Probabilités : variables aléatoires réelles

Le chapitre de probabilités du premier semestre s'est déroulé dans un cadre volontairement étroit : l'univers $\mathrm{\Omega }$ y était fini, un événement était n'importe quelle partie de $\mathrm{\Omega }$, et toutes les sommes rencontrées étaient des sommes finies. Ce cadre a permis de tout démontrer à partir de deux axiomes, sans rien admettre, et il a suffi à établir les outils que nous allons réutiliser tels quels : le vocabulaire des événements, la formule du crible, le conditionnement, les probabilités composées, les probabilités totales, la formule de Bayes, l'indépendance, et les coefficients binomiaux avec les trois modèles de tirage. Rien de tout cela n'est redémontré ici.

Ce cadre avait pourtant deux limites, et ce chapitre les lève l'une après l'autre. La première est que certaines expériences n'ont tout simplement pas d'univers fini : si l'on répète une épreuve jusqu'à obtenir un premier succès, sans fixer à l'avance un nombre maximal d'essais, le nombre d'essais nécessaires n'est majoré par rien. Il faut donc autoriser $\mathrm{\Omega }$ à être infini, ce qui oblige à revoir la définition d'une probabilité, car des séries vont remplacer des sommes finies. La seconde limite est plus profonde : au premier semestre, on savait parler d'événements, « la pièce est défectueuse », « le client achète », mais on ne savait pas parler de nombres. On pouvait calculer la probabilité qu'un atelier connaisse au moins une panne, pas le nombre moyen de pannes par jour. C'est l'objet nouveau de ce chapitre : la variable aléatoire réelle, c'est-à-dire un nombre attaché au résultat de l'expérience. Avec elle apparaissent l'espérance et la variance, qui font entrer le calcul là où il n'y avait que des événements.

Il faut dire franchement ce qui, dans ce chapitre, sera admis. Le programme demande de ne soulever aucune difficulté théorique sur l'ensemble des événements, et il interdit explicitement d'employer le mot qui désignerait cet ensemble en théorie de la mesure. Concrètement, quatre choses sont admises et ne vous seront jamais demandées : que les ensembles manipulés dans un exercice sont bien des événements ; qu'une application donnée est bien une variable aléatoire ; le théorème de transfert ; la linéarité et la positivité de l'espérance. Ce n'est pas de la paresse pédagogique, c'est que les démonstrations correspondantes réclament des outils de niveau master. Tout le reste, y compris les espérances et les variances des six lois usuelles, est démontré intégralement dans ce cours, et peut vous être redemandé.

Le plan suit l'ordre du programme. On construit d'abord l'espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ sur un univers quelconque et l'on y transporte toutes les formules du premier semestre. On définit ensuite les variables aléatoires réelles et les événements qu'elles engendrent. Vient le cas des variables discrètes, leur loi, et la loi d'une transformée $Y=g(X)$. On étudie alors les moments : espérance, théorème de transfert, variance, écart-type, variable centrée réduite. Les deux dernières parties sont les plus utilisées en exercice : les lois usuelles finies, à savoir la loi certaine, la loi de Bernoulli, la loi uniforme et la loi binomiale, puis les lois usuelles infinies, à savoir la loi géométrique et la loi de Poisson.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Une mise en garde typographique avant de commencer : la lettre $P$ droite désigne la probabilité, alors que la lettre calligraphiée $\mathcal{P}$ désigne la loi de Poisson. Écrire $P(\lambda )$ pour une loi de Poisson est une faute de notation qui rend la copie illisible.

Espace probabilisé

Quand l'univers n'est plus fini

Commençons par une expérience que le cadre du premier semestre ne sait pas décrire.

Deux conséquences en découlent. D'une part, les réunions que l'on va former ne sont plus finies : l'événement « le commercial finit par signer » est la réunion des $\{{\omega }_k\}$ pour $k$ décrivant ${\mathbb{N}}^{\ast }$, c'est-à-dire une réunion dénombrable. D'autre part, les sommes de probabilités qui vont apparaître seront des séries, dont il faudra assurer la convergence. C'est exactement ce que la nouvelle définition d'une probabilité va prendre en charge.

L'ensemble des événements

Lorsque $\mathrm{\Omega }$ est fini, on prend pour événements toutes les parties de $\mathrm{\Omega }$, et il n'y a rien à dire. Lorsque $\mathrm{\Omega }$ est infini, ce choix n'est plus toujours possible : on se donne alors un ensemble $\mathcal{A}$ de parties de $\mathrm{\Omega }$, appelé ensemble des événements, dont on exige seulement les propriétés de stabilité nécessaires aux calculs.

Comme le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, la stabilité par intersection dénombrable et par passage au complémentaire entraîne la stabilité par réunion dénombrable : si $A_0,A_1,A_2,\dots$ sont des événements, alors ${\bigcup }_{n⩾0}{A}_n$ en est un. C'est cette dernière stabilité que nous utiliserons en permanence.

Le programme est explicite sur deux points, et ce cours s'y tient. D'abord, cet ensemble se nomme toujours « l'ensemble des événements $\mathcal{A}$ », et jamais autrement : le vocabulaire de la théorie de la mesure n'a pas cours ici. Ensuite, aucune difficulté théorique ne sera soulevée sur cet ensemble : on ne vous demandera jamais de vérifier qu'une partie de $\mathrm{\Omega }$ est un événement, et vous pouvez considérer que tout ce que vous manipulerez dans un exercice, en particulier tous les ensembles du type $[X=k]$ ou $[X⩽k]$, en est un. Lorsque $\mathrm{\Omega }$ est fini ou dénombrable, on prendra d'ailleurs simplement pour $\mathcal{A}$ l'ensemble de toutes les parties de $\mathrm{\Omega }$, et la question ne se pose plus.

Probabilité sur un univers quelconque

Le seul changement par rapport au premier semestre tient dans le second axiome : l'additivité, qui portait sur deux événements incompatibles, porte maintenant sur une famille dénombrable d'événements deux à deux incompatibles. Tout le reste est identique, et toutes les propriétés de calcul du premier semestre restent valables, comme le montrent les démonstrations qui suivent.

