Fonctions polynômes du second degré

Une petite entreprise qui augmente le prix de son produit voit d'abord sa recette progresser ; mais au-delà d'un certain prix, les clients se détournent et la recette finit par s'effondrer. Le jet d'eau d'une fontaine s'élève puis retombe, l'arche d'un pont monte d'un pilier vers un point culminant avant de redescendre vers l'autre, le bénéfice d'un atelier croît avec la production jusqu'à ce que les coûts l'emportent. Toutes ces situations ont le même profil : la grandeur étudiée monte puis descend, ou descend puis remonte. Or les fonctions affines, dont le taux de variation est constant, ne changent jamais de sens de variation : elles sont incapables de décrire un maximum ou un minimum. Ce chapitre introduit les fonctions les plus simples qui changent de sens, les fonctions polynômes du second degré, dont les courbes sont des paraboles. On apprendra à les reconnaître sous leurs différentes écritures, à déterminer leur axe de symétrie, leur sommet et leurs variations sans aucune formule (la symétrie de la parabole suffit à tout), puis à exploiter la forme factorisée pour trouver les racines et étudier le signe, avant de mettre tout cela au service de problèmes concrets d'optimisation.

Fonctions polynômes de degré 2 et paraboles

Commençons par donner un nom précis à la famille de fonctions étudiée dans ce chapitre.

La condition essentielle est $a\mathrm{\ne }0$ : c'est le terme en $x^2$ qui fait le « degré 2 ». Les coefficients $b$ et $c$, eux, ont parfaitement le droit d'être nuls. Attention également au mot « peut s'écrire » : une expression donnée sous une autre forme peut très bien cacher un polynôme de degré 2, et il faut parfois développer pour s'en assurer.

Le coefficient $a$ ne sert pas qu'à définir le degré : il commande toute l'allure de la courbe.

Devant une parabole, le premier réflexe est donc de lire son orientation : vallée ou colline, c'est le signe de $a$. La figure ci-dessous montre les deux cas, avec en pointillés une droite verticale qui coupe chaque parabole en deux moitiés identiques : cet axe de symétrie, visible sur toutes les paraboles, sera l'outil central de la section suivante.

La famille $x\mapsto a{x}^2$ : le rôle du coefficient $a$. Le membre le plus simple de la famille est la fonction carré $x\mapsto x^2$, étudiée en seconde : sa parabole passe par l'origine, qui est son point le plus bas. Que se passe-t-il quand on multiplie $x^2$ par un coefficient $a$ ? Deux effets se combinent, que l'on observe sur la partie gauche de la figure suivante. D'une part le signe de $a$ fixe l'orientation : la courbe de $y=-\mathrm{0,5}{x}^2$ est tournée vers le bas — changer $a$ en $-a$ remplace chaque point de la parabole par son symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et retourne donc la courbe. D'autre part la valeur de $a$ règle l'ouverture : la courbe de $y=2x^2$ grimpe deux fois plus vite que celle de $y=x^2$, elle est plus resserrée ; celle de $y={\displaystyle \frac{x^2}{3}}$, au contraire, est plus évasée. Toutes ces paraboles ont un point commun : leur sommet est l'origine $(0;0)$.

La famille $x\mapsto a{x}^2+b$ : une translation verticale. Ajouter une constante $b$ à $a{x}^2$ ajoute $b$ à toutes les images : chaque point de la courbe est décalé de $b$ unités vers le haut (vers le bas si $b<0$), et la parabole conserve exactement sa forme. Sur la partie droite de la figure, la courbe de $y=x^2+1$ est celle de la fonction carré remontée de $1$ unité, et celle de $y=x^2-2$ est la même descendue de $2$ unités. Le point remarquable passe de l'origine au point $(0;b)$. On remarque que $b$ est exactement l'image de $0$ : la constante d'un polynôme de degré 2 est toujours l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées.

Axe de symétrie, sommet et variations

Reprenons l'observation faite sur la première figure : chaque parabole possède une droite verticale qui la partage en deux moitiés parfaitement superposables, comme les deux versants d'une vallée ou les deux pentes d'un toit. Cette symétrie n'est pas un détail esthétique : c'est la propriété fondamentale du chapitre, celle qui permet de tout retrouver sans apprendre la moindre formule.

Le sommet concentre ainsi toute l'information utile : c'est le point le plus bas de la parabole quand elle est tournée vers le haut, le point le plus haut quand elle est tournée vers le bas. Dans les problèmes concrets, c'est lui qui répond aux questions de type « recette maximale » ou « coût minimal ». Toute la difficulté est donc de trouver $x_S$ à partir de l'expression de $f$. L'idée tient en une phrase : deux points de la parabole situés à la même hauteur sont symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc exactement au milieu. Or il existe une hauteur toujours facile à exploiter : celle du point $(0;c)$, où la parabole coupe l'axe des ordonnées. La courbe repasse une seconde fois à cette hauteur, et trouver où revient à résoudre l'équation $f(x)=c$, une équation que l'on sait résoudre depuis la seconde.

La symétrie se lit aussi dans un tableau de valeurs. Dressons un tableau de valeurs de la fonction $f(x)=2x^2-8x+5$ étudiée ci-dessus :

De part et d'autre de $x=2$, les images se répondent en miroir : $f(1)=f(3)=-1$, $f(0)=f(4)=5$, $f(-1)=f(5)=15$. C'est la symétrie de la parabole traduite en nombres, et la réciproque est très utile en pratique : repérer deux images égales dans un tableau de valeurs (fourni par un énoncé, un tableur ou la calculatrice) suffit à localiser l'axe de symétrie, qui passe au milieu des deux abscisses correspondantes.

