Équations polynomiales et racines de l'unité

Souvenons-nous de la raison d'être des nombres complexes : c'est en s'attaquant aux équations de degré 3 que Bombelli a osé calculer avec des quantités « impossibles », et le premier chapitre s'est achevé sur une victoire — dans $\mathbb{C}$, toute équation du second degré à coefficients réels possède des solutions. Ce chapitre tient le reste de la promesse : nous allons apprendre à résoudre des équations de degré supérieur. La stratégie tient en un mot, qui sera le fil rouge de tout le chapitre : factoriser. Ne sachant résoudre directement que les degrés 1 et 2, nous écrirons les polynômes comme des produits de facteurs plus simples, qu'un raisonnement de produit nul achèvera. Et le chapitre se conclura sur une rencontre spectaculaire entre l'algèbre et la géométrie : les solutions de l'équation $z^n=1$, appelées racines de l'unité, dessinent dans le plan complexe des polygones réguliers.

Polynômes et identification des coefficients

L'objet central du chapitre est la fonction polynôme. Ses coefficients seront toujours des nombres réels — c'est le cadre du programme — mais sa variable parcourt $\mathbb{C}$ tout entier : c'est ce qui donnera aux équations toutes leurs solutions.

Remarque. Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; par convention, il n'a pas de degré.

Une même fonction polynôme peut-elle s'écrire avec deux jeux de coefficients différents ? Autrement dit, les coefficients sont-ils lisibles sans ambiguïté sur la fonction ? La réponse est oui, et elle repose sur la propriété suivante, que le programme demande d'admettre.

Démonstration. Si les coefficients coïncident, les fonctions coïncident, évidemment. Réciproquement, supposons $P(z)=Q(z)$ pour tout $z$, et considérons la différence $D=P-Q$ : en regroupant les termes de même degré, $D$ est une fonction polynôme, et $D(z)=0$ pour tout $z\in \mathbb{C}$. D'après la propriété admise, tous les coefficients de $D$ sont nuls : chaque coefficient de $P$ est donc égal au coefficient de même degré de $Q$. $\mathrm{\square }$

Ce résultat joue pour les polynômes exactement le rôle que l'unicité de la forme algébrique jouait au premier chapitre pour les nombres complexes : il transforme une égalité de fonctions en un système d'égalités entre réels. C'est la méthode clé du chapitre, celle qui remplacera toute division de polynômes.

Rappels sur le second degré

Toutes les résolutions du chapitre se termineront de la même façon : par un trinôme. Réactivons donc l'outil central du premier chapitre, où il a été entièrement démontré.

Équations se ramenant au second degré

Certaines équations de degré supérieur cachent un trinôme : un changement d'inconnue suffit à le révéler. Le cas modèle est l'équation bicarrée, où $z$ n'apparaît qu'à travers $z^2$ et $z^4$.

Remarque. Si le trinôme en $Z$ livrait des solutions non réelles, l'étape 3 demanderait de résoudre $z^2=Z_0$ avec $Z_0$ complexe : nous saurons le faire à la fin du chapitre, avec les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe.

La factorisation de $z^n-a^n$

Le fil rouge annoncé — factoriser pour résoudre — commence ici, par une identité remarquable généralisée. Pour $n=2$, on connaît $z^2-a^2=(z-a)(z+a)$ ; pour $n=3$, on vérifie que $z^3-a^3=(z-a)(z^2+az+a^2)$. Le motif se poursuit à tout ordre.

Démonstration. Développons le membre de droite en distribuant $z$, puis $-a$, sur la grande parenthèse :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (z-a)(z^{n-1}+a{z}^{n-2}+\cdots +a^{n-1})}& {\displaystyle =(z^n+a{z}^{n-1}+a^2{z}^{n-2}+\cdots +a^{n-1}z)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(a{z}^{n-1}+a^2{z}^{n-2}+\cdots +a^{n-1}z+a^n)\mathrm{.}}\end{array}$$

Les deux parenthèses contiennent exactement les mêmes termes intermédiaires $a{z}^{n-1}$, $a^2{z}^{n-2}$, …, $a^{n-1}z$, qui s'éliminent deux à deux — c'est un développement dit télescopique. Ne survivent que le premier terme de la première parenthèse et le dernier de la seconde : le développement vaut $z^n-a^n$. $\mathrm{\square }$

Le cas particulier $a=1$ servira sans cesse dans la suite du chapitre.

