ECG appliquées · Chapitre 08 · Second semestre

Calcul différentiel et intégral

1re année

Dérivation, dérivées successives, convexité, équations différentielles linéaires à coefficients constants, intégration sur un segment.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Dérivation
Dérivées successives
Convexité
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Intégration sur un segment

Voici le grand chapitre d'analyse du second semestre. Il porte un titre double, et c'est en réalité de trois sujets solidaires qu'il s'agit : dériver, résoudre une équation différentielle, intégrer. On pourrait croire à trois chapitres cousus ensemble ; ce sont trois faces d'un même outil. Dériver, c'est mesurer la vitesse à laquelle une quantité varie. Intégrer, c'est faire le chemin inverse, reconstituer une quantité à partir de sa vitesse. Et une équation différentielle, c'est exactement le problème que l'on pose quand on connaît la loi de variation d'une grandeur et que l'on cherche la grandeur elle-même. Les trois sections se répondent donc en permanence, et il serait maladroit de les réviser séparément.

La dérivation a été volontairement laissée de côté au chapitre V du premier semestre, celui des fonctions réelles d'une variable réelle : les variations s'y obtenaient à la main, par les variations connues des fonctions usuelles, par composition, ou par l'étude du signe de $f (b) - f (a)$ . Elle arrive enfin, et elle change tout : ce que l'on arrachait par des inégalités devient mécanique. Un calcul de dérivée, un tableau de signes, et le sens de variation tombe. Ne vous y trompez pas pour autant, le travail sur les inégalités du premier semestre n'était pas du temps perdu : il servira encore, notamment dans l'inégalité des accroissements finis et dans toutes les majorations d'intégrales, où la dérivée ne dispense de rien.

Le programme est explicite sur un point, et il faut l'entendre comme une consigne de travail : « aucune démonstration concernant les résultats de ce chapitre n'est exigible ». Les grands énoncés, caractérisation des fonctions monotones par le signe de la dérivée, inégalité des accroissements finis, caractérisations de la convexité, existence des primitives, seront donc énoncés et admis. Cela ne veut pas dire qu'il n'y a rien à comprendre, cela veut dire que l'enjeu se déplace vers la méthode : savoir quel outil sortir devant quelle question, vérifier ses hypothèses, mener le calcul proprement et conclure. Nous nous autoriserons quelques justifications courtes, de trois lignes, lorsqu'elles éclairent vraiment un résultat, par exemple pourquoi deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ; tout le reste est admis, et c'est écrit à chaque fois.

Enfin, ce chapitre est celui où les mathématiques rejoignent l'économie de la façon la plus directe. La dérivée d'une fonction de coût est le coût marginal, c'est-à-dire ce que coûte à peu près l'unité supplémentaire. La dérivée seconde dit si les rendements sont croissants ou décroissants, et le point d'inflexion marque le basculement de l'un à l'autre. La convexité fournit le critère d'optimisation le plus commode qui soit : pour une fonction convexe, un point où la dérivée s'annule est un minimum, sans autre vérification. Les équations différentielles décrivent les évolutions en temps continu, capital, stock, population de clients, et la notion d'équilibre y prend un sens économique immédiat. Quant à l'intégrale, elle mesure une accumulation, et les surplus du consommateur et du producteur ne sont rien d'autre que des aires.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $I$ désigne toujours un intervalle de $R$ , non vide et non réduit à un point ; $a$ , $b$ , $c$ désignent des réels et $x_{0}$ un point de $I$ . Une fonction est notée $f$ , $g$ ou $h$ , sa dérivée $f^{'}$ , sa dérivée seconde $f^{''}$ , et sa dérivée $n$ -ième $f^{(n)}$ , avec la convention $f^{(0)} = f$ . Sa courbe représentative dans un repère est notée $C_{f}$ . Une primitive de $f$ est notée avec la majuscule correspondante, $F$ , et l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est notée $\int_{a}^{b} f (t) d t$ . Dans la partie consacrée aux équations différentielles, la variable est le temps et se note $t$ , la fonction inconnue se note $y$ , et $λ$ et $μ$ désignent les constantes réelles qui paramètrent les solutions. Deux conventions d'écriture, comme au premier semestre : le séparateur d'un couple ou d'un intervalle est la virgule, on écrit $[0, 1]$ et $A (1, 1)$ , et les décimaux gardent la virgule française, comme dans $0,75$ .

Dérivation

Dérivée en un point, tangente

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un point de $I$ . On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ lorsque le taux d'accroissement

\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

admet une limite finie quand $x$ tend vers $x_{0}$ . Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$ et se note $f^{'} (x_{0})$ :

f^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Remarque

Les deux écritures ci-dessus sont la même, au changement de variable $x = x_{0} + h$ près. La seconde, avec $h$ , est souvent la plus commode dans les calculs, parce que la limite est prise en $0$ ; la première parle mieux à l'intuition, car le quotient $\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ est le coefficient directeur de la droite qui joint les deux points de la courbe d'abscisses $x_{0}$ et $x$ . Faire tendre $x$ vers $x_{0}$ , c'est faire pivoter cette sécante jusqu'à sa position limite : la tangente. Le mot finie, lui, n'est pas décoratif. Si le taux d'accroissement tend vers $+ \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $x_{0}$ , même si la courbe admet une tangente : cette tangente est alors verticale, et n'a pas de coefficient directeur.

Définition

Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , la tangente à $C_{f}$ au point $A (x_{0}, f (x_{0}))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f^{'} (x_{0})$ . Son équation est

y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})

Exemple

Dérivée de $f : x \mapsto x^{2}$ en $1$ . Formons le taux d'accroissement avec $h \neq 0$ :

\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{(1 + h)^{2} - 1}{h} = \frac{1 + 2 h + h^{2} - 1}{h} = \frac{h (2 + h)}{h} = 2 + h

La simplification par $h$ est licite puisque $h \neq 0$ , et $2 + h$ tend vers $2$ quand $h$ tend vers $0$ . Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f^{'} (1) = 2$ . La tangente au point $A (1, 1)$ a pour équation $y = 2 (x - 1) + 1$ , c'est-à-dire

y = 2 x - 1

Tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1

Sur la figure, la courbe de $f (x) = x^{2}$ est tracée sur $[- 0,5; 2,5]$ et la droite d'équation $y = 2 x - 1$ la touche au point $A (1, 1)$ . Observez le comportement au voisinage du point de contact : la droite et la courbe y sont pratiquement confondues, et elles ne s'écartent que progressivement. C'est toute la signification du nombre dérivé, et c'est ce que la section sur l'approximation affine va formuler.

Propriété

Dérivabilité et continuité. Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors $f$ est continue en $x_{0}$ . La réciproque est fausse. (Admis.)

Remarque

Le sens direct se comprend en une ligne : $f (x) - f (x_{0}) = (x - x_{0}) \times \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ , produit d'un facteur qui tend vers $0$ et d'un facteur qui tend vers $f^{'} (x_{0})$ , donc $f (x)$ tend vers $f (x_{0})$ . La réciproque, elle, tombe sur le premier exemple venu : la fonction valeur absolue est continue en $0$ et n'y est pas dérivable, comme on le vérifie juste après. Retenez la hiérarchie : dérivable est plus fort que continu. Un énoncé qui vous donne la dérivabilité vous donne donc la continuité, et vous n'avez pas à la redémontrer.

Dérivabilité à gauche et à droite

Définition

Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un point de $I$ . On dit que $f$ est dérivable à droite en $x_{0}$ lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives ; cette limite se note $f_{d}^{'} (x_{0})$ . On définit de même la dérivée à gauche $f_{g}^{'} (x_{0})$ , avec $h < 0$ :

f_{d}^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}, f_{g}^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Propriété

Soit $x_{0}$ un point intérieur à $I$ . La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en $x_{0}$ et que ces deux nombres coïncident. On a alors $f^{'} (x_{0}) = f_{g}^{'} (x_{0}) = f_{d}^{'} (x_{0})$ .

Exemple

La valeur absolue n'est pas dérivable en $0$ . Pour $f (x) = ∣ x ∣$ et $h \neq 0$ , le taux d'accroissement en $0$ vaut $\frac{∣ h ∣ - 0}{h} = \frac{∣ h ∣}{h}$ . Si $h > 0$ , ce quotient vaut $\frac{h}{h} = 1$ ; si $h < 0$ , il vaut $\frac{- h}{h} = - 1$ . Donc $f_{d}^{'} (0) = 1$ et $f_{g}^{'} (0) = - 1$ : les deux dérivées existent mais diffèrent, et $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Graphiquement, la courbe présente un point anguleux : deux demi-tangentes de pentes différentes s'y rejoignent.

Exemple

Un raccord réussi. Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ si $x ⩽ 1$ et $f (x) = 2 x - 1$ si $x > 1$ .

Continuité en $1$ . À gauche, $f (x) = x^{2}$ tend vers $1$ ; à droite, $2 x - 1$ tend vers $1$ ; et $f (1) = 1$ . La fonction est donc continue en $1$ , ce qu'il faut vérifier avant toute question de dérivabilité, puisque la dérivabilité l'entraîne.

Les deux dérivées. Pour $h < 0$ , $\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{(1 + h)^{2} - 1}{h} = 2 + h$ , qui tend vers $2$ , donc $f_{g}^{'} (1) = 2$ . Pour $h > 0$ , $\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{2 (1 + h) - 1 - 1}{h} = \frac{2 h}{h} = 2$ , donc $f_{d}^{'} (1) = 2$ . Les deux valeurs coïncident : $f$ est dérivable en $1$ et $f^{'} (1) = 2$ . La courbe se prolonge sans cassure, et la tangente commune est la droite $y = 2 x - 1$ rencontrée plus haut.

Exemple

Une tangente verticale. Pour $f (x) = \sqrt{x}$ en $0$ , le taux d'accroissement vaut $\frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ pour $h > 0$ , et il tend vers $+ \infty$ . La limite n'est pas finie : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , bien qu'elle y soit continue. Sa courbe admet en $0$ une tangente verticale, c'est-à-dire l'axe des ordonnées. On étudiera donc toujours cette fonction sur $] 0, + \infty [$ lorsqu'il s'agit de dériver.

L'approximation affine et les taux d'accroissement usuels

Propriété

Approximation affine. Soit $f$ dérivable en $x_{0}$ . Il existe une fonction $ε$ , définie au voisinage de $0$ et telle que $ε (h)$ tende vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ , vérifiant

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0}) + h ε (h)

Remarque

Comment lire cette écriture. Les deux premiers termes, $f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0})$ , donnent exactement l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse $x_{0} + h$ ; le troisième, $h ε (h)$ , est l'erreur commise en remplaçant la courbe par sa tangente. Cette erreur est un produit de deux quantités qui tendent vers $0$ : elle est donc petite devant $h$ , ce qui justifie l'expression « la courbe se confond avec sa tangente au voisinage du point de contact ». En pratique, cela fournit une approximation numérique : pour $h$ petit, $f (x_{0} + h) \approx f (x_{0}) + h f^{'} (x_{0})$ . C'est exactement le raisonnement que fait l'économiste quand il assimile le coût de l'unité supplémentaire à la valeur du coût marginal.

Exemple

Trois approximations de tête. Avec $f (x) = \sqrt{x}$ , $x_{0} = 1$ et $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ , on obtient $\sqrt{1,02} \approx 1 + 0,5 \times 0,02 = 1,01$ , à comparer à la valeur exacte $1,00995$ . Avec l'exponentielle en $0$ , $e^{0,05} \approx 1 + 0,05 = 1,05$ , la valeur exacte étant $1,0513$ . Avec $x \mapsto \ln (1 + x)$ en $0$ , $\ln (1,03) \approx 0,03$ , la valeur exacte étant $0,02956$ .

Propriété

Les trois taux d'accroissement usuels en $0$ .

\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1, \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h} = 1, \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{α} - 1}{h} = α (α \in R)

Remarque

Ces trois limites, rencontrées au premier semestre comme limites usuelles à admettre, s'expliquent maintenant d'un mot : ce sont des nombres dérivés en $0$ . La première est le taux d'accroissement de $\exp$ entre $0$ et $h$ , puisque $e^{0} = 1$ , et vaut donc $\exp^{'} (0) = e^{0} = 1$ . La deuxième est celui de $x \mapsto \ln (1 + x)$ , dont la valeur en $0$ est nulle et la dérivée $\frac{1}{1 + x}$ vaut $1$ en $0$ . La troisième est celui de $x \mapsto (1 + x)^{α}$ , de dérivée $α (1 + x)^{α - 1}$ , qui vaut $α$ en $0$ . C'est le premier bénéfice de la dérivation : elle transforme une liste de résultats à retenir en une seule idée.

Méthode

Calculer une limite en reconnaissant un taux d'accroissement. Cette méthode s'applique aux formes indéterminées $\frac{0}{0}$ dans lesquelles on reconnaît une différence de valeurs d'une même fonction.

Repérer la forme $\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ , ou sa variante $\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ : le dénominateur doit tendre vers $0$ , et le numérateur doit être une différence dont l'un des termes est la valeur de $f$ au point limite.
Identifier $f$ et $x_{0}$ explicitement, en les écrivant.
Conclure que la limite vaut $f^{'} (x_{0})$ , après avoir calculé cette dérivée.
Si le dénominateur n'est pas exactement l'écart des abscisses, ajuster par une constante multiplicative au lieu de renoncer.

Exemple

a. $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$ . Comme $\ln 1 = 0$ , le quotient s'écrit $\frac{\ln x - \ln 1}{x - 1}$ : c'est le taux d'accroissement de $\ln$ en $1$ . Sa dérivée étant $\frac{1}{x}$ , la limite vaut $\frac{1}{1} = 1$ . b. $\lim_{h \to 0} \frac{e^{3 h} - 1}{h}$ . Le dénominateur n'est pas le bon : écrivons $\frac{e^{3 h} - 1}{h} = 3 \times \frac{e^{3 h} - 1}{3 h}$ . En posant $u = 3 h$ , qui tend vers $0$ , le second facteur tend vers $1$ , donc la limite vaut $3$ .

c. $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1 + h} - 1}{h}$ . C'est le troisième taux usuel avec $α = \frac{1}{2}$ , donc la limite vaut $\frac{1}{2}$ . d. $\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ . C'est le taux d'accroissement de $x \mapsto x^{3}$ en $2$ , dont la dérivée est $3 x^{2}$ : la limite vaut $3 \times 2^{2} = 12$ . On peut évidemment aussi factoriser $x^{3} - 8$ par $x - 2$ , mais c'est plus long. Enfin $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{- 3} - 1}{x} = - 3$ , cas $α = - 3$ du troisième taux usuel.

Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

Définition

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est dérivable en tout point de $I$ , les extrémités éventuellement contenues dans $I$ étant traitées par la dérivée à droite ou à gauche. La fonction qui, à tout $x$ de $I$ , associe $f^{'} (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ et se note $f^{'}$ .

Propriété

Dérivées des fonctions usuelles. Chaque ligne est valable sur l'intervalle indiqué, ou sur tout intervalle qu'il contient.

