1ʳᵉ techno · Chapitre 04 · Analyse

Fonctions polynômes du second degré

Parabole (sommet, axe de symétrie), racines et signe sous forme factorisée (sans discriminant).

Ce qu'il faut savoir faire

Parabole (sommet, axe de symétrie)
Racines et signe sous forme factorisée (sans discriminant)

Une petite entreprise qui augmente le prix de son produit voit d'abord sa recette progresser ; mais au-delà d'un certain prix, les clients se détournent et la recette finit par s'effondrer. Le jet d'eau d'une fontaine s'élève puis retombe, l'arche d'un pont monte d'un pilier vers un point culminant avant de redescendre vers l'autre, le bénéfice d'un atelier croît avec la production jusqu'à ce que les coûts l'emportent. Toutes ces situations ont le même profil : la grandeur étudiée monte puis descend, ou descend puis remonte. Or les fonctions affines, dont le taux de variation est constant, ne changent jamais de sens de variation : elles sont incapables de décrire un maximum ou un minimum. Ce chapitre introduit les fonctions les plus simples qui changent de sens, les fonctions polynômes du second degré, dont les courbes sont des paraboles. On apprendra à les reconnaître sous leurs différentes écritures, à déterminer leur axe de symétrie, leur sommet et leurs variations sans aucune formule (la symétrie de la parabole suffit à tout), puis à exploiter la forme factorisée pour trouver les racines et étudier le signe, avant de mettre tout cela au service de problèmes concrets d'optimisation.

Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Commençons par donner un nom précis à la famille de fonctions étudiée dans ce chapitre.

Définition

Fonction polynôme de degré 2. Une fonction polynôme de degré 2 (on dit aussi du second degré) est une fonction $f$ définie sur $R$ dont l'expression peut s'écrire sous la forme

f (x) = a x^{2} + b x + c

où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels fixés, avec $a \neq 0$ .

La condition essentielle est $a \neq 0$ : c'est le terme en $x^{2}$ qui fait le « degré 2 ». Les coefficients $b$ et $c$ , eux, ont parfaitement le droit d'être nuls. Attention également au mot « peut s'écrire » : une expression donnée sous une autre forme peut très bien cacher un polynôme de degré 2, et il faut parfois développer pour s'en assurer.

Exemple

Reconnaître un polynôme de degré 2.

$f (x) = - 3 x^{2} + 5 x - 1$ en est un, avec $a = - 3$ , $b = 5$ et $c = - 1$ .
$g (x) = \frac{x^{2}}{3}$ aussi : ici $a = \frac{1}{3}$ , $b = 0$ et $c = 0$ . Les termes en $x$ et constant sont absents, ce qui est permis.
$h (x) = (2 x + 1) (x - 4)$ aussi, même si cela ne saute pas aux yeux : en développant, $h (x) = 2 x^{2} - 8 x + x - 4 = 2 x^{2} - 7 x - 4$ , donc $a = 2$ , $b = - 7$ et $c = - 4$ .
En revanche, $k (x) = 5 - 7 x$ n'en est pas un : aucun terme en $x^{2}$ (autrement dit $a = 0$ ), c'est une fonction affine.
$m (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ n'en est pas un non plus : le terme en $x^{3}$ donne un degré 3 (on retrouve la fonction cube de seconde).
Piège classique : $p (x) = (x + 3)^{2} - x^{2}$ . En développant, $p (x) = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} = 6 x + 9$ : les termes en $x^{2}$ se sont annulés, $p$ est en réalité une fonction affine.

Le coefficient $a$ ne sert pas qu'à définir le degré : il commande toute l'allure de la courbe.

Propriété

Allure de la courbe. Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : elle a la forme d'une vallée.
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas : elle a la forme d'une colline.

Devant une parabole, le premier réflexe est donc de lire son orientation : vallée ou colline, c'est le signe de $a$ . La figure ci-dessous montre les deux cas, avec en pointillés une droite verticale qui coupe chaque parabole en deux moitiés identiques : cet axe de symétrie, visible sur toutes les paraboles, sera l'outil central de la section suivante.