Remarque. Pour $z\mathrm{\ne }1$, en divisant les deux membres par $z-1$, on retrouve la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, vue en première pour les réels et désormais valable pour tout complexe :

$$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}={\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1}}\mathrm{.}$$

Racine d'un polynôme et factorisation par $z-a$

La factorisation de $z^n-a^n$ a un défaut : elle ne concerne que des polynômes très particuliers. Le théorème central de cette section l'étend à tout polynôme dont on connaît une valeur d'annulation. Donnons d'abord un nom à ces valeurs.

Voici maintenant le théorème qui relie racine et factorisation — connaître une racine, c'est connaître un facteur.

Démonstration. Le sens réciproque est immédiat : si $P(z)=(z-a)Q(z)$ pour tout $z$, alors $P(a)=(a-a)Q(a)=0$.

Pour le sens direct, supposons $P(a)=0$ et écrivons $P(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$ avec $a_n\mathrm{\ne }0$. L'astuce consiste à retrancher $P(a)$ — qui est nul — pour faire apparaître des différences de puissances :

$$P(z)=P(z)-P(a)=a_n(z^n-a^n)+a_{n-1}(z^{n-1}-a^{n-1})+\cdots +a_1(z-a),$$

les termes constants $a_0$ s'étant éliminés. Or, d'après le théorème de la section précédente, chaque différence $z^k-a^k$ se factorise par $z-a$. En mettant $z-a$ en facteur dans toute la somme :

$$P(z)=(z-a)\underset{Q(z)}{\underbrace{[a_n(z^{n-1}+a{z}^{n-2}+\cdots +a^{n-1})+a_{n-1}(z^{n-2}+\cdots +a^{n-2})+\cdots +a_1]}}\mathrm{.}$$

Dans le crochet, le seul terme en $z^{n-1}$ provient du premier bloc, avec le coefficient $a_n\mathrm{\ne }0$ ; tous les autres blocs sont de degré au plus $n-2$. La fonction $Q$ est donc bien un polynôme de degré $n-1$, de coefficient dominant $a_n$. $\mathrm{\square }$

Remarque. Si $a$ est réel, les coefficients de $Q$ sont réels. Si $a$ n'est pas réel, certains coefficients de $Q$ peuvent être complexes — ainsi $z^2+1=(z-i)(z+i)$. On admet que les définitions et résultats de ce chapitre (degré, identification des coefficients, factorisation) s'étendent mot pour mot à ces fonctions polynômes à coefficients complexes, que nous ne rencontrerons que comme intermédiaires de calcul.

Comment déterminer $Q$ en pratique ? Le théorème garantit son existence, mais ne le calcule pas. La méthode du programme est l'identification des coefficients, présentée en début de chapitre — et elle suffit toujours.

Le nombre de racines d'un polynôme

Une équation de degré $3$ peut-elle avoir quatre solutions ? L'intuition, forgée sur le second degré, souffle que non — et le théorème de factorisation permet de le démontrer proprement, par récurrence sur le degré.

Démonstration (par récurrence sur le degré). Pour tout entier $n⩾1$, notons ${\mathcal{H}}_n$ la propriété : « toute fonction polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines ».

Initialisation. Un polynôme de degré $1$ s'écrit $az+b$ avec $a\mathrm{\ne }0$, et l'équation $az+b=0$ équivaut à $z=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ : exactement une racine, donc au plus une. ${\mathcal{H}}_1$ est vraie.

