Maths expertes · Chapitre 05 · Graphes et matrices

Matrices

Opérations, inverse, puissances, systèmes linéaires, suites de matrices U(n+1) = AU(n) + C.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Opérations
Inverse
Puissances
Systèmes linéaires
Suites de matrices U(n+1) = AU(n) + C

Il y a plus de deux mille ans, les mathématiciens chinois de la dynastie Han rédigent Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, l'un des plus anciens traités de mathématiques connus. Pour résoudre des problèmes de récoltes ou de partages qui se traduisent par des systèmes d'équations, ils disposent les coefficients en tableaux rectangulaires sur une table à calculer, puis manipulent les colonnes selon des règles précises : c'est la méthode fangcheng, étonnamment proche de nos méthodes modernes. Il faudra pourtant attendre le XIXe siècle pour que ces tableaux de nombres deviennent de véritables objets mathématiques : en 1850, James Sylvester leur donne le nom de matrices, et en 1858 Arthur Cayley publie un mémoire fondateur où il définit leur addition, leur multiplication et leur inversion, exactement comme on le fait pour les nombres. Ce chapitre suit le chemin de Cayley : nous allons apprendre à calculer avec des tableaux de nombres, puis à les utiliser pour résoudre des systèmes, transformer le plan et étudier des suites.

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice n'est rien d'autre qu'un tableau de nombres, rangés en lignes et en colonnes. Toute la richesse du chapitre viendra des opérations que l'on définira sur ces tableaux.

Définition

Matrice. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. Une matrice de taille $m \times n$ est un tableau rectangulaire de nombres réels comportant $m$ lignes et $n$ colonnes.

Le nombre situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ est appelé coefficient d'indices $(i; j)$ et se note $a_{i j}$ . On écrit alors $A = (a_{i j})$ :

A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})

Remarques.

L'ordre des indices est essentiel et toujours le même : ligne d'abord, colonne ensuite. Le coefficient $a_{23}$ est celui de la deuxième ligne, troisième colonne.
Dans la taille $m \times n$ , on annonce de même le nombre de lignes avant le nombre de colonnes. Une matrice $2 \times 3$ a $2$ lignes et $3$ colonnes.

Exemple

La matrice $A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 5 \\ 0 & 3 & - 4 \end{array})$ est de taille $2 \times 3$ .

Ses coefficients : $a_{11} = 2$ , $a_{12} = - 1$ , $a_{13} = 5$ , $a_{21} = 0$ , $a_{22} = 3$ , $a_{23} = - 4$ .

Attention à ne pas confondre $a_{13} = 5$ (ligne $1$ , colonne $3$ ) avec $a_{21} = 0$ (ligne $2$ , colonne $1$ ) : le double indice ne se lit jamais dans le désordre.

Définition

Matrices particulières. Soit $n$ un entier naturel non nul.

Une matrice ligne est une matrice de taille $1 \times n$ : une seule ligne.
Une matrice colonne est une matrice de taille $n \times 1$ : une seule colonne.
Une matrice carrée d'ordre $n$ est une matrice de taille $n \times n$ : autant de lignes que de colonnes. Ses coefficients $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{n n}$ forment sa diagonale.
La matrice nulle de taille $m \times n$ , notée $O$ , est la matrice dont tous les coefficients valent $0$ .
Une matrice carrée est diagonale lorsque tous ses coefficients situés hors de la diagonale sont nuls.

Exemple

$L = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & - 7 \end{array})$ est une matrice ligne de taille $1 \times 3$ .
$C = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \end{array})$ est une matrice colonne de taille $2 \times 1$ .
$M = (\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array})$ est une matrice carrée d'ordre $2$ ; sa diagonale est formée de $1$ et $0$ .
$D = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array})$ est une matrice diagonale d'ordre $3$ .

Définition

Égalité de deux matrices. Deux matrices $A$ et $B$ sont égales lorsqu'elles ont la même taille et que leurs coefficients de mêmes indices sont deux à deux égaux : $a_{i j} = b_{i j}$ pour tous $i$ et $j$ .

Exemple

Déterminons les réels $x$ et $y$ tels que $(\begin{array}{cc} x + 1 & 3 \\ 0 & 2 y \end{array}) = (\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 0 & - 6 \end{array})$ .

Par égalité coefficient par coefficient : $x + 1 = 4$ et $2 y = - 6$ , donc $x = 3$ et $y = - 3$ . Une égalité de matrices $2 \times 2$ équivaut ainsi à un système de quatre égalités entre réels.

Somme et produit par un réel

Les deux premières opérations ne réservent aucune surprise : on opère coefficient par coefficient. Une seule contrainte, mais elle est stricte : pour additionner deux matrices, il faut qu'elles aient la même taille.

Définition

Somme de deux matrices. Soient $A = (a_{i j})$ et $B = (b_{i j})$ deux matrices de même taille $m \times n$ . La somme $A + B$ est la matrice de taille $m \times n$ dont le coefficient d'indices $(i; j)$ vaut $a_{i j} + b_{i j}$ .

