Étude élémentaire des séries

Additionner deux nombres, ou trois, ou mille, ne pose aucune difficulté de principe. Mais que signifie additionner une infinité de nombres ? L'écriture

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$$

n'a, telle quelle, aucun sens : aucune addition ne comporte une infinité d'étapes. Ce chapitre donne un sens précis à ce genre d'écriture, et il le donne de la seule manière rigoureuse possible : on additionne les termes un par un, ce qui produit une suite de résultats intermédiaires, puis on regarde si cette suite converge.

Voilà toute l'idée du chapitre, et il faut la retenir dès maintenant : une série n'est pas un objet nouveau, c'est une suite, celle de ses sommes partielles. Tout ce que vous savez sur les suites (limite, monotonie, théorème de la limite monotone, croissances comparées, suites extraites) s'applique donc immédiatement, sans rien avoir à réapprendre. Le premier réflexe, devant une série qui résiste, sera toujours de revenir à la suite $(S_n)$.

Le programme est explicite sur le niveau attendu : « aucune technicité n'est exigible en première année ». Les techniques de comparaison entre séries à termes positifs seront vues en deuxième année. Ce que l'on demande ici, c'est de savoir reconnaître quatre ou cinq séries de référence, de savoir télescoper, et de rédiger proprement.

Une raison très concrète, enfin, de soigner ce chapitre : le chapitre suivant, consacré aux variables aléatoires discrètes, ne peut pas commencer sans lui. Une grandeur aléatoire qui prend une infinité de valeurs conduit à des sommes infinies, et il faut d'abord savoir quand une telle somme a un sens. Les deux applications économiques de la fin du chapitre, la valeur d'une rente perpétuelle et le multiplicateur keynésien, montrent que les séries ne servent pas qu'aux probabilités.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $n$ désigne un entier naturel, $(u_n)$ une suite réelle, $q$ et $x$ des réels. L'indice de départ, souvent $0$ ou $1$, est noté $n_0$ et sera toujours précisé. Le symbole $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Séries et sommes partielles

Définition d'une série

Insistons sur ce point, car c'est la clé de tout le chapitre : la série $\sum u_n$ est la suite $(S_n)$. Ce n'est pas une notation pour un nombre mystérieux, c'est une suite parfaitement ordinaire, dont le terme d'indice $n$ se calcule par une somme finie de $n-n_0+1$ termes. Étudier une série, c'est étudier cette suite.

Convergence, divergence, somme

Trois écritures voisines désignent trois objets différents, et les confondre est la faute la plus fréquente du chapitre.

La figure ci-dessous représente les sommes partielles de la série $\sum {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$. Chaque point est une somme partielle $S_n$ ; on voit la suite grimper puis se stabiliser sous la valeur limite $S=2$, sans jamais l'atteindre.

Le reste d'une série convergente

Quand une série converge, la différence entre la somme exacte et une somme partielle mesure l'erreur que l'on commet en s'arrêtant au rang $n$. Cette quantité porte un nom.

Démonstration. Fixons $n⩾n_0$ et notons, pour $m>n$, $T_m={\sum }_{k=n+1}^m{u}_k$ la somme partielle de la série qui démarre au rang $n+1$. La relation de Chasles sur les indices d'une somme finie donne $S_m=S_n+T_m$, c'est-à-dire

$$T_m=S_m-S_n$$

Quand $m$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, le réel $S_n$ est une constante et $S_m⟶S$, donc $T_m⟶S-S_n$. La suite $(T_m)$ converge : la série ${\sum }_{k⩾n+1}{u}_k$ converge, et sa somme vaut $S-S_n=R_n$.

Reste à voir que $R_n⟶0$. C'est immédiat : $R_n=S-S_n$, où $S$ est une constante et $S_n⟶S$, donc $R_n⟶S-S=0$. $\mathrm{\square }$

L'indice de départ

Démonstration. Notons $S_n$ et $T_n$ les sommes partielles respectives, pour $n⩾n_1$. La relation de Chasles donne $S_n=C+T_n$ avec $C={\sum }_{k=n_0}^{n_1-1}{u}_k$, un réel constant qui ne dépend pas de $n$. Deux suites qui diffèrent d'une constante sont de même nature, et en cas de convergence leurs limites diffèrent de cette même constante. $\mathrm{\square }$

