Dérivées

Le tronc commun a introduit l'un des outils les plus puissants des mathématiques : le nombre dérivé. Rappelons l'idée en quelques mots. Pour mesurer la variation d'une fonction $f$ entre deux points d'abscisses $a$ et $a+h$, on calcule le taux de variation ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$, qui est le coefficient directeur de la sécante joignant les deux points de la courbe. Lorsque $h$ se rapproche de $0$, les deux points se resserrent, la sécante pivote et vient se confondre avec la tangente : le taux de variation tend alors vers un nombre, le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, qui est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Vous savez déjà calculer les dérivées de $x^2$, de $x^3$ et des polynômes de degré au plus $3$, et vous savez que le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ commande les variations de $f$.

Ce chapitre de spécialité complète ce socle dans trois directions. D'abord, il introduit les notations de la physique : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$, que vous croiserez dans tous vos cours de physique-chimie, et qui donnent à la dérivée son vrai visage de « vitesse de variation ». Ensuite, il exploite la tangente pour faire du calcul approché : près d'un point, une courbe se confond avec sa tangente, et cela permet d'estimer très vite des valeurs comme $(\mathrm{1,02}{)}^2$ sans calculatrice. Enfin et surtout, il fournit de nouvelles règles de calcul : dérivée d'un produit, d'un quotient, des fonctions cosinus et sinus, et des signaux $t\mapsto A\cos (\omega t+\phi )$ rencontrés au chapitre de trigonométrie. À la fin du chapitre, vous saurez dériver toutes les fonctions utiles en sciences, et donc étudier leurs variations.

Les notations de la dérivée

Commençons par installer le vocabulaire et les notations que la physique utilise en permanence. Considérons une grandeur $y$ qui dépend d'une grandeur $x$ par une fonction $f$ : on écrit $y=f(x)$. Lorsque $x$ passe d'une valeur $x_0$ à une valeur $x_0+\mathrm{\Delta }x$, la grandeur $y$ varie d'une quantité $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$. La lettre grecque $\mathrm{\Delta }$ (delta majuscule) se lit « variation de » : $\mathrm{\Delta }x$ est la variation de $x$, $\mathrm{\Delta }y$ la variation de $y$ qui en résulte. Le quotient ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ n'est autre que le taux de variation du tronc commun : il mesure la variation moyenne de $y$ par unité de $x$, entre $x_0$ et $x_0+\mathrm{\Delta }x$.

Que se passe-t-il quand $\mathrm{\Delta }x$ devient de plus en plus petit ? Le taux de variation ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ se rapproche du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ : c'est exactement la définition vue en tronc commun, avec $\mathrm{\Delta }x$ dans le rôle de $h$. Pour rappeler cette origine, la physique note le nombre dérivé comme un quotient de variations devenues infinitésimales : les $\mathrm{\Delta }$, devenus infiniment petits, s'écrivent avec la lettre $\mathrm{d}$.

Cette notation, due à Leibniz, présente deux avantages qui expliquent son succès en sciences. D'une part, elle affiche les grandeurs en jeu : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ dit explicitement que l'on mesure la variation de $y$ par rapport à celle de $x$, ce qui est précieux quand plusieurs variables coexistent dans un problème de physique. D'autre part, elle garde la trace des unités : si $y$ est en mètres et $x$ en secondes, alors ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ s'exprime en mètres par seconde, comme le quotient dont elle provient.

Le cas le plus important est celui où la variable est le temps $t$. Si une grandeur $y$ évolue au cours du temps selon $y=f(t)$, alors ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}$ mesure la vitesse de variation de cette grandeur à l'instant considéré : vitesse d'un mobile si $y$ est une position, vitesse de montée en température si $y$ est une température, vitesse de charge si $y$ est la charge d'un condensateur.

Retenons cette double lecture, qui accompagnera tout le chapitre : $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ est un objet géométrique (le coefficient directeur de la tangente) et ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}(x_0)$ est le même objet vu comme grandeur physique (un taux de variation instantané).

L'approximation affine

Zoomons sur la courbe d'une fonction au voisinage d'un de ses points. Plus on zoome, plus la courbe paraît droite : à très petite échelle, elle devient indiscernable de sa tangente. Cette observation, anodine en apparence, fournit un outil de calcul remarquable : puisque courbe et tangente se confondent près du point de contact, on peut remplacer les valeurs de la fonction, parfois pénibles à calculer, par les valeurs prises sur la tangente, qui relèvent d'un simple calcul affine.

Mettons cette idée en formule. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation réduite $y=f(x_0)+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$, résultat connu du tronc commun. Au point d'abscisse $x=x_0+h$, l'ordonnée sur la tangente vaut donc $f(x_0)+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)h$. Si $h$ est petit, ce nombre est très proche de la valeur exacte $f(x_0+h)$.

