Suites de nombres réels

Vous connaissez déjà les suites. Le lycée vous a appris à reconnaître une suite arithmétique, à calculer le terme général d'une suite géométrique, à observer sur une calculatrice qu'une suite « semble se rapprocher » d'un nombre. Ce chapitre reprend tout cela, mais en change la nature : il ne s'agira plus d'observer, il s'agira de démontrer.

Deux raisons rendent ce chapitre incontournable. D'abord, la suite est l'outil de modélisation le plus naturel dès qu'une grandeur évolue par étapes : un capital placé qui produit des intérêts chaque année, un emprunt que l'on amortit mensualité après mensualité, une dépense publique dont les effets se propagent de vague en vague dans l'économie. Toutes ces situations s'écrivent $u_{n+1}=a{u}_n+b$, et vous saurez les résoudre à la fin de ce chapitre. Ensuite, la notion de limite apparaît ici pour la première fois : elle sera reprise pour les fonctions, puis pour les variables aléatoires au second semestre.

Le programme demande d'utiliser « autant que possible la représentation graphique des suites pour illustrer ou conjecturer leur comportement ». Prenez cette consigne au sérieux : un nuage de points ou une construction en escalier tracée au brouillon vous dira, en trente secondes, si la suite monte, si elle est majorée et vers quoi elle tend. La démonstration vient ensuite, mais elle vient toujours plus vite quand on sait où l'on va.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $n$ désigne toujours un entier naturel. On note $(u_n)$ une suite réelle et $u_n$ son terme d'indice $n$. Les lettres $\mathrm{\ell }$, $r$, $q$, $a$, $b$ désignent des réels. Le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Généralités sur les suites

Définition et notations

Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain indice : la suite de terme général ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ n'a pas de terme d'indice $0$. On écrit alors $(u_n{)}_{n⩾1}$, et l'on précise toujours l'indice de départ.

Les trois modes de définition

Une suite peut être décrite de trois manières, qui n'offrent pas du tout les mêmes possibilités de calcul.

Suites majorées, minorées, bornées

Démonstration. Si $\mid u_n\mid ⩽M$ pour tout $n$, alors $-M⩽u_n⩽M$ : la suite est minorée par $-M$ et majorée par $M$, donc bornée. Réciproquement, si $m⩽u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $n$, posons $M=\max (\mid m\mid ,\mid M^{\mathrm{\prime }}\mid )$. Alors $u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽M$ et $u_n⩾m⩾-M$, donc $\mid u_n\mid ⩽M$. $\mathrm{\square }$

Monotonie

Remarquez que la définition ne compare que des termes consécutifs. C'est suffisant : si $u_n⩽u_{n+1}$ pour tout $n$, alors en enchaînant les inégalités on obtient $u_p⩽u_q$ dès que $p⩽q$.

Propriété vraie à partir d'un certain rang

Cette formulation reviendra sans arrêt. Elle traduit une idée simple : pour la plupart des questions de ce chapitre, les premiers termes ne comptent pas. Si l'on modifie un nombre fini de termes d'une suite, on ne change ni sa nature (convergente ou divergente) ni sa limite, car les théorèmes de convergence ne regardent que le comportement « au bout ».

En revanche, la monotonie, elle, dépend de tous les termes : la suite $u_n=n^2-5n$ de l'exemple précédent est croissante à partir du rang $2$, mais elle n'est pas croissante. Il faut donc écrire la restriction, et ne pas la passer sous silence.

Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

Démonstration. La somme ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)}$ se télescope et vaut $u_n-u_0$. Or chacun de ses $n$ termes vaut $r$, donc $u_n-u_0=nr$. La seconde formule s'obtient de la même manière en partant de l'indice $p$. $\mathrm{\square }$

Le sens de variation se lit immédiatement sur la raison : si $r>0$ la suite est strictement croissante, si $r<0$ elle est strictement décroissante, si $r=0$ elle est constante. Quant à la limite, elle vaut $+\mathrm{\infty }$ si $r>0$, $-\mathrm{\infty }$ si $r<0$, et $u_0$ si $r=0$.