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$	Valable sur
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ , $n \in N^{*}$	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] 0, + \infty [$ ou $] - \infty, 0 [$
$\frac{1}{x^{n}}$ , $n \in N^{*}$	$- \frac{n}{x^{n + 1}}$	$] 0, + \infty [$ ou $] - \infty, 0 [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0, + \infty [$
$x^{α}$ , $α \in R$	$α x^{α - 1}$	$] 0, + \infty [$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$

Remarque

Deux différences entre ensemble de définition et ensemble de dérivabilité. La racine carrée est définie sur $[0, + \infty [$ mais dérivable seulement sur $] 0, + \infty [$ , comme on l'a vu avec sa tangente verticale ; sa dérivée $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ n'a d'ailleurs pas de sens en $0$ . La formule $x^{α}$ ne vaut que sur $] 0, + \infty [$ dès que $α$ n'est pas entier, puisque $x^{α} = e^{α \ln x}$ exige $x > 0$ . Enfin, la fonction inverse est dérivable sur chacun des deux intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [$ , jamais sur leur réunion, où elle n'est même pas définie en $0$ .

Opérations sur les dérivées

Propriété

Opérations (admises). Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $λ$ un réel.

Linéarité : $u + v$ et $λ u$ sont dérivables sur $I$ , avec $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ et $(λ u)^{'} = λ u^{'}$ .
Produit : $u v$ est dérivable sur $I$ , avec $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Inverse : si $v$ ne s'annule pas sur $I$ , $\frac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ , avec ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}}$ .
Quotient : si $v$ ne s'annule pas sur $I$ , $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ , avec ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .
Composée : si $u$ est dérivable sur $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ et si $g$ est dérivable sur $J$ , alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ , avec $(g \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) g^{'} (u (x))$ .

Propriété

Les formes composées à connaître par cœur. Elles se déduisent toutes de la règle 5, et ce sont elles que l'on utilise en pratique.

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{n}$ , $n \in N^{*}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	aucune
$u^{α}$ , $α \in R$	$α u^{'} u^{α - 1}$	$u > 0$
$\sqrt{u}$	$\frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$	$u > 0$
$\ln u$	$\frac{u^{'}}{u}$	$u > 0$
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	aucune
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u^{'}}{u^{2}}$	$u$ ne s'annule pas

Remarque

Le programme prévient : « on évitera tout excès de technicité dans les calculs de dérivées ». Autrement dit, on ne vous demandera pas de dériver des monstres. En revanche, on attend des calculs justes et présentés proprement, et surtout une dérivée factorisée, car son signe est presque toujours la vraie question. Une dérivée exacte mais laissée sous forme développée ne sert à rien.

Méthode

Organiser un calcul de dérivée sans s'égarer.

Préciser l'intervalle sur lequel on dérive, et vérifier que la fonction y est bien dérivable (dénominateur non nul, argument du logarithme et de la racine strictement positif).
Repérer la structure globale, c'est-à-dire la dernière opération effectuée pour construire $f (x)$ : est-ce une somme, un produit, un quotient, une composée ? C'est elle qui commande la formule à employer.
Nommer $u$ et $v$ , écrire $u^{'}$ et $v^{'}$ à part, sur une ligne dédiée. C'est le geste qui évite la moitié des erreurs.
Appliquer la formule sans rien développer, puis seulement ensuite mettre au même dénominateur et factoriser, en sortant les facteurs qui ne changent pas de signe, typiquement une exponentielle ou un carré.
Contrôler : la dérivée doit être définie au moins là où la formule le permet, et l'on peut vérifier une valeur en un point simple, ou vérifier le signe obtenu sur un point test.

Exemple

a. $f (x) = (3 x^{2} - 1) e^{- x}$ sur $R$ . C'est un produit : $u (x) = 3 x^{2} - 1$ et $v (x) = e^{- x}$ , donc $u^{'} (x) = 6 x$ et $v^{'} (x) = - e^{- x}$ . Alors

f^{'} (x) = 6 x e^{- x} + (3 x^{2} - 1) (- e^{- x}) = e^{- x} (6 x - 3 x^{2} + 1)

L'exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{'}$ est celui du trinôme $- 3 x^{2} + 6 x + 1$ , et c'est bien pour cela qu'on l'a factorisée. b. $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ sur $R$ , le dénominateur ne s'annulant jamais. C'est un quotient avec $u (x) = x$ et $v (x) = x^{2} + 1$ :

g^{'} (x) = \frac{1 \times (x^{2} + 1) - x \times 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(1 - x) (1 + x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Le dénominateur est un carré, donc strictement positif : le signe de $g^{'}$ est celui de $(1 - x) (1 + x)$ . c. $h (x) = \ln (x^{2} + 1)$ sur $R$ . C'est la forme $\ln u$ avec $u (x) = x^{2} + 1 > 0$ , donc $h^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ , du signe de $x$ .

d. $k (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ sur $R$ . C'est la forme $\sqrt{u}$ avec $u (x) = x^{2} + 3 > 0$ , donc $k^{'} (x) = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 3}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

e. $m (x) = x \ln x - x$ sur $] 0, + \infty [$ . Le premier terme est un produit : $m^{'} (x) = (1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x}) - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ . Ce résultat est à retenir, car il fournira la primitive du logarithme. f. $p (x) = e^{- x^{2} / 2}$ sur $R$ , forme $e^{u}$ avec $u (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ : $p^{'} (x) = - x e^{- x^{2} / 2}$ , du signe de $- x$ .

Dérivée et sens de variation

Propriété

Caractérisations (admises). Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x \in I$ .
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f^{'} (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f^{'} (x) ⩽ 0$ pour tout $x \in I$ .
Si $f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $I$ en ne s'annulant qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; énoncé symétrique pour la stricte décroissance.

Remarque

Le mot « intervalle » est une hypothèse, pas un décor. Sur $R^{*}$ , la fonction inverse a pour dérivée $- \frac{1}{x^{2}}$ , strictement négative partout, et pourtant elle n'est pas décroissante sur $R^{*}$ , puisque $- 1 < 1$ et $\frac{1}{- 1} < \frac{1}{1}$ . Il n'y a pas de contradiction : $R^{*}$ n'est pas un intervalle. On conclut donc toujours intervalle par intervalle, et l'on écrit deux lignes de conclusion plutôt qu'une. Le point 4 mérite aussi un mot : il autorise le luxe de la stricte croissance sans exiger $f^{'} > 0$ partout, quelques annulations isolées ne gênant pas. C'est ce qui permet d'affirmer que $x \mapsto x^{3}$ est strictement croissante sur $R$ alors que sa dérivée $3 x^{2}$ s'annule en $0$ .

Méthode

Déterminer les variations d'une fonction.

Préciser l'intervalle d'étude et la dérivabilité.
Calculer $f^{'}$ et la factoriser.
Déterminer le signe de $f^{'}$ : signe d'un trinôme, d'un produit, d'un quotient, en éliminant d'abord les facteurs de signe constant (exponentielle, carré, dénominateur positif).
Dresser le tableau de variations, en y reportant les valeurs et les limites aux bornes.
Conclure par une phrase pour chaque intervalle de monotonie.

Exemple

Étudions $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ sur $R$ . La fonction est un polynôme, donc dérivable sur $R$ , et

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x + 1) (x - 3)

la factorisation du trinôme s'obtenant avec $Δ = 4 + 12 = 16$ et les racines $\frac{2 - 4}{2} = - 1$ et $\frac{2 + 4}{2} = 3$ . Le trinôme est du signe de son coefficient dominant, positif, à l'extérieur des racines. Les valeurs remarquables sont $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 5 = 10$ et $f (3) = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22$ , et les limites en $\pm \infty$ sont celles du terme dominant $x^{3}$ .

x

-\infty

-1

3

+\infty

f'(x)

+

0

-

0

+

f(x)

-\infty

10

-22

+\infty

La fonction est donc strictement croissante sur $] - \infty, - 1]$ , strictement décroissante sur $[- 1, 3]$ , puis strictement croissante sur $[3, + \infty [$ .

Extremum local

Définition

Soient $f$ définie sur $I$ et $x_{0} \in I$ . On dit que $f$ admet un maximum local en $x_{0}$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $x_{0}$ tel que $f (x) ⩽ f (x_{0})$ pour tout $x$ de $I \cap J$ ; on définit de même un minimum local. Un extremum local est un maximum ou un minimum local. Lorsque l'inégalité vaut sur $I$ tout entier, on parle d'extremum global.

Propriété

Condition suffisante (au programme). Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0} \in I$ . Si $f^{'}$ s'annule en changeant de signe en $x_{0}$ , alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ : un maximum si $f^{'}$ passe du signe $+$ au signe $-$ , un minimum si elle passe du signe $-$ au signe $+$ . Condition nécessaire (admise). Réciproquement, si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $x_{0} \in I$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ . C'est ce qui autorise à chercher les extremums parmi les points où la dérivée s'annule.

Remarque

Le piège du chapitre : $f^{'} (x_{0}) = 0$ ne suffit pas. Prenons $f (x) = x^{3}$ sur $R$ : on a $f^{'} (0) = 0$ , et pourtant $f$ n'admet aucun extremum en $0$ , puisqu'elle est strictement croissante sur $R$ . La raison est que $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ s'annule sans changer de signe. En $0$ , la tangente est horizontale et la courbe la traverse : on dira plus loin que c'est un point d'inflexion à tangente horizontale. La rédaction correcte est donc en deux temps : on résout $f^{'} (x) = 0$ pour obtenir les candidats, puis on étudie le signe de $f^{'}$ autour de chaque candidat pour trancher. Écrire « $f^{'} (2) = 0$ donc $f$ admet un extremum en $2$ » est une faute, et elle coûte cher.

Remarque

Sur un intervalle fermé, les bornes sont candidates. Le résultat ci-dessus exige un intervalle ouvert, et ce n'est pas une précaution formelle : sur $[a, b]$ , une fonction peut très bien atteindre son maximum en $a$ ou en $b$ sans que la dérivée s'y annule. La recherche d'un extremum global sur un segment comporte donc toujours trois familles de candidats : les points où $f^{'}$ s'annule, et les deux extrémités $a$ et $b$ . On compare ensuite les valeurs.

Exemple

a. Un maximum global. Soit $f (x) = x e^{- x}$ sur $R$ . On a $f^{'} (x) = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x}$ , du signe de $1 - x$ puisque l'exponentielle est strictement positive : $f^{'}$ est positive avant $1$ , négative après, et s'annule en $1$ en changeant de signe. Donc $f$ admet un maximum en $1$ , égal à $f (1) = e^{- 1} \approx 0,368$ . Ce maximum est même global : $f$ croît sur $] - \infty, 1]$ et décroît sur $[1, + \infty [$ .

b. Le rôle des bornes. Soit $g (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[0, 3]$ . Sa dérivée $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ ne s'annule qu'en $1$ sur cet intervalle, en passant du signe $-$ au signe $+$ : il y a un minimum local en $1$ , valant $g (1) = - 2$ . Pour les extremums globaux, on compare les trois candidats : $g (0) = 0$ , $g (1) = - 2$ et $g (3) = 27 - 9 = 18$ . Le minimum global vaut donc $- 2$ , atteint en $1$ , et le maximum global vaut $18$ , atteint au bord, en $3$ , alors même que $g^{'} (3) = 24 \neq 0$ .

L'inégalité des accroissements finis

Propriété

Inégalité des accroissements finis (admise). Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un réel positif tels que

∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ k pour tout x \in I

Alors, pour tous $a$ et $b$ de $I$ :

∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ k ∣ b - a ∣

Remarque

Ce que dit vraiment cet énoncé. Une dérivée bornée interdit à la fonction de varier trop vite. Si la vitesse d'un mobile ne dépasse jamais $k$ , alors en une durée $∣ b - a ∣$ il n'a pas pu parcourir plus de $k ∣ b - a ∣$ : c'est exactement la même phrase, en langage de cinématique. La force de l'énoncé est qu'il contrôle un écart de valeurs de $f$ , quantité souvent inaccessible, par une information sur $f^{'}$ , souvent facile à majorer. Attention à l'hypothèse : la majoration $∣ f^{'} ∣ ⩽ k$ doit valoir sur un intervalle contenant à la fois $a$ et $b$ . Appliquer l'inégalité avec un $k$ valable seulement au voisinage de $a$ est une faute classique.

Méthode

Appliquer l'inégalité des accroissements finis.

Choisir l'intervalle $I$ de travail et vérifier qu'il contient les deux points entre lesquels on veut comparer $f$ .
Calculer $f^{'}$ et majorer $∣ f^{'} ∣$ sur $I$ : c'est le vrai travail, et il se fait avec les variations ou avec des inégalités élémentaires.
Écrire la conclusion $∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ k ∣ b - a ∣$ , en nommant le $k$ obtenu.

Exemple

a. Montrons que $∣ \ln (1 + x) - \ln (1 + y) ∣ ⩽ ∣ x - y ∣$ pour tous réels positifs $x$ et $y$ . Posons $f (t) = \ln (1 + t)$ sur $I = [0, + \infty [$ , qui est bien un intervalle contenant $x$ et $y$ . On a $f^{'} (t) = \frac{1}{1 + t}$ , et pour $t ⩾ 0$ on a $1 + t ⩾ 1 > 0$ , donc $0 < f^{'} (t) ⩽ 1$ , d'où $∣ f^{'} ∣ ⩽ 1$ sur $I$ . L'inégalité des accroissements finis avec $k = 1$ donne le résultat.

b. De même, $∣ e^{- x} - e^{- y} ∣ ⩽ ∣ x - y ∣$ pour tous réels positifs $x$ et $y$ : avec $f (t) = e^{- t}$ sur $[0, + \infty [$ , on a $∣ f^{'} (t) ∣ = e^{- t} ⩽ e^{0} = 1$ puisque $- t ⩽ 0$ , et l'on conclut encore avec $k = 1$ .

Voici maintenant l'application que le programme met en avant, et qui reviendra dans les problèmes de concours : elle relie ce chapitre à celui des suites.

Propriété

Suites récurrentes contractantes (admise). Soient $I$ un intervalle, $f$ dérivable sur $I$ et $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} \in I$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . On suppose que

$I$ est stable par $f$ , c'est-à-dire $f (x) \in I$ pour tout $x \in I$ , ce qui garantit que la suite est bien définie et reste dans $I$ ;
$f$ admet un point fixe $ℓ$ dans $I$ , c'est-à-dire $f (ℓ) = ℓ$ ;
il existe $k$ avec $0 ⩽ k < 1$ tel que $∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ k$ pour tout $x \in I$ .

Alors, pour tout entier $n$ , $∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣$ , et la suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Remarque

D'où vient la majoration. L'inégalité des accroissements finis appliquée entre $u_{n}$ et $ℓ$ , tous deux dans $I$ , donne

∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = ∣ f (u_{n}) - f (ℓ) ∣ ⩽ k ∣ u_{n} - ℓ ∣

L'écart à $ℓ$ est donc multiplié par au plus $k$ à chaque étape, et une récurrence immédiate donne $∣ u_{n} - ℓ ∣ ⩽ k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣$ . Comme $0 ⩽ k < 1$ , la suite géométrique $(k^{n})$ tend vers $0$ , et le théorème d'encadrement conclut. Notez que la convergence est géométrique : chaque itération gagne un facteur $k$ , ce qui est très rapide.

