Lois à densité

Combien de minutes faudra-t-il attendre le prochain tramway ? Combien d'années ce composant électronique fonctionnera-t-il avant de tomber en panne ? Ces grandeurs sont aléatoires, mais elles ne ressemblent pas à celles des chapitres précédents : elles ne prennent pas des valeurs isolées comme $0$, $1$, $2$, mais n'importe quelle valeur d'un intervalle. Pour les modéliser, il faut une nouvelle famille de lois de probabilité, les lois à densité, dans lesquelles une probabilité se lit comme une aire sous une courbe. Le calcul intégral, étudié au chapitre précédent, devient ainsi le moteur du calcul des probabilités.

Du discret au continu

Les variables aléatoires rencontrées jusqu'ici sont discrètes : le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (loi binomiale) ou le rang du premier succès (loi géométrique) prennent leurs valeurs dans une liste de nombres isolés. Décrire leur loi, c'est donner la probabilité $P(X=k)$ de chaque valeur possible $k$.

Beaucoup de grandeurs aléatoires échappent à ce cadre. Le temps d'attente à un arrêt de bus, la durée de vie d'une ampoule, la masse exacte d'une baguette de pain sortie du four : ces grandeurs peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle. On dit que la variable aléatoire est continue.

Ce changement de nature bouleverse la façon de calculer. Imaginons qu'un tramway passe toutes les $10$ minutes et notons $X$ le temps d'attente d'un voyageur qui arrive au hasard : $X$ peut valoir n'importe quel réel de $[0;10]$. Quelle est la probabilité d'attendre exactement $6$ minutes, c'est-à-dire $\mathrm{6,000}\dots$ avec une infinité de décimales nulles ? Elle est nulle : si chaque valeur de l'intervalle portait une même probabilité strictement positive, la somme de ces probabilités, portant sur une infinité de valeurs, dépasserait $1$. Pour une variable continue, on retiendra :

$$P(X=a)=0\text{pour tout r}\acute{\text{e}}\text{el }a\mathrm{.}$$

Les questions pertinentes portent donc sur des intervalles : quelle est la probabilité d'attendre entre $2$ et $5$ minutes, ou plus de $8$ minutes ? Il reste à trouver l'outil qui répartit la probabilité totale, égale à $1$, le long d'un intervalle. Cet outil est une fonction, la densité, et le lien avec les probabilités passe par l'aire sous sa courbe, c'est-à-dire par une intégrale.

Densité de probabilité

La figure résume toute l'idée : la courbe de la densité $f$ dessine le « relief » du hasard, et la probabilité $P(1⩽X⩽3)$ est l'aire hachurée sous la courbe entre les abscisses $1$ et $3$. Là où la courbe est haute, les valeurs sont probables ; là où elle s'écrase, elles sont rares. L'aire totale sous la courbe vaut $1$, comme la probabilité de l'univers tout entier.

Fonction de répartition

Plutôt que de recalculer une intégrale à chaque nouvelle question, on peut stocker une fois pour toutes les probabilités cumulées dans une fonction : c'est la fonction de répartition.

La troisième propriété découle de la relation de Chasles pour les intégrales : l'aire entre $a$ et $b$ est l'aire accumulée jusqu'à $b$, privée de l'aire accumulée jusqu'à $a$. La dernière est le passage au complémentaire, déjà utilisé avec les lois discrètes.

Espérance, variance et écart type

Pour une variable discrète, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités : $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$. Pour une variable à densité, chaque valeur $t$ pèse $f(t)\mathrm{d}t$, et la somme devient une intégrale.

Comme pour les lois discrètes, l'espérance s'interprète comme la valeur moyenne de $X$ sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience, et l'écart type mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.

La loi uniforme sur un intervalle

La loi uniforme modélise un hasard « sans préférence » : toutes les zones de même longueur de l'intervalle sont également probables. C'est le bon modèle pour le temps d'attente du tramway de l'introduction, ou pour le nombre renvoyé par la fonction random() de Python.

Commençons par l'intervalle $[0;1]$. La densité doit être constante (aucune valeur n'est favorisée) et l'aire totale doit valoir $1$ : sur un intervalle de longueur $1$, la constante qui convient est $f(t)=1$. La probabilité d'un sous-intervalle est alors simplement sa longueur : $P(a⩽X⩽b)=b-a$, et la fonction de répartition est $F(x)=x$.