Deux paraboles avec leur axe de symétrie en pointillés : à gauche une parabole tournée vers le haut de sommet S(2 ; -3), à droite une parabole tournée vers le bas de sommet S(-2 ; 4)

La famille $x \mapsto a x^{2}$ : le rôle du coefficient $a$ . Le membre le plus simple de la famille est la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ , étudiée en seconde : sa parabole passe par l'origine, qui est son point le plus bas. Que se passe-t-il quand on multiplie $x^{2}$ par un coefficient $a$ ? Deux effets se combinent, que l'on observe sur la partie gauche de la figure suivante. D'une part le signe de $a$ fixe l'orientation : la courbe de $y = - 0,5 x^{2}$ est tournée vers le bas — changer $a$ en $- a$ remplace chaque point de la parabole par son symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et retourne donc la courbe. D'autre part la valeur de $a$ règle l'ouverture : la courbe de $y = 2 x^{2}$ grimpe deux fois plus vite que celle de $y = x^{2}$ , elle est plus resserrée ; celle de $y = \frac{x^{2}}{3}$ , au contraire, est plus évasée. Toutes ces paraboles ont un point commun : leur sommet est l'origine $(0; 0)$ .

La famille $x \mapsto a x^{2} + b$ : une translation verticale. Ajouter une constante $b$ à $a x^{2}$ ajoute $b$ à toutes les images : chaque point de la courbe est décalé de $b$ unités vers le haut (vers le bas si $b < 0$ ), et la parabole conserve exactement sa forme. Sur la partie droite de la figure, la courbe de $y = x^{2} + 1$ est celle de la fonction carré remontée de $1$ unité, et celle de $y = x^{2} - 2$ est la même descendue de $2$ unités. Le point remarquable passe de l'origine au point $(0; b)$ . On remarque que $b$ est exactement l'image de $0$ : la constante d'un polynôme de degré 2 est toujours l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées.

À gauche, quatre paraboles de sommet l'origine illustrant le rôle du coefficient a : y = x carré, y = 2 x carré, y = x carré sur 3 et y = -0,5 x carré ; à droite, la parabole de la fonction carré et ses translatées verticales y = x carré + 1 et y = x carré - 2

Exemple

Associer une parabole à une expression. Une parabole est tournée vers le haut et son point le plus bas est $(0; - 3)$ . Parmi les trois expressions $x \mapsto - 2 x^{2} - 3$ , $x \mapsto 2 x^{2} + 3$ et $x \mapsto 2 x^{2} - 3$ , laquelle correspond à cette courbe ?

La parabole est tournée vers le haut, donc le coefficient de $x^{2}$ est positif : on élimine $x \mapsto - 2 x^{2} - 3$ . Le point le plus bas est en $(0; - 3)$ , donc l'image de $0$ vaut $- 3$ : on élimine $x \mapsto 2 x^{2} + 3$ , dont la courbe passe par $(0; 3)$ . La courbe est donc celle de $x \mapsto 2 x^{2} - 3$ .

Axe de symétrie, sommet et variations

Reprenons l'observation faite sur la première figure : chaque parabole possède une droite verticale qui la partage en deux moitiés parfaitement superposables, comme les deux versants d'une vallée ou les deux pentes d'un toit. Cette symétrie n'est pas un détail esthétique : c'est la propriété fondamentale du chapitre, celle qui permet de tout retrouver sans apprendre la moindre formule.

Propriété

Axe de symétrie, sommet et variations. La parabole représentant une fonction polynôme de degré 2 $f$ admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation $x = x_{S}$ . Le point de la parabole situé sur cet axe est appelé son sommet : c'est le point $S (x_{S}; f (x_{S}))$ .