La figure illustre la situation pour la fonction carré $f(x)=x^2$ au point $A(1;1)$. La tangente en $A$ a pour coefficient directeur $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$, d'où son équation $y=2x-1$. En $x=\mathrm{1,4}$, c'est-à-dire pour $h=\mathrm{0,4}$, la courbe passe à l'ordonnée ${\mathrm{1,4}}^2=\mathrm{1,96}$ tandis que la tangente passe à l'ordonnée $2\times \mathrm{1,4}-1=\mathrm{1,8}$ : l'écart, bien visible sur la figure, vaut $\mathrm{0,16}$. Mais observez comme les deux tracés se rapprochent quand on revient vers $A$ : pour un $h$ plus petit, l'approximation devient excellente.

La forme physique $\mathrm{\Delta }y\approx f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mathrm{\Delta }x$ mérite qu'on s'y arrête une seconde. Elle dit qu'au voisinage d'un point de fonctionnement, une petite cause $\mathrm{\Delta }x$ produit un effet proportionnel $\mathrm{\Delta }y$, le coefficient de proportionnalité étant le nombre dérivé. C'est ainsi qu'un physicien estime l'effet d'une petite erreur de mesure, d'une petite variation de température ou de tension : au premier ordre, tout est linéaire. Cette idée, que vous retrouverez sans cesse en sciences de l'ingénieur et en physique-chimie, est l'une des raisons d'être de la dérivée.

Dérivées des fonctions de référence

Passons maintenant au cœur du chapitre : élargir la liste des fonctions que l'on sait dériver. Le tronc commun a établi deux résultats : la dérivée de $x\mapsto x^2$ est $x\mapsto 2x$, et celle de $x\mapsto x^3$ est $x\mapsto 3x^2$. Mettons-les côte à côte : $(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x^1$ et $(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2$. Dans les deux cas, l'exposant descend en facteur et diminue d'une unité. Ce motif n'est pas une coïncidence : il se prolonge à toutes les puissances entières.

Une deuxième fonction de référence rejoint notre catalogue : la fonction inverse $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, définie pour tout $x$ non nul. Sa dérivée est admise ici ; nous verrons plus loin qu'elle se retrouve aussi comme cas particulier de la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{v}}$.

Voici maintenant une remarque qui rend ce résultat facile à mémoriser. Avec la notation des puissances d'exposant négatif, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$. Appliquons formellement la formule ${\left(x^n\right)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$ avec $n=-1$ : on obtient $(-1)\times x^{-2}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$… qui est exactement la bonne dérivée !

Le tableau suivant récapitule les dérivées de référence du chapitre ; il est à connaître parfaitement.

Dérivée d'une somme et d'un produit

Les fonctions rencontrées en sciences sont rarement des fonctions de référence à l'état pur : ce sont des sommes, des produits, des quotients de fonctions de référence. Il nous faut donc des règles d'assemblage qui, connaissant les dérivées des morceaux, donnent la dérivée de l'ensemble. La première, vue en tronc commun pour les polynômes de petit degré, s'énonce en toute généralité.

Combinée au tableau des dérivées de référence, cette règle permet de dériver n'importe quel polynôme, quel que soit son degré : un polynôme est une somme de termes de la forme $a{x}^n$, et chacun se dérive en $an{x}^{n-1}$. Tout polynôme est donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est encore un polynôme, de degré diminué d'une unité.

Venons-en au produit de deux fonctions, et commençons par déjouer un piège : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Un contre-exemple immédiat le montre : prenons $u(x)=v(x)=x$. Alors $u(x)v(x)=x^2$, dont la dérivée est $2x$ ; mais $u^{\mathrm{\prime }}(x)\times v^{\mathrm{\prime }}(x)=1\times 1=1$. La formule naïve $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$ est donc fausse. La formule correcte est plus subtile, et plus intéressante.

D'où vient cette formule ? Donnons le principe de la démonstration, qui repose sur le taux de variation. Fixons un réel $a$ de $I$ et un réel $h$ non nul, et formons le taux de variation de la fonction $uv$ entre $a$ et $a+h$ :

$$\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}$$

L'astuce consiste à faire apparaître les taux de variation de $u$ et de $v$ séparément, en retranchant puis rajoutant la quantité intermédiaire $u(a)v(a+h)$ au numérateur :

$$u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)=\underset{\text{variation de }u}{\underbrace{(u(a+h)-u(a))v(a+h)}}+\underset{\text{variation de }v}{\underbrace{u(a)(v(a+h)-v(a))}}$$

En divisant par $h$, le taux de variation du produit s'écrit donc :

$$\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times \frac{v(a+h)-v(a)}{h}$$

Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$ : le premier quotient se rapproche de $u^{\mathrm{\prime }}(a)$, le facteur $v(a+h)$ se rapproche de $v(a)$, et le second quotient se rapproche de $v^{\mathrm{\prime }}(a)$. Le taux de variation du produit tend donc vers $u^{\mathrm{\prime }}(a)v(a)+u(a)v^{\mathrm{\prime }}(a)$ : c'est bien la formule annoncée. On comprend au passage pourquoi deux termes apparaissent : quand $h$ varie, les deux facteurs du produit varient, et chacun apporte sa contribution.

