Exercices — Lois discrètes

Partie A — Un dé classique.

On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$, et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la face obtenue.

1. Justifier que $X$ suit la loi uniforme sur $\{1;2;\dots ;6\}$, puis donner $P(X=k)$ pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $6$.

2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

   a. $A$ : « le numéro obtenu est pair »

   b. $B$ : « $X⩾5$ »

3. Calculer $E(X)$ et interpréter cette valeur.

Partie B — Un dé de jeu de rôle.

Pour une partie de jeu de rôle, Sacha utilise un dé équilibré à vingt faces, numérotées de $1$ à $20$. On note $Y$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu après un lancer.

4. Quelle est la loi de $Y$ ? Donner $P(Y=k)$ pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $20$.

5. Dans ce jeu, une attaque est un « coup critique » lorsque le dé affiche $17$ ou plus. Calculer la probabilité d'obtenir un coup critique, puis la probabilité que le numéro obtenu soit un multiple de $5$.

6. Calculer $E(Y)$.

À la kermesse de l'école, une roue de loterie équilibrée est partagée en dix secteurs identiques, numérotés de $1$ à $10$. On fait tourner la roue et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du secteur désigné par la flèche lorsque la roue s'arrête.

1. Justifier que $X$ suit la loi uniforme sur $\{1;2;\dots ;10\}$ et donner sa loi.

2. Calculer $E(X)$ en revenant à la définition de l'espérance.

3. Démonstration guidée. On considère plus généralement une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $\{1;2;\dots ;n\}$, où $n⩾1$ est un entier.

   a. Écrire $E(X)$ sous la forme d'une somme de $n$ termes.

   b. Rappeler la formule, vue en première avec les suites arithmétiques, donnant la somme $1+2+\cdots +n$.

   c. En déduire que $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$.

   d. Vérifier la cohérence de ce résultat avec la valeur obtenue à la question 2.

4. Application. À ce stand, une partie coûte $6$ euros : le joueur fait tourner la roue et reçoit, en euros, la valeur affichée par la roue. On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise.

   a. Exprimer $G$ en fonction de $X$.

   b. Calculer $E(G)$. Ce jeu est-il favorable au joueur ? Interpréter le résultat pour l'organisateur de la kermesse.

Pour chacune des situations suivantes, dire s'il s'agit ou non d'une épreuve de Bernoulli. Si oui, préciser l'issue choisie comme succès et la valeur du paramètre $p$. Si non, expliquer pourquoi.

1. On lance une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile vaut $\mathrm{0,7}$, et on s'intéresse à l'issue « obtenir pile ».

2. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes, et on s'intéresse à l'issue « la carte tirée est un cœur ».

3. On lance un dé équilibré à six faces, et on s'intéresse à l'issue « obtenir un $6$ ».

4. On choisit un élève au hasard dans un lycée et on mesure sa taille en centimètres.

5. À une question d'un QCM proposant quatre réponses dont une seule est correcte, un élève répond entièrement au hasard, et on s'intéresse à l'issue « la réponse donnée est correcte ».

Dans un centre d'appels, lorsqu'un conseiller compose un numéro, la probabilité que le correspondant décroche est $\mathrm{0,3}$. On appelle un correspondant et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le correspondant décroche et $0$ sinon.

1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre, puis présenter sa loi dans un tableau.

2. Calculer $E(X)$, puis $V(X)$ à l'aide de la formule $V(X)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)-E(X{)}^2$ vue en première. En déduire l'écart type $\sigma (X)$, arrondi à ${10}^{-3}$.

3. Démonstration guidée. On considère maintenant une variable aléatoire $X$ suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$, où $p$ est un réel de $[0;1]$.

   a. Donner la loi de $X$ dans un tableau, puis montrer que $E(X)=p$.

   b. Justifier que $X^2$ prend les mêmes valeurs que $X$, avec les mêmes probabilités, et en déduire $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)$.

   c. À l'aide de la formule $V(X)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)-E(X{)}^2$, montrer que $V(X)=p(1-p)$.

   d. Vérifier la cohérence de ces formules avec les valeurs obtenues à la question 2.