Si $a > 0$ , la fonction $f$ est décroissante sur $] - \infty; x_{S}]$ puis croissante sur $[x_{S}; + \infty [$ : elle atteint en $x_{S}$ son minimum, égal à $f (x_{S})$ .

x

-\infty

x_S

+\infty

f(x)

f(x_S)

Si $a < 0$ , la fonction $f$ est croissante sur $] - \infty; x_{S}]$ puis décroissante sur $[x_{S}; + \infty [$ : elle atteint en $x_{S}$ son maximum, égal à $f (x_{S})$ .

x

-\infty

x_S

+\infty

f(x)

f(x_S)

(Propriété admise : elle traduit ce que montrent toutes les paraboles tracées.)

Le sommet concentre ainsi toute l'information utile : c'est le point le plus bas de la parabole quand elle est tournée vers le haut, le point le plus haut quand elle est tournée vers le bas. Dans les problèmes concrets, c'est lui qui répond aux questions de type « recette maximale » ou « coût minimal ». Toute la difficulté est donc de trouver $x_{S}$ à partir de l'expression de $f$ . L'idée tient en une phrase : deux points de la parabole situés à la même hauteur sont symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc exactement au milieu. Or il existe une hauteur toujours facile à exploiter : celle du point $(0; c)$ , où la parabole coupe l'axe des ordonnées. La courbe repasse une seconde fois à cette hauteur, et trouver où revient à résoudre l'équation $f (x) = c$ , une équation que l'on sait résoudre depuis la seconde.

Méthode

Trouver l'axe de symétrie et le sommet, sans formule. Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Acquis depuis : première (ens. scient.).

Calculer $f (0) = c$ : la parabole coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $c$ .
Résoudre l'équation $f (x) = c$ : la constante $c$ se simplifie de chaque côté, et il reste $a x^{2} + b x = 0$ , qui se factorise par $x$ (facteur commun). C'est une équation produit nul : on obtient deux solutions, dont $0$ .
Ces deux solutions sont les abscisses de deux points de la parabole à la même hauteur : l'axe de symétrie passe au milieu. Son équation est $x = x_{S}$ , où $x_{S}$ est le milieu des deux solutions.
Le sommet est le point de la parabole situé sur l'axe : calculer $f (x_{S})$ pour obtenir $S (x_{S}; f (x_{S}))$ , puis conclure sur les variations à l'aide du signe de $a$ .

Exemple

Une parabole tournée vers le haut : $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ . Ici $a = 2 > 0$ : la parabole est une vallée, la fonction admet un minimum au sommet.

$f (0) = 5$ : la parabole coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $5$ .
On résout $f (x) = 5$ :
$2 x^{2} - 8 x + 5 = 5 ⟺ 2 x^{2} - 8 x = 0 ⟺ 2 x (x - 4) = 0$
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc $x = 0$ ou $x = 4$ .
Les points d'abscisses $0$ et $4$ sont à la même hauteur $5$ : l'axe de symétrie passe au milieu, en $x_{S} = \frac{0 + 4}{2} = 2$ . L'axe a pour équation $x = 2$ .
L'ordonnée du sommet vaut $f (2) = 2 \times 4 - 16 + 5 = - 3$ : le sommet est $S (2; - 3)$ . On reconnaît d'ailleurs les coordonnées du sommet de la parabole de gauche de la première figure.

La fonction $f$ est donc décroissante sur $] - \infty; 2]$ puis croissante sur $[2; + \infty [$ , avec un minimum égal à $- 3$ , atteint en $x = 2$ .

x

-\infty

2

+\infty

f(x)

-3

Exemple

Une parabole tournée vers le bas : $g (x) = - 0,5 x^{2} - 2 x + 2$ . Ici $a = - 0,5 < 0$ : la parabole est une colline, la fonction admet un maximum au sommet.