Sommes de termes d'une suite arithmétique

Démonstration. Notons $S={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k}$. En écrivant la somme dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant et en ajoutant les deux lignes terme à terme, chaque colonne donne $n$, et il y a $n+1$ colonnes. Donc $2S=n(n+1)$, d'où le résultat. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Écrivons $u_k=u_p+(k-p)r$ et sommons :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=p}^n{u}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=p}^n(u_p+(k-p)r)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-p+1)u_p+r\sum _{k=p}^n(k-p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-p+1)u_p+r\times \frac{(n-p)(n-p+1)}{2}}\end{array}$$

Par ailleurs ${\displaystyle \frac{u_p+u_n}{2}}={\displaystyle \frac{2u_p+(n-p)r}{2}}=u_p+{\displaystyle \frac{(n-p)r}{2}}$. En multipliant cette quantité par $(n-p+1)$, on retrouve exactement la ligne précédente. $\mathrm{\square }$

Suites géométriques

Somme des puissances d'une raison

Démonstration. Supposons $q\mathrm{\ne }1$ et notons $S={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k}$. Alors

$$(1-q)S=\sum _{k=0}^n{q}^k-\sum _{k=0}^n{q}^{k+1}=\sum _{k=0}^n{q}^k-\sum _{k=1}^{n+1}{q}^k=q^0-q^{n+1}=1-q^{n+1}$$

la somme s'étant télescopée. Comme $q\mathrm{\ne }1$, on peut diviser par $1-q$. Si $q=1$, tous les termes valent $1$ et il y en a $n+1$. $\mathrm{\square }$

Limites des suites géométriques

Retenez la frontière : c'est $\mid q\mid <1$ qui fait tendre $q^n$ vers $0$. Une raison négative de valeur absolue inférieure à $1$, comme $q=-\mathrm{0,9}$, donne bien une suite qui tend vers $0$, en alternant de signe.

Un exemple financier : les intérêts composés

Suites arithmético-géométriques

Définition et position du problème

Deux cas sont déjà connus : si $b=0$, la suite est géométrique de raison $a$ ; si $a=1$, elle est arithmétique de raison $b$. Le cas intéressant est donc $a\mathrm{\ne }1$ et $b\mathrm{\ne }0$, et c'est celui que traite cette section.

Le problème est le suivant : la suite n'est ni arithmétique (la différence $u_{n+1}-u_n=(a-1)u_n+b$ dépend de $n$) ni géométrique (le quotient n'est pas constant). Aucune des deux formules de la section précédente ne s'applique. L'idée qui débloque tout consiste à décaler la suite pour se ramener à une suite géométrique.

Le point fixe

Cherchons s'il existe une suite constante égale à un réel $c$ qui vérifie la même relation de récurrence. Une telle suite satisferait $c=ac+b$, c'est-à-dire $c(1-a)=b$. Comme $a\mathrm{\ne }1$, cette équation a une solution unique.

Démonstration. Le calcul tient en trois lignes, et il faut savoir le refaire, car les énoncés de concours demandent presque toujours de le rédiger.

$$v_{n+1}=u_{n+1}-c=a{u}_n+b-c$$

Or $c$ vérifie $c=ac+b$, donc $b-c=-ac$. En reportant :

$$v_{n+1}=a{u}_n-ac=a(u_n-c)=a{v}_n$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$, d'où $v_n=v_0{a}^n=(u_0-c)a^n$, puis $u_n=v_n+c$. $\mathrm{\square }$

Le cas $a=1$

Si $a=1$, la relation s'écrit $u_{n+1}=u_n+b$ : la suite est arithmétique de raison $b$, et l'on a directement $u_n=u_0+nb$. Il ne faut surtout pas chercher de point fixe dans ce cas : l'équation $c=c+b$ n'a aucune solution quand $b\mathrm{\ne }0$.

Géométriquement, cela se comprend bien : le point fixe est l'abscisse du point d'intersection de la droite d'équation $y=ax+b$ avec la droite $y=x$. Quand $a=1$, ces deux droites sont parallèles et ne se coupent pas.

