Fonction exponentielle

Existe-t-il une fonction égale à sa propre dérivée ? La question peut sembler abstraite, mais elle surgit naturellement dès que l'on modélise le monde réel. Considérons une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même : une population de bactéries dont le nombre de naissances par heure est proportionnel au nombre de bactéries présentes ; un capital placé à taux fixe, dont les intérêts produits chaque instant sont proportionnels au capital atteint ; une substance radioactive, dont le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux restants. Dans chacune de ces situations, si $f(t)$ désigne la grandeur à l'instant $t$, alors la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ — qui mesure la vitesse de variation — est proportionnelle à $f(t)$.

Le cas le plus simple est celui où le coefficient de proportionnalité vaut $1$ : on cherche alors une fonction $f$ vérifiant $f^{\mathrm{\prime }}=f$. Aucune des fonctions de référence ne convient : les polynômes perdent un degré en dérivant, la racine carrée et l'inverse changent complètement de forme. Il faut donc introduire une fonction nouvelle, qui sera l'objet de ce chapitre : la fonction exponentielle. Elle rejoint le catalogue des fonctions de référence et jouera un rôle central en terminale puis dans les études supérieures.

Mais comment « voir » une fonction dont on ne connaît qu'une équation portant sur sa dérivée ? La méthode d'Euler, présentée dès la première section, permet de construire pas à pas une courbe approchée : en partant d'un point connu et en suivant à chaque étape la direction de la tangente, on trace le graphe d'une fonction que l'on ne sait pas encore calculer. C'est cette méthode qui a historiquement permis d'apprivoiser l'exponentielle, et c'est par elle que nous commencerons.

Définition et premières propriétés

L'existence d'une telle fonction et son unicité sont admises : les outils pour les démontrer relèvent de l'enseignement supérieur. Retenons néanmoins ce que dit précisément cette définition : la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, elle est égale à sa propre dérivée, et elle prend la valeur $1$ en $0$. La condition $\exp (0)=1$ est indispensable : sans elle, tout multiple d'une solution serait encore solution, et la fonction ne serait pas unique.

Ainsi, pour tout réel $x$, on a ${\exp }^{\mathrm{\prime }}(x)=\exp (x)$. Cette égalité, d'apparence anodine, est la clé de toutes les propriétés du chapitre : chaque fois que nous aurons besoin de dériver l'exponentielle, la dérivée sera… l'exponentielle elle-même.

Remarque. La définition ne donne aucun moyen direct de calculer $\exp (1)$, $\exp (2)$ ou $\exp (-\mathrm{0,3})$ : contrairement aux fonctions de référence rencontrées jusqu'ici, l'exponentielle n'est pas définie par une formule explicite, mais par une propriété (une équation reliant la fonction et sa dérivée). C'est pourquoi la méthode suivante, qui permet d'en calculer des valeurs approchées, est si précieuse.

La fonction exponentielle ne s'annule jamais

Une question se pose immédiatement : la courbe de l'exponentielle peut-elle couper l'axe des abscisses ? La réponse est non, et c'est la première propriété remarquable de cette fonction. Elle repose sur la relation suivante.

Nous admettons cette relation ; elle est en fait un cas particulier de la relation fonctionnelle $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$ énoncée à la section suivante (il suffit d'y prendre $y=-x$ et d'utiliser $\exp (0)=1$).

Elle a deux conséquences majeures, dont les démonstrations sont exigibles.

Démonstration (non-annulation). Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un réel $a$ tel que $\exp (a)=0$. En appliquant la relation précédente en $x=a$ :

$$\exp (a)\times \exp (-a)=1,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}0\times \exp (-a)=1,$$

soit $0=1$, ce qui est absurde. Il n'existe donc aucun réel $a$ tel que $\exp (a)=0$ : la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration (stricte positivité). Soit $x$ un réel. En écrivant $x={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}$ et en utilisant la relation fonctionnelle $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$ (énoncée à la section suivante) avec $x$ et $y$ tous deux égaux à ${\displaystyle \frac{x}{2}}$, on obtient

$$\exp (x)=\exp \left(\frac{x}{2}\right)\times \exp \left(\frac{x}{2}\right)={(\exp \left(\frac{x}{2}\right))}^2\mathrm{.}$$

Un carré est toujours positif ou nul, donc $\exp (x)\ge 0$. Mais on vient de démontrer que $\exp (x)\mathrm{\ne }0$. On conclut :

$$\exp (x)>0\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }x\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Remarque. Ce résultat est d'une grande utilité pratique : dans une étude de signe ou une résolution d'inéquation, tout facteur de la forme $\exp (\cdots )$ est strictement positif et peut donc être « ignoré » (on peut diviser par lui sans changer le sens des inégalités). Nous en ferons un usage constant.