$g (0) = 2$ .
On résout $g (x) = 2$ :
$- 0,5 x^{2} - 2 x + 2 = 2 ⟺ - 0,5 x^{2} - 2 x = 0 ⟺ - 0,5 x (x + 4) = 0$
donc $x = 0$ ou $x = - 4$ .
L'axe de symétrie passe au milieu de $- 4$ et $0$ : $x_{S} = \frac{- 4 + 0}{2} = - 2$ , l'axe a pour équation $x = - 2$ .
$g (- 2) = - 0,5 \times 4 - 2 \times (- 2) + 2 = - 2 + 4 + 2 = 4$ : le sommet est $S (- 2; 4)$ , comme pour la parabole de droite de la première figure.

La fonction $g$ est donc croissante sur $] - \infty; - 2]$ puis décroissante sur $[- 2; + \infty [$ , avec un maximum égal à $4$ , atteint en $x = - 2$ .

x

-\infty

-2

+\infty

g(x)

4

La symétrie se lit aussi dans un tableau de valeurs. Dressons un tableau de valeurs de la fonction $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ étudiée ci-dessus :

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$15$	$5$	$- 1$	$- 3$	$- 1$	$5$	$15$

De part et d'autre de $x = 2$ , les images se répondent en miroir : $f (1) = f (3) = - 1$ , $f (0) = f (4) = 5$ , $f (- 1) = f (5) = 15$ . C'est la symétrie de la parabole traduite en nombres, et la réciproque est très utile en pratique : repérer deux images égales dans un tableau de valeurs (fourni par un énoncé, un tableur ou la calculatrice) suffit à localiser l'axe de symétrie, qui passe au milieu des deux abscisses correspondantes.

Le cas particulier où le terme en $x$ est absent. Si le coefficient du terme en $x$ est nul, l'expression est de la forme $a x^{2} + b$ : on retrouve la famille des translations verticales vue à la première section. L'équation $f (x) = b$ se réduit alors à $a x^{2} = 0$ , qui n'a qu'une seule solution, $x = 0$ : il n'y a pas de « deuxième point » à la hauteur $b$ , tout simplement parce que le point $(0; b)$ est déjà le sommet. L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées et le sommet est $S (0; b)$ , ce que la figure des familles montrait déjà.

Forme factorisée : racines et signe

Après l'axe des ordonnées, intéressons-nous à l'axe des abscisses. Les points où la parabole le traverse sont souvent les plus riches de sens dans une situation concrète : c'est là que le projectile touche le sol, que le bénéfice s'annule, que l'arche rejoint ses piliers. Les abscisses de ces points portent un nom.

Définition

Racine. Une racine d'une fonction polynôme de degré 2 $f$ est une solution de l'équation $f (x) = 0$ . Graphiquement, une racine est l'abscisse d'un point d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Certaines fonctions polynômes de degré 2 sont données sous forme factorisée, c'est-à-dire comme produit d'une constante par deux facteurs du premier degré : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Il s'agit bien d'un polynôme de degré 2, comme le montre un développement ; par exemple

0,25 (x + 2) (x - 6) = 0,25 (x^{2} - 4 x - 12) = 0,25 x^{2} - x - 3

Cette écriture est précieuse, car elle livre les racines et le sommet presque sans calcul.

Propriété

Ce que donne la forme factorisée. Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , avec $a \neq 0$ .

Les racines de $f$ sont exactement $x_{1}$ et $x_{2}$ : la parabole coupe l'axe des abscisses aux points $(x_{1}; 0)$ et $(x_{2}; 0)$ .
L'abscisse du sommet est le milieu des racines : $x_{S} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Ces deux affirmations se justifient avec les outils déjà en place. Pour les racines : l'équation $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ est une équation produit nul et, comme $a \neq 0$ , elle équivaut à $x - x_{1} = 0$ ou $x - x_{2} = 0$ , c'est-à-dire $x = x_{1}$ ou $x = x_{2}$ . Pour le sommet : les deux points $(x_{1}; 0)$ et $(x_{2}; 0)$ sont deux points de la parabole à la même hauteur (la hauteur $0$ ) ; ils sont donc symétriques par rapport à l'axe de symétrie, qui passe au milieu. C'est exactement le raisonnement de la section précédente, la hauteur $0$ remplaçant la hauteur $c$ .