Démonstration. a. Considérons la suite constante $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $A_n=\mathrm{\varnothing }$ pour tout $n$. Ces événements sont deux à deux incompatibles, puisque $\mathrm{\varnothing }\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$, et leur réunion vaut $\mathrm{\varnothing }$. L'axiome d'additivité dénombrable affirme donc que la série $\sum P(\mathrm{\varnothing })$ converge, et que sa somme vaut $P(\mathrm{\varnothing })$. Or une série dont le terme général est constant ne converge que si cette constante est nulle. D'où $P(\mathrm{\varnothing })=0$.

b. Soient $A_1,\dots ,A_n$ deux à deux incompatibles. Complétons cette famille finie en une suite en posant $A_i=\mathrm{\varnothing }$ pour tout $i>n$. Les événements de cette suite restent deux à deux incompatibles et leur réunion est inchangée. L'additivité dénombrable donne

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}P(A_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)+\sum _{i>n}P(\mathrm{\varnothing })=\sum _{i=1}^{n}P(A_i),$$

puisque tous les termes ajoutés sont nuls d'après a.

c. Les événements $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles et leur réunion vaut $\mathrm{\Omega }$. L'additivité finie, puis la normalisation, donnent $P(A)+P\left(\bar{A}\right)=P(\mathrm{\Omega })=1$.

d. Supposons $A\subset B$. Alors $B$ est la réunion des deux événements incompatibles $A$ et $B\cap \bar{A}$, donc $P(B)=P(A)+P(B\cap \bar{A})$. Comme une probabilité est à valeurs dans $[0,1]$, le second terme est positif, d'où $P(A)⩽P(B)$.

e. Décomposons la réunion en deux morceaux incompatibles : $A\cup B=A\cup (B\cap \bar{A})$, d'où $P(A\cup B)=P(A)+P(B\cap \bar{A})$. Par ailleurs $B$ est la réunion des deux événements incompatibles $B\cap A$ et $B\cap \bar{A}$, donc $P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(A\cap B)$. En reportant, on obtient la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Autrement dit, aucune des règles de calcul du premier semestre n'est perdue. Ce qui est gagné, c'est le droit d'additionner une infinité dénombrable de probabilités, ce que le paragraphe suivant met immédiatement à profit.

Événements négligeables et événements presque sûrs

Sur un univers fini muni d'une probabilité qui charge tous les résultats, un événement de probabilité nulle est nécessairement vide. Ce n'est plus vrai dès que $\mathrm{\Omega }$ est infini, et c'est le premier changement de mentalité que ce chapitre demande.

Piège. L'implication « $P(A)=0$ donc $A=\mathrm{\varnothing }$ », parfaitement licite au premier semestre, devient fausse ici. On ne peut donc plus conclure qu'un événement est impossible à partir de sa probabilité, ni qu'il est certain à partir d'une probabilité égale à $1$.

Systèmes complets d'événements

C'est mot pour mot la définition du premier semestre, à ceci près que $I$ a le droit d'être infini. L'idée reste la même : un système complet découpe $\mathrm{\Omega }$ en morceaux qui ne se chevauchent pas et qui ne laissent rien de côté, de sorte que un et un seul des $A_i$ est réalisé, quel que soit le résultat de l'expérience.

Démonstration. Les $A_i$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion vaut $\mathrm{\Omega }$. L'additivité finie si $I$ est fini, l'additivité dénombrable si $I$ est infini, donnent

$$\sum _{i\in I}P(A_i)=P\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=P(\mathrm{\Omega })=1.\mathrm{\square }$$

Probabilité conditionnelle et probabilités composées

La définition est celle du premier semestre, et l'on admet, comme alors, que l'application $P_A$ est elle-même une probabilité sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A})$ : elle en vérifie les deux axiomes, l'additivité dénombrable se déduisant de celle de $P$ en divisant par $P(A)$. Toutes les formules de calcul s'appliquent donc à $P_A$, en particulier $P_A\left(\bar{B}\right)=1-P_A(B)$.

Piège. L'hypothèse $P(A)\mathrm{\ne }0$ n'est pas décorative. Écrire $P_A(B)$ sans avoir vérifié que $P(A)\mathrm{\ne }0$ est une faute de rédaction, et sur un univers infini la vérification est moins évidente qu'il n'y paraît, puisqu'un événement non vide peut être de probabilité nulle.

Démonstration. L'hypothèse rend d'abord tous les conditionnements licites : pour $1⩽k⩽n-1$, on a l'inclusion $A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}\subset A_1\cap \cdots \cap A_k$, donc par croissance $P(A_1\cap \cdots \cap A_k)⩾P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})>0$.

Le membre de droite s'écrit alors, en remplaçant chaque probabilité conditionnelle par sa définition,

$$P(A_1)\times {\displaystyle \frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}}\times {\displaystyle \frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}}\times \cdots \times {\displaystyle \frac{P(A_1\cap \cdots \cap A_n)}{P(A_1\cap \cdots \cap A_{n-1})}}\mathrm{.}$$

Chaque numérateur se simplifie avec le dénominateur du facteur suivant : le produit se télescope et il ne reste que $P(A_1\cap \cdots \cap A_n)$. $\mathrm{\square }$

C'est la formule des expériences en chaîne : chaque facteur est la probabilité de l'étape suivante, sachant tout ce qui s'est passé avant. Elle sera utilisée telle quelle pour construire la loi géométrique.

Formule des probabilités totales et formule de Bayes

Démonstration. Puisque la réunion des $A_i$ vaut $\mathrm{\Omega }$, la distributivité de l'intersection sur la réunion donne

$$B=B\cap \mathrm{\Omega }=B\cap \left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}(B\cap A_i)\mathrm{.}$$

Ces événements sont deux à deux incompatibles, car pour $i\mathrm{\ne }j$ on a $(B\cap A_i)\cap (B\cap A_j)\subset A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$. L'axiome d'additivité dénombrable s'applique donc : la série converge et sa somme vaut $P(B)$.

Si tous les $A_i$ sont de probabilité non nulle, la formule des probabilités composées donne $P(B\cap A_i)=P(A_i)P_{A_i}(B)$ pour chaque indice, d'où la seconde écriture. $\mathrm{\square }$

Lorsque certains $A_i$ sont de probabilité nulle, la première écriture reste valable telle quelle : les termes correspondants sont nuls, puisque $B\cap A_i\subset A_i$ entraîne $P(B\cap A_i)⩽P(A_i)=0$. On peut donc toujours se ramener à la seconde écriture en ne conservant que les indices pour lesquels $P(A_i)\mathrm{\ne }0$.

Démonstration. La définition de la probabilité conditionnelle donne $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$, et les probabilités composées donnent $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ : c'est la première formule. Pour la seconde, on l'applique avec $A=A_j$ et l'on remplace $P(B)$ par son expression donnée par la formule des probabilités totales. $\mathrm{\square }$

Indépendance d'événements

La nouveauté du chapitre est la troisième définition, et il faut en lire le détail : l'indépendance mutuelle d'une suite infinie ne fait intervenir que des intersections finies. On ne demande rien sur les intersections infinies, et c'est heureux, car les produits infinis ne sont pas au programme.

On admet, comme au premier semestre, que l'indépendance mutuelle est stable par passage au contraire : si les $A_n$ sont mutuellement indépendants, la famille obtenue en remplaçant certains $A_n$ par leur contraire l'est encore. C'est ce résultat, démontré au premier semestre dans le cas fini, qui autorise le calcul suivant, lequel servira à construire la loi géométrique et la loi binomiale.

