Devoir surveillé — Fonctions réelles d'une variable réelle

Pour tout réel $x$, on note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$, c'est-à-dire l'unique entier relatif $n$ vérifiant $n⩽x<n+1$. On pose alors

$$r(x)=\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor \text{et}d(x)=\mid x-r(x)\mid$$

L'entier $r(x)$ est ce qu'une machine appelle l'arrondi de $x$, et $d(x)$ mesure l'erreur commise en arrondissant. On admettra, sans le redémontrer, que $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$ pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$.

1. Calculer $r(x)$ puis $d(x)$ pour chacune des quatre valeurs suivantes. (0,5 point)

   a. $x=\mathrm{2,3}$

   b. $x=\mathrm{2,7}$

   c. $x=3$

   d. $x=-\mathrm{0,4}$

2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $-{\displaystyle \frac{1}{2}}⩽x-r(x)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$. En déduire que $0⩽d(x)⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 point)

3. Démontrer que $d(x+1)=d(x)$ pour tout réel $x$. (0,5 point)

4. Donner une expression de $d(x)$ sans partie entière ni valeur absolue, d'abord pour $x\in [0,\frac{1}{2}]$, puis pour $x\in [\frac{1}{2},1[$. (0,75 point)

5. Démontrer que $r$ n'est pas continue en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, alors que $d$ l'est. Expliquer pourquoi ces deux affirmations ne se contredisent pas. (0,75 point)

On rappelle deux résultats du cours.

• Inégalité admise. Pour tout réel $u>0$, $\ln u⩽u-1$, avec égalité si et seulement si $u=1$.
• Puissance réelle. Pour tout réel $x>0$ et tout réel $\alpha$, $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{e}}$, et que l'égalité a lieu si et seulement si $x=e$. (0,75 point)

2. En déduire que $x^e⩽e^x$ pour tout réel $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=e$. Qu'en conclut-on sur les positions relatives des courbes des fonctions $x\mapsto x^e$ et $x\mapsto e^x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ? (0,75 point)

3. Sans calculatrice, déterminer laquelle des deux quantités $3^e$ et $e^3$ est la plus grande. (0,5 point)

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $I$. On appelle point fixe de $f$ tout réel $c\in I$ vérifiant $f(c)=c$.

Partie A — le théorème

Dans cette partie, $f$ est une fonction continue sur le segment $[0,1]$ et à valeurs dans $[0,1]$ : pour tout $x\in [0,1]$, on a donc $0⩽f(x)⩽1$. On pose, pour tout $x\in [0,1]$,

$$g(x)=f(x)-x$$

1. Justifier que $g$ est continue sur $[0,1]$, puis déterminer le signe de $g(0)$ et celui de $g(1)$. (0,5 point)

2. En déduire que $f$ admet au moins un point fixe dans $[0,1]$. On prendra soin de traiter les cas où $g(0)$ ou $g(1)$ est nul. (0,75 point)

Partie B — un exemple

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^3+1}{2}}$.

3. Démontrer, sans utiliser de dérivée, que $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$, puis que $f$ prend bien ses valeurs dans $[0,1]$. (0,5 point)

4. Déterminer tous les points fixes de $f$ dans $[0,1]$, sous forme exacte. Combien y en a-t-il ? Le théorème de la partie A permettait-il de prévoir ce nombre ? (0,75 point)

Partie C — les hypothèses

5. Soit $u$ la fonction définie sur $]0,1[$ par $u(x)=x^2$. Vérifier que $u$ prend ses valeurs dans $]0,1[$, puis démontrer que $u$ n'admet aucun point fixe. Quelle hypothèse de la partie A est ici en défaut ? (0,5 point)

6. Donner un exemple, avec justification, d'une fonction définie sur $[0,1]$, à valeurs dans $[0,1]$, et sans aucun point fixe. On pourra chercher une fonction qui décale tout point d'une quantité fixe, en ramenant dans le segment ce qui en sortirait. (0,5 point)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. À tout réel $m$ on associe la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f_m(x)=x^2+mx+m^2$$

et l'on note ${\mathcal{P}}_m$ sa courbe représentative. Faire varier $m$ engendre une famille de paraboles, une par valeur du paramètre : c'est cette famille tout entière que l'on étudie ici, et non une courbe isolée.

Partie A — une parabole de la famille

1. Soit $m$ un réel. Vérifier que, pour tout réel $x$, $f_m(x)={(x+{\displaystyle \frac{m}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3m^2}{4}}$. En déduire, sans utiliser de dérivée, que $f_m$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$, puis les coordonnées du point le plus bas $S_m$ de ${\mathcal{P}}_m$. (0,75 point)

2. Démontrer que, lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$, le point $S_m$ décrit exactement la parabole $\mathcal{S}$ d'équation $y=3x^2$ : c'est la courbe des sommets de la famille. (0,5 point)

Partie B — combien de paraboles passent par un point donné ?

