ECG appliquées · Chapitre 05 · Premier semestre

Fonctions réelles d'une variable réelle

1re année

Polynômes, racine, puissances, valeur absolue, partie entière, logarithme et exponentielle, limites, continuité.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Ce chapitre est le magasin dans lequel vous viendrez puiser toute l'année, et il a deux missions bien distinctes. La première est de constituer un catalogue de fonctions de référence : le trinôme du second degré, la fonction inverse, la racine carrée, les fonctions puissances $x \mapsto x^{α}$ , la valeur absolue, la partie entière, le logarithme népérien et l'exponentielle. Pour chacune, il faut connaître son ensemble de définition, ses variations, ses limites aux bornes et l'allure de sa courbe, aussi sûrement que l'on connaît une table de multiplication. Ce sont ces fonctions, et elles seules, qui apparaîtront dans les énoncés : le programme précise que « le champ des fonctions étudiées se limite aux fonctions usuelles et à celles qui s'en déduisent de façon simple ».

La seconde mission est de mettre en place trois théorèmes d'existence : le théorème de la limite monotone, le théorème des valeurs intermédiaires, et le théorème de l'image d'un segment. Ces trois énoncés ont un point commun remarquable : ils affirment qu'un objet existe sans jamais dire comment le calculer, ce qui est exactement ce dont on a besoin quand une équation n'a pas de solution exprimable par une formule. Vous les retrouverez partout : en probabilités pour montrer qu'une fonction de répartition admet des limites en $- \infty$ et en $+ \infty$ , en économie pour établir l'existence d'un prix d'équilibre entre une offre et une demande, et dans l'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ rencontrées au chapitre précédent.

Que savez-vous déjà, et qu'est-ce qui change ? Du lycée, vous rapportez le vocabulaire des variations, la lecture graphique, l'exponentielle et le logarithme, et un usage intuitif des limites. Trois choses changent. D'abord, les définitions deviennent formelles : « la limite de $f$ en $x_{0}$ vaut $ℓ$ » recevra un énoncé quantifié précis, avec des $ε$ et des $α$ . Ensuite, les théorèmes viennent avec des hypothèses que l'on vérifie une par une avant de les appliquer : un théorème des valeurs intermédiaires invoqué sans avoir dit que la fonction est continue ne vaut aucun point. Enfin, tout repose sur la pratique des inégalités, que le programme demande explicitement de consolider : majorer, minorer, encadrer, comparer deux quantités sera votre geste le plus fréquent.

Un point mérite d'être annoncé sans détour, car il surprend toujours : ce chapitre se passe volontairement de la dérivation, qui appartient au chapitre VIII, au second semestre. Ici, le sens de variation s'obtient autrement, par les variations connues des fonctions usuelles, par composition ou somme de fonctions monotones, ou par le calcul direct du signe de $f (b) - f (a)$ pour $a < b$ . Cette contrainte n'est pas une punition : elle vous oblige à raisonner sur les inégalités plutôt qu'à appliquer une recette. Notez enfin que le programme précise qu'aucune démonstration concernant les résultats de ce chapitre n'est exigible : les grands théorèmes seront donc énoncés et admis, et nous ne justifierons que ce qui est court et éclairant.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $I$ désigne toujours un intervalle de $R$ , non vide et non réduit à un point ; les lettres $a$ , $b$ , $c$ désignent des réels et $x_{0}$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ . Une fonction est notée $f$ , $g$ ou $h$ , et l'on écrit $f : I \to R$ ou $x \mapsto f (x)$ . L'ensemble de définition de $f$ est noté $D_{f}$ , et sa courbe représentative dans un repère $(O, \vec{ı}, \vec{ȷ})$ est notée $C_{f}$ . On note $R^{*} = R ∖ {0}$ et $R_{+}^{*} =] 0, + \infty [$ . La valeur absolue de $x$ est $∣ x ∣$ , la partie entière de $x$ est $⌊ x ⌋$ , la composée de $f$ suivie de $g$ est $g \circ f$ , et la réciproque d'une bijection $f$ est $f^{- 1}$ . Enfin, $R [x]$ désigne l'ensemble des fonctions polynômes et $R_{n} [x]$ celui des fonctions polynômes de degré au plus $n$ . Deux conventions d'écriture : les intervalles ouverts s'écrivent $] a, b [$ , le séparateur d'un couple ou d'un intervalle est la virgule (on écrit $[0, 1]$ et $A (3, 0)$ ), et les décimaux gardent la virgule française, comme dans $0,75$ .

Généralités sur les fonctions

Cette première section fixe le vocabulaire. Aucun de ces mots n'est nouveau, mais chacun reçoit ici une définition que l'on pourra citer et vérifier, ce qui n'était pas le cas au lycée.

Ensemble de définition et courbe représentative

Définition

Une fonction réelle d'une variable réelle est un procédé qui, à certains réels $x$ , associe un unique réel noté $f (x)$ . L'ensemble de définition de $f$ , noté $D_{f}$ , est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f (x)$ est défini, et la courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f (x))$ lorsque $x$ décrit $D_{f}$ :

C_{f} = {M (x, y); x \in D_{f} et y = f (x)}

Remarque

On travaille sur un intervalle. Le programme demande de se restreindre aux fonctions définies sur un intervalle de $R$ . Or beaucoup d'ensembles de définition naturels sont des réunions d'intervalles : celui de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $R^{*}$ , celui de $x \mapsto \ln (x^{2} - 4)$ est $] - \infty, - 2 [\cup] 2, + \infty [$ . Dans ce cas on ne renonce pas à la fonction, mais on annonce explicitement l'intervalle sur lequel on l'étudie, par exemple « plaçons-nous sur $] 2, + \infty [$ ». C'est une exigence de rédaction, et elle a une vraie raison d'être : la plupart des théorèmes de ce chapitre, du théorème des valeurs intermédiaires au théorème de la bijection, sont faux si l'on oublie que l'ensemble de départ est un intervalle.

Méthode

Déterminer un ensemble de définition. On part de $R$ et l'on retire les valeurs interdites ; il n'y a que trois sources d'interdiction dans ce chapitre.

Un dénominateur doit être non nul : on résout l'équation « dénominateur $= 0$ » et on retire ses solutions.
Une racine carrée exige un radicande positif ou nul : on résout l'inéquation correspondante.
Un logarithme exige un argument strictement positif. Attention, l'inégalité est stricte, contrairement au cas de la racine carrée.

Quand plusieurs conditions coexistent, on les impose toutes en même temps : l'ensemble de définition est leur intersection. On termine en écrivant le résultat sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles, puis, si l'on doit étudier la fonction, en précisant sur quel intervalle on se place.

Exemple

a. $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ . Le dénominateur s'annule pour $x = 3$ , et lui seul, donc $D_{f} = R ∖ {3}$ . Pour étudier $f$ , on se placera sur l'un des deux intervalles, par exemple $] 3, + \infty [$ .

b. $g (x) = \sqrt{5 - x}$ . Il faut $5 - x ⩾ 0$ , c'est-à-dire $x ⩽ 5$ , donc $D_{g} =] - \infty, 5]$ , qui est bien un intervalle.

c. $h (x) = \ln (x^{2} - 4)$ . Il faut $x^{2} - 4 > 0$ , c'est-à-dire $(x - 2) (x + 2) > 0$ : ce produit est strictement positif lorsque les deux facteurs sont de même signe, donc pour $x < - 2$ ou $x > 2$ , et $D_{h} =] - \infty, - 2 [\cup] 2, + \infty [$ .

d. $k (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$ . Deux conditions cette fois, $x - 1 ⩾ 0$ et $x - 3 \neq 0$ , donc $D_{k} = [1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

Égalité de deux fonctions

Définition

Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales lorsque, d'une part, elles ont le même ensemble de définition, et d'autre part $f (x) = g (x)$ pour tout $x$ de cet ensemble commun.

Remarque

La première condition est celle que l'on oublie. Les fonctions $x \mapsto \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ et $x \mapsto x + 1$ ne sont pas égales, car la première est définie sur $R ∖ {1}$ et la seconde sur $R$ ; elles coïncident sur $R ∖ {1}$ , ce qui est une affirmation plus faible et qu'il faut écrire ainsi. Cette distinction n'est pas une coquetterie : c'est exactement elle qui donnera un sens au prolongement par continuité, plus loin dans ce chapitre. De même, $x \mapsto \sqrt{x^{2}}$ et $x \mapsto x$ ont toutes deux $R$ pour ensemble de définition mais ne sont pas égales, puisque pour $x = - 3$ la première vaut $3$ et la seconde $- 3$ : nous verrons que $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣$ .

Somme, produit, quotient, composée

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, et $λ$ un réel.

La somme $f + g$ et le produit $f g$ sont définis par $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ et $(f g) (x) = f (x) g (x)$ , sur $D_{f} \cap D_{g}$ ; le produit par $λ$ est défini par $(λ f) (x) = λ f (x)$ sur $D_{f}$ .
Le quotient $\frac{f}{g}$ est défini par $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ sur ${x \in D_{f} \cap D_{g}; g (x) \neq 0}$ .
La composée $g \circ f$ , lue « $g$ rond $f$ », est définie par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ sur ${x \in D_{f}; f (x) \in D_{g}}$ .

Exemple

La composition n'est pas commutative : en général $g \circ f \neq f \circ g$ , et les deux composées n'ont même pas le même ensemble de définition. On lit $g \circ f$ « de droite à gauche » : on applique d'abord $f$ , puis $g$ .

Prenons $f : x \mapsto \ln x$ , définie sur $] 0, + \infty [$ , et $g : x \mapsto \sqrt{x}$ , définie sur $[0, + \infty [$ . La composée $g \circ f : x \mapsto \sqrt{\ln x}$ est définie lorsque $x > 0$ et $\ln x ⩾ 0$ , c'est-à-dire sur $[1, + \infty [$ . La composée $f \circ g : x \mapsto \ln \sqrt{x}$ est définie lorsque $x ⩾ 0$ et $\sqrt{x} > 0$ , c'est-à-dire sur $] 0, + \infty [$ . Les deux fonctions sont bien différentes.

Parité

Définition

Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ , c'est-à-dire tel que $- x \in D_{f}$ dès que $x \in D_{f}$ . On dit que $f$ est paire lorsque $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ , et impaire lorsque $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ .

Propriété

Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et celle d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Dans les deux cas, il suffit d'étudier la fonction sur la partie positive de son ensemble de définition, puis de compléter la courbe par symétrie.

Remarque

La condition sur l'ensemble de définition passe en premier. Avant même de calculer $f (- x)$ , il faut s'assurer que $- x$ appartient à $D_{f}$ : la fonction $\ln$ , définie sur $] 0, + \infty [$ , n'est ni paire ni impaire, et la question ne se pose même pas. Notez aussi qu'une fonction n'est pas obligée d'être l'une ou l'autre, et que la très grande majorité ne l'est pas : c'est le cas de $\exp$ , puisque $e^{- 1}$ n'est égal ni à $e^{1}$ ni à $- e^{1}$ , ou encore de $x \mapsto x^{2} + x$ . Sont paires $x \mapsto x^{2}$ , $x \mapsto ∣ x ∣$ et $x \mapsto \frac{1}{1 + x^{2}}$ ; sont impaires $x \mapsto x^{3}$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $R^{*}$ , qui est bien symétrique.

Fonctions monotones

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque, pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a ⩽ b$ , on a $f (a) ⩽ f (b)$ ; elle est strictement croissante lorsque $a < b$ entraîne $f (a) < f (b)$ .
$f$ est décroissante (respectivement strictement décroissante) lorsque $a ⩽ b$ entraîne $f (a) ⩾ f (b)$ (respectivement $a < b$ entraîne $f (a) > f (b)$ ).
$f$ est monotone sur $I$ lorsqu'elle y est croissante ou décroissante, et strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Remarque

La monotonie se dit toujours par rapport à un intervalle, jamais « en un point », et elle ne se transmet pas d'une réunion d'intervalles à cette réunion. La fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty, 0 [$ et strictement décroissante sur $] 0, + \infty [$ , mais elle n'est pas décroissante sur $R^{*}$ : on a $- 1 < 1$ et pourtant $\frac{1}{- 1} = - 1 < 1 = \frac{1}{1}$ . Écrire « $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $R^{*}$ » est une faute, et elle est fréquente.

Méthode

Établir un sens de variation sans dériver. La dérivation appartient au second semestre ; trois outils la remplacent, et ils suffisent à tout ce chapitre.

Les variations connues des fonctions usuelles : $x \mapsto x^{2}$ est strictement décroissante sur $] - \infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , la racine carrée est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , $\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes, et ainsi de suite.
Les règles de composition et d'opération énoncées ci-dessous : somme de deux fonctions de même sens, multiplication par un réel, passage à l'inverse, composition.
Le calcul direct du signe de $f (b) - f (a)$ pour deux points $a < b$ quelconques de $I$ . C'est la méthode universelle, celle qui revient à la définition : on fixe $a < b$ , on calcule la différence, on la factorise, et on conclut sur son signe.

