Lois discrètes

Combien de clients achèteront ce produit sur les dix prochains visiteurs ? Combien de tentatives faudra-t-il avant de réussir un lancer franc ? Ces questions portent sur des variables aléatoires qui comptent : un nombre de succès, un rang d'apparition. En première, vous avez appris à décrire une variable aléatoire par sa loi de probabilité et à calculer son espérance. Ce chapitre présente quatre lois qui reviennent sans cesse dans les situations concrètes : la loi uniforme, la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la loi géométrique. Connaître ces lois, c'est reconnaître une situation type et disposer immédiatement de toutes les formules, sans refaire l'étude à chaque fois.

Loi uniforme sur $\{1,2,\dots ,n\}$

La situation la plus simple est celle du tirage au sort équitable : chaque issue a exactement les mêmes chances que les autres.

Le mot « uniforme » traduit l'équiprobabilité : les $n$ valeurs se partagent équitablement la probabilité totale, chacune en reçoit ${\displaystyle \frac{1}{n}}$. C'est le modèle naturel d'un tirage au hasard d'un numéro parmi $n$.

Démonstration. Par définition de l'espérance d'une variable aléatoire finie :

$$E(X)=1\times {\displaystyle \frac{1}{n}}+2\times {\displaystyle \frac{1}{n}}+\cdots +n\times {\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1+2+\cdots +n}{n}}\mathrm{.}$$

Or la somme des $n$ premiers entiers, connue depuis l'étude des suites arithmétiques, vaut $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$. En divisant par $n$, on obtient $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Épreuve et loi de Bernoulli

Beaucoup d'expériences aléatoires n'ont, du point de vue qui nous intéresse, que deux issues : le traitement est efficace ou non, le client achète ou non, la pièce est conforme ou non. Cette situation élémentaire porte un nom.

Le « succès » est une pure convention de vocabulaire : c'est l'issue que l'on a choisi de compter, pas nécessairement une bonne nouvelle. Si l'on étudie les pièces défectueuses d'une chaîne de production, le succès est « la pièce est défectueuse ».

Démonstration. L'espérance se calcule directement : $E(X)=0\times (1-p)+1\times p=p$. Pour la variance, on utilise la formule de première $V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2$. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X^2=X$, donc $E\left(X^2\right)=p$, puis $V(X)=p-p^2=p(1-p)$. L'écart type en est la racine carrée. $\mathrm{\square }$

Schéma de Bernoulli et arbre

Une épreuve de Bernoulli isolée est vite étudiée. Les choses deviennent intéressantes quand on la répète : dix questions au QCM, vingt clients qui se présentent, cent pièces contrôlées.

Les deux conditions sont essentielles et se vérifient dans le contexte. Tirer des boules avec remise dans une urne définit un schéma de Bernoulli : la composition de l'urne est la même à chaque tirage. Sans remise, en revanche, les tirages ne sont ni identiques ni indépendants, et le schéma de Bernoulli ne s'applique plus.

Un schéma de Bernoulli se représente naturellement par un arbre pondéré : à chaque niveau, deux branches partent de chaque nœud, l'une vers $S$ avec la probabilité $p$, l'autre vers $\bar{S}$ avec la probabilité $1-p$.

La figure montre l'arbre d'un schéma de taille $3$ : il possède $2\times 2\times 2=8$ chemins, qui correspondent aux $8$ issues possibles de l'expérience. Une issue se lit comme un mot de trois lettres, par exemple $S\bar{S}S$ pour « succès, puis échec, puis succès ». D'après la règle des arbres vue en première, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : ici, grâce à l'indépendance,

$$P\left(S\bar{S}S\right)=p\times (1-p)\times p=p^2(1-p)\mathrm{.}$$

On observe un fait crucial : cette probabilité ne dépend que du nombre de succès du chemin, pas de leur position. Tout chemin comportant exactement deux succès et un échec a la même probabilité $p^2(1-p)$.

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement deux succès en trois épreuves, il faut additionner les probabilités de tous les chemins à deux succès. Comme ces chemins ont tous la même probabilité, la seule question est : combien y en a-t-il ? C'est exactement ce que comptent les coefficients binomiaux.

Sur l'arbre de taille $3$ de la figure précédente, on dénombre à la main : un seul chemin sans aucun succès ($\bar{S}\bar{S}\bar{S}$), trois chemins à un succès, trois chemins à deux succès ($SS\bar{S}$, $S\bar{S}S$ et $\bar{S}SS$) et un seul chemin à trois succès. Ainsi :

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{0}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)=3,\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3,\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)=1.$$

Ces valeurs se lisent sur l'arbre : un seul chemin ne comporte aucun succès (celui qui enchaîne $n$ échecs), un seul les enchaîne tous, et un chemin à exactement un succès est entièrement déterminé par la position de ce succès, qui peut occuper $n$ places.

Dénombrer les chemins à la main devient impraticable dès que $n$ grandit. La relation suivante permet de calculer tous les coefficients de proche en proche.

Cette relation s'interprète avec les chemins. Un chemin de l'arbre de taille $n+1$ réalisant $k+1$ succès commence soit par un succès, soit par un échec. S'il commence par un succès, la suite du chemin doit réaliser $k$ succès en $n$ épreuves : il y a ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ possibilités. S'il commence par un échec, la suite doit réaliser les $k+1$ succès en $n$ épreuves : il y a ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k+1}\right)}$ possibilités. En ajoutant les deux comptes, on obtient la relation.

Par exemple, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}=15$ s'obtient en ajoutant ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)}=5$ et ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)}=10$, les deux valeurs situées au-dessus de lui dans le tableau.

