1ʳᵉ spé · Chapitre 04 · Analyse

Dérivation : applications et variations

Dérivées de référence, opérations (produit, quotient), signe de la dérivée et variations, extremums, parité des fonctions, optimisation.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Au chapitre précédent, la dérivation a été étudiée d'un point de vue local : en un point donné de la courbe, le nombre dérivé mesure la pente de la tangente. Ce chapitre change d'échelle et adopte un point de vue global : en calculant le nombre dérivé en tout point d'un intervalle, on construit une nouvelle fonction, la fonction dérivée. Son signe révèle alors le comportement de la fonction tout entière — où elle monte, où elle descend, où elle atteint ses sommets. C'est l'un des outils les plus puissants de l'analyse : il permet de résoudre des problèmes d'optimisation, de démontrer des inégalités et de comparer des courbes.

De la dérivée en un point à la fonction dérivée

Commençons par un bref rappel du chapitre précédent. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ . Pour $h \neq 0$ , le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque ce taux de variation se rapproche d'un réel unique lorsque $h$ se rapproche de $0$ . Ce réel est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ . On résume cette définition par la notation

f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h},

qui se lit : « lorsque $h$ se rapproche de $0$ , le taux de variation se rapproche de $f^{'} (a)$ ».

Graphiquement, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ; cette tangente a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Jusqu'ici, on calculait le nombre dérivé en un point. L'idée nouvelle de ce chapitre : le calculer en tous les points à la fois.

Définition

Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ lorsque $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$ .
La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur $I$ . On la note $f^{'}$ .

Exemple

On démontrera dans la section suivante que la fonction carré $f : x \mapsto x^{2}$ est dérivable en tout réel $x$ , avec $f^{'} (x) = 2 x$ . La fonction carré est donc dérivable sur $R$ , et sa fonction dérivée est $f^{'} : x \mapsto 2 x$ .

Ainsi $f^{'} (3) = 6$ : au point d'abscisse $3$ , la tangente à la parabole a pour coefficient directeur $6$ . Et $f^{'} (- 1) = - 2$ , $f^{'} (0) = 0$ … Une seule formule donne la pente de la tangente en n'importe quel point.

Remarque. On passe d'un nombre (le nombre dérivé $f^{'} (a)$ , attaché à un point) à une fonction (la fonction dérivée $f^{'}$ , définie sur tout l'intervalle). C'est ce changement de point de vue qui rend la dérivation si efficace : au lieu d'étudier la courbe point par point, on étudie la fonction $f^{'}$ globalement.

Dérivées des fonctions de référence

Calculer un taux de variation à chaque fois serait fastidieux. On établit donc une fois pour toutes les dérivées des fonctions usuelles.

Propriété

Dérivées des fonctions de référence.

Fonction	Dérivable sur	Dérivée
$f (x) = k$ ( $k$ constante réelle)	$R$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b$	$R$	$f^{'} (x) = a$
$f (x) = x^{2}$	$R$	$f^{'} (x) = 2 x$
$f (x) = x^{3}$	$R$	$f^{'} (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = x^{n}$ ( $n$ entier, $n \geq 1$ )	$R$	$f^{'} (x) = n x^{n - 1}$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$	$f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$
$f (x) = x^{n}$ ( $n$ entier, $n \leq - 1$ )	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$	$f^{'} (x) = n x^{n - 1}$
$f (x) = \sqrt{x}$	$] 0; + \infty [$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Démonstration. Montrons que la fonction carré est dérivable sur $R$ , de dérivée $x \mapsto 2 x$ . Soit $x$ un réel et $h \neq 0$ . Le taux de variation de la fonction carré entre $x$ et $x + h$ vaut

\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x + h .