Généralités sur les variables aléatoires réelles

Définition

Cette définition demande simplement que les ensembles de la forme « $X$ ne dépasse pas $x$ » soient des événements, faute de quoi il serait impossible de leur attribuer une probabilité. Conformément au programme, démontrer qu'une application est une variable aléatoire n'est pas exigible : on ne vous le demandera jamais, et vous pouvez toujours admettre que les applications rencontrées dans les exercices en sont.

Une variable aléatoire est un nombre, pas une probabilité

C'est la confusion numéro un du chapitre, et elle coûte très cher, alors autant l'écrire en toutes lettres : une variable aléatoire est un nombre attaché au résultat de l'expérience. Si l'expérience consiste à prélever dix pièces et si $X$ compte les pièces défectueuses, alors $X$ prend l'une des valeurs $0,1,\dots ,10$ selon le résultat obtenu. Une valeur de $X$ n'a aucune raison d'appartenir à $[0,1]$, elle peut être négative, elle peut valoir $1500$ s'il s'agit d'un chiffre d'affaires.

Trois écritures sont donc absurdes et doivent disparaître de vos copies :

• « $P(X)$ » : $X$ n'est pas un événement, on ne prend pas sa probabilité. On écrit $P(X=3)$, $P(X⩽3)$, $P(X\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.
• « $X=\mathrm{0,3}$ » pour dire que la probabilité vaut $\mathrm{0,3}$ : la bonne écriture est $P(X=k)=\mathrm{0,3}$.
• « la variable aléatoire $P$ » : la lettre $P$ est réservée à la probabilité.

Le mot « aléatoire » ne signifie d'ailleurs pas que $X$ est capricieuse : $X$ est une application, parfaitement déterminée, qui à chaque résultat $\omega$ associe le nombre $X(\omega )$. C'est le résultat $\omega$ qui est aléatoire, pas la règle qui lui associe un nombre.

Les événements associés à une variable aléatoire

Ces objets sont des événements : ce sont des parties de $\mathrm{\Omega }$, et l'on admet qu'elles appartiennent à $\mathcal{A}$. Ils obéissent donc à toutes les règles de la première partie, en particulier au passage au contraire et à la formule du crible.

Piège. L'inégalité stricte et l'inégalité large ne décrivent pas le même événement, mais pour une variable à valeurs entières on peut passer de l'une à l'autre : $[X>4]=[X⩾5]$ et $[X<4]=[X⩽3]$. Ce passage est faux pour une variable qui prendrait des valeurs non entières, et il faut donc l'avoir justifié par la phrase « $X$ est à valeurs entières ».

L'ensemble des valeurs prises

Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ est toujours la première question à traiter dans un exercice, avant tout calcul, et cela se rédige en une phrase justifiée. Si $X$ compte les pièces défectueuses parmi $10$, alors $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,10]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ ; si $X$ est le rang du premier succès dans une répétition non bornée, alors $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$ ; si $X$ est un gain algébrique, $X(\mathrm{\Omega })$ peut contenir des nombres négatifs.

Le système complet associé à une variable aléatoire

Démonstration. Vérifions les deux points de la définition.

Incompatibilité deux à deux. Soient $x$ et $y$ deux valeurs distinctes de $X(\mathrm{\Omega })$. Si un résultat $\omega$ appartenait à $[X=x]\cap [X=y]$, on aurait à la fois $X(\omega )=x$ et $X(\omega )=y$, donc $x=y$, ce qui est exclu. L'intersection est donc vide.

Réunion égale à $\mathrm{\Omega }$. Chaque $[X=x]$ est inclus dans $\mathrm{\Omega }$, donc leur réunion aussi. Réciproquement, soit $\omega \in \mathrm{\Omega }$ ; le nombre $X(\omega )$ est par définition un élément de $X(\mathrm{\Omega })$, donc $\omega$ appartient à $[X=X(\omega )]$, qui est l'un des événements de la famille. La réunion contient donc $\mathrm{\Omega }$. $\mathrm{\square }$

Ce résultat, dont la démonstration tient en deux lignes, est l'outil le plus utilisé de tout le chapitre. C'est sur ce système complet que l'on conditionne dès qu'un problème comporte deux étapes dont la première produit un nombre : on tire d'abord un nombre de clients, de dés, d'appels, et le comportement de la deuxième étape dépend de ce nombre. La formule des probabilités totales s'écrit alors

$$P(B)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}P(X=x)P_{[X=x]}(B),$$

sous réserve que les $P(X=x)$ soient non nuls, et c'est la méthode reine des problèmes de concours.

Variables aléatoires discrètes

Définition

Toutes les variables aléatoires de la première année sont discrètes, et la plupart sont même à valeurs entières. Les variables dont l'ensemble des valeurs est un intervalle, dites à densité, sont au programme de deuxième année.

Loi d'une variable aléatoire discrète

Démonstration. La positivité est immédiate : une probabilité appartient à $[0,1]$. Pour la somme, la famille ${([X=x])}_{x\in X(\mathrm{\Omega })}$ est un système complet d'événements d'après la propriété précédente, et la somme des probabilités d'un système complet vaut $1$. Lorsque $X(\mathrm{\Omega })$ est infini, on numérote ses valeurs $x_0,x_1,x_2,\dots$ et l'on applique l'additivité dénombrable à la suite ${([X=x_n])}_{n\in \mathbb{N}}$ : la série converge et sa somme vaut $P(\mathrm{\Omega })=1$. $\mathrm{\square }$

La réciproque est vraie, et c'est elle que les exercices utilisent : toute famille de réels positifs de somme $1$ est la loi d'une variable aléatoire. Plus précisément, si $(p_x{)}_{x\in E}$ est une famille de réels positifs indexée par une partie finie ou dénombrable $E$ de $\mathbb{R}$, avec ${\sum }_{x\in E}{p}_x=1$, alors il existe une variable aléatoire $X$ telle que $X(\mathrm{\Omega })=E$ et $P(X=x)=p_x$ pour tout $x$. On admet ce résultat, dont la démonstration relève de la construction des espaces probabilisés.

Loi d'une variable transformée

Si $X$ est une variable aléatoire et $g$ une fonction définie sur $X(\mathrm{\Omega })$, alors $Y=g(X)$, définie par $Y(\omega )=g(X(\omega ))$, est encore une variable aléatoire, ce que l'on admet. Sa loi se déduit de celle de $X$ par regroupement des antécédents.

