Fonctions : continuité et limites

Au chapitre précédent, nous avons étudié le comportement à long terme des suites : que devient $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Mais beaucoup de grandeurs n'évoluent pas par étapes : la concentration d'un médicament dans le sang, le coût moyen de production d'une entreprise ou la taille d'une population de bactéries varient de façon continue au cours du temps. Ces phénomènes se modélisent par des fonctions, et la même question se pose : comment se comporte $f(x)$ lorsque $x$ devient très grand, ou lorsque $x$ s'approche d'une valeur particulière ?

La notion de limite répond à cette question. Elle permet par exemple de prévoir vers quelle valeur se stabilise le coût moyen de production quand la quantité produite augmente, ou de comprendre pourquoi certains modèles « explosent » au voisinage d'une valeur interdite. Graphiquement, ces comportements se traduisent par des asymptotes, ces droites dont la courbe se rapproche indéfiniment.

Une seconde idée traverse ce chapitre : la continuité. Une fonction continue est, intuitivement, une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon. Cette propriété, apparemment anodine, a une conséquence très puissante : le théorème des valeurs intermédiaires. Il garantit que certaines équations $f(x)=k$ admettent des solutions, même quand aucune formule ne permet de les calculer. On apprendra alors à en obtenir des valeurs approchées par balayage ou par dichotomie, deux méthodes que l'on programme facilement en Python.

Enfin, nous verrons qu'une fonction continue et strictement monotone peut être « inversée » : c'est la notion de fonction réciproque, déjà rencontrée sans le savoir avec le carré et la racine carrée, et qui ouvrira la porte au chapitre suivant.

La notion de limite : une approche intuitive

Commençons par un exemple. Une entreprise fabrique des objets ; produire $x$ objets coûte $50x+2000$ euros ($2000$ euros de frais fixes, $50$ euros par objet). Le coût moyen par objet est donc $C(x)={\displaystyle \frac{50x+2000}{x}}=50+{\displaystyle \frac{2000}{x}}$. Que devient ce coût moyen quand la production augmente ?

Le coût moyen se rapproche de $50$ euros, sans jamais l'atteindre : les frais fixes se diluent dans la production. On peut rendre $C(x)$ aussi proche de $50$ que l'on veut, à condition de prendre $x$ assez grand. On dit que $C$ a pour limite $50$ en $+\mathrm{\infty }$.

La formalisation rigoureuse de cette notion n'est pas au programme : l'idée « aussi proche que l'on veut, pourvu que $x$ soit assez grand » suffit, et c'est elle qu'il faut garder en tête.

Une fonction peut aussi avoir une limite infinie en un point, généralement en une valeur interdite. Reprenons $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }0$, et regardons ce qui se passe quand $x$ s'approche de $0$ par valeurs positives :

Les valeurs de $f(x)$ dépassent n'importe quel seuil : $f$ a pour limite $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. On note $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$. Si au contraire $x$ s'approche de $0$ par valeurs négatives, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue : $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }$. Le petit signe $+$ ou $-$ placé en exposant précise donc de quel côté on s'approche du point ; cette distinction est indispensable dès que les deux côtés se comportent différemment.

Enfin, toutes les fonctions n'ont pas de limite : une fonction qui oscille indéfiniment sans se stabiliser, comme les fonctions trigonométriques en $+\mathrm{\infty }$, n'a pas de limite. Dans ce chapitre, les fonctions étudiées auront toujours un comportement bien identifiable aux bornes de leur intervalle d'étude.

Limites des fonctions de référence

Les limites des fonctions usuelles, rencontrées depuis la seconde, se lisent directement sur leurs courbes représentatives. Elles sont admises et doivent être connues par cœur : ce sont les briques de base de tous les calculs de limites.

Quelques remarques pour retenir ce tableau. La parabole $y=x^2$ « monte » des deux côtés, tandis que la courbe de $y=x^3$ monte à droite et descend à gauche : le signe de $x^3$ suit celui de $x$. La fonction racine carrée n'est définie que sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, elle n'a donc pas de limite en $-\mathrm{\infty }$ ; en $+\mathrm{\infty }$ elle croît vers $+\mathrm{\infty }$, certes lentement, mais sans plafond. La fonction inverse s'écrase sur l'axe des abscisses aux deux infinis et explose au voisinage de $0$. Enfin, l'exponentielle, étudiée en première, tend vers $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ et s'approche de $0$ en $-\mathrm{\infty }$ tout en restant strictement positive.

La fonction logarithme népérien, étudiée au chapitre suivant, viendra compléter ce tableau de référence.

Asymptotes horizontales et verticales

Les limites que nous venons de décrire ont une traduction graphique : lorsque $f(x)$ se stabilise vers une valeur $\mathrm{\ell }$, ou lorsque $f(x)$ explose près d'une valeur interdite, la courbe de $f$ se rapproche indéfiniment d'une droite. Ces droites s'appellent des asymptotes.