Méthode

Étudier une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec l'inégalité des accroissements finis.

Chercher le point fixe en résolvant $f (x) = x$ : c'est la seule limite possible, et il faut l'avoir avant de commencer.
Trouver un intervalle stable $I$ contenant $u_{0}$ et $ℓ$ , puis démontrer par récurrence que $u_{n} \in I$ pour tout $n$ . Cette étape n'est jamais facultative : sans elle, la majoration de $∣ f^{'} ∣$ ne s'applique à rien.
Majorer $∣ f^{'} ∣$ sur $I$ par un réel $k$ strictement inférieur à $1$ .
Appliquer l'inégalité entre $u_{n}$ et $ℓ$ , itérer, et conclure à la convergence par encadrement.
Si l'énoncé le demande, majorer l'erreur ou déterminer le rang à partir duquel une précision donnée est atteinte, en résolvant $k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ ⩽ ε$ .

Exemple

Une suite qui converge vers $\sqrt{2}$ . Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1}$ , et posons $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ sur $I = [1, 2]$ .

Point fixe. L'équation $f (x) = x$ s'écrit $x + 2 = x (x + 1)$ pour $x \neq - 1$ , soit $x^{2} = 2$ . Sur $I$ , l'unique solution est $ℓ = \sqrt{2} \approx 1,414$ . Stabilité de $I$ . La dérivée vaut

f^{'} (x) = \frac{1 \times (x + 1) - (x + 2) \times 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{- 1}{(x + 1)^{2}}

qui est strictement négative : $f$ est strictement décroissante sur $I$ . Donc $f (I) = [f (2), f (1)] = [\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$ , qui est bien inclus dans $[1, 2]$ . Comme $u_{0} = 1 \in I$ , une récurrence immédiate donne $u_{n} \in I$ pour tout $n$ .

Majoration de la dérivée. Pour $x \in [1, 2]$ , on a $x + 1 ⩾ 2$ , donc $(x + 1)^{2} ⩾ 4$ et

∣ f^{'} (x) ∣ = \frac{1}{(x + 1)^{2}} ⩽ \frac{1}{4}

On prend donc $k = \frac{1}{4} < 1$ .

Conclusion. Pour tout entier $n$ , $∣ u_{n} - \sqrt{2} ∣ ⩽ {(\frac{1}{4})}^{n} ∣ 1 - \sqrt{2} ∣ ⩽ 0,42 \times {(\frac{1}{4})}^{n}$ , et la suite converge vers $\sqrt{2}$ .

Contrôle numérique. On calcule $u_{1} = \frac{3}{2} = 1,5$ , puis $u_{2} = \frac{3,5}{2,5} = 1,4$ , puis $u_{3} = \frac{3,4}{2,4} \approx 1,4167$ , à comparer à $\sqrt{2} \approx 1,4142$ . L'erreur réelle au rang $3$ vaut environ $0,0025$ , et la majoration annonçait $0,42 \times \frac{1}{64} \approx 0,0066$ : elle est bien vérifiée, et pas trop pessimiste. Pour obtenir enfin une précision de $10^{- 6}$ , il suffit que $0,42 \times 4^{- n} ⩽ 10^{- 6}$ , soit $4^{n} ⩾ 4,2 \times 10^{5}$ . Comme $4^{9} = 262 144$ et $4^{10} = 1 048 576$ , le rang $n = 10$ convient.

Dérivées successives

Définition

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Si sa dérivée $f^{'}$ est elle-même dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , et la fonction $(f^{'})^{'}$ s'appelle la dérivée seconde de $f$ , notée $f^{''}$ . Plus généralement, on définit par récurrence la dérivée $n$ -ième de $f$ , notée $f^{(n)}$ , par

f^{(0)} = f et f^{(n + 1)} = {(f^{(n)})}^{'} lorsque f^{(n)} est d \overset{ˊ}{e} rivable sur I

Définition

Soit $n \in N^{*}$ . On dit que $f$ est de classe $C^{n}$ sur $I$ lorsque $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et que $f^{(n)}$ est continue sur $I$ . On dit que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $I$ lorsqu'elle est de classe $C^{n}$ pour tout entier $n$ . Par convention, $C^{0}$ désigne l'ensemble des fonctions continues sur $I$ .

Remarque

Les notations $f^{'}$ , $f^{''}$ , $f^{(n)}$ . On écrit $f^{'}$ , $f^{''}$ , éventuellement $f^{'''}$ , puis on passe à la notation indicée $f^{(4)}$ , $f^{(5)}$ , avec des parenthèses. Ces parenthèses sont indispensables : $f^{4}$ désignerait la fonction $x \mapsto {(f (x))}^{4}$ , ce qui n'a rien à voir. Retenez aussi la hiérarchie : être de classe $C^{2}$ est plus fort qu'être deux fois dérivable, qui est plus fort qu'être dérivable, qui est plus fort qu'être continue. Dans ce chapitre, presque toutes les fonctions rencontrées sont de classe $C^{\infty}$ sur leur intervalle d'étude, et l'hypothèse « $f$ de classe $C^{2}$ » de la section sur la convexité ne sera donc jamais un obstacle.

Propriété

Opérations (admises). Soient $f$ et $g$ de classe $C^{n}$ sur $I$ et $λ$ un réel. Alors $f + g$ , $λ f$ et $f g$ sont de classe $C^{n}$ sur $I$ ; si $g$ ne s'annule pas sur $I$ , $\frac{f}{g}$ est de classe $C^{n}$ sur $I$ ; et la composée de deux fonctions de classe $C^{n}$ l'est aussi. Les mêmes énoncés valent avec $C^{\infty}$ . En particulier, les fonctions polynômes, l'exponentielle, le logarithme sur $] 0, + \infty [$ , les fonctions puissances sur $] 0, + \infty [$ et toutes celles qu'on en déduit par ces opérations sont de classe $C^{\infty}$ sur tout intervalle où elles sont définies.

Exemple

a. Un polynôme. Pour $f (x) = x^{3} - 3 x$ , on a $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , $f^{''} (x) = 6 x$ , $f^{'''} (x) = 6$ et $f^{(4)} = 0$ , puis toutes les suivantes nulles. Plus généralement, un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $a_{n}$ a pour dérivée $n$ -ième la constante $n! a_{n}$ , et ses dérivées d'ordre supérieur sont nulles : chaque dérivation fait perdre un degré.

b. Une exponentielle. Pour $f (x) = e^{2 x}$ , montrons par récurrence que $f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{2 x}$ pour tout entier $n$ . C'est vrai pour $n = 0$ , puisque $2^{0} e^{2 x} = f (x)$ . Si c'est vrai au rang $n$ , alors en dérivant la forme $e^{u}$ avec $u (x) = 2 x$ :

f^{(n + 1)} (x) = {(2^{n} e^{2 x})}^{'} = 2^{n} \times 2 e^{2 x} = 2^{n + 1} e^{2 x}

ce qui est la propriété au rang $n + 1$ . La formule est donc établie pour tout $n$ . c. Une fonction rationnelle. Soit $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ sur $I =] - 1, + \infty [$ . On calcule $f^{'} (x) = - \frac{1}{(1 + x)^{2}}$ , puis $f^{''} (x) = \frac{2}{(1 + x)^{3}}$ , puis $f^{'''} (x) = - \frac{6}{(1 + x)^{4}}$ . La forme se devine :

f^{(n)} (x) = \frac{(- 1)^{n} n!}{(1 + x)^{n + 1}}

Récurrence. Au rang $0$ , la formule donne $\frac{1}{1 + x}$ , c'est bien $f$ . Supposons-la vraie au rang $n$ et dérivons, en écrivant $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} n! (1 + x)^{- (n + 1)}$ :

f^{(n + 1)} (x) = (- 1)^{n} n! \times (- (n + 1)) (1 + x)^{- (n + 2)} = \frac{(- 1)^{n + 1} (n + 1)!}{(1 + x)^{n + 2}}

C'est la formule au rang $n + 1$ , l'hérédité est établie. De la même façon, pour $f (x) = \ln x$ sur $] 0, + \infty [$ , on obtient $f^{(n)} (x) = \frac{(- 1)^{n - 1} (n - 1)!}{x^{n}}$ pour tout $n ⩾ 1$ .

Convexité

Le programme est ici particulièrement clair : « tous les résultats de cette section seront admis », et « les fonctions étudiées sont au moins de classe $C^{2}$ ». Nous n'aurons donc à démontrer aucun des énoncés qui suivent, mais il faut les comprendre géométriquement, car la convexité est avant tout une propriété de forme de la courbe.

Définition et lecture géométrique

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est convexe sur $I$ lorsque, pour tous $x_{1}$ et $x_{2}$ de $I$ et tous $t_{1}$ et $t_{2}$ de $[0, 1]$ vérifiant $t_{1} + t_{2} = 1$ :

f (t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}) ⩽ t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2})

On dit que $f$ est concave sur $I$ lorsque l'inégalité est vraie dans l'autre sens, c'est-à-dire lorsque $- f$ est convexe.

Remarque

Comment lire cette inégalité. Fixons $x_{1} < x_{2}$ et posons $t_{2} = 1 - t_{1}$ . Quand $t_{1}$ parcourt $[0, 1]$ , le point $t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}$ parcourt tout le segment $[x_{1}, x_{2}]$ : pour $t_{1} = 1$ on est en $x_{1}$ , pour $t_{1} = 0$ on est en $x_{2}$ , pour $t_{1} = \frac{1}{2}$ au milieu. Le membre de gauche est donc l'ordonnée du point de la courbe au-dessus de ce point, et le membre de droite l'ordonnée du point de la corde joignant $(x_{1}, f (x_{1}))$ à $(x_{2}, f (x_{2}))$ . L'inégalité dit donc exactement ceci : la courbe d'une fonction convexe est située sous ses cordes. Celle d'une fonction concave est située au-dessus de ses cordes. Une bonne image : convexe, la courbe « tient l'eau » ; concave, elle la laisse couler.

Une fonction convexe est sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes

La figure montre la parabole d'équation $y = x^{2}$ , la corde qui joint ses points d'abscisses $- 1$ et $2$ , et la tangente au point d'abscisse $0,5$ . Les deux propriétés caractéristiques y sont visibles d'un coup : entre $- 1$ et $2$ , la corde est au-dessus de la courbe, et la tangente est en dessous, sur tout l'intervalle de tracé. Ce double encadrement, la courbe sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes, est la signature de la convexité.

Remarque

Convexe n'est pas croissante. Ce sont deux propriétés indépendantes, et les confondre est l'erreur la plus fréquente du chapitre. La fonction $x \mapsto x^{2}$ est convexe sur $R$ tout en étant décroissante puis croissante. La fonction $\ln$ est croissante et concave. La fonction $\exp$ est croissante et convexe. La fonction $x \mapsto e^{- x}$ est décroissante et convexe. Les quatre combinaisons existent : la monotonie concerne $f^{'}$ , la convexité concerne $f^{''}$ .

Exemple

Vérification directe pour $f (x) = x^{2}$ . Avec $t_{2} = 1 - t_{1}$ , calculons la différence entre le membre de droite et le membre de gauche :

\begin{aligned} t_{1} x_{1}^{2} + t_{2} x_{2}^{2} - {(t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2})}^{2} & = t_{1} x_{1}^{2} + t_{2} x_{2}^{2} - t_{1}^{2} x_{1}^{2} - 2 t_{1} t_{2} x_{1} x_{2} - t_{2}^{2} x_{2}^{2} \\ = t_{1} (1 - t_{1}) x_{1}^{2} + t_{2} (1 - t_{2}) x_{2}^{2} - 2 t_{1} t_{2} x_{1} x_{2} \\ = t_{1} t_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) \\ = t_{1} t_{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} \end{aligned}

où l'on a utilisé $1 - t_{1} = t_{2}$ et $1 - t_{2} = t_{1}$ . Cette quantité est un produit de trois facteurs positifs, donc elle est positive : l'inégalité de convexité est vérifiée, et la fonction carré est convexe sur $R$ . Ce calcul est le seul de la section que l'on mène à la main ; pour toutes les autres fonctions, on utilisera la dérivée seconde.

Caractérisation des fonctions de classe C2

Propriété

Caractérisations (admises). Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur un intervalle $I$ . Les quatre affirmations suivantes sont équivalentes.

$f$ est convexe sur $I$ .
$f^{'}$ est croissante sur $I$ .
$f^{''} (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in I$ .
La courbe $C_{f}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous $x$ et $x_{0}$ de $I$ , $f (x) ⩾ f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

Symétriquement, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{'}$ est décroissante sur $I$ , si et seulement si $f^{''} ⩽ 0$ sur $I$ , si et seulement si la courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes.

Remarque

Le point 2 est celui qui donne du sens. Dire que $f^{'}$ croît, c'est dire que la pente de la tangente augmente à mesure que l'on avance : la courbe se redresse continûment, elle tourne toujours dans le même sens. Le point 3 n'est que la traduction du point 2 par le critère de monotonie de la section précédente, appliqué à la fonction $f^{'}$ . Et c'est le point 3 que l'on utilise dans 95 % des exercices, parce qu'un signe se calcule.

Méthode

Étudier la convexité d'une fonction.

Vérifier que $f$ est deux fois dérivable, en pratique de classe $C^{2}$ , sur l'intervalle d'étude.
Calculer $f^{'}$ , la simplifier, puis calculer $f^{''}$ en repartant de la forme simplifiée. C'est le moment de soigner le calcul : une $f^{'}$ mal factorisée donne une $f^{''}$ inextricable.
Factoriser $f^{''}$ et déterminer son signe, dans un tableau si nécessaire, en éliminant les facteurs de signe constant.
Conclure intervalle par intervalle : $f$ est convexe là où $f^{''} ⩾ 0$ , concave là où $f^{''} ⩽ 0$ .
Repérer les points d'inflexion aux endroits où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

Exemple

a. $f (x) = e^{x}$ sur $R$ : $f^{''} = e^{x} > 0$ , donc $f$ est convexe sur $R$ . b. $f (x) = \ln x$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ et $f^{''} (x) = - \frac{1}{x^{2}} < 0$ , donc $f$ est concave.

c. $f (x) = \sqrt{x}$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1 / 2}$ et $f^{''} (x) = - \frac{1}{4} x^{- 3 / 2} < 0$ , donc $f$ est concave. C'est le prototype des rendements décroissants. d. $f (x) = x^{α}$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{''} (x) = α (α - 1) x^{α - 2}$ , et $x^{α - 2} > 0$ , donc le signe est celui de $α (α - 1)$ . La fonction est convexe si $α ⩽ 0$ ou $α ⩾ 1$ , et concave si $0 ⩽ α ⩽ 1$ .

e. $f (x) = x e^{- x}$ sur $R$ : de $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ on tire

f^{''} (x) = - e^{- x} + (1 - x) (- e^{- x}) = e^{- x} (- 1 - 1 + x) = (x - 2) e^{- x}

L'exponentielle étant strictement positive, $f^{''}$ est du signe de $x - 2$ : la fonction est concave sur $] - \infty, 2]$ et convexe sur $[2, + \infty [$ .

x

-\infty

2

+\infty

f''(x)

-

0

+

Remarque

Deux inégalités du premier semestre enfin expliquées. Le point 4 de la caractérisation redonne gratuitement les deux inégalités que l'on avait dû admettre au chapitre V. La fonction $\exp$ est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d'équation $y = 1 + x$ : on retrouve $e^{x} ⩾ 1 + x$ pour tout réel $x$ . La fonction $\ln$ est concave, donc sa courbe est au-dessous de sa tangente en $1$ , d'équation $y = x - 1$ : on retrouve $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ . C'est un procédé très général, et c'est ainsi que l'on fabrique la plupart des inégalités utiles.