Démonstration. L'événement $[Y=y]$ est l'ensemble des $\omega$ tels que $g(X(\omega ))=y$, c'est-à-dire tels que $X(\omega )$ appartienne à l'ensemble des antécédents de $y$ par $g$ situés dans $X(\mathrm{\Omega })$. Il est donc la réunion des événements $[X=x]$ pour ces valeurs $x$, réunion d'événements deux à deux incompatibles. L'additivité donne la formule. $\mathrm{\square }$

Moments d'une variable aléatoire discrète

Espérance : le cas fini

L'espérance est une moyenne pondérée des valeurs possibles, chacune étant affectée du poids que la loi lui attribue. Elle a la même forme que la moyenne d'une série statistique du premier semestre,

$$\bar{x}=\sum _{j=1}^r{f}_j{v}_j,$$

les fréquences $f_j$ étant remplacées par les probabilités $P(X=x)$. La différence est de nature, et il ne faut jamais la perdre de vue : $\bar{x}$ se calcule sur des données observées, $E(X)$ se calcule sur un modèle. La première est un résumé du passé, la seconde une prévision théorique.

Interprétation concrète : si l'on répétait un très grand nombre de fois l'expérience, la moyenne des valeurs relevées se stabiliserait autour de $E(X)$. Cette phrase est une intuition, pas un théorème ; l'énoncé précis, la loi des grands nombres, est au programme de deuxième année.

Espérance : le cas infini et la condition d'existence

Lorsque $X(\mathrm{\Omega })$ est infini, la somme précédente devient une série, et une série peut diverger. L'espérance n'est donc plus automatiquement définie : son existence doit être établie avant tout calcul.

L'exigence de convergence absolue, et non de simple convergence, a une raison précise : elle garantit que la somme ne dépend pas de l'ordre dans lequel on numérote les valeurs de $X(\mathrm{\Omega })$. Or cette numérotation est arbitraire, et une espérance qui changerait de valeur selon l'ordre choisi n'aurait aucun sens. En pratique, lorsque $X$ est à valeurs positives, ce qui est le cas de presque toutes les variables de comptage, convergence et convergence absolue sont la même chose, et il suffit d'étudier la convergence de $\sum x_{n}P(X=x_n)$.

Piège. Dans un exercice où $X(\mathrm{\Omega })$ est infini, la question « calculer $E(X)$ » se traite toujours en deux temps : d'abord une phrase qui justifie l'existence en nommant la série de référence utilisée, ensuite seulement le calcul de la somme. Une copie qui calcule sans justifier perd des points même si le résultat est juste.

Théorème de transfert

L'intérêt de ce théorème est considérable : il permet de calculer $E(g(X))$ sans déterminer la loi de $g(X)$, en travaillant uniquement avec la loi de $X$. Toute la suite du chapitre en dépend, à commencer par le calcul des variances.

Linéarité et positivité

Le point b ne fait pas intervenir deux variables aléatoires différentes : la quantité $ag(X)+bh(X)$ est encore une fonction de la seule variable $X$, à savoir $k(X)$ avec $k=ag+bh$. C'est important, car l'espérance d'une somme de deux variables aléatoires distinctes relève du chapitre de deuxième année sur les couples, et n'est pas disponible ici. Toutes les manipulations de ce cours restent à l'intérieur d'une même variable.

En prenant $g$ constante égale à $c$ dans le théorème de transfert, on obtient au passage $E(c)=c$ pour toute constante $c$ : l'espérance d'une variable certaine est sa valeur.

Démonstration. Posons $k=h-g$. La fonction $k$ est positive sur $X(\mathrm{\Omega })$, donc la variable $k(X)$ est à valeurs positives, et elle admet une espérance par linéarité. La positivité donne $E(k(X))⩾0$, et la linéarité donne $E(k(X))=E(h(X))-E(g(X))$. D'où l'inégalité.

Pour l'encadrement, on applique ce qui précède aux fonctions constantes $x\mapsto m$ et $x\mapsto M$, qui encadrent $x\mapsto x$ sur $X(\mathrm{\Omega })$, en utilisant $E(m)=m$ et $E(M)=M$. $\mathrm{\square }$

L'encadrement final est un contrôle gratuit que l'on doit prendre l'habitude d'effectuer : une espérance sort toujours entre la plus petite et la plus grande des valeurs possibles. Une espérance de $7$ pour une variable à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ signale une erreur de calcul, sans même relire le détail.

Variable centrée

Démonstration. Notons $m=E(X)$, qui est un réel, pas une variable. La variable $X-m$ est de la forme $aX+b$ avec $a=1$ et $b=-m$, donc elle admet une espérance et, par linéarité,

$$E(X-m)=E(X)-m=m-m=0.\mathrm{\square }$$

Piège. $E(X)$ est un nombre fixe, calculé une fois pour toutes. Écrire « $E(E(X))$ » n'a de sens qu'en considérant $E(X)$ comme une variable certaine, auquel cas $E(E(X))=E(X)$. Et surtout, $E(X)$ ne dépend pas de $\omega$ : c'est la constante que l'on retranche à $X$ pour la centrer.

Variance et écart-type

La variance est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne : elle mesure la dispersion de la variable autour de son espérance. Elle est toujours positive, comme espérance d'une variable positive, ce qui légitime la racine carrée. Si $X$ s'exprime en euros, $V(X)$ s'exprime en euros au carré alors que $\sigma (X)$ s'exprime en euros : c'est l'écart-type, et non la variance, qui se compare directement aux valeurs de $X$ et à son espérance.

Démonstration. Établissons d'abord la seconde affirmation. Pour tout réel $x$ on a $\mid x\mid ⩽1+x^2$ : c'est clair si $\mid x\mid ⩽1$, puisqu'alors $\mid x\mid ⩽1$ ; et si $\mid x\mid >1$, alors $\mid x\mid ⩽x^2⩽1+x^2$. En multipliant par $P(X=x)$ et en sommant, les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum \mid x\mid P(X=x)$ sont majorées par $1+E\left(X^2\right)$. Une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées converge : $X$ admet donc une espérance.

Venons-en à l'équivalence, et notons $m=E(X)$. Si $X$ admet une variance, alors $(X-m{)}^2$ admet une espérance, et l'identité $x^2=(x-m{)}^2+2mx-m^2$ donne, par linéarité appliquée à ces fonctions de la seule variable $X$, l'existence de $E\left(X^2\right)$. Réciproquement, si $X^2$ admet une espérance, alors $X$ en admet une d'après ce qui précède, et l'identité $(x-m{)}^2=x^2-2mx+m^2$ donne de même l'existence de $E((X-m{)}^2)$ : $X$ admet une variance. $\mathrm{\square }$

Retenez la conséquence pratique : dans un exercice, on établit l'existence de $E\left(X^2\right)$, et l'existence de $E(X)$ suit. Il est donc inutile, et même maladroit, de traiter les deux existences séparément quand la seconde découle de la première.