Lorsque $h$ se rapproche de $0$ , la quantité $2 x + h$ se rapproche de $2 x$ . La fonction carré est donc dérivable en $x$ , et son nombre dérivé en $x$ vaut $2 x$ . Ceci étant vrai pour tout réel $x$ , la fonction carré est dérivable sur $R$ et sa fonction dérivée est $x \mapsto 2 x$ . $□$

Démonstration. Montrons que la fonction inverse est dérivable en tout réel $x \neq 0$ , de dérivée $- \frac{1}{x^{2}}$ . Soit $x \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $x + h \neq 0$ . On réduit au même dénominateur :

\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x (x + h)} = \frac{- h}{x (x + h)},

donc le taux de variation de la fonction inverse entre $x$ et $x + h$ vaut

\frac{1}{h} \times \frac{- h}{x (x + h)} = \frac{- 1}{x (x + h)} .

Lorsque $h$ se rapproche de $0$ , le produit $x (x + h)$ se rapproche de $x^{2}$ , donc le taux de variation se rapproche de $- \frac{1}{x^{2}}$ . La fonction inverse est donc dérivable en $x$ , avec pour nombre dérivé $- \frac{1}{x^{2}}$ . $□$

Remarques.

Pour une fonction affine $f (x) = a x + b$ , le taux de variation entre $x$ et $x + h$ vaut $\frac{a (x + h) + b - (a x + b)}{h} = \frac{a h}{h} = a$ : il est constant, donc $f^{'} (x) = a$ pour tout réel $x$ . En particulier, la dérivée d'une fonction constante ( $a = 0$ ) est nulle.
La formule ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ , valable pour tout entier relatif $n$ non nul, unifie plusieurs lignes du tableau : pour $n = 1$ on retrouve $(x)^{'} = 1$ , pour $n = 2$ et $n = 3$ les dérivées du carré et du cube, et pour $n = - 1$ la dérivée de l'inverse, puisque $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ et $(- 1) \times x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}}$ . De même, la dérivée de $x \mapsto \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ est $x \mapsto - 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x^{3}}$ .
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , bien qu'elle y soit définie : le taux de variation entre $0$ et $h$ (avec $h > 0$ ), égal à $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ , devient aussi grand que l'on veut lorsque $h$ se rapproche de $0$ ; il ne se rapproche d'aucun réel. Graphiquement, la courbe admet en l'origine une tangente verticale. Cette démonstration, exigible, a été détaillée au chapitre précédent. C'est pourquoi le tableau indique que la racine carrée est dérivable sur $] 0; + \infty [$ seulement.

Exemple

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$ . Soit $f : x \mapsto ∣ x ∣$ , définie sur $R$ . Pour $h \neq 0$ , le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$ vaut

\frac{f (0 + h) - f (0)}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} .

Étudions ce taux selon le signe de $h$ :

si $h > 0$ , alors $∣ h ∣ = h$ , et le taux vaut $\frac{h}{h} = 1$ ;
si $h < 0$ , alors $∣ h ∣ = - h$ , et le taux vaut $\frac{- h}{h} = - 1$ .

Lorsque $h$ se rapproche de $0$ en restant positif, le taux reste égal à $1$ ; lorsque $h$ se rapproche de $0$ en restant négatif, il reste égal à $- 1$ . Le taux de variation ne se rapproche donc pas d'un réel unique : $f$ n'est pas dérivable en $0$ .

Graphiquement, la courbe de la valeur absolue présente en l'origine un point anguleux : à gauche, une demi-tangente de pente $- 1$ ; à droite, une demi-tangente de pente $1$ .

En revanche, $f$ est dérivable partout ailleurs : sur $] - \infty; 0 [$ , on a $f (x) = - x$ donc $f^{'} (x) = - 1$ ; sur $] 0; + \infty [$ , on a $f (x) = x$ donc $f^{'} (x) = 1$ .

Opérations sur les fonctions dérivables

Les fonctions rencontrées en pratique sont construites à partir des fonctions de référence par sommes, produits et quotients. Les propriétés suivantes permettent de les dériver sans revenir aux taux de variation.

Dans toute cette section, $u$ et $v$ désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

Propriété

Somme et multiple. Les fonctions $u + v$ et $k u$ sont dérivables sur $I$ , et :

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'} et (k u)^{'} = k u^{'} .

