Calcul intégral

Mesurer l'aire d'un carré, d'un triangle ou d'un trapèze, les géomètres savent le faire depuis l'Antiquité : les arpenteurs égyptiens retrouvaient chaque année les limites des parcelles après les crues du Nil en découpant le terrain en figures simples. Mais dès que la frontière se courbe — un champ bordé par une rivière, la section d'une arche de pont — aucune formule élémentaire ne répond. Archimède, au IIIe siècle avant notre ère, eut l'idée décisive : coincer la surface courbe entre des figures rectilignes de plus en plus fines, dont les aires l'encadrent d'aussi près qu'on veut. Il calcula ainsi exactement l'aire délimitée par un arc de parabole. Deux mille ans plus tard, Newton et Leibniz transformèrent cette idée en un outil systématique, le calcul intégral, doté d'une notation devenue universelle : le symbole $\int$, un S étiré, initiale de « somme ».

Ce chapitre suit le même chemin. Nous définirons d'abord l'intégrale d'une fonction continue et positive comme une aire ; nous apprendrons à l'estimer par des rectangles — la méthode d'Archimède, confiée à Python — puis, plus étonnant, par le hasard. Viendra alors le résultat central : cette aire se calcule exactement à l'aide des primitives du chapitre précédent. La promesse faite alors — donner un sens concret aux primitives d'une fonction continue — sera tenue, et un problème de géométrie deviendra un simple calcul. Nous en tirerons les applications attendues : aire entre deux courbes, valeur moyenne d'une fonction, et l'interprétation d'une intégrale partout où une grandeur s'accumule — distance parcourue, volume écoulé, coût de production.

L'intégrale d'une fonction continue et positive

Toute aire se mesure relativement à une unité. Dans un repère orthogonal $(O;I;J)$, on appelle unité d'aire, notée u.a., l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$. Si par exemple les unités choisies valent $2$ cm en abscisse et $\mathrm{1,5}$ cm en ordonnée, une unité d'aire vaut $2\times \mathrm{1,5}=3{\text{cm}}^2$. Toutes les aires de ce chapitre s'expriment d'abord en u.a. ; la conversion en ${\text{cm}}^2$ ne se fait qu'en toute fin, si le contexte le demande.

Fixons le vocabulaire. Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale. La lettre $x$ est dite muette : elle ne sert qu'à décrire la fonction à l'intérieur du symbole, et on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre sans rien changer : ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$. Le symbole $\mathrm{d}x$ ferme l'intégrale et précise le nom de la variable ; dans l'esprit de Leibniz, il évoque la largeur d'un rectangle très fin de hauteur $f(x)$, dont l'intégrale « somme » les aires. Enfin, si les deux bornes coïncident, le domaine se réduit à un segment vertical, d'aire nulle :

$${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0.$$

Avant toute théorie, certaines intégrales se calculent avec les formules d'aire du collège : c'est le cas dès que la courbe est un segment de droite.

Quand la fonction n'est connue que par sa courbe, tracée sur un quadrillage, on ne peut plus calculer — mais on peut encadrer, en comptant des carreaux.

La technique est rustique, mais elle a une vertu : elle rappelle qu'une intégrale se lit sur un dessin avant de se calculer. Plus le quadrillage est fin, plus l'encadrement se resserre — c'est déjà, en germe, l'idée d'Archimède. La section suivante la systématise.

Approcher une intégrale : rectangles, trapèzes et hasard

Considérons l'intégrale

$$I={\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x\mathrm{.}$$

La fonction exponentielle est continue et positive sur $[0;1]$ : le nombre $I$ existe et représente l'aire sous la courbe de $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ entre $0$ et $1$. Mais ce domaine n'est ni un rectangle ni un trapèze, et aucune formule de géométrie élémentaire ne le mesure. Découpons alors l'intervalle $[0;1]$ en $n=5$ intervalles de même largeur ${\displaystyle \frac{1}{5}}$, de bornes $0$ ; $\mathrm{0,2}$ ; $\mathrm{0,4}$ ; $\mathrm{0,6}$ ; $\mathrm{0,8}$ ; $1$. La fonction exponentielle est croissante : sur chaque petit intervalle, elle est comprise entre sa valeur à l'extrémité gauche et sa valeur à l'extrémité droite. On construit ainsi deux escaliers de rectangles : les rectangles inférieurs, de hauteur la valeur à gauche, tiennent entièrement sous la courbe ; les rectangles supérieurs, de hauteur la valeur à droite, la recouvrent.

