Exercices — Fonction logarithme népérien

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction logarithme népérien $f:x⟼\ln x$ sur l'intervalle $]0;\mathrm{9,5}]$, ainsi que sa tangente $T$ au point $A(1;0)$, tracée en pointillés. Des pointillés de lecture sont dessinés aux points d'abscisses $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$ et ${\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,39}$.

1. Lire graphiquement $f(1)$, $f(\mathrm{e})$ et $f({\mathrm{e}}^2)$.
2. Décrire le comportement de la courbe lorsque $x$ se rapproche de $0$ (en restant strictement positif). Quelle limite peut-on conjecturer pour $f$ en $0$ ? Comment se traduit-elle géométriquement ?
3. Lorsque $x$ devient grand, la courbe monte de plus en plus lentement. Admet-elle pour autant une asymptote horizontale ? Quelle est la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ ?
4. Déterminer graphiquement l'équation réduite de la tangente $T$.
5. Quelle est la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$ ? En déduire une inégalité vérifiée par $\ln x$ pour tout réel $x>0$.
6. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=2$ (on donnera une valeur approchée de la solution), puis donner sa valeur exacte.

1. Simplifier chacune des expressions suivantes (le résultat ne doit plus contenir ni $\ln$ ni exponentielle).

   a. $\ln ({\mathrm{e}}^3)$

   b. ${\mathrm{e}}^{\ln 5}$

   c. $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$

   d. $\ln (\sqrt{\mathrm{e}})$

   e. ${\mathrm{e}}^{2\ln 3}$

   f. $\ln ({\mathrm{e}}^2)+\ln \left({\mathrm{e}}^{-5}\right)$

   g. ${\mathrm{e}}^{\ln 4-\ln 2}$

   h. $\ln (\mathrm{e})+\ln 1$

   i. $\ln \left({\mathrm{e}}^{-1}\right)\times {\mathrm{e}}^{\ln 7}$

2. Expliquer en une phrase pourquoi l'écriture $\ln (-2)$ n'a pas de sens.

3. Sans calculatrice, encadrer $\ln 5$ entre deux entiers consécutifs. On pourra utiliser les valeurs approchées $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$ et ${\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,39}$, et la croissance de la fonction $\ln$.

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ uniquement.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme la plus simple possible ($\ln a$ avec $a$ entier le plus petit possible, ou un nombre sans logarithme).

   a. $\ln 50-\ln 2$

   b. $2\ln 3+\ln 4-\ln 12$

   c. $\ln \left({\mathrm{e}}^2\sqrt{\mathrm{e}}\right)$

   d. $\ln 18-\ln 2-\ln 9$

   e. $\ln \sqrt{5}+\ln \sqrt{20}$

   f. $3\ln 2-\ln 4$

2. On considère l'expression $B(x)=\ln (x^2-1)-\ln (x+1)$.

   a. Justifier que $B(x)$ est bien définie pour tout $x>1$.

   b. Simplifier $B(x)$ pour $x>1$.

3. Montrer que, pour tout $x>3$, on a $\ln (x+3)+\ln (x-3)=\ln (x^2-9)$. Cette égalité est-elle encore valable pour $x=1$ ? Expliquer.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier par une propriété du cours ; si elle est fausse, donner un contre-exemple.

1. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$.
2. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\ln (ab)=\ln a\times \ln b$.
3. Pour tout réel $x\mathrm{\ne }0$, $\ln \left(x^2\right)=2\ln x$.
4. Pour tout réel $x<1$, $\ln x<0$.
5. Si $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs tels que $\ln a=\ln b$, alors $a=b$.
6. Pour tout réel $a>0$, $(\ln a{)}^2=\ln \left(a^2\right)$.
7. Pour tout réel $a>0$, $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln a}}$.

Résoudre chacune des équations suivantes dans son domaine de validité. On donnera les solutions sous forme exacte.

Pour chacune des équations suivantes : déterminer d'abord l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'équation a un sens, puis la résoudre. On vérifiera que les valeurs trouvées appartiennent bien au domaine.

1. $\ln (2x-3)=\ln (x+1)$
2. $\ln x+\ln (x-1)=\ln 6$
3. $\ln \left(x^2\right)=\ln (3x+4)$
4. $(\ln x{)}^2-3\ln x+2=0$ (on pourra poser $X=\ln x$)

Résoudre chacune des inéquations suivantes. On précisera à chaque fois le domaine de validité avant de résoudre, et on donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

1. $\ln x⩽2$
2. $\ln (3x)>0$
3. ${\mathrm{e}}^x⩾10$
4. ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}<\mathrm{0,1}$
5. $\ln (x+2)⩽\ln (2x-1)$

Partie A — Un placement bancaire.