Points d'inflexion

Définition

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur $I$ et $x_{0}$ un point intérieur à $I$ . On dit que le point $A (x_{0}, f (x_{0}))$ est un point d'inflexion de $C_{f}$ lorsque $f$ change de convexité en $x_{0}$ , c'est-à-dire lorsqu'elle est convexe d'un côté et concave de l'autre.

Propriété

Caractérisation (admise). Si $f^{''}$ s'annule en $x_{0}$ en changeant de signe, alors le point d'abscisse $x_{0}$ est un point d'inflexion. En un tel point, la courbe traverse sa tangente : elle passe d'un côté à l'autre.

Remarque

$f^{''} (x_{0}) = 0$ ne suffit pas, exactement comme $f^{'} (x_{0}) = 0$ ne suffisait pas pour un extremum, et pour la même raison. Prenons $f (x) = x^{4}$ : on a $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ , qui s'annule en $0$ mais reste positive de part et d'autre. La fonction est donc convexe sur $R$ tout entier, et l'origine n'est pas un point d'inflexion, bien que la tangente y soit horizontale. C'est le changement de signe qui compte, jamais l'annulation seule.

Point d'inflexion à l'origine : la courbe traverse sa tangente

Exemple

Lecture de la figure. Soit $g (x) = x^{3} - 3 x$ , tracée ci-dessus sur $[- 2,3; 2,3]$ . On a $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ et $g^{''} (x) = 6 x$ , qui s'annule en $0$ en changeant de signe : $g$ est concave sur $] - \infty, 0]$ et convexe sur $[0, + \infty [$ , et l'origine est un point d'inflexion. Comme $g (0) = 0$ et $g^{'} (0) = - 3$ , la tangente en $0$ a pour équation $y = - 3 x$ ; étudions la position de la courbe par rapport à elle, en calculant $g (x) - (- 3 x) = x^{3} - 3 x + 3 x = x^{3}$ . Cette différence est strictement négative pour $x < 0$ et strictement positive pour $x > 0$ : la courbe est au-dessous de sa tangente à gauche de l'origine, au-dessus à droite. Elle la traverse donc, ce que la figure montre clairement. Voilà le contenu concret de la notion : en un point d'inflexion, la tangente n'est plus d'un seul côté de la courbe.

Convexité et optimisation, lecture économique

Propriété

Optimisation (admise, au programme). Soit $f$ convexe et de classe $C^{2}$ sur un intervalle ouvert $I$ . Si $f^{'}$ s'annule en un point $x_{0}$ de $I$ , alors $f$ admet un minimum en $x_{0}$ , et ce minimum est atteint sur $I$ tout entier :

f (x) ⩾ f (x_{0}) pour tout x \in I

Symétriquement, si $f$ est concave de classe $C^{2}$ sur un intervalle ouvert et si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , alors $f$ admet un maximum en $x_{0}$ .

Remarque

Pourquoi ce résultat est précieux. Il dispense de l'étude du signe de $f^{'}$ : dès que la convexité est établie, une seule équation, $f^{'} (x) = 0$ , donne l'optimum, et cet optimum est global sur l'intervalle, pas seulement local. C'est le schéma standard de tous les problèmes d'optimisation économique : on montre que la fonction de coût est convexe, ou que la fonction de profit est concave, puis on annule la dérivée. La justification tient d'ailleurs en une ligne avec le point 4 de la caractérisation : la courbe étant au-dessus de sa tangente en $x_{0}$ , laquelle est horizontale, on a $f (x) ⩾ f (x_{0})$ pour tout $x$ .

Exemple

Un minimum obtenu sans tableau. Soit $f (x) = e^{x} - 2 x$ sur $R$ , qui est un intervalle ouvert. On a $f^{''} (x) = e^{x} > 0$ , donc $f$ est convexe. L'équation $f^{'} (x) = e^{x} - 2 = 0$ donne $x_{0} = \ln 2$ . Donc $f$ admet un minimum global en $\ln 2$ , valant

f (\ln 2) = e^{\ln 2} - 2 \ln 2 = 2 - 2 \ln 2 \approx 0,614

Ce minimum étant strictement positif, on obtient au passage l'inégalité $e^{x} > 2 x$ pour tout réel $x$ , qu'il aurait été pénible d'établir directement.

Passons maintenant à la lecture économique que le programme demande explicitement, avec l'exemple d'une fonction de coût.

Exemple

Coût, coût marginal, rendements et profit. Une entreprise produit $q$ milliers d'unités d'un bien, avec $q > 0$ , et son coût total, en milliers d'euros, est

C (q) = q^{3} - 6 q^{2} + 15 q + 18

Le coût marginal. Par définition économique, le coût marginal est le coût de l'unité supplémentaire, c'est-à-dire $C (q + 1) - C (q)$ . L'approximation affine, appliquée avec $h = 1$ , donne $C (q + 1) - C (q) \approx C^{'} (q)$ : c'est pourquoi on identifie le coût marginal à la dérivée $C^{'}$ , ce que nous ferons désormais. Ici

C^{'} (q) = 3 q^{2} - 12 q + 15 = 3 (q^{2} - 4 q + 5)

Le trinôme entre parenthèses a pour discriminant $16 - 20 = - 4 < 0$ : il ne s'annule jamais et reste du signe de son coefficient dominant, donc $C^{'} (q) > 0$ pour tout $q$ . Le coût total est strictement croissant, ce qui est rassurant : produire davantage coûte davantage.

Rendements croissants puis décroissants. La dérivée seconde vaut $C^{''} (q) = 6 q - 12 = 6 (q - 2)$ .

x

0

2

+\infty

C''(q)

-

0

+

Sur $] 0, 2]$ , on a $C^{''} ⩽ 0$ : le coût est concave, le coût marginal décroît, chaque unité supplémentaire coûte moins que la précédente. C'est la phase des rendements croissants, celle où l'outil de production se remplit, où les coûts fixes se diluent, où l'on apprend en produisant. Sur $[2, + \infty [$ , on a $C^{''} ⩾ 0$ : le coût devient convexe, le coût marginal croît, chaque unité supplémentaire coûte plus cher que la précédente. C'est la phase des rendements décroissants, celle de la saturation des capacités, des heures supplémentaires et de la maintenance accélérée.

Le point d'inflexion est le changement de régime, en $q = 2$ , où $C^{''}$ s'annule en changeant de signe. C'est exactement le niveau de production où le coût marginal est minimal, puisque $C^{'}$ décroît puis croît : $C^{'} (2) = 12 - 24 + 15 = 3$ . Autrement dit, à ce niveau de production, l'unité supplémentaire coûte $3 000$ euros, et c'est le moins cher qu'elle coûtera jamais. Le point d'inflexion, notion purement géométrique, a donc ici une signification économique précise : c'est la frontière entre les deux régimes de rendement.

Profit et quantité optimale. Supposons le bien vendu à un prix unitaire constant $p = 15$ milliers d'euros pour mille unités. Le profit est

B (q) = 15 q - C (q) = 15 q - q^{3} + 6 q^{2} - 15 q - 18 = - q^{3} + 6 q^{2} - 18

et sa dérivée vaut $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 12 q = 3 q (4 - q)$ . Elle s'annule en $q = 4$ en passant du signe $+$ au signe $-$ : le profit est maximal pour $q = 4$ , et vaut $B (4) = - 64 + 96 - 18 = 14$ , soit $14 000$ euros.

La règle du prix égal au coût marginal. Ce résultat n'est pas un hasard de calcul. L'équation $B^{'} (q) = 0$ s'écrit $p - C^{'} (q) = 0$ , c'est-à-dire

C^{'} (q) = p

On produit jusqu'à ce que le coût marginal égale le prix : tant que l'unité supplémentaire coûte moins qu'elle ne rapporte, on la produit ; dès qu'elle coûte plus, on s'arrête. Ici, $3 q^{2} - 12 q + 15 = 15$ redonne bien $q = 4$ pour seule solution strictement positive. Notez que le maximum se trouve dans la zone convexe du coût, donc dans la zone concave du profit, ce qui est cohérent avec le résultat d'optimisation énoncé plus haut.

Le seuil de rentabilité. C'est la production à partir de laquelle le profit devient positif. On a $B (2) = - 8 + 24 - 18 = - 2 < 0$ et $B (3) = - 27 + 54 - 18 = 9 > 0$ : comme $B$ est continue et strictement croissante sur $[2, 3]$ , d'après $B^{'} (q) = 3 q (4 - q) > 0$ sur cet intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un unique $q_{0}$ dans $] 2, 3 [$ tel que $B (q_{0}) = 0$ . Un calcul numérique donne $q_{0} \approx 2,17$ : il faut produire au moins $2 170$ unités environ pour couvrir ses coûts.

Étude graphique d'une fonction

Cette section n'apporte aucun outil nouveau : elle récapitule les précédents dans l'ordre où on les emploie. Le programme demande de savoir mener une étude complète et d'en tirer l'allure du graphe, y compris son allure locale au voisinage d'un point remarquable.

Méthode

Étudier une fonction et tracer sa courbe.

Ensemble de définition et intervalle d'étude. Déterminer $D_{f}$ , puis annoncer l'intervalle sur lequel on travaille. Repérer une éventuelle parité, qui divise le travail par deux.
Continuité et dérivabilité. Justifier en une phrase, par les opérations sur les fonctions usuelles.
Dérivée première et variations. Calculer $f^{'}$ , la factoriser, étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Limites et valeurs aux bornes. Les calculer et les reporter dans le tableau ; en déduire les éventuelles asymptotes horizontales ou verticales.
Extremums. Les identifier là où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe, et donner leurs valeurs exactes.
Dérivée seconde et convexité. Calculer $f^{''}$ , étudier son signe, conclure sur la convexité et les points d'inflexion.
Tangentes remarquables. Écrire l'équation de la tangente en un ou deux points bien choisis, typiquement en $0$ , aux extremums, où elle est horizontale, et aux points d'inflexion.
Points particuliers et tracé. Calculer quelques valeurs, repérer les intersections avec les axes, puis tracer en respectant variations, convexité et tangentes.

Exemple

Étude complète de $f (x) = (x - 2) e^{- x}$ sur $R$ .

1 et 2. Définition, dérivabilité. La fonction est définie sur $R$ tout entier, comme produit d'un polynôme et d'une exponentielle, et elle n'est ni paire ni impaire. Elle est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ , comme produit de deux fonctions qui le sont.

3. Dérivée et variations. En posant $u (x) = x - 2$ et $v (x) = e^{- x}$ , donc $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = - e^{- x}$ :

f^{'} (x) = e^{- x} + (x - 2) (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x + 2) = (3 - x) e^{- x}

L'exponentielle étant strictement positive, $f^{'}$ est du signe de $3 - x$ : positive avant $3$ , négative après.

4. Limites. En $- \infty$ , le facteur $x - 2$ tend vers $- \infty$ et $e^{- x}$ vers $+ \infty$ , donc $f (x)$ tend vers $- \infty$ . En $+ \infty$ , on a une forme indéterminée que les croissances comparées tranchent : $x e^{- x}$ tend vers $0$ et $- 2 e^{- x}$ aussi, donc $f (x)$ tend vers $0$ , et la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale en $+ \infty$ . 5. Extremum. La dérivée s'annule en $3$ en changeant de signe, du $+$ au $-$ : $f$ admet un maximum global en $3$ , valant $f (3) = e^{- 3} \approx 0,0498$ .

x

-\infty

3

+\infty

f'(x)

+

0

-

f(x)

-\infty

e^{-3}

0

6. Convexité. En repartant de $f^{'} (x) = (3 - x) e^{- x}$ :

f^{''} (x) = - e^{- x} + (3 - x) (- e^{- x}) = e^{- x} (- 1 - 3 + x) = (x - 4) e^{- x}

qui est du signe de $x - 4$ .

x

-\infty

4

+\infty

f''(x)

-

0

+

La fonction est donc concave sur $] - \infty, 4]$ et convexe sur $[4, + \infty [$ , et le point d'abscisse $4$ , d'ordonnée $f (4) = 2 e^{- 4} \approx 0,0366$ , est un point d'inflexion.

7. Tangentes remarquables. En $0$ : $f (0) = - 2$ et $f^{'} (0) = 3$ , donc la tangente a pour équation $y = 3 x - 2$ . Au maximum, en $3$ , la tangente est horizontale, d'équation $y = e^{- 3}$ . Au point d'inflexion, en $4$ , la pente vaut $f^{'} (4) = - e^{- 4} \approx - 0,018$ : la tangente est presque horizontale, et la courbe la traverse. 8. Points particuliers et allure. La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ , seule solution de $f (x) = 0$ puisque l'exponentielle ne s'annule pas, et l'axe des ordonnées en $(0, - 2)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$
$f (x)$	$- 8,15$	$- 2$	$- 0,37$	$0$	$0,0498$	$0,0366$	$0,0099$

Allure locale et globale. La courbe monte de $- \infty$ jusqu'au point $(3, e^{- 3})$ , puis redescend vers l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre, en restant strictement positive après $x = 2$ . Elle est concave jusqu'à $x = 4$ , ce qui lui donne l'allure d'une bosse, puis convexe au-delà, ce qui la fait s'aplatir doucement sur son asymptote. Le maximum et le point d'inflexion sont très proches en ordonnée, à peine $0,05$ et $0,037$ : pour que le dessin soit lisible, il faut dilater l'axe des ordonnées dans la partie droite, ou tracer deux graphiques d'échelles différentes. Savoir choisir sa fenêtre fait partie de l'exercice.

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Vocabulaire : équation, solution, trajectoire

Définition

Soient $a$ un réel et $b$ une fonction continue sur un intervalle $J$ . L'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants associée est

y^{'} + a y = b (t) (E)

Une solution de $(E)$ sur $J$ est une fonction $y$ dérivable sur $J$ telle que $y^{'} (t) + a y (t) = b (t)$ pour tout $t$ de $J$ . Résoudre $(E)$ , c'est déterminer toutes ses solutions sur $J$ . L'équation $y^{'} + a y = 0$ , obtenue en remplaçant le second membre par $0$ , s'appelle l'équation homogène associée à $(E)$ .