Inès est basketteuse. À chaque lancer franc, elle marque avec la probabilité $\mathrm{0,6}$, et on admet que les résultats de ses lancers sont indépendants les uns des autres. À l'entraînement, elle effectue une série de trois lancers francs. Pour chaque lancer, on note $S$ l'événement « le lancer est réussi ».

1. Justifier que cette série de trois lancers constitue un schéma de Bernoulli, dont on précisera les paramètres.

2. Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience : à chaque nœud, deux branches ($S$ avec la probabilité $\mathrm{0,6}$ et $\bar{S}$ avec la probabilité $\mathrm{0,4}$), sur trois niveaux. Combien l'arbre compte-t-il de chemins au total ?

3. Calculer la probabilité du chemin $S$ puis $\bar{S}$ puis $S$ (réussite au premier lancer, échec au deuxième, réussite au troisième).

4. a. Lister tous les chemins de l'arbre comportant exactement deux succès. Combien y en a-t-il ? Quel coefficient binomial ce nombre représente-t-il ?

   b. Justifier que ces chemins ont tous la même probabilité, et la calculer.

   c. En déduire la probabilité qu'Inès réussisse exactement deux lancers sur les trois.

On rappelle la relation de Pascal : pour tous entiers $n$ et $k$ tels que $1⩽k⩽n-1$,

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k}\right)$$

1. En partant de la ligne $n=0$ et en utilisant la relation de Pascal ainsi que les valeurs ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)}=1$, construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=8$.

2. Lire dans le triangle les valeurs suivantes :

   a. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}$

   b. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)}$

   c. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)}$

3. Vérifier la relation de Pascal sur un exemple : contrôler, à l'aide des valeurs du triangle, que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{3}\right)}$.

Dans tout l'exercice, on raisonne sans calculatrice, à l'aide de la symétrie des coefficients binomiaux, de leur interprétation comme nombre de chemins dans un arbre, et de la relation de Pascal.

1. On donne ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{3}\right)}=120$. En déduire, sans aucun calcul, la valeur de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{7}\right)}$. Justifier la propriété utilisée à l'aide de l'interprétation en nombre de chemins : dans un schéma de Bernoulli à $10$ répétitions, que peut-on dire d'un chemin comportant $7$ succès ?

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. Donner, en justifiant chaque valeur par l'interprétation en nombre de chemins d'un arbre à $n$ niveaux :

   a. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)}$

   b. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)}$

   c. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)}$

3. La ligne $n=8$ du triangle de Pascal est : $1$, $8$, $28$, $56$, $70$, $56$, $28$, $8$, $1$. En déduire la valeur de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{2}\right)}$ à l'aide de la relation de Pascal.

4. Vrai ou faux, en justifiant : « ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{5}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{7}\right)}$ ».

Pour chacune des situations suivantes, dire si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, préciser ses paramètres $n$ et $p$. Si non, expliquer précisément quelle condition n'est pas remplie.

1. Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules vertes. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne ; on répète cette opération $5$ fois. $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

2. Dans la même urne, on tire successivement $5$ boules sans les remettre. $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

3. On lance un dé équilibré à six faces autant de fois que nécessaire, et $X$ est le nombre de lancers effectués jusqu'à l'obtention du premier $6$ (premier $6$ compris).

4. Un QCM comporte $10$ questions indépendantes ; chacune propose quatre réponses dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard à chaque question. $X$ est le nombre de bonnes réponses obtenues.

5. On lance deux dés équilibrés à six faces et $X$ est la somme des deux numéros obtenus.

Un jardinier sème $5$ graines d'une variété ancienne de tomate. Le sachet indique un taux de germination de $20\mathrm{\%}$ : chaque graine germe avec la probabilité $\mathrm{0,2}$, indépendamment des autres. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de graines qui germent.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=5$, et en déduire les valeurs des coefficients binomiaux ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{k}\right)}$ pour $k$ allant de $0$ à $5$.
3. Calculer à la main les valeurs exactes de $P(X=0)$ et de $P(X=2)$, en détaillant les calculs.
4. En passant par l'événement contraire, calculer $P(X⩾1)$. Interpréter ce résultat.
5. Calculer $E(X)$, puis $\sigma (X)$ arrondi à ${10}^{-2}$. Interpréter la valeur de $E(X)$.