Définition

Produit d'une matrice par un réel. Soient $A = (a_{i j})$ une matrice de taille $m \times n$ et $k$ un réel. La matrice $k A$ est la matrice de taille $m \times n$ dont le coefficient d'indices $(i; j)$ vaut $k a_{i j}$ : on multiplie chaque coefficient par $k$ .

Exemple

Soient $A = (\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array})$ . Alors :

A + B = (\begin{array}{cc} 5 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}), 3 A = (\begin{array}{cc} 3 & - 6 \\ 9 & 0 \end{array}), 2 A - B = (\begin{array}{cc} - 2 & - 5 \\ 7 & - 2 \end{array}) .

En revanche, la somme de $A$ (taille $2 \times 2$ ) et de $L = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & - 7 \end{array})$ (taille $1 \times 3$ ) n'existe pas.

La matrice $(- 1) A$ se note $- A$ et s'appelle l'opposée de $A$ ; la différence $A - B$ est définie par $A - B = A + (- B)$ , autrement dit on soustrait coefficient par coefficient.

Propriété

Règles de calcul (admises). Soient $A$ , $B$ , $C$ des matrices de même taille et $k$ , $k^{'}$ des réels.

$A + B = B + A$ (commutativité) et $(A + B) + C = A + (B + C)$ (associativité) ;
$A + O = A$ et $A + (- A) = O$ ;
$k (A + B) = k A + k B$ et $(k + k^{'}) A = k A + k^{'} A$ (distributivités) ;
$k (k^{'} A) = (k k^{'}) A$ .

Pour ces deux opérations, tout se passe donc comme dans $R$ : les réflexes de calcul habituels s'appliquent sans danger. La situation va changer radicalement avec la multiplication.

Le produit matriciel

Le produit de deux matrices ne se fait pas coefficient par coefficient. Sa définition, plus subtile, est précisément ce qui rend les matrices utiles : c'est elle qui permettra de coder des systèmes, des transformations géométriques et des suites. On la construit en deux temps.

Produit d'une ligne par une colonne

Définition

Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Soient $L = (\begin{array}{cccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{array})$ une matrice ligne de taille $1 \times n$ et $C = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array})$ une matrice colonne de taille $n \times 1$ , ayant le même nombre $n$ de coefficients. Le produit $L \times C$ est le nombre obtenu comme somme des produits terme à terme :

L \times C = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} .

Exemple

(\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 2 \end{array}) = 2 \times 4 + (- 1) \times 5 + 3 \times (- 2) = 8 - 5 - 6 = - 3.

Cas général

Pour multiplier deux matrices quelconques, on effectue ce calcul « ligne par colonne » pour chaque case du résultat.

Définition

Produit de deux matrices. Soient $A$ une matrice de taille $m \times n$ et $B$ une matrice de taille $n \times p$ : le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$ . Le produit $A B$ est la matrice de taille $m \times p$ dont le coefficient d'indices $(i; j)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ :

c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j} .

Le schéma des tailles est à connaître par cœur : $(m \times n) \cdot (n \times p) = m \times p$ . Les deux $n$ du milieu doivent coïncider (c'est la condition d'existence du produit), et ils « disparaissent » dans le résultat.

Méthode

Calculer un produit matriciel.

Vérifier la compatibilité des tailles : le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$ . Sinon, le produit $A B$ n'existe pas.
Déterminer la taille du résultat : $(m \times n) \cdot (n \times p) = m \times p$ .
Pour chaque case $(i; j)$ du résultat, suivre la ligne $i$ de $A$ avec l'index gauche et la colonne $j$ de $B$ avec l'index droit, et additionner les produits terme à terme.
Contrôler le résultat sur un coefficient au hasard : c'est un calcul où l'erreur d'inattention guette.

Exemple

Un produit $2 \times 2$ . Soient $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$ . Détaillons chaque case de $A B$ :

\begin{aligned} A B & = (\begin{array}{cc} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array}) . \end{aligned}

Un produit $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$ . Soient $M = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array})$ et $N = (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Les tailles sont compatibles et le produit $M N$ est de taille $2 \times 2$ :

M N = (\begin{array}{cc} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ - 1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & - 1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}) .

Remarquons que $N M$ existe aussi, mais c'est une matrice $3 \times 3$ : $M N$ et $N M$ n'ont même pas la même taille !

Parmi les matrices carrées, l'une joue pour le produit le rôle que joue le nombre $1$ pour la multiplication des réels.

Définition

Matrice identité. La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_{n}$ (ou simplement $I$ lorsque l'ordre est clair), est la matrice diagonale d'ordre $n$ dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ :

I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .

Propriété

Règles de calcul du produit (admises). Soient $A$ , $B$ , $C$ des matrices dont les tailles rendent les opérations ci-dessous possibles, et $k$ un réel.

Associativité : $(A B) C = A (B C)$ , que l'on note $A B C$ ;
Distributivités : $A (B + C) = A B + A C$ et $(A + B) C = A C + B C$ ;
$(k A) B = A (k B) = k (A B)$ ;
Élément neutre : pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$ , $A I_{n} = I_{n} A = A$ .