Exemple

a. Montrons que $f : x \mapsto x^{2}$ est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ . Soient $0 ⩽ a < b$ ; alors $f (b) - f (a) = b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ . Le facteur $b - a$ est strictement positif, et le facteur $b + a$ aussi car $b > a ⩾ 0$ entraîne $b > 0$ . Le produit est strictement positif, d'où $f (a) < f (b)$ .

b. Montrons que $g : x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $] 0, + \infty [$ . Soient $0 < a < b$ ; alors $g (b) - g (a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{a b}$ , quotient d'un numérateur strictement négatif par un dénominateur strictement positif, donc $g (b) < g (a)$ .

c. Montrons que $h : x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ . Soient $0 ⩽ a < b$ , et raisonnons par l'absurde en supposant $\sqrt{a} ⩾ \sqrt{b}$ . Ces deux nombres étant positifs, on peut élever au carré sans changer le sens de l'inégalité, ce qui donne $a ⩾ b$ et contredit $a < b$ . Donc $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Propriété

Monotonie d'une composée. Soient $f$ définie sur $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ , et $g$ définie sur $J$ . Le sens de variation de $g \circ f$ sur $I$ obéit à une règle des signes, valable aussi avec « strictement » partout.

Sens de $f$ sur $I$	Sens de $g$ sur $J$	Sens de $g \circ f$ sur $I$
croissante	croissante	croissante
croissante	décroissante	décroissante
décroissante	croissante	décroissante
décroissante	décroissante	croissante

Justification, sur un cas. Supposons $f$ croissante sur $I$ et $g$ décroissante sur $J$ , et soient $a < b$ dans $I$ . La croissance de $f$ donne $f (a) ⩽ f (b)$ , et ces deux nombres appartiennent à $J$ ; la décroissance de $g$ renverse alors l'inégalité, d'où $(g \circ f) (a) ⩾ (g \circ f) (b)$ , et $g \circ f$ est décroissante sur $I$ . Les trois autres lignes se traitent exactement de la même façon. $□$

Propriété

Somme, produit par un réel, inverse. Soient $f$ et $g$ définies sur $I$ et $λ$ un réel.

Si $f$ et $g$ sont croissantes sur $I$ , alors $f + g$ est croissante sur $I$ (de même pour décroissantes).
Si $λ > 0$ , la fonction $λ f$ a le même sens de variation que $f$ ; si $λ < 0$ , elle a le sens contraire.
Si $f$ est strictement positive et croissante sur $I$ , alors $\frac{1}{f}$ est décroissante sur $I$ , et inversement.

En revanche, il n'existe aucune règle générale pour le produit ni pour la différence de deux fonctions monotones.

Exemple

a. $x \mapsto \sqrt{\ln x}$ est strictement croissante sur $[1, + \infty [$ , comme composée de $x \mapsto \ln x$ , strictement croissante et à valeurs dans $[0, + \infty [$ sur cet intervalle, suivie de la racine carrée, strictement croissante.

b. $x \mapsto e^{- x^{2}}$ est strictement décroissante sur $[0, + \infty [$ : la fonction $x \mapsto x^{2}$ y est strictement croissante, donc $x \mapsto - x^{2}$ y est strictement décroissante d'après le point 2, et l'exponentielle étant strictement croissante, la composée est strictement décroissante.

c. $x \mapsto 2 - \frac{3}{x + 1}$ est strictement croissante sur $] - 1, + \infty [$ : sur cet intervalle $x \mapsto x + 1$ est strictement croissante et strictement positive, donc $x \mapsto \frac{1}{x + 1}$ est strictement décroissante, donc $x \mapsto - \frac{3}{x + 1}$ est strictement croissante, et l'ajout de la constante $2$ ne change rien.

Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que $f (x) ⩽ M$ pour tout $x \in I$ (un tel $M$ est un majorant), minorée s'il existe un réel $m$ tel que $f (x) ⩾ m$ pour tout $x \in I$ , et bornée si elle est à la fois majorée et minorée. La fonction $f$ est bornée sur $I$ si et seulement s'il existe un réel $M ⩾ 0$ tel que $∣ f (x) ∣ ⩽ M$ pour tout $x \in I$ .

Si de plus $x_{0} \in I$ , on dit que $f$ admet un maximum sur $I$ en $x_{0}$ lorsque $f (x) ⩽ f (x_{0})$ pour tout $x \in I$ ; ce maximum est le nombre $f (x_{0})$ , noté $\max_{I} f$ . On définit de même le minimum, noté $\min_{I} f$ .

Remarque

Un majorant n'est pas un maximum. Un majorant est un réel qui domine toutes les valeurs ; un maximum est un majorant qui est atteint, c'est-à-dire qui est lui-même une valeur de la fonction. Ainsi $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $[1, + \infty [$ est minorée par $0$ mais n'admet pas de minimum, car la valeur $0$ n'est jamais atteinte et aucun réel strictement positif ne minore la fonction. C'est une distinction essentielle, et c'est précisément ce que le théorème de l'image d'un segment, en fin de chapitre, permettra de résoudre : sur un segment, une fonction continue atteint toujours ses bornes.

Exemple

Soit $f : x \mapsto \frac{1}{1 + x^{2}}$ , définie sur $R$ . Pour tout réel $x$ on a $x^{2} ⩾ 0$ , donc $1 + x^{2} ⩾ 1 > 0$ ; la fonction inverse étant strictement décroissante sur $] 0, + \infty [$ , on en déduit $\frac{1}{1 + x^{2}} ⩽ 1$ . Par ailleurs un quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif, d'où l'encadrement $0 < f (x) ⩽ 1$ valable pour tout réel $x$ .

La fonction $f$ est donc bornée sur $R$ , et elle admet le maximum $1$ , atteint en $x = 0$ puisque $f (0) = 1$ . En revanche elle n'admet pas de minimum : la valeur $0$ n'est jamais atteinte, car un quotient de numérateur $1$ ne peut pas être nul.

Fonctions polynômes

Le programme est explicite : « la construction des polynômes formels n'est pas au programme : on confond un polynôme avec sa fonction polynomiale ». Autrement dit, dans tout ce cours, un polynôme est une fonction, et deux polynômes sont égaux exactement lorsque les fonctions correspondantes le sont. Cette identification est confortable, mais elle exige un résultat non trivial que nous verrons plus bas : deux écritures polynomiales qui donnent la même valeur en tout point ont nécessairement les mêmes coefficients.

Définition, degré, ensembles de polynômes

Définition

Une fonction polynôme (ou, par abus, un polynôme) est une fonction $P$ définie sur $R$ par une expression de la forme

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

où $n \in N$ et où $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ sont des réels, appelés les coefficients de $P$ . Si $P$ n'est pas la fonction nulle, son degré $\deg P$ est le plus grand entier $k$ tel que $a_{k} \neq 0$ , et $a_{\deg P}$ s'appelle le coefficient dominant ; par convention, $\deg 0 = - \infty$ .

On note $R [x]$ l'ensemble de toutes les fonctions polynômes et, pour $n \in N$ , $R_{n} [x]$ l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ .

Remarque

La convention $\deg 0 = - \infty$ n'est pas une facétie : elle sert à rendre vraies sans exception les deux formules sur le degré d'une somme et d'un produit, en posant $- \infty + k = - \infty$ et $- \infty < k$ pour tout entier $k$ . Notez que le polynôme nul appartient à $R_{n} [x]$ pour tout $n$ , et que l'on a la chaîne d'inclusions $R_{0} [x] \subset R_{1} [x] \subset R_{2} [x] \subset \dots \subset R [x]$ , où $R_{0} [x]$ est l'ensemble des fonctions constantes. Ainsi $3 x^{4} - x + 7$ est de degré $4$ et de coefficient dominant $3$ , la fonction constante $5$ est de degré $0$ , et $(x - 1) (x + 2) (x - 5)$ est de degré $3$ .

Propriété

Degré d'une somme et d'un produit. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes et $λ$ un réel non nul.

$\deg (P + Q) ⩽ \max (\deg P, \deg Q)$ , avec égalité dès que $\deg P \neq \deg Q$ .
$\deg (P Q) = \deg P + \deg Q$ , et le coefficient dominant de $P Q$ est le produit des coefficients dominants.
$\deg (λ P) = \deg P$ .

Remarque

L'inégalité du point 1 peut être stricte, et c'est le seul point qui demande de l'attention. Prenons $P (x) = x^{2} + x$ et $Q (x) = - x^{2} + 1$ , tous deux de degré $2$ : leur somme vaut $x + 1$ , qui est de degré $1$ , car les termes dominants se sont annulés. C'est pour cela que l'égalité n'est garantie que lorsque les deux degrés sont différents. Le point 2, en revanche, est une égalité sans réserve, puisqu'un produit de deux réels non nuls n'est jamais nul.

Racines et factorisation

Définition

Un réel $a$ est une racine du polynôme $P$ lorsque $P (a) = 0$ .

Propriété

Soit $P$ un polynôme de degré $n ⩾ 1$ et $a$ un réel. Les deux affirmations suivantes se valent : $a$ est une racine de $P$ ; il existe un polynôme $Q$ , de degré $n - 1$ , tel que $P (x) = (x - a) Q (x)$ pour tout réel $x$ .

Justification. Le sens indirect est immédiat : en remplaçant $x$ par $a$ , on obtient $P (a) = (a - a) Q (a) = 0$ . Pour le sens direct, supposons $P (a) = 0$ et écrivons $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ . Comme $P (a) = 0$ , on a $P (x) = P (x) - P (a) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x^{k} - a^{k})$ . Or, pour tout entier $k ⩾ 1$ , on dispose de la factorisation classique

x^{k} - a^{k} = (x - a) (x^{k - 1} + a x^{k - 2} + \dots + a^{k - 2} x + a^{k - 1})

et le terme $k = 0$ de la somme est nul. Chaque terme se factorise donc par $(x - a)$ , et en mettant ce facteur en évidence on obtient $P (x) = (x - a) Q (x)$ avec $Q$ polynomial, de degré $n - 1$ d'après la formule du degré d'un produit. $□$

Exemple

Factorisons complètement $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . On teste d'abord les petites valeurs : $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , donc $1$ est racine et $P$ se factorise par $(x - 1)$ . Cherchons alors $Q (x) = x^{2} + β x + γ$ tel que $P (x) = (x - 1) Q (x)$ , le coefficient dominant de $Q$ valant $1$ puisque celui de $P$ vaut $1$ . En développant,

(x - 1) (x^{2} + β x + γ) = x^{3} + (β - 1) x^{2} + (γ - β) x - γ

L'identification donne $β - 1 = - 2$ , donc $β = - 1$ , et $- γ = 6$ , donc $γ = - 6$ ; on contrôle sur le coefficient de $x$ que $γ - β = - 6 + 1 = - 5$ , ce qui est bien la valeur attendue. Ainsi $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ . Le discriminant du trinôme vaut $Δ = 1 + 24 = 25 > 0$ et ses racines sont $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ , d'où la factorisation complète

P (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)

Contrôle. $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ , puis $(x - 1) (x^{2} - x - 6) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ : on retrouve bien $P$ .

La division euclidienne

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux polynômes avec $B$ non nul. Il existe un unique couple de polynômes $(Q, R)$ tel que

A (x) = B (x) Q (x) + R (x) avec \deg R < \deg B

Le polynôme $Q$ s'appelle le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ . (Admis.)

Méthode

Poser une division euclidienne.

Écrire $A$ dans l'ordre des puissances décroissantes, en faisant apparaître les monômes manquants avec un coefficient nul.
Diviser le terme dominant du dividende par le terme dominant de $B$ : cela donne un terme du quotient.
Multiplier $B$ par ce terme et soustraire le résultat au dividende courant ; le degré diminue d'au moins une unité.
Recommencer tant que le degré du dividende reste supérieur ou égal à $\deg B$ , puis s'arrêter et vérifier en développant $B Q + R$ .

Exemple

Divisons $A (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - 5$ par $B (x) = x^{2} - x + 2$ . On écrit d'abord $A (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + x - 5$ .

Première étape. $\frac{2 x^{4}}{x^{2}} = 2 x^{2}$ , et $2 x^{2} B (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ . En soustrayant :

(2 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + x - 5) - (2 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}) = - x^{3} - 4 x^{2} + x - 5

Deuxième étape. $\frac{- x^{3}}{x^{2}} = - x$ , et $- x B (x) = - x^{3} + x^{2} - 2 x$ . En soustrayant :

(- x^{3} - 4 x^{2} + x - 5) - (- x^{3} + x^{2} - 2 x) = - 5 x^{2} + 3 x - 5

Troisième étape. $\frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} = - 5$ , et $- 5 B (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 10$ . En soustrayant :

(- 5 x^{2} + 3 x - 5) - (- 5 x^{2} + 5 x - 10) = - 2 x + 5

Le reste obtenu est de degré $1$ , strictement inférieur à $\deg B = 2$ : la division s'arrête, avec $Q (x) = 2 x^{2} - x - 5$ et $R (x) = - 2 x + 5$ , c'est-à-dire

2 x^{4} - 3 x^{3} + x - 5 = (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - x - 5) + (- 2 x + 5)

Vérification. En développant le produit :

\begin{aligned} (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - x - 5) & = (2 x^{4} - x^{3} - 5 x^{2}) + (- 2 x^{3} + x^{2} + 5 x) + (4 x^{2} - 2 x - 10) \\ = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 0 x^{2} + 3 x - 10 \end{aligned}

En ajoutant le reste $- 2 x + 5$ , on retrouve bien $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - 5 = A (x)$ . Cette technique rendra un service inattendu dans la section consacrée aux asymptotes : diviser le numérateur d'une fonction rationnelle par son dénominateur fait apparaître directement l'équation de son asymptote oblique.

Un polynôme qui a trop de racines est nul

Propriété

Soit $n \in N$ et $P \in R_{n} [x]$ . Si $P$ admet au moins $n + 1$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont nuls. Autrement dit, un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines distinctes.

Corollaire (identification des coefficients). Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $R_{n} [x]$ . S'ils prennent la même valeur en au moins $n + 1$ points distincts, alors $P = Q$ et leurs coefficients sont égaux un à un. En particulier, si $P (x) = Q (x)$ pour tout $x$ d'un intervalle, qui contient une infinité de points, alors $P$ et $Q$ ont les mêmes coefficients.

