Dérivation : point de vue local

Comment mesurer la vitesse d'un objet à un instant précis ? Le compteur d'une voiture affiche bien une vitesse « instantanée », mais toute vitesse se calcule en divisant une distance par une durée — il faut donc deux instants… De même, comment définir la pente d'une courbe en un point, alors qu'une pente se mesure entre deux points ? Ces deux questions, étudiées au XVIIe siècle par Newton et Leibniz, admettent la même réponse : partir de deux points, puis les rapprocher indéfiniment l'un de l'autre. Ce chapitre développe cette idée d'un point de vue local, c'est-à-dire au voisinage d'un point donné de la courbe : on y étudie les sécantes, puis leur position « limite » — la tangente —, dont la pente est un nombre attaché au point, le nombre dérivé. Le chapitre suivant adoptera le point de vue global, en faisant varier ce point sur un intervalle tout entier.

Taux de variation et sécantes

Comment quantifier la façon dont une fonction varie entre deux points ? L'outil de base est le taux de variation.

Remarques.

• Les deux écritures sont équivalentes : le réel $h=b-a$ représente l'écart entre les deux abscisses. C'est la seconde forme, avec le petit accroissement $h$, qui servira dans tout le chapitre. Le réel $h$ peut être positif ($b$ à droite de $a$) ou négatif ($b$ à gauche de $a$).
• Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$, le taux de variation entre deux réels quelconques est constant, égal au coefficient directeur $m$ (résultat vu en seconde). Pour une fonction quelconque, au contraire, le taux de variation dépend des deux points choisis : c'est toute la question de ce chapitre.

Le taux de variation se lit sur la courbe représentative de $f$.

En effet, d'après la formule vue en seconde, le coefficient directeur de la droite passant par deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ d'abscisses distinctes vaut ${\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$ ; ici $y_B-y_A=f(b)-f(a)$ et $x_B-x_A=b-a$.

Interprétation cinématique : la vitesse moyenne. Si $d(t)$ désigne la distance parcourue par un mobile à l'instant $t$, le taux de variation de $d$ entre les instants $a$ et $b$,

$$\frac{d(b)-d(a)}{b-a}=\frac{\text{distance parcourue}}{\text{dur}\acute{\text{e}}\text{e }\acute{\text{e}}\text{coul}\acute{\text{e}}\text{e}},$$

est la vitesse moyenne du mobile entre ces deux instants. Par exemple, une automobiliste qui parcourt $150$ km entre $14$ h et $16$ h a roulé à la vitesse moyenne de ${\displaystyle \frac{150}{2}}=75$ km/h — ce qui ne signifie pas que son compteur affichait $75$ en permanence. Retrouver la vitesse instantanée, celle du compteur, est précisément l'objet de la suite du chapitre.

Le nombre dérivé

Que devient le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ se rapproche de $0$, c'est-à-dire lorsque les deux points se rapprochent l'un de l'autre ? Observons d'abord numériquement, avec la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ et $a=1$. On calcule le taux ${\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+h}-1}{h}}$ pour des valeurs de $h$ de plus en plus proches de $0$ :

(Valeurs arrondies à ${10}^{-4}$ près.) Que $h$ soit positif ou négatif, le taux de variation semble se rapprocher de $\mathrm{0,5}$ — et l'on peut vérifier qu'il s'en rapproche d'aussi près que l'on veut, pourvu que $h$ soit suffisamment proche de $0$. Ce comportement mérite une définition.

Remarque. On ne donne pas en première de définition formelle de cette notion de limite ; la perception intuitive suffit : le taux devient aussi proche que l'on veut de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ dès que $h$ est assez proche de $0$, que $h$ soit positif ou négatif (mais jamais nul). Cette perception sera appuyée par trois points de vue complémentaires : numérique (tableaux de valeurs), algébrique (calcul exact du taux) et graphique (sécantes, à la section suivante).

Remarque (notations des autres disciplines). En physique ou en sciences économiques, le taux de variation se note souvent ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ — la lettre grecque $\mathrm{\Delta }$ désigne une variation : $\mathrm{\Delta }y=f(a+h)-f(a)$ et $\mathrm{\Delta }x=h$ — et le nombre dérivé se note ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$, rapport de variations « infiniment petites ».

