Statistique à deux variables

Une station balnéaire relève chaque jour la température et le chiffre d'affaires de ses commerces ; un médecin note la taille et la masse de ses patients ; un économiste met en regard le prix d'un produit et les quantités vendues ; un biologiste suit la taille d'une population de bactéries heure après heure. Dans toutes ces situations, deux grandeurs sont mesurées ensemble, sur les mêmes individus ou aux mêmes dates. Deux questions se posent alors naturellement : ces deux variables sont-elles liées ? Et si oui, peut-on prédire la valeur de l'une à partir de la valeur de l'autre ?

Ce chapitre donne les outils pour y répondre. Nous apprendrons à représenter les données par un nuage de points et à le résumer par son point moyen, puis à l'ajuster, quand sa forme s'y prête, par une droite : la droite des moindres carrés. Le coefficient de corrélation mesurera la qualité de cet ajustement, et nous utiliserons le modèle obtenu pour faire des prédictions, en distinguant interpolation et extrapolation. Nous verrons ensuite comment un changement de variable, grâce au logarithme étudié plus tôt dans l'année, ramène certains nuages « courbés » à un ajustement affine. Enfin, nous prendrons le recul indispensable : une corrélation, même très forte, ne prouve jamais une causalité.

Nuage de points et point moyen

Commençons par fixer le vocabulaire. Jusqu'ici, une série statistique portait sur un seul caractère (des notes, des salaires, des tailles). Ici, on en observe deux à la fois.

Le nuage de points est la première chose à tracer : sa forme dit immédiatement si un lien semble exister entre les deux variables, et lequel. Prenons l'exemple qui nous servira de fil rouge dans tout le chapitre.

Pour résumer un nuage par un seul point, on fait la moyenne de chaque coordonnée.

Sur l'exemple du glacier : $\bar{x}={\displaystyle \frac{2+4+6+8+10}{5}}=6$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{7+8+11+12+14}{5}}={\displaystyle \frac{52}{5}}=\mathrm{10,4}$, donc $G(6;\mathrm{10,4})$. Le point moyen joue le rôle de « centre de gravité » du nuage : il n'est en général pas l'un des points observés, mais il en occupe le centre.

Ajustement affine et droite des moindres carrés

Sur la figure, le nuage du glacier a une forme allongée, presque alignée : on devine qu'une droite pourrait le résumer fidèlement. Chercher cette droite, c'est réaliser un ajustement affine : remplacer le nuage par un modèle du type $y=ax+b$ qui passe « au plus près » de tous les points. Mais que signifie exactement « au plus près » ?

Pour chaque point du nuage, comparons la valeur observée $y_i$ à la valeur $a{x}_i+b$ prédite par la droite : la différence $y_i-(a{x}_i+b)$ est l'écart vertical entre le point et la droite. Une bonne droite doit rendre ces écarts globalement petits. On pourrait penser à minimiser leur somme, mais les écarts positifs (points au-dessus de la droite) et négatifs (points en dessous) se compenseraient : une droite très mauvaise pourrait afficher une somme nulle. On élève donc chaque écart au carré : tous les termes deviennent positifs, plus rien ne se compense, et les grands écarts, une fois élevés au carré, pèsent beaucoup plus lourd que les petits, ce qui force la droite à ne délaisser aucun point. D'où le nom de la méthode.

Cette droite existe toujours et elle est unique. Le programme admet ses deux propriétés essentielles.

La formule de $b$ traduit exactement le passage par $G$ : elle dit que $\bar{y}=a\bar{x}+b$. En pratique, $a$ et $b$ s'obtiennent directement à la calculatrice, en mode statistiques à deux variables ; le calcul à la main reste toutefois exigible sur de petits effectifs, et il faut savoir le mener proprement.

Revenons au glacier. La calculatrice donne $y=\mathrm{0,9}x+5$ : c'est la droite tracée sur la figure. On peut vérifier le passage par le point moyen : $\mathrm{0,9}\times 6+5=\mathrm{10,4}$, et $G(6;\mathrm{10,4})$ est bien sur la droite.

Coefficient de corrélation

La calculatrice fournit toujours une droite de régression, même si le nuage n'a aucune forme de droite : la méthode des moindres carrés trouve la « meilleure » droite, mais ne dit pas si une droite est un bon modèle. Il faut un indicateur pour en juger.

En pratique, on considère l'ajustement affine satisfaisant lorsque $\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }\ge \mathrm{0,9}$ environ. C'est un ordre de grandeur usuel, pas un seuil officiel : un énoncé peut fixer sa propre exigence, et un $r$ de $\mathrm{0,85}$ sur des données biologiques très bruitées peut être remarquable.

