Exercices — Étude élémentaire des séries

On considère la série de terme général $u_n={\mathrm{0,4}}^n$, définie pour $n⩾0$. Pour tout entier $n⩾0$, on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ sa somme partielle de rang $n$.

1. Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$ et $S_3$, d'abord sous forme de fraction, puis en écriture décimale.

2. Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire la nature de la série, et sa somme en cas de convergence.

4. À partir de quel rang $n$ a-t-on $S_n>\mathrm{1,66}$ ?

Pour chacun des six termes généraux suivants, définis pour $n⩾0$, préciser la nature de la série $\sum u_n$. Lorsqu'elle converge, calculer sa somme.

Pour chacun des cinq termes généraux suivants, définis pour $n⩾1$, déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n}$, puis dire si le critère de divergence grossière permet de conclure quant à la nature de la série $\sum u_n$.

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis calculer sa somme.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾3}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}5\times {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾2}{\displaystyle \frac{3^n}{4^{n+1}}}}$

1. Justifier la convergence de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}({\displaystyle \frac{3}{2^n}}-{\displaystyle \frac{2}{5^n}})}$, puis calculer sa somme.

2. Même question pour la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{2^n+3^n}{6^n}}}$.

3. Soient $\sum u_n$ une série convergente et $\sum v_n$ une série divergente. Que peut-on dire de la série $\sum (u_n+v_n)$ ? Justifier.

On considère la série de terme général $u_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$, définie pour $n⩾1$. Pour tout $n⩾1$, on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$.

1. Vérifier que, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

2. En déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

3. Conclure quant à la nature de la série et donner sa somme.

4. Combien de termes faut-il sommer pour approcher cette somme à ${10}^{-2}$ près ?

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis donner sa somme sous forme exacte et une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis calculer sa somme.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾2}n(n-1){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-2}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n(\mathrm{0,9}{)}^{n-1}}$. Comparer le résultat à celui de la question 3. et commenter.

Étudier la nature de chacune des séries suivantes. Pour les questions 1. et 2., calculer de plus la somme.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{2^n}}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n}{3^n}}}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}$

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$u_n=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\text{et}{S}_n=\sum _{k=1}^n{u}_k\mathrm{.}$$

1. Montrer que $u_n⟶0$ lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$.

2. Montrer que, pour tout $n⩾1$, $u_n=\ln (n+1)-\ln (n)$.

3. En déduire une expression simple de $S_n$, puis la nature de la série $\sum u_n$.

4. Que faut-il retenir de cet exemple concernant la réciproque de la condition nécessaire de convergence ?

On étudie la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}}$ et on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}}$.

1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n⩾1$,

$${\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}={\displaystyle \frac{a}{n}}+{\displaystyle \frac{b}{n+2}}\mathrm{.}$$

2. En déduire une expression explicite de $S_n$ en fonction de $n$. On prendra garde au fait qu'il reste deux termes de chaque côté.

3. En déduire que la série converge et donner sa somme.

4. Calculer $S_{10}$, puis l'écart $R_{10}=S-S_{10}$ entre la somme et cette somme partielle.

1. Vérifier que, pour tout entier $n⩾1$,

$${\displaystyle \frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}\mathrm{.}$$

2. En déduire l'expression de $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}}}$, puis la nature et la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}}}$.

3. On considère maintenant la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)}}}$. Montrer que son terme général tend vers $0$.

4. Vérifier que ${\displaystyle \frac{2n+1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, puis, en exprimant la somme partielle à l'aide de $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$, déterminer la nature de cette série.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$.

1. Montrer que la suite $(H_n{)}_{n⩾1}$ est croissante.

2. Montrer que, pour tout $n⩾1$, $H_{2n}-H_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. En raisonnant par l'absurde, montrer que la suite $(H_n)$ ne converge pas. En déduire que $H_n\to +\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire que la série harmonique diverge.

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier $p⩾0$, $H_{2^p}⩾1+{\displaystyle \frac{p}{2}}$. Combien de termes cette minoration garantit-elle suffisants pour dépasser $10$ ?

On rappelle le résultat de référence du cours : pour $\alpha \in \mathbb{R}$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Pour chacun des termes généraux suivants (définis pour $n⩾1$), préciser la valeur de $\alpha$ et conclure quant à la nature de la série associée.

Soit $q$ un réel tel que $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$. On rappelle le résultat du cours :

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}\mathrm{.}$$

1. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n{q}^n}$ converge et que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n={\displaystyle \frac{q}{(1-q{)}^2}}\mathrm{.}$$

2. Calculer cette somme pour $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis pour $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$, puis pour $q=\mathrm{0,8}$.