Premières propriétés

Combinaison linéaire de séries convergentes

Démonstration. Notons $S_n$, $T_n$ et $W_n$ les sommes partielles d'ordre $n$ des trois séries. La linéarité de la somme finie donne, pour tout $n⩾n_0$,

$$W_n=\sum _{k=n_0}^n(\lambda u_k+\mu v_k)=\lambda \sum _{k=n_0}^n{u}_k+\mu \sum _{k=n_0}^n{v}_k=\lambda S_n+\mu T_n$$

Par hypothèse $S_n⟶S$ et $T_n⟶T$. Les théorèmes d'opérations sur les limites de suites donnent alors $W_n⟶\lambda S+\mu T$, qui est un réel. La suite $(W_n)$ converge, donc la série converge, et sa somme est $\lambda S+\mu T$. $\mathrm{\square }$

Le piège : convergente plus divergente

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons que la série $\sum (u_n+v_n)$ converge. Posons $w_n=u_n+v_n$. Alors $v_n=w_n-u_n$, c'est-à-dire $v_n=1\times w_n+(-1)\times u_n$ : c'est une combinaison linéaire des termes généraux de deux séries convergentes, à savoir $\sum w_n$ (supposée convergente) et $\sum u_n$ (convergente par hypothèse). La propriété précédente s'applique et donne la convergence de $\sum v_n$, ce qui contredit l'hypothèse. L'hypothèse de départ est donc fausse : la série $\sum (u_n+v_n)$ diverge. $\mathrm{\square }$

Les premiers termes ne changent pas la nature

Démonstration. Pour $n⩾N$, la différence des sommes partielles vaut

$$S_n-T_n=\sum _{k=n_0}^n(u_k-v_k)=\sum _{k=n_0}^{N-1}(u_k-v_k)$$

puisque tous les termes d'indice supérieur ou égal à $N$ sont nuls. Cette quantité est une constante $c$ indépendante de $n$. On a donc $S_n=T_n+c$ pour tout $n⩾N$, et deux suites qui diffèrent d'une constante sont de même nature. $\mathrm{\square }$

La condition nécessaire de convergence

Voici le premier vrai théorème du chapitre, et celui que l'on utilise le plus souvent, presque toujours par sa contraposée.

Démonstration. Supposons la série convergente, de somme $S$, et notons $(S_n)$ ses sommes partielles, de sorte que $S_n⟶S$. Pour tout $n⩾n_0+1$, la relation entre deux sommes partielles consécutives s'écrit

$$S_n=S_{n-1}+u_n\text{donc}{u}_n=S_n-S_{n-1}$$

La suite $(S_{n-1})$ est une suite extraite de $(S_n)$, ou plus simplement la même suite décalée d'un rang : elle converge donc aussi vers $S$. Par différence de limites,

$$u_n=S_n-S_{n-1}⟶S-S=0\mathrm{\square }$$

Séries télescopiques et lien avec les suites

Le programme demande explicitement de « souligner l'intérêt de la série de terme général $u_{n+1}-u_n$ pour l'étude de la suite $(u_n)$ ». Cette partie exploite le fait qu'une suite et la série de ses accroissements portent exactement la même information.

Le théorème du télescopage

Démonstration. Notons $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série des accroissements et calculons-la. Pour tout $n⩾n_0$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n=\sum _{k=n_0}^n(u_{k+1}-u_k)}& {\displaystyle =\sum _{k=n_0}^n{u}_{k+1}-\sum _{k=n_0}^n{u}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=n_0+1}^{n+1}{u}_j-\sum _{k=n_0}^n{u}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u_{n+1}-u_{n_0}}\end{array}$$

Le changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme la transforme en la seconde, décalée d'un cran : tous les termes d'indice compris entre $n_0+1$ et $n$ apparaissent une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$, et se détruisent. Il ne subsiste que $u_{n+1}$, présent seulement dans la première, et $-u_{n_0}$, présent seulement dans la seconde.

L'identité $S_n=u_{n+1}-u_{n_0}$ conclut la démonstration. Le réel $u_{n_0}$ est une constante, donc la suite $(S_n)$ converge si, et seulement si la suite $(u_{n+1})$ converge, c'est-à-dire si, et seulement si la suite $(u_n)$ converge. Et dans ce cas $S_n⟶\mathrm{\ell }-u_{n_0}$. $\mathrm{\square }$

Reconnaître un télescopage

Séries à termes positifs

Les séries dont tous les termes sont positifs se comportent beaucoup plus simplement que les autres, pour une raison très simple : leurs sommes partielles ne peuvent que croître.