Les aires de ces deux escaliers encadrent l'aire sous la courbe :

$$s_5=\frac{1}{5}({\mathrm{e}}^0+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,6}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}})\approx \mathrm{1,5522}$$ $$S_5=\frac{1}{5}({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,6}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}+{\mathrm{e}}^1)\approx \mathrm{1,8958}$$

d'où l'encadrement $\mathrm{1,55}⩽I⩽\mathrm{1,90}$. Observons que les deux sommes contiennent presque les mêmes termes : seuls diffèrent le premier de $s_5$ et le dernier de $S_5$, si bien que $S_5-s_5={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^1-{\mathrm{e}}^0}{5}}={\displaystyle \frac{\mathrm{e}-1}{5}}\approx \mathrm{0,34}$. En multipliant le nombre de rectangles, cet écart ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{n}}\times (b-a)$ devient aussi petit que l'on veut : les deux escaliers pincent la courbe.

À la main, ces sommes deviennent vite pénibles ; une boucle Python les calcule sans effort. Le programme suivant renvoie l'encadrement de $I$ pour un nombre $n$ de rectangles au choix :

from math import exp

def rectangles(n):
    h = 1 / n
    somme_inf = 0
    somme_sup = 0
    for k in range(n):
        somme_inf = somme_inf + h * exp(k * h)
        somme_sup = somme_sup + h * exp((k + 1) * h)
    return somme_inf, somme_sup

L'appel rectangles(5) renvoie environ (1.5522, 1.8958) : ce sont nos deux sommes. Avec rectangles(1000), l'encadrement devient $\mathrm{1,7174}⩽I⩽\mathrm{1,7192}$ : mille rectangles suffisent à garantir deux décimales. Une amélioration naturelle consiste à remplacer le toit horizontal de chaque rectangle par la corde joignant les deux points de la courbe : on obtient des trapèzes, dont l'aire $h\times {\displaystyle \frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}}$ est la moyenne des deux rectangles. Cette méthode des trapèzes épouse mieux la courbe et converge nettement plus vite : dès $n=5$, elle donne ${\displaystyle \frac{s_5+S_5}{2}}\approx \mathrm{1,7240}$, déjà correct au centième près.

Changeons maintenant radicalement de stratégie et faisons appel au hasard. Sur $[0;1]$, on a ${\mathrm{e}}^x⩽\mathrm{e}<3$ : le domaine sous la courbe tient dans le rectangle de sommets $(0;0)$ et $(1;3)$, d'aire $3$ u.a. Tirons au hasard, uniformément, un grand nombre de points dans ce rectangle : chaque point a une probabilité $p={\displaystyle \frac{I}{3}}$ de tomber sous la courbe, proportion des aires oblige. Or la loi des grands nombres, rencontrée en probabilités, assure que la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité quand le nombre de répétitions grandit. En comptant les points tombés sous la courbe, on estime donc $p$, puis $I\approx 3\times \text{fr}\acute{\text{e}}\text{quence observ}\acute{\text{e}}\text{e}$. C'est la méthode de Monte-Carlo, du nom du quartier des casinos de Monaco.

from random import random
from math import exp

def monte_carlo(n):
    compteur = 0
    for k in range(n):
        x = random()
        y = 3 * random()
        if y <= exp(x):
            compteur = compteur + 1
    return 3 * compteur / n

L'appel monte_carlo(100000) renvoie des valeurs voisines de $\mathrm{1,72}$, différentes à chaque exécution puisque le hasard s'en mêle. La convergence est lente — il faut environ multiplier $n$ par $100$ pour gagner une décimale de précision — mais la méthode ne demande presque rien : savoir tester si un point appartient au domaine. C'est l'outil de choix pour des domaines aux frontières compliquées, là où les rectangles deviennent impraticables.

Toutes ces méthodes fournissent des valeurs approchées. La valeur exacte, elle, va sortir d'un théorème inattendu, qui relie l'aire… à la dérivation.

Le théorème fondamental : calculer avec des primitives

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. Au lieu de figer les deux bornes, faisons varier la borne droite : pour chaque $x$ de $[a;b]$, considérons l'aire accumulée entre $a$ et $x$, c'est-à-dire la fonction aire $x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$. Remarquons la variable muette $t$ : la lettre $x$ étant réservée à la borne, on décrit la fonction sous l'intégrale avec une autre lettre. Cette fonction aire vaut $0$ en $a$, et en $b$ elle vaut l'intégrale complète. Comment grandit-elle lorsque $x$ avance ? Le théorème suivant, au cœur de toute l'analyse, répond : sa vitesse de croissance en $x$ est exactement $f(x)$.