Remarque

Ce corollaire est ce qui légitime, une fois pour toutes, le geste que vous faites depuis le lycée : « les deux expressions sont égales pour tout $x$ , donc j'identifie les coefficients ». Ce geste n'a rien d'évident, puisqu'une égalité de fonctions est a priori une infinité d'égalités numériques, et non une égalité d'écritures. C'est exactement le prix à payer pour avoir confondu un polynôme et sa fonction polynomiale.

Exemple

Déterminons les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ ,

x^{2} = a (x - 1) (x - 2) + b x (x - 2) + c x (x - 1)

Les deux membres sont des polynômes de $R_{2} [x]$ : d'après le corollaire, il suffit de les faire coïncider en $3$ points distincts, et le plus efficace est de choisir ceux qui annulent deux des trois termes. Pour $x = 0$ , le membre de gauche vaut $0$ et celui de droite $a (- 1) (- 2) = 2 a$ , donc $a = 0$ . Pour $x = 1$ , on obtient $1 = b \times 1 \times (- 1) = - b$ , donc $b = - 1$ . Pour $x = 2$ , on obtient $4 = c \times 2 \times 1 = 2 c$ , donc $c = 2$ .

Vérification. Avec ces valeurs, le membre de droite vaut $- x (x - 2) + 2 x (x - 1) = - x^{2} + 2 x + 2 x^{2} - 2 x = x^{2}$ : l'égalité est bien vraie pour tout réel $x$ .

Le trinôme du second degré

Définition

Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ . Son discriminant est le réel $Δ = b^{2} - 4 a c$ , et sa forme canonique est

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

Propriété

Racines et factorisation. Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ .

Si $Δ > 0$ , $P$ admet deux racines réelles distinctes, données par $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ , et, en les notant $x_{1}$ et $x_{2}$ , $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Attention : ces deux formules ne sont rangées dans l'ordre croissant que si $a > 0$ ; lorsque $a < 0$ , c'est la seconde qui donne la plus petite. Dans toute la suite, dès que l'ordre des racines intervient, on convient de noter $x_{1} < x_{2}$ après les avoir comparées.
Si $Δ = 0$ , $P$ admet une unique racine $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , dite double, et $P (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .
Si $Δ < 0$ , $P$ n'admet aucune racine réelle et ne se factorise pas dans $R$ .

Propriété

Signe du trinôme. Si $Δ < 0$ ou $Δ = 0$ , le trinôme est du signe de $a$ sur $R$ tout entier, en s'annulant en $x_{0}$ dans le cas $Δ = 0$ . Si $Δ > 0$ , en notant $x_{1} < x_{2}$ ses deux racines :

x

-\infty

x_1

x_2

+\infty

ax^2+bx+c

signe de

a

0

signe contraire de

a

0

signe de

a

La formule à retenir : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe contraire entre les racines.

Justification du cas $Δ < 0$ . La forme canonique s'écrit aussi

a x^{2} + b x + c = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

Comme $Δ < 0$ et $4 a^{2} > 0$ , le nombre $- \frac{Δ}{4 a^{2}}$ est strictement positif : le crochet est la somme d'un carré, positif ou nul, et d'un nombre strictement positif, donc il est strictement positif. Le trinôme est donc du signe de $a$ , et ne s'annule jamais. $□$

Propriété

Somme et produit des racines. Si $Δ ⩾ 0$ et si $x_{1}$ et $x_{2}$ désignent les racines de $a x^{2} + b x + c$ , éventuellement confondues, alors

S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Réciproquement, deux réels de somme $S$ et de produit $P$ sont exactement les racines du trinôme $X^{2} - S X + P$ , lorsque celui-ci en possède.

Justification. Développons la forme factorisée : $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}$ . En identifiant avec $a x^{2} + b x + c$ , il vient $- a (x_{1} + x_{2}) = b$ et $a x_{1} x_{2} = c$ , ce qui donne les deux relations après division par $a \neq 0$ . $□$

Propriété

Signes des racines lus sur les coefficients. On suppose $Δ ⩾ 0$ , et l'on note $S = - \frac{b}{a}$ et $P = \frac{c}{a}$ .

Situation	Conséquence sur les racines
$P < 0$	deux racines de signes contraires (et alors $Δ > 0$ )
$P > 0$ et $S > 0$	deux racines strictement positives
$P > 0$ et $S < 0$	deux racines strictement négatives
$P = 0$	l'une des racines est nulle

Justification du premier cas. Si $P < 0$ , le produit des racines est strictement négatif, donc les racines sont non nulles et de signes contraires. On peut même se passer de l'hypothèse $Δ ⩾ 0$ : en divisant $Δ = b^{2} - 4 a c$ par $a^{2} > 0$ , on obtient $\frac{Δ}{a^{2}} = S^{2} - 4 P$ , qui est strictement positif dès que $P < 0$ , donc le discriminant l'est automatiquement. $□$

Exemple

Considérons le trinôme $x^{2} - 5 x + 6$ : ici $a = 1$ , donc $S = 5$ et $P = 6$ . Le produit et la somme sont tous deux strictement positifs, donc les deux racines sont strictement positives, et cela se lit sans les calculer. On peut ensuite les chercher de tête, puisque deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ sont $2$ et $3$ ; le contrôle par le discriminant confirme, avec $Δ = 25 - 24 = 1$ et des racines valant $\frac{5 \pm 1}{2}$ .

Méthode

Résoudre une inéquation produit ou quotient.

Tout ramener d'un même côté pour obtenir une comparaison à $0$ . On ne multiplie jamais en croix par une quantité dont on ignore le signe.
Réduire au même dénominateur s'il y a des fractions, puis factoriser numérateur et dénominateur en facteurs du premier degré ou en trinômes.
Déterminer les valeurs interdites et les valeurs qui annulent chaque facteur.
Dresser un tableau de signes : une ligne par facteur, une colonne par valeur charnière rangée dans l'ordre croissant, puis une ligne de synthèse obtenue par la règle des signes, avec une double barre aux valeurs interdites.
Lire l'ensemble des solutions en soignant les bornes : une valeur qui annule le numérateur est incluse si l'inégalité est large, une valeur interdite est toujours exclue.

Exemple

Résolvons $\frac{x^{2} - x - 6}{x + 1} ⩽ 0$ . Le dénominateur s'annule en $x = - 1$ , donc on travaille sur $R ∖ {- 1}$ . Le trinôme $x^{2} - x - 6$ a pour discriminant $Δ = 1 + 24 = 25$ , donc pour racines $\frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $\frac{1 + 5}{2} = 3$ ; son coefficient dominant valant $1$ , il se factorise en $(x + 2) (x - 3)$ et l'inéquation devient $\frac{(x + 2) (x - 3)}{x + 1} ⩽ 0$ . Les valeurs charnières sont donc $- 2$ , $- 1$ et $3$ .

x

-\infty

-2

-1

3

+\infty

x+2

-

0

+

+

+

x-3

-

-

-

0

+

x+1

-

-

0

+

+

\dfrac{(x+2)(x-3)}{x+1}

-

0

+

-

0

+

L'expression est négative ou nulle sur $] - \infty, - 2]$ et sur $] - 1, 3]$ . Les valeurs $- 2$ et $3$ sont incluses car elles annulent le numérateur et l'inégalité est large ; la valeur $- 1$ est exclue car elle est interdite. L'ensemble des solutions est $S =] - \infty, - 2] \cup] - 1, 3]$ .

Racine carrée, inverse et fonctions puissances

La fonction inverse et la fonction racine carrée

Propriété

La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ , définie sur $R^{*}$ , est impaire et strictement décroissante sur $] - \infty, 0 [$ ainsi que sur $] 0, + \infty [$ , mais pas sur la réunion des deux, comme on l'a vu plus haut. Ses limites aux bornes sont $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ , $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ et $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$ . Sa courbe est une hyperbole, qui admet l'axe des ordonnées pour asymptote verticale et l'axe des abscisses pour asymptote horizontale.

x

0

+\infty

\dfrac{1}{x}

+\infty

0

Définition

Pour tout réel $x ⩾ 0$ , la racine carrée de $x$ , notée $\sqrt{x}$ , est l'unique réel positif dont le carré vaut $x$ .

Propriété

La fonction racine carrée est définie sur $[0, + \infty [$ , à valeurs dans $[0, + \infty [$ , strictement croissante, et $\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty$ . Pour tous réels $a ⩾ 0$ et $b ⩾ 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}, \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (b > 0), {(\sqrt{a})}^{2} = a, \sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣ pour tout r \overset{ˊ}{e} el x

Quantité conjuguée. Si $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ : c'est l'outil de base pour lever une forme indéterminée du type « différence de deux racines ».

Remarque

Deux pièges. D'abord, il n'existe aucune formule pour $\sqrt{a + b}$ : en général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , comme le montre $\sqrt{9 + 16} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ . Ensuite, $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣$ et non $x$ , l'égalité $\sqrt{x^{2}} = x$ n'étant valable que pour $x ⩾ 0$ : c'est une erreur très coûteuse dans les calculs de limites où l'on factorise par $x$ sous une racine.

Propriété

Comparaison avec $x$ . Pour $x \in [0, 1]$ on a $x ⩽ \sqrt{x}$ , et pour $x \in [1, + \infty [$ on a $\sqrt{x} ⩽ x$ . Les deux courbes se coupent en $(0, 0)$ et en $(1, 1)$ .

Justification. Pour $x ⩾ 0$ , écrivons $\sqrt{x} - x = \sqrt{x} (1 - \sqrt{x})$ . Le facteur $\sqrt{x}$ est positif, et le facteur $1 - \sqrt{x}$ est positif lorsque $\sqrt{x} ⩽ 1$ , c'est-à-dire lorsque $x ⩽ 1$ , et négatif sinon. Le produit change donc de signe en $1$ , ce qui donne exactement les deux comparaisons annoncées. $□$

Les fonctions puissances

Définition

Soit $α$ un réel. La fonction puissance d'exposant $α$ est définie sur $] 0, + \infty [$ par $x^{α} = e^{α \ln x}$ .

Remarque

Cette définition est cohérente avec ce que vous connaissez : pour $α = n$ entier naturel, $e^{n \ln x} = {(e^{\ln x})}^{n} = x^{n}$ ; pour $α = \frac{1}{2}$ on retrouve $x^{1 / 2} = \sqrt{x}$ , et pour $α = - 1$ on retrouve $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ . Son intérêt est de donner un sens à des exposants comme $x^{\sqrt{2}}$ ou $x^{- 0,3}$ . Attention à l'ensemble de définition : dès que l'exposant n'est pas entier, la fonction $x \mapsto x^{α}$ n'est définie que sur $] 0, + \infty [$ , car le logarithme exige un argument strictement positif. On n'écrit jamais $(- 8)^{1 / 3}$ .

Propriété

Règles de calcul. Pour tous réels $x > 0$ , $y > 0$ et tous réels $α$ , $β$ :

x^{α} x^{β} = x^{α + β}, \frac{x^{α}}{x^{β}} = x^{α - β}, {(x^{α})}^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, x^{- α} = \frac{1}{x^{α}}

et, du côté du logarithme, $\ln (x^{α}) = α \ln x$ . Enfin $x^{0} = 1$ et $1^{α} = 1$ : toutes les courbes des fonctions puissances passent par le point $(1, 1)$ .

Propriété

Variations et limites. Si $α > 0$ , la fonction $x \mapsto x^{α}$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ , avec $\lim_{x \to 0^{+}} x^{α} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} x^{α} = + \infty$ . Si $α < 0$ , elle est strictement décroissante, avec $\lim_{x \to 0^{+}} x^{α} = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} x^{α} = 0$ . Si $α = 0$ , elle est constante égale à $1$ .

Justification des variations. Écrivons $x^{α} = e^{α \ln x}$ comme une composée. La fonction $x \mapsto \ln x$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ ; si $α > 0$ , la multiplication par $α$ conserve le sens, donc $x \mapsto α \ln x$ est strictement croissante, et l'exponentielle étant strictement croissante, la composée l'est aussi. Si $α < 0$ , la multiplication par $α$ renverse le sens et la composée est strictement décroissante. Les limites s'obtiennent de la même manière par composition. $□$

Propriété

Comparaison de deux puissances. Soient $α < β$ deux réels. Pour $x \in] 0, 1 [$ on a $x^{β} < x^{α}$ : sur cet intervalle, plus l'exposant est grand, plus la puissance est petite. Pour $x \in] 1, + \infty [$ on a $x^{α} < x^{β}$ , et l'ordre habituel est rétabli. En $x = 1$ , toutes les puissances valent $1$ .

Justification. Écrivons $\frac{x^{β}}{x^{α}} = x^{β - α} = e^{(β - α) \ln x}$ , avec $β - α > 0$ . Si $0 < x < 1$ , alors $\ln x < 0$ , donc l'exposant $(β - α) \ln x$ est strictement négatif et l'exponentielle est strictement inférieure à $1$ : le quotient est plus petit que $1$ , d'où $x^{β} < x^{α}$ . Si $x > 1$ , alors $\ln x > 0$ et le même raisonnement donne un quotient strictement supérieur à $1$ . $□$

Les fonctions puissances sur l'intervalle des réels strictement positifs

La figure résume tout : sur $] 0, 1 [$ , la courbe de $x^{2}$ est sous celle de $x$ , elle-même sous celle de $\sqrt{x}$ ; sur $] 1, + \infty [$ l'ordre s'inverse ; et les quatre courbes se croisent au point $(1, 1)$ . C'est un dessin à savoir refaire de mémoire, car il rend immédiates des comparaisons que l'on chercherait sinon par le calcul.

