Nombres complexes : formes algébrique et trigonométrique

L'équation $x^2=-1$ n'a aucune solution dans l'ensemble des nombres réels : le carré d'un réel est toujours positif ou nul. Pendant des siècles, cette impossibilité a semblé définitive. Pourtant, au XVIe siècle, les algébristes italiens (Cardan, Bombelli) qui cherchaient à résoudre des équations de degré $3$ ont vu apparaître dans leurs calculs des racines carrées de nombres négatifs ; en acceptant de calculer avec ces quantités « impossibles », ils obtenaient des résultats justes. L'idée a fini par s'imposer : on peut agrandir l'ensemble $\mathbb{R}$ en lui ajoutant un nombre nouveau, noté $i$, dont le carré vaut $-1$. Les nombres construits à partir de $i$ sont appelés nombres complexes, et ils obéissent aux mêmes règles de calcul que les réels.

Loin d'être une curiosité de mathématicien, les nombres complexes sont aujourd'hui un outil de travail quotidien de l'ingénieur, en particulier en électricité : les tensions et intensités des régimes sinusoïdaux (le courant alternatif de nos prises) se calculent remarquablement bien avec eux. Les électriciens notent d'ailleurs $j$ ce que les mathématiciens notent $i$, pour ne pas confondre avec l'intensité du courant. C'est pour cela que ce chapitre figure au programme de la série STI2D (les élèves de STL ne le traitent pas) : il pose les fondations qui serviront en mathématiques comme en physique jusqu'en terminale.

Le nombre i et la forme algébrique

Tout part d'une décision audacieuse : décréter l'existence d'un nombre dont le carré est négatif, et voir si l'on peut calculer avec lui sans contradiction. La réponse est oui, et ce nombre porte un nom.

À partir de $i$ et des réels, on fabrique de nouveaux nombres en combinant additions et multiplications : $3+2i$, $-5i$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}-7i$… Tous ces nombres s'écrivent sous une même forme, qui est l'écriture de référence du chapitre.

Attention au piège classique : la partie imaginaire de $z$ est le réel $b$, et non le nombre $ib$. Ainsi, pour $z=3-5i$, on a $\mathrm{Re}(z)=3$ et $\mathrm{Im}(z)=-5$ (et non $-5i$). La partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe sont donc toujours deux nombres réels.

Cette écriture $a+ib$ n'est pas seulement commode : elle est unique. C'est ce qui permet d'identifier deux nombres complexes en comparant leurs parties réelles et imaginaires.

Cette propriété est le moteur de nombreux exercices : une égalité entre nombres complexes se traduit toujours par deux égalités entre nombres réels.

Deux familles de nombres complexes méritent un nom particulier, selon que l'une des deux parties est nulle.

Le premier point est important : tout réel est un nombre complexe (sa partie imaginaire est nulle). L'ensemble $\mathbb{R}$ est donc contenu dans l'ensemble $\mathbb{C}$, exactement comme l'ensemble des entiers est contenu dans celui des décimaux. Les nombres complexes n'annulent rien de ce que l'on sait : ils prolongent les réels.

Opérations : somme, produit

Comment additionner et multiplier des nombres complexes ? La règle tient en une phrase : on calcule exactement comme avec des réels, en utilisant les règles habituelles (commutativité, distributivité, identités remarquables…), et chaque fois que $i^2$ apparaît, on le remplace par $-1$.

Puisque les règles de calcul sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$, les identités remarquables restent valables dans $\mathbb{C}$ : pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$,

$$(z+z^{\mathrm{\prime }}{)}^2=z^2+2z{z}^{\mathrm{\prime }}+z^{\mathrm{\prime }2},(z-z^{\mathrm{\prime }}{)}^2=z^2-2z{z}^{\mathrm{\prime }}+z^{\mathrm{\prime }2},(z+z^{\mathrm{\prime }})(z-z^{\mathrm{\prime }})=z^2-z^{\mathrm{\prime }2}$$

L'une d'elles prend une forme nouvelle et particulièrement utile lorsqu'on l'applique à $a+ib$ et $a-ib$.

Retenons ce résultat : le produit de $a+ib$ par $a-ib$ est un réel positif. Là où $(x+y)(x-y)$ donnait une différence de carrés chez les réels, on obtient ici une somme de carrés, grâce au signe apporté par $i^2=-1$. Cette identité sera la clé du calcul des quotients, un peu plus loin.

Signalons enfin les premières puissances de $i$, faciles à retrouver : $i^2=-1$, puis $i^3=i^2\times i=-i$, et $i^4=i^2\times i^2=(-1)\times (-1)=1$. À partir de $i^4$, le cycle $i,-1,-i,1$ recommence.

Conjugué

Le nombre $a-ib$ que nous venons de rencontrer, obtenu à partir de $a+ib$ en changeant le signe de la partie imaginaire, joue un rôle si important qu'il porte un nom.

