Primitives et équations différentielles

Posez un thé brûlant sur la table d'une pièce à $20$ °C : il refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement. La physique ne donne pas directement la température $\theta (t)$ à l'instant $t$ ; elle dit comment cette température varie : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante. Le même schéma se retrouve partout. Un médicament injecté dans le sang est éliminé à une vitesse proportionnelle à la quantité encore présente ; un capital placé à intérêts continus croît à une vitesse proportionnelle à sa valeur ; une population de bactéries, tant que rien ne la freine, croît proportionnellement à son effectif. Dans chacune de ces situations, nous connaissons la vitesse de variation d'une grandeur, mais pas la grandeur elle-même.

Traduites en langage mathématique, ces lois donnent des équations d'un type nouveau. L'inconnue n'y est plus un nombre, mais une fonction, et l'équation relie cette fonction à sa dérivée : pour le médicament, si $m(t)$ désigne la quantité présente à l'instant $t$, la loi d'élimination s'écrit par exemple $m^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,1}m$. De telles équations s'appellent des équations différentielles. Elles sont le langage naturel des sciences expérimentales, de la médecine et de l'économie : chaque fois qu'un modèle décrit une évolution, c'est presque toujours sous cette forme qu'il naît.

Ce chapitre s'organise autour de deux problèmes jumeaux. Le premier est l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$, où le membre de droite est une fonction connue : la résoudre, c'est retrouver une fonction dont on connaît la dérivée, opération inverse de la dérivation ; la fonction cherchée s'appelle une primitive de $f$. Le second est l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, où la vitesse de variation dépend de la grandeur elle-même : nous démontrerons que ses solutions s'expriment toutes à l'aide de l'exponentielle, ce qui explique l'omniprésence de cette fonction dans les modèles d'évolution. En fin de chapitre, la méthode d'Euler montrera comment une simple boucle Python approche numériquement une solution, valeur par valeur.

Équations différentielles : premiers exemples

Commençons par fixer le vocabulaire. Dans une équation différentielle, la lettre $y$ ne désigne pas un nombre inconnu mais une fonction inconnue, et $y^{\mathrm{\prime }}$ sa dérivée. Ainsi $y^{\mathrm{\prime }}=-2y+6$ se lit : « quelles sont les fonctions dont la dérivée s'obtient en multipliant la fonction par $-2$ puis en ajoutant $6$ ? »

Résoudre une équation différentielle est en général difficile — c'est l'objet des sections suivantes. En revanche, vérifier qu'une fonction donnée est solution est toujours à notre portée : il suffit de la dériver et de comparer les deux membres. C'est la première capacité du chapitre, et elle repose entièrement sur les formules de dérivation.

L'exemple a cache une information importante : $f$ n'est pas la seule solution de $(E)$. Prenons un réel $C$ quelconque et posons $h(x)=3+C{\mathrm{e}}^{-2x}$ ; alors $h^{\mathrm{\prime }}(x)=-2C{\mathrm{e}}^{-2x}$ et $-2h(x)+6=-2C{\mathrm{e}}^{-2x}$ : chacune de ces fonctions est solution. Une équation différentielle admet ainsi une infinité de solutions, une par valeur de la constante $C$. Pour en isoler une seule, on impose une condition initiale, c'est-à-dire la valeur de la fonction en un point : si l'on exige $y(0)=4$, la condition $3+C{\mathrm{e}}^0=4$ donne $C=1$, et l'on retrouve exactement la fonction $f$ du a. Sur les exemples de ce chapitre, on constatera toujours ce phénomène : il existe une et une seule solution vérifiant une condition initiale donnée. C'est cette solution unique que les modèles concrets recherchent, la condition initiale traduisant l'état du système au départ (température initiale du thé, dose injectée à l'instant $0$…).

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ : la notion de primitive

Le cas le plus simple d'équation différentielle est celui où le membre de droite ne fait pas intervenir $y$ : l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$, où $f$ est une fonction connue. La résoudre, c'est trouver les fonctions dont la dérivée est $f$ — lire les formules de dérivation à l'envers. La solution porte un nom.

Deux questions se posent alors. Toute fonction admet-elle des primitives ? Et, en ajoutant des constantes, les obtient-on toutes ? La première question reçoit une réponse positive dès que la fonction est continue ; le résultat est admis cette année.

Ce théorème sera éclairé au chapitre suivant, consacré au calcul intégral, qui donnera un sens concret à l'une de ces primitives ; nous l'admettons. La seconde question, elle, est à notre portée : c'est l'une des démonstrations du programme, et elle repose sur un fait vu avec les variations — une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante.