La figure représente la fonction $f$ définie sur $]-\mathrm{\infty };-1[\cup ]-1;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=3+{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$. Quand $x$ devient très grand (positivement ou négativement), la fraction ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ se rapproche de $0$ : donc $f(x)$ se rapproche de $3$, et la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe des deux côtés. Au voisinage de la valeur interdite $-1$, c'est l'inverse : le dénominateur $x+1$ s'approche de $0$, donc la fraction explose. Plus précisément, si $x$ tend vers $-1$ par la droite, $x+1$ est un petit nombre positif et $f(x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ; si $x$ tend vers $-1$ par la gauche, $x+1$ est un petit nombre négatif et $f(x)$ tend vers $-\mathrm{\infty }$. La droite d'équation $x=-1$ est asymptote verticale : la courbe la longe sans jamais la toucher, vers le haut d'un côté, vers le bas de l'autre.

Opérations sur les limites

Pour calculer la limite d'une fonction construite à partir des fonctions de référence, on combine leurs limites. Les règles suivantes sont admises et, dans la grande majorité des cas, elles correspondent à l'intuition : « une quantité qui tend vers $2$ plus une quantité qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ». Dans les tableaux ci-dessous, $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ désignent des réels.

Limite d'une somme $f+g$ :

Limite d'un produit $f\times g$ :

Limite d'un quotient ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ :

Lorsque le résultat est infini, son signe se détermine par la règle des signes habituelle. De même, si le numérateur a une limite non nulle et le dénominateur tend vers $0$ en gardant un signe constant, le quotient tend vers $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ selon la règle des signes : c'est exactement la situation des asymptotes verticales, comme pour $f(x)=3+{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ au voisinage de $-1$. Enfin, quand l'expression fait intervenir une fonction composée, on raisonne en contexte : par exemple, quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, $-x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$, donc ${\mathrm{e}}^{-x}$ tend vers $0$.

Les cases marquées ? sont les formes indéterminées : le tableau ne permet pas de conclure, car le résultat dépend des fonctions en jeu. Les deux formes indéterminées les plus fréquentes dans ce chapitre sont « $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ » (somme) et « ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ » (quotient). Indéterminé ne veut pas dire sans réponse : cela signifie qu'il faut transformer l'écriture de la fonction avant de conclure.

Continuité : une approche intuitive

Observons les courbes des fonctions rencontrées jusqu'ici : polynômes, racine carrée, exponentielle, inverse sur chacun de ses deux intervalles. Toutes ont un point commun : on peut les tracer sans lever le crayon. Aucun saut, aucun trou. C'est cette idée que capture la notion de continuité.

Comme pour la limite, cette définition intuitive suffit au programme : l'important est de savoir reconnaître les fonctions continues et d'exploiter leurs propriétés.

Ce résultat est très pratique : toutes les fonctions dont vous savez calculer la dérivée depuis la première sont automatiquement continues sur leurs intervalles de définition. En classe de maths complémentaires, c'est l'argument le plus courant pour justifier une continuité.

Toutes les fonctions ne sont pas continues pour autant. Voici un contre-exemple issu de la vie courante : un parking facture $2$ euros par heure, toute heure entamée étant due. Notons $p(t)$ le prix payé pour une durée de stationnement $t$ (en heures). Pour toute durée comprise entre $0$ et $1$ heure, on paie $2$ euros ; dès que l'on dépasse $1$ heure, même d'une minute, on paie $4$ euros. La fonction $p$ fait donc un saut de $2$ euros au passage de $t=1$, puis de nouveau en $t=2$, $t=3$, et ainsi de suite. Impossible de tracer sa courbe sans lever le crayon : c'est une fonction « en escalier », définie par paliers, qui n'est pas continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Ce genre de fonction est fréquent en économie (tarifs postaux, tranches d'imposition) : la continuité est une hypothèse de modélisation, pas une évidence.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Pourquoi s'intéresser à la continuité ? Parce qu'elle garantit un résultat fondamental : une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Ce théorème, admis, est l'outil central du chapitre pour résoudre des équations.

La figure illustre le théorème sur l'intervalle $[1;5]$ : la fonction représentée est continue, avec $f(1)=-2$ et $f(5)=3$. La valeur $k=1$ est bien comprise entre $-2$ et $3$ : le théorème garantit que la droite d'équation $y=1$ rencontre la courbe au moins une fois entre $1$ et $5$. Et de fait, elle la rencontre ici en trois points, d'abscisses $c_1$, $c_2$ et $c_3$ : la courbe monte, redescend, puis remonte, et traverse la droite à chaque passage. C'est le point essentiel à retenir : le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence, il affirme qu'il y a au moins une solution, mais ne dit rien sur leur nombre. Pour garantir l'unicité, il faut une hypothèse supplémentaire : la stricte monotonie.