Valeur absolue et distance

Définition

La valeur absolue d'un réel $x$ est le réel positif

∣ x ∣ = {\begin{cases} x & si x ⩾ 0 \\ - x & si x < 0 \end{cases}

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est le réel positif $d (a, b) = ∣ a - b ∣$ .

Propriété

Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ :

$∣ a ∣ ⩾ 0$ , et $∣ a ∣ = 0$ si et seulement si $a = 0$ ;
$∣ - a ∣ = ∣ a ∣$ , donc la fonction valeur absolue est paire ;
$∣ a b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣$ et, si $b \neq 0$ , $∣ \frac{a}{b} ∣ = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}$ ;
$∣ a ∣^{2} = a^{2}$ et $\sqrt{a^{2}} = ∣ a ∣$ ;
$- ∣ a ∣ ⩽ a ⩽ ∣ a ∣$ ;
inégalité triangulaire : $∣ a + b ∣ ⩽ ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ , et seconde inégalité triangulaire : $∣ ∣ a ∣ - ∣ b ∣ ∣ ⩽ ∣ a - b ∣$ ;
la distance vérifie $d (a, b) = 0$ si et seulement si $a = b$ , ainsi que $d (a, b) = d (b, a)$ et $d (a, c) ⩽ d (a, b) + d (b, c)$ .

Justification de l'inégalité triangulaire. Comparons les carrés des deux membres, tous deux positifs :

{(∣ a ∣ + ∣ b ∣)}^{2} - (a + b)^{2} = a^{2} + 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ + b^{2} - a^{2} - 2 a b - b^{2} = 2 (∣ a b ∣ - a b)

Or $a b ⩽ ∣ a b ∣$ d'après le point 5, donc cette différence est positive et $(a + b)^{2} ⩽ {(∣ a ∣ + ∣ b ∣)}^{2}$ . Les deux nombres $∣ a + b ∣$ et $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ étant positifs et la fonction $t \mapsto t^{2}$ étant strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , on en déduit $∣ a + b ∣ ⩽ ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Notez qu'il s'agit bien d'une inégalité, jamais d'une égalité : $∣ 3 + (- 5) ∣ = 2$ alors que $∣ 3 ∣ + ∣ - 5 ∣ = 8$ . $□$

Propriété

Caractérisations, à connaître par cœur. Soit $r$ un réel positif.

∣ x ∣ ⩽ r ⟺ - r ⩽ x ⩽ r ⟺ x \in [- r, r]

∣ x ∣ ⩾ r ⟺ (x ⩽ - r ou x ⩾ r)

∣ x - a ∣ ⩽ r ⟺ a - r ⩽ x ⩽ a + r ⟺ x \in [a - r, a + r]

Les mêmes équivalences valent avec des inégalités strictes et des intervalles ouverts.

Remarque

La troisième caractérisation se relit très simplement : $∣ x - a ∣ ⩽ r$ signifie que $x$ est à une distance au plus $r$ du point $a$ , c'est-à-dire que $x$ appartient à l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ . C'est cette lecture qu'il faut avoir en tête quand apparaîtra la définition de la limite, où $∣ f (x) - ℓ ∣ ⩽ ε$ voudra dire « $f (x)$ est à une distance au plus $ε$ de $ℓ$ ». Par exemple, $∣ x - 2 ∣ ⩽ 3$ décrit l'ensemble des réels situés à une distance au plus $3$ du réel $2$ :

Propriété

La fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ est définie sur $R$ , paire, strictement décroissante sur $] - \infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, + \infty [$ ; elle admet un minimum égal à $0$ , atteint en $x = 0$ . Sa courbe est formée de deux demi-droites issues de l'origine : la droite d'équation $y = x$ pour $x ⩾ 0$ , et la droite d'équation $y = - x$ pour $x ⩽ 0$ .

x

-\infty

0

+\infty

|x|

+\infty

0

+\infty

Courbe de la valeur absolue et interprétation de l'inégalité

Méthode

Résoudre une équation ou une inéquation avec une valeur absolue. Deux stratégies, à choisir selon la forme de l'énoncé.

Stratégie 1 : les caractérisations, quand il n'y a qu'une seule valeur absolue, isolée dans un membre.

$∣ A ∣ = k$ avec $k > 0$ équivaut à « $A = k$ ou $A = - k$ » ; avec $k = 0$ , à $A = 0$ ; avec $k < 0$ , il n'y a pas de solution.
$∣ A ∣ = ∣ B ∣$ équivaut à « $A = B$ ou $A = - B$ ».
$∣ A ∣ ⩽ k$ équivaut à $- k ⩽ A ⩽ k$ , donc à un système ; $∣ A ∣ ⩾ k$ équivaut à « $A ⩽ - k$ ou $A ⩾ k$ », donc à une réunion.

Stratégie 2 : la disjonction de cas, dès qu'il y a plusieurs valeurs absolues. On repère les valeurs qui annulent chaque expression entre les barres, on découpe $R$ en intervalles délimités par ces valeurs, on remplace sur chaque intervalle chaque valeur absolue par l'expression sans barres affectée du bon signe, on résout, puis on intersecte avec l'intervalle de travail avant de réunir les résultats.

Dans les deux cas, on conclut par une phrase donnant l'ensemble des solutions, et l'on vérifie au moins une solution dans l'équation de départ.

Exemple

a. $∣ 2 x - 3 ∣ = 5$ . Comme $5 > 0$ , l'équation équivaut à $2 x - 3 = 5$ ou $2 x - 3 = - 5$ , donc à $x = 4$ ou $x = - 1$ . Vérification : $∣ 2 \times 4 - 3 ∣ = 5$ et $∣ 2 \times (- 1) - 3 ∣ = ∣ - 5 ∣ = 5$ , donc $S = {- 1, 4}$ .

b. $∣ x - 2 ∣ ⩽ 3$ équivaut à $- 3 ⩽ x - 2 ⩽ 3$ , donc à $- 1 ⩽ x ⩽ 5$ : $S = [- 1, 5]$ .

c. $∣ x + 1 ∣ > 2$ équivaut à « $x + 1 < - 2$ ou $x + 1 > 2$ », donc $S =] - \infty, - 3 [\cup] 1, + \infty [$ .

d. $∣ x - 1 ∣ = ∣ 2 x + 3 ∣$ équivaut à $x - 1 = 2 x + 3$ ou $x - 1 = - (2 x + 3)$ . La première donne $x = - 4$ , la seconde donne $3 x = - 2$ , soit $x = - \frac{2}{3}$ . Vérification : $∣ - 4 - 1 ∣ = 5$ et $∣ 2 \times (- 4) + 3 ∣ = 5$ ; puis $∣ - \frac{2}{3} - 1 ∣ = \frac{5}{3}$ et $∣ - \frac{4}{3} + 3 ∣ = \frac{5}{3}$ . Donc $S = {- 4, - \frac{2}{3}}$ .

Exemple

Une inéquation à deux valeurs absolues. Résolvons $∣ x - 1 ∣ + ∣ x + 2 ∣ ⩽ 5$ . Les expressions entre barres s'annulent en $1$ et en $- 2$ , ce qui découpe $R$ en trois intervalles.

Cas 1 : $x < - 2$ . Alors $∣ x - 1 ∣ = 1 - x$ et $∣ x + 2 ∣ = - x - 2$ , donc l'inéquation devient $- 2 x - 1 ⩽ 5$ , soit $x ⩾ - 3$ . En intersectant avec $] - \infty, - 2 [$ , on obtient $[- 3, - 2 [$ .

Cas 2 : $- 2 ⩽ x < 1$ . Alors $∣ x - 1 ∣ = 1 - x$ et $∣ x + 2 ∣ = x + 2$ , donc l'inéquation devient $3 ⩽ 5$ , ce qui est toujours vrai : tout l'intervalle $[- 2, 1 [$ convient.

Cas 3 : $x ⩾ 1$ . Alors $∣ x - 1 ∣ = x - 1$ et $∣ x + 2 ∣ = x + 2$ , donc l'inéquation devient $2 x + 1 ⩽ 5$ , soit $x ⩽ 2$ , et l'on obtient $[1, 2]$ .

En réunissant les trois cas, $S = [- 3, - 2 [\cup [- 2, 1 [\cup [1, 2] = [- 3, 2]$ . Une vérification aux bornes conforte le résultat : pour $x = - 3$ on obtient $4 + 1 = 5$ , et pour $x = 2$ , $1 + 4 = 5$ .

Partie entière

Définition

Soit $x$ un réel. Il existe un unique entier relatif $n$ tel que $n ⩽ x < n + 1$ ; cet entier s'appelle la partie entière de $x$ et se note $⌊ x ⌋$ . (Existence et unicité admises.)

Remarque

Notation. Le programme impose la notation $⌊ x ⌋$ , et pas autre chose : la lettre $E$ est réservée à l'espérance d'une variable aléatoire, que vous rencontrerez au second semestre. Écrire la partie entière avec un $E$ créerait une ambiguïté inacceptable dans les chapitres de probabilités, où les deux objets se côtoient.

Propriété

Encadrement fondamental. Pour tout réel $x$ , $x - 1 < ⌊ x ⌋ ⩽ x$ . De plus, $⌊ x ⌋ = x$ si et seulement si $x$ est un entier relatif.

Remarque

Cet encadrement est l'outil numéro un de tous les exercices sur la partie entière, et il se lit directement sur la définition : de $⌊ x ⌋ ⩽ x$ on tire l'inégalité de droite, et de $x < ⌊ x ⌋ + 1$ on tire $x - 1 < ⌊ x ⌋$ . Sa force est de coincer $⌊ x ⌋$ , objet peu maniable, entre deux expressions simples en $x$ ; combiné au théorème d'encadrement de la section suivante, il permet de calculer toutes les limites où la partie entière apparaît.

a. $⌊ 3,7 ⌋ = 3$

b. $⌊ 5 ⌋ = 5$

c. $⌊ 0,99 ⌋ = 0$

d. $⌊ - 3,7 ⌋ = - 4$

e. $⌊ - 2 ⌋ = - 2$

f. $⌊ - 0,1 ⌋ = - 1$

Remarque

Le piège des nombres négatifs. La partie entière n'est pas « le nombre sans sa virgule » : c'est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ . Pour $x = - 3,7$ , les entiers inférieurs ou égaux à $x$ sont $- 4$ , $- 5$ , $- 6$ , et ainsi de suite ; le plus grand est $- 4$ . On a donc $⌊ - 3,7 ⌋ = - 4$ , et surtout pas $- 3$ , ce que le contrôle par la définition confirme immédiatement, puisque $- 4 ⩽ - 3,7 < - 3$ .

Propriété

La fonction $x \mapsto ⌊ x ⌋$ est définie sur $R$ , à valeurs dans $Z$ , et croissante au sens large, jamais strictement. Elle est constante sur chaque intervalle $[n, n + 1 [$ avec $n \in Z$ , où elle vaut $n$ : sa courbe est une succession de segments horizontaux, d'où le nom de fonction en escalier, chaque marche étant fermée à gauche et ouverte à droite.

La fonction partie entière, en escalier

Remarque

Une fonction qui n'est pas continue. On voit sur la figure que la courbe saute d'une unité à chaque entier. Nous formaliserons cela dans la section consacrée à la continuité : en un entier $n$ , la fonction partie entière admet une limite à droite égale à $n$ , donc égale à sa valeur, mais une limite à gauche égale à $n - 1$ ; les deux limites étant différentes, elle n'a pas de limite en $n$ et n'y est donc pas continue. En dehors des entiers, en revanche, elle est localement constante, donc continue. C'est notre unique exemple naturel de fonction discontinue, et il servira plusieurs fois de contre-exemple, notamment pour montrer que l'hypothèse de continuité du théorème des valeurs intermédiaires ne peut pas être supprimée.

Logarithme népérien et exponentielle

Le logarithme népérien

Définition

On admet l'existence d'une fonction, appelée logarithme népérien et notée $\ln$ , définie sur $] 0, + \infty [$ , strictement croissante, vérifiant $\ln 1 = 0$ et $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ . Le réel $e$ est défini comme l'unique réel strictement positif vérifiant $\ln e = 1$ ; on a $e \approx 2,718$ .

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier $n \in Z$ :

\ln (\frac{1}{b}) = - \ln b, \ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b, \ln (a^{n}) = n \ln a, \ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a

Justification. Ces quatre formules découlent toutes de la seule propriété $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ . Pour la première, $\ln b + \ln (\frac{1}{b}) = \ln (b \times \frac{1}{b}) = \ln 1 = 0$ , donc $\ln (\frac{1}{b}) = - \ln b$ . Pour la deuxième, $\ln (\frac{a}{b}) = \ln a + \ln (\frac{1}{b}) = \ln a - \ln b$ . Pour la troisième avec $n \in N$ , on procède par récurrence : l'initialisation en $n = 0$ est vraie car $\ln (a^{0}) = \ln 1 = 0$ , et si $\ln (a^{n}) = n \ln a$ pour un entier $n$ fixé, alors $\ln (a^{n + 1}) = \ln (a^{n}) + \ln a = (n + 1) \ln a$ , ce qui achève l'hérédité ; le cas $n$ négatif s'en déduit par la première formule. Pour la quatrième, $2 \ln \sqrt{a} = \ln (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) = \ln a$ . $□$

Propriété

Variations, signe et limites. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ , avec $\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ . Son signe se lit sur sa stricte croissance et sur $\ln 1 = 0$ : $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ , et $\ln x > 0$ pour $x > 1$ .

x

0

1

+\infty

\ln x

-

0

+

x

0

+\infty

\ln x

-\infty

+\infty

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , on a $\ln a = \ln b ⟺ a = b$ (injectivité) et $\ln a ⩽ \ln b ⟺ a ⩽ b$ (stricte croissance). Avant d'appliquer l'une ou l'autre, il faut avoir vérifié que les deux quantités sont strictement positives.

