas par cas

Les quatre formes explicites du programme, et rien d'autre

Ce que le programme exclut, et ce qu'il attend à la place

Conjecturer par une construction en escalier

Un exemple entièrement guidé

Ce qu'il faut retenir

Les définitions à savoir énoncer

Les théorèmes et le moment de les utiliser

Le formulaire

Les erreurs classiques

Bloqué sur « Suites de nombres réels » ?

Ce qu'il faut savoir faire

Généralités sur les suites

Définition et notations

Les trois modes de définition

Suites majorées, minorées, bornées

Monotonie

Propriété vraie à partir d'un certain rang

Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

Sommes de termes d'une suite arithmétique

Suites géométriques

Somme des puissances d'une raison

Limites des suites géométriques

Un exemple financier : les intérêts composés

Suites arithmético-géométriques

Définition et position du problème

Le point fixe

Le cas a=1

Comportement selon la valeur de a

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Définition

D'où vient l'équation caractéristique

Limite d'une suite

La définition de la convergence

Limites infinies

Deux résultats fondamentaux

Limites de référence

Opérations sur les limites

La méthode du terme dominant

Limites et inégalités

Passage à la limite dans les inégalités

Le théorème d'encadrement

Le cas $a = 1$

Comportement selon la valeur de $a$

Le cas $a = 1$

Comportement selon la valeur de $a$