Suites arithmétiques et géométriques

Un club de sport compte $240$ abonnés et en gagne $30$ chaque mois. Un capital de $1000$ € placé sur un livret rapporte $5\mathrm{\%}$ d'intérêts chaque année. Ces deux situations se ressemblent : une grandeur évolue étape par étape, et la règle de passage d'une étape à la suivante est toujours la même. Pourtant, elles sont profondément différentes. Le club gagne toujours le même nombre d'abonnés ($+30$, quel que soit le mois), tandis que le capital gagne toujours le même pourcentage ($+5\mathrm{\%}$, mais le montant en euros ajouté augmente d'année en année). La première évolution ajoute un montant constant, la seconde multiplie par un coefficient constant.

Ces deux modèles sont si fréquents qu'ils portent un nom : les suites arithmétiques (on ajoute toujours le même nombre) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). Ce chapitre s'appuie sur tout ce que vous avez appris au chapitre précédent : la notion de suite, la notation $u(n)$, les relations de récurrence et les formules explicites, le nuage de points. Nous allons apprendre à reconnaître ces deux familles, à calculer directement n'importe lequel de leurs termes, à démontrer qu'une suite appartient (ou non) à l'une d'elles, et à comparer leurs deux types de croissance : linéaire contre exponentielle.

Suites arithmétiques

Suivons les abonnés du club de sport. On pose $u(n)=$ nombre d'abonnés au bout de $n$ mois. Au départ, $u(0)=240$. Chaque mois, le club gagne $30$ abonnés : $u(1)=270$, $u(2)=300$, $u(3)=330$… Le passage d'un mois au suivant est toujours le même : ajouter $30$. C'est une relation de récurrence, comme au chapitre précédent :

$$u(n+1)=u(n)+30$$

Toute suite construite sur ce modèle, « ajouter toujours le même nombre », est dite arithmétique.

Petit rappel de notation : comme au chapitre précédent, $u(n)$ désigne le terme de rang $n$, et l'écriture indicée $u_n$ désigne exactement le même nombre.

Comment reconnaître une suite arithmétique dans une liste de valeurs ? En regardant ce qui sépare deux termes consécutifs.

Pour le club : $270-240=30$, $300-270=30$, $330-300=30$. La différence est toujours $30$ : c'est la signature d'une suite arithmétique.

Ce modèle est celui des évolutions absolues constantes : à chaque étape, la grandeur varie du même montant (le même nombre d'abonnés, le même volume d'eau, le même nombre d'euros). Dès qu'un énoncé dit « augmente de $30$ par mois », « perd $12$ litres par jour », « coûte $5$ € de plus par séance », la suite arithmétique est le bon modèle. Vous en connaissez d'ailleurs déjà une : l'abonnement de la salle de sport du chapitre précédent, $u(n)=20+5n$, gagne $5$ € par séance ; c'est une suite arithmétique de raison $5$.

Le terme de rang n d'une suite arithmétique

Combien d'abonnés le club comptera-t-il dans un an, c'est-à-dire au rang $12$ ? Avec la récurrence, il faudrait calculer les douze termes un à un. On peut aller beaucoup plus vite en raisonnant ainsi : pour passer du rang $0$ au rang $12$, on effectue $12$ étapes, et chaque étape ajoute $30$. Au total, on a donc ajouté $12\times 30=360$ abonnés au nombre de départ : $u(12)=240+360=600$.

Ce raisonnement est général : pour aller du rang $0$ au rang $n$, on ajoute $n$ fois la raison $r$, soit $n\times r$ en tout.

Cette formule est explicite : elle donne directement le terme de rang $n$, sans passer par les termes précédents. C'est le même avantage que le mode explicite du chapitre précédent, mais ici la formule se déduit automatiquement du premier terme et de la raison.

L'expression $u(n)=u(0)+n\times r$ est du premier degré en $n$, comme les fonctions affines : c'est ce que l'on appelle une croissance linéaire (ou une décroissance linéaire si $r<0$). Graphiquement, cela se voit immédiatement. Prenons la suite arithmétique $a$ de premier terme $2$ et de raison $3$, c'est-à-dire $a(n)=2+3n$ :

Les points du nuage sont alignés : chaque pas d'un rang vers la droite fait monter le point de la même hauteur, la raison $3$. C'est la marque graphique des suites arithmétiques, et elle fournit un test visuel : si les points d'un nuage semblent alignés, on peut conjecturer que la suite est arithmétique. Attention, un graphique ne prouve rien : la conjecture devra ensuite être démontrée par le calcul (nous verrons comment plus loin).