La tangente à une courbe

Donnons maintenant au nombre dérivé sa signification géométrique. Fixons un point $A(a;f(a))$ sur la courbe de $f$, et considérons un second point $M$ de la courbe, mobile. Lorsque $M$ glisse le long de la courbe vers $A$, la sécante $(AM)$ pivote autour de $A$ ; sa pente — le taux de variation de $f$ entre les abscisses de $A$ et de $M$ — se rapproche de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Les sécantes se rapprochent donc d'une droite « limite » passant par $A$ et de pente $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Sur la figure ci-dessus, où $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ et $A(1;\mathrm{0,5})$ : la sécante joignant $A$ au point $M_1(3;\mathrm{4,5})$ a pour pente ${\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,5}}{3-1}}=2$ ; celle joignant $A$ à $M_2(2;2)$ a pour pente ${\displaystyle \frac{2-\mathrm{0,5}}{2-1}}=\mathrm{1,5}$. À mesure que $M$ se rapproche de $A$, les pentes se rapprochent de $1$ : c'est le nombre dérivé de $f$ en $1$, puisque le taux de variation ${\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}={\displaystyle \frac{(1+h{)}^2-1}{2h}}={\displaystyle \frac{2h+h^2}{2h}}=1+{\displaystyle \frac{h}{2}}$ se rapproche de $1$ lorsque $h$ se rapproche de $0$. La droite $T$ de pente $1$ passant par $A$ est la position limite des sécantes : c'est la tangente.

Remarque. Réciproquement, le nombre dérivé se lit sur la tangente : $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. En particulier, si la tangente en un point est horizontale, le nombre dérivé y vaut $0$.

Équation de la tangente

La tangente est une droite dont on connaît un point — le point de contact $A(a;f(a))$ — et la pente, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ : on peut donc déterminer son équation réduite.

Démonstration. La tangente $T$ est, par définition, la droite de coefficient directeur $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ passant par le point $A(a;f(a))$. Comme toute droite non verticale, elle admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ ; son coefficient directeur vaut $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, donc $m=f^{\mathrm{\prime }}(a)$ et

$$T:y=f^{\mathrm{\prime }}(a)x+p,$$

où l'ordonnée à l'origine $p$ reste à déterminer. Le point $A$ appartient à $T$, donc ses coordonnées vérifient cette équation :

$$f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)\times a+p,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}p=f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)a\mathrm{.}$$

En remplaçant $p$ par cette valeur, l'équation de $T$ devient

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(a)x+f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)a=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a),$$

qui est la formule annoncée. $\mathrm{\square }$

Approximation linéaire

Par construction, la tangente est la droite qui « colle » le mieux à la courbe au voisinage du point de contact : zoomer sur une courbe en un point où la fonction est dérivable, c'est voir apparaître une droite.

La figure montre la courbe de la fonction racine carrée et sa tangente au point $(1;1)$, de pente $f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ — d'équation $y=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$ d'après la section précédente. Près du point de contact, courbe et tangente sont presque indiscernables : on peut donc remplacer la fonction par sa tangente pour calculer des valeurs approchées.

Cette approximation découle directement de la définition du nombre dérivé : pour $h$ proche de $0$, le taux ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ est proche de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ ; en multipliant par $h$, l'écart $f(a+h)-f(a)$ est proche de $f^{\mathrm{\prime }}(a)h$, d'où la formule. (Les deux écritures se correspondent en posant $x=a+h$, c'est-à-dire $h=x-a$.)

Remarque (taille de l'erreur). Pour la fonction carré en $a=1$, l'erreur se calcule exactement : $(1+h{)}^2=1+2h+h^2$, alors que l'approximation linéaire donne $1+2h$. L'erreur vaut donc exactement $h^2$ — pour $h=\mathrm{0,03}$, on retrouve ${\mathrm{0,03}}^2=\mathrm{0,0009}$. Or, quand $h$ est petit, $h^2$ est beaucoup plus petit que $h$ (un centième donne un dix-millième) : c'est ce qui rend l'approximation si efficace près du point de contact, et de moins en moins fiable à mesure qu'on s'en éloigne.

Quand le nombre dérivé n'existe pas

La définition du nombre dérivé exige que le taux de variation se rapproche d'un réel unique lorsque $h$ se rapproche de $0$. Rien ne garantit que ce soit toujours le cas : une fonction peut être définie en $a$ sans être dérivable en $a$. L'exemple suivant est à connaître.

Démonstration. Soit $h>0$ — la fonction racine carrée n'étant pas définie pour les réels strictement négatifs, seuls les $h$ strictement positifs sont à considérer. Le taux de variation de la fonction racine carrée entre $0$ et $0+h$ vaut

$$\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}\mathrm{.}$$

Or $h=\sqrt{h}\times \sqrt{h}$, donc

$$\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times \sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{h}}\mathrm{.}$$

Étudions ce quotient lorsque $h$ se rapproche de $0$ : le dénominateur $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ en restant strictement positif, donc ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$ devient aussi grand que l'on veut. Par exemple, pour $h=\mathrm{0,01}$, le taux vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,01}}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,1}}}=10$ ; pour $h=\mathrm{0,0001}$, il vaut ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,01}}}=100$ ; pour $h={10}^{-8}$, il vaut $10000$… Le taux de variation ne se rapproche donc d'aucun réel : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. $\mathrm{\square }$