En combinant les deux (avec $k = - 1$ ), on obtient aussi $(u - v)^{'} = u^{'} - v^{'}$ .

Exemple

La fonction $f : x \mapsto 4 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ est une somme de multiples de fonctions de référence : elle est dérivable sur $R$ et

f^{'} (x) = 4 \times 3 x^{2} - 5 \times 2 x + 7 = 12 x^{2} - 10 x + 7.

Plus généralement, toute fonction polynôme est dérivable sur $R$ , et se dérive terme à terme.

Propriété

Produit. La fonction $u v$ est dérivable sur $I$ , et :

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} .

Démonstration. Soit $x$ un réel de $I$ et $h \neq 0$ tel que $x + h$ appartienne à $I$ . Le taux de variation de $u v$ entre $x$ et $x + h$ vaut

\frac{u (x + h) v (x + h) - u (x) v (x)}{h} .

L'astuce consiste à retrancher puis ajouter la quantité $u (x) v (x + h)$ au numérateur :

\frac{u (x + h) v (x + h) - u (x) v (x + h) + u (x) v (x + h) - u (x) v (x)}{h},

ce qui se regroupe en

\frac{u (x + h) - u (x)}{h} \times v (x + h) + u (x) \times \frac{v (x + h) - v (x)}{h} .

Étudions chaque morceau lorsque $h$ se rapproche de $0$ :

$\frac{u (x + h) - u (x)}{h}$ se rapproche de $u^{'} (x)$ , car $u$ est dérivable en $x$ ;
$\frac{v (x + h) - v (x)}{h}$ se rapproche de $v^{'} (x)$ , car $v$ est dérivable en $x$ ;
$v (x + h)$ se rapproche de $v (x)$ : d'après l'approximation $v (x + h) \approx v (x) + v^{'} (x) h$ vue au chapitre précédent, l'écart entre $v (x + h)$ et $v (x)$ devient aussi petit que l'on veut.

Le taux de variation se rapproche donc de $u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ : la fonction $u v$ est dérivable en $x$ et $(u v)^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ . $□$

Exemple

Soit $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}$ . On pose $u (x) = x^{2} + 1$ et $v (x) = \sqrt{x}$ : ces deux fonctions sont dérivables sur $] 0; + \infty [$ , avec $u^{'} (x) = 2 x$ et $v^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . Donc $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et

f^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x) = 2 x \sqrt{x} + \frac{x^{2} + 1}{2 \sqrt{x}} .

On peut réduire au même dénominateur : comme $2 x \sqrt{x} = \frac{2 x \sqrt{x} \times 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} = \frac{4 x^{2}}{2 \sqrt{x}}$ , on obtient

f^{'} (x) = \frac{4 x^{2} + x^{2} + 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{5 x^{2} + 1}{2 \sqrt{x}} .

Propriété

Inverse et quotient. Si $v$ ne s'annule pas sur $I$ , alors les fonctions $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$ , et :

{(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} et {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} .

Remarque. La formule du quotient se déduit des précédentes : en écrivant $\frac{u}{v} = u \times \frac{1}{v}$ et en dérivant ce produit,

{(\frac{u}{v})}^{'} = u^{'} \times \frac{1}{v} + u \times (- \frac{v^{'}}{v^{2}}) = \frac{u^{'} v}{v^{2}} - \frac{u v^{'}}{v^{2}} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} .

On retient aussi que la formule de l'inverse est le cas particulier $u = 1$ de celle du quotient : c'est un bon moyen de mémoriser le signe « $-$ » du numérateur.

Méthode

Dériver un quotient sans se tromper. Dérivons $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 1}$ .

Contrôler le dénominateur. Pour tout réel $x$ , $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, donc $f$ est définie et dérivable sur $R$ (quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas).
Poser $u$ et $v$ , et calculer $u^{'}$ et $v^{'}$ séparément, avant toute autre chose :

u (x) = 2 x + 3, u^{'} (x) = 2; v (x) = x^{2} + 1, v^{'} (x) = 2 x .