Démonstration. Notons $m=E(X)$. Le théorème de transfert appliqué à la fonction $g:x\mapsto (x-m{)}^2$ donne

$$V(X)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}(x-m{)}^{2}P(X=x)\mathrm{.}$$

Développons le carré, en gardant à l'esprit que $m$ est une constante :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle =\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}(x^2-2mx+m^2)P(X=x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}{x}^{2}P(X=x)-2m\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}xP(X=x)+m^2\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}P(X=x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E\left(X^2\right)-2m\times m+m^2\times 1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E\left(X^2\right)-m^2\mathrm{.}}\end{array}$$

La deuxième égalité est la linéarité, licite car les trois séries convergent absolument ; la troisième utilise le théorème de transfert pour la première somme, la définition de l'espérance pour la deuxième, et le fait que les probabilités d'une loi ont pour somme $1$ pour la troisième. $\mathrm{\square }$

C'est toujours cette formule que l'on utilise pour un calcul numérique : elle évite de soustraire l'espérance à chaque valeur, ce qui multiplierait les erreurs. La définition, elle, sert aux démonstrations.

Démonstration. La variable $(X-m{)}^2$ est à valeurs positives, donc son espérance est positive par positivité : $V(X)⩾0$. L'inégalité annoncée est alors la formule de Kœnig-Huygens réécrite. $\mathrm{\square }$

Variance d'une transformée affine

Démonstration. Notons $m=E(X)$ et $Y=aX+b$. La linéarité donne $E(Y)=am+b$, donc

$$Y-E(Y)=aX+b-(am+b)=a(X-m)\mathrm{.}$$

En élevant au carré, ${(Y-E(Y))}^2=a^2(X-m{)}^2$. Cette variable est une fonction de $X$, et elle admet une espérance puisque $(X-m{)}^2$ en admet une. La linéarité donne alors

$$V(Y)=E(a^2(X-m{)}^2)=a^{2}E((X-m{)}^2)=a^{2}V(X)\mathrm{.}$$

En prenant la racine carrée, et puisque $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$, on obtient $\sigma (aX+b)=\mid a\mid \sigma (X)$. $\mathrm{\square }$

Deux lectures de ce résultat. D'abord, la variance ne voit pas les translations : ajouter $b$ à toutes les valeurs déplace la variable en bloc sans modifier sa dispersion, donc $V(X+b)=V(X)$. Ensuite, un changement d'unité multiplie l'écart-type par le même facteur : passer d'euros à centimes multiplie $\sigma$ par $100$ et $V$ par $10000$.

Piège. Le carré du coefficient est la faute classique : $V(3X)=9V(X)$, et non $3V(X)$. Et la valeur absolue est indispensable dans la formule sur l'écart-type, car un écart-type est positif : $\sigma (-2X)=2\sigma (X)$.

Variance nulle et loi certaine

Démonstration. Sens direct, le plus simple. Supposons que $X$ soit la variable certaine égale à $c$, c'est-à-dire $P(X=c)=1$. Alors $E(X)=c\times 1=c$, puis $V(X)=E((X-c{)}^2)=0\times 1=0$, puisque la variable $(X-c{)}^2$ ne prend que la valeur $0$.

Réciproque. Supposons $V(X)=0$ et notons $m=E(X)$. Par transfert,

$$0=V(X)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}(x-m{)}^{2}P(X=x),$$

somme de termes tous positifs. Une somme de réels positifs, finie ou somme d'une série convergente, est nulle si et seulement si tous ses termes sont nuls. Donc pour toute valeur $x$ de $X(\mathrm{\Omega })$, on a $(x-m{)}^{2}P(X=x)=0$, c'est-à-dire $x=m$ ou $P(X=x)=0$. Toutes les valeurs différentes de $m$ sont donc de probabilité nulle, et comme la somme de toutes les probabilités vaut $1$, il reste $P(X=m)=1$. $\mathrm{\square }$

Une nuance honnête, propre au cas infini : la conclusion est que $X$ vaut $m$ presque sûrement, et non que $X$ est constante en tant qu'application. Comme on l'a vu, un événement négligeable n'est pas forcément impossible, donc $X$ peut prendre d'autres valeurs, mais seulement sur un ensemble de probabilité nulle. Lorsque $X(\mathrm{\Omega })$ est fini et que toutes ses valeurs sont de probabilité non nulle, ce qui est la situation habituelle, la conclusion est bien que $X$ est la variable certaine égale à $m$.

Variable centrée réduite

Démonstration. Notons $m=E(X)$ et $\sigma =\sigma (X)$, avec $\sigma >0$. La variable $X^{\ast }$ s'écrit $aX+b$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$ et $b=-{\displaystyle \frac{m}{\sigma }}$. La linéarité donne

$$E\left(X^{\ast }\right)={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}E(X)-{\displaystyle \frac{m}{\sigma }}={\displaystyle \frac{m-m}{\sigma }}=0,$$

et la formule de la variance d'une transformée affine donne

$$V\left(X^{\ast }\right)={\left({\displaystyle \frac{1}{\sigma }}\right)}^{2}V(X)={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2}}=1,$$

puisque $V(X)={\sigma }^2$ par définition de l'écart-type. $\mathrm{\square }$

Centrer et réduire, c'est effacer l'unité et le niveau : quelle que soit la variable de départ, $X^{\ast }$ est sans dimension, de moyenne nulle et d'écart-type $1$. C'est ce qui permet de comparer des grandeurs qui n'ont rien à voir, par exemple un chiffre d'affaires en euros et un nombre de réclamations. L'hypothèse $\sigma (X)\mathrm{\ne }0$ est indispensable : d'après le paragraphe précédent, elle revient à exclure le cas où $X$ est presque sûrement constante, cas dans lequel il n'y a de toute façon rien à réduire.

Lois usuelles finies

Loi certaine

Démonstration. La somme définissant l'espérance se réduit à un terme : $E(X)=c\times 1=c$. Le transfert donne ensuite $E\left(X^2\right)=c^2\times 1=c^2$, d'où $V(X)=c^2-c^2=0$ par Kœnig-Huygens. La réciproque a été démontrée à la partie précédente. $\mathrm{\square }$

La loi certaine est le cas dégénéré du chapitre, mais la caractérisation par la variance nulle est un vrai résultat, régulièrement demandé : « montrer que si $V(X)=0$ alors $X$ est certaine ».

Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement, que l'on convient d'appeler succès et échec. C'est le modèle de toute question fermée : le client achète ou n'achète pas, la pièce est conforme ou défectueuse, le candidat réussit ou échoue.

C'est bien une loi de probabilité : les deux nombres $p$ et $1-p$ sont positifs puisque $p\in [0,1]$, et leur somme vaut $1$.