Comportement selon la valeur de $a$

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Définition

On suppose $b\mathrm{\ne }0$ pour que la relation soit réellement d'ordre $2$ : si $b=0$, elle se réduit à $u_{n+2}=a{u}_{n+1}$, c'est-à-dire à une suite géométrique à partir du rang $1$.

D'où vient l'équation caractéristique

La méthode ne tombe pas du ciel : elle vient d'une question naturelle. Existe-t-il des suites géométriques qui vérifient cette relation ? Cherchons donc $u_n=r^n$ avec $r\mathrm{\ne }0$. La relation s'écrit

$$r^{n+2}=a{r}^{n+1}+b{r}^n$$

Comme $r\mathrm{\ne }0$, on peut diviser les deux membres par $r^n$, et il reste $r^2=ar+b$. Toute l'étude repose sur cette équation du second degré.

Justification. Vérifions d'abord que ces formules conviennent, ce qui est un simple calcul.

Dans le cas 1, comme $r_1$ et $r_2$ sont racines, on a $r_1^2=a{r}_1+b$ et $r_2^2=a{r}_2+b$. Donc, pour la suite $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u_{n+2}}& {\displaystyle =\lambda r_1^n{r}_1^2+\mu r_2^n{r}_2^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda r_1^n(a{r}_1+b)+\mu r_2^n(a{r}_2+b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(\lambda r_1^{n+1}+\mu r_2^{n+1})+b(\lambda r_1^n+\mu r_2^n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{u}_{n+1}+b{u}_n}\end{array}$$

Dans le cas 2, le discriminant est nul, donc $a^2+4b=0$, ce qui donne $b=-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$, et la racine double vaut $r_0={\displaystyle \frac{a}{2}}$. Autrement dit $a=2r_0$ et $b=-r_0^2$. Vérifions alors que la suite $w_n=n{r}_0^n$ convient :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a{w}_{n+1}+b{w}_n}& {\displaystyle =2r_0\times (n+1)r_0^{n+1}-r_0^2\times n{r}_0^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(n+1)r_0^{n+2}-n{r}_0^{n+2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+2)r_0^{n+2}=w_{n+2}}\end{array}$$

La suite $(r_0^n)$ convient également puisque $r_0$ est racine, et toute combinaison des deux aussi.

Reste l'unicité. Deux suites qui vérifient la même relation d'ordre 2 et qui ont les mêmes deux premiers termes sont égales : une récurrence immédiate le montre, puisque chaque terme est calculé à partir des deux précédents. Il suffit donc de vérifier que le couple $(\lambda ,\mu )$ est déterminé sans ambiguïté par $u_0$ et $u_1$.

Dans le cas 1, le système s'écrit $\lambda +\mu =u_0$ et $\lambda r_1+\mu r_2=u_1$ ; en soustrayant $r_1$ fois la première équation à la seconde, on obtient $\mu (r_2-r_1)=u_1-r_1{u}_0$, ce qui détermine $\mu$ puisque $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$, puis $\lambda =u_0-\mu$.

Dans le cas 2, le système s'écrit $\lambda =u_0$ et $(\lambda +\mu )r_0=u_1$, ce qui donne $\mu ={\displaystyle \frac{u_1}{r_0}}-u_0$, puisque $r_0\mathrm{\ne }0$. $\mathrm{\square }$

Limite d'une suite

Nous abordons ici le cœur du chapitre. Une remarque de méthode s'impose d'emblée, et elle vaut pour cette section ainsi que pour les deux suivantes : tous les théorèmes de convergence énoncés ci-dessous sont admis. Le programme précise qu'aucune démonstration les concernant n'est exigible, et qu'un exposé théorique sur ces notions est à exclure.

Ce qui est exigible, en revanche, l'est pleinement : savoir énoncer correctement ces théorèmes, savoir vérifier leurs hypothèses, et savoir les utiliser dans un calcul. Un théorème invoqué sans que ses hypothèses aient été vérifiées ne rapporte aucun point.