Écrire la formule en respectant l'ordre — le numérateur $u^{'} v - u v^{'}$ n'est pas symétrique, c'est là que se cachent la plupart des erreurs :

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{{(v (x))}^{2}} = \frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 3) \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} .

Développer et réduire le numérateur uniquement ; on laisse le dénominateur sous sa forme factorisée $(x^{2} + 1)^{2}$ , plus commode pour étudier le signe :

f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 6 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{- 2 x^{2} - 6 x + 2}{(x^{2} + 1)^{2}} .

Signe de la dérivée et sens de variation

Voici le théorème central du chapitre. L'idée graphique est simple : là où la courbe monte, les tangentes montent aussi, donc leurs pentes $f^{'} (x)$ sont positives ; là où la courbe descend, les pentes sont négatives. Aux points où la courbe passe d'un sens à l'autre, la tangente est horizontale : $f^{'}$ s'y annule.

Une courbe qui descend, atteint un creux à tangente horizontale, monte jusqu'à un sommet à tangente horizontale, puis redescend ; les zones où f' est négative ou positive sont indiquées

Propriété

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, $f^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$ ;
$f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, $f^{'} (x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$ ;
$f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ .

De plus, si $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où $f^{'}$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (et de même pour la stricte décroissance avec $f^{'} < 0$ ).

La troisième équivalence est la caractérisation des fonctions constantes : sur un intervalle, les fonctions constantes sont exactement celles dont la dérivée est nulle partout.

Attention : le théorème s'applique sur un intervalle. La fonction inverse a pour dérivée $- \frac{1}{x^{2}}$ , strictement négative : elle est donc strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ . Mais elle n'est pas décroissante sur la réunion de ces deux intervalles : par exemple $- 1 < 1$ alors que $\frac{1}{- 1} = - 1 < 1 = \frac{1}{1}$ . On rédige donc toujours les variations intervalle par intervalle.

Méthode

Dresser le tableau de variations d'une fonction.

Justifier que $f$ est dérivable (polynôme, quotient à dénominateur non nul…) et calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ : factorisation, signe d'une fonction affine, signe d'un trinôme (discriminant ou racines évidentes)…
Construire le tableau : une ligne pour le signe de $f^{'}$ , une ligne pour les variations de $f$ ( $↗$ lorsque $f^{'} \geq 0$ , $↘$ lorsque $f^{'} \leq 0$ ).
Calculer les valeurs de $f$ aux points où $f^{'}$ change de signe, et les reporter dans le tableau.

Exemple

Étudions les variations de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ sur $R$ .

$f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $R$ , et

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9.

Signe de $f^{'} (x)$ : c'est un trinôme du second degré. Son discriminant vaut

Δ = (- 6)^{2} - 4 \times 3 \times (- 9) = 36 + 108 = 144 = 12^{2} > 0,

donc $f^{'}$ admet deux racines :

x_{1} = \frac{6 - 12}{6} = - 1 et x_{2} = \frac{6 + 12}{6} = 3.

Le coefficient de $x^{2}$ est $3 > 0$ : le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre les racines. 3. On calcule les valeurs de $f$ en $- 1$ et en $3$ :

f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 1 = 6 et f (3) = 27 - 27 - 27 + 1 = - 26.

Tableau de variations :

x

-\infty

-1

3

+\infty

f'(x)

+

0

-

0

+

f(x)

6

-26

Conclusion : $f$ est croissante sur $] - \infty; - 1]$ , décroissante sur $[- 1; 3]$ , croissante sur $[3; + \infty [$ .

Extremums d'une fonction

Le tableau de variations fait apparaître des « sommets » et des « creux » : les extremums. Précisons ce vocabulaire.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ .

$f$ admet un maximum global en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ de $I$ , $f (x) \leq f (a)$ . Le maximum est alors la valeur $f (a)$ .
$f$ admet un maximum local en $a$ lorsqu'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que, pour tout $x$ de $I$ appartenant à $J$ , $f (x) \leq f (a)$ : la valeur $f (a)$ est la plus grande au voisinage de $a$ , mais pas forcément sur $I$ tout entier.

On définit de même un minimum global et un minimum local (avec $f (x) \geq f (a)$ ). Un extremum est un maximum ou un minimum.

Par exemple, pour la fonction $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ étudiée à la section précédente, le tableau de variations montre que $f$ admet un maximum local en $- 1$ (de valeur $6$ ) et un minimum local en $3$ (de valeur $- 26$ ). Ces extremums ne sont pas globaux : on a par exemple $f (6) = 55 > 6$ et $f (- 4) = - 75 < - 26$ .

Propriété

Nombre dérivé en un extremum. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$ . Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors

f^{'} (a) = 0.

Graphiquement, la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est horizontale, d'équation $y = f (a)$ .

Remarque. L'hypothèse « intervalle ouvert » est importante : aux bornes d'un intervalle fermé, une fonction peut atteindre un extremum sans que la dérivée s'y annule. Par exemple, sur $[0; 2]$ , la fonction $x \mapsto x$ atteint son maximum en $2$ , alors que sa dérivée vaut $1$ partout.

Exemple

La réciproque est fausse ! Considérons $f (x) = x^{3}$ sur $R$ . On a $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , donc $f^{'} (0) = 0$ : la tangente à l'origine est horizontale. Pourtant, $f$ n'admet pas d'extremum en $0$ : comme $f^{'} (x) = 3 x^{2} > 0$ pour tout $x \neq 0$ , la fonction cube est strictement croissante sur $R$ , donc $f (x) < f (0)$ pour $x < 0$ et $f (x) > f (0)$ pour $x > 0$ . La tangente horizontale traverse la courbe à l'origine.

Retenons : $f^{'} (a) = 0$ est une condition nécessaire pour un extremum local en $a$ (à l'intérieur de l'intervalle), mais elle n'est pas suffisante.

Méthode

Repérer les extremums locaux dans un tableau de variations. Ce qui compte, ce n'est pas seulement que $f^{'}$ s'annule : c'est que $f^{'}$ s'annule en changeant de signe.

Déterminer les valeurs de $x$ où $f^{'} (x) = 0$ .
Examiner le signe de f′ de part et d'autre de chacune :
- signe $+$ puis $-$ : $f$ admet un maximum local ;
- signe $-$ puis $+$ : $f$ admet un minimum local ;
- pas de changement de signe : pas d'extremum (comme la fonction cube en $0$ ).
La valeur de l'extremum est $f (a)$ . Pour décider s'il est global, comparer avec les autres valeurs et les comportements lus dans le tableau.

Fonctions paires, fonctions impaires

Certaines courbes présentent une symétrie remarquable, qui se lit directement sur l'expression de la fonction et permet de réduire de moitié le travail d'étude.

Définition

Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition $D$ est symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire : pour tout $x$ de $D$ , le réel $- x$ appartient aussi à $D$ ).

$f$ est paire lorsque, pour tout $x$ de $D$ , $f (- x) = f (x)$ .
$f$ est impaire lorsque, pour tout $x$ de $D$ , $f (- x) = - f (x)$ .

Propriété

Traduction géométrique. Dans un repère orthogonal :

$f$ est paire si, et seulement si, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(O y)$ ;
$f$ est impaire si, et seulement si, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

En effet, si $f$ est paire, les points de la courbe d'abscisses $x$ et $- x$ ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l'axe $(O y)$ . Si $f$ est impaire, ils ont des ordonnées opposées : ils sont symétriques par rapport à l'origine. On remarque au passage qu'une fonction impaire définie en $0$ vérifie $f (0) = - f (0)$ , donc $f (0) = 0$ : sa courbe passe par l'origine.