Le conjugué se combine très simplement avec les opérations : conjuguer une somme, un produit ou un quotient revient à conjuguer chaque morceau.

La première égalité est l'identité fondamentale de la section précédente. Les deux autres se vérifient directement : $z+\bar{z}=(a+ib)+(a-ib)=2a$ et $z-\bar{z}=(a+ib)-(a-ib)=2ib$. Elles fournissent un critère très pratique pour reconnaître les réels et les imaginaires purs sans passer par la forme algébrique.

En effet, $\bar{z}=z$ équivaut à $z-\bar{z}=0$, c'est-à-dire $2i\mathrm{Im}(z)=0$, donc $\mathrm{Im}(z)=0$ ; et $\bar{z}=-z$ équivaut à $z+\bar{z}=0$, c'est-à-dire $\mathrm{Re}(z)=0$.

Le conjugué possède aussi une signification géométrique très parlante (une symétrie), que nous découvrirons dans la section sur le plan complexe.

Quotient de deux nombres complexes

Il reste une opération à apprivoiser : la division. Que vaut, par exemple, ${\displaystyle \frac{1}{2-i}}$ ? Telle quelle, cette écriture n'est pas une forme algébrique : il y a un $i$ au dénominateur. Tout l'enjeu est de faire disparaître ce $i$ du dénominateur, et c'est précisément l'identité $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ qui le permet : en multipliant le dénominateur par son conjugué, on obtient un réel.

De manière générale, l'inverse d'un nombre complexe non nul $z=a+ib$ s'écrit

$${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}}={\displaystyle \frac{a-ib}{a^2+b^2}}$$

Tout nombre complexe non nul possède donc un inverse : comme dans $\mathbb{R}$, on peut diviser par n'importe quel nombre non nul.

Le plan complexe : affixe d'un point, d'un vecteur

Un nombre complexe $z=a+ib$ est entièrement déterminé par le couple de réels $(a;b)$. Or un couple de réels, c'est exactement ce qu'il faut pour repérer un point du plan ! Cette remarque, toute simple, est l'une des idées les plus fécondes du chapitre : elle transforme les nombres complexes en un outil de géométrie, et réciproquement elle permet de « voir » les nombres complexes.

La correspondance est parfaite : à chaque nombre complexe correspond un unique point du plan, et à chaque point du plan correspond une unique affixe. Lire l'affixe d'un point revient à lire ses coordonnées : le point $M(3;2)$ de la figure a pour affixe $z_M=3+2i$.

Les deux axes du repère jouent des rôles particuliers :

• les points de l'axe des abscisses ont une affixe de la forme $a+0i=a$ : ce sont les images des nombres réels, d'où son nom d'axe des réels ;
• les points de l'axe des ordonnées ont une affixe de la forme $0+ib=ib$ : ce sont les images des imaginaires purs, d'où son nom d'axe des imaginaires.

L'origine $O$, intersection des deux axes, est l'image du nombre $0$.

Comme un point, un vecteur du plan est repéré par deux coordonnées : on peut donc lui aussi lui associer une affixe.

Les formules de géométrie repérée de seconde se traduisent alors directement en langage complexe : les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A;y_B-y_A)$, et celles du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

Le plan complexe donne enfin son sens géométrique au conjugué, comme annoncé. Passer de $z=a+ib$ à $\bar{z}=a-ib$, c'est garder l'abscisse et changer le signe de l'ordonnée : géométriquement, c'est une symétrie.

Cette lecture géométrique éclaire les caractérisations vues plus haut : un point est sur l'axe des réels exactement quand il est son propre symétrique par rapport à cet axe ($\bar{z}=z$), et il est sur l'axe des imaginaires exactement quand son symétrique est son opposé ($\bar{z}=-z$).

Module

Dans le plan complexe, une question géométrique se pose naturellement : à quelle distance de l'origine se trouve le point image de $z$ ? La réponse définit une nouvelle grandeur attachée à chaque nombre complexe.

La formule n'est autre que celle de la distance dans un repère orthonormé (héritée du théorème de Pythagore). Le module est toujours un réel positif ou nul, et pour un nombre réel $z=a$, on trouve $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2}$ : le module coïncide alors avec la valeur absolue, ce qui justifie que l'on utilise la même notation.

Le module est directement relié au conjugué : l'identité $z\bar{z}=a^2+b^2$ se relit désormais avec un carré de module.

C'est exactement ce qui rend la méthode du quotient si efficace : multiplier un dénominateur par son conjugué le remplace par le réel $\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2$.

Puisque $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ mesure la distance de l'origine au point image de $z$, on peut plus généralement mesurer la distance entre deux points quelconques à l'aide de leurs affixes.

C'est cohérent avec ce qui précède : $z_B-z_A$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, et son module est la norme de ce vecteur, c'est-à-dire la longueur $AB$.

Le module se comporte très bien vis-à-vis du produit et du quotient.