Croissance des sommes partielles

Démonstration. Pour tout $n⩾n_0$, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}⩾0$. La suite $(S_n)$ est donc croissante. $\mathrm{\square }$

Cette remarque, apparemment anodine, a une conséquence décisive lorsqu'on lui applique le théorème de la limite monotone du chapitre sur les suites.

Démonstration. La suite $(S_n)$ est croissante d'après la propriété précédente. Le théorème de la limite monotone affirme exactement ceci : une suite croissante et majorée converge, et une suite croissante non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$. Il n'y a rien de plus à démontrer. La majoration $S_n⩽S$ vient du fait qu'une suite croissante est toujours majorée par sa limite. $\mathrm{\square }$

Ce qui est au programme de première année, et ce qui ne l'est pas

Les séries de référence

Cette partie est le cœur pratique du chapitre. Les séries qui suivent doivent être reconnues instantanément, avec leur condition de convergence et leur somme.

La série géométrique

Démonstration. Traitons séparément les deux cas.

Cas $\mid q\mid ⩾1$. Alors $\mid q^n\mid =\mid q{\mid }^n⩾1$ pour tout $n$, donc la suite $(q^n)$ ne tend pas vers $0$. La série diverge grossièrement. Ce cas englobe $q=1$ (où $S_n=n+1⟶+\mathrm{\infty }$) et $q=-1$ (où $(S_n)$ vaut alternativement $1$ et $0$).

Cas $\mid q\mid <1$. Alors $q\mathrm{\ne }1$, et la formule de la somme géométrique finie, connue depuis le chapitre sur les suites, donne pour tout $n⩾0$

$$S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Comme $\mid q\mid <1$, on sait que $q^n⟶0$, donc $q^{n+1}⟶0$ et

$$S_n⟶\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}$$

La série converge et sa somme vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$.

Cas d'un indice de départ quelconque. Toujours pour $\mid q\mid <1$, la somme partielle à partir de $n_0$ se factorise :

$$\sum _{k=n_0}^n{q}^k=q^{n_0}\sum _{j=0}^{n-n_0}{q}^j=q^{n_0}\times \frac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}⟶\frac{q^{n_0}}{1-q}\mathrm{\square }$$

Démonstration. C'est la formule précédente appliquée à l'indice de départ $n+1$. On peut aussi la retrouver par soustraction :

$$R_n=S-S_n=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-(1-q^{n+1})}{1-q}=\frac{q^{n+1}}{1-q}\mathrm{\square }$$

Les deux séries dérivées

Le nom de « séries dérivées » vient de ce que $n{q}^{n-1}$ est la dérivée de $q^n$ et $n(n-1)q^{n-2}$ sa dérivée seconde : les deux formules s'obtiennent en dérivant une fois puis deux fois l'égalité $\sum q^n=\frac{1}{1-q}$ par rapport à $q$. Ce raisonnement, qui consiste à dériver terme à terme une somme infinie, n'est pas justifiable avec les outils de première année, et le programme se contente d'admettre les résultats. Mais on peut parfaitement les démontrer à la main, et c'est ce que nous faisons ici.

Démonstration de la première formule. Posons, pour $n⩾1$,

$$T_n=\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}$$

L'idée est de multiplier par $1-q$ pour faire apparaître un télescopage. Écrivons

$$(1-q)T_n=\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}k{q}^k$$

Dans la seconde somme, effectuons le changement d'indice $j=k+1$, de sorte que $k=j-1$ et que $j$ varie de $2$ à $n+1$ :

$$\sum _{k=1}^{n}k{q}^k=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)q^{j-1}$$

Les deux sommes portent maintenant sur la même puissance $q^{k-1}$. En isolant le terme $k=1$ de la première et le terme $k=n+1$ de la seconde, il vient

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-q)T_n}& {\displaystyle =1\times q^0+\sum _{k=2}^n(k-(k-1))q^{k-1}-n{q}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\sum _{k=2}^n{q}^{k-1}-n{q}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}-n{q}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-q^n}{1-q}-n{q}^n}\end{array}$$

en reconnaissant à la dernière ligne une somme géométrique finie de premier terme $1$ et de raison $q\mathrm{\ne }1$. En divisant par $1-q$, qui est non nul,

$$T_n=\frac{1-q^n}{(1-q{)}^2}-\frac{n{q}^n}{1-q}$$

Il ne reste qu'à passer à la limite. Comme $\mid q\mid <1$, on a $q^n⟶0$ ; et par croissances comparées, $n{q}^n⟶0$ également (la puissance $\mid q{\mid }^n$, qui tend vers $0$ géométriquement, l'emporte sur le facteur $n$). Donc