3. La somme ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n}$ (l'indice commence maintenant à $0$) a-t-elle la même valeur ? Justifier.

On étudie la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n^2}{2^n}}}$. On rappelle que, pour $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$,

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}\text{et}\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^{n-2}={\displaystyle \frac{2}{(1-q{)}^3}}\mathrm{.}$$

1. Vérifier que, pour tout entier $n⩾1$, $n^2=n(n-1)+n$.

2. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2^n}}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{2^n}}}$.

3. En déduire que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n^2}{2^n}}}$ converge et que sa somme vaut $6$.

4. Calculer la somme partielle $S_6$ et commenter l'écart avec la somme de la série.

On étudie d'abord la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{n+2}{3^n}}}$.

1. Justifier que les séries ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{n}{3^n}}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{2}{3^n}}}$ convergent et calculer leurs sommes.

2. En déduire que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{n+2}{3^n}}}$ converge et donner sa somme, en justifiant que la séparation en deux séries est licite.

3. Reprendre la même méthode pour la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{3n-1}{4^n}}}$.

On rappelle le résultat du cours : pour tout réel $x$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}}$ converge et ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}={\mathrm{e}}^x}$.

1. Montrer que ${\displaystyle \frac{n}{n!}}={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$ pour $n⩾1$, et que ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{n!}}={\displaystyle \frac{1}{(n-2)!}}$ pour $n⩾2$.

2. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{n!}}}$.

3. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n+1}{n!}}}$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{2^{n}n!}}}$.

5. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n(n-1)}{n!}}}$.

On considère la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n}$, dont on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^k}$ la somme partielle de rang $n$.

1. Justifier la convergence de la série et calculer sa somme $S$.

2. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$, puis montrer que le reste $R_n=S-S_n$ s'écrit sous la forme close $R_n={\displaystyle \frac{5}{2}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n+1}$.

3. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $R_n⩽{10}^{-3}$. Vérifier numériquement en calculant $R_n$ et $R_{n-1}$.

4. Reprendre les questions 1. à 3. pour la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(\mathrm{0,95}{)}^n}$. Commenter le nombre de termes nécessaires lorsque la raison se rapproche de $1$.

On étudie la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}$ et l'on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}$.

1. Montrer que pour tout entier $k⩾2$, ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}$.

2. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}={\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$, puis calculer ${\displaystyle \sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}}$ par télescopage.

3. En déduire que pour tout $n⩾1$, $S_n⩽2$.

4. Conclure quant à la nature de la série.

5. Sachant que $S_{10}\approx \mathrm{1,549}8$, donner un encadrement numérique de la somme $S$.

Pour chacune des séries suivantes, étudier la convergence absolue, puis dire ce que l'on peut conclure sur sa nature avec les outils de première année.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2}}}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n}{2^n}}}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n^2}{n^2+1}}}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}}$

5. Que retenir de la comparaison entre les questions 1. et 4. ?

Un placement verse $F$ euros à la fin de chaque année, indéfiniment. Le taux d'actualisation annuel est $r>0$ : un euro reçu dans $n$ années vaut aujourd'hui ${\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^n}}$ euro. La valeur actuelle de la rente est la somme de la série des flux actualisés :

$$V=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{F}{(1+r{)}^n}}$$

1. Montrer que cette série converge et que $V={\displaystyle \frac{F}{r}}$.

2. Application : calculer $V$ pour $F=1200$ euros et $r=\mathrm{0,04}$, puis pour $r=\mathrm{0,02}$. Commenter l'effet du taux.

3. On note $V_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{F}{(1+r{)}^k}}}$ la valeur actuelle des $n$ premiers versements. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, $F$ et $r$.

4. À partir de combien d'années le cumul actualisé $V_n$ dépasse-t-il $90\mathrm{\%}$ de la valeur totale $V$ ? Traiter les deux taux de la question 2.

Partie A. On considère la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}}$.

1. Vérifier que pour tout entier $n⩾1$,

$${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}})$$

2. En déduire la somme partielle $S_N={\displaystyle \sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}}$, puis la nature de la série et sa somme.

Partie B. On considère maintenant ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}}$.

3. Trouver, par la même méthode, une constante $c$ telle que le terme général s'écrive $c({\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}})$.

4. En déduire la convergence de la série et calculer sa somme.

On rappelle que pour tout réel $x$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}}$ converge et que sa somme vaut ${\mathrm{e}}^x$.