Léa place $3000$ € sur un livret rémunéré à $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés. On note $u_n$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3000\times {\mathrm{1,025}}^n$.
2. Léa souhaite savoir au bout de combien d'années son capital dépassera $4000$ €. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{1,025}}^n⩾{\displaystyle \frac{4}{3}}$.
3. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien, puis conclure.
4. Vérifier le résultat à la calculatrice en calculant les deux termes de la suite qui encadrent le seuil.

Partie B — Une population d'insectes.

À la suite d'un traitement, une population de $50000$ insectes diminue de $6\mathrm{\%}$ chaque année. On note $p_n$ le nombre d'insectes au bout de $n$ années.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $p_n=50000\times {\mathrm{0,94}}^n$.
2. On cherche au bout de combien d'années la population sera passée sous la moitié de sa valeur initiale. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{0,94}}^n<\mathrm{0,5}$.
3. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien. On sera attentif au signe de $\ln \mathrm{0,94}$ et à son effet sur le sens de l'inégalité.
4. Vérifier le résultat à la calculatrice.

Après l'injection d'un médicament dans le sang d'un patient, sa concentration à l'instant $t$, exprimé en heures, est modélisée par

où $C_0$ désigne la concentration initiale (à l'instant $t=0$).

1. Calculer ${\displaystyle \frac{C(2)}{C_0}}$, arrondi au centième. Quel pourcentage du médicament reste-t-il dans le sang au bout de $2$ heures ?

2. On appelle demi-vie du médicament le temps $t_{1\mathrm{/}2}$ au bout duquel la concentration a été divisée par $2$.

   a. Montrer que $t_{1\mathrm{/}2}$ est solution de l'équation ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,23}t}=\mathrm{0,5}$.

   b. Résoudre cette équation. Donner la valeur exacte de $t_{1\mathrm{/}2}$, puis une valeur approchée au dixième d'heure.

3. Le médicament cesse d'être efficace lorsque la concentration devient strictement inférieure à $15\mathrm{\%}$ de la concentration initiale. Déterminer, par la résolution d'une inéquation, à partir de quel instant le médicament n'est plus efficace. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au quart d'heure près.

4. Une infirmière préfère raisonner heure par heure : elle retient qu'à chaque heure écoulée, la concentration est multipliée par $\mathrm{0,795}$.

   a. Vérifier que ce modèle horaire est cohérent avec le modèle continu, en calculant ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,23}}$.

   b. On note $c_n=C_0\times {\mathrm{0,795}}^n$ la concentration au bout de $n$ heures. Déterminer, par la résolution d'une inéquation faisant intervenir $\ln \left({\mathrm{0,795}}^n\right)$, le premier entier $n$ tel que $c_n<\mathrm{0,15}{C}_0$. Comparer avec le résultat de la question 3.

On a tracé ci-dessous la courbe ${\mathcal{C}}_{\exp }$ de la fonction exponentielle (en orange) et la courbe ${\mathcal{C}}_{\ln }$ de la fonction logarithme népérien (en bleu), ainsi que la droite d'équation $y=x$ (en pointillés gris). Deux points sont marqués : $A$ sur ${\mathcal{C}}_{\exp }$ et $B$ sur ${\mathcal{C}}_{\ln }$, avec leurs pointillés de lecture.

1. Par lecture graphique sur ${\mathcal{C}}_{\ln }$, donner une valeur approchée de $\ln 3$ à $\mathrm{0,1}$ près.

2. Le point $B$ a pour coordonnées $(3;\ln 3)$ et le point $A$ a pour coordonnées $(\ln 3;3)$.

   a. Vérifier par le calcul que $A$ appartient bien à ${\mathcal{C}}_{\exp }$.

   b. Comparer les coordonnées de $A$ et de $B$. Par quelle transformation géométrique ces deux points s'échangent-ils ?

3. Plus généralement, soit $(a;b)$ un point de ${\mathcal{C}}_{\exp }$, c'est-à-dire que $b={\mathrm{e}}^a$. Démontrer que le point $(b;a)$ appartient à ${\mathcal{C}}_{\ln }$.

4. Quel est l'antécédent de $3$ par la fonction exponentielle ? En déduire, sans calculatrice, l'ensemble des solutions de l'équation ${\mathrm{e}}^x=3$.

5. On rappelle que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ : à gauche, ${\mathcal{C}}_{\exp }$ se rapproche de l'axe des abscisses. En utilisant la symétrie mise en évidence dans cet exercice, décrire le comportement de ${\mathcal{C}}_{\ln }$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et donner la limite correspondante.