$$T_n⟶\frac{1}{(1-q{)}^2}\mathrm{\square }$$

Démonstration de la seconde formule. La technique est identique. Posons, pour $n⩾2$,

$$U_n=\sum _{k=2}^{n}k(k-1)q^{k-2}$$

et multiplions par $1-q$. Le changement d'indice $j=k+1$ dans la seconde somme donne

$$(1-q)U_n=\sum _{k=2}^{n}k(k-1)q^{k-2}-\sum _{j=3}^{n+1}(j-1)(j-2)q^{j-2}$$

En isolant le terme $k=2$ de la première somme, qui vaut $2\times 1\times q^0=2$, et le terme $j=n+1$ de la seconde, qui vaut $n(n-1)q^{n-1}$, il reste des indices de $3$ à $n$ communs aux deux sommes, avec le coefficient

$$k(k-1)-(k-1)(k-2)=(k-1)(k-(k-2))=2(k-1)$$

d'où

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-q)U_n}& {\displaystyle =2+\sum _{k=3}^{n}2(k-1)q^{k-2}-n(n-1)q^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sum _{k=2}^n(k-1)q^{k-2}-n(n-1)q^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2T_{n-1}-n(n-1)q^{n-1}}\end{array}$$

la dernière égalité s'obtenant par le changement d'indice $i=k-1$, qui transforme ${\sum }_{k=2}^n(k-1)q^{k-2}$ en ${\sum }_{i=1}^{n-1}i{q}^{i-1}=T_{n-1}$.

On passe à la limite : $T_{n-1}⟶{\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}$ d'après la première partie, et $n(n-1)q^{n-1}⟶0$ par croissances comparées (une puissance de $n$ face à une suite géométrique de raison de valeur absolue strictement inférieure à $1$). Donc

$$(1-q)U_n⟶\frac{2}{(1-q{)}^2}\text{puis}{U}_n⟶\frac{2}{(1-q{)}^3}\mathrm{\square }$$

La série exponentielle

Le programme précise que la convergence et la valeur de la somme sont admises en première année. On peut toutefois vérifier que le résultat est plausible : le terme général ${\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$ tend bien vers $0$ pour tout réel $x$, par croissances comparées, la factorielle l'emportant sur toute puissance. La condition nécessaire de convergence est donc satisfaite, ce qui ne prouve rien mais ne contredit rien.

La série harmonique et les séries de Riemann

Voici deux démonstrations indépendantes, toutes deux au programme des outils de première année. La première est la plus classique, la seconde donne en prime une minoration explicite.

Première démonstration, par la différence $H_{2n}-H_n$. Soit $n⩾1$. Écrivons

$$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$$

Cette somme comporte exactement $n$ termes (les indices de $n+1$ à $2n$). Chacun d'eux est minoré par le plus petit d'entre eux, qui est ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$, puisque $k⩽2n$ entraîne ${\displaystyle \frac{1}{k}}⩾{\displaystyle \frac{1}{2n}}$. Donc

$$H_{2n}-H_n⩾n\times \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$$

Supposons maintenant, par l'absurde, que la série converge, c'est-à-dire que $H_n⟶\mathrm{\ell }$ pour un certain réel $\mathrm{\ell }$. La suite $(H_{2n})$ est une suite extraite de $(H_n)$, elle converge donc vers la même limite $\mathrm{\ell }$. Par différence,

$$H_{2n}-H_n⟶\mathrm{\ell }-\mathrm{\ell }=0$$

Or le passage à la limite dans l'inégalité $H_{2n}-H_n⩾\frac{1}{2}$, valable pour tout $n$, donne $0⩾\frac{1}{2}$, ce qui est absurde. La série harmonique diverge donc. $\mathrm{\square }$

Seconde démonstration, par télescopage logarithmique. Établissons d'abord l'inégalité auxiliaire

$$\ln (1+t)⩽t\text{pour tout }t>-1$$

La fonction $\ln$ est concave sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ (sa dérivée seconde $-\frac{1}{x^2}$ est négative), donc sa courbe est située sous chacune de ses tangentes. La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=x-1$, d'où $\ln x⩽x-1$ pour tout $x>0$. En posant $x=1+t$, on obtient l'inégalité annoncée.