1. On étudie ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{n^2+n+1}{n!}}}$.

a. Vérifier que pour tout entier $n$, $n^2+n+1=n(n-1)+2n+1$.

b. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n(n-1)}{n!}}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{n!}}}$ en effectuant les changements d'indice appropriés.

c. En déduire la convergence de la série étudiée et la valeur de sa somme.

2. Soit $x$ un réel. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n^2}{n!}}{x}^n}$.

Soit $q\in ]-1,1[$. On rappelle les deux formules du cours :

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}\text{et}\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^{n-2}={\displaystyle \frac{2}{(1-q{)}^3}}$$

1. À l'aide de la première formule, exprimer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n}$ en fonction de $q$.

2. À l'aide de la seconde, exprimer ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)q^n}$ en fonction de $q$.

3. En écrivant $n^2=n(n-1)+n$, montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{n}^2{q}^n}$ converge et que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{n}^2{q}^n={\displaystyle \frac{q(1+q)}{(1-q{)}^3}}$$

4. Applications numériques : calculer cette somme pour $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis pour $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

5. Que se passe-t-il si $q=1$ ? Si $q=-1$ ?

Une économie fonctionne par tours : un revenu distribué à un tour est en partie consommé au tour suivant, à hauteur d'une fraction $c\in ]0,1[$ appelée propension marginale à consommer, et cette consommation devient un revenu pour d'autres agents.

Au lieu d'injecter toute sa relance d'un coup, l'État l'étale : il injecte $D$ euros à chacun des $p$ premiers tours, où $p⩾1$ est un entier fixé, puis plus rien. Chaque injection déclenche sa propre cascade de consommations, et les cascades se superposent.

On note $R_n$ le revenu total distribué au tour $n$, pour $n⩾1$.

1. Justifier que l'injection effectuée au tour $k$ contribue au revenu du tour $n$, pour $n⩾k$, à hauteur de $D{c}^{n-k}$. En déduire que

$$R_n=\sum _{k=1}^{n}D{c}^{n-k}\text{si }n⩽p,R_n=\sum _{k=1}^{p}D{c}^{n-k}\text{si }n⩾p\mathrm{.}$$

2. Démontrer que

$$R_n=D\frac{1-c^n}{1-c}\text{pour }1⩽n⩽p,R_n=D{c}^{n-p}\frac{1-c^p}{1-c}\text{pour }n⩾p\mathrm{.}$$

Vérifier que les deux expressions coïncident au rang $n=p$.

3. Démontrer que $R_{n+1}-R_n=D{c}^n$ pour $1⩽n⩽p-1$, et que la suite $(R_n{)}_{n⩾p}$ est géométrique de raison $c$. À quel tour le revenu distribué est-il maximal ?

4. Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{R}_n}$ converge.

5. Calculer séparément ${\displaystyle \sum _{n=1}^p{R}_n}$ et ${\displaystyle \sum _{n=p+1}^{+\mathrm{\infty }}{R}_n}$, puis démontrer que l'effet total de la relance vaut

$$T=\frac{pD}{1-c}\mathrm{.}$$

6. Comparer avec l'effet total d'une injection unique de $pD$ euros au premier tour. Qu'est-ce qui change, alors, à étaler une relance ?

7. Application. On prend $D=200$ millions d'euros, $p=4$ tours et $c=\mathrm{0,75}$. On donne ${\mathrm{0,75}}^4=\mathrm{0,316}40625$.

a. Calculer $T$, puis le revenu maximal distribué en un tour.

b. Calculer la part de l'effet total atteinte au bout de $4$ tours, puis celle qu'aurait atteinte au même moment une injection unique de $800$ millions au premier tour. Conclure en deux phrases.

1. On étudie ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n}{2^n}}}$.

a. Montrer que cette série est absolument convergente, donc convergente.

b. Calculer sa somme en appliquant la formule ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{q}^n={\displaystyle \frac{q}{(1-q{)}^2}}}$, valable pour $\mid q\mid <1$.

2. On étudie ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n{3}^n}}}$. Vérifier que pour tout $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k{3}^k}}⩽{\displaystyle \frac{1}{3^k}}$ ; en déduire que les sommes partielles de ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{\displaystyle \frac{1}{k{3}^k}}}$ sont majorées par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis conclure sur la nature de la série étudiée. On ne demande pas sa somme.

3. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n(n-1)}{3^n}}}$.

On considère la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ définie par $u_1=1$ et, pour tout entier $n⩾1$,

$$u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$$

1. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante.

2. Exprimer $u_n$, pour $n⩾1$, comme la somme partielle d'une série télescopique, puis en déduire une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite exacte.