Exemple

Étude de $f (x) = 0,25 (x + 2) (x - 6)$ . Attention au premier facteur : $x + 2$ s'écrit $x - (- 2)$ , sa racine est $- 2$ et non $2$ .

Racines. $f (x) = 0 ⟺ x + 2 = 0$ ou $x - 6 = 0$ , c'est-à-dire $x = - 2$ ou $x = 6$ : la parabole coupe l'axe des abscisses en $(- 2; 0)$ et $(6; 0)$ .
Sommet. Son abscisse est le milieu des racines : $x_{S} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ , et son ordonnée vaut
$f (2) = 0,25 \times (2 + 2) \times (2 - 6) = 0,25 \times 4 \times (- 4) = - 4$
Le sommet est donc $S (2; - 4)$ et l'axe de symétrie a pour équation $x = 2$ .
Comme $a = 0,25 > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : $f$ admet en $2$ un minimum égal à $- 4$ .

On peut contrôler la cohérence avec l'axe des ordonnées : $f (0) = 0,25 \times 2 \times (- 6) = - 3$ , ce qui correspond bien à la constante $- 3$ du développement fait plus haut.

Parabole de la fonction f(x) = 0,25(x + 2)(x - 6) : racines -2 et 6, axe de symétrie d'équation x = 2 en pointillés, sommet S(2 ; -4)

Encore faut-il disposer d'une forme factorisée. Le programme ne demande pas de savoir résoudre n'importe quelle équation du second degré : les racines sont évidentes, données par l'énoncé ou lues sur un graphique. Deux savoir-faire suffisent alors : vérifier qu'une valeur proposée est bien une racine, et factoriser dans les cas simples.

Méthode

Vérifier qu'une valeur conjecturée est racine. Pour vérifier qu'un nombre $r$ (lu sur un graphique, repéré dans un tableau de valeurs ou proposé par l'énoncé) est une racine de $f$ : calculer l'image $f (r)$ en remplaçant $x$ par $r$ dans l'expression. Si $f (r) = 0$ , alors $r$ est une racine ; sinon, la conjecture est fausse. Une lecture graphique ne prouve rien : seul ce calcul constitue une vérification.

Méthode

Factoriser dans les cas simples, connaissant au moins une racine.

Facteur commun : si le terme constant est absent, $x$ se factorise directement. Par exemple $3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4)$ , dont les racines sont $0$ et $- 4$ .
Identité remarquable $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ : par exemple $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ , dont les racines sont $5$ et $- 5$ .
Forme proposée à vérifier : quand une racine $r$ est connue, l'énoncé suggère souvent une factorisation dans laquelle figure le facteur $(x - r)$ . On la valide en développant et en comparant à l'expression de départ.

Exemple

De la conjecture à la factorisation. Soit $f (x) = 3 x^{2} - 5 x - 2$ . Sur un écran de calculatrice, la parabole semble couper l'axe des abscisses au point d'abscisse $2$ .

Vérification. $f (2) = 3 \times 4 - 5 \times 2 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0$ : le nombre $2$ est bien une racine de $f$ . En revanche, $f (1) = 3 - 5 - 2 = - 4 \neq 0$ : le nombre $1$ n'en est pas une.

Factorisation. Puisque $2$ est une racine, on peut chercher une écriture contenant le facteur $x - 2$ . Vérifions la forme proposée $f (x) = (x - 2) (3 x + 1)$ en développant :

(x - 2) (3 x + 1) = 3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 3 x^{2} - 5 x - 2

On retrouve bien l'expression de $f$ : la factorisation est correcte. L'équation produit nul $f (x) = 0$ donne alors $x = 2$ ou $3 x + 1 = 0$ : la seconde racine de $f$ est $x = - \frac{1}{3}$ , que le graphique seul ne permettait pas de deviner.