Interprétation graphique. Les sécantes joignant l'origine $O$ au point $M$ d'abscisse $h$ de la courbe ont pour pente ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$ : plus $M$ se rapproche de $O$, plus elles sont raides. Sur la figure, pour $M$ d'abscisses $1$, puis $\mathrm{0,25}$, puis $\mathrm{0,04}$, les pentes valent respectivement $1$, $2$ et $5$. Les sécantes ne pivotent vers aucune droite de pente finie : elles se redressent vers la verticale. On dit que la courbe de la racine carrée admet en l'origine une tangente verticale — plus précisément une demi-tangente, portée par l'axe des ordonnées, la courbe n'existant qu'à droite de $O$.

Remarque. D'autres situations de non-dérivabilité — comme le point anguleux que présente la courbe de la fonction valeur absolue en l'origine — seront rencontrées au chapitre suivant.

Interprétations du nombre dérivé

Le nombre dérivé mesure une vitesse de variation instantanée : selon le contexte, cette idée prend des visages différents.

En cinématique : la vitesse instantanée

C'est cette vitesse instantanée qu'affiche le compteur d'une voiture et que mesure un radar : la réponse à la question posée en ouverture du chapitre.

En économie : le coût marginal

On considère une entreprise dont le coût total de production de $q$ objets est $C(q)$, en euros. Le nombre dérivé $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ est appelé coût marginal au niveau de production $q$. L'approximation linéaire, appliquée avec $h=1$, en donne l'interprétation :

$$C(q+1)-C(q)\approx C^{\mathrm{\prime }}(q)\times 1=C^{\mathrm{\prime }}(q)\mathrm{.}$$

Le coût marginal $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ s'interprète donc comme le coût de production d'une unité supplémentaire, lorsque $q$ objets sont déjà produits. Prendre $h=1$ peut surprendre — $1$ n'est pas « proche de $0$ » — mais à l'échelle d'une production de plusieurs centaines ou milliers d'unités, un pas d'une unité est relativement minuscule : l'approximation est excellente en pratique.

Un algorithme : la liste des pentes des sécantes

L'approche numérique de la section sur le nombre dérivé — un tableau de taux de variation pour des pas $h$ de plus en plus petits — se prête bien à l'automatisation. Le programme suivant construit la liste des coefficients directeurs des sécantes entre le point d'abscisse $a$ et les points d'abscisses $a+h$, où $h$ prend successivement les valeurs $\text{pas}$, ${\displaystyle \frac{\text{pas}}{10}}$, ${\displaystyle \frac{\text{pas}}{100}}$, etc. — soit ${\displaystyle \frac{\text{pas}}{{10}^i}}$ pour $i$ allant de $0$ à $n-1$.

def pentes(f, a, pas, n):
    liste = []
    h = pas
    for i in range(n):
        liste.append((f(a + h) - f(a)) / h)
        h = h / 10
    return liste

def f(x):
    return x**2

print(pentes(f, 1, 0.1, 4))

Quelques repères sur les listes, la principale nouveauté Python de l'année de première : liste = [] crée une liste vide ; liste.append(v) ajoute la valeur v à la fin de la liste ; la fonction renvoie finalement la liste complète des $n$ pentes calculées.

Pour $f(x)=x^2$, $a=1$, un pas initial de $\mathrm{0,1}$ et $n=4$, les valeurs successives de $h$ sont $\mathrm{0,1}$ ; $\mathrm{0,01}$ ; $\mathrm{0,001}$ ; $\mathrm{0,0001}$, et chaque pente vaut $2+h$ (calcul de la première section). Le programme affiche donc [2.1, 2.01, 2.001, 2.0001] — à d'éventuelles décimales parasites près, du type 2.100000000000002, dues aux arrondis binaires de la machine. Les pentes se rapprochent de $2$ : on retrouve la conjecture $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$, démontrée plus haut par le calcul algébrique. Le programme, lui, ne démontre rien — mais il suggère la valeur du nombre dérivé, pour n'importe quelle fonction et en n'importe quel point.

Ce chapitre s'est concentré sur un point de vue local : en chaque point étudié, un taux de variation, une limite, un nombre. Le chapitre suivant change d'échelle et adopte un point de vue global : en calculant le nombre dérivé en tout point $x$ d'un intervalle, on construira une nouvelle fonction, la fonction dérivée $x\mapsto f^{\mathrm{\prime }}(x)$, et des formules permettront de la calculer sans repasser à chaque fois par un taux de variation. Son signe révélera alors les variations de la fonction sur l'intervalle tout entier.