Définition

Dans les applications, la variable $t$ représente le temps. On appelle trajectoire la courbe représentative d'une solution, c'est-à-dire l'évolution de la grandeur $y$ au cours du temps. Une condition initiale est la donnée d'un couple $(t_{0}, y_{0})$ imposant $y (t_{0}) = y_{0}$ : elle sélectionne une trajectoire parmi toutes celles de la famille.

Remarque

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction. C'est la nouveauté conceptuelle de cette partie : on ne cherche pas un nombre $x$ , mais une fonction $y$ tout entière, et l'ensemble des solutions est en général une famille à un ou deux paramètres. Une réponse du type « $y = 3$ » est presque toujours incomplète : il faut donner toutes les solutions, avec leur paramètre, et ne fixer ce paramètre que si une condition initiale est fournie.

Le premier ordre : y' + a y = b(t)

Propriété

Solutions de l'équation homogène (admise). Soit $a$ un réel. Les solutions sur $R$ de $y^{'} + a y = 0$ sont exactement les fonctions

t \mapsto λ e^{- a t}, λ \in R

Remarque

Justification, en trois lignes. Si $y$ est une solution, posons $z (t) = y (t) e^{a t}$ . Cette fonction est dérivable et

z^{'} (t) = y^{'} (t) e^{a t} + a y (t) e^{a t} = e^{a t} (y^{'} (t) + a y (t)) = 0

Donc $z$ est constante sur $R$ , égale à un réel $λ$ , et $y (t) = λ e^{- a t}$ . Réciproquement, une telle fonction est bien solution, comme un calcul direct le montre. Attention au signe : l'équation $y^{'} + a y = 0$ donne $e^{- a t}$ , avec un moins. C'est la source d'erreur numéro un de cette partie. Le réflexe de contrôle est immédiat : $y^{'} = - a y$ , donc si $y = e^{- a t}$ alors $y^{'} = - a e^{- a t}$ , ce qui est bien cohérent.

Propriété

Stabilité par combinaison linéaire. Si $y_{1}$ et $y_{2}$ sont deux solutions de l'équation homogène $y^{'} + a y = 0$ et si $α$ et $β$ sont deux réels, alors $α y_{1} + β y_{2}$ est encore une solution de l'équation homogène. L'ensemble des solutions de l'homogène est donc stable par combinaisons linéaires.

Propriété

Structure des solutions (admise). Soit $y_{p}$ une solution particulière de $(E)$ sur $J$ . Alors les solutions de $(E)$ sur $J$ sont exactement les fonctions

y : t \mapsto y_{p} (t) + λ e^{- a t}, λ \in R

Autrement dit : solution générale = solution particulière + solution générale de l'homogène.

Remarque

La raison tient en une ligne, et elle est la même dans tous les problèmes linéaires : si $y$ et $y_{p}$ sont deux solutions de $(E)$ , alors leur différence $y - y_{p}$ vérifie ${(y - y_{p})}^{'} + a (y - y_{p}) = b (t) - b (t) = 0$ , donc elle est solution de l'homogène. Toute solution s'écrit donc comme $y_{p}$ plus une solution de l'homogène, et réciproquement.

Propriété

Cas du second membre constant. Soit $b$ un réel.

Si $a \neq 0$ , la fonction constante $y_{p} = \frac{b}{a}$ est une solution particulière de $y^{'} + a y = b$ , et les solutions sont $t \mapsto \frac{b}{a} + λ e^{- a t}$ .
Si $a = 0$ , l'équation s'écrit $y^{'} = b$ et ses solutions sont les primitives de $b$ , soit $t \mapsto b t + λ$ .

Propriété

Existence et unicité avec condition initiale (admise). Pour tous $t_{0} \in J$ et $y_{0} \in R$ , l'équation $(E)$ admet une unique solution $y$ sur $J$ vérifiant $y (t_{0}) = y_{0}$ .

Méthode

Résoudre $y^{'} + a y = b (t)$ , avec ou sans condition initiale.

Normaliser l'équation : le coefficient de $y^{'}$ doit valoir $1$ . Si l'énoncé donne $2 y^{'} + 6 y = 8$ , on divise tout par $2$ pour obtenir $y^{'} + 3 y = 4$ , et l'on identifie alors $a = 3$ et $b = 4$ .
Résoudre l'homogène : les solutions sont $λ e^{- a t}$ .
Trouver une solution particulière $y_{p}$ : constante $\frac{b}{a}$ si $b$ est constant et $a \neq 0$ ; sinon, essayer la forme indiquée par l'énoncé et identifier les coefficients.
Écrire la solution générale $y (t) = y_{p} (t) + λ e^{- a t}$ .
Utiliser la condition initiale pour déterminer $λ$ , et seulement à ce moment : appliquer la condition initiale à la seule solution homogène est une faute grave, et elle est fréquente.
Contrôler en réinjectant la solution trouvée dans l'équation, et en vérifiant la condition initiale.

Exemple

a. Second membre constant, avec condition initiale. Résolvons $y^{'} + 2 y = 6$ avec $y (0) = 1$ . L'équation est normalisée, avec $a = 2$ et $b = 6$ . Les solutions de l'homogène sont $λ e^{- 2 t}$ . Comme $a \neq 0$ , la constante $y_{p} = \frac{6}{2} = 3$ est solution particulière, ce que l'on vérifie : $0 + 2 \times 3 = 6$ . La solution générale est donc $y (t) = 3 + λ e^{- 2 t}$ . La condition initiale donne $y (0) = 3 + λ = 1$ , donc $λ = - 2$ , et la solution cherchée est $y (t) = 3 - 2 e^{- 2 t}$ . Contrôle : on a $y^{'} (t) = 4 e^{- 2 t}$ , donc $y^{'} + 2 y = 4 e^{- 2 t} + 6 - 4 e^{- 2 t} = 6$ , et $y (0) = 3 - 2 = 1$ . Notez le comportement en $+ \infty$ : $y (t)$ tend vers $3$ , la valeur d'équilibre.

b. Second membre polynomial. Résolvons $y^{'} - y = t$ , l'énoncé suggérant de chercher une solution particulière affine. Ici $a = - 1$ , et les solutions de l'homogène sont $λ e^{t}$ . Cherchons $y_{p} (t) = α t + β$ : alors $y_{p}^{'} (t) = α$ et

y_{p}^{'} - y_{p} = α - α t - β = - α t + (α - β)

Pour que cette expression vaille $t$ pour tout $t$ , il faut $- α = 1$ et $α - β = 0$ , donc $α = - 1$ et $β = - 1$ . Une solution particulière est $y_{p} (t) = - t - 1$ , et la solution générale est $y (t) = - t - 1 + λ e^{t}$ . Contrôle : $y_{p}^{'} - y_{p} = - 1 - (- t - 1) = t$ , c'est bien cela.

c. Second membre exponentiel. Résolvons $y^{'} + 3 y = e^{t}$ , en cherchant une solution particulière de la forme $y_{p} (t) = γ e^{t}$ , comme l'indique l'énoncé. On obtient $γ e^{t} + 3 γ e^{t} = 4 γ e^{t}$ , qui doit valoir $e^{t}$ , d'où $γ = \frac{1}{4}$ et $y (t) = \frac{1}{4} e^{t} + λ e^{- 3 t}$ .

d. Le cas où la forme naïve échoue. Pour $y^{'} + 2 y = e^{- 2 t}$ , essayer $y_{p} = γ e^{- 2 t}$ donne $- 2 γ e^{- 2 t} + 2 γ e^{- 2 t} = 0$ , ce qui ne peut jamais valoir $e^{- 2 t}$ : l'essai échoue, parce que $e^{- 2 t}$ est déjà solution de l'homogène. L'énoncé indiquera alors d'essayer $y_{p} (t) = γ t e^{- 2 t}$ , et l'on trouve

y_{p}^{'} (t) + 2 y_{p} (t) = γ e^{- 2 t} - 2 γ t e^{- 2 t} + 2 γ t e^{- 2 t} = γ e^{- 2 t}

donc $γ = 1$ et $y_{p} (t) = t e^{- 2 t}$ . Rappelez-vous la règle du programme : la recherche d'une solution particulière est toujours accompagnée, c'est-à-dire que la forme à tester vous sera donnée. Vous n'avez pas à la deviner, mais vous devez savoir mener l'identification proprement.

Le second ordre : y'' + a y' + b y = c

Définition

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels. L'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est

y^{''} + a y^{'} + b y = c (F)

Son équation caractéristique est l'équation du second degré $r^{2} + a r + b = 0$ , d'inconnue réelle $r$ .

Propriété

Solutions de l'équation homogène $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ (admises). On note $Δ = a^{2} - 4 b$ le discriminant de l'équation caractéristique.

Si $Δ > 0$ , l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ , et les solutions sont les fonctions

t \mapsto λ e^{r_{1} t} + μ e^{r_{2} t}, (λ, μ) \in R^{2}

Si $Δ = 0$ , l'équation caractéristique a une racine double $r$ , et les solutions sont les fonctions

t \mapsto (λ + μ t) e^{r t}, (λ, μ) \in R^{2}

Remarque

Le cas $Δ < 0$ n'est pas au programme : le texte officiel précise que l'on se restreint aux équations caractéristiques à racines réelles. Si un calcul vous conduit à un discriminant strictement négatif, c'est presque toujours le signe d'une erreur de calcul dans les coefficients ; relisez l'énoncé.

Propriété

Solution particulière constante. Si $b \neq 0$ , la fonction constante $y_{p} = \frac{c}{b}$ est une solution particulière de $(F)$ , puisque ses dérivées sont nulles et qu'il reste $b \times \frac{c}{b} = c$ . Si $b = 0$ et $a \neq 0$ , on cherche une solution particulière de la forme $y_{p} (t) = \frac{c}{a} t$ .

Propriété

Structure et conditions initiales (admises). Comme au premier ordre, la solution générale de $(F)$ est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'homogène. De plus, pour tous réels $t_{0}$ , $y_{0}$ et $y_{1}$ , il existe une unique solution vérifiant simultanément $y (t_{0}) = y_{0}$ et $y^{'} (t_{0}) = y_{1}$ : au second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer les deux constantes $λ$ et $μ$ .

Méthode

Résoudre $y^{''} + a y^{'} + b y = c$ .

Écrire l'équation caractéristique $r^{2} + a r + b = 0$ et calculer son discriminant.
Résoudre l'homogène selon le cas : $λ e^{r_{1} t} + μ e^{r_{2} t}$ si $Δ > 0$ , $(λ + μ t) e^{r t}$ si $Δ = 0$ .
Trouver une solution particulière : la constante $\frac{c}{b}$ si $b \neq 0$ ; sinon, ou si le second membre dépend de $t$ , la forme suggérée par l'énoncé.
Additionner pour obtenir la solution générale.
Traduire les deux conditions initiales en un système de deux équations à deux inconnues $λ$ et $μ$ , après avoir calculé $y^{'}$ , et le résoudre.
Contrôler la valeur de $y$ et celle de $y^{'}$ au point initial.

Exemple

a. Deux racines distinctes. Résolvons $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 4$ avec $y (0) = 3$ et $y^{'} (0) = 0$ . L'équation caractéristique $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ a pour discriminant $9 - 8 = 1 > 0$ et pour racines $\frac{3 - 1}{2} = 1$ et $\frac{3 + 1}{2} = 2$ . Les solutions de l'homogène sont donc $λ e^{t} + μ e^{2 t}$ . Comme $b = 2 \neq 0$ , la constante $y_{p} = \frac{4}{2} = 2$ convient, et la solution générale est

y (t) = 2 + λ e^{t} + μ e^{2 t}, d’o \overset{ˋ}{u} y^{'} (t) = λ e^{t} + 2 μ e^{2 t}

Les conditions initiales donnent le système

{\begin{cases} 2 + λ + μ = 3 \\ λ + 2 μ = 0 \end{cases}

De la première ligne, $λ + μ = 1$ ; en soustrayant à la seconde, $μ = - 1$ , puis $λ = 2$ . La solution est $y (t) = 2 + 2 e^{t} - e^{2 t}$ . Contrôle : $y (0) = 2 + 2 - 1 = 3$ et $y^{'} (0) = 2 - 2 = 0$ . On peut aussi réinjecter : avec $y^{'} = 2 e^{t} - 2 e^{2 t}$ et $y^{''} = 2 e^{t} - 4 e^{2 t}$ , on obtient $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = (2 - 6 + 4) e^{t} + (- 4 + 6 - 2) e^{2 t} + 4 = 4$ .

b. Racine double. Résolvons $y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 8$ avec $y (0) = 0$ et $y^{'} (0) = 0$ . L'équation caractéristique $r^{2} + 4 r + 4 = 0$ s'écrit $(r + 2)^{2} = 0$ : racine double $r = - 2$ . Les solutions de l'homogène sont $(λ + μ t) e^{- 2 t}$ , et la constante $y_{p} = \frac{8}{4} = 2$ est solution particulière. Donc $y (t) = 2 + (λ + μ t) e^{- 2 t}$ , et en dérivant le produit, $y^{'} (t) = μ e^{- 2 t} - 2 (λ + μ t) e^{- 2 t}$ . Les conditions initiales donnent $2 + λ = 0$ , donc $λ = - 2$ , puis $μ - 2 λ = 0$ , donc $μ = - 4$ . La solution est

y (t) = 2 - (2 + 4 t) e^{- 2 t}

Contrôle. $y (0) = 2 - 2 = 0$ , et $y^{'} (0) = - 4 - 2 \times (- 2) = 0$ . Quand $t$ tend vers $+ \infty$ , les croissances comparées donnent $y (t) \to 2$ : la trajectoire rejoint l'équilibre.

c. Second membre dépendant de $t$ . Résolvons $y^{''} - y^{'} - 2 y = 6 t$ , l'énoncé suggérant une solution particulière affine. L'équation caractéristique $r^{2} - r - 2 = 0$ a pour discriminant $1 + 8 = 9$ et pour racines $\frac{1 - 3}{2} = - 1$ et $\frac{1 + 3}{2} = 2$ . Cherchons $y_{p} (t) = α t + β$ , de dérivée $α$ et de dérivée seconde nulle :

y_{p}^{''} - y_{p}^{'} - 2 y_{p} = - α - 2 α t - 2 β = - 2 α t - (α + 2 β)

L'identification avec $6 t$ donne $- 2 α = 6$ , donc $α = - 3$ , puis $α + 2 β = 0$ , donc $β = \frac{3}{2}$ . La solution générale est $y (t) = - 3 t + \frac{3}{2} + λ e^{- t} + μ e^{2 t}$ .

Principe de superposition

Propriété

Principe de superposition. On considère deux équations de même membre de gauche et de seconds membres différents :

y^{'} + a y = b_{1} (t) et y^{'} + a y = b_{2} (t)

Si $y_{1}$ est solution de la première et $y_{2}$ de la seconde, alors, pour tous réels $α$ et $β$ , la fonction $α y_{1} + β y_{2}$ est solution de

y^{'} + a y = α b_{1} (t) + β b_{2} (t)

Le même énoncé vaut au second ordre, avec le membre de gauche $y^{''} + a y^{'} + b y$ .