Remarque

Mise en garde : trois pièges du produit matriciel. Le produit des matrices ne se comporte pas comme celui des nombres. Trois réflexes de calcul, parfaitement valables dans $R$ , deviennent faux avec des matrices.

1. Le produit n'est pas commutatif : en général, $A B \neq B A$ . Reprenons $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$ . Nous avons calculé $A B = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$ , tandis que

B A = (\begin{array}{cc} 5 \times 1 + 6 \times 3 & 5 \times 2 + 6 \times 4 \\ 7 \times 1 + 8 \times 3 & 7 \times 2 + 8 \times 4 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{array}) \neq A B .

Ce contre-exemple démontre la non-commutativité. Conséquence pratique : on précise toujours si l'on multiplie à gauche ou à droite, et les identités remarquables ne s'appliquent plus telles quelles : $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , sans pouvoir regrouper $A B + B A$ en $2 A B$ .

2. Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit. Avec $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array})$ , toutes deux non nulles :

A B = (\begin{array}{cc} 1 - 1 & - 1 + 1 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = O .

La règle « un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul » est donc fausse pour les matrices.

3. On ne peut pas « simplifier » par une matrice. Avec le même $A$ , prenons $B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array})$ et $C = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 0 & 4 \end{array})$ :

A B = (\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{array}) = A C alors que B \neq C .

L'égalité $A B = A C$ ne permet donc pas de conclure $B = C$ . Nous verrons plus loin que cette simplification redevient légitime lorsque $A$ est inversible.

Puissances d'une matrice carrée

Puisqu'une matrice carrée peut être multipliée par elle-même, on peut définir ses puissances, exactement comme pour un nombre.

Définition

Puissances d'une matrice carrée. Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ . On pose $A^{0} = I_{p}$ , puis pour tout entier naturel $n$ :

A^{n + 1} = A^{n} \times A .

Ainsi $A^{1} = A$ , $A^{2} = A \times A$ , $A^{3} = A \times A \times A$ , etc.

Remarque. Grâce à l'associativité, les formules $A^{n} \times A^{m} = A^{n + m}$ et ${(A^{n})}^{m} = A^{n m}$ restent valables. En revanche, à cause de la non-commutativité, $(A B)^{n}$ n'est pas égal à $A^{n} B^{n}$ en général.

Un cas se calcule sans effort : celui des matrices diagonales.

Propriété

Puissances d'une matrice diagonale. Si $D$ est une matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{p}$ , alors pour tout entier naturel $n$ , $D^{n}$ est la matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_{1}^{n}, d_{2}^{n}, \dots, d_{p}^{n}$ .

Démonstration (esquisse). Le produit de deux matrices diagonales est diagonal et se calcule coefficient diagonal par coefficient diagonal : en effet, dans le produit ligne par colonne, tous les termes croisés font intervenir un coefficient nul. La propriété s'en déduit par une récurrence immédiate sur $n$ . $□$

Exemple

Avec $D = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array})$ : $D^{4} = (\begin{array}{cc} 2^{4} & 0 \\ 0 & (- 3)^{4} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 16 & 0 \\ 0 & 81 \end{array})$ .

De même, avec $D^{'} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})$ , on obtient directement $D^{' n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \end{array})$ pour tout $n$ .

Pour une matrice non diagonale, il n'existe pas de formule automatique : la stratégie du programme est celle que vous connaissez déjà pour les suites.

Méthode

Calculer $A^{n}$ par conjecture puis récurrence.

Calculer « à la main » $A^{2}$ , $A^{3}$ , éventuellement $A^{4}$ .
Conjecturer une formule pour $A^{n}$ en observant la régularité des coefficients.
Démontrer la conjecture par récurrence : l'initialisation se fait pour $n = 0$ (avec $A^{0} = I$ ) ou $n = 1$ , et l'hérédité repose sur le calcul du produit $A^{n + 1} = A^{n} \times A$ .

Exemple

Un calcul complet de $A^{n}$ . Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array})$ .

Étape 1 : premiers calculs.

A^{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{array}), A^{3} = A^{2} \times A = (\begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{array}) .

Étape 2 : conjecture. Le coefficient en haut à droite semble valoir $2 n$ : on conjecture que pour tout entier naturel $n$ ,

A^{n} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) .

Étape 3 : démonstration par récurrence. Notons $P (n)$ la propriété « $A^{n} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array})$ ».

Initialisation. Pour $n = 0$ : $A^{0} = I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ , et la formule donne bien $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \times 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = I_{2}$ . Donc $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé. Alors :

A^{n + 1} = A^{n} \times A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 2 + 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 2 (n + 1) \\ 0 & 1 \end{array}),

ce qui est exactement $P (n + 1)$ .

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $A^{n} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array})$ . $□$

Matrice inverse

Tout réel non nul $x$ possède un inverse : le nombre $x^{- 1}$ tel que $x \times x^{- 1} = 1$ . Existe-t-il un analogue pour les matrices ? La matrice identité jouant le rôle du nombre $1$ , la définition s'impose d'elle-même ; mais la non-commutativité oblige à exiger l'égalité des deux côtés.