Démonstration. L'ensemble $X(\mathrm{\Omega })$ est fini, donc l'existence est acquise. Par définition de l'espérance,

$$E(X)=0\times (1-p)+1\times p=p\mathrm{.}$$

Le théorème de transfert avec $g:x\mapsto x^2$ donne

$$E\left(X^2\right)=0^2\times (1-p)+1^2\times p=p,$$

ce qui n'a rien d'étonnant puisque $0^2=0$ et $1^2=1$ : la variable $X^2$ est égale à $X$. La formule de Kœnig-Huygens donne alors

$$V(X)=p-p^2=p(1-p)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. L'événement $[{\mathbf{1}}_A=1]$ est exactement $A$ et l'événement $[{\mathbf{1}}_A=0]$ est exactement $\bar{A}$, d'après la définition. Donc $P({\mathbf{1}}_A=1)=P(A)$, ce qui est la définition de la loi $\mathcal{B}(P(A))$. Les deux formules suivent de la propriété précédente. $\mathrm{\square }$

L'égalité $E\left({\mathbf{1}}_A\right)=P(A)$ est le pont entre les événements et les nombres : elle dit qu'une probabilité est une espérance déguisée, et c'est elle qui permettra, en deuxième année, de démontrer des résultats sur les probabilités en passant par des espérances.

Loi uniforme sur un intervalle d'entiers

L'entier $n=b-a+1$ est le nombre d'entiers de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ : il faut compter les deux bornes, et l'oubli du « $+1$ » est l'erreur la plus fréquente sur cette loi. C'est bien une loi de probabilité, puisque l'on additionne $n$ termes tous égaux à ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, ce qui donne $1$.

Traitons d'abord le cas $a=1$, qui sert de brique de base.

Démonstration. L'ensemble des valeurs est fini, donc l'existence est acquise. En utilisant la somme des $n$ premiers entiers,

$$E(X)=\sum _{k=1}^{n}k\times {\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}\mathrm{.}$$

Le théorème de transfert et la somme des carrés des $n$ premiers entiers donnent

$$E\left(X^2\right)=\sum _{k=1}^n{k}^2\times {\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\mathrm{.}$$

La formule de Kœnig-Huygens donne alors

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}-{\left({\displaystyle \frac{n+1}{2}}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)({\displaystyle \frac{2n+1}{6}}-{\displaystyle \frac{n+1}{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\times {\displaystyle \frac{2(2n+1)-3(n+1)}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\times {\displaystyle \frac{4n+2-3n-3}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(n-1)}{12}}={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $n=b-a+1$ et $Y=X-a+1$. La fonction $x\mapsto x-a+1$ est affine de coefficient directeur $1$, donc injective : la loi de $Y$ se déduit de celle de $X$ par simple transport. Comme $X$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la variable $Y$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P(Y=k)=P(X=k+a-1)={\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$

Ainsi $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$, et la propriété précédente s'applique à $Y$.

Comme $X=Y+a-1$, la linéarité de l'espérance donne

$$E(X)=E(Y)+a-1={\displaystyle \frac{n+1}{2}}+a-1={\displaystyle \frac{b-a+2}{2}}+a-1={\displaystyle \frac{b-a+2+2a-2}{2}}={\displaystyle \frac{a+b}{2}},$$

et la formule donnant la variance d'une transformée affine, appliquée avec un coefficient directeur égal à $1$, donne

$$V(X)=V(Y)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}={\displaystyle \frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Cette rédaction, qui ramène le cas général au cas $a=1$ par une translation, est la rédaction attendue : refaire les sommes en partant de $a$ est possible, mais nettement plus lourd et beaucoup plus exposé aux erreurs de calcul.

Loi binomiale

Les trois mots comptent, et il faut les vérifier un par un avant d'invoquer une loi binomiale : les épreuves sont au nombre de $n$ fixé à l'avance, elles sont identiques, c'est-à-dire de même probabilité de succès, et elles sont indépendantes. Un tirage sans remise dans une urne ne relève donc jamais du schéma de Bernoulli, puisque la composition de l'urne change d'un tirage à l'autre.

Démonstration. Modélisons l'expérience par l'univers $\mathrm{\Omega }=\{S,E{\}}^n$, dont les éléments sont les mots de $n$ lettres formés de $S$ (succès) et de $E$ (échec) : un tel mot décrit complètement le déroulement des $n$ épreuves. Notons $S_i$ l'événement « la $i$-ème épreuve donne un succès », de probabilité $p$, les $n$ événements $S_1,\dots ,S_n$ étant mutuellement indépendants par hypothèse.

Probabilité d'un mot fixé. Soit $w$ un mot comportant exactement $k$ lettres $S$, aux positions $i_1,\dots ,i_k$, et donc $n-k$ lettres $E$ aux autres positions. L'événement « le déroulement est exactement $w$ » est l'intersection des $S_i$ pour $i$ dans les positions de succès et des $\overline{S_i}$ pour les autres. L'indépendance mutuelle, stable par passage au contraire, donne

$$P(\{w\})=p^k(1-p{)}^{n-k},$$

quantité qui ne dépend que du nombre de succès, pas de leurs positions.

Dénombrement. L'événement $[X=k]$ est la réunion des $\{w\}$ pour tous les mots $w$ comportant exactement $k$ lettres $S$. Se donner un tel mot, c'est se donner l'ensemble des $k$ positions occupées par les succès parmi les $n$ positions disponibles, donc une partie à $k$ éléments de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ : il y a $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ mots de ce type.

Conclusion. Ces événements élémentaires sont deux à deux incompatibles, donc leurs probabilités s'additionnent :

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Les termes sont positifs, et la formule du binôme de Newton, appliquée aux deux réels $p$ et $1-p$, donne

$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}={(p+(1-p))}^n=1^n=1.\mathrm{\square }$$

Avant de calculer l'espérance, isolons les deux identités de calcul qui rendent tout possible.

Démonstration. Pour la première, on part de la formule explicite du coefficient binomial :

$$k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=k\times {\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}={\displaystyle \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}}=n\times {\displaystyle \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}}=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right),$$

où l'on a simplifié ${\displaystyle \frac{k}{k!}}={\displaystyle \frac{1}{(k-1)!}}$ et remarqué que $n-k=(n-1)-(k-1)$.

Pour la seconde, on procède de même :

$$k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=k(k-1)\times {\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}={\displaystyle \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}}=n(n-1)\times {\displaystyle \frac{(n-2)!}{(k-2)!((n-2)-(k-2))!}},$$

c'est-à-dire $n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)$, puisque $n-k=(n-2)-(k-2)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $q=1-p$. L'ensemble $X(\mathrm{\Omega })$ est fini, donc l'espérance et la variance existent.

Espérance. Le terme d'indice $k=0$ est nul, on peut donc démarrer la somme à $k=1$ et appliquer la première identité :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)p^k{q}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =np\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)p^{k-1}{q}^{n-k}\mathrm{.}}\end{array}$$

Posons $j=k-1$, de sorte que $j$ décrit $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et que $n-k=(n-1)-j$ :

$$E(X)=np\sum _{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{j}\right)p^j{q}^{(n-1)-j}=np(p+q{)}^{n-1}=np,$$

la dernière égalité venant de la formule du binôme et de $p+q=1$.