Propriétés algébriques

La relation suivante est la propriété la plus importante de la fonction exponentielle : elle transforme les sommes en produits. C'est elle qui explique le nom « exponentielle » et le lien avec les puissances, que la section suivante rendra explicite.

Démonstration des conséquences.

Premier point. D'après la section précédente, $\exp (x)\times \exp (-x)=1$ et $\exp (x)\mathrm{\ne }0$. En divisant les deux membres par $\exp (x)$, on obtient

$$\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}\mathrm{.}$$

Deuxième point. On écrit $x-y=x+(-y)$ et on applique la relation fonctionnelle puis le premier point :

$$\exp (x-y)=\exp (x)\times \exp (-y)=\exp (x)\times \frac{1}{\exp (y)}=\frac{\exp (x)}{\exp (y)}\mathrm{.}$$

Troisième point. Traitons d'abord le cas $n\ge 0$. Pour $n=0$, les deux membres valent $1$ (car $\exp (0)=1$ et une puissance d'exposant nul vaut $1$). Pour $n\ge 1$, on applique la relation fonctionnelle de proche en proche :

$$\exp (nx)=\exp \left(\underset{n\text{ termes}}{\underbrace{x+x+\cdots +x}}\right)=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{\exp (x)\times \exp (x)\times \cdots \times \exp (x)}}={(\exp (x))}^n\mathrm{.}$$

(Une rédaction complète utiliserait un raisonnement par récurrence, vu au chapitre sur les suites : la propriété est vraie au rang $0$, et si $\exp (nx)=(\exp (x){)}^n$, alors $\exp ((n+1)x)=\exp (nx+x)=\exp (nx)\exp (x)=(\exp (x){)}^{n+1}$.)

Enfin, si $n$ est un entier strictement négatif, on pose $m=-n\ge 1$ et on combine le cas positif avec le premier point :

$${(\exp (x))}^n=\frac{1}{{(\exp (x))}^m}=\frac{1}{\exp (mx)}=\exp (-mx)=\exp (nx)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

On retiendra que la fonction exponentielle se comporte exactement comme une puissance : les règles de calcul sur $\exp$ sont celles des exposants. Somme des exposants pour un produit, différence pour un quotient, produit pour une puissance.

Le nombre e et la notation exponentielle

Le nombre $\mathrm{e}$ est une constante mathématique fondamentale, au même titre que $\pi$. Comme $\pi$, c'est un nombre irrationnel : son écriture décimale $\mathrm{2,718}281828\dots$ ne s'arrête jamais et ne devient jamais périodique.

Ce nombre justifie une nouvelle notation. D'après la propriété ${(\exp (x))}^n=\exp (nx)$ appliquée avec $x=1$, on a pour tout entier relatif $n$ :

$$\exp (n)={(\exp (1))}^n={\mathrm{e}}^n\mathrm{.}$$

Ainsi $\exp (2)={\mathrm{e}}^2$, $\exp (3)={\mathrm{e}}^3$, $\exp (-1)={\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ : sur les entiers, la fonction exponentielle coïncide avec les puissances du nombre $\mathrm{e}$. On convient alors d'étendre cette écriture à tous les réels :

Cette notation est cohérente : les propriétés algébriques de la section précédente deviennent exactement les règles de calcul sur les puissances, ce qui les rend faciles à mémoriser. Pour tous réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n$ :

$${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^y,{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x},{\mathrm{e}}^{x-y}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y},{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^n={\mathrm{e}}^{nx},{\mathrm{e}}^0=1.$$

Dans toute la suite du chapitre, nous utiliserons la notation ${\mathrm{e}}^x$.

Signe, variations et courbe

Nous savons déjà que l'exponentielle est strictement positive. Son sens de variation s'en déduit immédiatement — c'est l'une des démonstrations exigibles du chapitre, et sans doute la plus courte.