Hérédité. Supposons ${\mathcal{H}}_n$ vraie pour un entier $n⩾1$, et soit $P$ un polynôme de degré $n+1$. Si $P$ n'a aucune racine, il en a bien au plus $n+1$. Sinon, soit $a$ une racine de $P$ : le théorème de factorisation écrit $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$. Soit alors $b$ une racine de $P$ distincte de $a$ :

$$0=P(b)=(b-a)Q(b),$$

et comme $b-a\mathrm{\ne }0$, un produit nul dont un facteur est non nul force $Q(b)=0$. Toute racine de $P$ autre que $a$ est donc une racine de $Q$. Or, par hypothèse de récurrence, $Q$ admet au plus $n$ racines : $P$ en admet au plus $n+1$ (celles de $Q$, plus éventuellement $a$). ${\mathcal{H}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, tout polynôme de degré $n⩾1$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$. $\mathrm{\square }$

Remarques.

• Le théorème dit « au plus », pas « exactement » : le compte dépend du polynôme. Dans $\mathbb{C}$, le polynôme $z^2+1$ atteint le maximum avec ses deux racines $i$ et $-i$, tandis que $(z-1{)}^2$, de degré $2$ lui aussi, n'a que la racine $1$. L'équation bicarrée résolue plus haut atteignait le maximum : quatre solutions pour un degré $4$, et le théorème garantit qu'il n'en existe aucune autre.
• Le théorème a une conséquence remarquable : deux polynômes de degré au plus $n$ qui coïncident en $n+1$ points distincts sont égaux. En effet, leur différence est une fonction polynôme qui admet $n+1$ racines ; si elle n'était pas nulle, son degré — au plus $n$ — contredirait le théorème. Elle est donc nulle, et l'identification conclut. Une poignée de valeurs suffit ainsi à déterminer entièrement un polynôme.

Somme et produit des racines

Résoudre, c'est bien ; contrôler son résultat en quelques secondes, c'est mieux. Les formules de cette section montrent que les racines d'un polynôme se lisent partiellement sur ses coefficients — de quoi vérifier n'importe quelle résolution, et parfois la remplacer.

Démonstration. Le premier chapitre l'a établie par le calcul, à partir des formules explicites des solutions. En voici une seconde démonstration, plus structurelle, fondée sur la factorisation. Montrons d'abord que $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ pour tout $z$. Comme $z_1$ est une racine, le théorème de factorisation donne $a{z}^2+bz+c=(z-z_1)(\alpha z+\beta )$ avec $\alpha =a$ (coefficient dominant). Si $z_2\mathrm{\ne }{z}_1$, l'évaluation en $z_2$ donne $0=(z_2-z_1)(a{z}_2+\beta )$ avec $z_2-z_1\mathrm{\ne }0$, donc $\beta =-a{z}_2$ et le second facteur est $a(z-z_2)$. Si $z_2=z_1$ (cas $\mathrm{\Delta }=0$, où $z_1=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$), la forme canonique s'écrit directement $a{(z+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2=a(z-z_1{)}^2$. Dans les deux cas, développons :

$$a(z-z_1)(z-z_2)=a(z^2-(z_1+z_2)z+z_1{z}_2)=a{z}^2-a(z_1+z_2)z+a{z}_1{z}_2\mathrm{.}$$

Par identification des coefficients avec $a{z}^2+bz+c$ : $b=-a(z_1+z_2)$ et $c=a{z}_1{z}_2$, c'est-à-dire $z_1+z_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et $z_1{z}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$. $\mathrm{\square }$

Remarque (lecture sur un polynôme unitaire factorisé). Le même développement s'étend aux petits degrés. Pour un polynôme unitaire de degré $3$ de racines $z_1$, $z_2$, $z_3$ :

$$(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)=z^3-(z_1+z_2+z_3)z^2+(z_1{z}_2+z_1{z}_3+z_2{z}_3)z-z_1{z}_2{z}_3\mathrm{.}$$

La somme des racines est l'opposé du coefficient de $z^2$, et leur produit est l'opposé du terme constant — le signe alterne avec le degré. Vérifions sur l'équation $z^3-5z^2+11z-15=0$ résolue plus haut, de solutions $3$, $1-2i$ et $1+2i$ : la somme vaut $3+(1-2i)+(1+2i)=5$, opposé de $-5$ ; le produit vaut $3(1-2i)(1+2i)=3\times 5=15$, opposé de $-15$. Les deux contrôles concordent, sans refaire aucun calcul de discriminant.