Remarque

C'est une conséquence directe de la linéarité du membre de gauche, et c'est un outil de travail, pas une curiosité : quand le second membre est une somme de morceaux de natures différentes, on cherche une solution particulière pour chaque morceau séparément, puis on additionne. Cela évite de manipuler une forme d'essai compliquée.

Exemple

Résolvons $y^{'} + y = 3 + e^{t}$ . Traitons les deux morceaux séparément. Pour $y^{'} + y = 3$ , second membre constant avec $a = 1 \neq 0$ : la constante $y_{1} = 3$ convient. Pour $y^{'} + y = e^{t}$ , cherchons $y_{2} (t) = γ e^{t}$ : on obtient $γ e^{t} + γ e^{t} = 2 γ e^{t}$ , qui vaut $e^{t}$ pour $γ = \frac{1}{2}$ . Par superposition, $y_{p} (t) = 3 + \frac{1}{2} e^{t}$ est une solution particulière de l'équation complète, et la solution générale est $y (t) = 3 + \frac{1}{2} e^{t} + λ e^{- t}$ .

Contrôle. $y_{p}^{'} (t) + y_{p} (t) = \frac{1}{2} e^{t} + 3 + \frac{1}{2} e^{t} = 3 + e^{t}$ .

Trajectoires et équilibres

Définition

Une trajectoire d'équilibre, ou plus simplement un équilibre, est une solution constante de l'équation différentielle. On la trouve en écrivant que la dérivée est nulle : pour une équation du premier ordre $y^{'} + a y = b$ , en résolvant $a y = b$ ; pour une équation du second ordre $y^{''} + a y^{'} + b y = c$ , en imposant $y^{''} = y^{'} = 0$ , ce qui donne $b y = c$ .

Propriété

Deux trajectoires distinctes ne se coupent jamais. Au premier ordre, une trajectoire est entièrement déterminée par sa condition initiale : si deux solutions prennent la même valeur en un même instant $t_{0}$ , l'unicité entraîne qu'elles sont égales partout. Deux trajectoires différentes sont donc d'intersection vide. Au second ordre, l'unicité porte sur le couple formé par la valeur et la dérivée : deux trajectoires distinctes peuvent se croiser dans le plan, mais jamais avec la même pente au point de croisement.

Propriété

Comportement en $+ \infty$ au premier ordre. Soit $y^{'} + a y = b$ avec $a \neq 0$ et $b$ constant, dont les solutions sont $y (t) = \frac{b}{a} + λ e^{- a t}$ , et notons $y^{*} = \frac{b}{a}$ l'équilibre.

Si $a > 0$ , alors $e^{- a t}$ tend vers $0$ : toutes les trajectoires convergent vers $y^{*}$ , quelle que soit la condition initiale. L'équilibre est dit stable.
Si $a < 0$ , alors $e^{- a t}$ tend vers $+ \infty$ : les trajectoires s'écartent de $y^{*}$ , sauf celle qui correspond à $λ = 0$ , c'est-à-dire l'équilibre lui-même. L'équilibre est dit instable.

Remarque

Si une trajectoire converge, elle converge vers un équilibre. On le lit directement sur la forme des solutions : pour que $\frac{b}{a} + λ e^{- a t}$ admette une limite finie quand $t$ tend vers $+ \infty$ , il faut que $a > 0$ ou que $λ = 0$ , et dans les deux cas la limite vaut $\frac{b}{a}$ , c'est-à-dire l'équilibre. Le programme demande de constater ce fait sur des exemples, et c'est ce que nous ferons ; l'intuition est simple : une grandeur qui se stabilise finit par ne plus varier, donc sa dérivée s'annule à la limite, ce qui est précisément l'équation de l'équilibre.

Trajectoires de l'équation y' = -0,8(y - 3) pour plusieurs conditions initiales

Exemple

Lecture de la figure. L'équation représentée est $y^{'} = - 0,8 (y - 3)$ , qui s'écrit sous forme normalisée $y^{'} + 0,8 y = 2,4$ . Ici $a = 0,8 > 0$ et $b = 2,4$ , donc l'équilibre vaut $y^{*} = \frac{2,4}{0,8} = 3$ , et les solutions sont

y (t) = 3 + (y (0) - 3) e^{- 0,8 t}

Quatre trajectoires sont tracées sur $[0, 5]$ , correspondant à $y (0) = 0$ , $y (0) = 1,5$ , $y (0) = 3$ et $y (0) = 5$ . Trois observations, qui résument toute la section.

La droite horizontale $y = 3$ est l'équilibre. C'est la trajectoire obtenue pour $y (0) = 3$ : la parenthèse $y (0) - 3$ est nulle, la solution est la fonction constante égale à $3$ , et partie à l'équilibre, la grandeur y reste.

Toutes les autres trajectoires convergent vers l'équilibre. Celles qui partent de $0$ et de $1,5$ montent vers $3$ , celle qui part de $5$ descend vers $3$ , et aucune ne l'atteint en temps fini, puisque l'exponentielle ne s'annule jamais. Le coefficient $a = 0,8$ étant positif, l'équilibre est stable, et il attire tout le monde. Enfin, deux trajectoires ne se coupent jamais. L'ordre initial est conservé : la trajectoire partie de $5$ reste au-dessus de la droite $y = 3$ , celles parties de $0$ et de $1,5$ restent en dessous, et celle partie de $1,5$ reste au-dessus de celle partie de $0$ . Si deux d'entre elles se rencontraient en un instant $t_{0}$ , elles auraient la même condition initiale en $t_{0}$ et seraient donc confondues partout, ce qui contredirait le fait qu'elles partent de valeurs différentes en $0$ .

Deux modèles pour finir

Exemple

Un modèle linéaire complet : le portefeuille de clients. Une entreprise de services observe que, chaque année, elle perd $20 %$ de ses clients et en gagne $300$ nouveaux, ces flux se répartissant régulièrement dans l'année. En notant $N (t)$ le nombre de clients à l'instant $t$ , exprimé en années, le modèle en temps continu s'écrit

N^{'} (t) = - 0,2 N (t) + 300 soit N^{'} + 0,2 N = 300

Le terme $- 0,2 N$ est la perte, proportionnelle au nombre de clients présents, et le terme $+ 300$ le gain, indépendant de ce nombre. L'entreprise compte $500$ clients au départ, donc $N (0) = 500$ .

Résolution. L'homogène $N^{'} + 0,2 N = 0$ a pour solutions $λ e^{- 0,2 t}$ . Comme $a = 0,2 \neq 0$ , la constante $N_{p} = \frac{300}{0,2} = 1 500$ est solution particulière, donc $N (t) = 1 500 + λ e^{- 0,2 t}$ . La condition initiale donne $1 500 + λ = 500$ , soit $λ = - 1 000$ :

N (t) = 1 500 - 1 000 e^{- 0,2 t}

Interprétation. La dérivée $N^{'} (t) = 200 e^{- 0,2 t}$ est strictement positive : le portefeuille croît, mais de moins en moins vite. Le coefficient $a = 0,2$ étant positif, la trajectoire converge vers l'équilibre $1 500$ , qui est le niveau de saturation du modèle : c'est le nombre de clients pour lequel les $20 %$ perdus, soit $300$ , compensent exactement les $300$ gagnés. L'entreprise ne dépassera jamais ce seuil avec cette stratégie d'acquisition. Une question typique : au bout de combien de temps atteint-elle $1 200$ clients ? On résout

1 500 - 1 000 e^{- 0,2 t} = 1 200 ⟺ e^{- 0,2 t} = 0,3 ⟺ - 0,2 t = \ln (0,3) ⟺ t = \frac{\ln (0,3)}{- 0,2} = 5 \ln (\frac{10}{3})

soit environ $6,02$ années. Le passage au logarithme est licite car $0,3 > 0$ , et l'on vérifie la cohérence du résultat : $N (6) \approx 1 500 - 1 000 \times 0,301 \approx 1 199$ .

Exemple

L'équation logistique, sans technique. Le modèle précédent a un défaut : le flux d'acquisition y est constant, ce qui est rarement le cas. Un modèle plus réaliste de croissance limitée est l'équation logistique

y^{'} = r y (1 - \frac{y}{K})

où $r > 0$ est un taux de croissance et $K > 0$ une capacité d'accueil : population maximale d'un territoire, taille maximale d'un marché, stock de capital soutenable. Elle n'est pas linéaire, et nous ne la résolvons pas : le membre de droite contient un terme en $y^{2}$ , si bien qu'aucune des méthodes de ce chapitre ne s'y applique, et le programme demande explicitement de la mentionner « sans insister sur les difficultés techniques ». Ce que l'on peut dire sans calcul est déjà l'essentiel.

Ses équilibres. Une trajectoire d'équilibre vérifie $y^{'} = 0$ , c'est-à-dire $r y (1 - \frac{y}{K}) = 0$ , donc $y = 0$ ou $y = K$ . Il y a exactement deux équilibres : l'extinction et la saturation. Son allure. Pour $0 < y < K$ , les deux facteurs sont strictement positifs, donc $y^{'} > 0$ : la grandeur croît. Mais le taux de croissance par unité, $\frac{y^{'}}{y} = r (1 - \frac{y}{K})$ , diminue à mesure que $y$ se rapproche de $K$ . La croissance est donc d'abord accélérée, quand $y$ est petit et que le frein est faible, puis freinée quand $y$ approche de $K$ . Entre les deux, la vitesse $y^{'}$ passe par un maximum, atteint pour $y = \frac{K}{2}$ , qui est le sommet de la parabole $y \mapsto r y (1 - \frac{y}{K})$ : la trajectoire y présente un point d'inflexion, et sa courbe a la forme d'un S allongé.

Le lien avec le modèle de Solow. En économie de la croissance, le modèle de Solow décrit l'évolution du capital par tête $k$ par une équation de la même famille : l'investissement fait croître le capital, mais avec des rendements décroissants, tandis que la dépréciation le fait décroître proportionnellement à son niveau. Le résultat est le même que pour la logistique : le capital croît d'abord vite, puis de plus en plus lentement, et converge vers un état stationnaire, l'équilibre du modèle. La leçon commune à ces deux modèles, et c'est ce que le programme veut vous faire retenir, est qu'une croissance freinée par sa propre réussite conduit à un équilibre, jamais à une explosion.

Intégration sur un segment

De l'aire à la primitive

Le programme demande d'introduire cette partie « en rappelant le lien entre la notion de primitive et l'aire sous la courbe estimée par la méthode des rectangles vue en terminale ». C'est ce que nous faisons, car ce lien est la clé de tout : l'intégrale se définit par les primitives, mais elle se comprend comme une aire.

Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a, b]$ . L'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses, et les deux droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$ .

Aire sous la courbe approchée par des rectangles

Exemple

La méthode des rectangles. La figure représente l'aire sous la courbe de $h (x) = 0,5 x^{2} + 1$ entre $x = 1$ et $x = 3$ , approchée par cinq rectangles inférieurs. On découpe $[1, 3]$ en cinq intervalles de même longueur $\frac{3 - 1}{5} = 0,4$ , et sur chacun on construit le rectangle dont la hauteur est la plus petite valeur de $h$ , atteinte à gauche puisque $h$ est croissante sur $[1, 3]$ . La somme de leurs aires vaut

0,4 \times (h (1) + h (1,4) + h (1,8) + h (2,2) + h (2,6)) = 0,4 \times (1,5 + 1,98 + 2,62 + 3,42 + 4,38) = 5,56

En prenant les hauteurs à droite, on obtient des rectangles supérieurs, de somme $0,4 \times 17,9 = 7,16$ . L'aire cherchée $A$ est donc encadrée : $5,56 ⩽ A ⩽ 7,16$ . Plus on augmente le nombre de rectangles, plus l'encadrement se resserre. Nous calculerons plus loin la valeur exacte, $\frac{19}{3} \approx 6,33$ , qui est bien dans cet encadrement. Retenez la démarche : encadrer une aire par des sommes d'aires de rectangles, dont les hauteurs sont des valeurs de la fonction. C'est le seul usage des rectangles que nous ferons.

Propriété

La fonction aire a $f$ pour dérivée (admise). Soit $f$ continue, positive et monotone sur un intervalle $I$ , et soit $a \in I$ . Notons $A (x)$ l'aire sous la courbe entre $a$ et $x$ , pour $x ⩾ a$ . Alors la fonction $A$ est dérivable sur $I$ et $A^{'} (x) = f (x)$ .

Remarque

D'où cela vient. Supposons $f$ croissante et prenons $h > 0$ petit. L'aire $A (x + h) - A (x)$ est celle d'une mince tranche verticale, comprise entre le rectangle de hauteur $f (x)$ et celui de hauteur $f (x + h)$ , tous deux de largeur $h$ :

h f (x) ⩽ A (x + h) - A (x) ⩽ h f (x + h)

En divisant par $h > 0$ , le taux d'accroissement de $A$ est encadré par $f (x)$ et $f (x + h)$ . Or $f$ est continue, donc $f (x + h)$ tend vers $f (x)$ quand $h$ tend vers $0$ : par encadrement, le taux tend vers $f (x)$ , ce qui est le résultat annoncé. C'est le théorème fondamental de tout ce qui suit : calculer une aire, c'est remonter d'une fonction à une fonction dont elle est la dérivée. D'où la définition suivante.

Primitives

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ .

Propriété

Existence (admise). Toute fonction continue sur un intervalle $I$ y admet au moins une primitive.

Propriété

Deux primitives diffèrent d'une constante. Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ . Les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F (x) + C$ , où $C$ décrit $R$ . En conséquence, pour tout $x_{0} \in I$ et tout réel $y_{0}$ , il existe une unique primitive de $f$ sur $I$ prenant la valeur $y_{0}$ en $x_{0}$ .

Remarque

Justification, en deux lignes. Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ , alors $(G - F)^{'} = f - f = 0$ sur $I$ . Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante, d'après la caractérisation admise au début du chapitre. Donc $G = F + C$ . Réciproquement, $F + C$ a bien pour dérivée $f$ . Le mot intervalle est encore une fois l'hypothèse cachée : sur une réunion de deux intervalles, la constante peut différer d'un morceau à l'autre, et le résultat tombe.

Propriété

Primitives usuelles. Dans chaque ligne, $F$ est une primitive de $f$ ; toutes les autres s'en déduisent en ajoutant une constante.

$f (x)$	Une primitive $F (x)$	Sur
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ , $n \in N$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$\frac{1}{x^{n}}$ , $n ⩾ 2$	$\frac{- 1}{(n - 1) x^{n - 1}}$	$] 0, + \infty [$ ou $] - \infty, 0 [$
$x^{α}$ , $α \neq - 1$	$\frac{x^{α + 1}}{α + 1}$	$] 0, + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	$] 0, + \infty [$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	$] 0, + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$e^{m x}$ , $m \neq 0$	$\frac{1}{m} e^{m x}$	$R$
$\ln x$	$x \ln x - x$	$] 0, + \infty [$

Remarque

Trois précautions. D'abord, sur un intervalle contenu dans $] - \infty, 0 [$ , une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln (- x)$ , ce que l'on résume en écrivant $\ln ∣ x ∣$ ; en pratique, on précise toujours l'intervalle de travail avant d'écrire une primitive du quotient $\frac{1}{x}$ . Ensuite, la ligne des puissances exclut $α = - 1$ , précisément parce que c'est le cas du logarithme, et cette exception reviendra dans les primitives à vue. Enfin, on vérifie une primitive en la dérivant : c'est immédiat, et cela dispense de douter. Par exemple ${(x \ln x - x)}^{'} = \ln x$ , comme on l'a calculé dans la section sur les opérations.