Ce théorème tient la promesse du chapitre précédent : nous y avions admis que toute fonction continue admet des primitives, sans pouvoir en exhiber une seule dans le cas général. En voici une, construite comme une aire. Si le résultat est admis, on peut en comprendre le mécanisme sur un cas simple.

Le théorème livre aussitôt un mode de calcul exact. Notons $A$ la fonction aire du théorème et soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a;b]$. D'après le chapitre précédent, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : il existe un réel $C$ tel que $A=F+C$. En évaluant en $a$ : $0=A(a)=F(a)+C$, d'où $C=-F(a)$. En évaluant en $b$ :

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=A(b)=F(b)-F(a)\mathrm{.}$$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : en remplaçant $F$ par $F+C$, on calcule $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$, la constante disparaît dans la soustraction. On choisit donc toujours la primitive la plus simple, celle sans constante. Reprenons l'intégrale de la section précédente : la fonction exponentielle est sa propre primitive, donc

$$I={\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\left[{\mathrm{e}}^x\right]}_0^1={\mathrm{e}}^1-{\mathrm{e}}^0=\mathrm{e}-1\approx \mathrm{1,7183.}$$

La valeur exacte tombe en une ligne, en plein accord avec l'encadrement $\mathrm{1,7174}⩽I⩽\mathrm{1,7192}$ obtenu à grand renfort de rectangles. Toute la puissance du théorème est là : un problème d'aire, résolu en lisant une formule de dérivation à l'envers. Tout le travail du chapitre précédent — tableau des primitives, formes composées — devient le moteur du calcul intégral.

Comme la recherche de primitives, le calcul d'intégrales se comporte bien vis-à-vis des sommes et des multiples par un réel.

Cette propriété est héritée directement de la linéarité des primitives : une primitive de $f+g$ est $F+G$, et $(F+G)(b)-(F+G)(a)$ se réorganise en $(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))$. En pratique, elle autorise à intégrer terme à terme, exactement comme on primitive terme à terme — l'exemple a ci-dessus l'utilisait déjà sans le dire.

Fonctions de signe quelconque et relation de Chasles

Que devient l'intégrale si $f$ prend des valeurs négatives ? La définition par l'aire ne s'applique plus telle quelle : un domaine situé sous l'axe des abscisses a une aire positive, comme toute surface. Mais la formule $F(b)-F(a)$, elle, garde un sens dès que $f$ est continue, puisque toute fonction continue admet des primitives. C'est elle que l'on adopte comme définition générale.

Graphiquement, cette intégrale reste liée aux aires, mais avec des signes. Sur les intervalles où $f⩾0$, le domaine entre la courbe et l'axe compte positivement ; sur ceux où $f⩽0$, il compte négativement. On dit que l'intégrale est une aire algébrique : l'aire des zones situées au-dessus de l'axe, diminuée de l'aire des zones situées en dessous.

Sur la figure, la fonction s'annule en une abscisse $c$ comprise entre $a$ et $b$ : en notant ${\mathcal{A}}_1$ l'aire de la zone au-dessus de l'axe (entre $a$ et $c$) et ${\mathcal{A}}_2$ celle de la zone en dessous (entre $c$ et $b$), on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\mathcal{A}}_1-{\mathcal{A}}_2}$. Une conséquence doit être bien comprise : une intégrale peut être nulle sans que l'aire le soit.

Pour calculer une aire véritable malgré les changements de signe, on découpe l'intervalle. L'outil de découpage porte un nom.

Pour une fonction positive, c'est une évidence géométrique : couper le domaine par la droite verticale $x=b$ partage l'aire en deux morceaux. Dans le cas général, une primitive $F$ rend la vérification immédiate : $(F(b)-F(a))+(F(c)-F(b))=F(c)-F(a)$, le terme $F(b)$ disparaît. Cette relation est la clé du calcul d'aires pour les fonctions qui changent de signe : on découpe aux points où $f$ s'annule, pour retrouver des morceaux de signe constant.

Valeur moyenne

Quelle a été la température moyenne de la journée ? La moyenne d'une série de relevés se calcule en additionnant les valeurs et en divisant par leur nombre. Mais la température prend une valeur à chaque instant — une infinité de valeurs. L'intégrale, héritière des sommes, prend le relais : on « additionne » toutes les valeurs à l'aide d'une intégrale, et on divise par la longueur de l'intervalle.

