Devoir surveillé — Dérivées

1. ($3$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par fonction) Dériver chacune des fonctions suivantes, en précisant la formule utilisée (somme, produit, inverse, quotient) :

2. ($2$ pts) Dériver les fonctions suivantes, définies pour tout réel $t$ :

On donne ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0;6]$ (la variable est notée $t$). La tangente $T_0$ à la courbe au point d'abscisse $0$ est tracée en pointillés : elle passe par les points de coordonnées $(0;1)$ et $(1;3)$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ est horizontale.

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) Lire graphiquement $g(0)$ et $g(2)$.

2. ($1$ pt) Déterminer $g^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $g^{\mathrm{\prime }}(2)$, en justifiant.

3. ($1$ pt) Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_0$.

4. ($1$ pt) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;6]$.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) En déduire le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ sur $[0;6]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;5]$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+11$.

1. ($1$ pt) Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis vérifier que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+1)(x-3)$ pour tout $x$ de $[-3;5]$.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-3;5]$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-3;5]$ (on calculera les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle et aux points où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule).

4. ($1$ pt) En déduire les extremums locaux de $f$ sur $[-3;5]$, en précisant en quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.

5. ($1$ pt) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Partie A — Signal électrique

La tension aux bornes d'un dipôle est modélisée par la fonction $u$ définie pour tout $t\ge 0$ (en secondes) par $u(t)=12\cos (100\pi t)$, où $u(t)$ est exprimée en volts.

1. ($1$ pt) Donner l'amplitude du signal, puis calculer sa période $T$.

2. ($1$ pt) Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(t)$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer $u^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,005})$ (valeur exacte, puis arrondi à l'unité), et interpréter le résultat. On pourra aussi calculer $u(\mathrm{0,005})$.

Partie B — Calcul approché

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. Écrire l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_0=10$, c'est-à-dire $f(10+h)\approx f(10)+f^{\mathrm{\prime }}(10)h$ pour $h$ proche de $0$. En déduire, sans calculatrice, des valeurs approchées de ${\mathrm{10,03}}^2$ et de ${\mathrm{9,97}}^2$.