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser le plus grand intervalle sur lequel la fonction est définie et dérivable, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par

et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative, tracée ci-dessous. On admet que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1. a. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$, en justifiant à l'aide des opérations sur les limites.

   b. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Montrer que, pour tout $x>0$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x-2}{x}$$

3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises).

4. a. Calculer la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, puis en donner une valeur approchée au centième.

   b. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

5. a. Justifier que l'équation $f(x)=3$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, que l'on note $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$.

   b. Par balayage à la calculatrice, donner un encadrement de $x_1$ d'amplitude $\mathrm{0,1}$.

Une jeune entreprise commercialise une application mobile par abonnement. Une étude de marché modélise son bénéfice mensuel, en milliers d'euros, par

où $x$ désigne le nombre de milliers d'abonnements vendus, avec $x\in [0;60]$.

1. Calculer $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Montrer que, pour tout $x\in [0;60]$ :

   $$B^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{19-2x}{2x+1}$$

3. Étudier le signe de $B^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;60]$, puis dresser le tableau de variations de $B$.

4. Combien d'abonnements l'entreprise doit-elle vendre pour que son bénéfice mensuel soit maximal ? Donner la valeur exacte de ce bénéfice maximal, puis une valeur approchée à $10$ € près.

5. a. Justifier que l'équation $B(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]\mathrm{9,5};60]$.

   b. Par balayage à la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $1$.

6. En déduire pour quels nombres d'abonnements vendus l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif, et interpréter concrètement : que se passe-t-il si l'entreprise « vend trop » ?

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout $x>0$ :

puis d'en déduire un encadrement du logarithme. On considère pour cela la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x-1-\ln x$, dont la courbe est donnée ci-dessous.

Partie A — Démonstration de l'inégalité.

1. Montrer que, pour tout $x>0$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$.
2. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et dresser le tableau de variations de $g$ (l'étude des limites aux bornes n'est pas demandée).
3. Calculer $g(1)$. En déduire que, pour tout $x>0$, $g(x)⩾0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
4. Conclure : pour tout $x>0$, $\ln x⩽x-1$.
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_{\ln }$ du logarithme au point d'abscisse $1$. Comment l'inégalité de la question 4 s'interprète-t-elle géométriquement ?

Partie B — Un encadrement du logarithme.

1. Soit $x>0$. En appliquant l'inégalité de la partie A au réel ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, montrer que $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}-1$, puis en déduire, à l'aide d'une propriété algébrique du logarithme, que :

   $$\ln x⩾1-\frac{1}{x}$$

2. Écrire l'encadrement de $\ln x$ ainsi obtenu, valable pour tout $x>0$.

3. Application : en déduire un encadrement de $\ln (\mathrm{1,02})$ par deux fractions, puis vérifier sa qualité à la calculatrice. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?

Un lac contient $1200$ kg d'un polluant d'origine agricole. Un plan de dépollution est mis en place : chaque année, une station de traitement retire $15\mathrm{\%}$ de la masse de polluant présente dans le lac, mais les exploitations situées en amont y déversent $30$ kg de polluant supplémentaires.

Partie A — Modèle discret (année par année).

On note $u_n$ la masse de polluant, en kg, présente dans le lac au bout de $n$ années de traitement. Ainsi $u_0=1200$.

1. Vérifier que $u_1=1050$, puis justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$u_{n+1}=\mathrm{0,85}{u}_n+30$$

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-200$. Montrer, par un calcul direct de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{0,85}$, et préciser son premier terme.

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$u_n=200+1000\times {\mathrm{0,85}}^n$$

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter ce résultat : le lac peut-il être totalement dépollué avec ce plan ?

5. L'agence de l'eau considère l'objectif atteint lorsque la masse de polluant passe strictement sous $300$ kg.

   a. Montrer que $u_n<300$ équivaut à ${\mathrm{0,85}}^n<\mathrm{0,1}$.

   b. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien, en détaillant le passage par $\ln \left({\mathrm{0,85}}^n\right)$ et le sens de l'inégalité. Au bout de combien d'années l'objectif est-il atteint ?

Partie B — Modèle continu.

Pour suivre la masse de polluant à tout instant, on la modélise par la fonction $m$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par

où $t$ est le temps écoulé, en années, depuis le début du traitement.

1. Vérifier que $m(0)=1200$.
2. Calculer $m^{\mathrm{\prime }}(t)$ et en déduire le sens de variation de $m$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.
3. Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }m(t)$. Ce résultat est-il cohérent avec la question 4 de la partie A ?
4. Résoudre l'équation $m(t)=300$. Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée au dixième d'année.
5. Comparer les réponses obtenues avec les deux modèles, puis expliquer cette cohérence en calculant ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,16}}$.