Définition

Matrice inversible. Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible lorsqu'il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que

A B = B A = I_{n} .

Propriété

Unicité de l'inverse. Si $A$ est inversible, la matrice $B$ de la définition est unique. On l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{- 1}$ .

Démonstration. Supposons que $B$ et $C$ vérifient toutes deux la définition : $A B = B A = I$ et $A C = C A = I$ . Alors, en utilisant l'associativité :

B = B I = B (A C) = (B A) C = I C = C .

Les deux candidates sont donc égales : l'inverse, s'il existe, est unique. $□$

Exemple

Soient $A = (\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{array})$ . Calculons :

A B = (\begin{array}{cc} 2 \times 3 - 5 & - 10 + 10 \\ 3 - 3 & - 5 + 6 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = I_{2},

et un calcul analogue donne $B A = I_{2}$ . Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = (\begin{array}{cc} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{array})$ .

Contrairement aux réels, où seul $0$ n'a pas d'inverse, de nombreuses matrices non nulles ne sont pas inversibles.

Exemple

Une matrice non nulle et non inversible. Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array})$ , dont la deuxième ligne est le double de la première. Pour toute matrice $B$ , la ligne $i$ du produit $A B$ s'obtient en multipliant la ligne $i$ de $A$ par les colonnes de $B$ : la deuxième ligne de $A B$ est donc toujours le double de la première. Or dans $I_{2}$ , la deuxième ligne $(\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array})$ n'est pas le double de la première $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array})$ . Aucune matrice $B$ ne peut donc vérifier $A B = I_{2}$ : la matrice $A$ n'est pas inversible.

Le cas des matrices $2 \times 2$

Pour les matrices d'ordre $2$ , un critère simple et une formule explicite règlent complètement la question.

Propriété

Inverse d'une matrice $2 \times 2$ (admis). Soit $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ .

Si $a d - b c \neq 0$ , alors $A$ est inversible et

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array}) .

Si $a d - b c = 0$ , alors $A$ n'est pas inversible.

Remarques.

Le nombre $a d - b c$ s'appelle le déterminant de $A$ . Retenir la recette : on échange les coefficients diagonaux $a$ et $d$ , on change le signe des deux autres, et on divise tout par le déterminant.
On peut vérifier la formule en calculant directement le produit : $(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array}) = (\begin{array}{cc} a d - b c & 0 \\ 0 & a d - b c \end{array}) = (a d - b c) I_{2}$ , ce qui explique à la fois la formule et le rôle décisif du nombre $a d - b c$ .

Méthode

Inverser une matrice $2 \times 2$ .

Calculer le déterminant $a d - b c$ .
S'il est nul, conclure : $A$ n'est pas inversible.
Sinon, écrire $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array})$ : échange de $a$ et $d$ , changement de signe de $b$ et $c$ .
Vérifier en calculant $A A^{- 1}$ , qui doit donner $I_{2}$ .

Exemple

Soit $B = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array})$ . Son déterminant vaut $1 \times 4 - 3 \times 2 = - 2 \neq 0$ , donc $B$ est inversible et

B^{- 1} = \frac{1}{- 2} (\begin{array}{cc} 4 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & \frac{3}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) .

Vérification : $B B^{- 1} = (\begin{array}{cc} - 2 + 3 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \\ - 4 + 4 & 3 - 2 \end{array}) = I_{2}$ .

Au contraire, $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array})$ a pour déterminant $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$ : on retrouve qu'elle n'est pas inversible.

La méthode du polynôme annulateur

Lorsqu'une relation simple lie $A^{2}$ , $A$ et $I$ , on peut en déduire l'inverse de $A$ sans aucune formule. Voyons-le sur un exemple.

Exemple

Inverser grâce à une relation sur $A^{2}$ . Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array})$ .

Étape 1. On calcule $A^{2} = (\begin{array}{cc} 1 + 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array})$ , et on constate que

A^{2} = A + 2 I_{2},

puisque $A + 2 I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}) + (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array})$ . On dit que le polynôme $X^{2} - X - 2$ est un polynôme annulateur de $A$ : la matrice $A^{2} - A - 2 I_{2}$ est nulle.

Étape 2. On isole $I_{2}$ : de $A^{2} - A = 2 I_{2}$ on tire, en factorisant par $A$ :

A (A - I_{2}) = 2 I_{2}, donc A \times [\frac{1}{2} (A - I_{2})] = I_{2} .

Le même calcul en factorisant de l'autre côté donne $[\frac{1}{2} (A - I_{2})] \times A = I_{2}$ .

Étape 3. Par définition de l'inverse, $A$ est inversible et

A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - I_{2}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) .

On peut contrôler avec la formule du $2 \times 2$ : le déterminant de $A$ vaut $1 \times 0 - 1 \times 2 = - 2 \neq 0$ et $A^{- 1} = \frac{1}{- 2} (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{array})$ , ce qui redonne bien le même résultat.