3. Soit $A(a;b)$ un point du plan. Démontrer que $A$ appartient à ${\mathcal{P}}_m$ si et seulement si le réel $m$ est solution de l'équation

   $$m^2+am+a^2-b=0$$

   d'inconnue $m$. En discutant cette équation, déterminer selon les valeurs de $a$ et de $b$ combien de paraboles de la famille passent par $A$. En déduire la description de la région du plan balayée par la famille, c'est-à-dire l'ensemble des points par lesquels passe au moins une parabole ${\mathcal{P}}_m$, ainsi que la courbe qui la borde. (1,25 point)

4. Appliquer ce résultat aux trois points $A(2;4)$, $B(2;3)$ et $C(2;1)$ : pour chacun, dire combien de paraboles de la famille passent par lui, et déterminer les valeurs de $m$ correspondantes. (0,5 point)

Partie C — la frontière

On note désormais $\gamma$ la parabole d'équation $y={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2$, celle qui est apparue à la question 3 et qui n'appartient pas à la famille.

5. Démontrer que, pour tous réels $x$ et $m$, $f_m(x)-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2={({\displaystyle \frac{x}{2}}+m)}^2$. En déduire la position de ${\mathcal{P}}_m$ par rapport à $\gamma$ ainsi que leurs points communs, ce qui redonne, par une lecture en $x$, les deux derniers cas de la question 3. Étudier ensuite, en discutant selon $m$, les points communs de ${\mathcal{P}}_m$ et de $\mathcal{S}$ et la position relative de ces deux courbes. Expliquer enfin pourquoi $\mathcal{S}$, bien qu'elle porte tous les sommets de la famille, ne pouvait pas border la région balayée obtenue à la question 3. (1 point)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f(x)=x+\ln x$$

Le but du problème est d'étudier la fonction qui, à un réel $t$, associe l'unique solution de l'équation $x+\ln x=t$. Cette solution ne s'exprime à l'aide d'aucune fonction usuelle du programme : tout ce que l'on en dira devra donc être obtenu sans jamais l'écrire, à partir de la seule équation qu'elle vérifie.

Données numériques, à utiliser telles quelles : $\mathrm{0,6931}⩽\ln 2⩽\mathrm{0,6932}$, $-\mathrm{0,5109}⩽\ln \mathrm{0,6}⩽-\mathrm{0,5108}$, $\mathrm{4,5538}⩽\ln 95⩽\mathrm{4,5539}$, $\mathrm{4,6051}⩽\ln 100⩽\mathrm{4,6052}$.

Partie A — la fonction $f$

1. Justifier que $f$ est définie et continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et qu'elle y est strictement croissante. (0,5 point)

2. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$. (0,5 point)

3. En vérifiant ses hypothèses une à une, appliquer le théorème de la bijection pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]0,+\mathrm{\infty }[$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 point)

   On note désormais $\phi$ la bijection réciproque de $f$ : pour tout réel $t$, $\phi (t)$ est donc l'unique réel $x>0$ vérifiant $x+\ln x=t$.

4. Calculer $\phi (1)$ et $\phi (e+1)$. Démontrer ensuite que $\mathrm{0,5}<\phi (0)<\mathrm{0,6}$. (0,5 point)

Partie B — la fonction $\phi$

5. Justifier que $\phi$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (0,5 point)

6. Démontrer que $\phi$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$, puis en déduire ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\phi (t)}$. (0,5 point)

7. Démontrer que $\phi$ admet en $-\mathrm{\infty }$ une limite finie $\mathrm{\ell }$, que $\mathrm{\ell }⩾0$, puis que $\mathrm{\ell }=0$. On raisonnera par l'absurde en supposant $\mathrm{\ell }>0$. (1 point)

Partie C — le comportement de $\phi$ en $+\mathrm{\infty }$

8. Soit $t$ un réel tel que $t⩾1$. Démontrer que $1⩽\phi (t)⩽t$. (0,5 point)

9. Démontrer que $t-\phi (t)=\ln (\phi (t))$ pour tout réel $t⩾1$, puis en déduire que $t-\ln t⩽\phi (t)⩽t$. (0,75 point)

10. Déterminer ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\phi (t)}{t}}}$. (0,5 point)

11. Donner un encadrement de $\phi (100)$ d'amplitude inférieure à $\mathrm{0,06}$. On procédera en deux temps : appliquer d'abord l'encadrement de la question 9 en $t=100$, puis le réinjecter dans l'égalité $t-\phi (t)=\ln (\phi (t))$ de cette même question. On veillera à arrondir chaque borne dans le sens qui élargit l'encadrement. (1 point)

12. La différence $t-\phi (t)$ admet-elle une limite finie en $+\mathrm{\infty }$ ? Commenter au regard de la question 10. (0,75 point)