Moment factoriel d'ordre deux. Le théorème de transfert appliqué à $g:x\mapsto x(x-1)$ donne, les termes d'indices $0$ et $1$ étant nuls,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X(X-1))}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=2}^{n}n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)p^k{q}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(n-1)p^2\sum _{k=2}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)p^{k-2}{q}^{n-k}\mathrm{.}}\end{array}$$

Le changement d'indice $j=k-2$ donne, avec $n-k=(n-2)-j$,

$$E(X(X-1))=n(n-1)p^2\sum _{j=0}^{n-2}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{j}\right)p^j{q}^{(n-2)-j}=n(n-1)p^2(p+q{)}^{n-2}=n(n-1)p^2\mathrm{.}$$

Variance. Comme $x^2=x(x-1)+x$ pour tout réel $x$, la linéarité appliquée à ces deux fonctions de la même variable $X$ donne

$$E\left(X^2\right)=E(X(X-1))+E(X)=n(n-1)p^2+np\mathrm{.}$$

La formule de Kœnig-Huygens conclut :

$$V(X)=n(n-1)p^2+np-(np{)}^2=n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2=np-n{p}^2=np(1-p)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Un chemin interdit à ce stade. Vous rencontrerez dans certains ouvrages l'argument « une binomiale est une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, donc son espérance est $np$ ». Cet argument est correct, mais il utilise l'espérance d'une somme de variables aléatoires, qui est au programme de deuxième année : il n'est pas disponible ici, et une copie qui l'emploie s'appuie sur un résultat non démontré. Le calcul direct ci-dessus est le seul chemin autorisé en première année, et il faut savoir le refaire en entier.

Le binôme de Newton relu comme une somme de probabilités

Démonstration. Comme $a>0$ et $b>0$, le réel $p={\displaystyle \frac{a}{a+b}}$ appartient à $]0,1[$, et

$$1-p={\displaystyle \frac{a+b-a}{a+b}}={\displaystyle \frac{b}{a+b}}\mathrm{.}$$

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$. La somme des probabilités de sa loi vaut $1$, donc

$$1=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right){\left({\displaystyle \frac{a}{a+b}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{b}{a+b}}\right)}^{n-k}={\displaystyle \frac{1}{(a+b{)}^n}}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k},$$

puisque les dénominateurs se regroupent en $(a+b{)}^k(a+b{)}^{n-k}=(a+b{)}^n$. En multipliant par $(a+b{)}^n$, on obtient la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

L'intérêt de cette lecture est double. D'une part, elle montre que la formule du binôme et la loi binomiale sont le même objet vu de deux côtés, ce qui explique le nom de la loi. D'autre part, dans l'autre sens, elle fournit la vérification réflexe de tout calcul binomial : dès qu'une somme de la forme ${\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^k{v}^{n-k}$ apparaît dans un calcul, elle vaut $(u+v{)}^n$, et c'est ce que nous avons utilisé deux fois dans la démonstration de l'espérance et de la variance, après l'avoir utilisé une première fois pour vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

Lois usuelles infinies

Loi géométrique

Démonstration. Notons $S_i$ l'événement « la $i$-ème épreuve donne un succès », la suite $(S_i{)}_{i⩾1}$ étant mutuellement indépendante avec $P(S_i)=p$.

Le premier succès a lieu au rang $k$ si et seulement si les $k-1$ premières épreuves échouent et la $k$-ième réussit :

$$[X=k]=\overline{S_1}\cap \overline{S_2}\cap \cdots \cap \overline{S_{k-1}}\cap S_k\mathrm{.}$$

L'indépendance mutuelle, stable par passage au contraire, transforme cette intersection en produit :

$$P(X=k)=\underset{k-1\text{ facteurs}}{\underbrace{(1-p)\times \cdots \times (1-p)}}\times p=p(1-p{)}^{k-1}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Une précision de modélisation, dans l'esprit du programme qui demande de ne soulever aucune difficulté théorique. Le résultat « aucune épreuve ne donne jamais de succès » existe dans l'univers, mais on a démontré en première partie qu'il est négligeable. On convient donc de l'écarter, ce qui permet d'écrire $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$ et de considérer que $X$ est définie partout.

Démonstration. Posons $q=1-p$, de sorte que $q\in ]0,1[$ et $\mid q\mid <1$. Les termes sont positifs, et la série géométrique donne

$$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}p{q}^{k-1}=p\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^j=p\times {\displaystyle \frac{1}{1-q}}={\displaystyle \frac{p}{p}}=1,$$

après le changement d'indice $j=k-1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Avec les notations précédentes, l'événement $[X>k]$ signifie que le premier succès n'a pas encore eu lieu au bout de $k$ épreuves, c'est-à-dire que les $k$ premières épreuves ont toutes échoué :

$$[X>k]=\overline{S_1}\cap \cdots \cap \overline{S_k},\text{d’o}\grave{\text{u}}P(X>k)=(1-p{)}^k\mathrm{.}$$

On peut aussi le retrouver par le calcul, en sommant la série à partir du rang $k+1$ :

$$P(X>k)=\sum _{j=k+1}^{+\mathrm{\infty }}p{q}^{j-1}=p{q}^k\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^i=p{q}^k\times {\displaystyle \frac{1}{p}}=q^k,$$

avec le changement d'indice $i=j-k-1$. La seconde formule est le passage au contraire. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $q=1-p$, avec $\mid q\mid <1$.

Espérance. Les termes $kp{q}^{k-1}$ sont positifs, donc la convergence absolue équivaut à la convergence. La première série dérivée du chapitre sur les séries donne, pour $\mid q\mid <1$,

$$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}k{q}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}},$$

série convergente. Par conséquent $X$ admet une espérance et

$$E(X)=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}kp{q}^{k-1}=p\times {\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}={\displaystyle \frac{p}{p^2}}={\displaystyle \frac{1}{p}}\mathrm{.}$$

Moment factoriel d'ordre deux. Le théorème de transfert avec $g:x\mapsto x(x-1)$ donne, le terme d'indice $k=1$ étant nul,

$$E(X(X-1))=\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k(k-1)p{q}^{k-1}=pq\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k(k-1)q^{k-2},$$

où l'on a écrit $q^{k-1}=q\times q^{k-2}$. La seconde série dérivée vaut ${\displaystyle \frac{2}{(1-q{)}^3}}$, donc la série converge et

$$E(X(X-1))=pq\times {\displaystyle \frac{2}{p^3}}={\displaystyle \frac{2q}{p^2}}\mathrm{.}$$

Variance. Comme $x^2=x(x-1)+x$, la linéarité donne

$$E\left(X^2\right)={\displaystyle \frac{2q}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{p}},$$

quantité finie, donc $X$ admet bien une variance. La formule de Kœnig-Huygens donne alors

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(X)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2q}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{1}{p^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2q+p-1}{p^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2q-q}{p^2}}={\displaystyle \frac{q}{p^2}}={\displaystyle \frac{1-p}{p^2}},}\end{array}$$

la troisième ligne utilisant $p-1=-q$. $\mathrm{\square }$

L'espérance ${\displaystyle \frac{1}{p}}$ se retient sans effort par le bon sens : si une épreuve réussit une fois sur cinq, il faut s'attendre à cinq essais pour décrocher le premier succès.