Sur un intervalle $[a;b]$ quelconque, le même raisonnement impose une constante dont le rectangle sous la courbe, de largeur $b-a$, a une aire égale à $1$ : sa hauteur est donc ${\displaystyle \frac{1}{b-a}}$.

La figure représente la densité de la loi uniforme sur $[2;7]$ : un rectangle de hauteur ${\displaystyle \frac{1}{7-2}}=\mathrm{0,2}$. L'aire hachurée entre les abscisses $3$ et $5$ vaut $2\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,4}$ : c'est $P(3⩽X⩽5)$. Avec une densité constante, les probabilités se calculent sans aucune intégrale, par de simples aires de rectangles.

Démonstration de la formule de l'espérance. Une primitive de $t\mapsto {\displaystyle \frac{t}{b-a}}$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^2}{2(b-a)}}$, donc :

$$E(X)={\int }_a^b{\displaystyle \frac{t}{b-a}}\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{t^2}{2(b-a)}}\right]}_a^b={\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}}={\displaystyle \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Le résultat est conforme à l'intuition : un hasard sans préférence a pour valeur moyenne le centre de l'intervalle.

La loi exponentielle

La durée de vie d'un composant électronique, le temps qui s'écoule avant la prochaine désintégration d'un noyau radioactif, la durée d'un appel dans un centre d'assistance : ces durées aléatoires ont un point commun. Les valeurs proches de $0$ sont les plus probables, les grandes valeurs sont de plus en plus rares, et le phénomène « ne s'use pas » avec le temps. Le bon modèle est la loi exponentielle.

Vérifions qu'il s'agit bien d'une densité. La fonction $f$ est continue sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ (produit d'une constante par une exponentielle) et positive, car $\lambda >0$ et une exponentielle est toujours strictement positive. Pour l'aire totale, on reconnaît la forme $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$ avec $u(t)=-\lambda t$ : une primitive de $f$ est $t\mapsto -{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. Ainsi, pour tout réel $x⩾0$ :

$${\int }_0^x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={[-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}]}_0^x=-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}+1=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{.}$$

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, $-\lambda x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ tend vers $0$ : l'intégrale tend vers $1$. L'aire totale sous la courbe vaut bien $1$.

La figure montre les densités obtenues pour $\lambda =\mathrm{0,5}$, $\lambda =1$ et $\lambda =2$. Chaque courbe part de la hauteur $f(0)=\lambda$ puis décroît vers $0$. Plus $\lambda$ est grand, plus la courbe démarre haut et s'effondre vite : la probabilité se concentre près de $0$, et la durée modélisée est courte en moyenne. À l'inverse, un petit $\lambda$ étale la probabilité vers les grandes durées.

Le calcul mené ci-dessus donne directement la fonction de répartition.

La figure représente la fonction de répartition pour $\lambda =\mathrm{0,5}$ : elle part de $F(0)=0$, croît, et se rapproche indéfiniment de la droite d'équation $y=1$ (en pointillés) sans jamais l'atteindre. C'est le portrait typique d'une fonction de répartition sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ : toute la probabilité finit par être accumulée, mais aucune durée finie ne la capture entièrement.

Démonstration de la formule de l'espérance. Il s'agit de calculer ${\displaystyle {\int }_0^{x}t\times \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t}$ puis de faire tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$. La difficulté est de trouver une primitive de $g(t)=\lambda t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ : aucune forme du cours ne s'applique directement. On procède alors par vérification : on nous propose la fonction

$$G(t)=-(t+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}){\mathrm{e}}^{-\lambda t},$$

et il suffit de la dériver pour contrôler qu'elle convient. $G$ est de la forme $u\times v$ avec $u(t)=-(t+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }})$ et $v(t)={\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $u^{\mathrm{\prime }}(t)=-1$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=-\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. Ainsi :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =u^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)+u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}+(t+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }})\times \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}+\lambda t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}+{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{.}}\end{array}$$

$G$ est donc bien une primitive de $g$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. On en déduit, pour tout réel $x⩾0$ :

$${\int }_0^x\lambda t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=G(x)-G(0)=-(x+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}){\mathrm{e}}^{-\lambda x}+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{.}$$

Faisons tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$ : on admet que $x{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ tend vers $0$ (l'exponentielle décroissante l'emporte sur $x$), et ${\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ tend vers $0$. Il reste :

$$E(X)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Pour le composant de l'exemple précédent, $E(X)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,25}}}=4$ : la durée de vie moyenne est de $4$ ans. On remarque que la durée médiane trouvée plus haut, $4\ln 2\approx \mathrm{2,77}$ années, est inférieure à la moyenne : les rares composants qui durent très longtemps tirent la moyenne vers le haut.

