Généralités sur les fonctions

Dans les deux chapitres précédents, vous avez étudié des suites : le nombre d'abonnés d'un club relevé chaque mois, un capital relevé chaque année. Ces grandeurs évoluaient étape par étape, un rang entier après l'autre, et il ne se passait rien entre deux rangs. Mais beaucoup de grandeurs de la vie courante évoluent en continu : la température extérieure au fil de la journée, le coût d'une commande selon la quantité achetée, la hauteur d'eau dans un port selon l'heure. Pour décrire ces évolutions continues, l'outil adapté est la fonction, que vous avez déjà rencontrée en seconde. L'idée reste la même que pour une suite : à chaque valeur d'une grandeur, on associe un nombre. La grande différence, c'est que la variable ne prend plus seulement des valeurs entières $0$, $1$, $2$, mais toutes les valeurs d'un intervalle, comme $[0;24]$ pour les heures d'une journée.

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Observons la température au fil d'une journée. À $8$ h il fait $12$ °C, à $11$ h il fait $15$ °C, à $14$ h il fait $21$ °C. À chaque heure de la journée correspond une seule température : il est impossible qu'il fasse à la fois $15$ °C et $21$ °C à $11$ h du matin. C'est exactement l'idée d'une fonction : une machine qui, à chaque nombre qu'on lui donne, renvoie un seul nombre en retour.

Pour écrire qu'une fonction transforme le nombre $x$ en le nombre $f(x)$, deux notations cohabitent, et vous devez savoir lire les deux.

Ce vocabulaire de transformation s'accompagne de deux mots essentiels, vus en seconde : image et antécédent.

Remarquez la dissymétrie du vocabulaire : on dit « **l'**image » car chaque nombre $x$ de $D$ possède une image et une seule, mais on dit « un antécédent » car un nombre $k$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. L'exemple de la fonction carré, que vous connaissez depuis la seconde, illustre bien cette différence.

Trois modes de représentation

Une même fonction peut se présenter sous trois formes différentes. Chacune a ses avantages, et vous devez savoir passer de l'une à l'autre.

Première forme : l'expression littérale. C'est une formule qui donne $f(x)$ en fonction de $x$, comme $f(x)=x^2-3x$. C'est la forme la plus précise : elle permet de calculer exactement l'image de n'importe quel nombre. Mais toutes les fonctions n'ont pas de formule : la température au fil de la journée est bien une fonction, sans qu'aucune expression littérale simple ne la décrive.

Deuxième forme : le tableau de valeurs. On choisit quelques valeurs de $x$ et on donne les images correspondantes. Voici un tableau de valeurs de la fonction $f:x\mapsto x^2-3x$ :

Chaque colonne se lit « l'image de $-1$ est $4$ », « l'image de $0$ est $0$ », et ainsi de suite. C'est souvent la forme que produisent les mesures expérimentales ou la calculatrice (menu Table). Son défaut : le tableau ne dit rien sur les valeurs de $x$ qui n'y figurent pas.

Troisième forme : la courbe représentative. C'est la forme graphique, la plus parlante pour l'œil.

Contrairement au nuage de points isolés d'une suite, la courbe d'une fonction est un trait continu : la variable $x$ prend toutes les valeurs de l'intervalle, sans trou. Une courbe suffit à définir une fonction, même sans formule, exactement comme le ferait un enregistrement de température.

Lire une courbe : images et antécédents

Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$. Aucune expression littérale n'est donnée : toutes les informations sont sur le dessin. La courbe part du point $(-3;-1)$, monte jusqu'au point $(-1;3)$, redescend jusqu'au point $(1;-1)$, puis remonte jusqu'au point $(4;4)$.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

La lecture d'antécédents que nous venons de faire porte un autre nom : c'est la résolution graphique de l'équation $f(x)=k$. Résoudre $f(x)=k$, c'est en effet exactement chercher tous les antécédents de $k$. La même idée graphique permet aussi de résoudre des inéquations comme $f(x)>k$ ou $f(x)<k$.

Un cas particulier mérite votre attention : celui où $k=0$. La droite d'équation $y=0$ est l'axe des abscisses lui-même. Résoudre $f(x)>0$, c'est donc repérer les portions de courbe situées au-dessus de l'axe des abscisses, et résoudre $f(x)<0$, les portions situées en dessous. C'est ainsi que l'on détermine graphiquement le signe d'une fonction, un automatisme déjà travaillé en seconde : courbe au-dessus de l'axe, la fonction est positive ; courbe en dessous, elle est négative ; la courbe coupe l'axe, la fonction s'annule.

Variations et extremums

Parcourons une courbe de gauche à droite, comme on lit un texte : tantôt elle monte, tantôt elle descend. Ce comportement s'appelle le sens de variation de la fonction, et il se décrit intervalle par intervalle. Pour le définir sans graphique, on compare l'ordre des images à l'ordre des antécédents.

Graphiquement, tout est dans la lecture de gauche à droite : croissante signifie que la courbe monte, décroissante qu'elle descend. Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[-4;4]$ : elle part du point $(-4;1)$, monte jusqu'au point $(-1;4)$, descend jusqu'au point $(2;-2)$, puis remonte jusqu'au point $(4;1)$.

