Exercices — Primitives et équations différentielles

Dans chacun des cas suivants, vérifier si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle sur l'intervalle indiqué. Justifier soigneusement la réponse.

1. Équation $y^{\mathrm{\prime }}=2y$ sur $\mathbb{R}$, avec la fonction $f$ définie par $f(x)=5{\mathrm{e}}^{2x}$.

2. Équation $y^{\mathrm{\prime }}=-3y$ sur $\mathbb{R}$, avec la fonction $g$ définie par $g(x)={\mathrm{e}}^{-3x}+1$.

3. Équation $y^{\mathrm{\prime }}=2y+6$ sur $\mathbb{R}$, avec la fonction $h$ définie par $h(x)=-3+{\mathrm{e}}^{2x}$.

4. Équation $x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, avec la fonction $k$ définie par $k(x)=5x$.

1. On considère les fonctions $F$ et $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

   $$F(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x\text{et}f(x)=x{\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$$

   Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. On considère les fonctions $G$ et $g$ définies sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

   $$G(x)=x^2+3x-\ln (x)\text{et}g(x)=2x+3-{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$$

   Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

3. Questions de réflexion.

   a. Les fonctions $F$ et $F+7$ sont-elles des primitives de la même fonction ? Justifier.

   b. Comment s'écrivent toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f(x)=3$

   b. $g(x)=2x+5$

   c. $h(x)=x^2-4x+1$

   d. $k(x)=6x^5$

   e. $m(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{2}}+x$

   f. $n(x)=4x^3-6x^2+2$

   g. $p(x)=7-2x$

   h. $q(x)=5x^4-3$

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

   a. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   c. $h(x)={\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$

   d. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   e. $m(x)=3{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{5}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   f. $n(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   g. $p(x)={\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   h. $q(x)={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

2. Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x-3$ qui s'annule en $2$.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$.

   a. Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1)=4$.

2. Un mobile se déplace en ligne droite. À l'instant $t$ (en secondes), sa vitesse est donnée par $v(t)=2t+1$ (en mètres par seconde). On note $d(t)$ la position du mobile (en mètres) à l'instant $t$, et on sait que $d(0)=5$.

   a. Expliquer pourquoi la fonction $d$ est une primitive de la fonction $v$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

   b. Déterminer l'expression de $d(t)$.

   c. Calculer la position du mobile à l'instant $t=10$ secondes.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$. On précisera à chaque fois la fonction $u$ utilisée.

   a. $f(x)=2{\mathrm{e}}^{2x}$

   b. $g(x)=x{\mathrm{e}}^{x^2}$

   c. $h(x)=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

   d. $k(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^{x^2+x}$

   e. $m(x)={\mathrm{e}}^{-x}$

   f. $n(x)=4x{\mathrm{e}}^{2x^2}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{3x}+{\mathrm{e}}^{-3x}$. Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=0$.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$, en reconnaissant la forme $2u^{\mathrm{\prime }}u$, à une constante multiplicative près.

   a. $f(x)=4x(x^2+1)$

   b. $f(x)=(2x+3)(x^2+3x-1)$

   c. $f(x)=(x+1)(x^2+2x+5)$

2. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en reconnaissant la forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$. On justifiera dans chaque cas que $u(x)>0$ sur l'intervalle considéré.

   d. $f(x)={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}$ sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\mathrm{\infty }[$

   e. $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+4}}$ sur $\mathbb{R}$

   f. $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2}{x^3+1}}$ sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$

1. Pour chacune des fonctions suivantes, identifier la forme à laquelle elle se rattache (fonction de référence, $2u^{\mathrm{\prime }}u$, ${\mathrm{e}}^u{u}^{\mathrm{\prime }}$ ou ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$), puis en déterminer une primitive sur l'intervalle indiqué. Attention : l'une d'elles n'est qu'une fonction de référence déguisée.

   a. $f(x)=3x^2-4x+1$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f(x)=2x{\mathrm{e}}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f(x)=(2x-1)(x^2-x+3)$ sur $\mathbb{R}$

   d. $f(x)={\displaystyle \frac{2x+2}{x^2+2x+5}}$ sur $\mathbb{R}$

   e. $f(x)=(x+2{)}^2$ sur $\mathbb{R}$

   f. $f(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}$ sur $\mathbb{R}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}$. Telle quelle, $f$ ne correspond à aucune des formes du cours. Montrer que pour tout $x>0$, $f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$, puis en déduire une primitive de $f$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Que retenir de cette question ?