Démonstration. Vérifions d'abord que toutes ces fonctions conviennent. Pour tout réel $C$, la fonction $G:x\mapsto F(x)+C$ est dérivable sur $I$ et $G^{\mathrm{\prime }}=F^{\mathrm{\prime }}+0=f$ : c'est bien une primitive de $f$ sur $I$.

Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Posons $H=G-F$. La fonction $H$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0.$$

La dérivée de $H$ est nulle sur l'intervalle $I$, donc $H$ y est constante : il existe un réel $C$ tel que $H(x)=C$ pour tout $x\in I$, c'est-à-dire $G(x)=F(x)+C$. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse « intervalle » n'est pas décorative : sur une réunion de deux intervalles disjoints, une fonction de dérivée nulle peut prendre une valeur constante différente sur chaque morceau. C'est pour cette raison que la notion de primitive se définit toujours sur un intervalle. La propriété a une conséquence précieuse : parmi l'infinité de primitives, une seule prend une valeur imposée en un point donné.

Primitives des fonctions usuelles

Puisque chercher une primitive revient à lire les formules de dérivation à l'envers, chaque ligne du tableau des dérivées fournit, retournée, une ligne du tableau des primitives. La dérivée de $x\mapsto x^3$ est $x\mapsto 3x^2$ : une primitive de $x\mapsto x^2$ est donc $x\mapsto {\displaystyle \frac{x^3}{3}}$. Le tableau suivant est à connaître aussi parfaitement que celui des dérivées ; dans chaque cas, on obtient toutes les primitives en ajoutant une constante.

Trois commentaires. La dernière ligne vient du chapitre sur le logarithme : nous y avons établi que ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, donc $\ln$ est une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur cet intervalle — c'est l'un des rôles majeurs du logarithme. Ensuite, la colonne des intervalles n'est pas facultative : $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ n'est pas définie en $0$, ses primitives se cherchent donc sur l'un des deux intervalles $]-\mathrm{\infty };0[$ ou $]0;+\mathrm{\infty }[$, jamais « sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ ». Enfin, chaque formule se vérifie instantanément en dérivant la colonne du milieu : ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=2\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$, et ${(-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Prendre ce réflexe de vérification, c'est ne plus jamais se tromper.

Comme la dérivation, la recherche de primitives se comporte bien vis-à-vis des sommes et des multiples par un réel.

Grâce à la linéarité et au tableau, nous savons déjà primitiver n'importe quelle fonction polynôme : on traite chaque terme séparément, en « augmentant l'exposant de $1$ et en divisant par le nouvel exposant ».

Primitives et formes composées

Le tableau des fonctions de référence ne suffit pas pour des fonctions comme $x\mapsto x{\mathrm{e}}^{x^2}$ ou $x\mapsto {\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+3}}$. Pour aller plus loin, relisons à l'envers les trois formules de dérivation composée établies au chapitre sur les compléments de dérivation : ${\left(u^2\right)}^{\mathrm{\prime }}=2u^{\mathrm{\prime }}u$, ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$ et ${(\ln u)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$. Chacune, lue de droite à gauche, devient une formule de primitive.

Chaque ligne se vérifie en dérivant : c'est exactement la formule de dérivation correspondante. La condition $u>0$ de la troisième ligne est indispensable, puisque $\ln (u)$ n'est définie que si $u$ est strictement positive. Toute la difficulté pratique consiste à reconnaître ces formes dans une expression donnée : le facteur $u^{\mathrm{\prime }}$ est rarement servi sur un plateau, il manque souvent une constante multiplicative.

Nous savons désormais résoudre l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ pour un large éventail de fonctions $f$. Passons au second problème du chapitre, celui où la dérivée de l'inconnue dépend de l'inconnue elle-même.

L'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=ay$

Reprenons le médicament de l'introduction : la quantité $m(t)$ présente dans le sang est éliminée à une vitesse proportionnelle à elle-même, ce qui s'écrit $m^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,1}m$. Cette fois, impossible de primitiver directement : le membre de droite n'est pas une fonction connue de $t$, il fait intervenir l'inconnue $m$. C'est le prototype des équations de la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay$, où $a$ est un réel fixé, et le théorème suivant les résout complètement — sa démonstration figure au programme.

Démonstration. Procédons en deux temps.