La propriété se lit aussi dans l'autre sens : connaissant la somme et le produit de deux nombres, on peut les retrouver.

En effet, si $u+v=s$ et $uv=p$, alors $(z-u)(z-v)=z^2-sz+p$ pour tout $z$ : les nombres $u$ et $v$ sont bien les racines de ce trinôme. Réciproquement, la propriété ci-dessus assure que les racines de $z^2-sz+p$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$.

Les racines $n$-ièmes de l'unité

Toutes les briques sont posées ; voici le sommet du chapitre. L'équation $z^n=1$ est la plus simple de toutes les équations de degré $n$, et le théorème du nombre de racines nous garantit déjà qu'elle admet au plus $n$ solutions. Nous allons montrer qu'elle en admet exactement $n$, les calculer toutes — c'est ici que la forme exponentielle du chapitre précédent entre en scène — et découvrir que leurs images dessinent des polygones réguliers.

Le nombre $1$ appartient toujours à ${\mathbb{U}}_n$, et ${\mathbb{U}}_1=\{1\}$. La notation rappelle l'ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de module $1$, introduit au chapitre précédent — et ce n'est pas un hasard, comme le montre la démonstration qui suit.

Démonstration. Raisonnons par analyse-synthèse.

Analyse. Soit $z\in {\mathbb{U}}_n$. D'abord $z\mathrm{\ne }0$, car $0^n=0\mathrm{\ne }1$. En prenant les modules : $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n=\mid z^n\mid =1$. Or $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ est un réel strictement positif, et la fonction $t\mapsto t^n$ est strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ : le seul réel strictement positif dont la puissance $n$-ième vaut $1$ est $1$ lui-même. Donc $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$, et $z$ s'écrit sous forme exponentielle $z=e^{i\theta }$ avec $\theta$ réel — autrement dit, ${\mathbb{U}}_n\subset \mathbb{U}$. L'équation devient, grâce à la formule de Moivre, $e^{in\theta }=1=e^{i\times 0}$ ; par unicité de l'argument (chapitre précédent), cela équivaut à $n\theta =0[2\pi ]$, c'est-à-dire $n\theta =2k\pi$ pour un certain entier relatif $k$, soit $\theta ={\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}$. Ainsi $z=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$ avec $k$ entier relatif.

Synthèse. Réciproquement, pour tout entier relatif $k$, le nombre $e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$ vérifie ${\left(e^{2ik\pi \mathrm{/}n}\right)}^n=e^{2ik\pi }=1$ : c'est bien un élément de ${\mathbb{U}}_n$.

Réduction aux indices $0,\dots ,n-1$. Soit $k$ un entier relatif quelconque, et $k=qn+r$ sa division euclidienne par $n$, avec $0⩽r⩽n-1$. Alors

$$e^{2ik\pi \mathrm{/}n}=e^{2iq\pi +2ir\pi \mathrm{/}n}=e^{2iq\pi }\times e^{2ir\pi \mathrm{/}n}=e^{2ir\pi \mathrm{/}n}:$$

toute racine figure déjà dans la liste des indices $0$ à $n-1$. Enfin, ces $n$ nombres sont deux à deux distincts : pour $0⩽k<k^{\mathrm{\prime }}⩽n-1$, la différence des arguments vaut ${\displaystyle \frac{2(k^{\mathrm{\prime }}-k)\pi }{n}}$, qui appartient à $]0;2\pi [$ puisque $0<k^{\mathrm{\prime }}-k<n$ ; ce n'est pas un multiple de $2\pi$, donc les deux nombres diffèrent. $\mathrm{\square }$