Démonstration (croissance). La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, par définition, ${\exp }^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x$ pour tout réel $x$. Or on a démontré que ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout réel $x$ : la dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème du lien entre signe de la dérivée et sens de variation, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

On résume ces informations dans le tableau de variations :

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\exp'(x) = \mathrm{e}^x$

$+$

$\mathrm{e}^x$

Décrivons le comportement de la courbe aux extrémités, sans formalisme : lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, ${\mathrm{e}}^x$ devient aussi grand que l'on veut (déjà ${\mathrm{e}}^{10}\approx 22026$ et ${\mathrm{e}}^{20}\approx \mathrm{4,85}\times {10}^8$ : la croissance est spectaculaire). Lorsque $x$ prend des valeurs négatives de plus en plus éloignées de $0$, ${\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{-x}}}$ est l'inverse d'un nombre très grand : ${\mathrm{e}}^x$ se rapproche de $0$ tout en restant strictement positif (${\mathrm{e}}^{-10}\approx \mathrm{0,000}045$). La courbe s'aplatit donc le long de l'axe des abscisses à gauche, sans jamais le toucher, et s'envole à droite.

Quelques valeurs pour tracer la courbe : ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,14}$, ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,37}$, ${\mathrm{e}}^0=1$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,65}$, ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$.

Deux tangentes remarquables. Comme ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$, la tangente au point d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur ${\mathrm{e}}^a$ et pour équation $y={\mathrm{e}}^a(x-a)+{\mathrm{e}}^a$.

• En $0$ : ${\mathrm{e}}^0=1$, donc la tangente a pour équation $y=1\times (x-0)+1$, soit $y=x+1$. La courbe est tangente à cette droite au point $(0;1)$.
• En $1$ : ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}$, donc la tangente a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}$, soit $y=\mathrm{e}x$. Cette tangente passe par l'origine du repère — un moyen élégant de placer le point $(1;\mathrm{e})$ sur un tracé.

La stricte croissance a une conséquence essentielle : deux réels distincts ont toujours des images distinctes par l'exponentielle. Cela permet de résoudre des équations et des inéquations en « supprimant les exponentielles ».

En effet, si $a=b$ alors évidemment ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b$ ; réciproquement, si $a\mathrm{\ne }b$, l'un des deux réels est strictement inférieur à l'autre, et la stricte croissance donne ${\mathrm{e}}^a\mathrm{\ne }{\mathrm{e}}^b$. La seconde équivalence est la traduction directe de la stricte croissance (et de sa réciproque). Elle reste bien sûr valable avec $\le$, $>$ ou $\ge$.

Remarque. Une équation comme ${\mathrm{e}}^x=5$ ne peut pas se résoudre par cette méthode : $5$ ne s'écrit pas naturellement sous la forme ${\mathrm{e}}^b$ avec $b$ connu. La stricte croissance et le comportement de la courbe garantissent qu'une unique solution existe, et la calculatrice (par balayage d'un tableau de valeurs) en donne une valeur approchée : $x\approx \mathrm{1,609}$. L'outil qui permet de résoudre exactement ce type d'équation sera introduit en terminale.

Dérivée des fonctions exponentielles du temps

Dans les applications, le temps $t$ intervient presque toujours sous la forme ${\mathrm{e}}^{at}$, où $a$ est un coefficient réel fixé : ${\mathrm{e}}^{2t}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$… Il faut donc savoir dériver ces fonctions.

Cette propriété est admise. On peut toutefois en vérifier la cohérence sur un cas particulier : pour $a=2$, on a ${\mathrm{e}}^{2t}={\mathrm{e}}^t\times {\mathrm{e}}^t$, produit de deux fonctions dérivables ; la formule du produit donne

$${({\mathrm{e}}^t\times {\mathrm{e}}^t)}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^t\times {\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^t\times {\mathrm{e}}^t=2{\mathrm{e}}^t\times {\mathrm{e}}^t=2{\mathrm{e}}^{2t},$$

ce qui est bien la formule annoncée avec $a=2$. Le même raisonnement fonctionne pour tout entier $a$ positif.

Retenons le mécanisme : dériver ${\mathrm{e}}^{at}$, c'est multiplier par le coefficient $a$ (et l'exponentielle reste inchangée). Trois cas particuliers utiles : pour $a=1$, on retrouve ${\left({\mathrm{e}}^t\right)}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^t$ ; pour $a=-1$, ${\left({\mathrm{e}}^{-t}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-{\mathrm{e}}^{-t}$ ; pour $a=0$, la fonction constante ${\mathrm{e}}^0=1$ a bien pour dérivée $0$.

Croissances et décroissances exponentielles

Revenons au point de départ du chapitre : la modélisation des grandeurs dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même. Ces grandeurs s'expriment à l'aide des fonctions $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ et $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$, où $k$ est un réel strictement positif.

