Primitives

Tout au long du chapitre précédent, nous avons appris à dériver : partant d'une grandeur, nous savons calculer sa vitesse de variation. Mais en sciences, le problème se présente très souvent dans l'autre sens. Le compteur d'un véhicule enregistre la vitesse à chaque instant, et l'on veut reconstituer la distance parcourue ; une centrale inertielle mesure l'accélération d'un mobile, et l'on veut remonter à sa vitesse, puis à sa position ; en électricité, on connaît le courant qui alimente un condensateur, c'est-à-dire le rythme auquel sa charge s'accumule, et l'on veut suivre la charge elle-même ; en cinétique chimique, on mesure une vitesse de réaction et l'on cherche l'évolution de la concentration. Chaque fois, la question est la même : connaissant la dérivée d'une grandeur, comment retrouver la grandeur ? C'est le problème inverse de la dérivation, et l'objet mathématique qui le résout s'appelle une primitive.

Ce chapitre, qui clôt l'année, construit cette notion en trois temps. Nous définirons d'abord ce qu'est une primitive, et nous décrirons l'ensemble des primitives d'une même fonction : elles se déduisent toutes les unes des autres par l'ajout d'une constante, qu'une condition initiale suffit à fixer. Nous apprendrons ensuite à calculer des primitives pour les deux familles de fonctions les plus utiles en sciences industrielles et de laboratoire : les polynômes et les signaux sinusoïdaux, avec pour récompense la loi horaire de la chute libre. Enfin, pour les fonctions dont aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions connues, nous découvrirons la méthode d'Euler, qui construit point par point une courbe approchée de la solution, et que nous programmerons en Python.

La notion de primitive

Donnons tout de suite un nom au problème inverse de la dérivation. Dériver, c'est passer d'une fonction $F$ à sa dérivée $F^{\mathrm{\prime }}$ ; chercher une primitive, c'est faire le chemin en sens contraire : partant d'une fonction $f$, on cherche une fonction $F$ dont la dérivée est $f$.

Cet exemple révèle un fait essentiel : la définition d'une primitive ne demande aucun calcul nouveau. Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F$ avec les règles du chapitre précédent, puis de comparer le résultat à $f$. Toute la difficulté du chapitre sera de trouver des primitives ; les vérifier, en revanche, est toujours à notre portée.

Une précision de vocabulaire s'impose, et l'exemple de la fonction $f(t)=2t$ l'a déjà laissé entrevoir : on dit une primitive, et non la primitive. En effet, $t^2$, $t^2+5$, $t^2-3$ sont trois primitives distinctes de la même fonction $2t$. Combien y en a-t-il ? Toutes se ressemblent-elles ? C'est la question du paragraphe suivant.

L'ensemble des primitives d'une fonction

Partons de l'observation précédente : si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors pour tout réel $C$, la fonction $t\mapsto F(t)+C$ en est une autre, puisque la dérivée d'une constante est nulle. La famille des primitives contient donc au moins toutes les fonctions $F+C$. Le résultat remarquable, que nous admettons, est qu'il n'y en a aucune autre.

Ce théorème est admis, mais il mérite d'être compris, et deux points de vue l'éclairent. Le premier est cinématique. Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, la différence $D=G-F$ a pour dérivée $D^{\mathrm{\prime }}=G^{\mathrm{\prime }}-F^{\mathrm{\prime }}=f-f=0$. Or que dit une dérivée nulle ? Imaginons que $D(t)$ soit la position d'un mobile à l'instant $t$ : sa dérivée $D^{\mathrm{\prime }}(t)$ est sa vitesse, et une vitesse nulle à chaque instant signifie que le mobile ne bouge jamais. Sa position est donc constante : $D(t)=C$ pour tout $t$, c'est-à-dire $G(t)=F(t)+C$. Le second point de vue est géométrique. Deux primitives $F$ et $G$ de $f$ ont le même nombre dérivé $f(t)$ en chaque abscisse $t$ : leurs courbes ont donc des tangentes de même coefficient directeur en tout point de même abscisse. Deux courbes qui ont partout la même pente sont « parallèles » : l'une se déduit de l'autre par une translation verticale, et la hauteur de cette translation est précisément la constante $C$.

La figure illustre cette situation pour la fonction $f(t)=2t-2$. On vérifie en dérivant que $t\mapsto t^2-2t$ est une primitive de $f$ : les primitives de $f$ sont donc les fonctions $t\mapsto t^2-2t+C$. Quatre d'entre elles sont tracées, pour quatre valeurs de $C$ : ce sont quatre paraboles superposables, décalées verticalement les unes des autres, et qui ont toutes la même pente à chaque abscisse.