Remarque. Notons désormais ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$, et en particulier $\omega ={\omega }_1=e^{2i\pi \mathrm{/}n}$. La formule de Moivre donne ${\omega }_k={\omega }^k$ : les racines $n$-ièmes de l'unité sont les puissances successives $1$, $\omega$, ${\omega }^2$, …, ${\omega }^{n-1}$ de la première d'entre elles.

Représentons ${\mathbb{U}}_n$ dans le plan complexe. Tous ses éléments sont de module $1$ : leurs images appartiennent au cercle trigonométrique. Leurs arguments $0$, ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$, ${\displaystyle \frac{4\pi }{n}}$, … progressent d'un pas constant ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$ : les $n$ images sont donc les sommets d'un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle trigonométrique, dont l'un des sommets est le point d'affixe $1$.

La figure illustre le cas $n=6$ : les six racines sixièmes ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}6}=e^{ik\pi \mathrm{/}3}$ forment un hexagone régulier, et l'angle au centre entre deux sommets consécutifs vaut ${\displaystyle \frac{2\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Chacune se calcule sous forme algébrique avec $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ :

Les cas $n=2$, $n=3$ et $n=4$

Le cas $n=2$. L'équation $z^2=1$ s'écrit $(z-1)(z+1)=0$, d'où ${\mathbb{U}}_2=\{1;-1\}$. Les deux images sont les extrémités d'un diamètre du cercle trigonométrique — le « polygone » se réduit à un segment.

Le cas $n=3$. Le théorème donne ${\mathbb{U}}_3=\{1;e^{2i\pi \mathrm{/}3};e^{4i\pi \mathrm{/}3}\}$. La deuxième racine joue un rôle si fréquent qu'elle a reçu un nom.

Comme $e^{4i\pi \mathrm{/}3}={\left(e^{2i\pi \mathrm{/}3}\right)}^2=j^2$, on retient : ${\mathbb{U}}_3=\{1;j;j^2\}$. Les trois images forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique.

Démonstration. D'abord $j^3={\left(e^{2i\pi \mathrm{/}3}\right)}^3=e^{2i\pi }=1$. Ensuite, la factorisation de $z^3-1$ appliquée en $z=j$ donne $0=j^3-1=(j-1)(j^2+j+1)$ ; comme $j\mathrm{\ne }1$, nécessairement $1+j+j^2=0$. Enfin $j^2=e^{4i\pi \mathrm{/}3}=e^{-2i\pi \mathrm{/}3}=\bar{j}$, car les arguments ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$ et $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ diffèrent de $2\pi$ ; et l'égalité $j\times j^2=j^3=1$ montre que $j^2$ est l'inverse de $j$. $\mathrm{\square }$

Ces trois identités transforment tout calcul avec $j$ en un jeu de simplifications : les puissances de $j$ se réduisent grâce au cycle $j^3=1$ — de longueur $3$, comme celui des puissances de $i$ était de longueur $4$ au premier chapitre — et la relation $1+j+j^2=0$ remplace toute somme de deux de ces nombres par l'opposé du troisième. Quelques calculs typiques :

Le cas $n=4$. Le théorème donne les $e^{ik\pi \mathrm{/}2}$ pour $k=0$, $1$, $2$, $3$, c'est-à-dire

$${\mathbb{U}}_4=\{1;i;-1;-i\}:$$

les racines quatrièmes de l'unité sont exactement les puissances de $i$, dont le cycle a été étudié au premier chapitre. On peut aussi les retrouver par pure algèbre : $z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)$. Les quatre images forment un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.

Stabilité de ${\mathbb{U}}_n$

L'ensemble ${\mathbb{U}}_n$ possède une propriété remarquable : les opérations usuelles ne permettent pas d'en sortir.

