Devoir surveillé — Arithmétique

Les cinq questions sont indépendantes. Les calculs de cet exercice doivent être menés sans calculatrice ; toutes les étapes de calcul seront écrites.

1. Divisions euclidiennes. Écrire la division euclidienne de $a$ par $b$ dans chacun des cas suivants (on donnera le quotient et le reste) :

   a. (0,5 pt) $a=2026$ et $b=17$

   b. (0,5 pt) $a=587$ et $b=24$

   c. (0,5 pt) $a=-125$ et $b=9$

2. Congruences. Déterminer, en justifiant, le reste de la division euclidienne par $7$ de chacun des nombres suivants :

   a. (0,5 pt) $45+73$

   b. (0,5 pt) $45\times 73$

   c. (0,5 pt) $2^{10}$

3. (1 pt) PGCD. Calculer le PGCD de $1071$ et $462$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide. On écrira toutes les divisions euclidiennes effectuées.

4. (0,5 pt) Premiers entre eux. Les entiers $91$ et $66$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

5. (0,5 pt) Facteurs premiers. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $1176$.

On considère l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs :

$$(E):34x+15y=6.$$

1. (1 pt) À l'aide de l'algorithme d'Euclide, montrer que les entiers $34$ et $15$ sont premiers entre eux. On écrira toutes les divisions euclidiennes effectuées.

2. (1,5 pt) En remontant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $34u+15v=1$.

3. On résout maintenant l'équation $(E)$.

   a. (0,5 pt) En déduire une solution particulière $(x_0;y_0)$ de $(E)$.

   b. (1,5 pt) Résoudre l'équation $(E)$ : démontrer que ses solutions sont exactement les couples $(x;y)=(x_0+15k;y_0-34k)$ avec $k\in \mathbb{Z}$. On citera précisément le théorème utilisé.

4. (0,5 pt) Déterminer l'unique solution $(x;y)$ de $(E)$ telle que $0⩽x<15$.

L'objectif de cet exercice est de déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2026}$ par $11$, par deux méthodes différentes.

1. (1 pt) Recopier et compléter le tableau suivant, dans lequel chaque case de la seconde ligne contient le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $11$ :

   $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   reste de $3^n$ par $11$	$1$	$3$

   Que constate-t-on pour $n=5$ ?

2. (1,5 pt) Première méthode. En utilisant la question 1, déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2026}$ par $11$. On écrira la division euclidienne de l'exposant utilisée.

3. (1,5 pt) Seconde méthode. Énoncer le petit théorème de Fermat, vérifier qu'il s'applique ici à $a=3$ et $p=11$, puis retrouver le résultat de la question 2 en utilisant $3^{10}\equiv 1[11]$.

4. (1 pt) En déduire que le nombre $N=3^{2026}+8$ est divisible par $11$.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que, pour tout entier relatif $n$, l'entier $n^5-n$ est divisible par $30$.

Dans les questions 1 à 3, $n$ désigne un entier relatif quelconque.

1. (1 pt) À l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que $n^5\equiv n[5]$. On distinguera les cas $5\mid n$ et $5\nmid n$.

2. (1,5 pt) Démontrer que $n^5\equiv n[3]$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat avec $p=3$, puis écrire $n^5=n^3\times n^2$.

3. (1 pt) Démontrer que $n^5-n$ est divisible par $2$.

4. (0,5 pt) Conclure : démontrer que $30\mid n^5-n$ pour tout entier relatif $n$. On citera précisément le résultat de cours utilisé.

5. (1 pt) Vrai ou faux ? Justifier soigneusement la réponse (une réponse non justifiée ne rapporte aucun point).

   « Pour tout entier relatif $n$, l'entier $n^5-n$ est divisible par $6$ et par $10$ ; il est donc divisible par $60$. »