Application : l'équation $A X = B$

L'inverse joue pour les matrices le rôle de la division, qui n'existe pas telle quelle. Si $A$ est inversible et si $A X = B$ (où $X$ et $B$ sont des matrices de tailles compatibles), alors en multipliant les deux membres à gauche par $A^{- 1}$ :

A^{- 1} (A X) = A^{- 1} B, soit (A^{- 1} A) X = A^{- 1} B, soit X = A^{- 1} B .

Réciproquement, $X = A^{- 1} B$ vérifie bien $A X = A (A^{- 1} B) = B$ . L'équation $A X = B$ admet donc l'unique solution $X = A^{- 1} B$ .

Attention à l'ordre ! Comme le produit n'est pas commutatif, il faut multiplier par $A^{- 1}$ du même côté dans les deux membres. La solution est $A^{- 1} B$ et non $B A^{- 1}$ (ces deux matrices sont différentes en général). De même, l'équation $X A = B$ a pour solution $X = B A^{- 1}$ .

Matrices et systèmes linéaires

Voici la première grande application, celle-là même qui occupait les auteurs des Neuf Chapitres. Considérons un système de deux équations à deux inconnues :

{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases}

Posons $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , $X = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ et $B = (\begin{array}{c} e \\ f \end{array})$ . Le produit matriciel donne exactement

A X = (\begin{array}{c} a x + b y \\ c x + d y \end{array}),

si bien que le système équivaut à l'équation matricielle $A X = B$ . La matrice $A$ est la matrice des coefficients du système, $X$ la colonne des inconnues, $B$ la colonne des seconds membres. Le principe est identique pour trois équations à trois inconnues, avec une matrice $A$ carrée d'ordre $3$ .

Propriété

Résolution matricielle d'un système. Soit un système linéaire d'écriture matricielle $A X = B$ , où $A$ est une matrice carrée. Si $A$ est inversible, le système admet une unique solution, donnée par

X = A^{- 1} B .

Démonstration. C'est exactement le raisonnement mené pour l'équation $A X = B$ au paragraphe précédent : si $A X = B$ , alors en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $X = A^{- 1} B$ ; et réciproquement cette colonne vérifie le système, car $A (A^{- 1} B) = (A A^{- 1}) B = B$ . $□$

Méthode

Résoudre un système par écriture matricielle.

Écrire le système sous la forme $A X = B$ en identifiant la matrice $A$ des coefficients, la colonne $X$ des inconnues et la colonne $B$ des seconds membres.
Justifier que $A$ est inversible (pour une matrice $2 \times 2$ : déterminant $a d - b c \neq 0$ ) et calculer $A^{- 1}$ .
Calculer $X = A^{- 1} B$ : c'est l'unique solution.
Vérifier en reportant les valeurs trouvées dans le système de départ.

Exemple

Résolution complète d'un système $2 \times 2$ . Résolvons

{\begin{cases} 2 x + 5 y = 1 \\ x + 3 y = 2 \end{cases}

Écriture matricielle. Le système s'écrit $A X = B$ avec $A = (\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array})$ , $X = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ et $B = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})$ .

Inversibilité. Le déterminant de $A$ vaut $2 \times 3 - 5 \times 1 = 1 \neq 0$ : la matrice $A$ est inversible, et nous avons déjà obtenu $A^{- 1} = (\begin{array}{cc} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{array})$ .

Calcul de la solution.

X = A^{- 1} B = (\begin{array}{cc} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 10 \\ - 1 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 3 \end{array}) .

Le système admet l'unique solution $(x; y) = (- 7; 3)$ .

Vérification. $2 \times (- 7) + 5 \times 3 = - 14 + 15 = 1$ et $- 7 + 3 \times 3 = 2$ : c'est correct.

Exemple

Un système $3 \times 3$ à la calculatrice. Le système

{\begin{cases} x + 2 y - z = 2 \\ 2 x + y + 3 z = 13 \\ x - y + 2 z = 5 \end{cases}

s'écrit $A X = B$ avec $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{c} 2 \\ 13 \\ 5 \end{array})$ . Il n'existe pas au programme de formule d'inversion pour une matrice $3 \times 3$ , mais la calculatrice sait faire : on saisit $A$ et $B$ dans le menu matrices, on vérifie que la calculatrice accepte de calculer $A^{- 1}$ (ce qui garantit l'inversibilité), puis on calcule $A^{- 1} B$ . On obtient ici $X = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$ , c'est-à-dire $(x; y; z) = (1; 2; 3)$ , ce qu'une vérification dans les trois équations confirme.

Remarque. Si $A$ n'est pas inversible, le théorème ne s'applique pas : le système n'a alors jamais une solution unique (il n'en a aucune, ou il en a une infinité), et on revient aux méthodes classiques de combinaison et de substitution.

Matrices et transformations du plan

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{ı}, \vec{ȷ})$ . Dans le chapitre sur les nombres complexes, nous avons décrit des transformations du plan par des calculs sur les affixes ; les matrices offrent un second langage, qui repose sur une idée simple : représenter chaque point par une matrice colonne.

Définition

Transformation associée à une matrice. À tout point $M (x; y)$ du plan, on associe la matrice colonne $X = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ . Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $2$ . La transformation du plan associée à $A$ est la transformation qui, à tout point $M$ de colonne $X$ , associe le point $M^{'}$ de colonne

X^{'} = A X .