Lorsqu'aucune racine n'est évidente et qu'aucune factorisation n'est fournie, il n'est pas attendu de résoudre l'équation à la main : le module de résolution d'équations de la calculatrice (le solveur) donne les solutions d'une équation du second degré chaque fois qu'une situation concrète l'exige.

La forme factorisée rend un dernier service : elle donne le signe de $f (x)$ , c'est-à-dire les intervalles où la parabole est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. L'outil est le tableau de signes d'un produit, connu depuis la seconde.

Méthode

Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Déterminer la racine de chaque facteur du premier degré et placer ces racines, rangées dans l'ordre croissant, sur la première ligne du tableau.
Remplir une ligne de signes par facteur : un facteur du premier degré est du signe de son coefficient de $x$ après sa racine, du signe contraire avant (ainsi $x - 6$ est négatif avant $6$ , positif après).
Ne pas oublier la constante $a$ : elle compte dans le produit. Lui consacrer une ligne ; si $a > 0$ elle ne change rien, si $a < 0$ elle inverse tous les signes de la dernière ligne.
Remplir la dernière ligne avec la règle des signes et conclure en citant les intervalles demandés.

Exemple

Signe de $f (x) = 0,25 (x + 2) (x - 6)$ . Le facteur $x + 2$ s'annule en $- 2$ , le facteur $x - 6$ en $6$ ; la constante $0,25$ est strictement positive sur tout $R$ .

x

-\infty

-2

6

+\infty

0{,}25

+

+

+

x+2

-

0

+

+

x-6

-

-

0

+

f(x)

+

0

-

0

+

Conclusion. $f (x) ⩽ 0$ sur $[- 2; 6]$ , et $f (x) ⩾ 0$ sur $] - \infty; - 2]$ ainsi que sur $[6; + \infty [$ . La figure précédente confirme ce résultat d'un coup d'œil : la parabole, tournée vers le haut, passe sous l'axe des abscisses entre ses deux racines et au-dessus à l'extérieur.

Si la constante avait été négative, la dernière ligne aurait été inversée. Ainsi, pour $g (x) = - 3 (x - 1) (x - 7)$ , la ligne du facteur $- 3$ ne contient que des signes $-$ et le produit change de camp : $g (x) ⩾ 0$ entre les racines $1$ et $7$ , et $g (x) ⩽ 0$ à l'extérieur, ce qui est cohérent avec une parabole tournée vers le bas.

Toutes les paraboles ne coupent pas l'axe des abscisses. Considérons $f (x) = x^{2} + 1$ : pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0$ , donc $f (x) ⩾ 1$ , et $f (x)$ ne s'annule jamais. Cette fonction n'a aucune racine : sa parabole, tournée vers le haut et de sommet $(0; 1)$ , reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, et aucune forme factorisée n'existe pour elle. À l'opposé, une parabole peut aussi ne faire qu'effleurer l'axe : celle de la fonction carré $x \mapsto x^{2}$ le touche au seul point $(0; 0)$ , son sommet, et $0$ est son unique racine. Une fonction polynôme de degré 2 possède donc zéro, une ou deux racines, et seule l'orientation de la parabole combinée à la position du sommet décide du cas.

Modéliser et optimiser avec un polynôme de degré 2

Tous les outils sont maintenant réunis pour faire travailler les paraboles sur des situations réelles. Les contextes sont innombrables : une recette ou un bénéfice qui dépend d'un prix de vente, un coût de production qui dépend d'une quantité, la hauteur d'un projectile au cours du temps, le profil d'une arche ou d'un jet d'eau, l'aire d'un enclos que l'on cherche à rendre maximale avec une longueur de clôture donnée. Dans tous les cas, la question décisive est la même : pour quelle valeur de la variable la grandeur étudiée est-elle maximale, ou minimale ? Et la réponse se trouve toujours au même endroit : au sommet de la parabole.