Absence de mémoire

Démonstration. Le conditionnement est licite : $P(X>n)=(1-p{)}^n$ est strictement positif, puisque $0<1-p<1$.

Comme $n+k⩾n$, l'événement $[X>n+k]$ est inclus dans $[X>n]$, donc leur intersection vaut $[X>n+k]$. La définition de la probabilité conditionnelle donne alors

$$P_{[X>n]}([X>n+k])={\displaystyle \frac{P([X>n+k]\cap [X>n])}{P(X>n)}}={\displaystyle \frac{(1-p{)}^{n+k}}{(1-p{)}^n}}=(1-p{)}^k=P(X>k)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Traduisons. Sachant que les $n$ premières épreuves ont toutes échoué, la probabilité qu'il faille encore attendre plus de $k$ épreuves est la même qu'au tout début de l'expérience : le processus a oublié son passé. C'est la formulation savante d'un fait que l'intuition refuse souvent : une pièce qui vient de donner dix fois face n'a pas plus de chances de donner pile au lancer suivant.

Piège. Cette propriété est parfois invoquée à tort pour justifier qu'une variable suit une loi géométrique. Dans un exercice, la justification se fait par la modélisation, à savoir « rang du premier succès dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes », et non par l'absence de mémoire.

Loi de Poisson

La loi de Poisson est la loi de référence des comptages d'événements rares sur une période ou une zone données : nombre d'appels reçus par un standard en une minute, nombre de pannes d'une machine dans le mois, nombre de sinistres déclarés à un assureur dans l'année, nombre de clients se présentant à un guichet en un quart d'heure, nombre de défauts sur un mètre de tissu. Le point commun de ces situations est qu'un très grand nombre d'occasions se présentent, chacune ayant une très faible probabilité de produire l'événement compté.

Démonstration. Les termes sont positifs, puisque $\lambda >0$ et que l'exponentielle est strictement positive. La série exponentielle donne, pour tout réel $x$, ${\sum }_{k⩾0}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=e^x$. Appliquée à $x=\lambda$, elle donne

$$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=e^0=1.\mathrm{\square }$$

Démonstration. Espérance. Les termes sont positifs, donc la convergence absolue équivaut à la convergence. Le terme d'indice $k=0$ est nul, et pour $k⩾1$ on simplifie ${\displaystyle \frac{k}{k!}}={\displaystyle \frac{1}{(k-1)!}}$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}k{e}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}}& {\displaystyle =e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\lambda }\lambda \sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^j}{j!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\lambda }\lambda e^{\lambda }=\lambda ,}\end{array}$$

avec le changement d'indice $j=k-1$. La série converge, donc $X$ admet une espérance et $E(X)=\lambda$.

Moment factoriel d'ordre deux. Le théorème de transfert avec $g:x\mapsto x(x-1)$ donne, les termes d'indices $0$ et $1$ étant nuls et ${\displaystyle \frac{k(k-1)}{k!}}={\displaystyle \frac{1}{(k-2)!}}$ pour $k⩾2$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X(X-1))}& {\displaystyle =e^{-\lambda }\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{(k-2)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\lambda }{\lambda }^2\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^{k-2}}{(k-2)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\lambda }{\lambda }^2{e}^{\lambda }={\lambda }^2,}\end{array}$$

avec le changement d'indice $j=k-2$.

Variance. Comme $x^2=x(x-1)+x$, la linéarité donne $E\left(X^2\right)={\lambda }^2+\lambda$, quantité finie : $X$ admet une variance, et la formule de Kœnig-Huygens donne

$$V(X)={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda \mathrm{.}\mathrm{\square }$$

La loi de Poisson est la seule loi du chapitre dont l'espérance et la variance sont égales quel que soit son paramètre : d'autres y parviennent pour une valeur particulière, ainsi $\mathcal{G}\left(\frac{1}{2}\right)$ dont l'espérance et la variance valent $2$, ou $\mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,7]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$ dont l'espérance et la variance valent $4$. C'est un moyen de contrôle commode, et parfois un indice de modélisation : si des données de comptage présentent une moyenne et une variance très proches, le modèle de Poisson est plausible.

Le lien entre loi binomiale et loi de Poisson

Il faut lire cet énoncé pour ce qu'il est, à savoir un calcul de limite portant, pour chaque valeur de $k$ fixée, sur une suite de nombres réels. Sa démonstration est un exercice classique du chapitre, et n'est pas reprise ici. La notion qui lui donnerait tout son sens, celle de convergence en loi d'une suite de variables aléatoires, est au programme de deuxième année : on se garde donc bien d'écrire ici qu'une suite de variables binomiales « converge en loi » vers une variable de Poisson, formulation qui n'a pas encore de définition à ce stade.

L'usage pratique, lui, est immédiat : une loi binomiale à grand nombre d'épreuves et faible probabilité de succès se comporte comme une loi de Poisson de paramètre $\lambda =np$. Les critères usuellement retenus sont $n$ grand (au moins quelques dizaines), $p$ petit (de l'ordre de $\mathrm{0,1}$ au plus) et $np$ modéré. L'intérêt est calculatoire : les coefficients binomiaux d'indice élevé sont pénibles à manipuler, alors que la formule de Poisson est immédiate.

Récapitulatif des six lois usuelles

Trois remarques pour utiliser ce tableau sans se tromper. La loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ est le cas particulier $a=1$, $b=n$, avec $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ et $V(X)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}$. La loi de Bernoulli est le cas particulier $n=1$ de la loi binomiale, ce que confirment les formules : $np=p$ et $np(1-p)=p(1-p)$. Enfin, la loi géométrique commence à $k=1$, alors que la loi de Poisson commence à $k=0$ : c'est la source d'erreur numéro un dans les changements d'indice.

Méthodes du chapitre

Pour finir, la liste des fautes qui coûtent le plus de points sur ce chapitre. Confondre la variable aléatoire $X$, qui est un nombre, avec une probabilité, et écrire « $P(X)$ ». Calculer une espérance sur un ensemble de valeurs infini sans avoir justifié son existence. Écrire $E(g(X))=g(E(X))$, en particulier $E\left(X^2\right)={(E(X))}^2$, alors que ces égalités ne valent que pour les fonctions affines. Oublier le carré dans $V(aX+b)=a^{2}V(X)$. Oublier un antécédent en déterminant la loi de $X^2$. Oublier le « $+1$ » dans le nombre d'entiers de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Annoncer une loi binomiale pour un tirage sans remise. Démarrer une loi géométrique à $k=0$ ou une loi de Poisson à $k=1$. Et enfin, sur un univers infini, conclure qu'un événement est impossible parce que sa probabilité est nulle.