Valeurs approchées d'une solution : balayage et dichotomie

Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution, mais ne la calcule pas : pour l'équation $x^3-3x^2+1=0$, aucune formule du cours ne donne les solutions. On les approche numériquement, et c'est là que l'algorithmique entre en scène. Notons $\alpha$ la solution située dans $[2;3]$ (on a bien $f(2)=-3<0$ et $f(3)=1>0$, avec $f$ continue et strictement croissante sur cet intervalle).

Le balayage consiste à parcourir l'intervalle avec un pas fixe et à repérer le changement de signe de $f$. Avec un pas de $\mathrm{0,1}$ sur $[2;3]$ :

Le signe change entre $\mathrm{2,8}$ et $\mathrm{2,9}$ : donc $\mathrm{2,8}<\alpha <\mathrm{2,9}$, ce qui donne un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,1}$. Pour gagner une décimale, on recommence le balayage sur $[\mathrm{2,8};\mathrm{2,9}]$ avec un pas de $\mathrm{0,01}$, et ainsi de suite. La méthode est simple mais coûteuse : chaque décimale supplémentaire demande jusqu'à dix nouveaux calculs.

La dichotomie est plus efficace : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape. On calcule $f$ au milieu $m$ de l'intervalle ; selon le signe de $f(m)$, la solution se trouve dans la moitié gauche ou dans la moitié droite, et on recommence avec cette moitié. L'amplitude de l'encadrement est divisée par $2$ à chaque étape.

Cet algorithme se programme en quelques lignes de Python :

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 1

a, b = 2, 3
while b - a > 0.001:
    m = (a + b) / 2
    if f(a) * f(m) <= 0:
        b = m
    else:
        a = m
print(a, b)

Le test f(a) * f(m) <= 0 traduit « $f(a)$ et $f(m)$ de signes contraires ». À la sortie de la boucle, le programme affiche un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure à $\mathrm{0,001}$ : on obtient ici $\mathrm{2,8789}<\alpha <\mathrm{2,8799}$, c'est-à-dire $\alpha \approx \mathrm{2,879}$ à ${10}^{-3}$ près. Dix étapes de dichotomie suffisent là où un balayage au pas de $\mathrm{0,001}$ aurait demandé jusqu'à mille calculs. Retenons le partage des rôles : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires prouve que la solution existe et qu'elle est unique ; l'algorithme la localise avec la précision voulue.

Fonction réciproque

Reprenons la situation du corollaire sous un autre angle. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors pour chaque valeur $k$ prise par $f$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $I$. On peut donc « remonter le courant » : à chaque valeur $k$, associer l'unique antécédent correspondant. Cette association définit une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque.

L'exemple le plus familier est celui du carré et de la racine carrée. La fonction carré, restreinte à l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$, y est continue et strictement croissante, et prend toutes les valeurs de $[0;+\mathrm{\infty }[$. Pour chaque $k\ge 0$, l'équation $x^2=k$ admet une unique solution positive : c'est précisément $\sqrt{k}$. La fonction racine carrée est donc la réciproque de la fonction carré sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. On retrouve les identités bien connues : $\sqrt{x^2}=x$ et ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$ pour tout $x\ge 0$. Attention, la restriction à $[0;+\mathrm{\infty }[$ est indispensable : sur $\mathbb{R}$ tout entier, la fonction carré n'est pas strictement monotone, et l'équation $x^2=4$ a deux solutions ; aucune réciproque ne peut être définie sans choisir un intervalle de monotonie.

Graphiquement, la réciproque se lit par une symétrie remarquable. Si le point $M(a;b)$ appartient à la courbe de $f$ (c'est-à-dire $b=f(a)$), alors le point $M^{\mathrm{\prime }}(b;a)$ appartient à la courbe de sa réciproque : on a simplement échangé abscisse et ordonnée. Or échanger les deux coordonnées d'un point, c'est le réfléchir par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Appliquons cette idée à la fonction exponentielle. Elle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty }$ : elle prend donc toutes les valeurs de $]0;+\mathrm{\infty }[$, chacune exactement une fois. Pour chaque $k>0$, l'équation ${\mathrm{e}}^x=k$ admet une unique solution : l'exponentielle admet une réciproque, définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Sur la figure, la courbe de l'exponentielle et celle de sa réciproque se répondent point par point de part et d'autre de la droite d'équation $y=x$, tracée en pointillés. Le point $(0;1)$ de la courbe de l'exponentielle (car ${\mathrm{e}}^0=1$) a pour symétrique le point $(1;0)$ sur la courbe de la réciproque : l'image de $1$ par la réciproque est $0$. De même, l'asymptote horizontale $y=0$ de l'exponentielle en $-\mathrm{\infty }$ devient, par symétrie, une asymptote verticale $x=0$ pour sa réciproque. La symétrie transporte ainsi toutes les propriétés de la courbe d'origine.

Cette réciproque de la fonction exponentielle porte un nom : le logarithme népérien, et son étude est l'objet du prochain chapitre.