Appliquons-la à $t={\displaystyle \frac{1}{k}}$ pour $k⩾1$ :

$$\frac{1}{k}⩾\ln (1+\frac{1}{k})=\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k$$

Sommons ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$. Le membre de droite se télescope :

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}⩾\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1)$$

Comme $\ln (n+1)⟶+\mathrm{\infty }$, le théorème de minoration donne $H_n⟶+\mathrm{\infty }$. La série harmonique diverge. $\mathrm{\square }$

La série harmonique est le contre-exemple annoncé plus haut : son terme général $\frac{1}{n}$ tend vers $0$, et pourtant elle diverge. La condition nécessaire de convergence n'est donc pas suffisante.

Ce critère est admis en première année : il sera démontré en deuxième année, à l'aide des techniques de comparaison entre séries à termes positifs. Trois cas particuliers sont toutefois à votre portée dès maintenant, et il est bon de les avoir vus.

Le premier cas se justifie en une ligne : pour $\alpha ⩽0$, le terme $\frac{1}{n^{\alpha }}=n^{-\alpha }$ ne tend pas vers $0$. Le deuxième est la série harmonique, dont nous venons de démontrer la divergence de deux façons. Le troisième a été traité par majoration à la main dans la partie sur les séries à termes positifs.

Le cas $0<\alpha ⩽1$ se traite aussi à la main sur cet exemple précis. Pour $k⩾1$, l'inégalité $\alpha ⩽1$ donne $k^{\alpha }⩽k$, donc ${\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}⩾{\displaystyle \frac{1}{k}}$, et en sommant ces inégalités puis en utilisant la minoration obtenue plus haut,

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}⩾\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n⩾\ln (n+1)$$

d'où $S_n⟶+\mathrm{\infty }$ et la divergence. Notez bien la nature de cet argument : c'est une minoration explicite de la somme partielle, écrite entièrement à la main sur cet exemple, et non l'invocation d'un théorème de comparaison, qui n'est pas au programme de première année. Seul le cas $\alpha >1$ avec $\alpha \mathrm{\ne }2$ reste admis.

Convergence absolue

Jusqu'ici, les séries dont nous savons calculer la somme sont soit à termes positifs, soit géométriques. Comment traiter une série dont les termes changent de signe de manière quelconque ? Le programme introduit pour cela une notion, dont l'unique but en première année est de préparer la définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète au chapitre suivant.

L'implication est admise, conformément au programme. L'inégalité, en revanche, se démontre en une ligne une fois l'implication acquise.

Démonstration de l'inégalité. Notons $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$ et $A_n={\sum }_{k=n_0}^n\mid u_k\mid$. L'inégalité triangulaire pour une somme finie donne, pour tout $n$,

$$\mid S_n\mid ⩽A_n$$

Par hypothèse $A_n$ converge vers $A={\sum }_{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_n\mid$, et par le résultat admis $S_n$ converge vers $S={\sum }_{n=n_0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$. La fonction valeur absolue étant continue, $\mid S_n\mid ⟶\mid S\mid$. Le passage à la limite dans une inégalité large la conserve, donc $\mid S\mid ⩽A$. $\mathrm{\square }$

Calculer une somme, exactement ou approximativement

Les cinq réflexes

Le calcul approché d'une somme

Quand on ne sait pas calculer la somme exactement, ou quand on veut une valeur numérique, on remplace $S$ par une somme partielle $S_n$. Encore faut-il savoir quelle erreur on commet. La règle est toujours la même : l'erreur est exactement le reste $R_n$, il faut donc le majorer.

Un calcul en Python

Le programme prévoit l'usage de Python. Voici la fonction que l'on écrit pour approcher la somme d'une série en accumulant les termes jusqu'à ce qu'ils deviennent négligeables.

def somme_approchee(u, tol):
    """Somme les termes u(0), u(1), ... tant que |u(n)| >= tol.

    u   : fonction qui a un entier n associe le terme u(n)
    tol : seuil d'arret sur la valeur absolue du terme
    Renvoie le couple (somme partielle calculee, dernier indice somme).
    """
    S = 0.0
    n = 0
    while abs(u(n)) >= tol:
        S += u(n)
        n += 1
    return S, n - 1


# Serie geometrique de raison 1/3, dont la somme exacte vaut 3/2.
S, n = somme_approchee(lambda k: (1 / 3) ** k, 1e-3)
print(S, n)        # 1.4993141289437586   6
print(3 / 2 - S)   # 0.000685871056241405

Deux applications économiques

Les séries géométriques ne sont pas un objet de curiosité : elles sont l'outil de base du calcul financier et de la macroéconomie élémentaire. Voici deux modèles que vous rencontrerez en économie et dans les sujets de concours.