Cette lecture graphique suggère une propriété importante : les courbes de la famille recouvrent le plan sans jamais se croiser. Par un point donné, il passe donc une et une seule courbe de la famille. C'est le contenu de la propriété suivante.

Cette propriété est le pendant mathématique d'une évidence physique : connaître la vitesse d'un mobile à chaque instant ne suffit pas à connaître sa position, il faut aussi savoir d'où il est parti. La donnée $F(t_0)=y_0$ s'appelle une condition initiale ; elle sélectionne, dans la famille des primitives, celle qui correspond à la situation étudiée.

Primitives des fonctions polynômes

Il est temps d'apprendre à trouver des primitives, et non plus seulement à les vérifier. L'idée directrice est simple : le tableau des dérivées du chapitre précédent, lu à l'envers, devient un tableau de primitives. Puisque la dérivée de $t^2$ est $2t$, une primitive de $2t$ est $t^2$, donc une primitive de $t$ est ${\displaystyle \frac{t^2}{2}}$. Puisque la dérivée de $t^3$ est $3t^2$, une primitive de $t^2$ est ${\displaystyle \frac{t^3}{3}}$. Le mécanisme de dérivation « l'exposant descend en facteur puis diminue de $1$ » s'inverse en : l'exposant augmente de $1$, puis on divise par le nouvel exposant.

Pour traiter un polynôme entier, il reste à savoir gérer les sommes et les coefficients. Là encore, les règles de dérivation s'inversent sans difficulté : puisque l'on dérive une somme terme à terme et que les constantes multiplicatives restent en place, il en va de même pour la recherche de primitives.

Ces deux propriétés couvrent tous les polynômes : un polynôme est une somme de termes de la forme $a{t}^n$, et chacun admet $a{\displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1}}$ pour primitive. Tout polynôme admet donc des primitives sur $\mathbb{R}$, qui sont encore des polynômes, de degré augmenté d'une unité.

Primitives des fonctions sinusoïdales

Après les polynômes, tournons-nous vers les signaux sinusoïdaux $t\mapsto A\cos (\omega t+\phi )$ et $t\mapsto A\sin (\omega t+\phi )$, omniprésents en électricité et en mécanique vibratoire. Rappelons les résultats du chapitre précédent : $(\cos t{)}^{\mathrm{\prime }}=-\sin t$, $(\sin t{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos t$, et pour une fonction composée avec une expression affine, $(f(at+b){)}^{\mathrm{\prime }}=a\times f^{\mathrm{\prime }}(at+b)$. En dérivant un signal sinusoïdal, l'amplitude est donc multipliée par la pulsation $\omega$. Lisons ces règles à l'envers : pour trouver une primitive, il faudra diviser par $\omega$, et gérer avec soin l'échange entre sinus et cosinus.

Comme toujours, la justification tient en une dérivation. Dérivons $F(t)={\displaystyle \frac{A}{\omega }}\sin (\omega t+\phi )$ : la règle $(f(at+b){)}^{\mathrm{\prime }}=a{f}^{\mathrm{\prime }}(at+b)$ avec $a=\omega$ donne

$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{A}{\omega }\times \omega \cos (\omega t+\phi )=A\cos (\omega t+\phi )$$

et le facteur $\omega$ issu de la dérivation compense exactement la division par $\omega$. De même, en dérivant $G(t)=-{\displaystyle \frac{A}{\omega }}\cos (\omega t+\phi )$, on obtient $G^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{A}{\omega }}\times (-\omega \sin (\omega t+\phi ))=A\sin (\omega t+\phi )$ : les deux signes « moins » se compensent.

Un mot d'avertissement, car cette famille de formules est un nid à erreurs de signe. En dérivant, c'est le cosinus qui produit le signe « moins » : $(\cos {)}^{\mathrm{\prime }}=-\sin$. En cherchant une primitive, c'est l'inverse : c'est le sinus qui reçoit le signe « moins », puisqu'une primitive de $\sin$ est $-\cos$. Deuxième piège : on divise par $\omega$, on ne multiplie pas (la multiplication par $\omega$, c'est la dérivation). En cas de doute, le réflexe est toujours le même : dériver le résultat obtenu et vérifier que l'on retombe sur la fonction de départ, signe compris.

Primitives et cinématique

Le vocabulaire des primitives donne enfin sa forme définitive au lien entre position, vitesse et accélération, entrevu au chapitre précédent. La vitesse est la dérivée de la position : $v(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$. En sens inverse, la position est donc une primitive de la vitesse : une primitive parmi d'autres, car la vitesse seule ne dit pas d'où le mobile est parti ; c'est la position initiale qui fixe la constante. Le même raisonnement s'applique un cran plus haut : l'accélération est la dérivée de la vitesse, donc la vitesse est une primitive de l'accélération, la constante étant fixée par la vitesse initiale.