Sur une chaîne de production, chaque pièce fabriquée présente un défaut avec la probabilité $\mathrm{0,07}$, indépendamment des autres pièces. Un contrôleur prélève $40$ pièces en sortie de chaîne et note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi elles. On admet que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(40;\mathrm{0,07})$.

Pour les questions 1 à 3, on utilisera la calculatrice avec les commandes de loi binomiale (probabilité ponctuelle $P(X=k)$ et probabilité cumulée $P(X⩽k)$), et on arrondira chaque résultat à ${10}^{-4}$.

1. Calculer $P(X=2)$, puis $P(X⩽3)$. Interpréter chacun de ces deux nombres dans le contexte.
2. Justifier que $P(X⩾5)=1-P(X⩽4)$, puis calculer cette probabilité.
3. Justifier que $P(2⩽X⩽5)=P(X⩽5)-P(X⩽1)$, puis calculer cette probabilité.
4. Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre.

On a représenté ci-dessous les diagrammes en bâtons de trois lois binomiales de même paramètre $n=20$, mais de paramètres $p$ différents. Les valeurs de $p$, dans le désordre, sont : $\mathrm{0,15}$, $\mathrm{0,5}$ et $\mathrm{0,7}$.

1. Associer chaque diagramme à la valeur de $p$ qui lui correspond. On justifiera chaque association à l'aide de deux arguments : la position du « pic » du diagramme, à comparer à l'espérance $np$, et l'allure générale du diagramme (symétrie ou non).
2. Pour chaque diagramme, lire graphiquement la valeur de $k$ la plus probable, c'est-à-dire l'entier $k$ pour lequel $P(X=k)$ est maximale. Comparer chaque valeur lue à l'espérance de la loi correspondante.

Un petit hôtel de $50$ chambres affiche complet pour un soir de festival : les $50$ chambres sont réservées. L'expérience montre que chaque réservation n'est pas honorée (le client ne se présente pas) avec la probabilité $\mathrm{0,1}$, indépendamment des autres réservations. On note $X$ le nombre de réservations non honorées ce soir-là.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50;\mathrm{0,1})$.
2. À la calculatrice, à l'aide de la commande de probabilité cumulée $P(X⩽k)$, déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X⩽a)⩾\mathrm{0,95}$. On fera apparaître les deux probabilités cumulées qui justifient la réponse, arrondies à ${10}^{-4}$.
3. On fixe $\alpha =\mathrm{0,05}$. Déduire de la question précédente un intervalle $I=[0;a]$ tel que $P(X\in I)⩾1-\alpha$.
4. Le gérant envisage d'accepter chaque soir quelques réservations de dernière minute « en surnombre », en pariant sur les désistements. À l'aide de l'intervalle précédent, expliquer ce que le résultat obtenu lui permet d'affirmer, et pourquoi il serait imprudent de compter sur $10$ désistements ou plus.

À l'entraînement, une archère touche le centre de la cible avec la probabilité $\mathrm{0,4}$ à chaque tir, et ses tirs sont supposés indépendants les uns des autres. Elle tire jusqu'à toucher le centre pour la première fois. On note $X$ la variable aléatoire égale au rang de son premier tir réussi.

1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre, puis exprimer $P(X=k)$ pour tout entier $k⩾1$.
2. Calculer $P(X=1)$ et $P(X=3)$. Interpréter $P(X=3)$ par une phrase.
3. Calculer $P(X>4)$ et interpréter ce nombre.
4. En déduire $P(X⩽4)$.
5. Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre.

Dans un atelier, une machine-outil tombe en panne au cours d'une journée de travail avec la probabilité $\mathrm{0,02}$, indépendamment d'un jour à l'autre. On note $X$ la variable aléatoire égale au rang du premier jour où la machine tombe en panne (le jour de la mise en service porte le rang $1$).