La définition de la convergence

Prenons le temps de lire cette définition, car chacun de ses mots pèse.

« Tout intervalle ouvert contenant $\mathrm{\ell }$ » : la propriété doit être vraie pour n'importe quel intervalle, y compris les plus étroits. C'est ce qui interdit à la suite de s'arrêter à une distance non nulle de $\mathrm{\ell }$.

« Hormis un nombre fini d'entre eux » : on autorise un nombre quelconque d'exceptions, pourvu qu'elles soient en nombre fini. Autrement dit, à partir d'un certain rang, tous les termes sont dans l'intervalle. C'est bien la traduction de l'idée intuitive : la suite « finit par entrer » dans l'intervalle et n'en ressort plus.

Limites infinies

Deux résultats fondamentaux

Limites de référence

Opérations sur les limites

Le programme précise qu'« aucune technicité sur ces opérations ne sera exigée ». Les trois tables ci-dessous couvrent tous les cas utiles. Dans chacune, $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ désignent des réels, et « F.I. » signifie forme indéterminée.

Somme.

Produit.

Quotient.

Il y a donc exactement quatre formes indéterminées :

$$(+\mathrm{\infty })+(-\mathrm{\infty }),0\times \mathrm{\infty },\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\frac{0}{0}$$

La méthode du terme dominant

Limites et inégalités

Cette section rassemble les théorèmes qui permettent de conclure sans calculer la limite directement. Ce sont les plus puissants du chapitre, et ceux que les sujets de concours attendent le plus souvent. Comme annoncé, ils sont tous admis.

Passage à la limite dans les inégalités

Le théorème d'encadrement

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Le sens est facile à retenir sans apprendre l'énoncé par cœur : pour envoyer une suite vers $+\mathrm{\infty }$, il faut la minorer par quelque chose qui y va déjà ; pour l'envoyer vers $-\mathrm{\infty }$, il faut la majorer.

Le théorème de la limite monotone

C'est le théorème le plus important du chapitre. Il est le seul à fournir la convergence d'une suite dont on ne connaît pas la limite, et c'est exactement la situation des suites définies par récurrence, que nous traiterons en section 8.

Suites adjacentes

Ce dernier encadrement est la raison d'être du concept : à chaque rang, les deux suites fournissent un encadrement de la limite, et l'écart $v_n-u_n$ donne une majoration de l'erreur commise en approchant $\mathrm{\ell }$ par $u_n$ ou par $v_n$. C'est le principe de toutes les méthodes numériques d'approximation.

Le critère des rangs pairs et impairs

Croissances comparées

Les tables d'opérations de la section 5 laissent sans réponse les formes du type ${\displaystyle \frac{\ln n}{n}}$ ou ${\displaystyle \frac{n^{10}}{2^n}}$ : ce sont des quotients de deux suites qui tendent toutes deux vers $+\mathrm{\infty }$. Les résultats de cette section, admis eux aussi, tranchent ces cas une fois pour toutes.

La règle se retient en une phrase : le logarithme est toujours battu par la puissance, et la puissance est toujours battue par l'exponentielle de base plus grande que $1$. Du plus lent au plus rapide, la hiérarchie est donc

$$(\ln n{)}^b,\text{puis}{n}^a,\text{puis}{q}^n(q>1)$$

et cela quelles que soient les valeurs de $a$ et de $b$ : même $(\ln n{)}^{100}$ finit par être écrasé par $n^{\mathrm{0,01}}$.

Suites définies par une relation $u_{n+1}=f(u_n)$

Position du problème

Soit $f$ une fonction et $u_0$ un réel. La donnée

$$u_{n+1}=f(u_n)\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

définit une suite, à condition que chaque $u_n$ appartienne à l'ensemble de définition de $f$.

Sauf dans les cas particuliers déjà traités ($f$ affine, sections 2 et 3), il n'existe aucune formule explicite pour $u_n$. On ne peut donc pas calculer la limite en simplifiant une expression : il faut la déduire des propriétés de $f$. Cette section donne la marche à suivre, qui est toujours la même et qu'il faut connaître par cœur.