L'absence de mémoire de la loi exponentielle

Revenons au composant électronique. Sachant qu'il a déjà fonctionné $3$ ans sans panne, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $2$ ans de plus ? C'est une probabilité conditionnelle, et la réponse de la loi exponentielle est remarquable : le passé ne compte pas.

Démonstration. L'événement $\{X>t+h\}$ est inclus dans l'événement $\{X>t\}$ (si la durée dépasse $t+h$, elle dépasse a fortiori $t$), donc leur intersection est $\{X>t+h\}$. Par définition d'une probabilité conditionnelle :

$$P_{X>t}(X>t+h)={\displaystyle \frac{P(X>t+h)}{P(X>t)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda (t+h)}}{{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}}={\mathrm{e}}^{-\lambda t-\lambda h+\lambda t}={\mathrm{e}}^{-\lambda h}=P(X>h)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Interprétation : un composant qui a déjà servi $t$ années se comporte, pour la suite, exactement comme un composant neuf. La loi exponentielle modélise des phénomènes sans usure ni vieillissement : c'est réaliste pour la désintégration radioactive ou certaines pannes électroniques d'origine accidentelle, mais ce serait un mauvais modèle pour une pièce mécanique qui s'use.

Cette propriété fait écho au chapitre sur les lois discrètes : la loi géométrique, qui modélise le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes, possède la même absence de mémoire, en version discrète. Sachant que les $n$ premières épreuves ont échoué, le nombre d'épreuves restant à attendre suit la même loi qu'au départ. La loi exponentielle est l'analogue continu de la loi géométrique : l'une compte des épreuves entières avant le premier succès, l'autre mesure un temps d'attente continu avant un événement imprévisible.

Simuler des lois avec Python

En Python, la fonction random() du module random renvoie un nombre réel choisi selon la loi uniforme sur $[0;1[$ (le fait que la borne $1$ soit exclue ne change aucune probabilité, puisque $P(X=1)=0$). C'est la brique de base : à partir d'elle, on peut simuler bien d'autres lois.

• Loi de Bernoulli de paramètre $p$. Si $U$ suit la loi uniforme sur $[0;1[$, alors $P(U<p)=p$ : c'est la longueur de l'intervalle $[0;p[$. Le test random() < p est donc vrai avec la probabilité $p$ exactement.
• Dé équilibré. Le nombre 6 * random() suit la loi uniforme sur $[0;6[$ ; sa partie entière int(6 * random()) prend chacune des valeurs $0,1,2,3,4,5$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ (chaque valeur correspond à un intervalle de longueur $1$ sur $6$). En ajoutant $1$, on obtient un dé. Le même procédé simule n'importe quelle loi uniforme discrète.
• Loi uniforme sur $[a;b]$. On dilate puis on décale : a + (b - a) * random() parcourt l'intervalle $[a;b[$ de façon uniforme.

from random import random

def bernoulli(p):
    """Renvoie 1 avec la probabilité p, 0 sinon."""
    if random() < p:
        return 1
    return 0

def de():
    """Simule le lancer d'un dé équilibré."""
    return 1 + int(6 * random())

def uniforme(a, b):
    """Simule la loi uniforme sur [a ; b]."""
    return a + (b - a) * random()

En répétant ces simulations un grand nombre de fois et en calculant la moyenne des résultats, on peut vérifier expérimentalement les espérances calculées dans ce chapitre : la moyenne de milliers d'appels à uniforme(2, 7) se rapproche de $\mathrm{4,5}$, conformément à la formule $E(X)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.

Ce chapitre a étendu le calcul des probabilités aux variables continues : une loi y est décrite par une densité, une probabilité s'y lit comme une aire, et l'espérance s'y calcule par une intégrale. Les deux lois étudiées, uniforme et exponentielle, couvrent deux situations types : le hasard sans préférence sur un intervalle, et l'attente d'un événement imprévisible sans usure. Avec les lois discrètes des chapitres précédents, vous disposez désormais d'une boîte à outils complète pour modéliser le hasard, qu'il compte ou qu'il mesure.