Ces fonctions sont solutions. Soit $C$ un réel et $f:x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{ax}$ étant $x\mapsto a{\mathrm{e}}^{ax}$ :

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=C\times a{\mathrm{e}}^{ax}=a\times C{\mathrm{e}}^{ax}=af(x)\mathrm{.}$$

Donc $f$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sur $\mathbb{R}$.

Ce sont les seules. Soit $f$ une solution quelconque de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sur $\mathbb{R}$. Posons, pour tout réel $x$ :

$$g(x)=f(x){\mathrm{e}}^{-ax}\mathrm{.}$$

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables et, par la formule de dérivation d'un produit :

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{-ax}+f(x)\times (-a){\mathrm{e}}^{-ax}=(f^{\mathrm{\prime }}(x)-af(x)){\mathrm{e}}^{-ax}\mathrm{.}$$

Or $f$ est solution de l'équation, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)-af(x)=0$ pour tout réel $x$ : la dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $g$ est constante — c'est le résultat clé de la troisième section qui resurgit. Il existe ainsi un réel $C$ tel que $f(x){\mathrm{e}}^{-ax}=C$ pour tout $x$ et, en multipliant par ${\mathrm{e}}^{ax}$ (qui ne s'annule jamais) :

$$f(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

L'astuce de la démonstration — multiplier la solution par ${\mathrm{e}}^{-ax}$ pour rendre la dérivée nulle — mérite d'être retenue. Notons aussi que la constante s'interprète immédiatement : en évaluant en $0$, on trouve $C=f(0)$, la valeur initiale. Observons maintenant l'allure de ces familles de solutions.

La figure montre deux familles. À gauche, l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,4}y$ (cas $a=\mathrm{0,4}>0$) : les solutions $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x}$ s'écartent de l'axe des abscisses à vitesse exponentielle, vers $+\mathrm{\infty }$ lorsque $C>0$, vers $-\mathrm{\infty }$ lorsque $C<0$ — c'est le régime de la croissance entretenue, celui d'un capital ou d'une population. À droite, l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,6}y$ (cas $a=-\mathrm{0,6}<0$) : toutes les solutions $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$ tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, par valeurs supérieures si $C>0$, inférieures si $C<0$ — c'est le régime de l'extinction progressive, celui du médicament éliminé. Dans les deux cas, la solution nulle, obtenue pour $C=0$, est l'axe des abscisses lui-même, et aucune courbe ne le traverse : une solution non nulle garde le signe de $C$ sur $\mathbb{R}$ tout entier. Enfin, par chaque point du plan passe une courbe et une seule : la condition initiale détermine la solution de façon unique, comme annoncé dans la première section — et cette fois, c'est démontré, puisque la condition $C{\mathrm{e}}^{a{x}_0}=y_0$ détermine $C$ de façon unique.

L'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$

Le modèle $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ suppose que la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même. Mais le thé de l'introduction refroidit proportionnellement à l'écart avec la température ambiante, et un patient sous perfusion reçoit un apport constant en plus de l'élimination : dans les deux cas, un terme constant s'ajoute, et l'équation prend la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ avec $a$ et $b$ réels. La clé de sa résolution est une observation toute simple : cherchons d'abord une solution constante. Si $y$ est la fonction constante égale à $c$, alors $y^{\mathrm{\prime }}=0$, et l'équation devient $0=ac+b$, c'est-à-dire $c=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ dès que $a\mathrm{\ne }0$. Cette solution particulière suffit à reconstruire toutes les autres.

Démonstration. La fonction constante $x\mapsto -{\displaystyle \frac{b}{a}}$ a pour dérivée $0$, et $a\times (-{\displaystyle \frac{b}{a}})+b=-b+b=0$ : c'est bien une solution.

Soit maintenant $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Posons $g=f+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, c'est-à-dire l'écart entre $f$ et la solution constante ; alors $g^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$ et $f=g-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Par équivalences :

$$f\text{ solution de }{y}^{\mathrm{\prime }}=ay+b⟺f^{\mathrm{\prime }}=a(g-\frac{b}{a})+b⟺g^{\mathrm{\prime }}=ag⟺g\text{ solution de }{y}^{\mathrm{\prime }}=ay\mathrm{.}$$

D'après le théorème de la section précédente, cette dernière condition équivaut à l'existence d'un réel $C$ tel que $g(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. $\mathrm{\square }$

La solution constante $x\mapsto -{\displaystyle \frac{b}{a}}$ s'appelle la solution d'équilibre : si la grandeur démarre exactement à cette valeur, elle n'en bouge plus. Toutes les autres solutions s'obtiennent en ajoutant $C{\mathrm{e}}^{ax}$ à cette valeur d'équilibre, et leur comportement en $+\mathrm{\infty }$ se lit sur le signe de $a$. Si $a<0$, alors ${\mathrm{e}}^{ax}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ : toutes les solutions tendent vers $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, l'équilibre attire le système. Si $a>0$ au contraire, $C{\mathrm{e}}^{ax}$ s'emballe dès que $C\mathrm{\ne }0$ : les solutions s'écartent de l'équilibre, vers $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ selon le signe de $C$.