À gauche, la courbe d'une fonction paire, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; à droite, celle d'une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine — deux points symétriques sont marqués sur chacune

Exemples de référence.

Fonction	Parité	Symétrie de la courbe
$x \mapsto x^{2}$	paire	axe $(O y)$
$x \mapsto ∣ x ∣$	paire	axe $(O y)$
$x \mapsto x^{3}$	impaire	centre $O$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	impaire	centre $O$

Plus généralement, la fonction $x \mapsto x^{n}$ ( $n$ entier relatif non nul) est paire lorsque $n$ est pair, impaire lorsque $n$ est impair — c'est de là que vient le vocabulaire. Ainsi $x \mapsto \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ est paire.

Méthode

Étudier la parité d'une fonction.

Vérifier que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ . S'il ne l'est pas, la fonction n'est ni paire ni impaire, et l'étude s'arrête là.
Calculer $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ dans l'expression, puis simplifier.
Comparer le résultat à f(x) et à −f(x) :
- si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x$ : $f$ est paire ;
- si $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x$ : $f$ est impaire ;
- sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire — on le justifie par un contre-exemple numérique, en comparant par exemple $f (1)$ et $f (- 1)$ .

Exemple

Trois études de parité.

$f (x) = x^{3} - 4 x$ , définie sur $R$ (symétrique par rapport à $0$ ). Pour tout réel $x$ :

f (- x) = (- x)^{3} - 4 (- x) = - x^{3} + 4 x = - (x^{3} - 4 x) = - f (x) .

Donc $f$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

$g (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 1$ , définie sur $R$ . Pour tout réel $x$ :

g (- x) = (- x)^{4} + 3 (- x)^{2} - 1 = x^{4} + 3 x^{2} - 1 = g (x) .

Donc $g$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$h (x) = x^{2} + x$ , définie sur $R$ . On calcule $h (1) = 2$ et $h (- 1) = 0$ . Comme $h (- 1) \neq h (1)$ , la fonction $h$ n'est pas paire ; comme $h (- 1) \neq - h (1)$ (car $0 \neq - 2$ ), elle n'est pas impaire. Donc $h$ n'est ni paire ni impaire.

Enfin, la fonction racine carrée, définie sur $[0; + \infty [$ , n'est ni paire ni impaire : son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à $0$ (inutile de calculer quoi que ce soit).

Remarque : à quoi sert la parité ? Elle divise le travail par deux. Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d'étudier les variations sur $[0; + \infty [$ (intersecté avec l'ensemble de définition), puis de compléter la courbe par symétrie : pour une fonction paire, le sens de variation sur $] - \infty; 0]$ est l'opposé de celui sur $[0; + \infty [$ ; pour une fonction impaire, c'est le même.

Applications

La dérivation transforme des questions variées — trouver le meilleur choix, comparer deux quantités, retrouver des résultats connus — en une seule et même démarche : étudier le signe d'une dérivée.

Résoudre un problème d'optimisation

Méthode

Optimiser une quantité, en 4 étapes.

Mettre le problème en fonction : choisir la variable $x$ , exprimer la quantité à optimiser comme une fonction de $x$ .
Préciser l'intervalle d'étude, imposé par les contraintes concrètes du problème (longueurs positives, etc.).
Étudier les variations de la fonction sur cet intervalle : dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations.
Conclure en répondant à la question posée : valeur de $x$ optimale, valeur de la quantité optimisée, et vérification de la cohérence du résultat.

Exemple

La boîte de volume maximal. Dans une plaque de carton carrée de côté $12$ cm, on découpe aux quatre coins des carrés identiques de côté $x$ , puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Quelle valeur de $x$ rend le volume de la boîte maximal ?

Mise en fonction. La base de la boîte est un carré de côté $12 - 2 x$ , et sa hauteur est $x$ . Le volume vaut donc $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ . On développe avant de dériver :

(12 - 2 x)^{2} = 144 - 48 x + 4 x^{2}, donc V (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x .