Dérivée de l'inverse et d'un quotient

Pour dériver des fonctions comme $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ ou $x\mapsto {\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$, il nous manque encore deux règles : celle de l'inverse d'une fonction, et celle d'un quotient. Une précaution s'impose d'emblée : un quotient n'existe que là où son dénominateur ne s'annule pas. L'ensemble de dérivation exclura donc systématiquement les zéros du dénominateur.

Deux remarques éclairent cette formule. D'abord, elle est cohérente avec la dérivée de la fonction inverse : en prenant $v(x)=x$, donc $v^{\mathrm{\prime }}(x)=1$, on retrouve ${\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Ensuite, le signe « moins » a un sens : comme $v^2>0$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{v}}$ est du signe opposé à celui de $v^{\mathrm{\prime }}$. C'est conforme à l'intuition : quand une quantité augmente, son inverse diminue.

Le cas général d'un quotient ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ combine les idées du produit et de l'inverse. Le résultat suivant est admis : sa formule doit être connue avec précision, car l'ordre des termes au numérateur n'est pas interchangeable à cause du signe « moins ».

Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Le chapitre de trigonométrie a introduit les fonctions cosinus et sinus, et les signaux sinusoïdaux $t\mapsto A\cos (\omega t+\phi )$ qui modélisent tensions alternatives, sons et vibrations. Pour étudier les variations de ces signaux, et surtout pour calculer les vitesses de variation des grandeurs oscillantes (c'est ce qu'on leur demande sans cesse en physique), il nous faut leurs dérivées. Les deux formules suivantes sont admises.

Sans en donner une démonstration, on peut rendre ces formules très plausibles par une lecture graphique : sur la courbe de sinus, la pente vaut $1$ à l'origine (là où $\cos 0=1$), s'annule au sommet d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (là où le cosinus s'annule), puis devient négative dans la descente (là où le cosinus est négatif) — la courbe des pentes de sinus est exactement la courbe de cosinus. Signalons aussi un point capital pour la pratique : ces formules ne sont valables que si $x$ est mesuré en radians. C'est l'une des grandes raisons pour lesquelles le radian est l'unité d'angle des mathématiques et de la physique.

En sciences, cosinus et sinus apparaissent rarement seuls : l'argument est presque toujours une expression affine de la variable, comme dans $\cos (2x+1)$ ou $\sin (\omega t+\phi )$. La règle suivante, dernier outil du chapitre, traite exactement ce cas.

Appliquons enfin cette règle aux signaux sinusoïdaux généraux, ceux que la physique écrit avec une amplitude $A$, une pulsation $\omega$ et une phase à l'origine $\phi$. L'argument $\omega t+\phi$ est affine en $t$, de coefficient $a=\omega$ : la règle précédente s'applique directement, et le facteur $A$ reste en place (produit par une constante).

Dérivée et sens de variation

Toutes ces règles de calcul convergent vers un même objectif, déjà rencontré en tronc commun : étudier les variations d'une fonction grâce au signe de sa dérivée. Le théorème est inchangé ; ce qui change, c'est la portée de l'outil. Armés des dérivées de quotients et de fonctions trigonométriques, nous pouvons désormais étudier toutes les fonctions du programme, et plus seulement les polynômes de degré $3$.

La dérivée en physique

Terminons par une synthèse du fil conducteur de ce chapitre : en sciences, la dérivée est la manière de parler de vitesse de variation. Chaque fois qu'une grandeur $y$ dépend du temps $t$, sa dérivée ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}$ mesure la rapidité avec laquelle elle évolue à un instant donné. Trois situations reviennent constamment dans vos cours de physique-chimie.

En cinématique, la position $x(t)$ d'un mobile se dérive en sa vitesse, et la vitesse se dérive à son tour en accélération : la vitesse dit à quel rythme la position change, l'accélération dit à quel rythme la vitesse change. En cinétique chimique, étudiée en STL, la concentration d'une espèce évolue au cours d'une réaction : la dérivée de la concentration d'un produit mesure sa vitesse d'apparition ; pour un réactif, dont la concentration diminue, la dérivée est négative et sa valeur absolue mesure la vitesse de disparition. En énergétique enfin, la puissance est la dérivée de l'énergie par rapport au temps : recevoir beaucoup d'énergie en peu de temps, c'est recevoir une grande puissance, exactement comme parcourir beaucoup de distance en peu de temps, c'est avoir une grande vitesse.

Un même outil, trois lectures : coefficient directeur d'une tangente pour le géomètre, taux de variation infinitésimal ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ pour le physicien, machine à produire des tableaux de variations pour l'analyste. Les règles de calcul de ce chapitre — produit, quotient, fonctions trigonométriques, $f(ax+b)$ — vous donnent accès à toutes les fonctions du programme : les exercices vont maintenant les faire fonctionner ensemble, du calcul de dérivée brut jusqu'à l'optimisation de grandeurs physiques.