Exemple

Soit $A = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) = 3 I_{2}$ . Pour tout point $M (x; y)$ :

X^{'} = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 x \\ 3 y \end{array}) .

Le point $M^{'} (3 x; 3 y)$ vérifie $\vec{O M^{'}} = 3 \vec{O M}$ : la transformation associée est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ . Par exemple, le point $(2; - 1)$ a pour image $(6; - 3)$ .

Propriété

Matrices des transformations usuelles. Dans le repère $(O; \vec{ı}, \vec{ȷ})$ :

l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est associée à la matrice $(\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) = k I_{2}$ ;
la symétrie par rapport à l'axe des abscisses est associée à $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ , et la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées à $(\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ ;
la rotation de centre $O$ et d'angle $θ$ est associée à la matrice

R_{θ} = (\begin{array}{cc} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) .

Les deux premiers points se vérifient immédiatement : par exemple $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - y \end{array})$ , et $M (x; y) \mapsto M^{'} (x; - y)$ est bien la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Pour la rotation, la formule est admise, mais testons-la sur un point bien choisi : l'image du point $(1; 0)$ est donnée par

R_{θ} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \cos θ \\ \sin θ \end{array}),

c'est-à-dire le point du cercle trigonométrique repéré par l'angle $θ$ : c'est exactement l'image de $(1; 0)$ par la rotation d'angle $θ$ autour de $O$ . De même, l'image de $(0; 1)$ est $(- \sin θ; \cos θ)$ , comme attendu.

Exemple

Rotation d'angle $\frac{π}{2}$ . Sa matrice est $R_{π / 2} = (\begin{array}{cc} \cos \frac{π}{2} & - \sin \frac{π}{2} \\ \sin \frac{π}{2} & \cos \frac{π}{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ .

L'image du point $M (3; 2)$ est donnée par

(\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}) :

le point $M^{'} (- 2; 3)$ , que l'on peut situer sur une figure pour vérifier le quart de tour dans le sens direct.

Composer des transformations

Que se passe-t-il si l'on enchaîne deux transformations ? Notons $t_{1}$ la transformation associée à $A_{1}$ et $t_{2}$ celle associée à $A_{2}$ . Appliquons $t_{1}$ puis $t_{2}$ à un point de colonne $X$ : la première étape donne $X^{'} = A_{1} X$ , la seconde donne

X^{''} = A_{2} X^{'} = A_{2} (A_{1} X) = (A_{2} A_{1}) X,

grâce à l'associativité du produit.

Propriété

Composition et produit matriciel. La transformation obtenue en appliquant d'abord la transformation de matrice $A_{1}$ , puis celle de matrice $A_{2}$ , est la transformation associée à la matrice produit $A_{2} A_{1}$ : la matrice de la première transformation appliquée s'écrit à droite.

L'ordre est crucial, et la non-commutativité du produit n'est pas un accident de calcul : elle reflète un fait géométrique.

Exemple

L'ordre des transformations compte. Notons $R = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ la matrice de la rotation d'angle $\frac{π}{2}$ et $S = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ celle de la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Rotation puis symétrie : matrice $S R = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array})$ .
Symétrie puis rotation : matrice $R S = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ .

Les deux matrices sont différentes, donc les deux enchaînements ne définissent pas la même transformation. On le voit sur le point $(1; 0)$ : le premier enchaînement l'envoie sur $(0; - 1)$ (quart de tour vers $(0; 1)$ , puis symétrie), le second sur $(0; 1)$ (la symétrie le laisse fixe, puis quart de tour).

Remarque. Composons deux rotations d'angles $θ$ et $θ^{'}$ : la matrice obtenue est

R_{θ} R_{θ^{'}} = (\begin{array}{cc} \cos θ \cos θ^{'} - \sin θ \sin θ^{'} & - (\sin θ \cos θ^{'} + \cos θ \sin θ^{'}) \\ \sin θ \cos θ^{'} + \cos θ \sin θ^{'} & \cos θ \cos θ^{'} - \sin θ \sin θ^{'} \end{array}) .

On reconnaît les formules d'addition : les coefficients valent $\cos (θ + θ^{'})$ et $\sin (θ + θ^{'})$ , donc $R_{θ} R_{θ^{'}} = R_{θ + θ^{'}}$ . Enchaîner deux rotations de centre $O$ revient à tourner de la somme des angles, ce qui est géométriquement évident ; le calcul matriciel le confirme, et permet même de retrouver les formules d'addition si on les a oubliées.

Suites de matrices colonnes

Dernier grand thème du chapitre : les suites dont chaque terme est une matrice colonne. Elles apparaissent naturellement dès que deux quantités évoluent en s'influençant mutuellement, situation où les suites numériques seules deviennent vite inextricables.

Le cas $U_{n + 1} = A U_{n}$

Propriété

Expression de $U_{n}$ en fonction de $n$ . Soit $(U_{n})$ une suite de matrices colonnes vérifiant, pour tout entier naturel $n$ ,

U_{n + 1} = A U_{n},

où $A$ est une matrice carrée. Alors pour tout entier naturel $n$ :

U_{n} = A^{n} U_{0} .