Intervalle d'étude. Il faut $x > 0$ (sinon pas de hauteur) et $12 - 2 x > 0$ , c'est-à-dire $x < 6$ (sinon plus de fond). On étudie donc $V$ sur $] 0; 6 [$ .
Variations. $V$ est une fonction polynôme, dérivable sur $] 0; 6 [$ , et

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 12 (x^{2} - 8 x + 12) = 12 (x - 2) (x - 6) .

(Les racines $2$ et $6$ du trinôme $x^{2} - 8 x + 12$ s'obtiennent avec le discriminant $Δ = 64 - 48 = 16$ .) Sur $] 0; 6 [$ , le facteur $x - 6$ est strictement négatif ; le signe de $V^{'} (x)$ est donc l'opposé de celui de $x - 2$ :

x

0

2

6

V'(x)

+

0

-

V(x)

128

Conclusion. $V$ admet un maximum en $x = 2$ , qui vaut $V (2) = 2 \times (12 - 4)^{2} = 2 \times 64 = 128$ . Le volume est maximal pour des découpes de $2$ cm de côté : la boîte mesure alors $8 \times 8 \times 2$ (en cm) et son volume vaut $128 {cm}^{3}$ .

Établir une inégalité par étude de variations

Méthode

Démontrer que $f (x) \geq g (x)$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ .

Introduire la fonction différence $d = f - g$ sur $I$ : l'inégalité à démontrer devient $d (x) \geq 0$ .
Étudier les variations de $d$ sur $I$ (dérivée, signe, tableau).
En déduire le minimum de $d$ sur $I$ : si ce minimum est positif ou nul, alors $d (x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$ , ce qui est l'inégalité voulue.

Exemple

Montrons que pour tout réel $x \geq 0$ : $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ .

On pose, pour $x > 0$ ,

d (x) = \frac{x + 1}{2} - \sqrt{x} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} - \sqrt{x} .

La fonction $d$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ (somme d'une fonction affine et d'un multiple de la racine carrée), et

d^{'} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} .

Le dénominateur $2 \sqrt{x}$ est strictement positif ; le signe de $d^{'} (x)$ est celui de $\sqrt{x} - 1$ , qui est négatif pour $0 < x < 1$ et positif pour $x > 1$ . Comme $d (1) = \frac{1 + 1}{2} - 1 = 0$ , on obtient le tableau :

x

0

1

+\infty

d'(x)

-

0

+

d(x)

0

La fonction $d$ est décroissante sur $] 0; 1]$ puis croissante sur $[1; + \infty [$ : elle admet en $1$ un minimum, qui vaut $0$ . Donc $d (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , c'est-à-dire $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ .

Enfin, pour $x = 0$ , l'inégalité s'écrit $0 \leq \frac{1}{2}$ : elle est vraie. L'inégalité est donc démontrée pour tout $x \geq 0$ , avec égalité uniquement en $x = 1$ . $□$

Étudier la position relative de deux courbes

Méthode

Comparer les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ sur un intervalle.

Poser $d = f - g$ et étudier le signe de $d (x)$ .
Si le signe s'obtient directement (factorisation, signe d'un trinôme), conclure aussitôt. Sinon, étudier les variations de $d$ et utiliser ses valeurs remarquables pour déterminer son signe.
Conclure : là où $d (x) > 0$ , $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ; là où $d (x) < 0$ , elle est en dessous ; les solutions de $d (x) = 0$ donnent les points communs.

Exemple

Position de la courbe de la fonction cube par rapport à une tangente. Soit $f (x) = x^{3}$ , de courbe $C$ , et $T$ la droite d'équation $y = 3 x - 2$ . On remarque que $T$ est la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ : en effet $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , donc la tangente en $1$ a pour équation $y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = 1 + 3 (x - 1) = 3 x - 2$ .

On pose $d (x) = x^{3} - (3 x - 2) = x^{3} - 3 x + 2$ , fonction polynôme dérivable sur $R$ , avec

d^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) .

Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines $- 1$ et $1$ , négatif entre. Avec $d (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ et $d (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ :

x

-\infty

-1

1

+\infty

d'(x)

+

0

-

0

+

d(x)

4

0

Déduisons le signe de $d$ de ses variations :

Sur $[- 1; + \infty [$ : $d$ décroît de $4$ jusqu'à son minimum $d (1) = 0$ , puis croît. Son minimum sur cet intervalle vaut $0$ , donc $d (x) \geq 0$ pour tout $x \geq - 1$ .
Sur $] - \infty; - 1]$ : $d$ est croissante, et on remarque que $d (- 2) = - 8 + 6 + 2 = 0$ . Par croissance, $d (x) \leq d (- 2) = 0$ pour $x \leq - 2$ , et $d (x) \geq d (- 2) = 0$ pour $- 2 \leq x \leq - 1$ .

Conclusion. $C$ est en dessous de $T$ sur $] - \infty; - 2]$ et au-dessus de $T$ sur $[- 2; + \infty [$ . Les deux courbes ont deux points communs : le point $(- 2; - 8)$ , où $C$ traverse la droite, et le point de tangence $(1; 1)$ , où $C$ touche la droite sans la traverser.

Le second degré revisité

En classe de seconde puis au chapitre sur le second degré, les variations du trinôme ont été admises ou obtenues par la forme canonique. La dérivation permet de les démontrer en quelques lignes.

Propriété

Soit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ . La fonction $f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 2 a x + b$ , qui s'annule en $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $] - \infty; - \frac{b}{2 a}]$ puis croissante sur $[- \frac{b}{2 a}; + \infty [$ ; elle admet un minimum global en $- \frac{b}{2 a}$ . La parabole est « tournée vers le haut ».

x

-\infty

-\dfrac{b}{2a}

+\infty

f'(x)

-

0

+

f(x)

f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)

Si $a < 0$ : $f$ est croissante puis décroissante, et admet un maximum global en $- \frac{b}{2 a}$ . La parabole est « tournée vers le bas ».

x

-\infty

-\dfrac{b}{2a}

+\infty

f'(x)

+

0

-

f(x)

f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)

Dans les deux cas, le point $S (- \frac{b}{2 a}; f (- \frac{b}{2 a}))$ est le sommet de la parabole, et la tangente en $S$ est horizontale.

Démonstration. $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $R$ , et $f^{'} (x) = 2 a x + b$ . La fonction $f^{'}$ est affine, de coefficient directeur $2 a$ , et s'annule en $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a > 0$ , alors $f^{'} (x) < 0$ pour $x < x_{0}$ et $f^{'} (x) > 0$ pour $x > x_{0}$ : d'après le théorème de la section 4, $f$ est décroissante sur $] - \infty; x_{0}]$ puis croissante sur $[x_{0}; + \infty [$ , et admet donc en $x_{0}$ un minimum global. Le cas $a < 0$ se traite de la même façon en inversant les signes. $□$

On retrouve ainsi, démontrée, l'abscisse $- \frac{b}{2 a}$ du sommet, c'est-à-dire le réel $α$ de la forme canonique.

Exemple

Soit $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$ . On a $f^{'} (x) = 4 x - 8$ , qui s'annule en $x_{0} = 2$ , avec $f^{'} (x) < 0$ pour $x < 2$ et $f^{'} (x) > 0$ pour $x > 2$ . Comme $a = 2 > 0$ , la fonction $f$ est décroissante sur $] - \infty; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ , et admet un minimum global en $2$ , qui vaut

f (2) = 2 \times 4 - 16 + 3 = - 5.

Le sommet de la parabole est donc le point $S (2; - 5)$ , et la parabole est tournée vers le haut.

En résumé : ce chapitre fournit une démarche unique — dériver, étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variations — qui répond à la fois aux questions de variations, d'extremums, d'optimisation, d'inégalités et de comparaison de courbes. C'est cette démarche que les chapitres d'analyse suivants enrichiront avec de nouvelles fonctions.

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