Intervalle stable

Démonstration. Par récurrence. La propriété est vraie au rang $0$ par hypothèse. Si $u_n\in I$, alors $u_{n+1}=f(u_n)\in I$ par stabilité. $\mathrm{\square }$

Cette étape n'est pas une formalité : c'est elle qui garantit que la suite est bien définie, et c'est elle qui fournira le majorant ou le minorant dont on aura besoin à l'étape finale.

Les points fixes sont les seuls candidats

Pour relier points fixes et limite, nous avons besoin d'un résultat sur les fonctions.

Justification. Passons à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=f(u_n)$. À gauche, la suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ privée de son premier terme : elle a donc la même limite $\mathrm{\ell }$. À droite, le résultat admis ci-dessus donne $f(u_n)⟶f(\mathrm{\ell })$. Par unicité de la limite, $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$. $\mathrm{\square }$

L'effet de la monotonie de $f$

Démonstration du point 1. Supposons $f$ croissante sur $I$ et $u_0⩽u_1$. Montrons par récurrence que $u_n⩽u_{n+1}$ pour tout $n$. C'est vrai au rang $0$. Si $u_n⩽u_{n+1}$, ces deux termes appartiennent à $I$, et la croissance de $f$ donne $f(u_n)⩽f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1}⩽u_{n+2}$. Le cas $u_0⩾u_1$ se traite de la même façon. $\mathrm{\square }$

Justification du point 2. Si $f$ est décroissante, la composée $f\circ f$ est croissante (deux renversements d'inégalité se compensent). Or $u_{n+2}=f(f(u_n))=(f\circ f)(u_n)$ : chacune des deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ vérifie donc une récurrence de la forme du point 1, avec la fonction croissante $f\circ f$. Elles sont par conséquent monotones, et l'on montre qu'elles le sont en sens contraires. On conclut ensuite avec le critère des rangs pairs et impairs de la section 6.

La construction en escalier

Pour visualiser la suite, on trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$ dans un même repère, puis on procède ainsi :

1. on place $u_0$ sur l'axe des abscisses ;
2. on monte verticalement jusqu'à la courbe : l'ordonnée du point atteint est $f(u_0)=u_1$ ;
3. on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y=x$, ce qui ramène la valeur $u_1$ sur l'axe des abscisses ;
4. on recommence.

Quand $f$ est croissante, la ligne brisée obtenue monte (ou descend) en marches d'escalier, d'où le nom. Quand $f$ est décroissante, elle s'enroule autour du point fixe en formant un escargot.

Sur cette figure, la fonction est $f(x)=\sqrt{2x+3}$ et le premier terme est $u_0=\mathrm{0,5}$. On lit immédiatement trois choses : la suite est croissante, elle reste sous la valeur $3$, et elle semble s'accumuler contre le point d'intersection de la courbe et de la droite, d'abscisse $3$. Ces trois observations sont exactement ce que la démonstration ci-dessous va établir.

Méthode générale

Exemple entièrement traité

Ce qu'il faut retenir

Les définitions à savoir énoncer

Les théorèmes et le moment de les utiliser

• Théorème de la limite monotone. À utiliser dès que l'on doit prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite : c'est le cas de toutes les suites récurrentes. Il faut établir deux choses, la monotonie et la borne, et les écrire toutes les deux.
• Théorème d'encadrement. À utiliser dès qu'apparaît un terme oscillant que l'on ne sait pas maîtriser, typiquement $(-1{)}^n$. Il prouve la convergence en plus de donner la limite.
• Théorèmes de comparaison. À utiliser pour une limite infinie : on minore pour aller vers $+\mathrm{\infty }$, on majore pour aller vers $-\mathrm{\infty }$.
• Passage à la limite dans une inégalité. À utiliser pour localiser une limite déjà connue comme existante. Les inégalités strictes deviennent larges.
• Critère des rangs pairs et impairs. À utiliser pour les suites qui oscillent, dans les deux sens : prouver une convergence, ou prouver une divergence en exhibant deux limites différentes.
• Croissances comparées. À utiliser dès qu'une forme indéterminée mélange $\ln n$, une puissance de $n$ et une puissance $q^n$.
• Point fixe. À utiliser après avoir prouvé la convergence, et jamais avant : il identifie la limite, il ne la crée pas.

