Devoir surveillé — Dérivation : applications et variations

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la fonction dérivée. Les huit calculs sont indépendants ; on précisera la ou les formules utilisées.

1. $f_1(x)=4x^3-5x^2+7$ sur $\mathbb{R}$.
2. $f_2(x)=x^5-3x+2$ sur $\mathbb{R}$.
3. $f_3(x)=3\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.
4. $f_4(x)={\displaystyle \frac{x^3}{6}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ sur $\mathbb{R}$.
5. $f_5(x)=(x^2+1)(3x-4)$ sur $\mathbb{R}$.
6. $f_6(x)=\sqrt{x}(x-4)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.
7. $f_7(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$.
8. $f_8(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+3}}$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.
2. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6(x-1)(x-2)$ pour tout réel $x$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. La fonction $f$ admet-elle des extremums locaux ? Si oui, préciser leur nature (maximum ou minimum local), la valeur de $x$ en laquelle chacun est atteint et sa valeur.
5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
6. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur $\mathbb{R}$ ? Justifier. (On pourra calculer $f(10)$.)

1. Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ : a. $g(x)=x^4-5x^2$ ; b. $h(x)=x^2+x$.

2. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement (une justification par un contre-exemple est acceptée).

   Affirmation A. « Si $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors $f$ admet un extremum local en $a$. »

   Affirmation B. « Si $f$ est une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ et si le point $A(2;-3)$ appartient à sa courbe représentative, alors le point $B(-2;3)$ appartient aussi à sa courbe. »

Un artisan fabrique une gouttière à partir d'une longue tôle métallique de $40$ cm de large. Pour cela, il plie la tôle en relevant perpendiculairement deux bords de même hauteur : chaque bord relevé a pour hauteur $x$ centimètres, et la partie restée à plat forme le fond de la gouttière. La section de la gouttière (vue en coupe) est donc un rectangle ouvert vers le haut : deux côtés verticaux de hauteur $x$ cm et un fond horizontal.

L'artisan souhaite que la gouttière puisse évacuer le plus d'eau possible : il cherche donc la valeur de $x$ qui rend l'aire de la section rectangulaire maximale.

1. Justifier que le fond de la gouttière a pour largeur $(40-2x)$ cm, que l'aire de la section, en cm${}^2$, vaut $S(x)=x(40-2x)$, et que $x$ appartient à l'intervalle $[0;20]$.
2. Développer $S(x)$, puis calculer $S^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Étudier le signe de $S^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;20]$ et dresser le tableau de variations de $S$ sur cet intervalle.
4. En déduire la hauteur $x$ pour laquelle l'aire de la section est maximale, ainsi que la valeur de cette aire maximale. Conclure par une phrase décrivant les dimensions de la gouttière optimale.

Démontrer que pour tout réel $x>0$ :

Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.