Démonstration. Par hypothèse $z^n=z^{\mathrm{\prime }n}=1$, et $z\mathrm{\ne }0$. Alors $(z{z}^{\mathrm{\prime }}{)}^n=z^n{z}^{\mathrm{\prime }n}=1\times 1=1$, puis ${\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^n={\displaystyle \frac{1}{z^n}}=1$, et ${\left(\bar{z}\right)}^n=\overline{z^n}=\bar{1}=1$ d'après les propriétés du conjugué (premier chapitre). Enfin $z$ appartient à ${\mathbb{U}}_n$, donc est de module $1$, et le chapitre précédent a montré que l'inverse d'un nombre de module $1$ est son conjugué. $\mathrm{\square }$

Remarque. Regardons la stabilité par produit à travers les indices : ${\omega }_k\times {\omega }_{k^{\mathrm{\prime }}}={\omega }^k{\omega }^{k^{\mathrm{\prime }}}={\omega }^{k+k^{\mathrm{\prime }}}$. Si $k+k^{\mathrm{\prime }}$ dépasse $n-1$, la réduction vue dans la démonstration du théorème le ramène à son reste $r$ dans la division euclidienne par $n$ : ${\omega }_k{\omega }_{k^{\mathrm{\prime }}}={\omega }_r$. Les indices s'ajoutent donc « à un multiple de $n$ près » — une arithmétique des restes que le prochain chapitre étudiera pour elle-même, sous le nom de congruences.

La somme des racines $n$-ièmes de l'unité

Les sommets du polygone se répartissent parfaitement autour de l'origine : leur « moyenne » devrait tomber au centre. C'est exact, et l'algèbre le confirme en deux lignes.

Démonstration. Posons $S={\omega }_0+{\omega }_1+\cdots +{\omega }_{n-1}=1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}$, puisque ${\omega }_k={\omega }^k$. La factorisation de $z^n-1$ appliquée en $z=\omega$ donne

$${\omega }^n-1=(\omega -1)(1+\omega +\cdots +{\omega }^{n-1})=(\omega -1)S\mathrm{.}$$

Or ${\omega }^n=1$, donc $(\omega -1)S=0$. Comme $n⩾2$, l'argument ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$ de $\omega$ appartient à $]0;2\pi [$, donc $\omega \mathrm{\ne }1$ : un produit nul dont le premier facteur est non nul force $S=0$. $\mathrm{\square }$

Remarques.

• L'hypothèse $n⩾2$ est indispensable : pour $n=1$, la somme vaut $1$.
• Le cas $n=3$ redonne la relation $1+j+j^2=0$, et le cas $n=4$ se vérifie de tête : $1+i+(-1)+(-i)=0$.
• Géométriquement, le centre de gravité des $n$ sommets du polygone est l'origine — la régularité de la figure se lit dans l'algèbre.

Racines $n$-ièmes d'un nombre complexe

L'équation $z^n=1$ est résolue ; la généralisation s'impose d'elle-même : que dire de $z^n=A$ pour un nombre complexe $A$ non nul quelconque ? L'exemple $z^3=8$, traité en début de chapitre par factorisation, avait livré trois solutions, toutes de module $2$ — un indice que la structure de ${\mathbb{U}}_n$ se cache derrière toutes ces équations. Le théorème suivant le confirme, et clôt le chapitre en beauté.