Méthode

Optimiser une grandeur modélisée par un polynôme de degré 2. Acquis depuis : première (ens. scient.).

Identifier la grandeur à optimiser et la variable dont elle dépend : recette et prix, hauteur et temps, aire et longueur…
Exprimer la grandeur en fonction de la variable, puis délimiter l'intervalle de validité : l'ensemble des valeurs de la variable qui ont un sens dans la situation (un prix n'est pas négatif, un nombre de ventes non plus).
Reconnaître un polynôme de degré 2 (développer si nécessaire) et lire le signe du coefficient de la variable au carré : parabole tournée vers le bas, on cherche un maximum ; tournée vers le haut, un minimum.
Trouver le sommet grâce à la symétrie : racines de la forme factorisée puis milieu des racines, ou résolution de $f (x) = c$ ; calculer la valeur de la grandeur au sommet et conclure avec les unités de l'énoncé.

Exemple

Le prix des gourdes de la boutique du lycée. La boutique tenue par les élèves vend des gourdes personnalisées aux couleurs du lycée. Une enquête auprès des classes montre que si la gourde est vendue au prix de $x$ euros, la boutique en écoule environ $80 - 5 x$ par mois : chaque euro de plus fait perdre cinq acheteurs. À quel prix faut-il vendre la gourde pour que la recette mensuelle soit maximale ?

Grandeur et variable. La grandeur à optimiser est la recette mensuelle $R$ , en euros ; elle dépend du prix de vente $x$ , en euros.
Mise en fonction et validité. La recette est le produit du prix par le nombre de gourdes vendues :
$R (x) = x (80 - 5 x)$
Le prix doit être positif, et le nombre de ventes aussi : $80 - 5 x ⩾ 0$ , c'est-à-dire $x ⩽ 16$ . Le modèle n'a donc de sens que sur l'intervalle $[0; 16]$ .
Reconnaître le degré 2. En développant, $R (x) = 80 x - 5 x^{2}$ : c'est un polynôme de degré 2 dont le coefficient de $x^{2}$ vaut $- 5 < 0$ . La parabole est tournée vers le bas : la recette admet bien un maximum, atteint au sommet. Par ailleurs, en factorisant $80 - 5 x = 5 (16 - x)$ , on obtient une forme factorisée : $R (x) = 5 x (16 - x)$ .
Sommet par symétrie. L'équation produit nul $R (x) = 0$ donne $x = 0$ ou $x = 16$ : les racines sont $0$ et $16$ , et chacune se comprend très bien (gourde offerte, recette nulle ; à $16$ euros, plus aucun acheteur). Le sommet est au milieu des racines, en $x = \frac{0 + 16}{2} = 8$ , et
$R (8) = 8 \times (80 - 5 \times 8) = 8 \times 40 = 320$

x

0

8

16

R(x)

0

320

0

Conclusion. La recette mensuelle est maximale pour un prix de vente de $8$ euros : la boutique vend alors $40$ gourdes dans le mois, pour une recette de $320$ euros.

Un mot, pour finir, sur le domaine de validité du modèle. La relation « $80 - 5 x$ ventes au prix de $x$ euros » n'est pas une loi exacte : c'est une approximation tirée d'une enquête, raisonnable sur l'intervalle $[0; 16]$ et dénuée de sens au-delà, puisqu'un nombre de ventes négatif n'existe pas. Il en va de même pour tous les modèles quadratiques : la trajectoire d'un projectile n'est parabolique que pendant le vol, l'arche d'un pont n'existe qu'entre ses deux piliers, une relation entre prix et demande n'est mesurée que sur une plage de prix réaliste. Avant toute conclusion, on vérifie donc que la valeur trouvée au sommet appartient bien à l'intervalle de validité. La démarche du chapitre, elle, ne change jamais : traduire la situation par une fonction, reconnaître un polynôme de degré 2 et son orientation, puis laisser la symétrie de la parabole désigner le sommet, milieu de deux points de même hauteur, pour répondre à la question posée.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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