Le cas particulier où le terme en $x$ est absent. Si le coefficient du terme en $x$ est nul, l'expression est de la forme $a{x}^2+b$ : on retrouve la famille des translations verticales vue à la première section. L'équation $f(x)=b$ se réduit alors à $a{x}^2=0$, qui n'a qu'une seule solution, $x=0$ : il n'y a pas de « deuxième point » à la hauteur $b$, tout simplement parce que le point $(0;b)$ est déjà le sommet. L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées et le sommet est $S(0;b)$, ce que la figure des familles montrait déjà.

Forme factorisée : racines et signe

Après l'axe des ordonnées, intéressons-nous à l'axe des abscisses. Les points où la parabole le traverse sont souvent les plus riches de sens dans une situation concrète : c'est là que le projectile touche le sol, que le bénéfice s'annule, que l'arche rejoint ses piliers. Les abscisses de ces points portent un nom.

Certaines fonctions polynômes de degré 2 sont données sous forme factorisée, c'est-à-dire comme produit d'une constante par deux facteurs du premier degré : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Il s'agit bien d'un polynôme de degré 2, comme le montre un développement ; par exemple

$$\mathrm{0,25}(x+2)(x-6)=\mathrm{0,25}(x^2-4x-12)=\mathrm{0,25}{x}^2-x-3$$

Cette écriture est précieuse, car elle livre les racines et le sommet presque sans calcul.

Ces deux affirmations se justifient avec les outils déjà en place. Pour les racines : l'équation $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ est une équation produit nul et, comme $a\mathrm{\ne }0$, elle équivaut à $x-x_1=0$ ou $x-x_2=0$, c'est-à-dire $x=x_1$ ou $x=x_2$. Pour le sommet : les deux points $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$ sont deux points de la parabole à la même hauteur (la hauteur $0$) ; ils sont donc symétriques par rapport à l'axe de symétrie, qui passe au milieu. C'est exactement le raisonnement de la section précédente, la hauteur $0$ remplaçant la hauteur $c$.

Encore faut-il disposer d'une forme factorisée. Le programme ne demande pas de savoir résoudre n'importe quelle équation du second degré : les racines sont évidentes, données par l'énoncé ou lues sur un graphique. Deux savoir-faire suffisent alors : vérifier qu'une valeur proposée est bien une racine, et factoriser dans les cas simples.

Lorsqu'aucune racine n'est évidente et qu'aucune factorisation n'est fournie, il n'est pas attendu de résoudre l'équation à la main : le module de résolution d'équations de la calculatrice (le solveur) donne les solutions d'une équation du second degré chaque fois qu'une situation concrète l'exige.

La forme factorisée rend un dernier service : elle donne le signe de $f(x)$, c'est-à-dire les intervalles où la parabole est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. L'outil est le tableau de signes d'un produit, connu depuis la seconde.

Toutes les paraboles ne coupent pas l'axe des abscisses. Considérons $f(x)=x^2+1$ : pour tout réel $x$, $x^2⩾0$, donc $f(x)⩾1$, et $f(x)$ ne s'annule jamais. Cette fonction n'a aucune racine : sa parabole, tournée vers le haut et de sommet $(0;1)$, reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, et aucune forme factorisée n'existe pour elle. À l'opposé, une parabole peut aussi ne faire qu'effleurer l'axe : celle de la fonction carré $x\mapsto x^2$ le touche au seul point $(0;0)$, son sommet, et $0$ est son unique racine. Une fonction polynôme de degré 2 possède donc zéro, une ou deux racines, et seule l'orientation de la parabole combinée à la position du sommet décide du cas.

Modéliser et optimiser avec un polynôme de degré 2

Tous les outils sont maintenant réunis pour faire travailler les paraboles sur des situations réelles. Les contextes sont innombrables : une recette ou un bénéfice qui dépend d'un prix de vente, un coût de production qui dépend d'une quantité, la hauteur d'un projectile au cours du temps, le profil d'une arche ou d'un jet d'eau, l'aire d'un enclos que l'on cherche à rendre maximale avec une longueur de clôture donnée. Dans tous les cas, la question décisive est la même : pour quelle valeur de la variable la grandeur étudiée est-elle maximale, ou minimale ? Et la réponse se trouve toujours au même endroit : au sommet de la parabole.

Un mot, pour finir, sur le domaine de validité du modèle. La relation « $80-5x$ ventes au prix de $x$ euros » n'est pas une loi exacte : c'est une approximation tirée d'une enquête, raisonnable sur l'intervalle $[0;16]$ et dénuée de sens au-delà, puisqu'un nombre de ventes négatif n'existe pas. Il en va de même pour tous les modèles quadratiques : la trajectoire d'un projectile n'est parabolique que pendant le vol, l'arche d'un pont n'existe qu'entre ses deux piliers, une relation entre prix et demande n'est mesurée que sur une plage de prix réaliste. Avant toute conclusion, on vérifie donc que la valeur trouvée au sommet appartient bien à l'intervalle de validité. La démarche du chapitre, elle, ne change jamais : traduire la situation par une fonction, reconnaître un polynôme de degré 2 et son orientation, puis laisser la symétrie de la parabole désigner le sommet, milieu de deux points de même hauteur, pour répondre à la question posée.