La méthode d'Euler

Jusqu'ici, toutes les fonctions rencontrées avaient des primitives que nous savions écrire : polynômes, signaux sinusoïdaux. Il faut maintenant faire face à une réalité que les scientifiques connaissent bien : certaines fonctions, pourtant très simples, n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions connues. L'exemple emblématique est la fonction

$$f(t)=\frac{1}{1+t^2}$$

définie et continue sur $\mathbb{R}$ tout entier (son dénominateur ne s'annule jamais). On peut démontrer que ses primitives existent, mais aucune ne s'écrit à l'aide des polynômes, des quotients ou des fonctions trigonométriques du programme : aucun tableau, aucune formule de ce chapitre ne les donnera. Devons-nous renoncer à tracer leur courbe ? Non, et c'est tout l'objet de cette dernière section : à défaut d'une formule, nous allons construire la courbe point par point, de façon approchée.

Posons d'abord proprement le problème.

L'idée de la méthode d'Euler tient dans un résultat déjà connu : l'approximation affine du chapitre Dérivées. Près d'un point, une courbe se confond avec sa tangente, ce qui s'écrit $y(t+h)\approx y(t)+h\times y^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour $h$ petit. Or ici, nous connaissons $y^{\mathrm{\prime }}$ : c'est justement la fonction $f$ du problème de Cauchy ! L'approximation devient :

$$y(t+h)\approx y(t)+h\times f(t)$$

Voilà qui change tout : connaissant la valeur de $y$ en un point, cette formule donne une valeur approchée de $y$ un peu plus loin, au prix d'un simple calcul de $f$. Et rien n'empêche de recommencer à partir du nouveau point, puis du suivant : de proche en proche, on avance le long de la courbe par petits pas de longueur $h$, appelée le pas de la méthode.

À chaque étape, on remplace la courbe par sa tangente sur un petit intervalle de longueur $h$ : chaque segment de la ligne brisée a pour coefficient directeur $f(t_k)$, la pente exacte que la solution doit avoir en $t_k$. Mettons la méthode à l'épreuve sur notre fonction rebelle.

La figure superpose la ligne brisée d'Euler et la courbe de la solution exacte du problème. On constate que la ligne brisée suit fidèlement la courbe au début, puis s'en écarte légèrement : chaque étape commet une petite erreur (on suit la tangente au lieu de la courbe), et ces erreurs s'accumulent de proche en proche.

Comment améliorer la précision ? La réponse est dans l'approximation affine elle-même : elle est d'autant meilleure que $h$ est petit. En divisant le pas par $10$, chaque segment colle beaucoup mieux à la courbe, et la ligne brisée devient presque indiscernable de la solution. Le prix à payer est le nombre de calculs : couvrir $[0;2]$ avec un pas de $\mathrm{0,05}$ demande $40$ étapes au lieu de $4$, et un pas de $\mathrm{0,001}$ en demanderait $2000$. C'est le même arbitrage qu'en physique lorsqu'on choisit l'incrément de temps d'une simulation : un pas fin donne un résultat précis mais coûteux, un pas grossier va vite mais dérive. Ce genre de calcul répétitif est exactement ce pour quoi les ordinateurs sont faits, et la méthode d'Euler se programme en quelques lignes.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    """Construit n points d'Euler pour y' = f(t), y(t0) = y0, avec un pas h."""
    liste_t = [t0]
    liste_y = [y0]
    t = t0
    y = y0
    for k in range(n):
        y = y + h * f(t)
        t = t + h
        liste_t.append(t)
        liste_y.append(y)
    return liste_t, liste_y

f = lambda t: 1 / (1 + t**2)
temps, valeurs = euler(f, 0, 0, 0.5, 4)
print(temps)    # [0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]
print(valeurs)  # [0, 0.5, 0.9, 1.15, 1.3038...]

La fonction euler reproduit exactement la méthode : elle part du couple (t0, y0), puis répète n fois le passage d'un point au suivant, en stockant les valeurs dans deux listes. L'appel avec h = 0.5 et n = 4 redonne les cinq points calculés à la main ; pour affiner, il suffit de changer les arguments, par exemple euler(f, 0, 0, 0.05, 40), et de laisser la machine additionner.

Ce chapitre referme l'année sur une boucle élégante. La dérivation transformait une position en vitesse, une fonction en sa pente ; la primitive fait le chemin inverse, et rend à la physique ses lois horaires. Et quand les formules s'arrêtent, l'approximation affine, premier outil du chapitre Dérivées, prend le relais sous la forme de la méthode d'Euler : quelques multiplications répétées suffisent à dessiner une courbe qu'aucune expression ne sait décrire. Les exercices vont maintenant faire fonctionner ces trois registres, du calcul de primitives à la programmation.