Valeur actuelle d'une rente perpétuelle

Un euro disponible dans un an vaut moins qu'un euro disponible aujourd'hui, puisque l'euro d'aujourd'hui, placé au taux annuel $r>0$, deviendrait $1+r$ dans un an. Pour comparer des sommes disponibles à des dates différentes, on les ramène toutes à aujourd'hui : c'est l'actualisation. La valeur actuelle d'un flux $F$ perçu dans $n$ années est

$$\frac{F}{(1+r{)}^n}$$

Cas d'un flux constant. Considérons un actif qui verse un flux constant $F>0$ à la fin de chaque année, indéfiniment : un loyer, un coupon d'obligation perpétuelle, un dividende supposé stable. Sa valeur actuelle est la somme de toutes les valeurs actualisées :

$$V=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{F}{(1+r{)}^n}$$

Posons $q={\displaystyle \frac{1}{1+r}}$. Comme $r>0$, on a $0<q<1$, donc $\mid q\mid <1$ : la série géométrique converge, et l'on peut écrire

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=F\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n}& {\displaystyle =F\times \frac{q}{1-q}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F\times \frac{\frac{1}{1+r}}{1-\frac{1}{1+r}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F\times \frac{\frac{1}{1+r}}{\frac{r}{1+r}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{F}{r}}\end{array}$$

Cas d'un flux à croissance géométrique. Supposons maintenant que le flux croisse au taux annuel $g$, de sorte que le versement de l'année $n$ vaut $F(1+g{)}^{n-1}$, avec $-1<g<r$. La valeur actuelle est

$$V=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{F(1+g{)}^{n-1}}{(1+r{)}^n}$$

Factorisons pour faire apparaître une série géométrique. En écrivant $(1+r{)}^n=(1+r)\times (1+r{)}^{n-1}$ :

$$V=\frac{F}{1+r}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1+g}{1+r}\right)}^{n-1}$$

Posons $q={\displaystyle \frac{1+g}{1+r}}$. L'hypothèse $g<r$ donne $1+g<1+r$, donc $q<1$, et l'hypothèse $g>-1$ donne $q>0$ : la condition $\mid q\mid <1$ est satisfaite, la série converge, et sa somme vaut ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$ puisqu'elle démarre à l'exposant $0$. D'où

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{F}{1+r}\times \frac{1}{1-\frac{1+g}{1+r}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{F}{1+r}\times \frac{1+r}{(1+r)-(1+g)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{F}{r-g}}\end{array}$$

Le multiplicateur keynésien

Un État injecte une dépense initiale $D>0$ dans l'économie, par exemple une commande publique. Cette somme devient un revenu pour ceux qui la reçoivent. Ils en consomment une fraction $c\in ]0,1[$, appelée propension marginale à consommer, et épargnent le reste. Cette consommation devient à son tour le revenu d'autres agents, qui en consomment de nouveau la fraction $c$, et ainsi de suite.

Les dépenses engendrées par vagues successives sont donc

$$D,cD,c^{2}D,c^{3}D,\dots$$

et l'effet total sur l'activité économique est la somme de la série géométrique de raison $c$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}^{n}D}& {\displaystyle =D\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{D}{1-c}}\end{array}$$

la série convergeant puisque $0<c<1$ entraîne $\mid c\mid <1$.

Erreurs classiques à ne pas commettre

Ce qu'il faut retenir

Le tableau ci-dessous rassemble les séries de référence du chapitre. Il doit être su par cœur, condition de convergence comprise.

Les quatre théorèmes à savoir énoncer sans hésiter sont les suivants.

• Condition nécessaire. Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n⟶0$. La réciproque est fausse, comme le montre la série harmonique.
• Séries à termes positifs. Une telle série converge si, et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
• Télescopage. La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ et la suite $(u_n)$ ont la même nature, et en cas de convergence la somme vaut $\mathrm{\ell }-u_{n_0}$.
• Convergence absolue. Si $\sum \mid u_n\mid$ converge, alors $\sum u_n$ converge, et $\mid \sum u_n\mid ⩽\sum \mid u_n\mid$.

Trois résultats de ce chapitre sont admis : la convergence et la somme de la série exponentielle, le critère de convergence des séries de Riemann pour $\alpha >1$ (qui sera démontré en deuxième année), et l'implication « convergence absolue donc convergence ». Tout le reste a été démontré ici, et peut vous être redemandé.