Pour une fonction positive, l'interprétation graphique est parlante. En multipliant la définition par $b-a$, on obtient $\mu \times (b-a)={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ : le rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur $\mu$ a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur à laquelle il faudrait niveler la courbe pour conserver l'aire : les bosses situées au-dessus de $\mu$ comblent exactement les creux situés en dessous.

Sur la figure, $f(t)=-t^2+4t$ sur $[0;4]$. On calcule

$${\int }_0^4(-t^2+4t)\mathrm{d}t={[-\frac{t^3}{3}+2t^2]}_0^4=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}$$

d'où $\mu ={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{32}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\approx \mathrm{2,67}$ : le rectangle de hauteur ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ tracé sur la figure a la même aire que le domaine sous la parabole. Une moyenne, au sens usuel, est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs ; il en va de même ici.

La justification se lit sur le graphique, pour une fonction positive : le domaine sous la courbe contient le rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur $m$, et il est contenu dans celui de hauteur $M$. Les aires se comparent donc : $m(b-a)⩽{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)}$, et il reste à diviser par $b-a>0$. Sur l'exemple de la figure, la parabole s'annule aux bornes et culmine à $f(2)=4$ : on vérifie bien $0⩽{\displaystyle \frac{8}{3}}⩽4$. Cet encadrement fournit au passage un contrôle de vraisemblance systématique : une « moyenne » qui sortirait de la fourchette des valeurs signale une erreur de calcul.

Aire entre deux courbes

Dernier problème géométrique du chapitre : mesurer l'aire du domaine compris entre deux courbes. Lorsque l'une des fonctions reste au-dessus de l'autre, l'écart entre les deux joue le rôle de hauteur du domaine, et c'est lui que l'on intègre.

Lorsque les deux fonctions sont positives, la formule se voit : l'aire cherchée est l'aire sous ${\mathcal{C}}_f$ privée de l'aire sous ${\mathcal{C}}_g$, et la linéarité transforme cette différence d'intégrales en intégrale de la différence. Le cas général s'y ramène : translater les deux courbes vers le haut d'une même quantité, en remplaçant $f$ et $g$ par $f+k$ et $g+k$ avec $k$ assez grand, ne modifie ni l'aire du domaine ni la fonction écart $f-g$. La formule vaut donc sans hypothèse de signe ; l'essentiel est de vérifier qui est au-dessus, car on intègre toujours « le haut moins le bas ».

Interpréter une intégrale dans les autres disciplines

Si le calcul intégral est né de la géométrie, sa portée dépasse largement les aires. Le fil conducteur est toujours le même : quand une grandeur varie à un rythme connu — une vitesse, un débit, un coût par unité supplémentaire — l'intégrale du rythme entre deux instants donne la quantité accumulée. C'est la relation entre une fonction et ses primitives, relue dans le vocabulaire de chaque discipline. En physique, la vitesse est la dérivée de la position : la distance parcourue entre les instants $t_1$ et $t_2$ par un mobile de vitesse $v(t)⩾0$ vaut ${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}v(t)\mathrm{d}t}$. De même, le volume de fluide écoulé est l'intégrale du débit, et, en économie, le coût de production supplémentaire est l'intégrale du coût marginal, ce dernier désignant le coût de fabrication d'une unité de plus. Ces interprétations sont une capacité attendue du programme ; en voici trois mises en œuvre.

Dans chacun de ces contextes, la lecture graphique reste disponible : la distance de freinage est l'aire sous la courbe de vitesse, le volume écoulé l'aire sous la courbe de débit. Et la valeur moyenne s'interprète à chaque fois — vitesse moyenne, débit moyen, température moyenne — c'est souvent elle que réclament les énoncés issus des autres disciplines.

Résumons le chemin parcouru. L'intégrale d'une fonction continue et positive sur $[a;b]$ est l'aire sous sa courbe, mesurée en unités d'aire ; on sait l'encadrer par comptage de carreaux ou par la méthode des rectangles, et l'estimer par la méthode de Monte-Carlo. Le théorème fondamental relie cette aire à la dérivation : la fonction aire est une primitive de $f$, d'où la formule ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)={[F(x)]}_a^b}$, adoptée ensuite comme définition pour les fonctions de signe quelconque — l'intégrale devenant une aire algébrique. La relation de Chasles permet de découper, la linéarité de calculer terme à terme ; la valeur moyenne ${\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ résume la fonction en un nombre compris entre son minimum et son maximum, et l'aire entre deux courbes s'obtient en intégrant « le haut moins le bas ». Enfin, partout où une grandeur s'accumule à un rythme connu, l'intégrale du rythme donne la quantité totale : le calcul des aires d'Archimède est devenu l'outil universel de la mesure du changement.