Fonctions convexes

Observons deux grandeurs qui augmentent : le chiffre d'affaires d'une entreprise en pleine expansion, qui gagne chaque mois plus que le mois précédent, et le nombre total de personnes touchées par une épidémie qui s'essouffle, qui augmente encore mais de moins en moins vite. Dans les deux cas la grandeur croît, et la dérivée première — qui ne renseigne que sur le sens de variation — est positive. Elle ne fait donc aucune différence entre ces deux situations pourtant opposées : l'une s'emballe, l'autre ralentit.

Pour distinguer une croissance qui accélère d'une croissance qui freine, il faut étudier non plus le signe de la dérivée, mais ses variations : les pentes augmentent-elles ou diminuent-elles le long de la courbe ? C'est l'objet de ce chapitre. L'outil de calcul sera la dérivée seconde, et la géométrie associée porte des noms : convexité, concavité et point d'inflexion. Ces notions sont très utilisées en économie, où l'allure d'une courbe (coûts, production, répartition des revenus) en dit souvent plus long que son simple sens de variation.

La dérivée seconde

Lorsqu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ est elle-même une fonction définie sur $I$. Rien n'empêche alors de s'intéresser à la dérivée de cette nouvelle fonction.

En pratique, calculer $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ne demande aucune technique nouvelle : on dérive une première fois, puis on dérive le résultat, avec les formules habituelles. Une image utile vient de la physique : si $f(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ est sa vitesse et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ son accélération — la dérivée seconde mesure la façon dont la vitesse de variation varie elle-même.

Fonctions convexes, fonctions concaves

Comparons les courbes des fonctions $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto \sqrt{x}$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ : toutes deux montent, mais la parabole se redresse de plus en plus, creusée vers le haut, tandis que la courbe de la racine carrée s'aplatit et s'arrondit en dôme. Pour décrire cette différence d'allure sans parler encore de dérivée, l'idée la plus simple est de comparer la courbe aux droites qui joignent deux de ses points.

La figure illustre la convexité de la fonction carré : entre $A(-2;4)$ et $B(1;1)$, la parabole reste en dessous de la corde $[AB]$, portée par la droite d'équation $y=-x+2$. On peut le vérifier par le calcul : $x^2\le -x+2$ équivaut à $x^2+x-2\le 0$, c'est-à-dire $(x+2)(x-1)\le 0$, ce qui est vrai exactement pour $x\in [-2;1]$ — entre les abscisses de $A$ et de $B$. Et la définition exige que cela vaille pour toutes les cordes, pas seulement celle-là.

Lorsque la fonction est dérivable, sa courbe possède une tangente en chaque point, et la convexité se lit aussi sur la position de la courbe par rapport à ces tangentes. Attention au renversement : la courbe d'une fonction convexe est sous ses cordes, mais au-dessus de ses tangentes.

Sur la figure, la tangente $T$ à la parabole au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=-2x-1$, et la courbe reste au-dessus d'elle sur $\mathbb{R}$ tout entier. On peut l'observer par le calcul : $x^2-(-2x-1)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$ pour tout réel $x$, avec égalité uniquement au point de tangence.

Quelques exemples de référence, à savoir reconnaître sur les courbes connues :

• $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ;
• $x\mapsto \ln x$ est concave sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ;
• $x\mapsto \sqrt{x}$ est concave sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ ;
• $x\mapsto x^3$ n'est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$ : elle est concave sur $]-\mathrm{\infty };0]$ puis convexe sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ — sa courbe change d'allure à l'origine.

Remarquons qu'une fonction convexe n'est pas forcément croissante : la parabole est convexe sur $\mathbb{R}$ tout en étant décroissante puis croissante. Le sens de variation et la convexité sont deux informations indépendantes : le premier dit si la courbe monte ou descend, la seconde dit si elle se creuse vers le haut ou s'arrondit en dôme.

Convexité et dérivées

La définition par les cordes est purement géométrique : commode pour lire un graphique, elle l'est beaucoup moins pour étudier une fonction donnée par une formule. Heureusement, la convexité se traduit sur les dérivées. L'idée est visible sur les figures précédentes : le long d'une courbe convexe, les tangentes sont de plus en plus redressées — leurs pentes, c'est-à-dire les valeurs de $f^{\mathrm{\prime }}$, augmentent. Et dire que $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante, c'est dire que sa propre dérivée $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ est positive.