Démonstration. Par récurrence. Notons $P (n)$ la propriété « $U_{n} = A^{n} U_{0}$ ».

Initialisation. $A^{0} U_{0} = I U_{0} = U_{0}$ : la propriété $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé. Alors

U_{n + 1} = A U_{n} = A (A^{n} U_{0}) = (A \times A^{n}) U_{0} = A^{n + 1} U_{0},

en utilisant l'associativité : $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout entier naturel $n$ , $U_{n} = A^{n} U_{0}$ . $□$

C'est l'analogue matriciel des suites géométriques : la relation $u_{n + 1} = q u_{n}$ donne $u_{n} = q^{n} u_{0}$ , et la relation $U_{n + 1} = A U_{n}$ donne $U_{n} = A^{n} U_{0}$ . Tout le travail se concentre alors sur le calcul de $A^{n}$ , d'où l'importance de la méthode conjecture-récurrence vue plus haut.

Exemple

Soit $(U_{n})$ définie par $U_{0} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})$ et $U_{n + 1} = A U_{n}$ avec $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array})$ . Nous avons démontré que $A^{n} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array})$ , donc pour tout entier naturel $n$ :

U_{n} = A^{n} U_{0} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 n + 1 \\ 1 \end{array}) .

Le cas général $U_{n + 1} = A U_{n} + C$

Ajoutons maintenant un terme constant : $U_{n + 1} = A U_{n} + C$ , où $C$ est une matrice colonne fixée. C'est l'analogue matriciel des suites arithmético-géométriques $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , et la stratégie de résolution est exactement la même : chercher un « point fixe », puis s'y ramener par une suite auxiliaire.

Définition

État stable. On appelle état stable de la relation $U_{n + 1} = A U_{n} + C$ toute matrice colonne $L$ vérifiant

L = A L + C .

Si $U_{0} = L$ , alors la suite est constante égale à $L$ : le système « ne bouge plus », d'où le nom.

Propriété

Existence de l'état stable. L'équation $L = A L + C$ équivaut à $(I - A) L = C$ . Si la matrice $I - A$ est inversible, il existe donc un unique état stable :

L = {(I - A)}^{- 1} C .

Démonstration. $L = A L + C$ équivaut à $L - A L = C$ . Or $L - A L = I L - A L = (I - A) L$ par distributivité, d'où l'équivalence avec $(I - A) L = C$ . Si $I - A$ est inversible, cette équation a l'unique solution $L = (I - A)^{- 1} C$ d'après l'étude de l'équation $A X = B$ . $□$

Propriété

Forme explicite de $U_{n}$ . Soit $(U_{n})$ vérifiant $U_{n + 1} = A U_{n} + C$ pour tout $n$ , et soit $L$ un état stable. Alors la suite auxiliaire définie par $V_{n} = U_{n} - L$ vérifie $V_{n + 1} = A V_{n}$ , et pour tout entier naturel $n$ :

U_{n} = A^{n} (U_{0} - L) + L .

Démonstration. Pour tout entier naturel $n$ :

V_{n + 1} = U_{n + 1} - L = (A U_{n} + C) - (A L + C) = A U_{n} - A L = A (U_{n} - L) = A V_{n},

en utilisant la définition de $L$ puis la distributivité. La suite $(V_{n})$ relève donc du cas précédent : $V_{n} = A^{n} V_{0} = A^{n} (U_{0} - L)$ , et il ne reste qu'à revenir à $U_{n} = V_{n} + L$ . $□$

Méthode

Étudier une suite $U_{n + 1} = A U_{n} + C$ .

Chercher l'état stable $L$ : résoudre $L = A L + C$ , le plus souvent en traduisant l'égalité par un petit système linéaire.
Poser la suite auxiliaire $V_{n} = U_{n} - L$ et vérifier (ou citer) que $V_{n + 1} = A V_{n}$ .
En déduire $V_{n} = A^{n} V_{0}$ , puis la forme explicite $U_{n} = A^{n} (U_{0} - L) + L$ .
Si l'énoncé le demande, calculer $A^{n}$ (conjecture puis récurrence) pour rendre la formule complètement explicite, et interpréter le comportement de la suite.

Exemple

Deux bassins couplés. Une station de traitement des eaux comporte deux bassins. Chaque jour :

la moitié du contenu du bassin 1 est transférée vers le bassin 2, et $10$ m $^{3}$ d'eau fraîche sont ajoutés au bassin 1 ;
la moitié du contenu du bassin 2 est rejetée vers la rivière.

Notons $a_{n}$ et $b_{n}$ les volumes (en m $^{3}$ ) des bassins 1 et 2 au matin du jour $n$ , avec au départ $a_{0} = 100$ et $b_{0} = 0$ . Le bassin 1 garde la moitié de son contenu et reçoit $10$ m $^{3}$ ; le bassin 2 garde la moitié du sien et reçoit la moitié du bassin 1 :

{\begin{cases} a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 10 \\ b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} \end{cases}

En posant $U_{n} = (\begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array})$ , ce système s'écrit $U_{n + 1} = A U_{n} + C$ avec

A = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) et C = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) .