4. Calculer $u_{10}$ et l'écart entre $u_{10}$ et la limite.

5. Question de méthode. Énoncer le principe général que cet exercice illustre et expliquer pourquoi il est particulièrement efficace ici.

On rappelle que pour tout réel $x$, la série de terme général ${\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$ converge et que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}=e^x}$. En particulier ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}=e}$.

1. Vérifier que pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{n!}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}$. En déduire la nature et la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}}}$.

2. Déterminer la nature et la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{n}{(n+2)!}}}$.

3. Déterminer la nature et la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n^2+1}{n!}}}$.

On rappelle que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k!}}=e}$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$S_n=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}\text{et}{R}_n=e-S_n$$

1. Montrer que pour tous entiers $n⩾1$ et $k⩾n+1$, on a ${\displaystyle \frac{1}{k!}}⩽{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!(n+1{)}^{k-n-1}}}$.

2. En déduire que pour tout $n⩾1$, $0⩽R_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n!n}}$.

3. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette majoration garantit $R_n⩽{10}^{-6}$.

4. Donner la valeur approchée de $e$ obtenue pour cet entier $n$.

5. Écrire un programme Python qui calcule $S_n$ en ajoutant les termes tant que le terme ajouté est supérieur à ${10}^{-12}$, et préciser ce que garantit ce test d'arrêt.

Pour $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}},a_n=H_n-\ln n,b_n=H_n-\ln (n+1)$$

1. Montrer que pour tout entier $n⩾1$,

$${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽\ln (n+1)-\ln n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$$

2. En déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante et que la suite $(b_n)$ est croissante.

3. Montrer que $a_n-b_n\to 0$ lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$.

4. Conclure que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite, notée $\gamma$.

5. Encadrer $\gamma$ en prenant $n=10$.

6. Que peut-on en déduire sur la nature de la série harmonique et sur la vitesse de croissance de $H_n$ ?

Soit $k$ un entier naturel non nul, fixé pour tout l'exercice. On s'intéresse à la série

$$\sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n(n+k)}}$$

On note $H_k={\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \frac{1}{i}}}$.

1. Vérifier que pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{n(n+k)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+k}})$.

2. Pour $N⩾k$, calculer la somme partielle $S_N={\displaystyle \sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{n(n+k)}}}$ et montrer qu'il subsiste exactement $k$ termes au début et $k$ termes à la fin.

3. En déduire que la série converge et que sa somme vaut ${\displaystyle \frac{H_k}{k}}$.

4. Vérifier le résultat pour $k=1$ et $k=2$.

5. Montrer que $H_k⩽1+\ln k$, puis déterminer la limite de la somme lorsque $k\to +\mathrm{\infty }$. Interpréter.

Une entreprise versera, à la fin de chaque année $n⩾1$, un dividende $D_n$. Un euro perçu dans $n$ années vaut aujourd'hui ${\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^n}}$ euro, où $r>0$ est le taux d'actualisation. La valeur actuelle du flux de dividendes est donc

$$V=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{D_n}{(1+r{)}^n}}$$

Partie A — croissance géométrique (modèle de Gordon-Shapiro). On suppose ici $D_n=D_0(1+g{)}^n$, avec $g\in ]0,1[$ le taux de croissance du dividende et $D_0>0$.

1. Montrer que la série converge si et seulement si $g<r$, et qu'alors $V={\displaystyle \frac{D_0(1+g)}{r-g}}$.

2. Application numérique : $D_0=3$ euros, $g=\mathrm{0,02}$ et $r=\mathrm{0,07}$.

3. Reprendre le calcul avec $r=\mathrm{0,06}$ et commenter.

Partie B — croissance arithmétique. On suppose maintenant $D_n=D_0+na$, avec $a>0$.

4. Montrer que la valeur actuelle du flux vaut $W={\displaystyle \frac{D_0}{r}}+{\displaystyle \frac{a(1+r)}{r^2}}$.

5. Application numérique avec $D_0=3$ euros, $a=\mathrm{0,06}$ euro et $r=\mathrm{0,07}$.

6. Comparer les deux modèles en deux phrases.

On considère la suite $(u_n{)}_{n⩾0}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{1+u_n}}$$

1. Montrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ (on justifiera au passage que la suite est bien définie).

2. Montrer que la suite $\left({\displaystyle \frac{1}{u_n}}\right)$ est arithmétique de raison $1$.

3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.

4. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{u}_n}$.

5. Question de méthode. Quelle conclusion générale cet exemple permet-il de tirer ?

6. Déterminer la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{u}_n^2}$, puis la nature et la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(u_n-u_{n+1})}$.