Pour information, il existe une formule explicite : $r={\displaystyle \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}}}$. Elle n'est pas à mémoriser : au programme de l'option, $r$ s'obtient à la calculatrice, affiché sur le même écran que $a$ et $b$.

Interpolation, extrapolation et regard critique

Un ajustement n'a d'intérêt que si l'on s'en sert : prédire les ventes pour un ensoleillement qui n'a pas été observé, estimer une valeur manquante, anticiper une évolution. Le vocabulaire distingue deux situations très différentes.

Sur l'exemple du glacier, prédire les ventes pour $7$ heures d'ensoleillement est une interpolation : $7$ est entre $2$ et $10$, et le calcul donne $\mathrm{0,9}\times 7+5=\mathrm{11,3}$, soit environ $11$ glaces vendues. La prédiction est crédible. En revanche, appliquer la formule pour $x=24$ donnerait $\mathrm{0,9}\times 24+5=\mathrm{26,6}$ glaces : cette extrapolation est absurde, d'abord parce qu'il n'y a jamais $24$ heures de soleil dans une journée, ensuite parce que même par une journée exceptionnellement ensoleillée, la relation observée entre $2$ et $10$ heures n'a aucune raison de se prolonger. Un modèle statistique décrit les données dont il est issu ; en sortir demande toujours une justification.

Ajustement par changement de variable

Tous les nuages ne sont pas alignés. Certains suivent une courbe qui monte de plus en plus vite, d'autres décroissent en s'aplatissant : leur forme évoque une exponentielle, une fonction inverse... Un ajustement affine direct y serait mauvais. L'idée du programme est astucieuse : transformer les données pour se ramener à un nuage aligné.

Le cas le plus important est le modèle exponentiel, qui réinvestit directement les fonctions $\ln$ et $\exp$ des chapitres précédents. Si l'on soupçonne une relation de la forme $y=B{\mathrm{e}}^{ax}$ (croissance ou décroissance exponentielle), on prend le logarithme des ordonnées : en posant $z=\ln y$, la relation devient $z=\ln \left(B{\mathrm{e}}^{ax}\right)=ax+\ln B$. Autrement dit, $z$ dépend de $x$ de façon affine : le nuage des points $(x_i;z_i)$ doit être presque aligné, et tout ce que nous savons faire s'applique à lui.

Ce va-et-vient entre $y$ et $z=\ln y$ est le point technique du chapitre : on transforme, on ajuste dans le monde transformé, puis on revient au monde de départ avec l'exponentielle.

Signalons qu'un autre changement de variable classique est $z={\displaystyle \frac{1}{x}}$, adapté aux grandeurs qui décroissent « en inverse » (comme l'éclairement reçu quand on s'éloigne d'une lampe) : le principe est exactement le même, seule la transformation change.

Corrélation n'est pas causalité

Terminons par le point le plus important du chapitre pour la vie de citoyen, et thème d'étude officiel du programme : « Corrélation et causalité ». Un coefficient de corrélation proche de $1$ dit que deux variables varient ensemble. Il ne dit rien sur le pourquoi.

L'exemple canonique est celui des ventes de glaces et des noyades : sur des données mensuelles, ces deux variables sont fortement corrélées. Personne ne pense pourtant que manger une glace fait couler, ni que les noyades donnent envie de glaces. La variable cachée est la chaleur : par beau temps, on achète plus de glaces et on se baigne davantage, donc les noyades augmentent. Le facteur commun crée la corrélation sans qu'aucune des deux variables n'agisse sur l'autre. Quant aux coïncidences pures, elles abondent dès qu'on compare suffisamment de séries de données : sur quelques années, presque n'importe quelle grandeur croissante est corrélée à n'importe quelle autre.

Cette distinction est explicitement une question d'épreuve. La formulation attendue d'un élève est du type : « les données montrent une corrélation entre les deux variables, mais on ne peut pas conclure à une causalité, car un facteur extérieur (par exemple la température) peut expliquer l'évolution simultanée des deux variables ». Affirmer une causalité demande bien plus qu'un calcul de $r$ : une expérience contrôlée ou un raisonnement sur le mécanisme qui relie les deux grandeurs.

Ce chapitre clôt la boucle avec le reste de l'année : les ajustements exponentiels remobilisent les fonctions $\ln$ et $\exp$, et les calculs sur données réelles se mènent naturellement à la calculatrice ou en Python, comme pour les suites et les simulations. C'est aussi le chapitre le plus directement utile hors des mathématiques : en médecine, en économie ou en sciences sociales, lire un nuage de points, juger un ajustement et se méfier des corrélations trompeuses sont des gestes quotidiens.