Vérifions la cohérence avec nos exemples de référence. Pour la fonction carré : ${\left(x^2\right)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2>0$, convexe sur $\mathbb{R}$. Pour l'exponentielle : ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^x>0$, convexe sur $\mathbb{R}$. Pour le logarithme : ${(\ln x)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}$ puis ${(\ln x)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, concave. Étudier la convexité d'une fonction se ramène donc à une étude de signe — un exercice que nous savons déjà mener.

Dans cet exemple, la convexité change en $x=0$ : la courbe, creusée vers le haut à gauche, s'arrondit en dôme à droite. Ce point de bascule mérite un nom.

Point d'inflexion

Au point où une courbe passe de convexe à concave (ou l'inverse), sa position par rapport à ses tangentes s'inverse : au-dessus d'un côté, en dessous de l'autre. En ce point précis, la courbe ne reste donc ni au-dessus ni en dessous de sa tangente : elle la traverse.

Sur la figure, la courbe de la fonction $f:x\mapsto -x^3+3x^2-1$ traverse en $A(1;1)$ sa tangente, la droite d'équation $y=3x-2$ : à gauche de $A$, la courbe est au-dessus de la tangente (zone convexe) ; à droite, elle passe en dessous (zone concave). Le calcul confirme ce que montre le dessin : $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+6=6(1-x)$ est positif avant $1$ et négatif après, si bien que $f$ est convexe sur $]-\mathrm{\infty };1]$ puis concave sur $[1;+\mathrm{\infty }[$. Puisque le changement de convexité se lit sur le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, les points d'inflexion se détectent par le calcul.

Attention : l'annulation de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ne suffit pas, c'est le changement de signe qui compte. Contre-exemple : pour $h(x)=x^4$, on a $h^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3$ puis $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2$, qui s'annule en $0$… sans changer de signe, puisque $12x^2\ge 0$ pour tout réel $x$. La fonction reste convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier et l'origine n'est pas un point d'inflexion : la tangente en $0$ est l'axe des abscisses, et la courbe, toujours au-dessus, ne la traverse jamais.

Interpréter la convexité

Revenons aux deux situations de l'introduction. Pour une fonction croissante, la convexité raconte le rythme de la croissance :

• $f$ croissante et convexe : les pentes augmentent, la croissance est de plus en plus rapide — elle s'emballe ;
• $f$ croissante et concave : les pentes diminuent, la croissance est de plus en plus lente — elle s'essouffle.

C'est exactement le langage de l'économie. Considérons le coût total de production $C(q)$ d'une entreprise en fonction de la quantité $q$ produite : au-delà d'un certain seuil, produire une unité supplémentaire coûte de plus en plus cher (heures supplémentaires, machines saturées…). Ce coût d'une unité de plus, le coût marginal, correspond à $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ : dire qu'il augmente, c'est dire que $C^{\mathrm{\prime }}$ est croissante, donc que la fonction de coût $C$ est convexe. À l'inverse, le nombre total de cas d'une épidémie qui ralentit croît de moins en moins vite : la courbe des cas cumulés devient concave, signe que le pic de l'épidémie est passé.

Citons enfin la courbe de Lorenz, utilisée pour mesurer les inégalités de revenus dans une population. C'est la courbe d'une fonction $L$ définie sur $[0;1]$, croissante et convexe, avec $L(0)=0$ et $L(1)=1$ : le nombre $L(x)$ représente la part du revenu total détenue par la fraction $x$ des ménages les plus modestes. Plus la courbe est creusée, plus la répartition est inégalitaire ; un exercice du chapitre lui est consacré.

En résumé : la dérivée seconde $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, dérivée de la dérivée, mesure l'accélération de la croissance. Son signe caractérise la convexité — courbe sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes lorsque $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ge 0$, l'inverse lorsque $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\le 0$ — et ses annulations avec changement de signe localisent les points d'inflexion, où la courbe traverse sa tangente. Après le sens de variation, l'étude d'une fonction gagne ainsi un étage : l'allure de sa courbe.