Suites géométriques

Passons au capital. On place $1000$ € sur un livret qui rapporte $5\mathrm{\%}$ par an, intérêts compris dans le capital. Augmenter une quantité de $5\mathrm{\%}$, c'est ajouter $5$ centièmes de cette quantité, autrement dit la multiplier par $1+{\displaystyle \frac{5}{100}}=\mathrm{1,05}$. Si $v(n)$ désigne le capital (en euros) au bout de $n$ années, alors $v(0)=1000$ et chaque année le capital est multiplié par $\mathrm{1,05}$ :

$$v(n+1)=\mathrm{1,05}\times v(n)$$

Les premiers termes sont $v(1)=1050$, puis $v(2)=1\mathrm{102,50}$, puis $v(3)\approx 1\mathrm{157,63}$. Cette fois, on ne passe pas d'un terme au suivant en ajoutant un nombre fixe, mais en multipliant par un nombre fixe.

Dans tout ce chapitre, le premier terme et la raison d'une suite géométrique sont strictement positifs : tous les termes de la suite sont alors eux aussi strictement positifs. C'est naturel, car ces suites modélisent des grandeurs positives : un capital, une population, une quantité de médicament.

Le lien entre pourcentage d'évolution et raison est le réflexe central de cette section.

Comment reconnaître une suite géométrique dans une liste de valeurs ? Cette fois, ce n'est pas la différence qui est constante, mais le quotient.

Pour le capital : ${\displaystyle \frac{1050}{1000}}=\mathrm{1,05}$ et ${\displaystyle \frac{1\mathrm{102,50}}{1050}}=\mathrm{1,05}$. Le quotient est toujours $\mathrm{1,05}$ : c'est la signature d'une suite géométrique.

Ce modèle est celui des évolutions relatives constantes : à chaque étape, la grandeur varie du même pourcentage. Observez bien la différence avec le club de sport : le capital gagne $50$ € la première année, puis $\mathrm{52,50}$ € la deuxième, puis environ $\mathrm{55,13}$ € la troisième. Le montant ajouté change à chaque étape, mais il représente toujours $5\mathrm{\%}$ du capital : l'évolution est constante en proportion, pas en valeur.

Le terme de rang n d'une suite géométrique

Que vaut le capital au bout de $10$ ans ? Là encore, calculer dix termes un à un serait long. Raisonnons comme pour les suites arithmétiques : pour passer du rang $0$ au rang $n$, on effectue $n$ étapes, et chaque étape multiplie par $q$. Au total, on a donc multiplié $n$ fois par $q$, c'est-à-dire multiplié par $q\times q\times \cdots \times q=q^n$.

La présence de la puissance $q^n$ dans la formule donne son nom au comportement de ces suites : c'est une croissance exponentielle (lorsque $q>1$). Visualisons-la avec la suite géométrique $g$ de premier terme $2$ et de raison $\mathrm{1,5}$, c'est-à-dire $g(n)=2\times {\mathrm{1,5}}^n$ :

Cette fois, les points ne sont pas alignés : la courbe qu'ils dessinent monte de plus en plus vite. Regardez les écarts entre termes consécutifs : $+1$, puis $+\mathrm{1,5}$, puis $+\mathrm{2,25}$, puis $+\mathrm{3,375}$… Chaque hausse est $\mathrm{1,5}$ fois plus grande que la précédente. C'est la marque graphique des suites géométriques de raison $q>1$ : une allure incurvée dont la pente s'accentue. Là encore, un nuage de cette forme permet de conjecturer que la suite est géométrique, mais seule une démonstration par le calcul permet de l'affirmer.

Démontrer la nature d'une suite

Résumons d'abord ce que les deux nuages précédents nous ont appris sur la lecture graphique.

Une table de valeurs ou un nuage de points ne montrent que quelques termes : ils permettent de conjecturer la nature d'une suite, jamais de la prouver. Pour démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique, il faut revenir à la définition et vérifier la relation de récurrence pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire faire le calcul avec un $n$ quelconque, pas seulement sur les premiers termes.