Remarque. Le réel $\sqrt[n]{r}$ désigne l'unique réel strictement positif dont la puissance $n$-ième vaut $r$ : il existe et il est unique, car la fonction $t\mapsto t^n$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Démonstration. Posons $z_0=\sqrt[n]{r}{e}^{i\alpha \mathrm{/}n}$. La formule de Moivre donne

$$z_0^n={\left(\sqrt[n]{r}\right)}^n{\left(e^{i\alpha \mathrm{/}n}\right)}^n=r{e}^{i\alpha }=A:$$

le nombre $z_0$ est une solution particulière, et $z_0\mathrm{\ne }0$. Pour tout complexe $z$, on peut alors diviser par $z_0^n$ :

$$z^n=A⟺z^n=z_0^n⟺{\left({\displaystyle \frac{z}{z_0}}\right)}^n=1⟺{\displaystyle \frac{z}{z_0}}\in {\mathbb{U}}_n\mathrm{.}$$

Les solutions sont donc exactement les $z=z_0{\omega }_k$ pour $k=0,\dots ,n-1$, c'est-à-dire

$$z_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i\alpha \mathrm{/}n}\times e^{2ik\pi \mathrm{/}n}=\sqrt[n]{r}{e}^{i\frac{\alpha +2k\pi }{n}}\mathrm{.}$$

Elles sont deux à deux distinctes, car $z_0\mathrm{\ne }0$ et les ${\omega }_k$ sont deux à deux distincts. $\mathrm{\square }$

Ce théorème dit deux choses. D'une part un résultat d'existence : tout nombre complexe non nul admet des racines $n$-ièmes — là où, dans $\mathbb{R}$, un nombre négatif n'a même pas de racine carrée. D'autre part une description : il suffit de connaître une solution pour les avoir toutes, en la multipliant par les racines $n$-ièmes de l'unité.

Contrôle par factorisation. La solution réelle $-3$ saute aux yeux ($(-3{)}^3=-27$), et la première moitié du chapitre offre une seconde résolution complète. Factorisons $z^3+27$ par $z+3$ : l'identification dans $z^3+27=(z+3)(z^2+\beta z+\gamma )=z^3+(\beta +3)z^2+(\gamma +3\beta )z+3\gamma$ donne $\beta =-3$ et $\gamma =9$ (et le contrôle $\gamma +3\beta =9-9=0$ concorde avec l'absence de terme en $z$). Le trinôme $z^2-3z+9$ a pour discriminant $\mathrm{\Delta }=9-36=-27<0$, avec $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, d'où les solutions ${\displaystyle \frac{3\pm 3i\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\pm i{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$. Les deux méthodes du chapitre — la factorisation algébrique et la forme exponentielle — donnent exactement les mêmes solutions : belle convergence.

Remarque géométrique. Les images des $n$ racines $n$-ièmes de $A$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ sommets, inscrit cette fois dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{r}$ : c'est le polygone des racines de l'unité, agrandi du facteur $\sqrt[n]{r}$ et tourné de l'angle ${\displaystyle \frac{\alpha }{n}}$. Dans l'exemple, les trois solutions de $z^3=-27$ forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon $3$ — et le mystère de l'équation $z^3=8$, dont les trois solutions avaient toutes pour module $2=\sqrt[3]{8}$, est levé.

Le bilan du chapitre tient dans son fil rouge : pour résoudre une équation polynomiale, on factorise — une racine connue fournit un facteur $z-a$, l'identification des coefficients livre le facteur restant, et le second degré achève le travail, sous le contrôle silencieux du théorème du nombre de racines et des formules somme-produit. Les racines de l'unité couronnent l'édifice : l'équation $z^n=1$ admet exactement $n$ solutions, les puissances de $e^{2i\pi \mathrm{/}n}$, dont les images dessinent un polygone régulier, et toute équation $z^n=A$ s'y ramène. Chemin faisant, une observation est promise à un grand avenir : les indices des racines de l'unité s'ajoutent « à un multiple de $n$ près ». Cette arithmétique des restes — divisibilité, division euclidienne, congruences — est précisément l'objet du prochain chapitre. Signalons enfin, au-delà du programme, que nos théorèmes sont l'ombre portée d'un résultat plus profond, le théorème de d'Alembert-Gauss : dans $\mathbb{C}$, tout polynôme de degré $n⩾1$ se factorise entièrement en produit de $n$ facteurs de degré $1$ — l'ensemble construit par Bombelli ne manque jamais d'aucune racine.