La fonction exponentielle

Définition

La fonction $\ln$ réalise une bijection de $] 0, + \infty [$ sur $R$ . Sa bijection réciproque s'appelle la fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^{x}$ ; elle est définie sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ .

Propriété

Les deux relations fondamentales sont $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ et $\ln (e^{y}) = y$ pour tout réel $y$ . En particulier $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ , et surtout $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais. Pour tous réels $x$ , $y$ et tout entier $n \in Z$ :

e^{x + y} = e^{x} e^{y}, e^{- x} = \frac{1}{e^{x}}, e^{x - y} = \frac{e^{x}}{e^{y}}, {(e^{x})}^{n} = e^{n x}

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ , avec $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ . Enfin $e^{x} = e^{y} ⟺ x = y$ , $e^{x} ⩽ e^{y} ⟺ x ⩽ y$ , et pour $y > 0$ , $e^{x} = y ⟺ x = \ln y$ .

x

-\infty

+\infty

e^{x}

0

+\infty

Justification de la première formule. Les deux membres sont strictement positifs, il suffit donc de montrer qu'ils ont le même logarithme. D'une part $\ln (e^{x + y}) = x + y$ ; d'autre part $\ln (e^{x} e^{y}) = \ln (e^{x}) + \ln (e^{y}) = x + y$ . Les deux logarithmes coïncident, et $\ln$ est injective. $□$

Positions relatives des trois courbes

Propriété

Inégalités fondamentales (admises). On a $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ , et $e^{x} ⩾ 1 + x$ pour tout réel $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

Positions relatives. Il en résulte que $\ln x < x < e^{x}$ pour tout $x > 0$ : sur $] 0, + \infty [$ , la courbe de $\ln$ est au-dessous de la droite d'équation $y = x$ , elle-même au-dessous de la courbe de $\exp$ . De plus, les courbes de $\ln$ et de $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ , puisque ces deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre.

Justification. La première inégalité admise donne $\ln x ⩽ x - 1 < x$ , et la seconde donne $e^{x} ⩾ 1 + x > x$ ; en combinant les deux sur $] 0, + \infty [$ , on obtient l'encadrement annoncé. $□$

Positions relatives des courbes du logarithme, de la fonction identité et de l'exponentielle

Propriété

Limites usuelles en $0$ (admises).

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1 et \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

Ce sont des formes indéterminées du type $\frac{0}{0}$ , dont le contenu est le suivant : au voisinage de $0$ , $\ln (1 + x)$ et $e^{x} - 1$ se comportent comme $x$ . Vous les retrouverez dans presque tous les calculs de limites faisant intervenir une exponentielle ou un logarithme près de $0$ .

Fonctions du type u(x) puissance v(x)

Définition

Soient $u$ et $v$ définies sur un intervalle $I$ , avec $u (x) > 0$ pour tout $x \in I$ . La fonction $x \mapsto u (x)^{v (x)}$ est définie sur $I$ par $u (x)^{v (x)} = e^{v (x) \ln u (x)}$ .

Méthode

Étudier une fonction du type $u (x)^{v (x)}$ .

Déterminer l'ensemble de définition en imposant $u (x) > 0$ , condition impérative que le logarithme exige, en plus des conditions propres à $u$ et à $v$ .
Réécrire immédiatement sous forme exponentielle : $u (x)^{v (x)} = e^{v (x) \ln u (x)}$ . C'est le seul geste possible ; toute tentative de manipuler l'écriture avec exposant est vouée à l'échec.
Étudier l'exposant $x \mapsto v (x) \ln u (x)$ , qui est un produit de deux fonctions connues, donc un objet familier, et calculer sa limite après avoir levé l'éventuelle forme indéterminée.
Composer par l'exponentielle pour conclure, en utilisant sa continuité et le théorème de composition des limites.

Les formes indéterminées $1^{\infty}$ , $0^{0}$ et $\infty^{0}$ que l'on croit voir sur l'écriture initiale ne sont pas des formes nouvelles : le passage à l'exponentielle les ramène toujours à une forme $0 \times \infty$ sur l'exposant.

Exemple

Étude de $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ en $+ \infty$ . Pour $x > 0$ on a $\frac{1}{x} > 0$ , donc $1 + \frac{1}{x} > 1 > 0$ : la condition de stricte positivité de la base est satisfaite, et l'on se place sur $I =] 0, + \infty [$ , où $f (x) = \exp (x \ln (1 + \frac{1}{x}))$ .

Limite de l'exposant. Notons $g (x) = x \ln (1 + \frac{1}{x})$ . Lorsque $x \to + \infty$ , on a $\frac{1}{x} \to 0$ et $\ln (1 + \frac{1}{x}) \to \ln 1 = 0$ : nous sommes face à une forme indéterminée du type $\infty \times 0$ . Posons $t = \frac{1}{x}$ ; comme $x > 0$ , on a $t > 0$ , et $t \to 0^{+}$ lorsque $x \to + \infty$ . Puisque $x = \frac{1}{t}$ , il vient

g (x) = \frac{1}{t} \ln (1 + t) = \frac{\ln (1 + t)}{t}

Or $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ d'après la limite usuelle admise, donc par composition $\lim_{x \to + \infty} g (x) = 1$ .

Conclusion. La fonction exponentielle étant continue en $1$ , une nouvelle composition donne

\lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e^{1} = e \approx 2,718

Ce résultat est loin d'être anodin : il donne le taux de croissance limite d'un capital placé à intérêts composés lorsque la période de capitalisation devient infiniment courte. Une seconde limite se traite encore plus vite : sur $] 0, + \infty [$ , on écrit $x^{1 / x} = \exp (\frac{\ln x}{x})$ , et comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$ par croissances comparées, on obtient $\lim_{x \to + \infty} x^{1 / x} = e^{0} = 1$ .

Limites

Limite finie en un point

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , soit $x_{0}$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ , et soit $ℓ$ un réel. On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ , et l'on note $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ$ , lorsque

\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in I, (∣ x - x_{0} ∣ ⩽ α ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ ⩽ ε)

Remarque

Comment lire cette définition. Elle dit : aussi petite que soit la marge de tolérance $ε$ que l'on m'impose autour de $ℓ$ , je peux trouver une marge $α$ autour de $x_{0}$ telle que tous les points de $I$ situés à une distance au plus $α$ de $x_{0}$ ont leur image à une distance au plus $ε$ de $ℓ$ . En clair, $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l'on veut pourvu que $x$ soit assez proche de $x_{0}$ , et le $α$ dépend évidemment du $ε$ imposé, puisqu'il est choisi après lui. Cette définition est là pour donner un sens précis au mot « limite », et elle sera utilisée en deuxième année ; dans ce chapitre, aucun exercice ne demandera de calculer une limite « à la main » avec des $ε$ et des $α$ , car on calcule les limites avec les théorèmes d'opérations, de composition et d'encadrement.

Propriété

Unicité de la limite. Si $f$ admet une limite en $x_{0}$ , cette limite est unique, ce qui autorise l'article défini dans « la limite de $f$ en $x_{0}$ » et la notation $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ . (Admis.)

Remarque

Si $x_{0}$ appartient à $I$ et si $f$ admet une limite $ℓ$ en $x_{0}$ , alors nécessairement $ℓ = f (x_{0})$ : il suffit d'appliquer la définition avec $x = x_{0}$ . Autrement dit, en un point où elle est définie, une fonction ne peut avoir d'autre limite que sa valeur. C'est exactement ce que l'on appellera la continuité.

Limite à gauche, limite à droite

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un point de $I$ qui n'en est pas une extrémité. On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite à gauche en $x_{0}$ , noté $\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = ℓ$ , lorsque la définition de la limite est vérifiée en se restreignant aux $x$ tels que $x < x_{0}$ , et pour limite à droite, noté $\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = ℓ$ , en se restreignant aux $x$ tels que $x > x_{0}$ .

Propriété

Soit $x_{0}$ un point intérieur à $I$ . La fonction $f$ admet une limite $ℓ$ en $x_{0}$ si et seulement si elle admet $ℓ$ pour limite à gauche et pour limite à droite en $x_{0}$ , et que $ℓ = f (x_{0})$ . Si les deux limites latérales existent mais diffèrent, $f$ n'admet pas de limite en $x_{0}$ .

Exemple

a. Soit $f : x \mapsto \frac{∣ x ∣}{x}$ , définie sur $R^{*}$ . Pour $x > 0$ , $f (x) = \frac{x}{x} = 1$ , et pour $x < 0$ , $f (x) = \frac{- x}{x} = - 1$ . Donc $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1$ et $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1$ : les deux limites latérales étant différentes, $f$ n'a pas de limite en $0$ .

b. Pour la partie entière en $x_{0} = 1$ : sur $[0, 1 [$ on a $⌊ x ⌋ = 0$ , donc la limite à gauche vaut $0$ ; sur $[1, 2 [$ on a $⌊ x ⌋ = 1$ , donc la limite à droite vaut $1$ . Là encore, pas de limite en $1$ .

c. Il arrive souvent qu'une expression n'ait pas de sens en un point alors qu'elle en a partout autour ; la définition de la limite s'étend alors sans changement à une fonction définie sur $I ∖ {x_{0}}$ , en imposant simplement $x \neq x_{0}$ dans le quantificateur. Ainsi $f : x \mapsto \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ , définie sur $R ∖ {1}$ , vérifie $f (x) = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pour tout $x \neq 1$ , simplification légitime parce que $x \neq 1$ ; on en déduit $\lim_{x \to 1} f (x) = 2$ , alors même que $f (1)$ n'existe pas. C'est ce cadre qui permettra de définir le prolongement par continuité.

Limites infinies et limites en l'infini

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ .

$\lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ signifie : $\forall A > 0, \exists α > 0, \forall x \in I, (∣ x - x_{0} ∣ ⩽ α ⟹ f (x) ⩾ A)$ .
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ signifie : $\forall ε > 0, \exists B > 0, \forall x \in I, (x ⩾ B ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ ⩽ ε)$ .
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ signifie : $\forall A > 0, \exists B > 0, \forall x \in I, (x ⩾ B ⟹ f (x) ⩾ A)$ .

On définit de même les limites égales à $- \infty$ et les limites en $- \infty$ , en adaptant les inégalités. Une fonction qui admet une limite finie est dite convergente en ce point, tandis qu'une fonction qui tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ diverge : écrire « $f$ converge vers $+ \infty$ » est une faute de vocabulaire, exactement comme pour les suites.

Opérations sur les limites

Propriété

Dans les trois tableaux ci-dessous, $ℓ$ et $ℓ^{'}$ désignent des réels, et les limites sont prises en un même point, fini ou infini.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f + g)$
$ℓ$	$ℓ^{'}$	$ℓ + ℓ^{'}$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	indéterminée

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f g)$
$ℓ$	$ℓ^{'}$	$ℓ ℓ^{'}$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ , règle des signes
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ , règle des signes
$0$	$\pm \infty$	indéterminée

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f / g)$
$ℓ$	$ℓ^{'} \neq 0$	$ℓ / ℓ^{'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$ℓ \neq 0$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm \infty$ , règle des signes
$\pm \infty$	$ℓ^{'} \neq 0$	$\pm \infty$ , règle des signes
$0$	$0$	indéterminée
$\pm \infty$	$\pm \infty$	indéterminée

Remarque

La notation $0^{+}$ signifie « limite nulle en restant strictement positif », et $0^{-}$ « limite nulle en restant strictement négatif ». Cette précision est indispensable au dénominateur, puisque $\frac{1}{x} \to + \infty$ en $0^{+}$ mais $\frac{1}{x} \to - \infty$ en $0^{-}$ : quand un dénominateur tend vers $0$ , la première chose à faire est de déterminer son signe au voisinage du point.

Propriété

Les quatre formes indéterminées sont $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ . Une forme indéterminée ne signifie pas qu'il n'y a pas de limite : elle signifie seulement que les tableaux d'opérations ne permettent pas de conclure, et qu'il faut transformer l'expression.

Propriété

Limite d'une composée. Soient $f$ et $g$ deux fonctions, et soient $a$ , $b$ , $c$ des éléments de $R \cup {- \infty, + \infty}$ . Si $\lim_{x \to a} f (x) = b$ et $\lim_{y \to b} g (y) = c$ , alors $\lim_{x \to a} g (f (x)) = c$ . (Admis.)

Exemple

a. $\lim_{x \to + \infty} \ln (1 + \frac{1}{x}) = 0$ : on pose $y = 1 + \frac{1}{x}$ , qui tend vers $1$ , et $\ln y \to \ln 1 = 0$ quand $y \to 1$ .

b. $\lim_{x \to + \infty} e^{- x^{2}} = 0$ : on pose $y = - x^{2}$ , qui tend vers $- \infty$ , et $e^{y} \to 0$ quand $y \to - \infty$ .

c. $\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{\ln (1 + x)} = 0$ : on pose $y = \ln (1 + x) \to 0^{+}$ , et $\sqrt{y} \to 0$ .

Comparaison, encadrement, caractérisation séquentielle

Propriété

Compatibilité avec l'ordre. Soient $f$ et $g$ définies sur $I$ , admettant des limites finies ou infinies en $x_{0}$ . Si $f (x) ⩽ g (x)$ au voisinage de $x_{0}$ , alors $\lim_{x \to x_{0}} f (x) ⩽ \lim_{x \to x_{0}} g (x)$ .

