Devoir surveillé — Lois à densité

1. Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est une densité de probabilité sur l'intervalle indiqué, en justifiant la réponse. Chaque fonction est nulle en dehors de l'intervalle indiqué. (0,5 pt par fonction)

   a. $f_1(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ sur $[1;4]$

   b. $f_2(t)={\displaystyle \frac{t}{2}}$ sur $[0;2]$

   c. $f_3(t)=t-1$ sur $[0;2]$

   d. $f_4(t)=t$ sur $[0;2]$

2. Soit $k$ un réel. On considère la fonction $f$ définie par $f(t)=k{t}^3$ pour $t\in [0;2]$ et $f(t)=0$ sinon. On admet que $f$ est continue et positive sur $[0;2]$, et on suppose que $f$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.

   a. Déterminer la valeur de $k$. (0,75 pt)

   b. Calculer $P(1\le X\le 2)$. On donnera la valeur exacte sous forme de fraction. (0,75 pt)

   c. En déduire, sans nouveau calcul d'intégrale, la valeur de $P(X\le 1)$. (0,5 pt)

Une variable aléatoire $X$ admet pour densité de probabilité la fonction $f$ représentée ci-dessous : $f$ est constante sur $[0;2]$, affine décroissante sur $[2;6]$, et nulle en dehors de $[0;6]$.

1. Vérifier, par un calcul d'aires (rectangle et triangle), que l'aire totale sous la courbe de $f$ vaut bien $1$. (1 pt)
2. Déterminer graphiquement $P(X\le 2)$. (0,5 pt)
3. Calculer $P(2\le X\le 4)$ à l'aide de l'aire d'un trapèze. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases $b$ et $B$ et de hauteur $h$ vaut ${\displaystyle \frac{(b+B)h}{2}}$. (0,75 pt)
4. En déduire $P(X>4)$. (0,5 pt)
5. Déterminer l'expression de $f(t)$ pour $t\in [2;6]$. (0,75 pt)
6. Retrouver la valeur de $P(2\le X\le 4)$ par un calcul intégral. (0,5 pt)

Aux heures de pointe, les rames d'une ligne de métro se succèdent toutes les $8$ minutes. Un voyageur arrive sur le quai sans consulter les horaires : on modélise son temps d'attente $T$, exprimé en minutes, par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0;8]$.

1. Donner la densité de probabilité de $T$. (0,5 pt)
2. Calculer la probabilité que le voyageur attende entre $2$ et $5$ minutes. (1 pt)
3. Calculer l'espérance de $T$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1 pt)
4. Le voyageur attend déjà depuis $3$ minutes. Calculer la probabilité qu'il attende au total plus de $5$ minutes, c'est-à-dire $P_{T>3}(T>5)$. (1 pt)
5. Si le temps d'attente était « sans mémoire », le fait d'avoir déjà attendu $3$ minutes ne changerait rien : on aurait $P_{T>3}(T>5)=P(T>2)$ (attendre encore plus de $2$ minutes). Calculer $P(T>2)$, comparer avec le résultat de la question précédente et conclure : la loi uniforme est-elle sans mémoire ? (1 pt)

Une entreprise gère un parc de serveurs informatiques. On modélise la durée de fonctionnement d'un serveur avant sa première panne, exprimée en années, par une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Une étude statistique montre que la durée moyenne de fonctionnement avant la première panne est de $5$ ans.

1. Justifier que $\lambda =\mathrm{0,2}$ et donner la densité de probabilité de $X$. (1 pt)
2. Calculer la probabilité que le serveur tombe en panne avant $3$ ans, puis la probabilité qu'il fonctionne encore après $8$ ans. On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près. (1,5 pt)
3. Déterminer la valeur exacte du réel $m$ tel que $P(X\le m)=\mathrm{0,5}$, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près. Comment appelle-t-on ce nombre ? (1 pt)
4. Un serveur fonctionne sans panne depuis $4$ ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $3$ ans de plus ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours, que l'on citera. (1 pt)
5. Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $P(X\le t)\ge \mathrm{0,99}$. Interpréter ce résultat pour le gestionnaire du parc de serveurs. (1 pt)

On rappelle que l'instruction random.random() du module random renvoie un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0;1[$.

1. Compléter la fonction suivante pour qu'elle renvoie un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[a;b]$. (0,75 pt)

   import random
   
   def uniforme(a, b):
       return ...
   

2. Compléter la fonction suivante pour qu'elle renvoie $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1-p$ (simulation d'une épreuve de Bernoulli). (0,75 pt)

   def bernoulli(p):
       if random.random() < p:
           return ...
       else:
           return ...
   

3. On exécute le script ci-dessous. Quelle valeur approximative ce script affiche-t-il ? Justifier en une phrase. (0,5 pt)

   s = 0
   for i in range(10000):
       s = s + bernoulli(0.3)
   print(s / 10000)