D'après la section précédente, la dérivée de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ est $t\mapsto k{\mathrm{e}}^{kt}$, strictement positive (produit de $k>0$ et d'une exponentielle) : la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De même, la dérivée de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$ est $t\mapsto -k{\mathrm{e}}^{-kt}$, strictement négative : la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Les deux courbes passent par le point $(0;1)$, et plus $k$ est grand, plus la croissance (ou la décroissance) est rapide.

On parle de croissance exponentielle pour $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ : la grandeur devient aussi grande que l'on veut, et sa progression s'accélère sans cesse. On parle de décroissance exponentielle pour $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$ : la grandeur se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre, et sa décroissance ralentit sans cesse.

Ces fonctions généralisent aux instants réels un objet bien connu pour les instants entiers : les suites géométriques.

Démonstration. On a $u_0={\mathrm{e}}^0=1$. Pour tout entier naturel $n$, la relation fonctionnelle donne

$$u_{n+1}={\mathrm{e}}^{(n+1)a}={\mathrm{e}}^{na+a}={\mathrm{e}}^{na}\times {\mathrm{e}}^a=u_n\times {\mathrm{e}}^a\mathrm{.}$$

Chaque terme s'obtient donc en multipliant le précédent par le nombre constant ${\mathrm{e}}^a$ : la suite $(u_n)$ est géométrique de raison ${\mathrm{e}}^a$. $\mathrm{\square }$

Ce lien éclaire les deux points de vue sur une même réalité : observer une grandeur exponentielle à intervalles de temps réguliers (chaque année, chaque jour…) fait apparaître une suite géométrique ; la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{at}$ en est le prolongement continu, défini à tout instant. Si $a>0$, la raison ${\mathrm{e}}^a$ est supérieure à $1$ (croissance) ; si $a<0$, elle est comprise entre $0$ et $1$ (décroissance).

Remarque. La même démarche s'applique à un capital placé à taux fixe : un capital de $5000$ € placé à intérêts composés en continu au taux de $3\mathrm{\%}$ par an vaut $C(t)=5000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,03}t}$ euros au bout de $t$ années — croissance exponentielle cette fois, et le tableau de valeurs montre que le capital double entre la 23e et la 24e année ($C(23)\approx 9\mathrm{968,58}$ et $C(24)\approx 10\mathrm{272,17}$).

Algorithmes

Terminons en automatisant les deux calculs approchés rencontrés dans ce chapitre.

Méthode d'Euler. Le programme suivant reproduit le calcul de la première section : partant de $y=\exp (0)=1$, il avance de $x=0$ à $x=1$ par pas de $h$, en remplaçant à chaque étape la courbe par sa tangente ($y$ devient $y+h\times y$, puisque ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$).

h = 0.25            # pas de la methode (a diminuer pour plus de precision)
x = 0               # abscisse de depart
y = 1               # valeur initiale : exp(0) = 1
while x < 1:        # tant qu'on n'a pas atteint x = 1
    y = y + h * y   # approximation exp(x + h) = exp(x) + h * exp(x)
    x = x + h       # on avance d'un pas
print(y)            # valeur approchee de exp(1) = e

Avec h = 0.25, le programme affiche 2.44140625, la valeur trouvée à la main. En remplaçant la première ligne par h = 0.01, il affiche environ 2.7048 ; avec h = 0.0001, environ 2.71814. On observe expérimentalement que la valeur approchée se rapproche de $\mathrm{e}$ quand le pas diminue — au prix d'un nombre d'étapes de plus en plus grand.

Valeur approchée de $\mathrm{e}$ par la suite ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$. C'est le calcul de la section sur le nombre $\mathrm{e}$ :

n = 1000000                  # nombre d'etapes (plus n est grand, mieux c'est)
e_approx = (1 + 1/n) ** n    # terme de rang n de la suite
print(e_approx)              # affiche 2.7182804... (e = 2.7182818...)

Les deux programmes calculent en réalité la même chose : $n$ étapes d'Euler de pas $h={\displaystyle \frac{1}{n}}$ reviennent à multiplier $n$ fois la valeur initiale $1$ par $(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$, c'est-à-dire à calculer ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$.

En résumé : la fonction exponentielle est définie par la propriété ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$ avec $\exp (0)=1$ ; elle est strictement positive, strictement croissante, transforme les sommes en produits, et la notation ${\mathrm{e}}^x$ en fait une machine à calculer aussi maniable que les puissances. C'est la fonction naturelle des phénomènes de croissance et de décroissance proportionnelles à eux-mêmes — et l'un des piliers de l'analyse que la classe de terminale approfondira.