La figure illustre le cas attractif avec l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,8}y+4$, dont la solution d'équilibre vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}=-{\displaystyle \frac{4}{-\mathrm{0,8}}}=5$ : c'est la droite horizontale en pointillés. Quatre solutions sont tracées, correspondant aux valeurs initiales $y(0)=1$, $3$, $7$ et $9$ : celles qui partent sous l'équilibre montent vers lui, celles qui partent au-dessus redescendent, et toutes les courbes s'aplatissent contre la droite $y=5$ sans jamais la toucher — la convergence vers l'équilibre est le comportement typique de ces modèles, du thé qui rejoint la température de la pièce au médicament qui se stabilise sous perfusion.

La méthode d'Euler

Toutes les équations différentielles ne se laissent pas résoudre par une formule : dès que le modèle se complique, la solution exacte est hors de portée. Les sciences ont pourtant besoin de valeurs numériques. La méthode d'Euler répond à ce besoin en construisant, pas à pas, une approximation de la solution. Son point de départ est l'idée la plus fondamentale de la dérivation : au voisinage d'un point, une fonction dérivable ressemble à sa tangente, ce qui s'écrit, pour un pas $h$ proche de $0$ :

$$f(t+h)\approx f(t)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$

Or, pour une solution d'une équation différentielle, la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ est justement fournie par l'équation ! Connaissant une valeur approchée de la fonction en un point, on peut donc en déduire une valeur approchée un peu plus loin, puis recommencer.

En pratique, ces calculs répétitifs sont confiés à une boucle. Le programme suivant applique la méthode d'Euler à l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-y+2$ avec $y(0)=0$, et renvoie la valeur approchée atteinte après $n$ pas de longueur $h$ :

def euler(h, n):
    t = 0
    y = 0
    for k in range(n):
        y = y + h * (-y + 2)
        t = t + h
    return y

À chaque tour de boucle, la variable y est remplacée par y + h * (-y + 2) : c'est exactement la relation de récurrence de la méthode, la pente $-y+2$ étant recalculée au point courant. L'appel euler(0.5, 4) renvoie $\mathrm{1,875}$, la valeur du tableau ci-dessus. L'intérêt de la machine est de pouvoir réduire le pas sans effort : euler(0.1, 20) renvoie environ $\mathrm{1,757}$, bien plus proche de la valeur exacte $y(2)\approx \mathrm{1,729}$. Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation.

D'où viennent ces « valeurs exactes » ? Pour cette équation, nous savons résoudre : avec $a=-1$ et $b=2$, la solution d'équilibre vaut $2$, la solution générale est $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{-x}+2$, et la condition $y(0)=0$ donne $C=-2$. La solution exacte est donc $y=2-2{\mathrm{e}}^{-x}$, et l'on peut la contrôler par la démarche de la toute première section : sa dérivée vaut $2{\mathrm{e}}^{-x}$, tandis que $-(2-2{\mathrm{e}}^{-x})+2=2{\mathrm{e}}^{-x}$ — les deux membres coïncident, et $y(0)=2-2=0$. La boucle est bouclée : vérifier qu'une fonction est solution, premier geste du chapitre, reste le dernier mot de toute résolution.

Résumons. Une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction dont la dérivée est $f$ : toute fonction continue en admet, et deux primitives diffèrent d'une constante, si bien qu'une condition du type $F(x_0)=y_0$ en sélectionne une seule. Le tableau des primitives de référence se lit dans le tableau des dérivées, et trois formes composées l'étendent : $2u^{\mathrm{\prime }}u$, $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$ et ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, où tout l'art consiste à reconnaître $u$ et à ajuster une constante multiplicative. Côté équations différentielles, les solutions de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sont les fonctions $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$, et celles de $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ s'en déduisent grâce à la solution d'équilibre $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, vers laquelle tout converge lorsque $a<0$. Quand la formule manque, la méthode d'Euler approche la solution pas à pas. Reste la promesse faite en cours de route : donner un sens concret aux primitives d'une fonction continue. Ce sera l'affaire du prochain chapitre.