Théorèmes de comparaison. Toujours avec $f (x) ⩽ g (x)$ au voisinage de $x_{0}$ : si $f (x) \to + \infty$ , alors $g (x) \to + \infty$ ; si $g (x) \to - \infty$ , alors $f (x) \to - \infty$ . Pour aller vers $+ \infty$ on minore, pour aller vers $- \infty$ on majore.

Théorème d'encadrement (ou « théorème des gendarmes »). Si $g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$ au voisinage de $x_{0}$ et si $g$ et $h$ admettent la même limite finie $ℓ$ en $x_{0}$ , alors $f$ admet aussi $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ . Cas particulier très utile : si $∣ f (x) - ℓ ∣ ⩽ u (x)$ au voisinage de $x_{0}$ et si $u (x) \to 0$ , alors $f (x) \to ℓ$ . (Tous admis.)

Remarque

Les inégalités strictes deviennent larges. Même si $f (x) < g (x)$ pour tout $x$ , on ne peut conclure qu'à une inégalité large entre les limites : sur $] 0, 1]$ , la fonction nulle est strictement inférieure à $x \mapsto x$ , et pourtant les deux limites en $0^{+}$ valent $0$ . C'est la même règle que pour les suites, au chapitre précédent.

Notez par ailleurs que le théorème d'encadrement est le seul du chapitre qui démontre l'existence de la limite en même temps qu'il la calcule, là où les théorèmes d'opérations supposent que les limites existent déjà. C'est pourquoi il est incontournable dès qu'une expression contient un terme que l'on ne sait pas traiter directement, typiquement une partie entière.

Exemple

a. Calculons $\lim_{x \to + \infty} \frac{⌊ x ⌋}{x}$ . L'encadrement fondamental donne $x - 1 < ⌊ x ⌋ ⩽ x$ pour tout réel $x$ ; pour $x > 0$ on peut diviser par $x$ sans changer le sens des inégalités, ce qui donne $1 - \frac{1}{x} < \frac{⌊ x ⌋}{x} ⩽ 1$ . Or $1 - \frac{1}{x} \to 1$ et la borne de droite est constante égale à $1$ , donc par encadrement la limite vaut $1$ .

b. Calculons $\lim_{x \to 0^{+}} x ⌊ \frac{1}{x} ⌋$ . Pour $x > 0$ , l'encadrement appliqué au réel $\frac{1}{x}$ donne $\frac{1}{x} - 1 < ⌊ \frac{1}{x} ⌋ ⩽ \frac{1}{x}$ ; en multipliant par $x > 0$ , ce qui conserve le sens, on obtient $1 - x < x ⌊ \frac{1}{x} ⌋ ⩽ 1$ . Les deux bornes tendent vers $1$ , donc la limite cherchée vaut $1$ .

Propriété

Caractérisation séquentielle. Soit $f$ définie sur $I$ et $x_{0}$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ . Si $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ , alors pour toute suite $(u_{n})$ d'éléments de $I$ convergeant vers $x_{0}$ , la suite $(f (u_{n}))$ converge vers $ℓ$ . (Admis.)

Remarque

Ce théorème sert dans les deux sens. Directement, il permet de calculer la limite d'une suite à partir de celle d'une fonction : si $u_{n} = f (n)$ et si $f (x) \to ℓ$ quand $x \to + \infty$ , alors $u_{n} \to ℓ$ , ce qui justifie que l'on puisse faire tendre $n$ vers $+ \infty$ comme une variable réelle. Par contraposée, il permet de démontrer qu'une fonction n'a pas de limite en $x_{0}$ : il suffit d'exhiber deux suites convergeant toutes deux vers $x_{0}$ et dont les images ont des limites différentes. C'est enfin ce théorème qui, appliqué à $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f$ continue, donne le passage à la limite $ℓ = f (ℓ)$ du chapitre sur les suites : la limite est un point fixe de $f$ .

Exemple

Montrons que la fonction partie entière n'a pas de limite en $2$ . Posons $u_{n} = 2 - \frac{1}{n}$ et $v_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ pour $n ⩾ 2$ : ces deux suites convergent vers $2$ .

Pour $n ⩾ 2$ , on a $1 ⩽ u_{n} < 2$ , donc $⌊ u_{n} ⌋ = 1$ et la suite $(⌊ u_{n} ⌋)$ est constante égale à $1$ , donc converge vers $1$ . Toujours pour $n ⩾ 2$ , on a $2 < v_{n} ⩽ 2,5 < 3$ , donc $⌊ v_{n} ⌋ = 2$ et la suite $(⌊ v_{n} ⌋)$ converge vers $2$ .

Les deux limites obtenues sont différentes. Si la partie entière admettait une limite $ℓ$ en $2$ , la caractérisation séquentielle imposerait à la fois $ℓ = 1$ et $ℓ = 2$ , ce qui est absurde.

Limites usuelles et croissances comparées

Propriété

Comportement en l'infini. En $+ \infty$ comme en $- \infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Ces règles sont valables uniquement en $\pm \infty$ , jamais en un point fini.

Justification, sur un exemple. Pour $x \neq 0$ , on factorise par le terme dominant : $2 x^{3} - 5 x^{2} + 1 = x^{3} (2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{3}})$ . La parenthèse tend vers $2$ et $x^{3} \to + \infty$ en $+ \infty$ , donc le produit tend vers $+ \infty$ . Le même calcul vaut dans le cas général. $□$

Propriété

Croissances comparées. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

\lim_{x \to + \infty} \frac{{(\ln x)}^{b}}{x^{a}} = 0 \lim_{x \to 0^{+}} x^{a} {∣ \ln x ∣}^{b} = 0

\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{a}}{e^{x}} = 0 \lim_{x \to - \infty} ∣ x ∣^{a} e^{x} = 0

(Résultats admis.) La règle à retenir : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte elle-même sur tout logarithme.

a. $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$

b. $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$

c. $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$

d. $\lim_{x \to + \infty} x e^{- x} = 0$

e. $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = 0$

f. $\lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x} = 0$

Méthode

Lever une forme indéterminée. Quatre techniques couvrent la quasi-totalité des cas.

Factoriser par le terme dominant, pour un polynôme ou une fonction rationnelle en $\pm \infty$ : on met en facteur la plus grande puissance de $x$ au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.
Multiplier par la quantité conjuguée, dès qu'apparaît une différence de la forme $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ ou $\sqrt{A} - B$ , afin de transformer la différence en quotient.
Factoriser par l'exponentielle, dans une somme ou une différence mêlant $e^{x}$ et des puissances de $x$ : le quotient restant relève des croissances comparées.
Invoquer les croissances comparées, dès qu'une forme $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ mélange un logarithme, une puissance et une exponentielle.

Un cinquième réflexe accompagne les quatre autres : le changement de variable, couplé au théorème de composition, qui ramène une limite inconnue à une limite usuelle.

Exemple

a. $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{2 x^{2} + x - 4}$ , du type $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x^{2}$ en haut et en bas, ce qui est licite pour $x \neq 0$ :

\frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{2 x^{2} + x - 4} = \frac{x^{2} (3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} (2 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}})} = \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}}

Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2$ , non nul : la limite vaut $\frac{3}{2}$ .

b. $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$ , du type $\infty - \infty$ . On multiplie par la quantité conjuguée :

\sqrt{x^{2} + x} - x = \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x} = \frac{x^{2} + x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}

Pour $x > 0$ , on a $\sqrt{x^{2} + x} = \sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ , en utilisant $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣ = x$ car $x > 0$ . Donc

\sqrt{x^{2} + x} - x = \frac{x}{x (\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to_{x \to + \infty}^{} \frac{1}{2}

c. $\lim_{x \to + \infty} (e^{x} - x^{3})$ , du type $\infty - \infty$ . On factorise par l'exponentielle, qui ne s'annule jamais : $e^{x} - x^{3} = e^{x} (1 - \frac{x^{3}}{e^{x}})$ . Par croissances comparées $\frac{x^{3}}{e^{x}} \to 0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ ; comme $e^{x} \to + \infty$ , le produit tend vers $+ \infty$ .

d. $\lim_{x \to + \infty} \frac{x - \ln x}{x + \ln x}$ , du type $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x$ en haut et en bas :

\frac{x - \ln x}{x + \ln x} = \frac{x (1 - \frac{\ln x}{x})}{x (1 + \frac{\ln x}{x})} = \frac{1 - \frac{\ln x}{x}}{1 + \frac{\ln x}{x}}

Par croissances comparées $\frac{\ln x}{x} \to 0$ , donc la limite vaut $\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ .

Asymptotes et branches infinies

Les limites que l'on vient de calculer se lisent sur la courbe : elles décrivent le comportement de $C_{f}$ au bord du dessin. Trois situations reviennent constamment.

Définition

Soit $f$ une fonction et $C_{f}$ sa courbe représentative.

Asymptote verticale. Si $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \pm \infty$ , la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à $C_{f}$ .
Asymptote horizontale. Si $\lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ avec $ℓ$ réel, la droite d'équation $y = ℓ$ est asymptote horizontale à $C_{f}$ en $+ \infty$ , et de même en $- \infty$ .
Asymptote oblique. S'il existe deux réels $a \neq 0$ et $b$ tels que $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0$ , la droite d'équation $y = a x + b$ est asymptote oblique à $C_{f}$ en $+ \infty$ , et de même en $- \infty$ .

Propriété

Position de la courbe par rapport à son asymptote. Elle est donnée par le signe de la différence $d (x) = f (x) - (a x + b)$ : la courbe est au-dessus là où $d (x) > 0$ , au-dessous là où $d (x) < 0$ , et elle coupe l'asymptote là où $d (x) = 0$ . La même règle vaut pour une asymptote horizontale, avec $d (x) = f (x) - ℓ$ .

Méthode

Trouver l'asymptote oblique d'une fonction rationnelle. Lorsque le degré du numérateur vaut exactement le degré du dénominateur plus un, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. On obtient $f (x) = (a x + b) + \frac{R (x)}{B (x)}$ avec $\deg R < \deg B$ , donc un reste qui tend vers $0$ en $\pm \infty$ : l'asymptote se lit directement, et la différence $f (x) - (a x + b)$ est le quotient restant, dont le signe se lit tout aussi directement.

Exemple

Étude complète de $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x - 2}$ . Le dénominateur s'annule en $x = 2$ , donc $D_{f} = R ∖ {2}$ , et nous étudions $f$ séparément sur $] - \infty, 2 [$ et sur $] 2, + \infty [$ .

Division euclidienne. On a $\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$ et $2 x (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x$ ; en soustrayant, il reste $x + 1$ . Puis $\frac{x}{x} = 1$ et $1 \times (x - 2) = x - 2$ ; en soustrayant, il reste $3$ . Donc, pour tout $x \neq 2$ , $f (x) = 2 x + 1 + \frac{3}{x - 2}$ , ce que l'on vérifie en développant : $(2 x + 1) (x - 2) + 3 = 2 x^{2} - 4 x + x - 2 + 3 = 2 x^{2} - 3 x + 1$ .

Asymptote verticale. Quand $x \to 2^{+}$ , on a $x - 2 \to 0^{+}$ , donc $\frac{3}{x - 2} \to + \infty$ et $f (x) \to + \infty$ ; quand $x \to 2^{-}$ , on a $x - 2 \to 0^{-}$ , donc $f (x) \to - \infty$ . La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à $C_{f}$ .

Asymptote oblique. Pour tout $x \neq 2$ , $f (x) - (2 x + 1) = \frac{3}{x - 2}$ , qui tend vers $0$ en $+ \infty$ comme en $- \infty$ : la droite d'équation $y = 2 x + 1$ est asymptote oblique à $C_{f}$ des deux côtés.

Position relative. Le signe de $\frac{3}{x - 2}$ est celui de $x - 2$ .

x

-\infty

2

+\infty

\dfrac{3}{x-2}

-

+

Sur $] 2, + \infty [$ , la courbe est au-dessus de son asymptote ; sur $] - \infty, 2 [$ , elle est au-dessous. Elle ne la coupe jamais, puisque $\frac{3}{x - 2}$ ne s'annule pas.

Remarque

Branches paraboliques. Quand $f (x) \to \pm \infty$ en $+ \infty$ sans qu'il y ait d'asymptote oblique, on décrit tout de même la façon dont la courbe part à l'infini en regardant le quotient $\frac{f (x)}{x}$ . Si ce quotient tend vers $+ \infty$ , la courbe présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées, comme $\exp$ ; s'il tend vers $0$ , la branche est de direction l'axe des abscisses, comme $\ln$ et la racine carrée, d'après les croissances comparées.

Continuité

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $x_{0} \in I$ . La fonction $f$ est continue en $x_{0}$ lorsqu'elle admet une limite en $x_{0}$ , cette limite étant alors nécessairement $f (x_{0})$ :

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

On définit de même la continuité à gauche et à droite en $x_{0}$ à l'aide des limites latérales. Si $x_{0}$ est intérieur à $I$ , la fonction $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si elle y est continue à gauche et à droite. Enfin, $f$ est continue sur l'intervalle $I$ lorsqu'elle est continue en tout point de $I$ , la continuité aux extrémités appartenant à $I$ s'entendant à droite pour la borne gauche et à gauche pour la borne droite.