L'intégrale d'une fonction continue sur un segment

Définition

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . Pour tout couple $(a, b)$ de $I^{2}$ , l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le réel

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a)

On note aussi $[F (t)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

Remarque

La définition ne dépend pas de la primitive choisie. Si $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$ , alors $G = F + C$ pour une constante $C$ , et

G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a)

La constante disparaît dans la soustraction : le nombre obtenu est bien le même. C'est pour cette raison qu'on ne met jamais de constante d'intégration dans un calcul d'intégrale entre deux bornes, alors qu'on la met toujours quand on décrit l'ensemble des primitives. La variable, elle, est muette : les écritures $\int_{a}^{b} f (t) d t$ , $\int_{a}^{b} f (u) d u$ et $\int_{a}^{b} f (x) d x$ désignent le même nombre. En revanche, ce nombre dépend de $a$ , de $b$ et de $f$ . On évitera d'utiliser la même lettre pour la variable d'intégration et pour une borne.

Propriété

Premières règles. Soit $f$ continue sur $I$ , et $a$ , $b$ , $c$ trois points de $I$ .

$\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ .
Orientation : $\int_{b}^{a} f (t) d t = - \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{c} f (t) d t$ .

Remarque

La relation de Chasles vaut quel que soit l'ordre des trois points, grâce à la règle d'orientation : elle se lit sur la définition, puisque $(F (b) - F (a)) + (F (c) - F (b)) = F (c) - F (a)$ . C'est l'outil qui permet de découper un intervalle d'intégration, par exemple pour traiter séparément les morceaux où la fonction change de signe.

Propriété

Interprétation en aire. Soient $a ⩽ b$ et $f$ continue sur $[a, b]$ .

Si $f ⩾ 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
Si $f ⩽ 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'opposé de l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Dans le cas général, l'intégrale est une aire algébrique : les portions au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement.

Exemple

Quatre calculs de base. a. $\int_{0}^{1} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ . b. $\int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t = [\ln t]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ , l'intervalle $[1, 2]$ étant contenu dans $] 0, + \infty [$ .

c. $\int_{0}^{1} e^{- t} d t = [- e^{- t}]_{0}^{1} = - e^{- 1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0,632$ . d. Enfin l'aire de la figure des rectangles :

\int_{1}^{3} (0,5 t^{2} + 1) d t = {[\frac{t^{3}}{6} + t]}_{1}^{3} = (\frac{27}{6} + 3) - (\frac{1}{6} + 1) = \frac{26}{6} + 2 = \frac{19}{3} \approx 6,33

ce qui confirme l'encadrement $5,56 ⩽ A ⩽ 7,16$ obtenu par les rectangles.

Propriétés

Propriété

Linéarité. Soient $f$ et $g$ continues sur $I$ , $λ$ et $μ$ deux réels, $a$ et $b$ dans $I$ :

\int_{a}^{b} (λ f (t) + μ g (t)) d t = λ \int_{a}^{b} f (t) d t + μ \int_{a}^{b} g (t) d t

Propriété

Positivité et croissance. Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ avec $a ⩽ b$ .

Si $f ⩾ 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t ⩾ 0$ .
Croissance : si $f ⩽ g$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t ⩽ \int_{a}^{b} g (t) d t$ .
Encadrement par les bornes : si $m ⩽ f (t) ⩽ M$ pour tout $t$ de $[a, b]$ , alors

m (b - a) ⩽ \int_{a}^{b} f (t) d t ⩽ M (b - a)

Cas d'égalité. Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t = 0$ si et seulement si $f$ est identiquement nulle sur $[a, b]$ .
Inégalité triangulaire (admise) : si $a ⩽ b$ , alors $∣ \int_{a}^{b} f (t) d t ∣ ⩽ \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t$ .

Remarque

L'ordre des bornes est une hypothèse. Tous les énoncés ci-dessus supposent $a ⩽ b$ , et ils sont faux sinon : $\int_{1}^{0} t d t = - \frac{1}{2}$ est négatif alors que la fonction intégrée est positive sur $[0, 1]$ . Avant toute majoration, on vérifie donc l'ordre des bornes, quitte à retourner l'intégrale avec la règle d'orientation. Le point 4, lui, est plus fort qu'il n'y paraît : il dit qu'une aire nulle sous une courbe positive oblige la courbe à être collée à l'axe partout, ce qui repose de façon essentielle sur la continuité : il suffirait d'une seule bosse, aussi étroite soit-elle, pour que l'aire soit strictement positive. On l'utilise pour démontrer qu'une fonction est nulle sans la calculer.

Méthode

Majorer ou minorer une intégrale sans la calculer. C'est un savoir-faire explicitement demandé par le programme, et il apparaît dans presque tous les problèmes.

Vérifier l'ordre des bornes : on veut $a ⩽ b$ .
Encadrer la fonction sous le signe intégral, pour $t$ variant dans $[a, b]$ : variations de la fonction, inégalités usuelles comme $e^{x} ⩾ 1 + x$ ou $\ln x ⩽ x - 1$ , majoration grossière d'un facteur par sa valeur maximale.
Intégrer l'encadrement terme à terme sur $[a, b]$ , ce qu'autorise la croissance de l'intégrale.
Calculer les deux intégrales encadrantes, qui sont simples par construction : c'est tout l'intérêt d'avoir choisi un encadrement grossier mais intégrable.
Conclure, et s'il s'agit d'une limite de suite, appliquer le théorème d'encadrement.

Exemple

a. Un encadrement immédiat. Montrons que $\frac{1}{2} ⩽ \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t} ⩽ 1$ . Pour $t \in [0, 1]$ , on a $1 ⩽ 1 + t ⩽ 2$ , donc, en passant à l'inverse, ce qui renverse les inégalités entre nombres strictement positifs, $\frac{1}{2} ⩽ \frac{1}{1 + t} ⩽ 1$ . En intégrant sur $[0, 1]$ , dont la longueur vaut $1$ , on obtient l'encadrement annoncé. La valeur exacte est $\ln 2 \approx 0,693$ , qui s'y trouve bien.

b. Un encadrement qui donne une limite. Soit $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} e^{- t} d t$ pour $n \in N$ . Pour $t \in [0, 1]$ , on a $0 ⩽ e^{- t} ⩽ 1$ , donc $0 ⩽ t^{n} e^{- t} ⩽ t^{n}$ . En intégrant sur $[0, 1]$ :

0 ⩽ I_{n} ⩽ \int_{0}^{1} t^{n} d t = {[\frac{t^{n + 1}}{n + 1}]}_{0}^{1} = \frac{1}{n + 1}

Comme $\frac{1}{n + 1}$ tend vers $0$ , le théorème d'encadrement donne $\lim_{n \to + \infty} I_{n} = 0$ , sans avoir calculé une seule de ces intégrales.

c. Avec l'inégalité triangulaire. Majorons $∣ \int_{- 1}^{1} t e^{t} d t ∣$ . La fonction intégrée change de signe sur $[- 1, 1]$ , donc l'encadrement direct serait maladroit ; passons par les valeurs absolues :

∣ \int_{- 1}^{1} t e^{t} d t ∣ ⩽ \int_{- 1}^{1} ∣ t ∣ e^{t} d t ⩽ e \int_{- 1}^{1} ∣ t ∣ d t = e \times 1 = e

où l'on a utilisé $e^{t} ⩽ e$ pour $t ⩽ 1$ , puis le fait que l'aire sous la courbe de $∣ t ∣$ sur $[- 1, 1]$ est celle de deux triangles de base $1$ et de hauteur $1$ . La valeur exacte de l'intégrale est $\frac{2}{e} \approx 0,736$ : la majoration est large, mais elle a été obtenue en deux lignes.

Calculer : les primitives à vue

Propriété

Les schémas inverses de dérivation. Soit $u$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $I$ .

Fonction	Une primitive	Condition
$u^{'} u^{n}$ , $n \in N$	$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$	aucune
$u^{'} u^{α}$ , $α \neq - 1$	$\frac{u^{α + 1}}{α + 1}$	$u > 0$
$\frac{u^{'}}{u}$ , cas $α = - 1$	$\ln u$	$u > 0$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$\frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$	$\sqrt{u}$	$u > 0$
$\frac{u^{'}}{u^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u$ ne s'annule pas

Remarque

Le modèle $u^{'} u^{α}$ et sa coupure. Le programme insiste sur ce modèle et sur ses deux cas. Si $α \neq - 1$ , la primitive est $\frac{u^{α + 1}}{α + 1}$ , exactement comme pour les puissances de $x$ . Si $α = - 1$ , cette formule n'a plus de sens, puisque le dénominateur $α + 1$ s'annule, et la primitive est $\ln u$ . Retenez la coupure : toutes les puissances donnent une puissance, sauf l'exposant $- 1$ qui donne un logarithme.

Méthode

Reconnaître une primitive à vue.

Chercher une fonction $u$ dont la dérivée apparaît, à une constante multiplicative près, en facteur dans l'expression.
Écrire $u$ et $u^{'}$ explicitement, à côté, comme pour une dérivée.
Ajuster la constante : si le facteur présent est $3 u^{'}$ au lieu de $u^{'}$ , on multiplie la primitive par $3$ ; s'il manque un facteur $2$ , on multiplie par $\frac{1}{2}$ . On ne « fait pas sortir » une fonction de $x$ , seulement une constante.
Vérifier en dérivant la primitive obtenue : c'est instantané et cela évite toute erreur de constante.

a. $\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$ . Avec $u (x) = x^{2} + 1$ et $u^{'} (x) = 2 x$ , c'est $u^{'} u^{3}$ , de primitive $\frac{u^{4}}{4}$ , d'où ${[\frac{{(x^{2} + 1)}^{4}}{4}]}_{0}^{1} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$ .

b. $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ . Ici $u (x) = x^{2} + 1 > 0$ et $u^{'} (x) = 2 x$ : il manque un facteur $2$ , donc l'intégrale vaut $\frac{1}{2} [\ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = \frac{\ln 2}{2}$ .

c. $\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2}$ , forme $u^{'} e^{u}$ avec $u (x) = x^{2}$ .

d. $\int_{1}^{2} \frac{\ln t}{t} d t$ . Avec $u (t) = \ln t$ et $u^{'} (t) = \frac{1}{t}$ , c'est $u^{'} u$ , de primitive $\frac{u^{2}}{2}$ : l'intégrale vaut ${[\frac{{(\ln t)}^{2}}{2}]}_{1}^{2} = \frac{{(\ln 2)}^{2}}{2}$ .

e. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t + 1}}$ . Avec $u (t) = t + 1 > 0$ et $u^{'} = 1$ , c'est $\frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$ multiplié par $2$ , donc l'intégrale vaut $2 [\sqrt{t + 1}]_{0}^{1} = 2 \sqrt{2} - 2$ .

f. $\int_{0}^{1} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} d t$ . Avec $u (t) = 1 + e^{t} > 0$ , on a exactement $\frac{u^{'}}{u}$ , d'où $[\ln (1 + e^{t})]_{0}^{1} = \ln (1 + e) - \ln 2$ .

g. $\int_{2}^{3} \frac{2 t - 1}{t^{2} - t} d t$ . Sur $[2, 3]$ , $u (t) = t^{2} - t > 0$ et $u^{'} (t) = 2 t - 1$ : l'intégrale vaut $[\ln (t^{2} - t)]_{2}^{3} = \ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Et pour finir, $\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} {[- \frac{1}{x^{2} + 1}]}_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ , forme $\frac{u^{'}}{u^{2}}$ .

Remarque

Deux pièges à connaître. Le premier : $\frac{1}{u}$ n'a pas pour primitive $\ln u$ ; il faut le facteur $u^{'}$ . Ainsi $\int \frac{d x}{x^{2} + 1}$ n'est pas $\ln (x^{2} + 1)$ , et cette intégrale n'est d'ailleurs pas calculable avec les outils du programme. Le second : on ne sort du signe intégral que des constantes. Écrire $\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2 x} [e^{x^{2}}]_{0}^{1}$ n'a aucun sens, puisque $\frac{1}{2 x}$ dépend de $x$ : la fonction $x \mapsto e^{x^{2}}$ n'a pas de primitive exprimable avec nos fonctions usuelles, et une intégrale qui la contient se traite par encadrement, jamais par calcul direct.

Intégration par parties

Propriété

Formule d'intégration par parties. Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux points de $I$ . Alors

\int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t

Remarque

D'où vient la formule. Elle n'est que la dérivée d'un produit, lue à l'envers. De $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ on tire $u v^{'} = (u v)^{'} - u^{'} v$ , puis on intègre entre $a$ et $b$ : la primitive de $(u v)^{'}$ étant $u v$ , on obtient le crochet, et la formule suit. C'est la seule technique du chapitre qui permette d'intégrer un produit, car il n'existe évidemment pas de « formule du produit » pour les primitives.

Méthode

Réussir une intégration par parties.

Vérifier que les deux fonctions sont de classe $C^{1}$ sur le segment considéré.
Choisir $u$ et $v^{'}$ : on prend pour $u$ le facteur qui se simplifie en dérivant, et pour $v^{'}$ celui que l'on sait primitiver. En pratique, $u = \ln$ chaque fois qu'un logarithme est présent, sinon $u$ est le polynôme.
Écrire les quatre fonctions $u$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ , $v$ dans un petit tableau ou sur deux lignes, avant tout calcul.
Appliquer la formule, en n'oubliant ni le crochet, ni le signe moins devant la seconde intégrale.
Calculer le crochet et la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple que la première. Si elle est plus compliquée, le choix de $u$ et $v^{'}$ était le mauvais : on recommence en échangeant.