Le programme insiste sur un point important : beaucoup de suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. Il faut savoir le démontrer aussi, et pour cela un contre-exemple suffit, comme pour le sens de variation au chapitre précédent.

Retenez la dissymétrie des deux tâches : pour démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique, le calcul doit être mené avec un $n$ quelconque ; pour démontrer qu'elle n'est pas de cette nature, un seul contre-exemple numérique suffit.

Sens de variation et raison

Au chapitre précédent, nous avons appris à déterminer le sens de variation d'une suite en étudiant le signe de la différence $u(n+1)-u(n)$. Pour les suites arithmétiques et géométriques, ce travail est déjà fait une fois pour toutes : le sens de variation se lit directement sur la raison.

Commençons par les suites arithmétiques. Si $u$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tout entier naturel $n$, la différence vaut exactement la raison :

$$u(n+1)-u(n)=r$$

Le signe de la différence est donc le signe de $r$, le même pour tous les rangs.

Passons aux suites géométriques. Si $u$ est géométrique de raison $q$, alors pour tout entier naturel $n$ :

$$u(n+1)-u(n)=q\times u(n)-u(n)=(q-1)\times u(n)$$

Or tous les termes $u(n)$ sont strictement positifs. Le signe de la différence est donc celui du facteur $q-1$ : positif si $q>1$, négatif si $q<1$, nul si $q=1$.

Ces deux propriétés sont cohérentes avec l'intuition : ajouter un nombre positif fait monter, ajouter un nombre négatif fait descendre ; multiplier une quantité positive par plus que $1$ l'agrandit, la multiplier par moins que $1$ la réduit.

Croissance linéaire ou croissance exponentielle ?

Il nous reste à comparer les deux modèles. Imaginons deux suites croissantes qui partent du même point : la suite arithmétique $u$ de premier terme $10$ et de raison $8$, et la suite géométrique $v$ de premier terme $10$ et de raison $\mathrm{1,3}$. Leurs formules explicites sont $u(n)=10+8n$ et $v(n)=10\times {\mathrm{1,3}}^n$. Calculons leurs termes jusqu'au rang $10$ (valeurs arrondies au centième) :

Au début, la suite arithmétique domine largement : au rang $1$, elle mène $18$ contre $13$, et elle reste devant jusqu'au rang $7$ ($66$ contre environ $\mathrm{62,75}$). Mais la suite géométrique accélère à chaque rang, tandis que la suite arithmétique avance toujours du même pas de $8$. Au rang $8$, le retournement a lieu : $v(8)\approx \mathrm{81,57}$ dépasse $u(8)=74$. Ensuite, l'écart se creuse rapidement en faveur de la suite géométrique.

Ce résultat, que nous admettons, est l'un des messages les plus importants du chapitre. Une croissance de $30\mathrm{\%}$ par étape peut sembler modeste face à un gros gain fixe, mais parce qu'elle s'applique à une quantité qui grossit, elle produit des hausses de plus en plus grandes, qui finissent par écraser n'importe quel pas constant.

Le tableur est l'outil idéal pour mener cette comparaison : chaque suite occupe une colonne, et les deux relations de récurrence deviennent deux formules à recopier vers le bas.

On saisit les valeurs initiales en ligne 2, les formules =B2+8 et =C2*1,3 en ligne 3, puis on recopie vers le bas : la colonne B ajoute $8$ à chaque ligne (récurrence arithmétique), la colonne C multiplie par $\mathrm{1,3}$ (récurrence géométrique). Il suffit alors de balayer le tableau des yeux pour repérer la première ligne où la colonne C dépasse la colonne B : c'est la ligne du rang $8$.

Le même balayage s'écrit en quelques lignes de Python, avec une boucle while qui applique la récurrence tant que le seuil n'est pas franchi :

v = 10
n = 0
while v <= 1000:
    v = 1.3 * v
    n = n + 1
print(n)   # affiche 18

La boucle traduit mot à mot la démarche : « tant que $v$ ne dépasse pas $1000$, passer à l'étape suivante ». À la sortie, la variable n contient le premier rang où le seuil est franchi. Rappelez-vous qu'en Python le séparateur décimal est le point (1.3).

C'est exactement la démarche d'exploration du chapitre précédent, rendue rapide par la machine : la machine calcule, vous observez, vous concluez.

À retenir