Étape 1 : état stable. Cherchons $L = (\begin{array}{c} ℓ_{1} \\ ℓ_{2} \end{array})$ tel que $L = A L + C$ , c'est-à-dire

{\begin{cases} ℓ_{1} = \frac{1}{2} ℓ_{1} + 10 \\ ℓ_{2} = \frac{1}{2} ℓ_{1} + \frac{1}{2} ℓ_{2} \end{cases}

La première équation donne $\frac{1}{2} ℓ_{1} = 10$ , soit $ℓ_{1} = 20$ ; la seconde donne alors $\frac{1}{2} ℓ_{2} = \frac{1}{2} \times 20$ , soit $ℓ_{2} = 20$ . Ainsi $L = (\begin{array}{c} 20 \\ 20 \end{array})$ (on peut vérifier que $I_{2} - A$ , de déterminant $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{4} \neq 0$ , est bien inversible : l'état stable est unique).

Étape 2 : suite auxiliaire et forme explicite. En posant $V_{n} = U_{n} - L$ , la propriété précédente donne directement

U_{n} = A^{n} (U_{0} - L) + L, avec U_{0} - L = (\begin{array}{c} 80 \\ - 20 \end{array}) .

Étape 3 : calcul de $A^{n}$ . Les premiers calculs donnent $A^{2} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array})$ , ce qui suggère la conjecture

A^{n} = (\begin{array}{cc} {(\frac{1}{2})}^{n} & 0 \\ n {(\frac{1}{2})}^{n} & {(\frac{1}{2})}^{n} \end{array}) .

Elle se démontre par récurrence : elle est vraie pour $n = 0$ (on retrouve $I_{2}$ ), et si elle est vraie au rang $n$ , alors

A^{n + 1} = A^{n} A = (\begin{array}{cc} {(\frac{1}{2})}^{n} \times \frac{1}{2} & 0 \\ n {(\frac{1}{2})}^{n} \times \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{n} \times \frac{1}{2} & {(\frac{1}{2})}^{n} \times \frac{1}{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} {(\frac{1}{2})}^{n + 1} & 0 \\ (n + 1) {(\frac{1}{2})}^{n + 1} & {(\frac{1}{2})}^{n + 1} \end{array}),

ce qui achève la récurrence.

Étape 4 : conclusion et interprétation. On calcule $A^{n} (U_{0} - L) = (\begin{array}{c} 80 {(\frac{1}{2})}^{n} \\ (80 n - 20) {(\frac{1}{2})}^{n} \end{array})$ , d'où pour tout entier naturel $n$ :

a_{n} = 20 + 80 {(\frac{1}{2})}^{n} et b_{n} = 20 + (80 n - 20) {(\frac{1}{2})}^{n} .

On contrôle : $a_{0} = 100$ , $b_{0} = 0$ , $a_{1} = 60$ , $b_{1} = 50$ , en accord avec un calcul direct. Voici les premières valeurs (arrondies au dixième) :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$
$a_{n}$	$100$	$60$	$40$	$30$	$25$	$20,1$
$b_{n}$	$0$	$50$	$55$	$47,5$	$38,8$	$20,8$

Comme ${(\frac{1}{2})}^{n} \to 0$ (suite géométrique de raison dans $] - 1; 1 [$ ) et $n {(\frac{1}{2})}^{n} \to 0$ (résultat classique de croissances comparées, que l'on admet ici), on obtient

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 20 et \lim_{n \to + \infty} b_{n} = 20.

Interprétation : quel que soit le détail des premiers jours (le bassin 2 commence par se remplir jusqu'à environ $55$ m $^{3}$ avant de redescendre), les volumes se stabilisent vers l'état stable $L$ : à long terme, chaque bassin contient $20$ m $^{3}$ , l'apport quotidien de $10$ m $^{3}$ compensant exactement le rejet vers la rivière.

Ce dernier exemple résume l'esprit du chapitre : une situation concrète se code par des matrices, les calculs (puissances, inverse, état stable) se mènent avec les outils que nous avons construits, et le résultat se relit dans le contexte de départ. Cette démarche de modélisation matricielle sera au cœur des exercices, et vous accompagnera bien au-delà de la terminale.

Le cours en PDF(PDF, 119 Ko)

Bloqué sur « Matrices » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte

Ce qu'il faut savoir faire

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Somme et produit par un réel

Le produit matriciel

Produit d'une ligne par une colonne

Cas général

Puissances d'une matrice carrée

Matrice inverse

Le cas des matrices 2×2

La méthode du polynôme annulateur

Application : l'équation AX=B

Matrices et systèmes linéaires

Matrices et transformations du plan

Composer des transformations

Suites de matrices colonnes

Le cas Un+1=A Un

Le cas général Un+1=A Un+C

Bloqué sur « Matrices » ?

Le cas des matrices $2 \times 2$

Application : l'équation $A X = B$

Le cas $U_{n + 1} = A U_{n}$

Le cas général $U_{n + 1} = A U_{n} + C$