Devoir surveillé — Généralités sur les fonctions

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=(x-3)(x+1)\mathrm{.}$$

1. Calculer $f(0)$, $f(3)$ et $f(-2)$.
2. Développer et réduire $f(x)$.
3. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.
4. Montrer que les antécédents de $-3$ par $f$ sont $0$ et $2$.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;4]$.

Répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique.

1. Lire $f(-4)$ et $f(1)$.
2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
3. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)⩾0$. On donnera la réponse sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$.
5. Quel est le maximum de $f$ sur $[-4;4]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

On considère la fonction carré $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.

1. Calculer le taux de variation de $g$ entre $1$ et $4$.
2. Interpréter graphiquement le nombre obtenu à la question 1.
3. Calculer le taux de variation de $g$ entre $-3$ et $-1$.
4. Expliquer pourquoi le calcul de la question 3 prouve que $g$ n'est pas croissante sur l'intervalle $[-3;-1]$.

Un artisan facture un dépannage de la façon suivante : $40$ € de frais de déplacement, plus $35$ € par heure de travail. On note $C(t)$ le prix total, en euros, facturé pour $t$ heures de travail, avec $t\in [0;8]$.

1. Justifier que $C(t)=35t+40$, puis calculer $C(2)$.
2. Un client a payé $250$ €. Combien d'heures l'artisan a-t-il travaillé chez lui ?
3. Calculer le taux de variation de $C$ entre $1$ et $3$, puis interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.
4. La fonction $C$ est-elle croissante sur $[0;8]$ ? Justifier à l'aide du taux de variation.