L'interprétation est immédiate : à chaque chemin réalisant $k$ succès, on associe le chemin obtenu en échangeant tous les $S$ et tous les $\bar{S}$, qui réalise $n-k$ succès. Cette correspondance associe les chemins deux à deux sans oubli ni répétition : il y a donc autant de chemins à $k$ succès que de chemins à $n-k$ succès. C'est cette symétrie qui donne au triangle de Pascal son allure de miroir : chaque ligne se lit identiquement de gauche à droite et de droite à gauche.

Loi binomiale

Nous avons maintenant tous les outils pour répondre à la question centrale du chapitre : dans un schéma de Bernoulli, quelle est la loi du nombre de succès ?

Justification. L'événement $\{X=k\}$ est réalisé par les chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès, donc $n-k$ échecs. Par indépendance des épreuves, chacun de ces chemins a pour probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$, et il y en a ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ par définition du coefficient binomial. La probabilité cherchée est la somme de ces ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ probabilités égales, d'où la formule. $\mathrm{\square }$

La formule de l'espérance est très intuitive : si chaque épreuve réussit avec la probabilité $p$, on obtient en moyenne $np$ succès sur $n$ épreuves. Par exemple, en lançant $60$ fois un dé équilibré, on obtient en moyenne $60\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=10$ six.

La figure représente la loi $\mathcal{B}(10;\mathrm{0,25})$ : au-dessus de chaque valeur $k$, la hauteur du bâton vaut $P(X=k)$. La distribution forme une bosse : les valeurs les plus probables sont $2$ et $3$, de part et d'autre de l'espérance $E(X)=10\times \mathrm{0,25}=\mathrm{2,5}$, et les probabilités s'effondrent quand on s'éloigne de cette zone : obtenir $8$ succès ou plus est quasiment invisible sur le graphique. L'écart type $\sigma (X)=\sqrt{10\times \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,75}}\approx \mathrm{1,37}$ mesure la largeur de la bosse.

Loi géométrique

Changeons de question. Au lieu de fixer le nombre d'épreuves et de compter les succès, on répète l'épreuve sans limite et on attend le premier succès : combien d'essais faudra-t-il ?

Contrairement aux lois précédentes, $X$ peut prendre une infinité de valeurs : rien ne garantit a priori que le premier succès arrive avant un rang donné.

Justification. L'événement $\{X=k\}$ signifie que les $k-1$ premières épreuves sont des échecs et que la $k$-ième est un succès. Par indépendance, sa probabilité est le produit $(1-p)\times \cdots \times (1-p)\times p$, avec $k-1$ facteurs $(1-p)$, c'est-à-dire $(1-p{)}^{k-1}p$. $\mathrm{\square }$

Les probabilités $P(X=1)=p$, $P(X=2)=(1-p)p$, $P(X=3)=(1-p{)}^{2}p$, ... forment une suite géométrique de raison $1-p$ : c'est ce qui donne son nom à la loi.

Justification. Dire que $X>k$, c'est dire que le premier succès n'est pas encore arrivé au rang $k$, autrement dit que les $k$ premières épreuves sont toutes des échecs. Par indépendance, cette probabilité vaut $(1-p{)}^k$. $\mathrm{\square }$

L'espérance s'interprète comme un temps d'attente moyen, et la formule est conforme à l'intuition : plus le succès est rare (plus $p$ est petit), plus il faut attendre longtemps. Si un événement a une chance sur six de se produire à chaque essai, il faut en moyenne six essais pour l'observer.

La figure représente la loi géométrique de paramètre $p=\mathrm{0,3}$ pour $k$ allant de $1$ à $12$. L'allure est très différente de la bosse binomiale : le bâton le plus haut est toujours le premier, $P(X=1)=p$, puis les hauteurs décroissent en étant multipliées par $1-p=\mathrm{0,7}$ à chaque rang. Les grandes valeurs restent possibles, mais de moins en moins probables : le diagramme s'étire indéfiniment vers la droite en s'écrasant sur l'axe.

La loi géométrique possède une propriété remarquable, qui la caractérise parmi toutes les lois de temps d'attente.

Démonstration. L'événement $(X>n+k)$ est inclus dans l'événement $(X>n)$ : si le premier succès n'est pas arrivé au rang $n+k$, il n'était pas non plus arrivé au rang $n$. Leur intersection est donc $(X>n+k)$, et par définition d'une probabilité conditionnelle :

$$P_{X>n}(X>n+k)={\displaystyle \frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}}={\displaystyle \frac{(1-p{)}^{n+k}}{(1-p{)}^n}}=(1-p{)}^k=P(X>k)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Concrètement : sachant que la basketteuse a déjà échoué $n$ fois, la probabilité qu'elle échoue encore $k$ fois de plus est exactement la même que si elle partait de zéro. Les échecs accumulés ne rendent le succès ni plus proche ni plus lointain, car les épreuves sont indépendantes : le hasard n'a pas de mémoire. Croire qu'après une longue série d'échecs le succès « doit » arriver est une erreur classique, que cette propriété réfute.

Récapitulatif : quelle loi pour quelle situation ?

Face à un exercice, la première étape est toujours la même : identifier la situation type, donc la loi. Le tableau suivant résume les quatre lois du chapitre.

Deux questions suffisent le plus souvent à trancher entre les deux lois principales : le nombre d'épreuves est-il fixé à l'avance ? Si oui, et que l'on compte les succès, c'est la loi binomiale. Répète-t-on jusqu'au premier succès ? Alors c'est la loi géométrique. Dans les deux cas, il faut vérifier et citer les hypothèses du schéma de Bernoulli : des épreuves identiques et indépendantes, un succès de même probabilité $p$ à chaque fois. Cette vérification, courte mais indispensable, est attendue dans toute rédaction.