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes.

   a. $y^{\mathrm{\prime }}=3y$

   b. $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}y$

2. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-2y$ vérifiant $f(0)=8$. Calculer $f(1)$, arrondi au centième.

3. Une culture de bactéries se développe dans un milieu favorable. On note $N(t)$ l'effectif de la culture à l'instant $t$, exprimé en heures. On admet que $N$ vérifie l'équation différentielle $N^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,25}N$ et que $N(0)=400$.

   a. Exprimer $N(t)$ en fonction de $t$.

   b. Calculer $N(8)$, arrondi à l'unité.

   c. Déterminer par le calcul, à l'aide de la fonction $\ln$, l'instant à partir duquel l'effectif de la culture dépasse $4000$. On donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième d'heure.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}y+3$. La figure ci-dessous représente trois courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$, représentatives de trois fonctions solutions de $(E)$, passant respectivement par les points de coordonnées $(0;2)$, $(0;6)$ et $(0;10)$.

1. Lire graphiquement la valeur en $0$ de chacune des trois solutions.
2. L'une des trois courbes est une droite horizontale : laquelle ? Vérifier par le calcul que la fonction constante correspondante est solution de $(E)$.
3. Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=6-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ est solution de $(E)$. À laquelle des trois courbes correspond-elle ?
4. Conjecturer graphiquement la limite en $+\mathrm{\infty }$ de chacune des trois solutions. Que représente cette valeur commune pour l'équation $(E)$ ?

1. On considère l'équation différentielle $(E_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }}=2y-8$.

   a. Déterminer la solution particulière constante de $(E_1)$.

   b. En déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$.

2. On considère l'équation différentielle $(E_2)$ : $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,25}y+5$.

   a. Résoudre $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Déterminer la solution $f$ de $(E_2)$ vérifiant $f(0)=4$.

3. Déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$. Interpréter cette valeur pour l'équation $(E_2)$.

On considère l'équation différentielle

avec la condition initiale $y(0)=2$. D'après le cours, la solution de ce problème est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}t}$.

On cherche à approcher les valeurs de $f$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h=\mathrm{0,5}$. On note $y_k$ la valeur approchée de $f(t_k)$, où $t_k=\mathrm{0,5}k$, en partant de $y_0=2$.

1. Rappeler le principe de la méthode d'Euler, fondé sur l'approximation $y(t+h)\approx y(t)+h\times y^{\mathrm{\prime }}(t)$. En déduire que, pour l'équation $(E)$ et le pas $h=\mathrm{0,5}$, les valeurs approchées vérifient la relation d'itération $y_{k+1}=y_k+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}{y}_k=\mathrm{1,25}{y}_k$.

2. Calculer à la main $y_1$, $y_2$, $y_3$ et $y_4$, puis recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

3. Donner la valeur exacte $f(2)=2\mathrm{e}$ arrondie au millième et la comparer à $y_4$. La méthode d'Euler surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle la solution ici ?

4. On automatise la méthode en Python. Recopier et compléter le script suivant, qui renvoie la valeur approchée obtenue au bout de $n$ pas de longueur $h$.

def euler(h, n):
    y = 2
    for k in range(n):
        y = y + h * ...
    return y

Que renvoie l'appel euler(0.5, 4) ? Sans exécuter le script, expliquer pourquoi la valeur renvoyée par euler(0.1, 20) est elle aussi une approximation de $f(2)$, et dire si l'on peut s'attendre à ce qu'elle soit plus proche ou moins proche de $2\mathrm{e}$ que $y_4$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple ou un argument précis si elle est fausse.

1. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3{\mathrm{e}}^{-x}+2$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-y+2$.

2. Toutes les solutions de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=2y$ sont croissantes sur $\mathbb{R}$.

3. L'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-4y+12$ admet une unique solution constante.

4. Si $f$ est une solution de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ (avec $a\mathrm{\ne }0$) telle que $f(0)=0$, alors $f$ est la fonction nulle.

5. Deux courbes représentant deux solutions distinctes de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ (avec $a\mathrm{\ne }0$) peuvent se couper.