Le formulaire

Termes généraux.

$$u_n=u_0+nr\text{et}{u}_n=u_p+(n-p)r\text{(suite arithm}\acute{\text{e}}\text{tique de raison }r)$$ $$u_n=u_0{q}^n\text{et}{u}_n=u_p{q}^{n-p}\text{(suite g}\acute{\text{e}}\text{om}\acute{\text{e}}\text{trique de raison }q)$$ $$u_n=(u_0-c)a^n+c\text{avec}c=\frac{b}{1-a}\text{(cas }{u}_{n+1}=a{u}_n+b,a\mathrm{\ne }1)$$ $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\text{ou}{u}_n=(\lambda +\mu n)r_0^n\text{(ordre 2, selon }\mathrm{\Delta }>0\text{ ou }\mathrm{\Delta }=0)$$

Sommes.

$$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}(q\mathrm{\ne }1)$$ $$\sum _{k=p}^n{u}_k=(n-p+1)\times \frac{u_p+u_n}{2}\text{(suite arithm}\acute{\text{e}}\text{tique)}$$ $$\sum _{k=p}^n{u}_k=u_p\times \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\text{(suite g}\acute{\text{e}}\text{om}\acute{\text{e}}\text{trique, }q\mathrm{\ne }1)$$

Limites de référence.

Les erreurs classiques

1. Confondre le point fixe et la limite. Le point fixe est le seul candidat possible ; il ne devient la limite que lorsque la convergence a été démontrée par ailleurs. Souvenez-vous du plan d'épargne de la section 3, dont le point fixe valait $-12500$ euros alors que le capital tendait vers $+\mathrm{\infty }$.

2. Ne pas vérifier la formule explicite sur les premiers termes. Après avoir résolu une récurrence arithmético-géométrique ou d'ordre 2, comparez toujours la formule et la récurrence sur $u_0$, $u_1$ et $u_2$. Cette vérification prend vingt secondes et détecte la quasi-totalité des erreurs de signe.

3. Diviser par $\ln q$ sans regarder son signe. Quand $0<q<1$, on a $\ln q<0$, et l'inégalité change de sens au moment de la division. Comparez les deux exemples de la section 2 : avec $\ln (\mathrm{0,8})$ l'inégalité se retourne, avec $\ln (\mathrm{1,03})$ elle ne se retourne pas.

4. Croire qu'une suite majorée converge. Il faut aussi la monotonie. La suite $(-1{)}^n$ est bornée et n'a pas de limite. Symétriquement, ne concluez jamais que la limite vaut le majorant que vous avez choisi.

5. Passer à la limite dans une inégalité stricte en gardant le strict. De $u_n<v_n$ pour tout $n$, on ne déduit que $\mathrm{\ell }⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. Le contre-exemple à retenir : $0<{\displaystyle \frac{1}{n}}$, et pourtant les deux limites valent $0$.

6. Se tromper sur le nombre de termes d'une somme. De l'indice $p$ à l'indice $n$, il y a $n-p+1$ termes. Le « $+1$ » s'oublie une fois sur deux.

7. Appliquer les variations de $f$ à une suite récurrente. La méthode de la fonction associée vaut pour $u_n=f(n)$, jamais pour $u_{n+1}=f(u_n)$. Dans le second cas, la croissance de $f$ donne seulement la monotonie, dont le sens dépend de la comparaison entre $u_0$ et $u_1$.

8. Conclure « forme indéterminée, donc pas de limite ». Une forme indéterminée signifie seulement que les tables d'opérations ne suffisent pas. Il faut factoriser le terme dominant, utiliser une expression conjuguée, ou invoquer les croissances comparées.

9. Écrire « la suite converge vers $+\mathrm{\infty }$ ». Une suite de limite infinie diverge. Le mot « converger » est réservé aux limites finies.