1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

2. Calculer $P(X>30)$, arrondi à ${10}^{-4}$, et interpréter ce nombre.

3. La machine vient de fonctionner $50$ jours sans la moindre panne.

   a. En citant la propriété du cours utilisée, donner sans calcul la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins $30$ jours de plus sans panne.

   b. Retrouver ce résultat par le calcul : exprimer $P_{(X>50)}(X>80)$ sous la forme d'un quotient de deux probabilités, puis conclure à l'aide de la formule $P(X>k)={\mathrm{0,98}}^k$.

4. Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre.

5. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X⩽n)⩾\mathrm{0,5}$.

   a. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{0,98}}^n⩽\mathrm{0,5}$.

   b. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien, vu au chapitre sur le logarithme, puis vérifier le résultat à la calculatrice en calculant les deux puissances de $\mathrm{0,98}$ qui encadrent le seuil (arrondies à ${10}^{-4}$).

   c. Interpréter l'entier obtenu.

Une usine de cosmétiques conditionne des flacons de crème. Le service qualité estime que $3\mathrm{\%}$ des flacons produits sont non conformes (défaut de contenance ou d'étiquetage). Toutes les heures, un opérateur prélève $60$ flacons sur la chaîne. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise. On note $X$ le nombre de flacons non conformes dans un prélèvement.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(60;\mathrm{0,03})$.

2. À la calculatrice, calculer les probabilités suivantes, arrondies à ${10}^{-4}$ :

   a. la probabilité qu'aucun flacon du prélèvement ne soit non conforme ;

   b. $P(X⩽2)$ ;

   c. $P(X⩾4)$, en l'exprimant d'abord à l'aide d'une probabilité cumulée.

3. Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre.

4. Chaque flacon non conforme détecté est écarté puis retraité, ce qui coûte $\mathrm{2,50}$ € à l'usine. On note $C$ le coût de retraitement, en euros, associé à un prélèvement. Exprimer $C$ en fonction de $X$, puis calculer le coût moyen de retraitement par prélèvement.

5. Le responsable de production s'engage auprès d'un client sur la promesse suivante : « dans au moins $95\mathrm{\%}$ des prélèvements, on trouve moins de $5$ flacons non conformes ». Traduire cette promesse par une inégalité portant sur une probabilité, la vérifier à la calculatrice, puis conclure.

On dispose d'un dé équilibré à six faces.

Partie A — Attendre le premier 6.

On lance le dé jusqu'à obtenir un $6$ pour la première fois. On note $X$ le rang du premier $6$.

1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre, puis exprimer $P(X=k)$ pour tout entier $k⩾1$.
2. Calculer la valeur exacte de $P(X=3)$ sous forme de fraction, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$.
3. Calculer $P(X>6)$, en valeur exacte puis arrondie à ${10}^{-4}$. Interpréter ce nombre.
4. Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre.

Partie B — Une autre expérience, un même événement.

On lance maintenant le dé exactement $6$ fois, et on note $Y$ le nombre de $6$ obtenus.

1. Donner la loi de $Y$ en justifiant, puis calculer $P(Y⩾1)$ en valeur exacte et arrondie à ${10}^{-4}$.
2. Calculer $P(X⩽6)$ et comparer avec $P(Y⩾1)$. Expliquer, en décrivant les événements $(X⩽6)$ et $(Y⩾1)$ par des phrases, pourquoi cette égalité n'a rien d'une coïncidence.

Partie C — Un jeu est-il équitable ?

Un forain propose le jeu suivant : le joueur mise $m$ euros ($m>0$), puis lance le dé jusqu'à obtenir un $6$. Si le premier $6$ apparaît au plus tard au troisième lancer, le joueur reçoit $10$ € ; sinon, il ne reçoit rien. On note $G$ le gain net du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise.

1. Montrer que $P(X⩽3)={\displaystyle \frac{91}{216}}$, puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$.
2. Donner la loi de probabilité de $G$ sous la forme d'un tableau (valeurs de $G$ en fonction de $m$ et probabilités associées).
3. Exprimer $E(G)$ en fonction de $m$.
4. Le jeu est dit équitable lorsque $E(G)=0$. Déterminer la valeur exacte de $m$ rendant le jeu équitable, puis une valeur approchée au centime. Le forain, qui a fixé la mise à $5$ €, est-il gagnant en moyenne ?