Un thé, servi à $90\mathrm{°}\mathrm{C}$, est posé dans une pièce dont la température est constante, égale à $22\mathrm{°}\mathrm{C}$. On note $\theta (t)$ la température du thé (en degrés Celsius) à l'instant $t$, exprimé en minutes.

La loi de refroidissement de Newton indique que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du thé et celle de la pièce. Ici :

1. Justifier que $\theta$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,12}y+\mathrm{2,64}$. Déterminer la solution constante de cette équation et donner son interprétation physique.

2. Résoudre l'équation différentielle, puis déterminer la fonction $\theta$ vérifiant $\theta (0)=90$.

3. Calculer la température du thé au bout de $10$ minutes, arrondie au dixième de degré.

4. On considère que le thé est buvable lorsque sa température atteint $55\mathrm{°}\mathrm{C}$. Déterminer, par le calcul, le temps d'attente nécessaire, arrondi à la dixième de minute.

5. Déterminer la limite de $\theta (t)$ quand $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Ce résultat est-il cohérent physiquement ?

Un patient reçoit un médicament par perfusion continue, au débit de $12$ mg par heure. Chaque heure, son organisme élimine $15\mathrm{\%}$ de la quantité de médicament présente dans le sang. On note $Q(t)$ la quantité de médicament (en mg) présente dans le sang à l'instant $t$, exprimé en heures. Au début de la perfusion, $Q(0)=0$.

On admet que $Q$ est solution de l'équation différentielle

1. Interpréter chacun des deux termes du second membre à l'aide d'un bilan entrées/sorties.

2. Déterminer la solution constante de l'équation différentielle et donner son interprétation médicale.

3. Résoudre l'équation différentielle et montrer que $Q(t)=80(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t})$.

4. Calculer $Q(6)$, arrondie au dixième de mg. Déterminer ensuite, par le calcul, au bout de combien de temps la quantité de médicament atteint $60$ mg (arrondir à la dixième d'heure).

5. On souhaite retrouver ces valeurs par la méthode d'Euler, avec le pas $h=1$ (une heure).

   a. Justifier que les valeurs approchées vérifient la relation d'itération $Q_{k+1}=\mathrm{0,85}{Q}_k+12$, avec $Q_0=0$.

   b. Calculer à la main $Q_1$ et $Q_2$, puis comparer $Q_2$ à la valeur exacte $Q(2)$ arrondie au dixième. La méthode d'Euler surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ici ?

   c. Recopier et compléter le script Python suivant, qui renvoie la valeur approchée obtenue au bout de $n$ pas de longueur $h$.

def euler(h, n):
    Q = 0
    for k in range(n):
        Q = Q + h * (...)
    return Q

Une réserve naturelle compte $500$ oiseaux d'une espèce protégée au début de l'année 2026. On note $N(t)$ l'effectif de la population, en centaines d'individus, $t$ années après 2026 ; ainsi $N(0)=5$.

Deux modèles d'évolution sont proposés.

• Modèle A (croissance libre) : $N^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,08}N$.
• Modèle B (croissance freinée par un prélèvement constant, dû à la migration et au braconnage) : $N^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,08}N-\mathrm{0,6}$.

Partie 1 — Modèle A

1. Résoudre l'équation différentielle du modèle A avec la condition initiale $N(0)=5$.

2. Calculer l'effectif prévu au début de l'année 2036 (arrondir à l'unité d'oiseau).

3. Déterminer, par le calcul, au cours de quelle année la population dépasse $2000$ oiseaux, puis la première année entière au début de laquelle l'effectif dépasse $2000$ oiseaux.

Partie 2 — Modèle B

4. Déterminer la solution constante de l'équation du modèle B et interpréter cette valeur pour la population.

5. Résoudre l'équation avec $N(0)=5$ et montrer que $N(t)=\mathrm{7,5}-\mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,08}t}$.

6. Montrer que la fonction $N$ est strictement décroissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Étrange pour un modèle dont le taux de croissance est positif : expliquer en une phrase d'où vient cette décroissance.

7. Déterminer, par le calcul, la date d'extinction prévue par le modèle B (année au cours de laquelle $N(t)=0$).

Partie 3 — Discussion

8. Dans le modèle B, quel effectif initial minimal $N(0)$ garantit la survie de la population ? On discutera selon la position de $N(0)$ par rapport à la solution constante.

9. En une ou deux phrases : lequel des deux modèles vous paraît le plus réaliste à long terme, et pourquoi ?