Cette fonction est croissante sur $[-4;-1]$, décroissante sur $[-1;2]$ et croissante sur $[2;4]$. Elle n'est pas monotone sur $[-4;4]$ tout entier, puisqu'elle change deux fois de sens. Toutes ces informations se résument dans un tableau très pratique : le tableau de variations.

Voici le tableau de variations de la fonction $f$ représentée ci-dessus :

$x$

$-4$

$-1$

$2$

$4$

$f(x)$

$1$

$4$

$-2$

$1$

Ce tableau se lit ainsi : $f$ part de la valeur $f(-4)=1$, croît jusqu'à $f(-1)=4$, décroît jusqu'à $f(2)=-2$, puis croît à nouveau jusqu'à $f(4)=1$. Un tableau de variations est une véritable carte d'identité de la fonction : il contient l'essentiel de l'allure de la courbe sans avoir à la tracer. Il fait aussi apparaître deux valeurs particulières : la plus grande et la plus petite valeur atteintes par $f(x)$. Ce sont les extremums de la fonction.

Le taux de variation

Savoir qu'une fonction croît est une chose ; savoir à quelle vitesse elle croît en est une autre. Entre $8$ h et $14$ h, la température passe de $12$ °C à $21$ °C : elle a gagné $9$ °C en $6$ heures, soit en moyenne ${\displaystyle \frac{9}{6}}=\mathrm{1,5}$ °C par heure. Ce calcul, « variation de la grandeur divisée par variation de la variable », est l'outil central de la fin de ce chapitre : le taux de variation.

Deux remarques pratiques. D'abord, l'ordre des deux valeurs n'a pas d'importance : si on échange $x_1$ et $x_2$, le numérateur et le dénominateur changent tous les deux de signe, et le quotient reste le même. Ensuite, quand la fonction modélise une situation concrète où une grandeur $y$ vérifie $y=f(x)$, le taux de variation a une unité : celle de $y$ divisée par celle de $x$. Une température qui évolue au fil des heures donne un taux en degrés Celsius par heure, un coût qui dépend d'une quantité donne un taux en euros par unité.

Le taux de variation a aussi une signification graphique, et c'est elle qui en fait un outil si important. Observons la courbe de la fonction carré, et plaçons-y les deux points d'abscisses $1$ et $3$ : le point $A(1;1)$, car $1^2=1$, et le point $B(3;9)$, car $3^2=9$. La droite qui passe par ces deux points de la courbe s'appelle une sécante à la courbe.

Calculons le taux de variation de la fonction carré entre $1$ et $3$ :

$$\tau ={\displaystyle \frac{9-1}{3-1}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$$

Calculons maintenant le coefficient directeur de la droite $(AB)$, avec la formule vue en seconde : c'est la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, soit ${\displaystyle \frac{9-1}{3-1}}=4$. Les deux calculs sont identiques : le taux de variation, c'est la pente de la sécante.

Ainsi, sur la figure : la sécante $(AB)$ a pour pente $4$, ce qui signifie que le long de cette droite, avancer de $1$ unité vers la droite fait monter de $4$ unités. Un taux de variation positif correspond à une sécante qui monte, un taux négatif à une sécante qui descend.

Le programme met en avant un calcul de taux particulièrement instructif : celui de la fonction carré entre deux valeurs quelconques. Il repose sur une identité remarquable que vous connaissez bien.

Monotonie et signe du taux de variation

Rapprochons maintenant les deux outils du chapitre : le sens de variation et le taux de variation. L'intuition est simple. Si $f$ est croissante sur un intervalle et si $x_1<x_2$, alors $f(x_1)⩽f(x_2)$ : le numérateur $f(x_2)-f(x_1)$ et le dénominateur $x_2-x_1$ du taux sont tous les deux positifs, donc le taux est positif. Graphiquement : sur une portion de courbe qui monte, toutes les sécantes montent aussi.

La réciproque est précieuse : elle donne un moyen de prouver par le calcul qu'une fonction est croissante ou décroissante, sans se contenter de l'impression donnée par une courbe. Une lecture graphique peut tromper ; un calcul de taux, non.

Terminons par une mise en garde sur l'usage de cette propriété. Pour démontrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle, il faut contrôler le signe de tous ses taux de variation, donc mener le calcul avec deux valeurs quelconques. En revanche, pour démontrer qu'une fonction n'est pas croissante, un seul taux négatif suffit : c'est un contre-exemple.

Retenez l'essentiel du chapitre : une fonction associe à chaque valeur de la variable une unique image ; son expression, son tableau de valeurs et sa courbe racontent la même histoire sous trois formes ; la courbe permet de résoudre graphiquement équations et inéquations et de dresser le tableau de variations ; enfin, le taux de variation mesure la vitesse moyenne d'évolution de la fonction entre deux valeurs, se lit comme la pente d'une sécante, et son signe caractérise la monotonie. Cet outil vous accompagnera dans toute la suite de l'année.