Prolongement par continuité

Définition

Soit $f$ définie sur $I ∖ {x_{0}}$ , où $x_{0} \in I$ . Si $f$ admet une limite finie $ℓ$ en $x_{0}$ , on appelle prolongement par continuité de $f$ en $x_{0}$ la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par

\tilde{f} (x) = {\begin{cases} f (x) & si x \in I ∖ {x_{0}} \\ ℓ & si x = x_{0} \end{cases}

Cette fonction $\tilde{f}$ est continue en $x_{0}$ , et l'on dit que $f$ est prolongeable par continuité en $x_{0}$ .

Remarque

Le prolongement n'est possible que si la limite existe et est finie. Il consiste à combler un trou dans la courbe en y plaçant le seul point qui la rende continue : ce point est imposé, il n'y a aucun choix.

Exemple

a. Soit $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , définie sur $R ∖ {2}$ . Pour $x \neq 2$ on simplifie : $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2$ , donc $\lim_{x \to 2} f (x) = 4$ . Cette limite étant finie, $f$ est prolongeable par continuité en $2$ en posant $\tilde{f} (2) = 4$ , et le prolongement obtenu n'est autre que $x \mapsto x + 2$ sur $R$ .

b. Soit $g (x) = x \ln x$ , définie sur $] 0, + \infty [$ . Par croissances comparées, $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ , limite finie : $g$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $\tilde{g} (0) = 0$ . Ce prolongement est très utilisé en économie et en probabilités, où la quantité $x \ln x$ apparaît naturellement avec $x = 0$ comme cas limite.

c. En revanche, $h (x) = \frac{1}{x}$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$ : ses limites latérales y sont infinies, et de plus elles diffèrent.

Opérations et fonctions usuelles

Propriété

Opérations. Soient $f$ et $g$ continues sur $I$ et $λ$ un réel. Alors $f + g$ , $λ f$ , $f g$ et $∣ f ∣$ sont continues sur $I$ , et $\frac{f}{g}$ est continue en tout point de $I$ où $g$ ne s'annule pas. Composition : si $f$ est continue sur $I$ à valeurs dans $J$ et si $g$ est continue sur $J$ , alors $g \circ f$ est continue sur $I$ .

Continuité des fonctions usuelles. Sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition : les fonctions polynômes sur $R$ ; les fonctions rationnelles sur tout intervalle ne contenant aucune valeur interdite ; la racine carrée sur $[0, + \infty [$ ; la valeur absolue sur $R$ ; $\ln$ sur $] 0, + \infty [$ et $\exp$ sur $R$ ; les fonctions puissances sur $] 0, + \infty [$ . (Admis.)

Remarque

La phrase à écrire en copie. Ces deux propriétés se combinent en un argument que vous emploierez des dizaines de fois cette année, et qu'il faut savoir rédiger d'un trait : « $f$ est continue sur $I$ comme somme, produit et composée de fonctions continues sur $I$ ». Il faut simplement veiller à préciser l'intervalle et à vérifier qu'aucun dénominateur ne s'y annule, et qu'aucun logarithme ni aucune racine n'y reçoit un argument interdit. Ainsi $x \mapsto \frac{\ln x}{x - 3}$ est continue sur $] 0, 3 [$ et sur $] 3, + \infty [$ , comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule sur aucun de ces deux intervalles ; on ne parlera jamais de sa continuité « sur $] 0, + \infty [$ ».

Exemple

La discontinuité de la partie entière. Soit $n$ un entier relatif. Pour $x \in [n, n + 1 [$ on a $⌊ x ⌋ = n$ , donc la fonction est constante à droite de $n$ et $\lim_{x \to n^{+}} ⌊ x ⌋ = n = ⌊ n ⌋$ : la partie entière est continue à droite en $n$ . En revanche, pour $x \in [n - 1, n [$ on a $⌊ x ⌋ = n - 1$ , donc $\lim_{x \to n^{-}} ⌊ x ⌋ = n - 1$ .

Les deux limites latérales valent $n$ et $n - 1$ : elles sont différentes, donc la fonction partie entière n'admet pas de limite en $n$ et n'y est pas continue. Elle l'est en revanche en tout point non entier, où elle est localement constante.

Les trois théorèmes d'existence

Voici le cœur du chapitre. Ces trois théorèmes affirment tous qu'un objet existe, qu'il s'agisse d'une limite, d'une solution d'équation ou d'un maximum, et aucun ne dit comment le calculer : c'est justement ce qui fait leur puissance. Aucun n'est à démontrer ; en revanche, chacune de leurs hypothèses doit être vérifiée et écrite avant de les appliquer.

Le théorème de la limite monotone

Propriété

Théorème de la limite monotone. Soit $f$ une fonction croissante sur un intervalle $] a, b [$ , où $a$ peut valoir $- \infty$ et $b$ peut valoir $+ \infty$ .

Si $f$ est majorée sur $] a, b [$ , alors $f$ admet une limite finie en $b^{-}$ , et cette limite est le plus petit des majorants de $f$ sur $] a, b [$ . Sinon, $\lim_{x \to b^{-}} f (x) = + \infty$ .
Si $f$ est minorée sur $] a, b [$ , alors $f$ admet une limite finie en $a^{+}$ . Sinon, $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty$ .
En tout point intérieur, $f$ admet une limite finie à gauche et une limite finie à droite.

L'énoncé symétrique vaut pour une fonction décroissante. (Admis.)

Remarque

Le message du théorème : une fonction monotone a toujours des limites. Elle ne peut pas osciller ; soit elle est bloquée par une barrière et s'en approche, soit elle part à l'infini, et il n'y a pas de troisième possibilité. C'est le pendant exact, pour les fonctions, du théorème de convergence monotone vu au chapitre sur les suites. Retenez surtout que la limite obtenue n'est pas nécessairement le majorant que vous avez choisi : le théorème donne l'existence, pas la valeur.

Exemple

Soit $f : x \mapsto \frac{x}{x + 1}$ sur $I = [0, + \infty [$ ; montrons qu'elle admet une limite finie en $+ \infty$ , sans la calculer d'abord. Pour $x ⩾ 0$ , on écrit $f (x) = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ .

Croissance. Sur $I$ , la fonction $x \mapsto x + 1$ est strictement croissante et strictement positive, donc $x \mapsto \frac{1}{x + 1}$ est strictement décroissante, donc $x \mapsto - \frac{1}{x + 1}$ est strictement croissante, et l'ajout de la constante $1$ ne change rien : $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Majoration. Pour $x ⩾ 0$ , $\frac{1}{x + 1} > 0$ , donc $f (x) < 1$ : la fonction est majorée par $1$ .

Par le théorème de la limite monotone, $f$ admet donc une limite finie en $+ \infty$ . Ici on peut d'ailleurs la calculer directement, puisque $\frac{1}{x + 1} \to 0$ donne une limite égale à $1$ ; notez bien l'ordre logique, le théorème garantit l'existence et le calcul donne la valeur.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Propriété

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ . Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

Corollaire dit « théorème d'annulation ». Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f (a) f (b) ⩽ 0$ , en particulier si $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a, b]$ . (Admis.)

Illustration du théorème des valeurs intermédiaires

Remarque

Le théorème donne l'existence, pas l'unicité. La figure le montre clairement, puisque la valeur $k$ y est atteinte en trois points distincts : écrire « d'après le TVI, l'équation admet une unique solution » est une faute, et l'unicité exige l'hypothèse supplémentaire de stricte monotonie.

La continuité ne peut pas être supprimée. Prenons la fonction partie entière sur le segment $[0, 2]$ : on a $⌊ 0 ⌋ = 0$ et $⌊ 2 ⌋ = 2$ , et pourtant la valeur intermédiaire $1,5$ n'est jamais atteinte, puisque cette fonction ne prend que des valeurs entières. Il n'y a pas de contradiction, car elle n'est pas continue sur $[0, 2]$ , et cet exemple justifie à lui seul l'exigence de vérifier la continuité avant d'invoquer le théorème.

Propriété

Corollaire : le TVI pour une fonction strictement monotone. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un segment $[a, b]$ . Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$ . L'énoncé s'étend aux intervalles ouverts ou semi-ouverts, en remplaçant $f (a)$ et $f (b)$ par les limites de $f$ aux bornes correspondantes.

Exemple

Montrons que l'équation $x^{3} + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$ . Posons $f (x) = x^{3} + x - 1$ et vérifions les trois hypothèses, une par une.

Continuité. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $R$ , en particulier sur le segment $[0, 1]$ .

Stricte monotonie. La fonction $x \mapsto x^{3}$ est strictement croissante sur $R$ , la fonction $x \mapsto x$ également, et l'ajout de la constante $- 1$ ne change pas le sens de variation : comme somme de deux fonctions strictement croissantes, $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$ . Aucun calcul de dérivation n'a été nécessaire.

Encadrement de la valeur cible. $f (0) = - 1$ et $f (1) = 1 + 1 - 1 = 1$ , donc $0$ est bien compris entre $f (0)$ et $f (1)$ .

D'après le corollaire du TVI, l'équation $f (x) = 0$ admet donc une unique solution $α$ dans $[0, 1]$ , et même dans $] 0, 1 [$ puisque $f (0)$ et $f (1)$ sont non nuls. Pour la localiser, on calcule $f (0,6) = 0,216 + 0,6 - 1 = - 0,184 < 0$ et $f (0,7) = 0,343 + 0,7 - 1 = 0,043 > 0$ : la fonction étant strictement croissante, on en déduit $0,6 < α < 0,7$ . La méthode de dichotomie, en fin de chapitre, systématisera ce procédé.

Image d'un intervalle, image d'un segment

Propriété

Image d'un intervalle. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ , alors $f (I)$ est un intervalle. (Reformulation du TVI.)

Image d'un segment. Si $f$ est continue sur un segment $[a, b]$ , alors $f ([a, b])$ est un segment $[m, M]$ . En particulier $f$ est bornée sur $[a, b]$ et elle atteint ses bornes : il existe deux réels $x_{m}$ et $x_{M}$ de $[a, b]$ tels que

f (x_{m}) = m = \min_{[a, b]} f et f (x_{M}) = M = \max_{[a, b]} f

(Tous deux admis.)

Remarque

Trois mises en garde. D'abord, l'intervalle image n'est pas « du même type » que l'intervalle de départ : pour $f : x \mapsto x^{2}$ sur $I =] - 1, 2 [$ , l'image est $f (I) = [0, 4 [$ , car la borne $0$ est atteinte en $x = 0$ alors que $4$ ne l'est pas. On ne devine pas $f (I)$ , on le détermine.

Ensuite, sur un intervalle ouvert les bornes ne sont pas atteintes en général : $x \mapsto x$ sur $] 0, 1 [$ est bornée, mais n'admet ni maximum ni minimum. L'hypothèse « segment », c'est-à-dire intervalle fermé et borné, est indispensable.

Enfin, sans continuité la fonction peut même ne pas être bornée sur un segment : définissons $g$ sur $[0, 1]$ par $g (x) = \frac{1}{x}$ si $x > 0$ et $g (0) = 0$ ; cette fonction est définie sur un segment, n'y est pas continue en $0$ , et n'est pas majorée.

Propriété

Image par une fonction continue et strictement monotone. Si $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ , l'image se lit directement aux bornes. Si $f$ est strictement décroissante, les bornes s'échangent, et $a$ comme $b$ peuvent être infinies.

$I$	$f (I)$
$[a, b]$	$[f (a), f (b)]$
$[a, b [$	$[f (a), \lim_{x \to b^{-}} f (x) [$
$] a, b [$	$] \lim_{x \to a^{+}} f (x), \lim_{x \to b^{-}} f (x) [$

Théorème de la bijection et fonction réciproque

Propriété

Théorème de la bijection. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f (I)$ ; la bijection réciproque $f^{- 1} : J \to I$ est continue sur $J$ ; et $f^{- 1}$ est strictement monotone, de même sens de variation que $f$ . (Admis.)

Application à l'équation $f (x) = k$ . Sous ces hypothèses, si $k \in J$ l'équation admet une unique solution dans $I$ , à savoir $x = f^{- 1} (k)$ ; si $k \notin J$ , elle n'admet aucune solution.

Remarque

Le point sur la monotonie surprend souvent, car on s'attend à ce que la réciproque renverse quelque chose : il n'en est rien, et si $f$ est strictement croissante, $f^{- 1}$ l'est aussi. Cela se voit très bien sur le couple $\ln$ et $\exp$ , tous deux strictement croissants. Attention aussi à la notation : $f^{- 1}$ est la bijection réciproque, ce n'est pas $\frac{1}{f}$ , et deux objets totalement différents portent malheureusement une notation voisine.

Propriété

Symétrie des courbes. Dans un repère orthonormé, les courbes $C_{f}$ et $C_{f^{- 1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ , appelée première bissectrice. Cela vient de l'équivalence $y = f (x) ⟺ x = f^{- 1} (y)$ : le point de coordonnées $(a, b)$ appartient à $C_{f}$ si et seulement si le point de coordonnées $(b, a)$ appartient à $C_{f^{- 1}}$ .

Courbe d'une fonction et de sa réciproque, symétriques par rapport à la première bissectrice

Exemple

Un exemple entièrement traité. Soit $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ , que l'on étudie sur $I =] - 1, + \infty [$ . Sur $I$ , le dénominateur $x + 1$ est strictement positif, donc ne s'annule pas : $f$ est continue sur $I$ comme quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas. On réécrit $f (x) = \frac{2 (x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ .

Stricte monotonie. Sur $I$ , $x \mapsto x + 1$ est strictement croissante et strictement positive, donc $x \mapsto \frac{3}{x + 1}$ est strictement décroissante, donc $x \mapsto - \frac{3}{x + 1}$ est strictement croissante : $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Limites aux bornes. Quand $x \to (- 1)^{+}$ , on a $x + 1 \to 0^{+}$ , donc $\frac{3}{x + 1} \to + \infty$ et $f (x) \to - \infty$ ; quand $x \to + \infty$ , on a $\frac{3}{x + 1} \to 0$ et $f (x) \to 2$ .

x

-1

+\infty

f(x)

-\infty

2

Conclusion du théorème. $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ , donc elle réalise une bijection de $I =] - 1, + \infty [$ sur $J =] - \infty, 2 [$ , et sa réciproque est continue et strictement croissante sur $J$ .

Expression de la réciproque. Soit $y \in J$ ; résolvons $y = 2 - \frac{3}{x + 1}$ d'inconnue $x \in I$ :

\begin{aligned} y = 2 - \frac{3}{x + 1} & ⟺ \frac{3}{x + 1} = 2 - y \\ ⟺ x + 1 = \frac{3}{2 - y} (licite car y < 2 donc 2 - y > 0) \\ ⟺ x = \frac{3}{2 - y} - 1 = \frac{3 - (2 - y)}{2 - y} = \frac{y + 1}{2 - y} \end{aligned}

Ainsi $f^{- 1} (y) = \frac{y + 1}{2 - y}$ pour tout $y \in] - \infty, 2 [$ . Contrôle : $f (0) = \frac{- 1}{1} = - 1$ et $f^{- 1} (- 1) = \frac{0}{3} = 0$ ; de même $f (\frac{1}{2}) = \frac{0}{3 / 2} = 0$ et $f^{- 1} (0) = \frac{1}{2}$ . Les deux fonctions se renvoient bien la balle.

La méthode de dichotomie

Quand le théorème de la bijection garantit l'existence d'une solution $α$ sans en donner d'expression, il reste à l'approcher numériquement. La dichotomie, c'est-à-dire la coupe en deux, est la méthode la plus simple et la plus sûre.

Méthode

Principe. On suppose $f$ continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , avec $f (a)$ et $f (b)$ de signes contraires : l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in] a, b [$ .

Calculer le milieu $m = \frac{a + b}{2}$ et évaluer $f (m)$ .
Si $f (a)$ et $f (m)$ sont de signes contraires, la solution est dans $[a, m]$ et l'on remplace $b$ par $m$ ; sinon elle est dans $[m, b]$ et l'on remplace $a$ par $m$ .
Recommencer avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit que le précédent.

Précision obtenue. Après $n$ étapes, la solution est encadrée par un intervalle de longueur $\frac{b - a}{2^{n}}$ . Pour obtenir un encadrement d'amplitude au plus $ε > 0$ , il suffit donc de choisir $n$ tel que

\frac{b - a}{2^{n}} ⩽ ε ⟺ 2^{n} ⩾ \frac{b - a}{ε} ⟺ n ⩾ \frac{\ln (\frac{b - a}{ε})}{\ln 2}

Exemple

Trois étapes sur l'exemple précédent. Reprenons $f (x) = x^{3} + x - 1$ sur $[0, 1]$ , avec $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ .

Étape	Intervalle	Milieu $m$	$f (m)$	Signe	Nouvel intervalle
1	$[0, 1]$	$0,5$	$- 0,375$	négatif	$[0,5, 1]$
2	$[0,5, 1]$	$0,75$	$0,171875$	positif	$[0,5, 0,75]$
3	$[0,5, 0,75]$	$0,625$	environ $- 0,13$	négatif	$[0,625, 0,75]$

Après trois étapes, on sait que $0,625 < α < 0,75$ , ce qui est cohérent avec la localisation $0,6 < α < 0,7$ obtenue plus haut. Pour une précision de $10^{- 3}$ , comme $b - a = 1$ , il faut $2^{n} ⩾ 1000$ ; puisque $2^{9} = 512 < 1000$ et $2^{10} = 1024 ⩾ 1000$ , il faut $n = 10$ étapes, ce que confirme la formule, $\frac{\ln 1000}{\ln 2}$ valant environ $9,97$ .

Méthode

La dichotomie en Python. La fonction ci-dessous renvoie un encadrement de la solution, d'amplitude au plus precision.

def dichotomie(f, a, b, precision):
    """Encadrement d'une racine de f sur [a, b], dans le cas ou f(a) et f(b)
    sont de signes contraires. Renvoie un couple (a, b) d'amplitude au plus
    egale a precision."""
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b


def f(x):
    return x**3 + x - 1


print(dichotomie(f, 0, 1, 1e-3))

Le test f(a) * f(m) <= 0 traduit exactement « $f (a)$ et $f (m)$ sont de signes contraires, ou l'un des deux est nul » : dans ce cas la solution se trouve dans la moitié gauche, et l'on remplace $b$ par $m$ . La boucle s'arrête dès que l'amplitude de l'encadrement est descendue sous la précision demandée, ce qui se produit après un nombre fini d'étapes puisque cette amplitude est divisée par $2$ à chaque tour.

Étude graphique et régionnement du plan

Le programme demande d'utiliser « autant que possible la représentation graphique des fonctions pour illustrer ou conjecturer ces résultats ». Cette dernière section fait le chemin inverse des précédentes : on part du dessin pour en tirer de l'information.

Propriété

Lecture graphique récapitulative. Sur la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ , on lit directement :

Question	Ce que l'on regarde
$D_{f}$	la projection de la courbe sur l'axe des abscisses
$f (a)$	l'ordonnée du point de $C_{f}$ d'abscisse $a$
les solutions de $f (x) = k$	les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec la droite $y = k$
les solutions de $f (x) ⩾ k$	les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite $y = k$
le signe de $f$	la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses
les variations, les extremums	les montées, les descentes, les points les plus hauts et les plus bas
la parité	la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ou par rapport à l'origine
les asymptotes	les droites dont la courbe se rapproche indéfiniment

Remarque

Une lecture graphique n'est jamais une démonstration. Elle sert à conjecturer, à contrôler un résultat calculé, ou à répondre quand l'énoncé fournit la courbe et demande explicitement une lecture. Dès que l'énoncé donne l'expression de $f$ , c'est le calcul qui fait foi, et l'on écrit « la courbe suggère que tel résultat est vrai, démontrons-le ».

Positions relatives de deux courbes

Propriété

Soient $f$ et $g$ définies sur un intervalle $I$ . Sur $I$ , la courbe $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ si et seulement si $f (x) - g (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in I$ , et au-dessous si et seulement si $f (x) - g (x) ⩽ 0$ pour tout $x \in I$ ; les points d'intersection ont pour abscisses les solutions de $f (x) = g (x)$ . Toute question de position relative se ramène donc à l'étude du signe de la différence $f - g$ .

Exemple

Comparons $x^{2}$ et $x^{3}$ sur $] 0, + \infty [$ . La différence vaut $x^{3} - x^{2} = x^{2} (x - 1)$ , et le facteur $x^{2}$ étant strictement positif sur cet intervalle, son signe est celui de $x - 1$ .

x

0

1

+\infty

x^{2}(x-1)

-

0

+

Sur $] 0, 1 [$ on a $x^{3} < x^{2}$ : la courbe du cube est au-dessous de celle du carré. Sur $] 1, + \infty [$ c'est l'inverse, et les deux courbes se coupent au point de coordonnées $(1, 1)$ . On retrouve la règle de comparaison des fonctions puissances établie plus haut, avec $α = 2$ et $β = 3$ .

Régionnement du plan

Définition

Soit $f$ définie sur $I$ . La courbe $C_{f}$ partage la bande verticale au-dessus de $I$ en deux régions : l'ensemble ${M (x, y); x \in I et y > f (x)}$ est la partie située au-dessus de $C_{f}$ , et l'ensemble ${M (x, y); x \in I et y < f (x)}$ est la partie située au-dessous. Avec des inégalités larges, la courbe elle-même est incluse dans la région.

Méthode

Représenter l'ensemble des solutions d'une inéquation $y > f (x)$ .

Tracer la courbe $C_{f}$ , en trait plein si l'inégalité est large, en pointillés si elle est stricte, la courbe étant alors exclue.
Tester un point qui n'est pas sur la courbe, le plus simple étant souvent l'origine : si ses coordonnées vérifient l'inéquation, la région cherchée est celle qui le contient.
Hachurer ou colorer la région retenue, et le préciser dans une légende.
Pour un système d'inéquations, traiter chaque inéquation séparément puis prendre l'intersection des régions obtenues.

Régionnement du plan délimité par une parabole

La zone colorée de la figure est l'ensemble des points $M (x, y)$ du plan tels que $y > x^{2} - 1$ . Contrôlons avec le point test $O (0, 0)$ : on a $0^{2} - 1 = - 1$ , et $0 > - 1$ est vrai, donc l'origine appartient bien à la région, ce que confirme le dessin. À l'inverse, le point de coordonnées $(2, 0)$ ne convient pas, puisque $2^{2} - 1 = 3$ et que $0 > 3$ est faux.

Un exemple micro-économique : offre, demande et prix d'équilibre

Exemple

Sur un marché, on note $p$ le prix unitaire en euros, avec $p ⩾ 0$ . Les quantités, exprimées en milliers d'unités, sont données par la fonction d'offre $O (p) = 3 p$ et la fonction de demande $D (p) = 20 - 2 p$ . L'offre croît avec le prix, puisque les producteurs sont incités à produire davantage, tandis que la demande décroît, les acheteurs se détournant quand c'est cher. La demande n'ayant de sens économique que tant qu'elle est positive, c'est-à-dire pour $p ⩽ 10$ , plaçons-nous sur l'intervalle $I = [0, 10]$ .

Prix d'équilibre. C'est le prix pour lequel les deux courbes se coupent, c'est-à-dire la solution de $O (p) = D (p)$ :

3 p = 20 - 2 p ⟺ 5 p = 20 ⟺ p = 4

Le prix d'équilibre vaut donc $p^{*} = 4$ euros, et la quantité échangée à l'équilibre est $O (4) = 12$ , soit $12 000$ unités ; on vérifie la cohérence avec $D (4) = 20 - 8 = 12$ .

Zone d'excès de demande. Elle correspond aux prix pour lesquels la demande dépasse l'offre, c'est-à-dire $20 - 2 p > 3 p$ , soit $20 > 5 p$ , soit $p < 4$ . Sur $[0, 4 [$ , la courbe de la demande est au-dessus de celle de l'offre : les acheteurs veulent plus de biens que les producteurs n'en proposent, il y a pénurie, et la pression pousse le prix à la hausse. Sur $] 4, 10]$ la situation s'inverse, c'est un excès d'offre, les invendus s'accumulent et le prix a tendance à baisser. Le prix d'équilibre est précisément le seul prix où aucune de ces deux pressions ne s'exerce.

Lecture en termes de régionnement. L'ensemble des couples $(p, q)$ correspondant à une quantité inférieure à la fois à l'offre et à la demande, c'est-à-dire l'ensemble des transactions effectivement réalisables, est la région située à la fois au-dessous de $C_{O}$ et au-dessous de $C_{D}$ ; sa frontière supérieure atteint son point le plus haut exactement au prix d'équilibre.

Exemple

Économies d'échelle. Une entreprise produit $q$ unités d'un bien, avec $q > 0$ , pour un coût total en euros $C (q) = 100 + 5 q$ , où $100$ représente un coût fixe et $5 q$ le coût proportionnel à la production. Le coût moyen par unité produite est

C M (q) = \frac{C (q)}{q} = \frac{100}{q} + 5

Sur $] 0, + \infty [$ , la fonction $q \mapsto \frac{100}{q}$ est strictement décroissante, donc $C M$ l'est aussi : plus l'entreprise produit, moins chaque unité lui coûte. C'est ce que l'on appelle des économies d'échelle, et le calcul en donne la raison exacte, à savoir que le coût fixe se répartit sur un nombre croissant d'unités.

Les limites précisent le phénomène. Quand $q \to 0^{+}$ , on a $C M (q) \to + \infty$ : produire une poignée d'unités revient très cher à l'unité. Quand $q \to + \infty$ , on a $C M (q) \to 5$ , donc la courbe du coût moyen admet la droite d'équation $y = 5$ pour asymptote horizontale : le coût moyen se rapproche de $5$ euros par unité sans jamais l'atteindre, puisque $\frac{100}{q} > 0$ pour tout $q > 0$ , ce qui place la courbe strictement au-dessus de son asymptote.

Ce qu'il faut retenir

Le formulaire

Fonction	Limite en $0^{+}$	Limite en $+ \infty$
$\ln x$	$- \infty$	$+ \infty$
$\sqrt{x}$	$0$	$+ \infty$
$\frac{1}{x}$	$+ \infty$	$0$
$x^{α}$ avec $α > 0$	$0$	$+ \infty$
$x^{α}$ avec $α < 0$	$+ \infty$	$0$

L'exponentielle et la partie entière, elles, se lisent aux deux infinis : $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ , tandis que $⌊ x ⌋$ tend vers $- \infty$ en $- \infty$ et vers $+ \infty$ en $+ \infty$ .

Les deux limites en $0$ à connaître.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

Les croissances comparées, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ .

\lim_{x \to + \infty} \frac{{(\ln x)}^{b}}{x^{a}} = 0 \lim_{x \to 0^{+}} x^{a} {∣ \ln x ∣}^{b} = 0 \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{a}}{e^{x}} = 0 \lim_{x \to - \infty} ∣ x ∣^{a} e^{x} = 0

Les inégalités fondamentales. $\ln x ⩽ x - 1$ pour $x > 0$ , $e^{x} ⩾ 1 + x$ pour tout réel $x$ , et $x - 1 < ⌊ x ⌋ ⩽ x$ pour tout réel $x$ .

Les quatre formes indéterminées. $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Quelle méthode pour quelle question

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