Exemple

Les trois classiques. a. L'intégrale du logarithme. Calculons $\int_{1}^{e} \ln t d t$ . Le logarithme n'a pas de primitive évidente, mais il se simplifie en dérivant : on pose $u (t) = \ln t$ et $v^{'} (t) = 1$ , d'où $u^{'} (t) = \frac{1}{t}$ et $v (t) = t$ . Alors

\int_{1}^{e} \ln t d t = [t \ln t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{t} \times t d t = (e \times 1 - 1 \times 0) - \int_{1}^{e} 1 d t = e - (e - 1) = 1

C'est aussi ce qui justifie la ligne du tableau des primitives : une primitive de $\ln$ est $x \ln x - x$ .

b. Un polynôme multiplié par une exponentielle. Calculons $\int_{0}^{1} t e^{t} d t$ . Ici c'est le facteur $t$ qui se simplifie : on pose $u (t) = t$ et $v^{'} (t) = e^{t}$ , d'où $u^{'} (t) = 1$ et $v (t) = e^{t}$ :

\int_{0}^{1} t e^{t} d t = [t e^{t}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} d t = e - [e^{t}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1

Le choix inverse, $u = e^{t}$ et $v^{'} = t$ , conduirait à $\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{2} e^{t} d t$ , plus compliquée que l'intégrale de départ : c'est le signe qu'il fallait choisir l'autre répartition.

c. Un polynôme multiplié par un logarithme. Calculons $\int_{1}^{e} t \ln t d t$ . On pose $u (t) = \ln t$ et $v^{'} (t) = t$ , d'où $u^{'} (t) = \frac{1}{t}$ et $v (t) = \frac{t^{2}}{2}$ :

\begin{aligned} \int_{1}^{e} t \ln t d t & = {[\frac{t^{2}}{2} \ln t]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{t} \times \frac{t^{2}}{2} d t \\ = \frac{e^{2}}{2} - \int_{1}^{e} \frac{t}{2} d t \\ = \frac{e^{2}}{2} - {[\frac{t^{2}}{4}]}_{1}^{e} \\ = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4} \end{aligned}

Exemple

Une double intégration par parties. Calculons $\int_{0}^{1} t^{2} e^{t} d t$ . Le polynôme est de degré $2$ : chaque intégration par parties lui fera perdre un degré, il en faudra donc deux. Posons $u (t) = t^{2}$ et $v^{'} (t) = e^{t}$ :

\int_{0}^{1} t^{2} e^{t} d t = [t^{2} e^{t}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 t e^{t} d t = e - 2 \int_{0}^{1} t e^{t} d t

Or la seconde intégrale a été calculée juste au-dessus et vaut $1$ , donc $\int_{0}^{1} t^{2} e^{t} d t = e - 2 \approx 0,718$ . Contrôle grossier : sur $[0, 1]$ , la fonction $t \mapsto t^{2} e^{t}$ est comprise entre $0$ et $e$ , donc l'intégrale est comprise entre $0$ et $e \approx 2,72$ , le résultat est plausible.

Changement de variable

Propriété

Changement de variable. Soient $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $φ$ une fonction de classe $C^{1}$ et strictement monotone sur $[α, β]$ , à valeurs dans $I$ . Alors

\int_{α}^{β} f (φ (u)) φ^{'} (u) d u = \int_{φ (α)}^{φ (β)} f (t) d t

Méthode

Effectuer un changement de variable. En pratique, on écrit la substitution dans le sens qui simplifie l'expression.

Poser la substitution, par exemple $t = φ (u)$ , et vérifier qu'elle est de classe $C^{1}$ et strictement monotone sur l'intervalle concerné.
Différentier : de $t = φ (u)$ on tire $d t = φ^{'} (u) d u$ .
Changer les bornes, et c'est l'étape que l'on oublie : les nouvelles bornes sont les valeurs de la nouvelle variable, pas de l'ancienne.
Tout réécrire dans la nouvelle variable : plus aucune trace de l'ancienne ne doit subsister, ni dans l'expression, ni dans les bornes.
Calculer la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple.

Remarque

La règle du programme. On se restreint à des changements de variable de classe $C^{1}$ strictement monotones, et surtout : tout changement de variable autre qu'affine est toujours précisé par l'énoncé. Vous n'aurez donc jamais à inventer une substitution exotique. En revanche, le changement affine $t = α u + β$ doit être mené seul, sans qu'on vous le demande.

Exemple

a. Un changement affine. Calculons $\int_{0}^{1} (2 t + 1)^{4} d t$ . Posons $u = 2 t + 1$ , fonction affine strictement croissante, de classe $C^{1}$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $d t = \frac{d u}{2}$ , et les bornes deviennent $u = 1$ pour $t = 0$ , et $u = 3$ pour $t = 1$ :

\int_{0}^{1} (2 t + 1)^{4} d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^{4} d u = \frac{1}{2} {[\frac{u^{5}}{5}]}_{1}^{3} = \frac{243 - 1}{10} = \frac{121}{5} = 24,2

On pouvait aussi reconnaître directement la forme $u^{'} u^{4}$ à un facteur $2$ près : les deux méthodes se valent, et sur un changement affine la seconde est plus rapide.

b. Un changement non affine, indiqué par l'énoncé. Calculons $\int_{0}^{\ln 2} \frac{d t}{1 + e^{t}}$ à l'aide du changement de variable $u = e^{t}$ . La fonction $t \mapsto e^{t}$ est de classe $C^{1}$ et strictement croissante, la substitution est donc licite. De $u = e^{t}$ on tire $d u = e^{t} d t = u d t$ , donc $d t = \frac{d u}{u}$ . Les bornes deviennent $u = e^{0} = 1$ et $u = e^{\ln 2} = 2$ . Donc

\int_{0}^{\ln 2} \frac{d t}{1 + e^{t}} = \int_{1}^{2} \frac{1}{1 + u} \times \frac{d u}{u} = \int_{1}^{2} \frac{d u}{u (1 + u)}

On décompose alors la fraction, en remarquant que $\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} = \frac{(1 + u) - u}{u (1 + u)} = \frac{1}{u (1 + u)}$ :

\int_{1}^{2} (\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}) d u = [\ln u - \ln (1 + u)]_{1}^{2} = (\ln 2 - \ln 3) - (0 - \ln 2) = 2 \ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{4}{3}

soit environ $0,288$ . Une vérification d'ordre de grandeur conforte le résultat : sur $[0, \ln 2]$ , la fonction intégrée est comprise entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{2}$ , et la longueur de l'intervalle vaut $\ln 2 \approx 0,693$ , ce qui encadre l'intégrale entre $0,23$ et $0,35$ . c. Sur le même modèle, avec le changement $u = \sqrt{t}$ , soit $t = u^{2}$ , strictement croissant et de classe $C^{1}$ sur $[1, 2]$ , on a $d t = 2 u d u$ et les bornes $t = 1$ et $t = 4$ deviennent $u = 1$ et $u = 2$ :

\int_{1}^{4} \frac{d t}{\sqrt{t} (1 + \sqrt{t})} = \int_{1}^{2} \frac{2 u d u}{u (1 + u)} = 2 \int_{1}^{2} \frac{d u}{1 + u} = 2 [\ln (1 + u)]_{1}^{2} = 2 (\ln 3 - \ln 2) = 2 \ln \frac{3}{2}

Fonctions et suites définies par une intégrale

Propriété

La primitive qui s'annule en $a$ . Soient $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction

F : x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t

est définie sur $I$ , dérivable sur $I$ , et c'est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ : $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x$ de $I$ , et $F (a) = 0$ .

Remarque

Conséquences pratiques. Le sens de variation de $F$ se lit sur le signe de $f$ : $F$ croît là où $f$ est positive, décroît là où $f$ est négative. La convexité de $F$ se lit sur les variations de $f$ , puisque $F^{''} = f^{'}$ . On peut donc étudier complètement une fonction définie par une intégrale sans jamais calculer cette intégrale, ce qui est justement l'intérêt de l'exercice : la fonction $f$ est souvent choisie pour ne pas avoir de primitive explicite.

Exemple

Étude de $F (x) = \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ sur $R$ . La fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est continue sur $R$ , donc $F$ est bien définie, et c'est la primitive de $t \mapsto e^{- t^{2}}$ qui s'annule en $0$ . Aucune expression de $F$ avec les fonctions usuelles n'existe, et pourtant on peut tout dire d'elle.

Variations. $F^{'} (x) = e^{- x^{2}} > 0$ pour tout réel $x$ : $F$ est strictement croissante sur $R$ . Convexité. $F^{''} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ , du signe de $- x$ : $F$ est convexe sur $] - \infty, 0]$ , concave sur $[0, + \infty [$ , et l'origine est un point d'inflexion. La tangente en $0$ a pour équation $y = x$ , puisque $F (0) = 0$ et $F^{'} (0) = 1$ .

Un encadrement de $F (1)$ . Pour $t \in [0, 1]$ , on a $t^{2} ⩽ t$ , donc $- t^{2} ⩾ - t$ et, l'exponentielle étant croissante, $e^{- t^{2}} ⩾ e^{- t}$ . Par ailleurs $e^{- t^{2}} ⩽ 1$ . En intégrant ce double encadrement sur $[0, 1]$ :

1 - \frac{1}{e} ⩽ F (1) ⩽ 1 soit 0,632 ⩽ F (1) ⩽ 1

La valeur numérique, environ $0,747$ , est bien dans cet intervalle.

Venons-en aux suites définies par une intégrale. Le programme les mentionne explicitement, et c'est le type d'exercice le plus fréquent de tout le chapitre en épreuve de concours : il mobilise à la fois les propriétés de l'intégrale, l'intégration par parties et les théorèmes sur les suites.

Méthode

Étudier une suite $(I_{n})$ définie par une intégrale. Les questions se suivent presque toujours dans cet ordre.

Justifier l'existence : la fonction intégrée est continue sur le segment d'intégration, donc l'intégrale existe. Une phrase suffit, mais elle n'est pas facultative.
Calculer les premiers termes, typiquement $I_{0}$ et $I_{1}$ , quand un calcul direct est possible.
Signe : si la fonction intégrée est positive sur $[a, b]$ avec $a ⩽ b$ , alors $I_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ .
Monotonie : comparer les fonctions intégrées point par point pour deux rangs consécutifs, puis intégrer l'inégalité. Ne jamais comparer les intégrales sans être passé par les fonctions.
Convergence : une suite décroissante et minorée converge, d'après le théorème de la limite monotone.
Limite : trouver une majoration explicite qui tend vers $0$ , puis appliquer le théorème d'encadrement.
Relation de récurrence : une intégration par parties relie $I_{n + 1}$ à $I_{n}$ , en dérivant le facteur $t^{n + 1}$ .

Exemple

L'exemple type. Pour tout entier $n$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} e^{- t} d t$ .

1. Existence. Pour chaque $n$ , la fonction $t \mapsto t^{n} e^{- t}$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , comme produit de fonctions continues : $I_{n}$ est bien défini. 2. Premier terme. $I_{0} = \int_{0}^{1} e^{- t} d t = [- e^{- t}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{e} \approx 0,632$ . 3. Positivité. Pour $t \in [0, 1]$ , on a $t^{n} ⩾ 0$ et $e^{- t} > 0$ , donc la fonction intégrée est positive et, les bornes étant dans le bon ordre, $I_{n} ⩾ 0$ .

4. Monotonie. Pour $t \in [0, 1]$ , on a $t^{n + 1} ⩽ t^{n}$ , car $0 ⩽ t ⩽ 1$ et multiplier par $t$ ne fait que diminuer. En multipliant par $e^{- t} > 0$ , qui ne change pas le sens de l'inégalité, puis en intégrant sur $[0, 1]$ :

I_{n + 1} = \int_{0}^{1} t^{n + 1} e^{- t} d t ⩽ \int_{0}^{1} t^{n} e^{- t} d t = I_{n}

La suite $(I_{n})$ est donc décroissante.

5 et 6. Convergence et limite. Décroissante et minorée par $0$ , la suite converge vers une limite $ℓ ⩾ 0$ . On a établi plus haut, par encadrement, que $0 ⩽ I_{n} ⩽ \frac{1}{n + 1}$ . Le théorème d'encadrement donne donc $ℓ = 0$ :

\lim_{n \to + \infty} I_{n} = 0

7. Relation de récurrence. Intégrons par parties $I_{n + 1}$ en posant $u (t) = t^{n + 1}$ et $v^{'} (t) = e^{- t}$ , donc $u^{'} (t) = (n + 1) t^{n}$ et $v (t) = - e^{- t}$ , deux fonctions de classe $C^{1}$ sur $[0, 1]$ :

\begin{aligned} I_{n + 1} & = [- t^{n + 1} e^{- t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (n + 1) t^{n} e^{- t} d t \\ = - \frac{1}{e} + (n + 1) I_{n} \end{aligned}

Attention aux deux signes moins qui se compensent : celui de la formule d'intégration par parties et celui de la primitive de $e^{- t}$ . Contrôle sur un cas connu. Pour $n = 0$ , la relation donne $I_{1} = I_{0} - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e} \approx 0,264$ . Vérifions par un calcul direct, avec une intégration par parties : $\int_{0}^{1} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- t} d t = - \frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}$ . Les deux résultats coïncident.

Une conséquence élégante. Réécrivons la relation sous la forme $(n + 1) I_{n} = I_{n + 1} + \frac{1}{e}$ . Le membre de droite tend vers $\frac{1}{e}$ , puisque $I_{n + 1}$ tend vers $0$ . Donc

\lim_{n \to + \infty} n I_{n} = \frac{1}{e}

en remarquant que $n I_{n} = (n + 1) I_{n} - I_{n}$ et que $I_{n}$ tend vers $0$ . On obtient ainsi la vitesse à laquelle $I_{n}$ tend vers $0$ : elle est de l'ordre de $\frac{1}{n e}$ . Ce genre de conclusion, obtenue sans jamais calculer $I_{n}$ , est exactement ce que l'on attend de vous.

Ce qu'il faut retenir

Ce chapitre tient en trois gestes, et chacun a son déclencheur. Dériver répond aux questions de variations, d'extremum et d'approximation locale : on calcule $f^{'}$ , on la factorise, on lit son signe. Dériver deux fois répond aux questions de convexité, de point d'inflexion et d'optimisation : le signe de $f^{''}$ donne la forme de la courbe, et pour une fonction convexe un point critique est un minimum global. Intégrer répond aux questions d'aire, d'accumulation et de moyenne : on cherche une primitive, à vue si possible, par parties devant un produit, par changement de variable si l'énoncé le suggère. Entre les deux, les équations différentielles relient la fonction à sa dérivée : on résout l'homogène, on ajoute une solution particulière, on fixe les constantes avec les conditions initiales, et l'on interprète la limite en $+ \infty$ comme un équilibre. Le programme précisant qu'aucune démonstration n'est exigible, c'est la maîtrise de ces enchaînements qui est évaluée, pas la capacité à redémontrer les théorèmes.

Deux savoir-faire sont explicitement demandés et méritent un entraînement séparé : majorer ou minorer une intégrale sans la calculer, en encadrant d'abord la fonction puis en intégrant l'encadrement, et étudier une suite définie par une intégrale, en suivant l'ordre existence, signe, monotonie, convergence, limite, relation de récurrence. Ce sont eux qui font la différence en concours.

Les formules à savoir sans réfléchir

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}, {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}, {(g \circ u)}^{'} = u^{'} \times (g^{'} \circ u)

{(u^{n})}^{'} = n u^{'} u^{n - 1}, {(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}, {(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}, {(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}

\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1, \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h} = 1, \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{α} - 1}{h} = α

∣ f^{'} ∣ ⩽ k sur I ⟹ ∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ k ∣ b - a ∣ pour tous a, b \in I

\int_{a}^{b} u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v, \int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a), ∣ \int_{a}^{b} f ∣ ⩽ \int_{a}^{b} ∣ f ∣ (a ⩽ b)

Solutions de $y^{'} + a y = 0$ : $t \mapsto λ e^{- a t}$ . Solutions de $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ : $λ e^{r_{1} t} + μ e^{r_{2} t}$ si $Δ > 0$ , $(λ + μ t) e^{r t}$ si $Δ = 0$ .

Erreurs classiques

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