La dernière équivalence traduit un fait géométrique évident : le seul point du plan situé à distance nulle de l'origine est l'origine elle-même. L'égalité $\mathrm{\mid }\bar{z}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ se voit aussi géométriquement : $M(z)$ et $M^{\mathrm{\prime }}(\bar{z})$ étant symétriques par rapport à l'axe des réels, ils sont à la même distance de $O$. En revanche, prudence avec la somme : en général, $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ n'est pas égal à $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ (par exemple $\mathrm{\mid }1+(-1)\mathrm{\mid }=0$ alors que $\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }=2$).

Argument

Le module situe le point $M(z)$ sur un cercle de centre $O$ : il indique à quelle distance de l'origine il se trouve, mais pas dans quelle direction. Pour achever de repérer $M$, il manque un angle. C'est ici que la trigonométrie du chapitre précédent entre en scène : angles orientés, mesures à $2k\pi$ près, cercle trigonométrique, tout va resservir.

Comme toute mesure d'angle orienté, un argument n'est défini qu'à un nombre entier de tours près : si $\theta$ est un argument de $z$, alors $\theta +2\pi$, $\theta -2\pi$, et plus généralement $\theta +2k\pi$ pour tout entier relatif $k$, en sont aussi. On parle donc d'un argument de $z$, et on privilégie souvent la mesure principale, celle qui appartient à $]-\pi ;\pi ]$. Sur la figure, le point $M$ d'affixe $\sqrt{3}+i$ est à distance $2$ de l'origine et dans la direction repérée par l'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : son module vaut $2$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est un argument.

La position du point image sur les axes donne immédiatement l'argument dans quelques cas qu'il faut connaître par cœur.

Ces valeurs se lisent sans calcul : les réels positifs sont sur la demi-droite de $\vec{u}$ (angle nul), les réels négatifs sur la demi-droite opposée (demi-tour, angle $\pi$), les imaginaires purs sur l'axe vertical (quart de tour, angle $\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$).

L'argument et le module ont aussi une lecture riche pour le conjugué : $M(z)$ et $M^{\mathrm{\prime }}(\bar{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels, donc à la même distance de $O$ mais avec des angles opposés. Ainsi $\mathrm{\mid }\bar{z}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$, ce que l'on savait déjà, et un argument de $\bar{z}$ est $-\arg (z)$.

Forme trigonométrique

Faisons le bilan. Un nombre complexe non nul $z$ peut être repéré de deux manières dans le plan : soit par les coordonnées $(a;b)$ de son point image (c'est la forme algébrique), soit par la distance $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ et l'angle $\theta =\arg (z)$ (comme un radar repère un avion : à telle distance, dans telle direction). Reste à traduire ce second repérage en une écriture du nombre $z$ lui-même.

Le lien passe par le cercle trigonométrique. Le point $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, dans la direction d'angle $\theta$ : ses coordonnées sont donc $a=r\cos \theta$ et $b=r\sin \theta$ (sur le cercle de rayon $1$, ce seraient $\cos \theta$ et $\sin \theta$ ; on dilate tout par $r$). En reportant dans $z=a+ib$, on obtient $z=r\cos \theta +ir\sin \theta$, d'où l'écriture suivante.

Deux précautions d'emploi. D'abord, le coefficient devant la parenthèse doit être strictement positif : c'est un module. Une écriture comme $-2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ n'est pas une forme trigonométrique, à cause du $-2$. Ensuite, la forme trigonométrique n'est pas tout à fait unique : on peut remplacer $\theta$ par $\theta +2k\pi$ sans changer le nombre. Réciproquement, si $r(\cos \theta +i\sin \theta )=r^{\mathrm{\prime }}(\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}+i\sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})$ avec $r$ et $r^{\mathrm{\prime }}$ strictement positifs, alors $r=r^{\mathrm{\prime }}$ et ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\theta +2k\pi$ pour un certain entier relatif $k$ : le module est unique, l'argument est unique à $2k\pi$ près.

Passer d'une forme à l'autre est la capacité centrale du chapitre. Commençons par le sens algébrique vers trigonométrique, le plus technique.

Le passage inverse est beaucoup plus simple : il suffit de remplacer le cosinus et le sinus par leurs valeurs, puis de développer.

Nous disposons désormais de deux écritures d'un même nombre complexe, chacune avec ses points forts : la forme algébrique est idéale pour les sommes, les produits et les quotients ; la forme trigonométrique raconte la géométrie du nombre (sa distance à l'origine, sa direction). En terminale STI2D, vous découvrirez tout ce que la forme trigonométrique permet de faire de plus, et c'est elle qui fait des nombres complexes l'outil favori de l'électricien : une tension sinusoïdale se code naturellement par un nombre complexe dont le module porte l'amplitude et l'argument porte le déphasage. Les calculs sur les circuits en régime sinusoïdal deviennent alors de simples calculs dans $\mathbb{C}$, ceux que vous venez d'apprendre.